aula dez calculo um 2015 aluno
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Professor: Carlos Alberto de Albuquerque
Blog: http://professorcarlosaa.blogspot.com.br/
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
AULA
DEZ
DERIVADA
A reta Tangente
Seja y = f(x) uma curva definida
no intervalo (a, b), como
mostrado na figura ao lado.
Sejam P(x1, y1) e Q(x2, y2) dois
pontos distintos da curva y = f(x).
Seja s a reta secante que passa
pelos pontos P e Q.
DERIVADA
Considerando o triângulo
PQM, temos que a inclinação
da reta s (ou coeficiente
angular de s) é
x
y
xx
yytg
12
12
DERIVADA
Mantendo P fixo e movendo Q
sobre a curva em direção a P, a
inclinação da reta secante s
variará.
À medida que Q se aproxima
cada vez mais de P, a inclinação secante varia cada vez
menos, tendendo para um valor limite constante.
Esse valor é chamado inclinação da reta tangente à
curva no ponto P, ou também inclinação da curva em
P.
DERIVADA
Definição: Dada uma curva y = f(x), seja P(x1, y1)
um ponto sobre ela.
A inclinação da reta tangente à curva no ponto P
é dada por;
quando o limite existe.
1,limlim12
121
12 xx
xfxf
x
yxm
xxPQ
DERIVADA
Fazendo
Podemos reescrever o limite (1) na forma:
xxx 12
2.lim 11
01
x
xfxxfxm
x
DERIVADA
Conhecendo a inclinação da
reta tangente à curva no ponto
P, podemos encontrar a
equação da reta tangente à
curva em P.
DERIVADA
EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE
Se f(x) é contínua em x1, então a reta tangente à
curva y = f(x) em P(x1, f(x1)) é:
infinito
.,
..lim,lim
11
11
01
xxmxfyequaçãoatemoscasoNesse
existeestesex
xfxxfxm
inclinaçãotendoPporpassaqueretaAi
x
forx
xfxxfsexxretaAii
x
11
01 lim
DERIVADA
Exemplo:
Encontre a inclinação da reta tangente à curva
no ponto
122 xxy
11, yx
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
DERIVADA
Exercício 1
Encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto cuja abscissa é 2.
22 2 xy
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
DERIVAÇÃO
VELOCIDADE E ACELERAÇÃO
Suponha que um corpo se move em linha reta e
que s = s(t) represente o espaço percorrido pelo
móvel até o instante t. Então, no intervalo entre t
e t + Δt, o corpo sofre um deslocamento
.tsttss
DERIVADA
Definimos velocidade média nesse intervalo
de tempo como o quociente
isto é, a velocidade média é o quociente do
espaço percorrido pelo tempo gasto para percorrê-
lo.
,
t
tsttsvm
DERIVADA
De forma geral, a velocidade média nada nos
diz sobre a velocidade do corpo no instante t.
Para obtermos a velocidade instantânea do
corpo no instante t, calculamos sua velocidade
média em instantes de tempo Δt cada vez
menores.
DERIVADA
A velocidade instantânea, ou velocidade no
instante t, é o limite das velocidades médias
quando Δt se aproxima de zero, isto é,
.limlim00 t
tstts
t
stv
tt
DERIVADA
Aceleração
O conceito de aceleração é introduzido de
maneira análoga ao de velocidade.
A aceleração média no intervalo de tempo de
t até t+Δt é dada por:
.
t
tvttvam
DERIVADA
A aceleração média mede a variação da
velocidade do corpo por unidade de tempo no
intervalo de tempo Δt.
Para obtermos a aceleração do corpo no
instante t, tomamos sua aceleração média em
intervalos de tempo Δt cada vez menores.
DERIVADA
A aceleração instantânea é o limite
.lim0 t
tvttvta
t
DERIVADA
Exemplo: No instante t = 0 um corpo inicia um
movimento em linha reta. Se a posição no
instante t é dada por
Determinar
(a) a velocidade média do corpo no
intervalo [2, 4];
(b) a velocidade do corpo no instante t = 2;
(c) a aceleração média no intervalo [0, 4];
(d) a aceleração no instante t = 4.
.16 2ttts
SOLUÇÃO (a)
SOLUÇÃO (b)
SOLUÇÃO (c)
SOLUÇÃO (d)
DERIVADA
Exercício 2
A equação do movimento de um corpo em queda
livre é
sendo g um valor constante. Determinar a
velocidade e a aceleração do corpo em um
instante t.
,2
1 2gts
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
DERIVADA
A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO
A derivada de uma função f(x) no ponto x1,
denotada por f’(x1), (lê-se f linha de x, no ponto
x1) é definida pelo limite
quando este limite existe.
,lim 11
01
'
x
xfxxfxf
x
DERIVADA
Também podemos escrever
Como vimos, este limite nos dá a inclinação
da reta tangente à curva y = f(x) no ponto
(x1, f(x1)).
Portanto, geometricamente, a derivada da
função y = f(x) no ponto x1 representa a
inclinação da curva neste ponto.
.lim12
121
'
21 xx
xfxfxf
xx
DERIVADA
A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
A derivada de uma função y = f(x) é a função
denotada por
(lê-se f linha de x), tal que seu valor em
qualquer x ϵ D(f) é dada por:
,' xf
.,lim0
' existirestesex
xfxxfxf
x
DERIVADA
Dizemos que uma função é derivável quando
existe a derivada em todos os pontos de seu
domínio.
Outras notações que podem ser usadas no
lugar de
:'' xfy
DERIVADA
).()(
).()(
).()(
xarelaçãoemydederivadaselêdx
dyiii
xarelaçãoemydederivadaselêyDii
xarelaçãoemxfdederivadaselêxfDi
x
x
DERIVADA
Exemplo
.2,165 '2 fencontrexxxfDada
SOLUÇÃO
DERIVADA
Exercício 3
.,3
2 ' xfencontrex
xxfDada
SOLUÇÃO
DERIVADA
Exercício 4
Encontre a equação tangente à curva
que seja paralela á reta
,xy
0148 yx
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
DERIVADA
Exercício 5
Encontre a equação para a reta normal à curva
no ponto P(2,4).
2xy
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
DERIVADA
Exercício 6
Dada ,xxf
encontre .4'f
SOLUÇÃO
DERIVADA
Exercício 7
Dada ,3
1
xxf
encontre .' xf
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
DERIVADA
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DERIVÁVEIS
Se f(x) for contínua em x1 não implica que
existe f ’(x1).
Agora o contrário vale, como mostra o Teorema
seguinte.
Teorema: Toda função derivável num ponto x1
é contínua nesse ponto.
DERIVADA
Exercício 8
Encontrar as equações das retas tangente e
normal à curva 122 xxy
no ponto .9,2
SOLUÇÃO
FIM
DA AULA
DEZ