Revisão de conceitos

Introdução à eletrónica médicaJoão Fermeiro

Aula 2

Objetivos

• Rever as grandezas elétricas e elementos de circuito passivos.

• Considerações sobre resistência/indutância/capacitância equivalente.

• Rever análise de circuito DC, 1ª e 2ª Lei de Kirchhoff.

• Elaborar alguns exercícios.

• Existem 2 tipos de carga elétrica , positiva e negativa, que provêm de protões e eletrões respetivamente.

• A unidade (SI) da carga elétrica é o Coulomb (C). Este é uma grandeza quantitativa adimensional parecida ao mole. Onde:

1𝐶 = 6,24 × 1018 cargas

• Logo a carga de um eletrão representa-se por

Grandezas elétricas - Carga

𝑞𝑒 = −1,602 × 10−19𝐶

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Grandezas elétricas – Corrente elétrica

• Corrente é o fluxo de cargas elétricas por unidade de tempo num condutor. E é definido pela equação

• A sua unidade de grandeza (SI) é o Ampere (A) onde 1𝐴 = 1𝐶/1𝑠logo podemos dizer que 1 A corresponde ao fluxo de 6,24 × 1018

cargas elétricas por segundo.

i(𝑡) =𝑑𝑞

𝑑𝑡

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Grandezas elétricas – Corrente elétrica

• Como a carga pode ser positiva e negativa a corrente também pode se positiva ou negativa.

• Por convenção o sentido da corrente elétrica corresponde ao sentido do campo elétrico no interior do condutor, que vai do polo positivo para o negativo e chama-se sentido convencional.

• O fluxo de cargas negativas (eletrões) acontece no sentido contrário do polo negativo para o polo positivo e é chamado de sentido real.

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Grandezas elétricas - Tensão

• A tensão ou força eletromotriz ou diferença de potencial é a expressão quantitativa da diferença de potencial da carga elétrica entre dois pontos num campo elétrico.

• A sua unidade medida (SI) é o volt (V). O símbolo usado para representar tensão em corrente contínua (DC) é letra V ou U e para representar uma fonte de corrente alternada (AC) é υ(t) ou apenas υ.

• A tensão entre dois pontos pode ser definida como a energia (w) necessária para mover uma carga (q) entre dois pontos A e B e é dado por

𝑣𝐴𝐵 = 𝑣(𝑡) =𝑑𝑤

𝑑𝑞

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Grandezas elétricas - Tensão

• Logo podemos dizer que 1 volt é a energia de 1 joule consumida quando carga elétrica de 1 Coulomb flui pelo circuito.

1𝑉 = 1𝐽/1𝐶

• A tensão não está dependente do caminho que leva a carga elétrica do ponto A até B. Pode-se fazer a analogia à energia potencial, neste caso em tanto maior é a energia potencial quanto maior a diferença de alturas.

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Grandezas elétricas - Potência

• Potência é a taxa de transferência de energia, a sua unidade é o watt (W)

• A potência é determinada pelo produto da diferença de potencial pela corrente num circuito. Por convenção uma potência positiva representa que a energia está a ser absorvida ou consumida pelo elemento do circuito. E uma potência negativa representa que a energia está a ser gerada pelo ou extraída do elemento do circuito, exemplo uma bateria.

P =𝑑𝑤

𝑑𝑡=𝑑𝑤

𝑑𝑞

𝑑𝑞

𝑑𝑡= υ𝑖

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Grandezas elétricas - Potência

• A potência dissipada por uma determinada resistência é sempre positiva e é dada por

• No caso

𝑃 = 𝑖υ =υ2

𝑅= 𝑖2𝑅

3Ω

6V

𝐼 =𝑉

𝑅≫ 𝐼 =

6

3= 2𝐴

𝑃𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 = −𝐼 × 𝑉 = −2 × 6 = −12𝑊

𝑃𝑅 = 𝐼2 × 𝑅 = 22 × 3 = 12𝑊

Elementos de circuito elétrico

• Resistência

• Bobina

• Condensador

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Resistência

• Uma resistência é um elemento de circuito que oferece resistência

à corrente elétrica, a sua unidade é o Ohm (Ω) e 1Ω = Τ1𝑉 1𝐴.

• Teoricamente o fio condutor de um circuito tem resistência zero e

uma separação entre elementos do circuito (sem ligação) tem

resistência infinita.

Resistência

• Uma resistência considerada ideal deve reger-se pela lei de Ohm,

que relaciona a relação entre diferença de potencial e corrente

• Cada material tem uma propriedade de resistência (R) intrínseca

chamada resistividade (ρ) e uma propriedade de condutância

intrínseca (inverso de resistência, G) chamada condutividade (σ)

que é o inverso da resistividade.

• A condutância é dada em Siemens (S) e rescrevendo a Lei de Ohm

para esta fica

υ = 𝑖𝑅

𝐺 = Τ𝑖 υ

Resistência equivalente

• Se a mesma corrente fluir através de N resistências diz-se que

estes estão em série. Numa malhar fechada com N resistências, a

lei das malhas diz-nos que

• Logo a resistência equivalente é

−𝑉𝑆 + 𝐼𝑅1 +⋯+ 𝐼𝑅𝑁 = 0

𝑅𝐸𝑄 = Τ𝑉𝑆 𝐼 = 𝑅1 +⋯+ 𝑅𝑁 =

𝑖=1

𝑁

𝑅𝑖

Resistência equivalente

• Se a mesma diferença de potencial fluir através de N resistências

diz-se que estes estão em paralelo. Para representar que estão em

paralelo é usado o símbolo ∥ da seguinte forma

• Para o seguinte circuito retiramos através da lei dos nós que

−I + Τ𝑉𝑆 𝑅1 + Τ𝑉𝑆 𝑅2 +⋯+ Τ𝑉𝑆 𝑅𝑁 = 0

𝑅𝐸𝑄 = 𝑅1 ∥ 𝑅2 ∥ ⋯ ∥ 𝑅𝑁

Resistência equivalente

• Escrevendo na forma de Resistência equivalente

• Para um caso em que temos apenas duas resistências em paralelo

temos

𝑅𝐸𝑄 = 𝑅1 ∥ 𝑅2 =𝑅1𝑅2

𝑅1 + 𝑅2

𝑅𝐸𝑄 =𝑉𝑆𝐼=

1

1𝑅1

+1𝑅2

+⋯+1𝑅𝑁

Resistência equivalente

• Encontre o 𝑅𝐸𝑄 e a potência fornecida pela fonte no seguinte

circuito

Resistência equivalente

2 ∥ 2 = 1Ω

3 + 1 = 4Ω12 ∥ 12 ∥ 12 = 4Ω

4 ∥ 4 = 2Ω

2 + 2 = 4Ω

Resistência equivalente

• Resolução

• E assim retiramos

𝑅𝐸𝑄 = 2Ω + 12Ω ∥ 12Ω ∥ 12Ω ∥ 3Ω + 2Ω ∥ 2Ω

𝑅𝐸𝑄 = 2 +1

112

+112

+112

∥ 3 +1

12+12

𝑅𝐸𝑄 = 2 + 4 ∥ 3 + 1

𝑅𝐸𝑄 = 2 +1

14+14

= 4Ω

𝐼 =𝑉𝑆𝑅𝐸𝑄

=5

4= 1.25 𝐴 𝑃 = 𝑉𝑆 × 𝐼 = 5 × 1.25 = 6.25 𝑊

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Resistência equivalente

Determine a resistência equivalente do seguinte circuito

Bobina

• A Bobine é um elemento passivo capaz de armazenar energia sob a

forma de campo magnético e é formado por um enrolamento de

um fio condutor isolado à volta de um núcleo de material

ferromagnético.

• A unidade da indutância é o henry (H) onde 1 𝐻 = 1 𝑉 𝑠 /𝐴. A

relação entre a diferença de potencial e a indutância é dada por

• Fisicamente a corrente não pode mudar instantaneamente através

de uma bobine, pois seria necessária uma tensão infinita (a

derivada da corrente no momento instantâneo da mudança de

valor dá infinito).

𝜐 = 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡

Bobina

• Por conveniência num circuito com apenas correntes contínuas

(DC) a bobine funciona como um curto circuito pois não existe

queda de tensão aos terminais da mesma.

• Como é um elemento passivo ele absorve potência de acordo com

• Neste caso a potência não é consumida sob a forma de calor como

acontece no resistor, mas sim sob a forma de campo magnético

durante um período de tempo. Esta potência armazenada pode ser

“recuperada”/devolvida ao circuito. Neste caso se a potência for

negativa a energia está a ser extraída da bobine, e se for positiva

está a ser armazenada pela bobine.

𝑃 = 𝜐𝑖 = 𝐿𝑖𝑑𝑖

𝑑𝑡

Indutância equivalente

• À semelhança da resistência equivalente, podemos determinar uma

indutância equivalente para circuitos com N bobines.

• Como no caso das resistências, caso tenhamos N bobines em série, a

indutância equivalente é dada por

• Caso tenhamos N bobines em paralelo, a indutância equivalente é dada por

• Para o caso de duas bobines em paralelo temos

𝐿𝐸𝑄 = 𝐿1 ∥ 𝐿2 ∥ ⋯ ∥ 𝐿𝑁

𝐿𝐸𝑄 = 𝐿1 + 𝐿2 +⋯+ 𝐿𝑁 =

𝑖=1

𝑁

𝐿𝑖

𝐿𝐸𝑄 = 𝐿1 ∥ 𝐿2 =𝐿1𝐿2

𝐿1 + 𝐿2

Condensador

• O condensador é um dispositivo capaz de armazenar energia sob a forma

de campo elétrico ao separar adequadamente as cargas polarizadas por

uma tensão.

• Um condensador simples consiste de duas placas paralelas de material

condutor separadas por um espaço, geralmente preenchido por um meio

dielétrico que possui uma resistência muito elevada. A carga armazenada é

proporcional à diferença de potencial externa e é dada por

• Onde C representa a capacidade do condensador. A unidade de medida da

capacidade é o farad (F) e 1 F = 1 𝐶/𝑉. Em termos da corrente temos

𝑞(𝑡) = 𝐶𝜐(𝑡)

𝑖 =𝑑𝑞

𝑑𝑡= 𝐶

𝑑𝜐

𝑑𝑡

Condensador

• A capacidade é influenciada por três fatores:

– A permeabilidade do meio dielétrico que preenche o espaço

entre placas (𝜀 = 8.854 × 10−12 𝐹/𝑀 para o ar)

– A distância entre as placas (𝑑)

– A área de secção onde existe sobreposição das placas (A)

• Da maneira que o condensador é constituído, isto é o material

dielétrico não conduz correntes contínuas (DC), podemos comparar

um condensador com um circuito aberto, quando existem apenas

correntes contínuas.

𝐶 =𝜀𝐴

𝑑

Capacidade equivalente

• Contrariamente aos dois elementos de circuito anteriores, caso

tenhamos N condensadores em série, a capacidade equivalente é

dada por

• Caso tenhamos N condensadores em paralelo, a capacidade

equivalente é dada por

𝐶𝐸𝑄 = 𝐶1 ∥ 𝐶2 ∥ ⋯ ∥ 𝐶𝑁

𝐶𝐸𝑄 = 𝐶1 + 𝐶2 +⋯+ 𝐶𝑁 =

𝑖=1

𝑁

𝐶𝑖

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1ª Lei de Kirchhoff (KCL)

• A corrente flui apenas em circuito fechado. Não existe perda de corrente enquanto flui pelo circuito porque a carga final não pode acumular em nenhum elemento do circuito e a carga tem de ser conservada.

• Como a carga não pode ser criada e tem de ser conservada, a soma das correntes num determinado nó (um ponto do circuito onde se ligam no mínimo três elementos) tem de ser igual a zero.

𝑛=1

𝑁

𝑖𝑛 𝑡 = 0

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1ª Lei de Kirchhoff (KCL)

• Correntes que chegam ⇒ sinal positivo

• Correntes que saem ⇒ sinal negativo

Outra forma de pensar: σ 𝐼𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑚 = σ𝐼𝑠𝑎𝑒𝑚

• Logo para o seguinte circuito

𝐼1 = 𝐼2 + 𝐼3

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1ª Lei de Kirchhoff (KVL)

• Determine I3 e I4

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1ª Lei de Kirchhoff (KVL)

• Determine I3 e I4, I6 e I7

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1ª Lei de Kirchhoff (KCL)

• Aplique a lei das correntes

de Kirchhoff

Nó B : 𝐼1 + 𝐼2 = 𝐼3Nó F : 𝐼3 = 𝐼1 + 𝐼2

• Observa-se que as equações dos nós B e F são na realidade as mesmas, ou seja, a aplicação da lei das correntes de Kirchhoff ao nó F não aumenta a informação sobre o circuito.

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1ª Lei de Kirchhoff (KCL)

Nó B : I1 + I2 = I3Nó F : I3 = I1 + I2

Assim, o número de equaçõesindependentes que se podeobter com a aplicação da lei dascorrentes de Kirchhoff numcircuito elétrico é igual aonúmero de nós menos um.

Número de equações independentes = N - 1

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2ª Lei de Kirchhoff (KVL)

• À semelhança da 1ª lei de Kirchhoff, a 2ª lei (KVL) diz-nos que a soma de todas as tensões dentro de uma malha fechada é zero, ou seja

• Onde N é o número de quedas de tensão numa malha fechada, com υ𝑖 𝑡 simbolizando as quedas de tensão individuais. O sinal dado a cada queda de tensão é dado pelo primeiro sinal encontrado (no primeiro terminal do elemento do circuito) ao fazermos a análise à volta da malha.

𝑖=1

𝑁

υ𝑖 𝑡 = 0

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2ª Lei de Kirchhoff (KVL)

Dois nós: B e FTrês malhas: ABDFEA, BCGFDB e ABCGFEA

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2ª Lei de Kirchhoff (KVL)

Procedimento:1) Atribuir sentidos arbitrários para as correntes (já realizado com a

primeira Lei de Kirchhoff )

2) Polarizar as fontes de Tensão do positivo para o negativo.

3) Polarizar as quedas de tensão nas resistências no sentidoconvencional da corrente elétrica

E1

V1

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2ª Lei de Kirchhoff (KVL)

4) percorrer as malhas somando algebricamente as tensões.

Exemplo

Na malha externa ABCGFEApodia ser aplicada a lei dastensões de Kirchhoff. Noentanto, tal como no caso dalei das correntes, a equaçãoresultante seria dependentedas duas já obtidas. Portanto,esta equação seria inútil.

Divisor de tensão

• Um divisor de tensão permite calcular facilmente a diferença de

potencial aos terminais de uma determinada resistência em série.

• Considere o seguinte circuito em que a 𝑅𝐸𝑄 = 𝑅1 + 𝑅2

𝐼 =𝑉𝑆𝑅𝐸𝑄

=𝑉𝑆

𝑅1 + 𝑅2

𝑉𝑜𝑢𝑡 = 𝐼𝑅2 = 𝑉𝑆𝑅2

𝑅1 + 𝑅2

𝐼

𝑉𝑗 = 𝑉𝑆𝑅𝑗

𝑅1 + 𝑅2 +⋯+ 𝑅𝑁

Podemos generalizar para N resistências em

série a equação que nos dá a diferença de

potencial aos terminais de 𝑅j é

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Exercício 1

• Não existem nós.

• Aplicando a Lei das malhas temos −15 + 3,3𝐼 + 4,7𝐼 + 1𝐼 + 6 = 0

• Logo I = 1 A

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Exercício 2

• Determine a corrente em cada uma das resistências

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Exercício 3

• Determine a corrente I1

𝐼1

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Exercício 4

• Determine as correntes do circuito

𝐼1

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Exercício 5

• Determine Vout para :

• Vin=5, R1=100, R2=100

• Vin=5, R1=1000, R2=2000

• Vin=5, R1=7000, R2=5000

Bibliografia

• Correia, J.H. (2013). Introdução à Instrumentação Médica. Lisboa: LIDEL

• Khandpur, R.S. (2004) Biomedical Instrumentation: Technology and Applications. New York: Mcgraw-hill.