O modelo Massa-Mola

Este é o modelo mais simples de um sistema para realizarmos uma análise de vibração.

Consiste em um corpo de massa m fixo a uma mola que por sua vez se prende a uma parede

rígida e estática. Veja o exemplo ilustrado a seguir, onde é desprezado o valor da massa da

mola:

Figura 1 - Modelo Massa-Mola sobre ação da força gravitacional.

A força peso do bloco acima e a força fk são definidas respectivamente por:

Onde m indica o valor da massa, g indica a aceleração da gravidade, k indica a rigidez da mola

e x indica a distância que a mola se esticou a partir da posição de equilíbrio (ou repouso) desta

mola.

Na medida em que se aumenta a massa m, observa-se que a distância do ponto de equilíbrio

se altera também, como ilustrado na figura abaixo:

Figura 2 - Deslocamento da posição de equilíbrio da mola em função da massa presa a ela.

Obviamente, na medida em que se aumenta a força peso, a força fk deve ser aumentada para

que o corpo permaneça em equilíbrio estático. Na prática, se for observado um gráfico de

força da mola em função do deslocamento ficará claro que a partir de certo ponto as

grandezas citadas deixam de ser proporcionais, como ilustrado a seguir.

Figura 3 - Força restauradora de uma mola em função do deslocamento.

Os estudos que se seguem serão realizados sobre a parte linear do gráfico acima.

Equacionando o problema Considere o problema dinâmico ilustrado na Figura 4, onde temos uma massa presa a uma

mola de constante k.

Figura 4 - Esquema do problema dinâmico.

Do diagrama de corpo livre (DCL) da Figura 4 observa-se que a força resultante será igual à

força restauradora aplicada pela mola ao corpo de massa m, o que nos leva a:

Considerando que a posição x possa variar com o tempo e que a aceleração na verdade

consiste na segunda derivada do deslocamento, a equação fica da seguinte forma:

( ) ( ) ⇒ ( ) ( )

A equação acima é classificada como Equação Diferencial Homogênea. O que esta equação

procura na realidade é uma função matemática para ser substituída no lugar de x(t) e suas

derivadas de forma que a igualdade proposta seja satisfeita.

Existem diversos métodos propostos para encontrar a solução deste tipo de equação, e aqui

será apresentado um que se relaciona com o que foi transmitido até o momento na disciplina.

Do movimento harmônico simples temos que a posição de um objeto pode ser dada em

função de um seno ou cosseno, logo será assumido que a posição do corpo ilustrado acima

será dada pela função a seguir:

( ) ( )

Derivando a equação acima se obtém a equação da velocidade do corpo de massa m:

( ) ( ) ( )

Derivando novamente, tem-se:

( ) ( ) ( )

Substituindo as equações horárias (ou seja, aquelas em função do tempo) da aceleração e da

posição na equação diferencial teremos:

( ( )) ( ( ))

Simplificando os termos comuns da igualdade acima, é possível determinar o valor da pulsação

(ou velocidade angular do MCU associado) para o sistema Massa-Mola:

⇒ √

Observe que este valor informa uma frequência de pulsação que independe da aceleração

inicial, velocidade inicial ou posição inicial do movimento. Esta frequência consiste em uma

característica física do sistema, conhecida como frequência natural. Todo objeto físico quando

retirado da posição de equilíbrio estático tende a vibrar em uma frequência característica.

Nos metais estas frequências são mais facilmente notadas, como por exemplo, nos sinos e no

diapasão. Quando aplicamos um impacto a um objeto de metal observa-se estas frequências

que vão ressonando cada vez menos até cessarem. Se obrigarmos estes objetos a vibrarem

nestas frequências por uma força externa, eles irão ressonar cada vez mais forte até que se

partam (exemplos: o cristal quebrado por um cantor, a ponte que vibrou quando excitada pelo

vento até colapsar...) o que é conhecido como ressonância.

Os harmônicos da primeira frequência natural também são frequências naturais, mas

necessitam de mais energia para se manifestarem. O que mais preocupa são as frequências

naturais mais baixas, que podem ressonar quando recebem pouca energia.

Voltando ao problema da equação diferencial, quando analisarmos um sistema massa-mola

real é desejável criar um equacionamento sobre a posição inicial e velocidade inicial do que

sobre a amplitude do movimento e a fase do mesmo, uma vez que necessitamos de um menor

período de observação do sistema. Voltando então para a equação da posição e da velocidade,

considerando ambas aplicadas em uma condição inicial x0 e v0 onde t=0, serão incógnitas a

Amplitude e a Fase.

{ ( ) ( )

( ) ( )⇒ {

( ) ( )

Para determinarmos o valor da fase, isola-se o seno e o cosseno acima e dividem-se ambas as

equações termo a termo:

{ ( ) ( )

⇒{ ( )

( )⇒

( ) ( )

Para se determinar o valor da amplitude do movimento (A), isola-se nas equações do espaço

inicial e da velocidade inicial o seno e o cosseno. Elevam-se então ambos os lados da equação

ao quadrado para posteriormente somar termo a termo o resultado:

{ ( ) ( )

⇒ { ( ) ( )

⇒{( )

( )

( ) ( )

⇒ ( ) ( )

√

Substituindo estes resultados na equação da posição do corpo em função do tempo conclui-se

que:

( ) √

( (

))

Observe que a equação acima depende apenas das condições iniciais (posição e velocidade) e

do tempo para se determinar a posição do corpo.

Exercícios 1 - Dado o sistema mecânico, visto abaixo, com massa m = 12 kg, rigidez da mola de k = 1200

N/m e com condições iniciais de deslocamento e velocidade de x0 = 0:02 m e v0 = 0,

respectivamente, pede-se:

A frequência natural não-amortecida;

O cálculo da resposta de vibração do sistema

A amplitude máxima de deslocamento.

2 - Um vagão, visto na figura abaixo, com massa m = 15000 kg se deslocando sem atrito bate

em uma mola com velocidade v0. A mola é deformada em 200mm e tem uma rigidez de

130000 N/m. Com que velocidade o vagão bateu na mola?