aula de física iii - a lei da induçãointrodução geradores e motores indutãncia mútua e...

IntroduçãoGeradores e Motores

Indutãncia Mútua e Auto-IndutãnciaExemplos

Energia Magnética

Aula de Física III - A Lei da Indução

Prof.: Leandro Aguiar Fernandes

([email protected])

Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto Politécnico - IPRJ/UERJ

Departamento de Engenharia Mecânica e EnergiaGraduação em Engenharia Mecânica/Computação

29 de setembro de 2010

Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei da Indução

Energia Magnética

A Lei de FaradayCircuito C móvel num campo B �xoCircuito C �xo e B variávelExemplo

A Lei de Faraday

Consideremos uma espira C de �o, imersa num campo magnético ~Be orientada conforme a �gura a seguir:

O �uxo de ~B através da espira é:

~B ∗ n̂dS (1)

Energia Magnética

A Lei de Faraday

~B ∗ n̂dS (1)

Energia Magnética

A Lei de Faraday

~B ∗ n̂dS (1)

Energia Magnética

A Lei de Faraday

~B ∗ n̂dS (1)

Energia Magnética

A Lei de Faraday

~B ∗ n̂dS (1)

Energia Magnética

Seja R a resistência da espira C. A Lei de Faraday pode ser

enunciada a partir da Lei de Ohm:

I = − 1

dtΦC (2)

A existência da corrente na espira está associada a uma força

eletromotriz dada por:

ξ = RI = − d

dtΦC (3)

Esta Lei nos mostra que o �uxo de ~B independe da geometria do

circuito, ou seja, a variação do �uxo de ~B depende unicamente do

tempo, independentemente de uma possível deformação da espira

Energia Magnética

I = − 1

dtΦC (2)

ξ = RI = − d

dtΦC (3)

Energia Magnética

I = − 1

dtΦC (2)

ξ = RI = − d

dtΦC (3)

Energia Magnética

I = − 1

dtΦC (2)

ξ = RI = − d

dtΦC (3)

Energia Magnética

I = − 1

dtΦC (2)

ξ = RI = − d

dtΦC (3)

Energia Magnética

Circuito C móvel num campo B �xo

Se o �o se move com uma velocidade ~v num campo ~B �xo, os

elétrons livres, transportados a essa velocidade, �cam sujeitos a:

~F = −e~vx~B =⇒ ~E (e) = ~vx~B (4)

A força eletromotriz correspondente ao longo do circuito é então:

~E (e) ∗ ~dl =

(~vx~B) ∗ ~dl (5)

Comparando (3) com (5), temos:∮C

~E (e) ∗ ~dl = −dΦC

que é a lei da indução na forma integral. O sentido do campo

magnético gerado se opõe à variação do �uxo magnético original.

Essa a�rmação é conhecida como Lei de Lenz.

Energia Magnética

~F = −e~vx~B =⇒ ~E (e) = ~vx~B (4)

~E (e) ∗ ~dl =

(~vx~B) ∗ ~dl (5)

~E (e) ∗ ~dl = −dΦC

Energia Magnética

~F = −e~vx~B

=⇒ ~E (e) = ~vx~B (4)

~E (e) ∗ ~dl =

(~vx~B) ∗ ~dl (5)

~E (e) ∗ ~dl = −dΦC

Energia Magnética

~F = −e~vx~B =⇒

~E (e) = ~vx~B (4)

~E (e) ∗ ~dl =

(~vx~B) ∗ ~dl (5)

~E (e) ∗ ~dl = −dΦC

Energia Magnética

~F = −e~vx~B =⇒ ~E (e) = ~vx~B (4)

~E (e) ∗ ~dl =

(~vx~B) ∗ ~dl (5)

~E (e) ∗ ~dl = −dΦC

Energia Magnética

~F = −e~vx~B =⇒ ~E (e) = ~vx~B (4)

~E (e) ∗ ~dl =

(~vx~B) ∗ ~dl (5)

~E (e) ∗ ~dl = −dΦC

Energia Magnética

~F = −e~vx~B =⇒ ~E (e) = ~vx~B (4)

~E (e) ∗ ~dl =

(~vx~B) ∗ ~dl (5)

~E (e) ∗ ~dl = −dΦC

Energia Magnética

~F = −e~vx~B =⇒ ~E (e) = ~vx~B (4)

~E (e) ∗ ~dl =

(~vx~B) ∗ ~dl (5)

Comparando (3) com (5), temos:

~E (e) ∗ ~dl = −dΦC

Energia Magnética

~F = −e~vx~B =⇒ ~E (e) = ~vx~B (4)

~E (e) ∗ ~dl =

(~vx~B) ∗ ~dl (5)

~E (e) ∗ ~dl = −dΦC

Energia Magnética

~F = −e~vx~B =⇒ ~E (e) = ~vx~B (4)

~E (e) ∗ ~dl =

(~vx~B) ∗ ~dl (5)

~E (e) ∗ ~dl = −dΦC

Essa a�rmação é conhecida como Lei de Lenz.Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei da Indução

Energia Magnética

Circuito C �xo e B variável

Neste caso, temos que:

~E ∗ ~dl =

∂t∗ n̂dS (7)

e pelo teorema do rotacional:∫C

~E ∗ ~dl =

(~∇x~E ) ∗ ~dS (8)

temos, por �m:

~∇x~E =∂~B

∂t(9)

que é a forma diferencial da Lei de Indução de Faraday, e

corresponde a uma das Equações de Maxwell. A interpretação física

deste resultado é que um campo magnético que varia com o tempo

produz um campo elétrico.

Energia Magnética

~E ∗ ~dl =

∂t∗ n̂dS (7)

~E ∗ ~dl =

(~∇x~E ) ∗ ~dS (8)

temos, por �m:

~∇x~E =∂~B

∂t(9)

Energia Magnética

~E ∗ ~dl =

∂t∗ n̂dS (7)

~E ∗ ~dl =

(~∇x~E ) ∗ ~dS (8)

temos, por �m:

~∇x~E =∂~B

∂t(9)

Energia Magnética

~E ∗ ~dl =

∂t∗ n̂dS (7)

e pelo teorema do rotacional:

~E ∗ ~dl =

(~∇x~E ) ∗ ~dS (8)

temos, por �m:

~∇x~E =∂~B

∂t(9)

Energia Magnética

~E ∗ ~dl =

∂t∗ n̂dS (7)

~E ∗ ~dl =

(~∇x~E ) ∗ ~dS (8)

temos, por �m:

~∇x~E =∂~B

∂t(9)

Energia Magnética

~E ∗ ~dl =

∂t∗ n̂dS (7)

~E ∗ ~dl =

(~∇x~E ) ∗ ~dS (8)

temos, por �m:

~∇x~E =∂~B

∂t(9)

Energia Magnética

~E ∗ ~dl =

∂t∗ n̂dS (7)

~E ∗ ~dl =

(~∇x~E ) ∗ ~dS (8)

temos, por �m:

~∇x~E =∂~B

∂t(9)

Energia Magnética

~E ∗ ~dl =

∂t∗ n̂dS (7)

~E ∗ ~dl =

(~∇x~E ) ∗ ~dS (8)

temos, por �m:

~∇x~E =∂~B

∂t(9)

produz um campo elétrico.Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei da Indução

Energia Magnética

Consideremos uma haste metálica AA' que se desloca dentro de um

campo uniforme ~B , conforme a �gura:

Se a normal n̂ ao plano do circuito é orientada para cima, o �uxo do

campo através do circuito é negativo, e a fem induzida é dada por:

Φ = −Blh =⇒ ξ = −dΦ

dt= Bh

dt= Bhv (10)

Energia Magnética

Φ = −Blh =⇒ ξ = −dΦ

dt= Bh

dt= Bhv (10)

Energia Magnética

Φ = −Blh =⇒ ξ = −dΦ

dt= Bh

dt= Bhv (10)

Energia Magnética

Φ = −Blh

=⇒ ξ = −dΦ

dt= Bh

dt= Bhv (10)

Energia Magnética

Φ = −Blh =⇒

ξ = −dΦ

dt= Bh

dt= Bhv (10)

Energia Magnética

Φ = −Blh =⇒ ξ = −dΦ

dt= Bh

dt= Bhv (10)

Energia Magnética

e através da Lei de Ohm, encontramos a potência dissipada pela

corrente induzida por Efeito Joule:

R=⇒ P = ξi = Bhv

Rv2 (11)

Por outro lado, a força magnética com que o campo atua sobre a

haste tem, portanto, o sentido oposto ao de ~v , e é dada por:

~Fm = i

A′∫A

~dlx~B = −ihB~v

v= −h

R~v (12)

e o trabalho realizado por essa força por unidade de tempo é:

dt= ~F ∗ ~v =

Rv2 (13)

Os resultados (13) e (11) con�rmam o princípio da conservação de

energia, e concordam com a discussão do sinal da Lei de Lenz.

Energia Magnética

=⇒ P = ξi = BhvBhv

Rv2 (11)

~Fm = i

A′∫A

~dlx~B = −ihB~v

v= −h

R~v (12)

dt= ~F ∗ ~v =

Rv2 (13)

Energia Magnética

P = ξi = BhvBhv

Rv2 (11)

~Fm = i

A′∫A

~dlx~B = −ihB~v

v= −h

R~v (12)

dt= ~F ∗ ~v =

Rv2 (13)

Energia Magnética

R=⇒ P = ξi = Bhv

Rv2 (11)

~Fm = i

A′∫A

~dlx~B = −ihB~v

v= −h

R~v (12)

dt= ~F ∗ ~v =

Rv2 (13)

Energia Magnética

R=⇒ P = ξi = Bhv

Rv2 (11)

~Fm = i

A′∫A

~dlx~B = −ihB~v

v= −h

R~v (12)

dt= ~F ∗ ~v =

Rv2 (13)

Energia Magnética

R=⇒ P = ξi = Bhv

Rv2 (11)

~Fm = i

A′∫A

~dlx~B = −ihB~v

v= −h

R~v (12)

dt= ~F ∗ ~v =

Rv2 (13)

Energia Magnética

R=⇒ P = ξi = Bhv

Rv2 (11)

~Fm = i

A′∫A

~dlx~B = −ihB~v

v= −h

R~v (12)

dt= ~F ∗ ~v =

Rv2 (13)

Energia Magnética

R=⇒ P = ξi = Bhv

Rv2 (11)

~Fm = i

A′∫A

~dlx~B = −ihB~v

v= −h

R~v (12)

dt= ~F ∗ ~v =

Rv2 (13)

Energia Magnética

R=⇒ P = ξi = Bhv

Rv2 (11)

~Fm = i

A′∫A

~dlx~B = −ihB~v

v= −h

R~v (12)

dt= ~F ∗ ~v =

Rv2 (13)

energia, e concordam com a discussão do sinal da Lei de Lenz.Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei da Indução

Energia Magnética

Motor de InduçãoGeração de Corrente AlternadaO Bétatron

Motor de Indução

Consideremos a situação ilustrada a seguir, em que uma bateria

gera uma diferença de potencial V entre os trilhos, fazendo passar

uma corrente i com sentido oposto a do exemplo anterior:

Assim, a normal ao planodo circuito agora tem de ser orientada

para baixo, de modo que a fem induzida também troca de sinal:

ξ = −Bhv =⇒ i =V − Bhv

Energia Magnética

Motor de Indução

Energia Magnética

Motor de Indução

Energia Magnética

Motor de Indução

Energia Magnética

Motor de Indução

ξ = −Bhv

=⇒ i =V − Bhv

Energia Magnética

Motor de Indução

ξ = −Bhv =⇒

i =V − Bhv

Energia Magnética

Motor de Indução

Energia Magnética

A força magnética é equilibrada pela força-pêso. Logo:

Fm = ihB =

R− Bhv

)hB = mg (15)

R− mg

)=⇒ i =

R−(V

R− mg

hB(16)

Agora, para que haja conservação de energia, devemos ter:

mgv + i2R = Vi =⇒ mgR

R− mg

hB= Vi

este é um balanço típico de energia de um motor.

Energia Magnética

Fm = ihB =

R− Bhv

)hB = mg (15)

R− mg

)=⇒ i =

R−(V

R− mg

hB(16)

R− mg

hB= Vi

Energia Magnética

Fm = ihB =

R− Bhv

)hB = mg (15)

R− mg

=⇒ i =V

R−(V

R− mg

hB(16)

R− mg

hB= Vi

Energia Magnética

Fm = ihB =

R− Bhv

)hB = mg (15)

R− mg

R−(V

R− mg

hB(16)

R− mg

hB= Vi

Energia Magnética

Fm = ihB =

R− Bhv

)hB = mg (15)

R− mg

)=⇒ i =

R−(V

R− mg

hB(16)

R− mg

hB= Vi

Energia Magnética

Fm = ihB =

R− Bhv

)hB = mg (15)

R− mg

)=⇒ i =

R−(V

R− mg

hB(16)

R− mg

hB= Vi

Energia Magnética

Fm = ihB =

R− Bhv

)hB = mg (15)

R− mg

)=⇒ i =

R−(V

R− mg

hB(16)

mgv + i2R = Vi

=⇒ mgR

R− mg

hB= Vi

Energia Magnética

Fm = ihB =

R− Bhv

)hB = mg (15)

R− mg

)=⇒ i =

R−(V

R− mg

hB(16)

mgv + i2R = Vi =⇒

R− mg

hB= Vi

Energia Magnética

Fm = ihB =

R− Bhv

)hB = mg (15)

R− mg

)=⇒ i =

R−(V

R− mg

hB(16)

R− mg

hB= Vi

Energia Magnética

Fm = ihB =

R− Bhv

)hB = mg (15)

R− mg

)=⇒ i =

R−(V

R− mg

hB(16)

R− mg

hB= Vi

Energia Magnética

Geração de Corrente Alternada

O quadro de N espiras e área S gira dentro de um campo ~Buniforme, com velocidade angular ω, de modo que o ângulo θ entre~B e a normal ao quadro é dado por θ = ωt. Logo, o �uxo através

das espiras é:

Φ = N(~B ∗ ~S) = NBS ∗ cosθ = NBS ∗ cos(ωt) (18)

Energia Magnética

das espiras é:

Energia Magnética

das espiras é:

Energia Magnética

das espiras é:

Φ = N(~B ∗ ~S) = NBS ∗ cosθ = NBS ∗ cos(ωt) (18)Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei da Indução

Energia Magnética

A fem induzida é, portanto:

ξ = −dΦ

dt= NBSωsen(ωt) (19)

e a corrente gerada será:

Rsen(ωt) (20)

neste caso, o quadro se comportará como um dipolo magnético.

Assim:

~m = iSNn̂ =⇒ τ = |~mx~B| = iSNB ∗ sen(ωt) (21)

e para que o quadro permaneça girando com velocidade angular

constante ω, é preciso fornecer-lhe uma potência mecânica:

dt= ωτ = iωSNBsen(ωt) = ξi (22)

ou seja, a potência elétrica gerada foi obtida pela conversão da

potência mecânica fornecida ao quadro.

Energia Magnética

ξ = −dΦ

Rsen(ωt) (20)

Assim:

Energia Magnética

ξ = −dΦ

Rsen(ωt) (20)

Assim:

Energia Magnética

ξ = −dΦ

Rsen(ωt) (20)

Assim:

Energia Magnética

ξ = −dΦ

Rsen(ωt) (20)

Assim:

Energia Magnética

ξ = −dΦ

Rsen(ωt) (20)

Assim:

~m = iSNn̂

=⇒ τ = |~mx~B| = iSNB ∗ sen(ωt) (21)

Energia Magnética

ξ = −dΦ

Rsen(ωt) (20)

Assim:

~m = iSNn̂ =⇒

τ = |~mx~B| = iSNB ∗ sen(ωt) (21)

Energia Magnética

ξ = −dΦ

Rsen(ωt) (20)

Assim:

Energia Magnética

ξ = −dΦ

Rsen(ωt) (20)

Assim:

Energia Magnética

ξ = −dΦ

Rsen(ωt) (20)

Assim:

Energia Magnética

ξ = −dΦ

Rsen(ωt) (20)

Assim:

potência mecânica fornecida ao quadro.Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei da Indução

Energia Magnética

O Bétatron

O Bétatron é um acelerador de elétrons, onde descrevem órbitas

circulares sob a ação de um campo magnético, mantendo o raio

orbital �xo e acelerando-se constantemente, devido à variação do

campo ~B com o tempo.

Energia Magnética

O Bétatron

Energia Magnética

O Bétatron

Energia Magnética

Se B0 é o campo sobre a órbita, tratado como uniforme, sabemos

que o raio r é dado por:

eB0=⇒ p = eB0r (23)

onde p é a magnitude do momento do elétron. Como ~B varia com

a distância ao eixo, de�nimos o valor médio de B sobre a área S da

órbita como sendo:

Bm ≡1

~B ∗ n̂dS =ΦC

πr2(24)

Pela Lei da Indução, a fem ao longo da órbita C é:

ξ = −dΦC

dt= − d

dt(πr2Bm) = −πr2 dBm

dt(25)

~E ∗ ~dl = 2πrE (26)

Energia Magnética

=⇒ p = eB0r (23)

órbita como sendo:

Bm ≡1

~B ∗ n̂dS =ΦC

πr2(24)

ξ = −dΦC

dt= − d

dt(25)

~E ∗ ~dl = 2πrE (26)

Energia Magnética

eB0=⇒

p = eB0r (23)

órbita como sendo:

Bm ≡1

~B ∗ n̂dS =ΦC

πr2(24)

ξ = −dΦC

dt= − d

dt(25)

~E ∗ ~dl = 2πrE (26)

Energia Magnética

eB0=⇒ p = eB0r (23)

órbita como sendo:

Bm ≡1

~B ∗ n̂dS =ΦC

πr2(24)

ξ = −dΦC

dt= − d

dt(25)

~E ∗ ~dl = 2πrE (26)

Energia Magnética

eB0=⇒ p = eB0r (23)

órbita como sendo:

Bm ≡1

~B ∗ n̂dS =ΦC

πr2(24)

ξ = −dΦC

dt= − d

dt(25)

~E ∗ ~dl = 2πrE (26)

Energia Magnética

eB0=⇒ p = eB0r (23)

órbita como sendo:

Bm ≡1

~B ∗ n̂dS =ΦC

πr2(24)

ξ = −dΦC

dt= − d

dt(25)

~E ∗ ~dl = 2πrE (26)

Energia Magnética

eB0=⇒ p = eB0r (23)

órbita como sendo:

Bm ≡1

~B ∗ n̂dS =ΦC

πr2(24)

ξ = −dΦC

dt= − d

dt(25)

~E ∗ ~dl = 2πrE (26)

Energia Magnética

eB0=⇒ p = eB0r (23)

órbita como sendo:

Bm ≡1

~B ∗ n̂dS =ΦC

πr2(24)

ξ = −dΦC

dt= − d

dt(25)

~E ∗ ~dl = 2πrE (26)

Energia Magnética

eB0=⇒ p = eB0r (23)

órbita como sendo:

Bm ≡1

~B ∗ n̂dS =ΦC

πr2(24)

ξ = −dΦC

dt= − d

dt(25)

~E ∗ ~dl = 2πrE (26)

Energia Magnética

eB0=⇒ p = eB0r (23)

órbita como sendo:

Bm ≡1

~B ∗ n̂dS =ΦC

πr2(24)

ξ = −dΦC

dt= − d

dt(25)

~E ∗ ~dl = 2πrE (26)

Energia Magnética

Agora, a força tangencial que acelera um elétron é:

~F = −e~E = − eE

2πrr̂ =

dt~Bm (27)

e por (23), temos:

~F =d~p

dt= er

dt(28)

Logo, concluímos que:

2Bm (29)

ou seja, o campo sobre a órbita deve ser a metade de seu valor

médio sobra a área S da mesma.

Energia Magnética

~F = −e~E = − eE

2πrr̂ =

dt~Bm (27)

e por (23), temos:

~F =d~p

dt= er

dt(28)

2Bm (29)

Energia Magnética

~F = −e~E = − eE

2πrr̂ =

dt~Bm (27)

e por (23), temos:

~F =d~p

dt= er

dt(28)

2Bm (29)

Energia Magnética

~F = −e~E = − eE

2πrr̂ =

dt~Bm (27)

e por (23), temos:

~F =d~p

dt= er

dt(28)

2Bm (29)

Energia Magnética

~F = −e~E = − eE

2πrr̂ =

dt~Bm (27)

e por (23), temos:

~F =d~p

dt= er

dt(28)

2Bm (29)

Energia Magnética

~F = −e~E = − eE

2πrr̂ =

dt~Bm (27)

e por (23), temos:

~F =d~p

dt= er

dt(28)

2Bm (29)

Energia Magnética

~F = −e~E = − eE

2πrr̂ =

dt~Bm (27)

e por (23), temos:

~F =d~p

dt= er

dt(28)

2Bm (29)

Energia Magnética

De�niçõesCorrentes Quase-Estacionárias

De�nições

Sejam dois solenóides coaxiais muito longos, de mesmo

comprimento l , um de raio R1 e N1 espiras, e outro de raio R2 > R1

e N2 espiras. Se �zermos passar uma corrente i1 estacionária sobre

o solenóide 1, o campo B1 que ela produz é dado por:

N1li1k̂ se 0 ≤ r ≤ R1

0 se r > R1(30)

O �uxo produzido por ~B1 sobre as N2 espiras do solenóide 2 é:

Φ2(1) = N2

~B1 ∗ k̂dS = N2B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (31)

que é proporcional a i1, onde:

L21 = µ0N1N2

l(πR2

1 ) =⇒ Φ2(1) ≡ L21i1 (32)

Energia Magnética

De�nições

N1li1k̂ se 0 ≤ r ≤ R1

0 se r > R1(30)

Φ2(1) = N2

~B1 ∗ k̂dS = N2B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (31)

L21 = µ0N1N2

l(πR2

1 ) =⇒ Φ2(1) ≡ L21i1 (32)

Energia Magnética

De�nições

N1li1k̂ se 0 ≤ r ≤ R1

0 se r > R1(30)

Φ2(1) = N2

~B1 ∗ k̂dS = N2B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (31)

L21 = µ0N1N2

l(πR2

1 ) =⇒ Φ2(1) ≡ L21i1 (32)

Energia Magnética

De�nições

N1li1k̂ se 0 ≤ r ≤ R1

0 se r > R1(30)

Φ2(1) = N2

~B1 ∗ k̂dS = N2B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (31)

L21 = µ0N1N2

l(πR2

1 ) =⇒ Φ2(1) ≡ L21i1 (32)

Energia Magnética

De�nições

N1li1k̂ se 0 ≤ r ≤ R1

0 se r > R1(30)

Φ2(1) = N2

~B1 ∗ k̂dS = N2B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (31)

L21 = µ0N1N2

l(πR2

1 ) =⇒ Φ2(1) ≡ L21i1 (32)

Energia Magnética

De�nições

N1li1k̂ se 0 ≤ r ≤ R1

0 se r > R1(30)

Φ2(1) = N2

~B1 ∗ k̂dS = N2B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (31)

L21 = µ0N1N2

l(πR2

1 ) =⇒ Φ2(1) ≡ L21i1 (32)

Energia Magnética

De�nições

N1li1k̂ se 0 ≤ r ≤ R1

0 se r > R1(30)

Φ2(1) = N2

~B1 ∗ k̂dS = N2B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (31)

L21 = µ0N1N2

l(πR2

=⇒ Φ2(1) ≡ L21i1 (32)

Energia Magnética

De�nições

N1li1k̂ se 0 ≤ r ≤ R1

0 se r > R1(30)

Φ2(1) = N2

~B1 ∗ k̂dS = N2B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (31)

L21 = µ0N1N2

l(πR2

1 ) =⇒

Φ2(1) ≡ L21i1 (32)

Energia Magnética

De�nições

N1li1k̂ se 0 ≤ r ≤ R1

0 se r > R1(30)

Φ2(1) = N2

~B1 ∗ k̂dS = N2B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (31)

L21 = µ0N1N2

l(πR2

1 ) =⇒ Φ2(1) ≡ L21i1 (32)

Energia Magnética

é chamada indutância mútua, cuja unidade é o Henry (1H ≡ 1Wb

Analogamente:

N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2

0 se r > R2(33)

e o �uxo deste campo:

Φ1(2) = N1

~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i2 (34)

ou seja:

L12 = µ0N1N2

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒ L12 = L21 (35)

justi�cando o nome de indutância mútua.

Energia Magnética

Analogamente:

N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2

0 se r > R2(33)

Φ1(2) = N1

~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i2 (34)

ou seja:

L12 = µ0N1N2

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒ L12 = L21 (35)

Energia Magnética

Analogamente:

N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2

0 se r > R2(33)

Φ1(2) = N1

~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i2 (34)

ou seja:

L12 = µ0N1N2

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒ L12 = L21 (35)

Energia Magnética

Analogamente:

N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2

0 se r > R2(33)

Φ1(2) = N1

~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i2 (34)

ou seja:

L12 = µ0N1N2

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒ L12 = L21 (35)

Energia Magnética

Analogamente:

N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2

0 se r > R2(33)

Φ1(2) = N1

~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i2 (34)

ou seja:

L12 = µ0N1N2

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒ L12 = L21 (35)

Energia Magnética

Analogamente:

N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2

0 se r > R2(33)

Φ1(2) = N1

~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i2 (34)

ou seja:

L12 = µ0N1N2

l(πR2

=⇒ Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒ L12 = L21 (35)

Energia Magnética

Analogamente:

N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2

0 se r > R2(33)

Φ1(2) = N1

~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i2 (34)

ou seja:

L12 = µ0N1N2

l(πR2

1 ) =⇒

Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒ L12 = L21 (35)

Energia Magnética

Analogamente:

N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2

0 se r > R2(33)

Φ1(2) = N1

~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i2 (34)

ou seja:

L12 = µ0N1N2

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(2) ≡ L12i2

=⇒ L12 = L21 (35)

Energia Magnética

Analogamente:

N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2

0 se r > R2(33)

Φ1(2) = N1

~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i2 (34)

ou seja:

L12 = µ0N1N2

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒

L12 = L21 (35)

Energia Magnética

Analogamente:

N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2

0 se r > R2(33)

Φ1(2) = N1

~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i2 (34)

ou seja:

L12 = µ0N1N2

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒ L12 = L21 (35)

Energia Magnética

Analogamente:

N2li2k̂ se 0 ≤ r ≤ R2

0 se r > R2(33)

Φ1(2) = N1

~B2 ∗ k̂dS = N1B2(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i2 (34)

ou seja:

L12 = µ0N1N2

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(2) ≡ L12i2 =⇒ L12 = L21 (35)

Energia Magnética

Além de produzir um �uxo magnético no solenóide 2, a corrente i1também produz �uxo no próprio solenóide:

Φ1(1) = N1

~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (36)

L1 = µ0N21

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)

é dita auto-indutância do solenóide 1, e analogamente:

Φ2(2) = N2

~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0

l(πR2

2 )i2 (38)

L2 = µ0N22

l(πR2

2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)

é dita auto-indutância do solenóide 2.

Energia Magnética

Φ1(1) = N1

~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (36)

L1 = µ0N21

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)

Φ2(2) = N2

~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0

l(πR2

2 )i2 (38)

L2 = µ0N22

l(πR2

2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)

Energia Magnética

Φ1(1) = N1

~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (36)

L1 = µ0N21

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)

Φ2(2) = N2

~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0

l(πR2

2 )i2 (38)

L2 = µ0N22

l(πR2

2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)

Energia Magnética

Φ1(1) = N1

~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (36)

L1 = µ0N21

l(πR2

=⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)

Φ2(2) = N2

~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0

l(πR2

2 )i2 (38)

L2 = µ0N22

l(πR2

2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)

Energia Magnética

Φ1(1) = N1

~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (36)

L1 = µ0N21

l(πR2

1 ) =⇒

Φ1(1) ≡ L1i1 (37)

Φ2(2) = N2

~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0

l(πR2

2 )i2 (38)

L2 = µ0N22

l(πR2

2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)

Energia Magnética

Φ1(1) = N1

~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (36)

L1 = µ0N21

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)

Φ2(2) = N2

~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0

l(πR2

2 )i2 (38)

L2 = µ0N22

l(πR2

2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)

Energia Magnética

Φ1(1) = N1

~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (36)

L1 = µ0N21

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)

Φ2(2) = N2

~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0

l(πR2

2 )i2 (38)

L2 = µ0N22

l(πR2

2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)

Energia Magnética

Φ1(1) = N1

~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (36)

L1 = µ0N21

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)

Φ2(2) = N2

~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0

l(πR2

2 )i2 (38)

L2 = µ0N22

l(πR2

2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)

Energia Magnética

Φ1(1) = N1

~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (36)

L1 = µ0N21

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)

Φ2(2) = N2

~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0

l(πR2

2 )i2 (38)

L2 = µ0N22

l(πR2

2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)

Energia Magnética

Φ1(1) = N1

~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (36)

L1 = µ0N21

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)

Φ2(2) = N2

~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0

l(πR2

2 )i2 (38)

L2 = µ0N22

l(πR2

=⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)

Energia Magnética

Φ1(1) = N1

~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (36)

L1 = µ0N21

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)

Φ2(2) = N2

~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0

l(πR2

2 )i2 (38)

L2 = µ0N22

l(πR2

2 ) =⇒

Φ2(2) ≡ L2i2 (39)

Energia Magnética

Φ1(1) = N1

~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (36)

L1 = µ0N21

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)

Φ2(2) = N2

~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0

l(πR2

2 )i2 (38)

L2 = µ0N22

l(πR2

2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)

Energia Magnética

Φ1(1) = N1

~B1 ∗ k̂dS = N1B1(πR21 ) = µ0

l(πR2

1 )i1 (36)

L1 = µ0N21

l(πR2

1 ) =⇒ Φ1(1) ≡ L1i1 (37)

Φ2(2) = N2

~B2 ∗ k̂dS = N2B2(πR22 ) = µ0

l(πR2

2 )i2 (38)

L2 = µ0N22

l(πR2

2 ) =⇒ Φ2(2) ≡ L2i2 (39)

é dita auto-indutância do solenóide 2.Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei da Indução

Energia Magnética

Se as correntes são simultâneas, então:

Φ1 = L1i1 + L12i2; Φ2 = L21i1 + L2i2 (40)

e as expressões acima dão:

L1L2 = µ20(N1N2)2

l2π2(R1R2)2 (41)

ou sejaL12√L1L2

R2(42)

que é < 1, e tenderia a 1 no limite R1 → R2.

Energia Magnética

Φ1 = L1i1 + L12i2; Φ2 = L21i1 + L2i2 (40)

L1L2 = µ20(N1N2)2

l2π2(R1R2)2 (41)

ou sejaL12√L1L2

R2(42)

Energia Magnética

Φ1 = L1i1 + L12i2; Φ2 = L21i1 + L2i2 (40)

L1L2 = µ20(N1N2)2

l2π2(R1R2)2 (41)

ou sejaL12√L1L2

R2(42)

Energia Magnética

Φ1 = L1i1 + L12i2; Φ2 = L21i1 + L2i2 (40)

L1L2 = µ20(N1N2)2

l2π2(R1R2)2 (41)

ou sejaL12√L1L2

R2(42)

Energia Magnética

Φ1 = L1i1 + L12i2; Φ2 = L21i1 + L2i2 (40)

L1L2 = µ20(N1N2)2

l2π2(R1R2)2 (41)

ou seja

L12√L1L2

R2(42)

Energia Magnética

Φ1 = L1i1 + L12i2; Φ2 = L21i1 + L2i2 (40)

L1L2 = µ20(N1N2)2

l2π2(R1R2)2 (41)

ou sejaL12√L1L2

R2(42)

Energia Magnética

Φ1 = L1i1 + L12i2; Φ2 = L21i1 + L2i2 (40)

L1L2 = µ20(N1N2)2

l2π2(R1R2)2 (41)

ou sejaL12√L1L2

R2(42)

Energia Magnética

Correntes Quase-Estacionárias

Podemos concluir da Lei de Indução que, se i2(t) é a corrente

variável num circuito 2, a fem ξ1 induzida por essa variação num

circuito 1 será:

ξ1 = − d

dtΦ1(2) = −L12

dt(43)

onde L12 é a indutância mútua entre os circuitos. Analogamenmte,

se i1(t) é a corrente variável num circuito 1, a fem ξ2 induzida por

essa variação num circuito 2 será:

ξ2 = − d

dtΦ2(1) = −L21

dt(44)

E ainda, a variação de i1 e i2 com o tempo produzem fem's

auto-induzidas nos circuitos 1 e 2, dadas por:

ξ1 = −L1di1

dt; ξ2 = −L2

dt(45)

Energia Magnética

circuito 1 será:

ξ1 = − d

dtΦ1(2) = −L12

dt(43)

ξ2 = − d

dtΦ2(1) = −L21

dt(44)

ξ1 = −L1di1

dt; ξ2 = −L2

dt(45)

Energia Magnética

circuito 1 será:

ξ1 = − d

dtΦ1(2) = −L12

dt(43)

ξ2 = − d

dtΦ2(1) = −L21

dt(44)

ξ1 = −L1di1

dt; ξ2 = −L2

dt(45)

Energia Magnética

circuito 1 será:

ξ1 = − d

dtΦ1(2) = −L12

dt(43)

ξ2 = − d

dtΦ2(1) = −L21

dt(44)

ξ1 = −L1di1

dt; ξ2 = −L2

dt(45)

Energia Magnética

circuito 1 será:

ξ1 = − d

dtΦ1(2) = −L12

dt(43)

ξ2 = − d

dtΦ2(1) = −L21

dt(44)

ξ1 = −L1di1

dt; ξ2 = −L2

dt(45)

Energia Magnética

circuito 1 será:

ξ1 = − d

dtΦ1(2) = −L12

dt(43)

ξ2 = − d

dtΦ2(1) = −L21

dt(44)

ξ1 = −L1di1

dt; ξ2 = −L2

dt(45)

Energia Magnética

circuito 1 será:

ξ1 = − d

dtΦ1(2) = −L12

dt(43)

ξ2 = − d

dtΦ2(1) = −L21

dt(44)

ξ1 = −L1di1

dt; ξ2 = −L2

dt(45)

Energia Magnética

Costuma-se convencionar que uma fem é positiva quando tem o

mesmo sentido da corrente no circuito onde atua, ou seja, tem a

orientação de ~dl . Como as fem's da Lei de Faraday se opõem à

variação da corrente, então di

dt> 0 =⇒ ξ < 0. Logo, as

auto-indutâncias são sempre positivas, e as indutãncias mútuas vão

depender do sinal da corrente que induz as fem's respectivas.

tivermos correntes variáveis nos dois circuitos, as fem's induzidas

serão:

ξ1 = −L1di1

dt− L12

dt(46)

ξ2 = −L21di1

dt− L2

dt(47)

Energia Magnética

dt> 0 =⇒ ξ < 0. Logo, as

depender do sinal da corrente que induz as fem's respectivas. Se

serão:

ξ1 = −L1di1

dt− L12

dt(46)

ξ2 = −L21di1

dt− L2

dt(47)

Energia Magnética

dt> 0 =⇒ ξ < 0. Logo, as

serão:

ξ1 = −L1di1

dt− L12

dt(46)

ξ2 = −L21di1

dt− L2

dt(47)

Energia Magnética

dt> 0 =⇒ ξ < 0. Logo, as

serão:

ξ1 = −L1di1

dt− L12

dt(46)

ξ2 = −L21di1

dt− L2

dt(47)

Energia Magnética

dt> 0 =⇒ ξ < 0. Logo, as

serão:

ξ1 = −L1di1

dt− L12

dt(46)

ξ2 = −L21di1

dt− L2

dt(47)

Energia Magnética

Auto-Indutância de um Cabo CoaxialBobina Toroidal

Auto-Indutância de um Cabo Coaxial

Por simetria, as linhas de força de ~B são círculos concêntricos como

C, e |~B| é constante ao longo de C. Assim, pela Lei de Ampère,

temos: ∫C

~B ∗ ~dl = µ0i =⇒ 2πρB = µ0i =⇒ ~B =µ0i

2πρϕ̂ (48)

Energia Magnética

temos: ∫C

~B ∗ ~dl = µ0i =⇒ 2πρB = µ0i =⇒ ~B =µ0i

2πρϕ̂ (48)

Energia Magnética

temos:

~B ∗ ~dl = µ0i =⇒ 2πρB = µ0i =⇒ ~B =µ0i

2πρϕ̂ (48)

Energia Magnética

temos: ∫C

~B ∗ ~dl = µ0i

=⇒ 2πρB = µ0i =⇒ ~B =µ0i

2πρϕ̂ (48)

Energia Magnética

temos: ∫C

~B ∗ ~dl = µ0i =⇒

2πρB = µ0i =⇒ ~B =µ0i

2πρϕ̂ (48)

Energia Magnética

temos: ∫C

~B ∗ ~dl = µ0i =⇒ 2πρB = µ0i

=⇒ ~B =µ0i

2πρϕ̂ (48)

Energia Magnética

temos: ∫C

~B ∗ ~dl = µ0i =⇒ 2πρB = µ0i =⇒

~B =µ0i

2πρϕ̂ (48)

Energia Magnética

temos: ∫C

~B ∗ ~dl = µ0i =⇒ 2πρB = µ0i =⇒ ~B =µ0i

2πρϕ̂ (48)

Energia Magnética

O �uxo de ~B através do retângulo ADD'A' de comprimento AD e

lado AA' ligando o condutor interno ao externo é:

∫~B ∗ ϕ̂dS = AD︸︷︷︸

B(ρ)dρ =µ0i

ρ=µ0i

ou seja, o �uxo por unidade de comprimento é:

Φ = ζ i ; ζ =µ02π

onde ζ é a auto-indutância do cabo coaxial por unidade de

comprimento.

Energia Magnética

∫~B ∗ ϕ̂dS = AD︸︷︷︸

B(ρ)dρ =µ0i

ρ=µ0i

Φ = ζ i ; ζ =µ02π

comprimento.

Energia Magnética

∫~B ∗ ϕ̂dS = AD︸︷︷︸

B(ρ)dρ =µ0i

ρ=µ0i

Φ = ζ i ; ζ =µ02π

comprimento.

Energia Magnética

∫~B ∗ ϕ̂dS = AD︸︷︷︸

B(ρ)dρ =µ0i

ρ=µ0i

Φ = ζ i ; ζ =µ02π

comprimento.

Energia Magnética

∫~B ∗ ϕ̂dS = AD︸︷︷︸

B(ρ)dρ =µ0i

ρ=µ0i

Φ = ζ i ; ζ =µ02π

comprimento.

Energia Magnética

Bobina Toroidal

A linha de força que passa pelo ponto P é um círculo de raio

r = PP ′ = a − ρcosϕ, e a Lei de Ampère dá, nesse ponto:∫C

~B ∗ ~dl = Nµ0i =⇒ 2πrB = Nµ0i =⇒ ~B =Nµ0i

a − ρcosϕn̂

Energia Magnética

Bobina Toroidal

a − ρcosϕn̂

Energia Magnética

Bobina Toroidal

r = PP ′ = a − ρcosϕ, e a Lei de Ampère dá, nesse ponto:

a − ρcosϕn̂

Energia Magnética

Bobina Toroidal

~B ∗ ~dl = Nµ0i

=⇒ 2πrB = Nµ0i =⇒ ~B =Nµ0i

a − ρcosϕn̂

Energia Magnética

Bobina Toroidal

~B ∗ ~dl = Nµ0i =⇒

2πrB = Nµ0i =⇒ ~B =Nµ0i

a − ρcosϕn̂

Energia Magnética

Bobina Toroidal

~B ∗ ~dl = Nµ0i =⇒ 2πrB = Nµ0i

=⇒ ~B =Nµ0i

a − ρcosϕn̂

Energia Magnética

Bobina Toroidal

~B ∗ ~dl = Nµ0i =⇒ 2πrB = Nµ0i =⇒

~B =Nµ0i

a − ρcosϕn̂

Energia Magnética

Bobina Toroidal

a − ρcosϕn̂

(51)Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei da Indução

Energia Magnética

onde N é o número de espiras da bobina enrolada no toróide, i é a

intensidade de corrente que a atravessa, e n̂ é o versor da normal

ao plano de secção. Logo, o �uxo através de uma espira é:

~B ∗ n̂dS =Nµ0i

2π∫0

a − ρcosϕ(52)

A segunda integral �ca:

π∫0

a − ρcosϕ=

4√a2 − ρ2

tg−1[√

a − ρa + ρ

tg(ϕ2

)] ∣∣∣∣∣ϕ=π

=2π√a2 − ρ2

Assim:

Φ1 = Nµ0i

(a2 − ρ2)12

= Nµ0i(a2 − ρ2)

∣∣∣∣∣b

Energia Magnética

~B ∗ n̂dS =Nµ0i

2π∫0

a − ρcosϕ(52)

π∫0

a − ρcosϕ=

4√a2 − ρ2

tg−1[√

a − ρa + ρ

tg(ϕ2

)] ∣∣∣∣∣ϕ=π

=2π√a2 − ρ2

Assim:

Φ1 = Nµ0i

(a2 − ρ2)12

= Nµ0i(a2 − ρ2)

∣∣∣∣∣b

Energia Magnética

~B ∗ n̂dS =Nµ0i

2π∫0

a − ρcosϕ(52)

π∫0

a − ρcosϕ=

4√a2 − ρ2

tg−1[√

a − ρa + ρ

tg(ϕ2

)] ∣∣∣∣∣ϕ=π

=2π√a2 − ρ2

Assim:

Φ1 = Nµ0i

(a2 − ρ2)12

= Nµ0i(a2 − ρ2)

∣∣∣∣∣b

Energia Magnética

~B ∗ n̂dS =Nµ0i

2π∫0

a − ρcosϕ(52)

π∫0

a − ρcosϕ=

4√a2 − ρ2

tg−1[√

a − ρa + ρ

tg(ϕ2

)] ∣∣∣∣∣ϕ=π

=2π√a2 − ρ2

Assim:

Φ1 = Nµ0i

(a2 − ρ2)12

= Nµ0i(a2 − ρ2)

∣∣∣∣∣b

Energia Magnética

~B ∗ n̂dS =Nµ0i

2π∫0

a − ρcosϕ(52)

π∫0

a − ρcosϕ=

4√a2 − ρ2

tg−1[√

a − ρa + ρ

tg(ϕ2

)] ∣∣∣∣∣ϕ=π

=2π√a2 − ρ2

Assim:

Φ1 = Nµ0i

(a2 − ρ2)12

= Nµ0i(a2 − ρ2)

∣∣∣∣∣b

Energia Magnética

~B ∗ n̂dS =Nµ0i

2π∫0

a − ρcosϕ(52)

π∫0

a − ρcosϕ=

4√a2 − ρ2

tg−1[√

a − ρa + ρ

tg(ϕ2

)] ∣∣∣∣∣ϕ=π

=2π√a2 − ρ2

Assim:

Φ1 = Nµ0i

(a2 − ρ2)12

= Nµ0i(a2 − ρ2)

∣∣∣∣∣b

Energia Magnética

onde encontramos, �nalmente:

Φ1 = Nµ0i(a −√a2 − b2) (55)

havendo uma segunda bobina com N' espiras enrolada no toróide, o

�uxo produzido pela primeira na segunda é tal que:

L12 = µ0N1N2(a −√a2 − b2) (56)

é a indutância mútua entre duas bobinas enroladas no mesmo

toróide. Analogamente, a auto-indutância de uma bobina toroidal

de N espiras é dada por:

L = µ0N2(a −

√a2 − b2) (57)

Energia Magnética

Φ1 = Nµ0i(a −√a2 − b2) (55)

L12 = µ0N1N2(a −√a2 − b2) (56)

L = µ0N2(a −

√a2 − b2) (57)

Energia Magnética

Φ1 = Nµ0i(a −√a2 − b2) (55)

L12 = µ0N1N2(a −√a2 − b2) (56)

L = µ0N2(a −

√a2 − b2) (57)

Energia Magnética

Φ1 = Nµ0i(a −√a2 − b2) (55)

L12 = µ0N1N2(a −√a2 − b2) (56)

L = µ0N2(a −

√a2 − b2) (57)

Energia Magnética

Φ1 = Nµ0i(a −√a2 − b2) (55)

L12 = µ0N1N2(a −√a2 − b2) (56)

L = µ0N2(a −

√a2 − b2) (57)

Energia Magnética

Φ1 = Nµ0i(a −√a2 − b2) (55)

L12 = µ0N1N2(a −√a2 − b2) (56)

L = µ0N2(a −

√a2 − b2) (57)

Energia Magnética

FormulaçãoDensidade de Energia Magnética

Formulação

Vimos que a fem induzida num circuito por um campo magnético

variável tende a se opor à variação do �uxo. Se a corrente no

instante considerado é i , a potência que precisa ser fornecida pra

isso é:dW

dt= −ξi =

dt= Li

dt(58)

onde L é a auto-indutância do circuito. Ignorando a perda por

Efeito Joule, a energia total que precisa ser fornecida para fazer

passar a corrente no circuito é:

dtdt =

dtdt = L

idi = Li2

∣∣∣∣∣I

= LI 2

Logo, U = L I 2

2 é a energia armazenada num circuito de

auto-indutância L que é atravessado por uma corrente I .

Energia Magnética

Formulação

isso é:

dt= −ξi =

dt= Li

dt(58)

dtdt =

dtdt = L

idi = Li2

∣∣∣∣∣I

= LI 2

Logo, U = L I 2

Energia Magnética

Formulação

isso é:dW

dt= −ξi =

dt= Li

dt(58)

dtdt =

dtdt = L

idi = Li2

∣∣∣∣∣I

= LI 2

Logo, U = L I 2

Energia Magnética

Formulação

isso é:dW

dt= −ξi =

dt= Li

dt(58)

dtdt =

dtdt = L

idi = Li2

∣∣∣∣∣I

= LI 2

Logo, U = L I 2

Energia Magnética

Formulação

isso é:dW

dt= −ξi =

dt= Li

dt(58)

dtdt =

dtdt = L

idi = Li2

∣∣∣∣∣I

= LI 2

Logo, U = L I 2

Energia Magnética

Formulação

isso é:dW

dt= −ξi =

dt= Li

dt(58)

dtdt =

dtdt = L

idi = Li2

∣∣∣∣∣I

= LI 2

Logo, U = L I 2

auto-indutância L que é atravessado por uma corrente I .Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - A Lei da Indução

Energia Magnética

Se tivermos dois circuitos, podemos de início produzir a corrente I1num deles, o que armazena a energia U1 = 1

2L1I21 . Daí, para

elevarmos a corrente no outro circuito de 0 para I2, temos de

fornecer a energia:

dtdt =

∫i2dΦ2

dtdt +

∫I1dΦ1(2)

dtdt =

22 + L12I1

I2∫0

onde encontramos:

22 + L12I1I2 (61)

Portanto, a energia total é:

U = U1 + U2 =1

22 + L12I1I2 (62)

Energia Magnética

2L1I21 . Daí, para

fornecer a energia:∫dW

dtdt =

∫i2dΦ2

dtdt +

∫I1dΦ1(2)

dtdt =

22 + L12I1

I2∫0

onde encontramos:

22 + L12I1I2 (61)

U = U1 + U2 =1

22 + L12I1I2 (62)

Energia Magnética

2L1I21 . Daí, para

dtdt =

∫i2dΦ2

dtdt +

∫I1dΦ1(2)

dtdt =

22 + L12I1

I2∫0

onde encontramos:

22 + L12I1I2 (61)

U = U1 + U2 =1

22 + L12I1I2 (62)

Energia Magnética

2L1I21 . Daí, para

dtdt =

∫i2dΦ2

dtdt +

∫I1dΦ1(2)

dtdt =

22 + L12I1

I2∫0

onde encontramos:

22 + L12I1I2 (61)

U = U1 + U2 =1

22 + L12I1I2 (62)

Energia Magnética

2L1I21 . Daí, para

dtdt =

∫i2dΦ2

dtdt +

∫I1dΦ1(2)

dtdt =

22 + L12I1

I2∫0

onde encontramos:

22 + L12I1I2 (61)

U = U1 + U2 =1

22 + L12I1I2 (62)

Energia Magnética

2L1I21 . Daí, para

dtdt =

∫i2dΦ2

dtdt +

∫I1dΦ1(2)

dtdt =

22 + L12I1

I2∫0

onde encontramos:

22 + L12I1I2 (61)

U = U1 + U2 =1

22 + L12I1I2 (62)

Energia Magnética

O trinômio (62) deve ser sempre positivo, quaisquer que sejam os

sinais e os valores de I1 e I2. Isso só é possível se o discriminante do

trinômio for menor que zero:

(L12I22 )2 − 4

22 = I 22 (L212 − L1L2) < 0 (63)

ou seja, devemos ter sempre:

|L12| <√L1L2 =⇒ 0 < k ≡ |L12|√

L1L2< 1 (64)

onde k é dito coe�ciente de acoplamento indutivo. Se k → 1, o

acoplamento magnético entre os dois circuitos é forte; quanto

menor for k , menos eles estão acoplados.

Energia Magnética

(L12I22 )2 − 4

22 = I 22 (L212 − L1L2) < 0 (63)

|L12| <√L1L2 =⇒ 0 < k ≡ |L12|√

L1L2< 1 (64)

Energia Magnética

(L12I22 )2 − 4

22 = I 22 (L212 − L1L2) < 0 (63)

|L12| <√L1L2 =⇒ 0 < k ≡ |L12|√

L1L2< 1 (64)

Energia Magnética

(L12I22 )2 − 4

22 = I 22 (L212 − L1L2) < 0 (63)

|L12| <√L1L2

=⇒ 0 < k ≡ |L12|√L1L2

< 1 (64)

Energia Magnética

(L12I22 )2 − 4

22 = I 22 (L212 − L1L2) < 0 (63)

|L12| <√L1L2 =⇒

0 < k ≡ |L12|√L1L2

< 1 (64)

Energia Magnética

(L12I22 )2 − 4

22 = I 22 (L212 − L1L2) < 0 (63)

|L12| <√L1L2 =⇒ 0 < k ≡ |L12|√

L1L2< 1 (64)

Energia Magnética

(L12I22 )2 − 4

22 = I 22 (L212 − L1L2) < 0 (63)

|L12| <√L1L2 =⇒ 0 < k ≡ |L12|√

L1L2< 1 (64)

Energia Magnética

Densidade de Energia Magnética

Para um solenóide de N espiras muito longo de comprimento l e

área de secção S , vimos que a auto-indutância é L = µ0N2 Sl, de

forma que, quando percorrido por uma corrente I , a energia

armazenada é:

2LI 2 =

2µ0(NI )2

Sl =B2

2µ0V (65)

Como o campo magnético está con�nado dentro do solenóide,

podemos a�rmar que a energia está contida no mesmo, com

densidade de energia magnética:

2µ0~B2 (66)

Energia Magnética

armazenada é:

2LI 2 =

2µ0(NI )2

Sl =B2

2µ0V (65)

2µ0~B2 (66)

Energia Magnética

armazenada é:

2LI 2 =

2µ0(NI )2

Sl =B2

2µ0V (65)

2µ0~B2 (66)

Energia Magnética

armazenada é:

2LI 2 =

2µ0(NI )2

Sl =B2

2µ0V (65)

2µ0~B2 (66)

Energia Magnética

armazenada é:

2LI 2 =

2µ0(NI )2

Sl =B2

2µ0V (65)

2µ0~B2 (66)

Energia Magnética

Da mesma forma, da expressão de energia elétrica UE = 12CV

armazenada num capacitor plano, inferimos, para a densidade de

energia elétrica no vácuo:

ue =ε02~E 2 (67)

Se tivermos ao mesmo tempo, numa dada região do espaço (no

vácuo), um campo elétrico e um campo magnético, a densidade de

energia eletromagnética total do campo é:

u = ue + um =ε02~E 2 +

2µ0~B2 (68)

Voltando ao exemplo do cabo coaxial, vimos que o campo dentro

do cabo é ~B = µ0i2πρ ϕ̂, o que dá:

2µ0(µ0i

2πρϕ̂)2 =

µ08π2

ρ2(69)

Energia Magnética

ue =ε02~E 2 (67)

u = ue + um =ε02~E 2 +

2µ0~B2 (68)

2µ0(µ0i

2πρϕ̂)2 =

µ08π2

ρ2(69)

Energia Magnética

ue =ε02~E 2 (67)

u = ue + um =ε02~E 2 +

2µ0~B2 (68)

2µ0(µ0i

2πρϕ̂)2 =

µ08π2

ρ2(69)

Energia Magnética

ue =ε02~E 2 (67)

u = ue + um =ε02~E 2 +

2µ0~B2 (68)

2µ0(µ0i

2πρϕ̂)2 =

µ08π2

ρ2(69)

Energia Magnética

ue =ε02~E 2 (67)

u = ue + um =ε02~E 2 +

2µ0~B2 (68)

2µ0(µ0i

2πρϕ̂)2 =

µ08π2

ρ2(69)

Energia Magnética

ue =ε02~E 2 (67)

u = ue + um =ε02~E 2 +

2µ0~B2 (68)

2µ0(µ0i

2πρϕ̂)2 =

µ08π2

ρ2(69)

Energia Magnética

Em coordenadas cilíndricas (ρ, ϕ, z), a energia armazenada será:

∫umdV =

z0+l∫z0

2π∫0

umdϕ =µ08π2

2π∫0

=µ04π

ρ=µ04π

i2l ∗ ln(b

)de modo que a energia magnética armazenada, por unidade de

comprimento do cabo, é:

µ02π

2Li2 (70)

Energia Magnética

∫umdV =

z0+l∫z0

2π∫0

umdϕ =µ08π2

2π∫0

=µ04π

ρ=µ04π

i2l ∗ ln(b

µ02π

2Li2 (70)

Energia Magnética

∫umdV =

z0+l∫z0

2π∫0

umdϕ =µ08π2

2π∫0

=µ04π

ρ=µ04π

i2l ∗ ln(b

de modo que a energia magnética armazenada, por unidade de

µ02π

2Li2 (70)

Energia Magnética

∫umdV =

z0+l∫z0

2π∫0

umdϕ =µ08π2

2π∫0

=µ04π

ρ=µ04π

i2l ∗ ln(b

µ02π

2Li2 (70)

Energia Magnética

∫umdV =

z0+l∫z0

2π∫0

umdϕ =µ08π2

2π∫0

=µ04π

ρ=µ04π

i2l ∗ ln(b

µ02π

2Li2 (70)

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