Breve Introdução

1Prof. Deolinda Sá

A Programação Linear é uma técnica de optimização

bastante utilizada na resolução de problemas cujos modelos

matemáticos são representados por expressões lineares.

A programação Linear é um ramo muito jovem da matemática

que surgiu em 1947, quando George B. Dantzig inventou e

desenvolveu o “Método Simplex” para resolver problemas de

optimização formulados a partir de questões de logística da

Força Aérea dos E.U.A., durante a segunda Guerra Mundial.

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A palavra “Programação” refere-se a uma programação

de tarefas ou planificação, não a uma programação no

sentido da informática.

A palavra “Linear”, advém do facto das expressões

(condições) que se utilizam serem lineares.

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São problemas que procuram o óptimo. O óptimo na globalidade é um mínimo ou um máximo a ser alcançado, nas condições existentes.

Nos problemas de Programação Linear algumas decisões têm de ser tomadas. Estas decisões são representadas pelas variáveis de decisão x e y, utilizadas no modelo de programação linear.

A estrutura base de um problema de programação linear é maximizar ou minimizar a função objectivo que satisfaz a um conjunto de restrições ou condições. Geometricamente, as restrições lineares definem um polígono convexo, chamado de conjunto de pontos admissíveis ou região admissível.

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As restrições ou condições utilizadas em programação linear são

representadas por equações ou inequações. Resumindo Para formular um problema de Programação Linear deve-se: Definir as variáveis de decisão (o que pretendemos determinar)

Definir a função objectivo (o que se pretende optimizar)

Estabelecer as restrições (as condições que têm que ser satisfeitas)

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Uma empresa fabrica dois produtos A e B. Cada um destes produtos requer uma certa quantidade de

tempo na linha de montagem e ainda mais algum para a sua finalização.

• Cada produto do tipo A necessita de 5 horas na linha de montagem e

de 2 horas para a finalização.

Cada produto de tipo B necessita de 3 horas na linha de montagem e

de 4 horas para a finalização.

Numa semana, a empresa dispõe de 108 horas para a linha de

montagem e 60 horas para a finalização.

• Toda a produção é vendida. O lucro de cada produto é de 120 € para o

produto A e de 210 € para o B.

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Quantas unidades, por semana, dos produtos A e B se devem produzir, de modo a que o lucro seja máximo?

Podemos elaborar uma tabela para melhor organizar os dados:

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Montagem Finalização Lucro

A 5 2 120

B 3 4 210

Disponibilidade 108 60

Seja x o número de unidades que a empresa produz, por semana, do produto A .

• y o número de unidades que a empresa produz, por semana, do produto B.

O tempo necessário na linha de montagem para os dois produtos é 5x+3y horas, no total. Como somente existem 108 horas de disponibilidade, temos a restrição:

5x+3y ≤ 108 De forma análoga temos a seguinte restrição:

2x+4y ≤ 60

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Cada unidade do produto A origina um lucro de 120

euros. Assim, com x unidades produzidas do produto A,

obtêm-se 120x euros de lucro.

Cada unidade do produto B origina um lucro de 210

euros. Assim, com y unidades de B, obtêm-se 210y

euros de lucro.

O lucro semanal é dado por: L= 120x+210yL= 120x+210y.

Temos ainda as condições x ≥ 0 e y ≥ 0, pois a

produção é não negativa

Pretendemos maximizar o lucro.

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Variáveis de decisão Variáveis de decisão (o que pretendemos determinar):

x e y ( número de unidades )

Função ObjectivoFunção Objectivo (o que se pretende optimizar)

maximizar o lucro: L= 120x+210y

Restrições Restrições (condições que têm de ser satisfeitas)

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10835 yx

6042 yx

0

0

y

x

Como x ≥ 0 e y ≥ 0, iremos precisar somente do primeiro quadrante.

As outras duas restrições resolvem-se em ordem a y e considera-se o domínio plano respectivo.

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363

53

5108

5108310835

xy

xy

xyyx

152

14

260

26046042

xy

xy

xyyx

A solução que procuramos encontra-se no polígono [OABC] .

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363

5 xy

152

1 xy

Os pontos que estão nesta região dizem-se pontospontos admissíveisadmissíveis. E os vértices O, A, B e C dizem-se vértices da região admissível.

Que pontos maximizam o lucro?

A expressão

representa uma família de rectas todas com o declive

e cuja ordenada na origem é .

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2107

4210120

LxyyxL

7

4

210

L

Assim sendo, um maior valor de corresponde a um

maior valor de L.

Logo, a resolução do nosso problema consiste em

encontrar a recta com declive de maior ordenada na

origem e que tenha algum contacto com o polígono.

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210

L

7

4

Das rectas de declive a que tem maior ordenada na origem e tem pontos de contacto com o domínio, é a que passa no vértice Bvértice B.

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7

4

As coordenadas do ponto B determinam-se resolvendo o sistema

A solução do sistema é o par (18,6), logo as coordenadas do ponto B.

Assim para que a empresa, que produz o produtos A e B, tenha o Assim para que a empresa, que produz o produtos A e B, tenha o

maior lucro possível, deve produzir semanalmente 18 unidades maior lucro possível, deve produzir semanalmente 18 unidades

do produto A e 6 unidades do produto B.do produto A e 6 unidades do produto B.

Esse lucro será:Esse lucro será:

L= 120 L= 120 18 + 210 18 + 210 6 = 3420 euros semanais. 6 = 3420 euros semanais.

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6042

10835

yx

yx

Se tivermos presente o seguinte teorema :

Dado um problema de programação linear, se R for a região admissível

e for limitada, então existe um máximo e um mínimo em R e cada um

destes ocorre pelo menos num dos vértices da região. Se R não for

limitada, então pode não existir nem máximo nem mínimo. Mas se

existir ele encontra-se num vértice de R.

Ficamos a saber que a solução que procuramos encontra-se num dos

vértices da área admissível.

Observemos a tabela ao lado.

Facilmente identificamos a

solução óptima (18,6)(18,6).

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x y L=120x+210y

O 0 0 0

A 21,6 0 2592

B 18 6 3420

C 0 15 3150

Numa turma do 11º ano há 30 jovens: 20 raparigas e 10 rapazes

A turma vai participar num concurso que admite duas modalidades de

equipas:

Modalidade A: Equipas de 2 elementos, um de cada sexo. Prémio

de participação: 50€

Modalidade B: Equipas de 4 elementos, três raparigas e um

rapaz. Prémio de participação: 60€.

Quantas equipas de cada tipo se devem constituir para a turma

receber o valor máximo em prémios de participação, sabendo que

cada um dos alunos não pode participar em mais do que uma

equipa?

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Comecemos por escolher as variáveisas variáveis:

x – n.º de equipas da modalidade A

y – n.º de equipas da modalidade B

Vejamos quais são as restriçõesas restrições: x≥0 y≥0

, semiplano definido pela recta que passa

nos pontos (2,6) e (5,5)

, semiplano definido pela recta que passa

nos pontos (0,10) e (10,0)

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A função objectivo é:A função objectivo é:

Resolvendo em ordem a y temos:

Assim, temos uma família de rectas paralelas de declive

A representação da região admissível e da recta que traduz a família da função objectivo é a seguinte:

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yxP 6050

606

560

50

50606050

pxy

Pxy

PxyyxP

6

5

A solução encontra-se no ponto A.

Resolvendo o sistema,

vem x=5 e y=5

Daqui concluímos que a solução óptima é 5 equipas da modalidade A e 5 da

modalidade B. A esta solução corresponde um prémio de participação de

505+ 605=550€

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