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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
Aula de Física II - Cargas Elétricas: Força Elétrica
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes
Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto Politécnico - IPRJ/UERJ
Departamento de Engenharia Mecânica e EnergiaGraduação em Engenharia Mecânica/Computação
27 de outubro de 2010
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física II - Cargas Elétricas: Força Elétrica
A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
A Lei de Coulomb
Todas as forças em Física são derivadas a partir de quatro
forças interativas fundamentais: a força gravitacional, a força
eletromagnética, a força nuclear forte e a força de interação
fraca.
As forças do tipo eletromagnéticas dominam todos as
interações entre sistemas desde os átomos aos planetas. Os
efeitos elétricos e magnéticos são conseqüências de uma
propriedade da matéria denominada "carga elétrica".
Coulomb conseguiu determinar relações matemáticas
importantes na descrição das interações eletrostáticas. Ele
observou que força atrativa ou repulsiva era proporcional ao
produto das duas cargas interagentes (q1 e q2) e inversamente
proporcional ao quadrado da distância r entre elas.
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
A Lei de Coulomb
Todas as forças em Física são derivadas a partir de quatro
forças interativas fundamentais: a força gravitacional, a força
eletromagnética, a força nuclear forte e a força de interação
fraca.
As forças do tipo eletromagnéticas dominam todos as
interações entre sistemas desde os átomos aos planetas. Os
efeitos elétricos e magnéticos são conseqüências de uma
propriedade da matéria denominada "carga elétrica".
Coulomb conseguiu determinar relações matemáticas
importantes na descrição das interações eletrostáticas. Ele
observou que força atrativa ou repulsiva era proporcional ao
produto das duas cargas interagentes (q1 e q2) e inversamente
proporcional ao quadrado da distância r entre elas.
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
A Lei de Coulomb
Todas as forças em Física são derivadas a partir de quatro
forças interativas fundamentais: a força gravitacional, a força
eletromagnética, a força nuclear forte e a força de interação
fraca.
As forças do tipo eletromagnéticas dominam todos as
interações entre sistemas desde os átomos aos planetas. Os
efeitos elétricos e magnéticos são conseqüências de uma
propriedade da matéria denominada "carga elétrica".
Coulomb conseguiu determinar relações matemáticas
importantes na descrição das interações eletrostáticas. Ele
observou que força atrativa ou repulsiva era proporcional ao
produto das duas cargas interagentes (q1 e q2) e inversamente
proporcional ao quadrado da distância r entre elas.
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
A Lei de Coulomb
Todas as forças em Física são derivadas a partir de quatro
forças interativas fundamentais: a força gravitacional, a força
eletromagnética, a força nuclear forte e a força de interação
fraca.
As forças do tipo eletromagnéticas dominam todos as
interações entre sistemas desde os átomos aos planetas. Os
efeitos elétricos e magnéticos são conseqüências de uma
propriedade da matéria denominada "carga elétrica".
Coulomb conseguiu determinar relações matemáticas
importantes na descrição das interações eletrostáticas. Ele
observou que força atrativa ou repulsiva era proporcional ao
produto das duas cargas interagentes (q1 e q2) e inversamente
proporcional ao quadrado da distância r entre elas.
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
~F1(2) =1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|2r̂ (1)
onde ε0 é dita permissividade do espaço livre no vácuo, ~x é o vetor
de localização da carga q1, ~x′ é o vetor de localização da carga q2,
e r̂ é o versor de direção da força, dado por:
r̂ =~x − ~x ′
|~x − ~x ′|(2)
Portanto:~F1(2) =
1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (3)
e analogamente, observamos que:
~F2(1) =1
4πε0
q2q1
|~x ′ − ~x |3(~x ′ − ~x) = − 1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) = −~F1(2)
(4)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
~F1(2) =1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|2r̂ (1)
onde ε0 é dita permissividade do espaço livre no vácuo, ~x é o vetor
de localização da carga q1, ~x′ é o vetor de localização da carga q2,
e r̂ é o versor de direção da força, dado por:
r̂ =~x − ~x ′
|~x − ~x ′|(2)
Portanto:~F1(2) =
1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (3)
e analogamente, observamos que:
~F2(1) =1
4πε0
q2q1
|~x ′ − ~x |3(~x ′ − ~x) = − 1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) = −~F1(2)
(4)
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Exemplos
~F1(2) =1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|2r̂ (1)
onde ε0 é dita permissividade do espaço livre no vácuo, ~x é o vetor
de localização da carga q1, ~x′ é o vetor de localização da carga q2,
e r̂ é o versor de direção da força, dado por:
r̂ =~x − ~x ′
|~x − ~x ′|(2)
Portanto:~F1(2) =
1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (3)
e analogamente, observamos que:
~F2(1) =1
4πε0
q2q1
|~x ′ − ~x |3(~x ′ − ~x) = − 1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) = −~F1(2)
(4)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
~F1(2) =1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|2r̂ (1)
onde ε0 é dita permissividade do espaço livre no vácuo, ~x é o vetor
de localização da carga q1, ~x′ é o vetor de localização da carga q2,
e r̂ é o versor de direção da força, dado por:
r̂ =~x − ~x ′
|~x − ~x ′|(2)
Portanto:
~F1(2) =1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (3)
e analogamente, observamos que:
~F2(1) =1
4πε0
q2q1
|~x ′ − ~x |3(~x ′ − ~x) = − 1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) = −~F1(2)
(4)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
~F1(2) =1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|2r̂ (1)
onde ε0 é dita permissividade do espaço livre no vácuo, ~x é o vetor
de localização da carga q1, ~x′ é o vetor de localização da carga q2,
e r̂ é o versor de direção da força, dado por:
r̂ =~x − ~x ′
|~x − ~x ′|(2)
Portanto:~F1(2) =
1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (3)
e analogamente, observamos que:
~F2(1) =1
4πε0
q2q1
|~x ′ − ~x |3(~x ′ − ~x) = − 1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) = −~F1(2)
(4)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
~F1(2) =1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|2r̂ (1)
onde ε0 é dita permissividade do espaço livre no vácuo, ~x é o vetor
de localização da carga q1, ~x′ é o vetor de localização da carga q2,
e r̂ é o versor de direção da força, dado por:
r̂ =~x − ~x ′
|~x − ~x ′|(2)
Portanto:~F1(2) =
1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (3)
e analogamente, observamos que:
~F2(1) =1
4πε0
q2q1
|~x ′ − ~x |3(~x ′ − ~x) = − 1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) = −~F1(2)
(4)
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Exemplos
~F1(2) =1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|2r̂ (1)
onde ε0 é dita permissividade do espaço livre no vácuo, ~x é o vetor
de localização da carga q1, ~x′ é o vetor de localização da carga q2,
e r̂ é o versor de direção da força, dado por:
r̂ =~x − ~x ′
|~x − ~x ′|(2)
Portanto:~F1(2) =
1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (3)
e analogamente, observamos que:
~F2(1) =1
4πε0
q2q1
|~x ′ − ~x |3(~x ′ − ~x) = − 1
4πε0
q1q2
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) = −~F1(2)
(4)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
Se tivermos mais de duas cargas elétricas no vácuo, vale o
Princípio da Superposição, ou seja, os efeitos das interações
entre elas se se sobrepõem. Com efeito, no caso de N partículas
carregadas, temos que a força resultante sobre uma carga arbitrária
qi será:
~Fi =N∑j 6=i
~Fi (j) =qi
4πε0
N∑j 6=i
qj
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (5)
onde a soma é estendida a todas as demais cargas. Neste caso,
dizemos que a força resultante sobre qi deve-se à uma distribuição
de cargas discreta.
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
Se tivermos mais de duas cargas elétricas no vácuo, vale o
Princípio da Superposição, ou seja, os efeitos das interações
entre elas se se sobrepõem. Com efeito, no caso de N partículas
carregadas, temos que a força resultante sobre uma carga arbitrária
qi será:
~Fi =N∑j 6=i
~Fi (j) =qi
4πε0
N∑j 6=i
qj
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (5)
onde a soma é estendida a todas as demais cargas. Neste caso,
dizemos que a força resultante sobre qi deve-se à uma distribuição
de cargas discreta.
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
Se tivermos mais de duas cargas elétricas no vácuo, vale o
Princípio da Superposição, ou seja, os efeitos das interações
entre elas se se sobrepõem. Com efeito, no caso de N partículas
carregadas, temos que a força resultante sobre uma carga arbitrária
qi será:
~Fi =N∑j 6=i
~Fi (j) =qi
4πε0
N∑j 6=i
qj
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′) (5)
onde a soma é estendida a todas as demais cargas. Neste caso,
dizemos que a força resultante sobre qi deve-se à uma distribuição
de cargas discreta.
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
Distribuição Contínua de Cargas
Para uma distribuição linear do tipo:
λ =dq
dl=⇒ dq = λdl =⇒ q =
∫C
λdl (6)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫C
λ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′ (7)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
Distribuição Contínua de Cargas
Para uma distribuição linear do tipo:
λ =dq
dl=⇒ dq = λdl =⇒ q =
∫C
λdl (6)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫C
λ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′ (7)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
Distribuição Contínua de Cargas
Para uma distribuição linear do tipo:
λ =dq
dl=⇒ dq = λdl =⇒ q =
∫C
λdl (6)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫C
λ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′ (7)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
Distribuição Contínua de Cargas
Para uma distribuição linear do tipo:
λ =dq
dl
=⇒ dq = λdl =⇒ q =
∫C
λdl (6)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫C
λ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′ (7)
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Distribuição Contínua de Cargas
Para uma distribuição linear do tipo:
λ =dq
dl=⇒
dq = λdl =⇒ q =
∫C
λdl (6)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫C
λ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′ (7)
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Distribuição Contínua de Cargas
Para uma distribuição linear do tipo:
λ =dq
dl=⇒ dq = λdl
=⇒ q =
∫C
λdl (6)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫C
λ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′ (7)
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Distribuição Contínua de Cargas
Para uma distribuição linear do tipo:
λ =dq
dl=⇒ dq = λdl =⇒
q =
∫C
λdl (6)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫C
λ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′ (7)
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Distribuição Contínua de Cargas
Para uma distribuição linear do tipo:
λ =dq
dl=⇒ dq = λdl =⇒ q =
∫C
λdl (6)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫C
λ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′ (7)
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Exemplos
Distribuição Contínua de Cargas
Para uma distribuição linear do tipo:
λ =dq
dl=⇒ dq = λdl =⇒ q =
∫C
λdl (6)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫C
λ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′ (7)
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Exemplos
Distribuição Contínua de Cargas
Para uma distribuição linear do tipo:
λ =dq
dl=⇒ dq = λdl =⇒ q =
∫C
λdl (6)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫C
λ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′ (7)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
Para uma distribuição super�cial do tipo:
σ =dq
dS=⇒ dq = σdS =⇒ q =
∫S
σdS (8)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫S
σ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′2 (9)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
Para uma distribuição super�cial do tipo:
σ =dq
dS=⇒ dq = σdS =⇒ q =
∫S
σdS (8)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫S
σ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′2 (9)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
Para uma distribuição super�cial do tipo:
σ =dq
dS
=⇒ dq = σdS =⇒ q =
∫S
σdS (8)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫S
σ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′2 (9)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
Para uma distribuição super�cial do tipo:
σ =dq
dS=⇒
dq = σdS =⇒ q =
∫S
σdS (8)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫S
σ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′2 (9)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
Para uma distribuição super�cial do tipo:
σ =dq
dS=⇒ dq = σdS
=⇒ q =
∫S
σdS (8)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫S
σ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′2 (9)
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Exemplos
Para uma distribuição super�cial do tipo:
σ =dq
dS=⇒ dq = σdS =⇒
q =
∫S
σdS (8)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫S
σ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′2 (9)
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Exemplos
Para uma distribuição super�cial do tipo:
σ =dq
dS=⇒ dq = σdS =⇒ q =
∫S
σdS (8)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫S
σ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′2 (9)
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Exemplos
Para uma distribuição super�cial do tipo:
σ =dq
dS=⇒ dq = σdS =⇒ q =
∫S
σdS (8)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫S
σ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′2 (9)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
Para uma distribuição super�cial do tipo:
σ =dq
dS=⇒ dq = σdS =⇒ q =
∫S
σdS (8)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫S
σ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′2 (9)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
E �nalmente, para uma distribuição volumétrica do tipo:
ϕ =dq
dV=⇒ dq = ϕdV =⇒ q =
∫V
ϕdV (10)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫V
ϕ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 (11)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
E �nalmente, para uma distribuição volumétrica do tipo:
ϕ =dq
dV=⇒ dq = ϕdV =⇒ q =
∫V
ϕdV (10)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫V
ϕ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 (11)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
E �nalmente, para uma distribuição volumétrica do tipo:
ϕ =dq
dV
=⇒ dq = ϕdV =⇒ q =
∫V
ϕdV (10)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫V
ϕ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 (11)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
E �nalmente, para uma distribuição volumétrica do tipo:
ϕ =dq
dV=⇒
dq = ϕdV =⇒ q =
∫V
ϕdV (10)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫V
ϕ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 (11)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
E �nalmente, para uma distribuição volumétrica do tipo:
ϕ =dq
dV=⇒ dq = ϕdV
=⇒ q =
∫V
ϕdV (10)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫V
ϕ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 (11)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
E �nalmente, para uma distribuição volumétrica do tipo:
ϕ =dq
dV=⇒ dq = ϕdV =⇒
q =
∫V
ϕdV (10)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫V
ϕ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 (11)
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Exemplos
E �nalmente, para uma distribuição volumétrica do tipo:
ϕ =dq
dV=⇒ dq = ϕdV =⇒ q =
∫V
ϕdV (10)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫V
ϕ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 (11)
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Exemplos
E �nalmente, para uma distribuição volumétrica do tipo:
ϕ =dq
dV=⇒ dq = ϕdV =⇒ q =
∫V
ϕdV (10)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫V
ϕ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 (11)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
E �nalmente, para uma distribuição volumétrica do tipo:
ϕ =dq
dV=⇒ dq = ϕdV =⇒ q =
∫V
ϕdV (10)
então a equação (3) �ca:
~F =q0
4πε0
∫V
ϕ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 (11)
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A Lei de CoulombDistribuição Contínua de Cargas
Exemplos
Podemos dizer que todas as distribuições de cargas, discutidas aqui,
são casos particulares de uma distribuição volumétrica. De�nimos o
operador de distribuição delta de Dirac com as seguintes
propriedades:
δ(x − x ′) = 0; x 6= x ′
+∞∫−∞
δ(x − x ′)dx = 1
+∞∫−∞
f (x)δ(x − x ′)dx = f (x ′)
De�nimos, agora, a seguinte situação:
ϕ(~x ′) =∑i
qiδ(~xi − ~x ′) (12)
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Exemplos
Podemos dizer que todas as distribuições de cargas, discutidas aqui,
são casos particulares de uma distribuição volumétrica. De�nimos o
operador de distribuição delta de Dirac com as seguintes
propriedades:
δ(x − x ′) = 0; x 6= x ′
+∞∫−∞
δ(x − x ′)dx = 1
+∞∫−∞
f (x)δ(x − x ′)dx = f (x ′)
De�nimos, agora, a seguinte situação:
ϕ(~x ′) =∑i
qiδ(~xi − ~x ′) (12)
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Exemplos
Podemos dizer que todas as distribuições de cargas, discutidas aqui,
são casos particulares de uma distribuição volumétrica. De�nimos o
operador de distribuição delta de Dirac com as seguintes
propriedades:
δ(x − x ′) = 0; x 6= x ′
+∞∫−∞
δ(x − x ′)dx = 1
+∞∫−∞
f (x)δ(x − x ′)dx = f (x ′)
De�nimos, agora, a seguinte situação:
ϕ(~x ′) =∑i
qiδ(~xi − ~x ′) (12)
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Exemplos
Podemos dizer que todas as distribuições de cargas, discutidas aqui,
são casos particulares de uma distribuição volumétrica. De�nimos o
operador de distribuição delta de Dirac com as seguintes
propriedades:
δ(x − x ′) = 0; x 6= x ′
+∞∫−∞
δ(x − x ′)dx = 1
+∞∫−∞
f (x)δ(x − x ′)dx = f (x ′)
De�nimos, agora, a seguinte situação:
ϕ(~x ′) =∑i
qiδ(~xi − ~x ′) (12)
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Exemplos
Podemos dizer que todas as distribuições de cargas, discutidas aqui,
são casos particulares de uma distribuição volumétrica. De�nimos o
operador de distribuição delta de Dirac com as seguintes
propriedades:
δ(x − x ′) = 0; x 6= x ′
+∞∫−∞
δ(x − x ′)dx = 1
+∞∫−∞
f (x)δ(x − x ′)dx = f (x ′)
De�nimos, agora, a seguinte situação:
ϕ(~x ′) =∑i
qiδ(~xi − ~x ′) (12)
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Exemplos
Podemos dizer que todas as distribuições de cargas, discutidas aqui,
são casos particulares de uma distribuição volumétrica. De�nimos o
operador de distribuição delta de Dirac com as seguintes
propriedades:
δ(x − x ′) = 0; x 6= x ′
+∞∫−∞
δ(x − x ′)dx = 1
+∞∫−∞
f (x)δ(x − x ′)dx = f (x ′)
De�nimos, agora, a seguinte situação:
ϕ(~x ′) =∑i
qiδ(~xi − ~x ′) (12)
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Exemplos
Substituindo (12) em (11), obtemos:
~F =q0
4πε0
∫V
ϕ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 =
=q0
4πε0
∫V
∑i
qiδ(~xi − ~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 =
=q0
4πε0
∑i
qi
∫V
δ(~xi − ~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 =
=q0
4πε0
∑i
qi
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′)
que é a expressão, obtida anteriormente, para o caso de uma
distribuição discreta de cargas. De forma semelhante podemos
derivar as outras equações.
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Substituindo (12) em (11), obtemos:
~F =q0
4πε0
∫V
ϕ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 =
=q0
4πε0
∫V
∑i
qiδ(~xi − ~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 =
=q0
4πε0
∑i
qi
∫V
δ(~xi − ~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 =
=q0
4πε0
∑i
qi
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′)
que é a expressão, obtida anteriormente, para o caso de uma
distribuição discreta de cargas. De forma semelhante podemos
derivar as outras equações.
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Substituindo (12) em (11), obtemos:
~F =q0
4πε0
∫V
ϕ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 =
=q0
4πε0
∫V
∑i
qiδ(~xi − ~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 =
=q0
4πε0
∑i
qi
∫V
δ(~xi − ~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 =
=q0
4πε0
∑i
qi
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′)
que é a expressão, obtida anteriormente, para o caso de uma
distribuição discreta de cargas. De forma semelhante podemos
derivar as outras equações.
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Substituindo (12) em (11), obtemos:
~F =q0
4πε0
∫V
ϕ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 =
=q0
4πε0
∫V
∑i
qiδ(~xi − ~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 =
=q0
4πε0
∑i
qi
∫V
δ(~xi − ~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 =
=q0
4πε0
∑i
qi
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′)
que é a expressão, obtida anteriormente, para o caso de uma
distribuição discreta de cargas. De forma semelhante podemos
derivar as outras equações.
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Exemplos
Substituindo (12) em (11), obtemos:
~F =q0
4πε0
∫V
ϕ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 =
=q0
4πε0
∫V
∑i
qiδ(~xi − ~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 =
=q0
4πε0
∑i
qi
∫V
δ(~xi − ~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 =
=q0
4πε0
∑i
qi
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′)
que é a expressão, obtida anteriormente, para o caso de uma
distribuição discreta de cargas. De forma semelhante podemos
derivar as outras equações.
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Exemplos
Substituindo (12) em (11), obtemos:
~F =q0
4πε0
∫V
ϕ(~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 =
=q0
4πε0
∫V
∑i
qiδ(~xi − ~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 =
=q0
4πε0
∑i
qi
∫V
δ(~xi − ~x ′)~x − ~x ′
|~x − ~x ′|3d~x ′3 =
=q0
4πε0
∑i
qi
|~x − ~x ′|3(~x − ~x ′)
que é a expressão, obtida anteriormente, para o caso de uma
distribuição discreta de cargas. De forma semelhante podemos
derivar as outras equações.
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Exemplos
Exemplos
1. Duas cargas puntiformes +q e -q estão situadas no vácuo,
separadas por uma distância 2d. Com que força atuam sobre uma
terceira carga q', situada sobre a mediatriz do segmento que liga as
duas cargas, a uma distância D do ponto médio deste segmento?
A força resultante do sistema é dada por:
|~F | = 2|~F1|cosθ == 2|~F1|d
r(13)
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Exemplos
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1. Duas cargas puntiformes +q e -q estão situadas no vácuo,
separadas por uma distância 2d. Com que força atuam sobre uma
terceira carga q', situada sobre a mediatriz do segmento que liga as
duas cargas, a uma distância D do ponto médio deste segmento?
A força resultante do sistema é dada por:
|~F | = 2|~F1|cosθ == 2|~F1|d
r(13)
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1. Duas cargas puntiformes +q e -q estão situadas no vácuo,
separadas por uma distância 2d. Com que força atuam sobre uma
terceira carga q', situada sobre a mediatriz do segmento que liga as
duas cargas, a uma distância D do ponto médio deste segmento?
A força resultante do sistema é dada por:
|~F | = 2|~F1|cosθ == 2|~F1|d
r(13)
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1. Duas cargas puntiformes +q e -q estão situadas no vácuo,
separadas por uma distância 2d. Com que força atuam sobre uma
terceira carga q', situada sobre a mediatriz do segmento que liga as
duas cargas, a uma distância D do ponto médio deste segmento?
A força resultante do sistema é dada por:
|~F | = 2|~F1|cosθ == 2|~F1|d
r(13)
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1. Duas cargas puntiformes +q e -q estão situadas no vácuo,
separadas por uma distância 2d. Com que força atuam sobre uma
terceira carga q', situada sobre a mediatriz do segmento que liga as
duas cargas, a uma distância D do ponto médio deste segmento?
A força resultante do sistema é dada por:
|~F | = 2|~F1|cosθ == 2|~F1|d
r(13)
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Exemplos
Usando a Lei de Coulomb, obtemos:
|~F | = 21
4πε0
qq′
r2d
r=
qq′
2πε0
d
r3(14)
Portanto:
~F =qq′
2πε0
d
(d2 + D2)32
r̂ (15)
ou seja, a força é paralela ao segmento que une as duas cargas e
aponta para -q. Se q' tiver sinal oposto a q, o sentido de ~F seria o
oposto.
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Exemplos
Usando a Lei de Coulomb, obtemos:
|~F | = 21
4πε0
qq′
r2d
r=
qq′
2πε0
d
r3(14)
Portanto:
~F =qq′
2πε0
d
(d2 + D2)32
r̂ (15)
ou seja, a força é paralela ao segmento que une as duas cargas e
aponta para -q. Se q' tiver sinal oposto a q, o sentido de ~F seria o
oposto.
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Usando a Lei de Coulomb, obtemos:
|~F | = 21
4πε0
qq′
r2d
r=
qq′
2πε0
d
r3(14)
Portanto:
~F =qq′
2πε0
d
(d2 + D2)32
r̂ (15)
ou seja, a força é paralela ao segmento que une as duas cargas e
aponta para -q. Se q' tiver sinal oposto a q, o sentido de ~F seria o
oposto.
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Usando a Lei de Coulomb, obtemos:
|~F | = 21
4πε0
qq′
r2d
r=
qq′
2πε0
d
r3(14)
Portanto:
~F =qq′
2πε0
d
(d2 + D2)32
r̂ (15)
ou seja, a força é paralela ao segmento que une as duas cargas e
aponta para -q. Se q' tiver sinal oposto a q, o sentido de ~F seria o
oposto.
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Usando a Lei de Coulomb, obtemos:
|~F | = 21
4πε0
qq′
r2d
r=
qq′
2πε0
d
r3(14)
Portanto:
~F =qq′
2πε0
d
(d2 + D2)32
r̂ (15)
ou seja, a força é paralela ao segmento que une as duas cargas e
aponta para -q. Se q' tiver sinal oposto a q, o sentido de ~F seria o
oposto.
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Exemplos
2. Uma carga Q está distribuída uniformemente sobre um anel
circular vertical de raio ρ e espessura desprezível. Qual é a força
exercida sobre uma carga puntiforme q situada sobre o eixo
horizontal que passa pelo centro do anel, a uma distãncia D do seu
plano?
A densidade linear de carga sobre o anel é:
λ =Q
2πρ(16)
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Exemplos
2. Uma carga Q está distribuída uniformemente sobre um anel
circular vertical de raio ρ e espessura desprezível. Qual é a força
exercida sobre uma carga puntiforme q situada sobre o eixo
horizontal que passa pelo centro do anel, a uma distãncia D do seu
plano?
A densidade linear de carga sobre o anel é:
λ =Q
2πρ(16)
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2. Uma carga Q está distribuída uniformemente sobre um anel
circular vertical de raio ρ e espessura desprezível. Qual é a força
exercida sobre uma carga puntiforme q situada sobre o eixo
horizontal que passa pelo centro do anel, a uma distãncia D do seu
plano?
A densidade linear de carga sobre o anel é:
λ =Q
2πρ(16)
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2. Uma carga Q está distribuída uniformemente sobre um anel
circular vertical de raio ρ e espessura desprezível. Qual é a força
exercida sobre uma carga puntiforme q situada sobre o eixo
horizontal que passa pelo centro do anel, a uma distãncia D do seu
plano?
A densidade linear de carga sobre o anel é:
λ =Q
2πρ(16)
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Exemplos
Um elemento de linha dl do anel que subentende um ãngulo dφ no
seu centro, onde φ é o ângulo azimutal no plano do anel, tem uma
carga dQ = λdl = λρdφ e exerce uma força sobre a carga q dada
por:
|d~F | = qdQ
4πε0r2cosθ =
λqρdφ
4πε0r2D
r=
Q2πρqDρdφ
4πε0r3=
QqDdφ
8π2ε0r3(17)
Integrando em φ, obtemos:
|~F | = QqD
8π2ε0r3∗ 2π =⇒ ~F =
QqD
4πε0(ρ2 + D2)32
r̂ (18)
Em particular, se D >> ρ, então ~F = Qq4π2ε0D2 r̂ , mostrando que o
anel se comporta, a distâncias muito maiores que suas dimensões,
como uma carga puntiforme Q.
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Exemplos
Um elemento de linha dl do anel que subentende um ãngulo dφ no
seu centro, onde φ é o ângulo azimutal no plano do anel, tem uma
carga dQ = λdl = λρdφ e exerce uma força sobre a carga q dada
por:
|d~F | = qdQ
4πε0r2cosθ =
λqρdφ
4πε0r2D
r=
Q2πρqDρdφ
4πε0r3=
QqDdφ
8π2ε0r3(17)
Integrando em φ, obtemos:
|~F | = QqD
8π2ε0r3∗ 2π =⇒ ~F =
QqD
4πε0(ρ2 + D2)32
r̂ (18)
Em particular, se D >> ρ, então ~F = Qq4π2ε0D2 r̂ , mostrando que o
anel se comporta, a distâncias muito maiores que suas dimensões,
como uma carga puntiforme Q.
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Exemplos
Um elemento de linha dl do anel que subentende um ãngulo dφ no
seu centro, onde φ é o ângulo azimutal no plano do anel, tem uma
carga dQ = λdl = λρdφ e exerce uma força sobre a carga q dada
por:
|d~F | = qdQ
4πε0r2cosθ =
λqρdφ
4πε0r2D
r=
Q2πρqDρdφ
4πε0r3=
QqDdφ
8π2ε0r3(17)
Integrando em φ, obtemos:
|~F | = QqD
8π2ε0r3∗ 2π =⇒ ~F =
QqD
4πε0(ρ2 + D2)32
r̂ (18)
Em particular, se D >> ρ, então ~F = Qq4π2ε0D2 r̂ , mostrando que o
anel se comporta, a distâncias muito maiores que suas dimensões,
como uma carga puntiforme Q.
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Exemplos
Um elemento de linha dl do anel que subentende um ãngulo dφ no
seu centro, onde φ é o ângulo azimutal no plano do anel, tem uma
carga dQ = λdl = λρdφ e exerce uma força sobre a carga q dada
por:
|d~F | = qdQ
4πε0r2cosθ =
λqρdφ
4πε0r2D
r=
Q2πρqDρdφ
4πε0r3=
QqDdφ
8π2ε0r3(17)
Integrando em φ, obtemos:
|~F | = QqD
8π2ε0r3∗ 2π
=⇒ ~F =QqD
4πε0(ρ2 + D2)32
r̂ (18)
Em particular, se D >> ρ, então ~F = Qq4π2ε0D2 r̂ , mostrando que o
anel se comporta, a distâncias muito maiores que suas dimensões,
como uma carga puntiforme Q.
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Exemplos
Um elemento de linha dl do anel que subentende um ãngulo dφ no
seu centro, onde φ é o ângulo azimutal no plano do anel, tem uma
carga dQ = λdl = λρdφ e exerce uma força sobre a carga q dada
por:
|d~F | = qdQ
4πε0r2cosθ =
λqρdφ
4πε0r2D
r=
Q2πρqDρdφ
4πε0r3=
QqDdφ
8π2ε0r3(17)
Integrando em φ, obtemos:
|~F | = QqD
8π2ε0r3∗ 2π =⇒
~F =QqD
4πε0(ρ2 + D2)32
r̂ (18)
Em particular, se D >> ρ, então ~F = Qq4π2ε0D2 r̂ , mostrando que o
anel se comporta, a distâncias muito maiores que suas dimensões,
como uma carga puntiforme Q.
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Um elemento de linha dl do anel que subentende um ãngulo dφ no
seu centro, onde φ é o ângulo azimutal no plano do anel, tem uma
carga dQ = λdl = λρdφ e exerce uma força sobre a carga q dada
por:
|d~F | = qdQ
4πε0r2cosθ =
λqρdφ
4πε0r2D
r=
Q2πρqDρdφ
4πε0r3=
QqDdφ
8π2ε0r3(17)
Integrando em φ, obtemos:
|~F | = QqD
8π2ε0r3∗ 2π =⇒ ~F =
QqD
4πε0(ρ2 + D2)32
r̂ (18)
Em particular, se D >> ρ, então ~F = Qq4π2ε0D2 r̂ , mostrando que o
anel se comporta, a distâncias muito maiores que suas dimensões,
como uma carga puntiforme Q.
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Um elemento de linha dl do anel que subentende um ãngulo dφ no
seu centro, onde φ é o ângulo azimutal no plano do anel, tem uma
carga dQ = λdl = λρdφ e exerce uma força sobre a carga q dada
por:
|d~F | = qdQ
4πε0r2cosθ =
λqρdφ
4πε0r2D
r=
Q2πρqDρdφ
4πε0r3=
QqDdφ
8π2ε0r3(17)
Integrando em φ, obtemos:
|~F | = QqD
8π2ε0r3∗ 2π =⇒ ~F =
QqD
4πε0(ρ2 + D2)32
r̂ (18)
Em particular, se D >> ρ, então ~F = Qq4π2ε0D2 r̂ , mostrando que o
anel se comporta, a distâncias muito maiores que suas dimensões,
como uma carga puntiforme Q.
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