aula 9 (programacao linear)

8/8/2019 Aula 9 (Programacao Linear)

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Programao Linear

Mtodos Aplicados

Programao Linear

A programao linear uma das muitastcnicas analticas recentementedesenvolvidas que se tm mostrado teis naresoluo de certos tipos de problemasempresariais.

Programao Linear

Esses mtodos quantitativos de resoluo deproblemas, como muitos aplicados napesquisa operacional, so baseados emconceitos matemticos e estatsticos.

A programao linear um modelo que podeser utilizado no processo de tomada de

deciso administrativa.

Programao Linear

Os problemas de programao linearreferem-se distribuio eficiente derecursos limitados entre diversas alternativas,com a finalidade de atender a umdeterminado objetivo, por exemplo,maximizar lucros ou minimizar custos.

necessrio dizer quais atividadesconsomem quais recursos e em queproporo feito este consumo. Estasinformaes so fornecidas por equaes ouinequaes lineares, uma para cada recurso.Ao conjunto destas equaes ou inequaesse d o nome de conjunto de restries domodelo.

Programao linear Existem diversas maneiras de distribuir os

escassos recursos entre as diversasalternativas, considerando que qualquerempresrio tem restries de capital, mo-de-obra e terras.

Entretanto deseja-se ao mesmo tempo emque se satisfaz as restries, achar adistribuio que satisfaa o objetivodesejado, ou seja, maximizar lucros ouminimizar custos.


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Programao linear

Em empresrio deseja saber quanto de cadaproduto ele deve produzir para maximizar olucro de sua empresa.

Cada produto chamado de x. Se eleproduzir 3 produtos, sero x1, x2, x3.

Se ele produzir n produtos, sua produoser dada porx1, x2, x3, ... , xn

Lucro Total

O lucro unitrio de cada produto dado pelaletra c.

Assim o lucro de x1 dado porc1x1 Assim o lucro de x dado or c x

Se ele produzir n produtos o lucro total serdado por

Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + ... + cnxn

Funo Objetivo

Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + ... + cnxn Esta funo chamada de funo objetivo,

pois ela determina o objetivo do empresrio.

O obetivo do em resrio maximizar estafuno. Para isto ele deve saber quantoproduzir de cada produto, ou seja, saber asquantidades de

x1, x2, x3, ... , xn

Restries

Conforme foi dito anteriormente, todoempresrio enfrenta restries de recursosprodutivos, como capital, terra, trabalho.

Estas restries so identificadas pela letra b.

Assim a restrio de capital pode ser dadapor b

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, a restrio de trabalho pode ser dadaporb2 e assim por diante.

RestriesDesta forma o consumo total de capital para

a produo de n produtos deve ser menorque a disponibilidade total de capital.

Uma funo deste tipo chamada derestrio

a11x1 + a11x2 + a13x3 + ... + a1nxn b1 Os valores a11, a12 ata1n a quantidade de

capital gasta pelo produto 1, pelo produto2 at o produto n.

FORMULAO DE MODELOS DE PROGRAMAO

LINEAR

O problema consiste em determinar os valores dex1, x2, x3, ... , xn, que maximize a funo objetivo:

Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + ... + cnxnSabendo que x1, x2, x3, ... , xn devem satisfazer o

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn b2................................................................

am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn bme que x10; x20; x30; ... ; xn0


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Pode-se representar este problema de formamais compacta, ou seja:

Maximizar

n

j

jjxcZ1

Sujeito s restries

(i = 1,2,3, ... , m)

e

xj 0 (j=1,2,3, ... , n)

Restries

Este modelo pode ser associado a uma empresa que tem mrecursos disponveis para a realizao de n atividades. Tem-seento, para j=1,2,3, ... , n e i = 1,2,3, ... , m:

= quantidade do recurso i disponvel para as n atividades.Osib

0b

= nvel de produo da atividade j. Os (j=1,2,3, ... , n) soas incgnitas do problema.

= lucro unitrio do produto j = quantidade do recurso i consumida na produo de uma

unidade do produto j.

i

jx jx

jc

ija

Forma Matricial

Verifica-se ento que a funo objetivo a ser maximizada representa olucro total da empresa nas n atividades. As m restries informam queo total gasto no recurso i nas n atividades tende a ser menor ou igual quantidade disponvel daquele recurso.

A notao matricial do modelo se torna:

n

mnmnmm

n

n

cccc

b

bb

x

x

x

x

aaa

aaa

aaa

A .........

...

............

...

...

212

1

2

1

21

22221

11211

Forma Matricial Simplificada

Max Z = cx

sujeito a

Ax 0

Esta forma exige a soluo algbrica, para

melhor entendimento

Exemplo Um produtor agrcola precisa decidir a rea de

plantio de soja e de milho. Dados os preos dosprodutos e os custos de produo. Verificou-se que omilho gera uma renda lquida de R$ 490/ha,enquanto a soja gera uma renda lquida de

, .ha. E deseja saber quanto deve plantar de milho e desoja, de forma a obter a maior renda lquida possvel.

Como vimos toda a produo est sujeita a restriode recursos disponveis como mo-de-obra, horasmquina, e terra e capital. Desta forma este produtortem uma quantidade limitada destes recursos quedevem ser levados em conta.

Exemplo Suponha que a disponibilidade de recursos

seja a seguinte:

Mo-de-obra 2150 homens dia

Horas m uina 4500 horas m uina

Terra 750 ha de rea cultivvel


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Exemplo

Temos portanto 3 restries para a produo: mo-de-obra, horas mquina, e terra.

Sabe-se que o milho usa as seguintes quantidadesde recursos: 5,7 homens dia/ha e 3,1 horas

.

Sabe-se que a soja usa as seguintes quantidadesde recursos por ha: 2,1 homens dia/ha e 5,6 horasmquina/ha

Com estas informaes podemos montar o seguinteproblema:

Exemplo

Assim deseja-se maximizar a Receita lquidadada pela seguinte funo:

RL = 490 x1 + 560x2Onde 490 a receita l uida do milho or ha e

560 a receita lquida da soja por ha.

Assim necessrio determinar a rea de milho(x1) e a rea de soja (x2) de tal forma que areceita lquida da propriedade seja mxima.

Restries de recursos mo-de-obra

Sabe-se que a propriedade dispe de 2150homens dia durante o ano agrcola, e que omilho usa 5,7 homens dia por ha e a soja 2,1homens dia por ha. Assim a restrio de mode obra ser dada por:

5,7 x1 + 2,1 x2 2150

Restries de recursos horas-mquina

Sabe-se que a propriedade dispe de 4500horas mquina durante o ano agrcola, e queo milho usa 3,1 horas mquina por ha e asoja 7,6 horas mquina por ha. Assim arestrio de mquinas ser dada por:

3,1x1 + 7,6 x2 4500

Restrio de recursos - terra Sabe-se que a propriedade dispe de 750

ha. Assim a restrio de terra ser dada por:

Terra x1 + x2 750

Alm disso tem-se as restri es de nonegatividade, onde x1 0 e x2 0.

Assim o modelo final a ser resolvido :

O problema Maximizar:RL = 490 x1 + 560x2 Sujeito s restries de:Mo de obra: 5,7 x1 + 2,1 x2 2150Mquinas: 3,1x1 + 7,6 x2 4500Terra: x1 + x2 750.x1 e x2 0.O prximo passo transformar as

desigualdades em igualdades


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Modelo

RL = 490 x1 + 560x2 5,7 x1 + 2,1 x2 = 2150

3,1x1 + 7,6 x2 = 4500

=1 2

O prximo passo fazer x1 = f (x2), para asfunes de restrio de recursos.

Exemplo

Mo de obra x1 = 377,2 0,368 x2 Horas mquina x1 = 1451,6 2,45x2 Terra x1 = 750 - x2

omo temos apenas uas var ve s x1 e x2(milho e soja respectivamente), podemosencontrar a soluo graficamente. Admite-seque a as reas de produo no podemassumir valores negativos, portanto tem-se aprimeira restrio dada por valores positivosde x1 e x2

Restrio de mo-de-obra

Mo de obra x1 = 377,2 0,368 x2 Quando x2 = 0 , x1 = 377,2

Quando x1 = 0, x2 = 1025

--

Soluo Geomtrica

x2

rea que satisfaz a restrio de horasmquina

rea que satisfaz a restrio de

x1

rea que satisfaz a restrio de

mo-de-obra

terra

rea de Solues Possveis

D

x2

readesolues ossveis

A B

C

x1

Achar a soluo tima O processo que realiza a tcnica de

encontrar algebricamente, a soluo tima deum modelo de programao linear tem onome de mtodo simplex.

algbrico e iterativo que fornece a soluoexata de qualquer problema de programaolinear em um nmero finito de iteraes. tambm capaz de indicar se o problema temsoluo ilimitada, se no tem soluo ou sepossui infinitas solues.


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Teoremas do algoritmo simplex

1)O conjunto de solues compatveis um conjuntoconvexo. 2)Toda soluo compatvel bsica do sistema Ax=b

um ponto extremo do conjunto de soluescompatveis.

3)Se a funo objetivo possui um mximo finito,ento pelo menos uma soluo tima um pontoextremo do conjunto convexo.

4)Se a funo objetivo assume um valor mximo emmais de um ponto extremo, ento ela toma o mesmovalor para qqr combinao convexa destes pontosextremos.

Soluo tima

A soluo que maximiza a renda lquida estsobre uma das retas, ou sobre os pontos O,A, B, ou C.

Qual destes pontos representa a mximarenda lquida?

Para isto plota-se a funo da receita lquidano grfico. Quanto mais distante da origem,maior a renda lquida.

Mtodo simplex

Para isto toma-se a funo da receita lquidaou funo objetivo RL = 490 x1 + 560x2

Fazemos x1 = f(x2)

Ento tem-se a fun o da reta1

2

490

560x

xRL

21 143,1002,0 xRLx

Soluo tima

X1 (milho)

Portanto a soluo tima dada por 515 ha de soja e 189ha de milho

515

189

X2 (soja)

Funo objetivo

mais distante daorigem, portantoconfigura o lucromximo

Soluo tima Portanto a soluo tima ser o plantio de

189 ha de milho e 515 ha de soja.

O resultado da funo objetivo (substituindoas reas de milho e de soja na FunoObjetivo ser obtido o resultado deR$381.026,00

Casos onde a soluo no existe Conjunto de Possibilidades vazio

No h soluo compatvel

Exemplo:

Valores p/Restrio 1

1x0

Valores p/Restrio 2


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Casos onde a soluo no existe

A soluo ilimitada No h como definir a deciso

Exemplo:

Conjunto dePossibilidades

1x

2

0

Direo deCrescimentodo Lucro

Caso de Infinitas Solues

2x

Conjuntode Possibilidades

1x0

As soluessocombinaeslineares dospontosextremos Isolucro

Soluo pelo programa

Os mesmos resultados sero obtidos pelosoftware, que apresenta a vantagem depoder ser includas diversas atividades, almde soja e milho, bem como dependendo doprograma usado, inmeras restries.

Os resultados so dados da seguinte forma:

Soluo tima = Receita lquida 380.540 reais constacomo resultado da Funo Objetivo

Atividade Varivel Valor Coeficiente Coeficiente

de

Sensibilidade

Milho X1 187 490 0

Soja X2 515 560 0

Interpretao do coeficiente de

sensibilidade Se a soluo tima acusasse apenas o

plantio de soja, ou seja, se x1=0, coeficientede sensibilidade de x1 (milho) seria diferentede zero e a interpretao a seguinte: Nodeve ser plantado milho, pois x1=0 , mas sefor plantado um ha de milho o lucro seriareduzido no valor do coeficiente desensibilidade.

Resultados de Restries

Restries Valor ValorOriginal

Sobra PreoSombra

Mo-de-obra 2150 2150 0 54,01

Horas Mquina 4500 4500 0 58,76

Terra 702,93 750 47,07 0


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Resultados

A coluna valor indica o uso de recursos, acoluna 2 a disponibilidade original a colunasobra indica quanto no foi usado do recurso.A coluna preo sombra indica que sehouvesse disponibilidade de uma unidade amais de mo-de-obra a receita aumentariaem R$54,01.

No caso da terra, como houve sobra de terra,uma unidade a mais de terra no aumentariaa renda lquida total

Primal e Dual

A cada modelo de programao linear existeuma correspondncia em outro modelo,denominado dual formado pelos mesmoscoeficientes porem dispostos de maneiradiferente. Ao modelo original d-se o nomede primal.

Primais e duais servem para a anlise desensibilidade das variveis e das restries

Analise de Sensibilidade

At que ponto estes resultadospermanecem?

Para responder esta pergunta feita aanlise de sensibilidade.

1. Funo Objetivo (Receita Lquida)

2. Das restries ( mo de obra, mquina eterra)

Anlise de sensibilidade da ReceitaLquida

Atividade Varivel Mnimo Valor

ori inal

Mximo

Milho X1 228,42 490 1520

Soja X2 180,53 560 1201

Anlise de sensibilidade Mnimo e mximo indicam qual o intervalo de

renda lquida, mantidos os demaisindicadores constantes, deveria ter o milhopara continuar sendo produzido.

Assim , se o receita lquida do milho cair para228 reais por ha ou aumentar at 1520 reaispor ha o milho continua a soluo, ou sejaele deve ser produzido.

Anlise de sensibilidade das

restries

Restries LimiteInferior

ValorOriginal

Limite Superior

Mo-de-obra 1243 2150 2535

Horas Mquina 1169 4500 4981

Terra 702,93 750 infinito


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Anlise de sensibilidade dasrestries Este quadro indica quais os limites das

disponibilidades de recursos de tal forma queno altera a soluo original.

Por exemplo para mo de obra, significa queo limite estabelecido em 2150 homens diapoderia ser alterado para qualquer valorentre 1243 e 2535, sem que as variveismilho e soja saiam da soluo ou seja,deixem de ser produzidas.

Anlise de sensibilidade dasrestries importante lembrar contudo, que se forem

alterados os valores da disponibilidade derecursos, pode ser alterada os valores de x1e x2, assim como a receita lquida.

Limitaes da Programao Linear

Coeficientes Constantes: Nos modelos deprogramao linear os coeficientes aij , bj e cjso considerados como constantesconhecidas. Na realidade, esses valorespodem no ser constantes e sim variveis.

A anlise de sensibilidade do modelo,

permite fornecer os intervalos dessescoeficientes, para os quais a soluo timacontinua a mesma.

Limitaes da Programao Linear

Divisibilidade: As solues timas dosmodelos de programao linear poderoapresentar valores fracionrios para qualqueruma de suas variveis. Assim, por exemplo,se uma varivel representar o nmero decadeiras a serem produzidas por uma

empresa, ela poderia tomar um valorfracionrio na soluo tima, o que no nada desejvel.

Limitaes da Programao Linear Proporcionalidade: Nos modelos de programao

linear assume-se, por exemplo, que o lucro de cadaatividade proporcional ao nvel de produo xi,sendo o lucro unitrio c i o coeficiente deproporcionalidade.

Essa hiptese diz que o lucro unitrio c i independedo nvel de produo xi e no considera a chamadaeconomia de escala, no sendo vlida na maioriados problemas reais. Para atenu-la pode-seconsiderar intervalos de produo nos quais essaproporcionalidade , aproximadamente, verificada.

Limitaes da Programao Linear Aditividade: A condio de aditividade, existente em todos os

modelos de programao linear, consiste em considerar asatividades do modelo como entidades totalmenteindependentes, no permitindo que haja interdependncia entreas mesmas. Assim o lucro total de uma empresa ser sempreigual soma dos lucros obtidos em cada uma das atividades.

, -uma empresa que trabalhe com produtos similares como, porexemplo, coalhada e iogurte. Se um dos produtos tem boaaceitao, isso deve favorecer as vendas do outro. Igualmente,uma propaganda intensa sobre um dos produtos deve afetar asvendas do outro. Tais interrelaes entre as variveis no socaptadas pela programao linear.


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Tais situaes no so impeditivas e asrelaes lineares, que a criatividade domodelador est livre para estabelecer,podem aproximar as relaes existentes deinterdependncia conjunta.

Bibliografia

Introduo Programao Linear - Puccini

aula 9 (programacao linear)

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