programacao linear.ppt [modo de compatibilidade] · engenheiro de vôo 120 comissário 280....

Fernando Nogueira Programação Linear 1

Programação LinearProgramação Linear


Exemplo Típico 1

Uma padaria produz 2 bolos, I e II, sendo que cada bolo consome umcerta quantidade de açúcar, farinha e ovo, para ser produzido, conforme atabela:

O estoque disponível dos ingredientes é:

O lucro obtido por cada bolo I é $1,00 e por cada bolo II é $1,50.

Quanto produzir de cada bolo com o estoque de ingredientes disponível afim de obter o maior lucro possível ?

Bolo Açúcar (kg) Farinha (kg) Ovo (un)

I 2 1 4

II 2 2 2

Ingrediente Estoque

Açúcar 160 kg

Farinha 120 kg

Ovo 280 un


Exemplo Típico 2

Uma industria produz 2 produtos, I e II, sendo que cada produtoconsome um certo número de horas em 3 máquinas A, B e C para serproduzido, conforme a tabela:

O tempo de funcionamento máximo disponível das máquinas é:

O lucro obtido por cada produto I é $1,00 e por cada produto II é $1,50.

Quanto fabricar de cada produto de modo que seja obedecida acapacidade operativa das máquinas com o maior lucro possível ?

Produto Tempo Máquina A Tempo Máquina B Tempo Máquina C

I 2 1 4

II 2 2 2

Máquina Máximo tempo disponível

A 160

B 120

C 280


Exemplo Típico 3

Uma empresa aérea possui 2 tipos de aeronaves, I e II, sendo que cadaaeronave utiliza uma certa quantidade de pilotos, engenheiros de vôo ecomissários, para operar, conforme a tabela:

A empresa possui a seguinte disponibilidade de funcionários:

O lucro obtido por cada aeronave I é $1,00 e por cada aeronave II é$1,50. Quantas aeronaves de cada tipo devem utilizadas de modo queseja obedecida a disponibilidade de funcionários a fim de obter o maiorlucro possível ?

Aeronave Pilotos Engenheiros de vôo Comissários

I 2 1 4

II 2 2 2

Funcionário Disponibilidade

Piloto 160

Engenheiro de vôo 120

Comissário 280


Exemplos 1, 2 e 3 são diferentes, porém, a formulação para os 3problemas é exatamente a mesma!

Programação Linear modela uma enorme quantidade de problemas.

Existem algoritmos para Programação Linear que garantem a obtençãoda solução ótima com “curto” tempo de processamento.

Nome “Programação Linear”

“Programação” vem da Programação de Atividades (militares)

“Linear” vem da formulação que se obtém (modelo é linear)


( )2121

x5.1xZx,xlucroMax +==

Função Objetivo

≥

≤+

≤+

≤+

0x,x

280x2x4

120x2x

160x2x2

21

21

21

21Máquina A

Máquina B

Máquina C

Prod. não negativa

Modelagem Matemática

Restrições

� x1 a quantidade do produto I a ser fabricada

� x2 a quantidade do produto II a ser fabricada

Em notação matricial

[ ]

=⇒=

2

1

122111 x

x.5.11ZxcZ

Função Objetivo

Restrições

≤

⇒≤

280

120

160

x

x.

24

21

22

bxA2

1

131223


Exemplo “Atípico”

O sistema estrutural abaixo é composto por 2 barras rígidas e 4 cabos.Qual o máximo carregamento permitido nos pontos P1, P2, P3, P4 e P5

considerando as resistências admissíveis nos cabos e as dimensões dasbarras?


54321 PPPPPZMax ++++=

≥

≤++

≤++

≤

++++

≤

++++

0P,P,P,P,P

200P4

3P

2

1P

4

1

250P4

1P

2

1P

4

3

300P4

1P

2

1P

4

3

4

3P

2

1P

4

1

100P4

1P

2

1P

4

3

4

1P

2

1P

4

3

54321

543

543

54321

54321


54321 PPPPPZMax ++++=

175P,0P,275P,75P,0P

Solução

0P,P,P,P,P

200P4

3P

2

1P

4

1

250P4

1P

2

1P

4

3

300P4

1P

2

1P

4

3

4

3P

2

1P

4

1

100P4

1P

2

1P

4

3

4

1P

2

1P

4

3

54321

54321

543

543

54321

54321

=====

≥

≤++

≤++

≤

++++

≤

++++

1010

Outro Exemplo (Típico)

Em condições normais, uma fábrica pode produzir 100 unidades de umproduto em cada de quatro períodos com custos que variam de períodopara período de acordo com a tabela abaixo. Unidades adicionais podemser produzidas em períodos extras. A capacidade máxima e os custos deprodução em períodos extras são mostrados também na tabela abaixo,junto com a previsão de demanda para os produtos em cada dos quatrosperíodos.

Período Demanda

(unidades)

Custo produção

normal

Capacidade máxima de

produção em períodos extras

Custo de produção em

períodos extras

1 130 6 60 8

2 80 4 65 6

3 125 8 70 10

4 195 9 60 11

11

É possível armazenar até 70 unidades em estoque a partir de um período para o próximo com um custo de R$2,00 por unidade por período. Existem 15 unidades em estoque no período 0. Formule este problema como um problema de programação linear para minimizar o custo total envolvido na produção, de tal forma que a demanda seja atendida.

( ) 432143214321 22221521110689846 eeeeyyyyxxxxZMin ++++++++++++=

≥

≤

≤

≤

≤

≤

≤

−++=

−++=

−++=

−++=

0

70

100

60

70

65

60

195

125

80

13015

4321

4321

4

3

2

1

3444

2333

1222

111

iiii d,e,y,x

e,e,e,e

x,x,x,x

y

y

y

y

eyxe

eyxe

eyxe

yxe


Interpretação Geométrica

A região fechada formada pelas restrições é sempre convexa e contémtodas as soluções possíveis ou viáveis: região das restrições.Teorema Fundamental da Programação Linear

Uma vez que todas as equações e/ou inequações envolvidas são lineares,o valor ótimo da função-objetivo Z só pode ocorrer em um dos vérticesda região das restrições.


O Método Simplex (Dantzig, 1948)

�Considerações Iniciais

O Método Simplex é um algoritmo que sistematiza a solução deproblemas de P.L. de maneira eficiente computacionalmente (não éforça-bruta).

Seja m o número de equações e/ou inequações de restrição e n o númerode variáveis (incógnitas), tem-se:

2 problemas ocorrem na resolução de

1)A existência de desigualdades implica que a solução égeralmente um conjunto e não única.

2)A não necessariamente possui inversa ⇒ geralmente A não é quadrada.obs: o fato de A ser quadrada não garante a existência de inversa.

1nn111 xcZ = 1m1nnm bxA ≤

1m1nnm bxA ≤

( )nm ≠

( )>≥<≤ ou,,

George Dantzig (*1914, Portland, Oregon, Estados Unidos ; †2005,

Palo Alto, California, Estados Unidos).


Solução do Problema 1

�Transformar as desigualdades em igualdades através da introdução devariáveis de folga (slack variables). Exemplo:

Solução do Problema 2

�Anular n variáveis. Uma vez que (n + m) é sempre maior que m,sempre tem-se mais incógnitas de que equações, assim o sistema é sub-determinado ⇒ infinitas soluções. No entanto, anulando n variáveis, osistema fica:

Quais n variáveis deve-se anular para obter solução ótima ???

0u,u,u,x,xcom

280ux2x4280x2x4

120ux2x120x2x

160ux2x2160x2x2

32121

32121

22121

12121

≥

=++⇔≤+

=++⇔≤+

=++⇔≤+

( ) ( ) 1m1mnmnm bxA =++

Tem-se então um sistema comm equações e (n + m)incógnitas:

1m1mmm bxA =


�O Método

Reescrevendo a função-objetivo e as inequações como equações:

Deve-se achar uma solução inicial viável qualquer. A maneira maissimples para isto é “zerar” as variáveis de controle (x1 = x2 = 0). Comisso, as variáveis de folga assumem valores máximos (u1 = 160, u2 = 120e u3 = 280). Esta é uma solução viável (nenhuma restrição foi violada),porém é a pior possível, pois Z = 0.

Pode-se classificar as variáveis do problema como:

�Variáveis Básicas: variáveis que compõem a solução em cada iteração.

�Variáveis Não-Básicas: variáveis que foram anuladas.

=++++

=++++

=++++

=−−−−−

280uu0u0x2x4

120u0uu0x2x

160u0u0ux2x2

0u0u0u0x5.1xZ

32121

32121

32121

32121


Partindo de uma solução inicial qualquer, o Método Simplex verifica seexiste uma outra solução que seja melhor que a solução atual. Isto se dáatravés da análise da função-objetivo:

Fazendo , as derivadas parciais de Z emrelação as variáveis (de controle e de folga) fornecem a taxa decrescimento de Z nas direções destas variáveis.

O fato acima permite deduzir que enquanto houver variáveis não-básicascom coeficientes negativos em a soluçãopoderá ser melhorada. Uma vez que o objetivo é maximizar Z, deve-seescolher dentre as variáveis não-básicas, aquela que possuir maior taxade variação (coeficiente mais negativo) para compor as variáveis básicas,no caso x2. Para isso, alguma variável básica terá que deixar a base paracompor as variáveis não-básicas. Qual variável deve deixar a base, ouseja, mudar do grupo das variáveis básicas para o grupo das variáveisnão-básicas ?

0u0u0u0x5.1xZ 32121 =−−−−−

32121 u0u0u0x5.1xZ ++++=

1x

Z

1

=∂

∂0

u

Z

2

=∂

∂0

u

Z

1

=∂

∂5.1

x

Z

2

=∂

∂0

u

Z

3

=∂

∂

0u0u0u0x5.1xZ 32121 =−−−−−


A medida que x2 (a variável que era não-básica e agora é variável básica)aumenta, deve-se diminuir cada variável básica corrente correspondentea uma linha na qual x2 tenha coeficiente positivo. Assim, quanto x2 podecrescer antes que uma das variáveis básicas corrente atinja seu limiteinferior 0 (não viole nenhum restrição) ?

Com isso, conclui-se que quando x2 = 60, u2 = 0, e portanto, poderá irpara o grupo das variáveis não-básicas.

básicanãoiávelvarépois,0x:obs

140x0uPara280uu0u0x2x4

60x0uPara120u0uu0x2x

80x0uPara160u0u0ux2x2

0u0u0u0x5.1xZ

1

2332121

2232121

2132121

32121

−=

=⇒==++++

=⇒==++++

=⇒==++++

=−−−−−

Antes Agora

Variáveis básicas u1,u2,u3 u1,x2,u3

Variáveis não-básicas x1,x2 x1,u2

Uma vez que x2 “entrou” na base e u2 “saiu” da base, faz-se necessárioentão alterar os valores dos coeficientes do sistema de equações demaneira equivalente. Este processo é obtido através do Método deGauss-Jordan (utiliza operações elementares à matriz aumentada de umsistema até alcançar a forma escalonada reduzida).

Exemplo de forma escalonada reduzida: tabela simplex


João comprou 2 bananas e 3 laranjas e gastou R$13,00. Maria comprou 1banana e 2 laranjas e gastou R$8,00. Qual o preço de uma banana (x) ede uma laranja (y)? O sistema linear abaixo modela esse problema:

82

1332

=+

=+

yx)Maria

yx)João32 ==⇒ y,xSolução

1) Multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero

2) Substituir uma linha pela sua soma com um múltiplo de outra linha

( )( ) 32844

2132321

=+×

=+×

yx)Maria


Operações elementares

51

1332

−=−−+×−

=+

yx)MariaJoão


Os sistemas são “diferentes”, mas a solução é a mesma!


Retomando o problema ao ponto inicial, pode-se montar a seguintetabela (Tabela Simplex):

Se o vetor [2 2 2 –1.5]t (correspondente a coluna de x2) transformar-se novetor [0 1 0 0]t (correspondente a coluna de u2), x2 estará pertencendo abase e u2 sairá da base. Para realizar o Método de Gauss-Jordan énecessário escolher o elemento pivô, o qual é obtido pela interseção dacoluna pivô com a linha pivô.

00005.11

28010024

12001021

16000122

buuuxx 32121

−−

}}

Restrições

função-objetivo


A coluna pivô é a coluna correspondente à variável que vai entrar na base(x2 no caso) e a linha pivô é a linha na qual a interseção com a colunacorrespondente à variável que vai sair da base é igual a 1 (no caso ainterseção da 2 linha com a coluna correspondente a u2).

Realizando o Método de Gauss-Jordan a Tabela Simplex fica:

Esta tabela refere-se ao seguinte sistema:900430041

16011003

600210121

4001101

buuuxx 32121

−

−

−

}}

Restrições

função-objetivo

=+−++

=++++

=+−++

=−+−−−

160uuu0x0x3

60u0u21u0xx21

40u0uux0x

90u0u43u0x0x41Z

32121

32121

32121

32121

}}

Restrições

função-objetivo


A Tabela Simplex anterior fornece a seguinte solução:

x1 = 0, x2 = 60, u1 = 40, u2 = 0, u3 = 160 e Z = 90.

Uma vez que x1 é uma variável não-básica e possui coeficiente negativo,esta deverá entrar base e conseqüentemente u1 deverá sair da base. Comesta alteração, a Tabela Simplex após o Método de Gauss-Jordan fica:

que corresponde ao seguinte sistema:1000214100

4012300

40012110

4001101

buuuxx 32121

−

−

−

}}

Restrições

função-objetivo

=++−++

=++−++

=+−++

=−++−−

40uu2u3x0x0

40u0uu21xx0

40u0uux0x

100u0u21u41x0x0Z

32121

32121

32121

32121

}}

Restrições

função-objetivo


A Tabela Simplex anterior fornece a seguinte solução:

x1 = 40, x2 = 40, u1 = 0, u2 = 0, u3 = 40 e Z = 100.

Uma vez que não existe variáveis não-básicas com coeficiente negativo asolução não poderá mais ser melhorada, portanto, está solução é ótima.

Conclusão

Em P.L. existe maneiras de combinar n variáveis iguais a zero.

No exemplo, n = 2 e m = 3, que resulta em 10 soluções possíveis, o queimplica que seria necessário resolver 10 sistemas de equações (força-bruta). No entanto, o Método Simplex resolveu apenas 2 sistemas deequações (neste caso) e alcançou a solução ótima.

obs: combinação

( )

+

m

mn

( )⇒

−=

!yx!y

!x

y

x


Solução de um Modelo Geral de P.L. pelo Método Simplex

Até o momento

�Função-Objetivo deve ser maximizada

�Variáveis de controle não negativa

�Apresentam uma solução básica inicial

Quando uma ou mais dessas características não são satisfeitas, faz-senecessário determinar uma forma equivalente ⇒ mudar o modelo e não oalgoritmo.

1.Minimização

Se a função-objetivo é de minimização deve-se multiplica-lá por –1.

obs: restrições não são alteradas.

}

321321 xx4x3ZMaxxx4x3ZMin −+−=−⇒+−=

Simplex exige essas 3 características


2.Variável Livre ou Negativa

�Substituir a variável livre pela diferença de 2 outras não-negativas.

�Substituir a variável negativa por uma outra positiva com coeficiente -1.

≤

⇒

≥

≤+

≤++

++=

0x

livrex

0x

20x3x2

10xxx

xx2xZMax

3

2

1

21

321

321

≥

≤−+

≤−−+

−−+=

0x,x,x,x

20x3x3x2

10xxxx

xx2x2xZMax

6541

541

6541

6541

63

542

xx

xxx

Fazendo

−=

−=

3.Solução Básica Inicial

Se a restrição é do tipo faz-se necessário acrescentar uma variável de folga negativa.

Se a restrição é do tipo =, já tem-se um equação e, portanto, não é preciso acrescentarvariável de folga. No entanto, quando estes 2 casos ocorrem não é formada uma sub-matriz identidade automaticamente e, portanto, não origina uma solução básica inicial.

Exemplo:

0ucom,10ux10x 1111 ≥=−⇒≥

x3 negativa


⇒

≥

=++

≥++

≤−+

++=

0x,x,x

60x3xx2

20x2xx

10xxx2

xxxZMax

321

321

321

321

321

=++++

=−+++

=++−+

=−−−−−

60u0u0x3xx2

20uu0x2xx

10u0uxxx2

0u0u0xxxZ

21321

21321

21321

21321

000111

6000312

2010211

1001112

buuxxx 21321

−−−

−

−

}}

Restrições

função-objetivo

A Tabela Simplex fica:

Nota-se na Tabela Simplex que não existe uma sub-matriz identidade. Neste caso,acrescenta-se Variáveis Artificiais (Auxiliares) nas linhas cujas as restrições são do tipo

ou = . O sistema fica:≥


0a,a,u,u,u,x,x,x

com

60aa0u0u0x3xx2

20a0auu0x2xx

10a0a0u0uxxx2

0a0a0u0u0xxxZ

32321321

3221321

3221321

3221321

3221321

≥

=++++++

=++−+++

=++++−+

=−−−−−−−


00000111

601000312

200110211

100001112

baauuxxx 3221321

−−−

−

−

}}

Restrições

função-objetivo

Agora tem-se uma sub-matriz identidade, porém a2= 20 e a3 = 60.

O retorno ao modelo original deve ser feito com a eliminação das Variáveis Artificiais.Isto é realizado através do Método do M Grande ou do Método da Função-ObjetivoAuxiliar.


Método da Função-Objetivo Auxiliar

Este método consiste em utilizar uma função-objetivo auxiliar W(a1,a2,...,ar) formada

pela soma das r Variáveis Artificiais ⇒W(a1,a2,...,ar) = a1 + a2 + ... + ar .

Uma vez que as Variáveis Artificiais podem ser escritas em função das Variáveis deControle e de Folga, pode-se sempre minimizar W(a1,a2,...,ar) até W(a1,a2,...,ar) = 0, oque corresponde a a1= a2 = ... = ar = 0, fazendo então as Variáveis Artificiaispertencerem ao grupo das Variáveis Não-Básicas. Com isso, obtém-se uma soluçãoviável para o problema podendo-se então abandonar a Função-Objetivo Auxiliar e asVariáveis Artificiais. Exemplo:

Função-Objetivo Auxiliar

W(a2,a3) = a2 + a3

⇒

≥

=++

≥++

≤−+

++=

0x,x,x

60x3xx2

20x2xx

10xxx2

xxxZMax

321

321

321

321

321

0a,a,u,u,u,x,x,x

com

60aa0u0u0x3xx2

20a0auu0x2xx

10a0a0u0uxxx2

0a0a0u0u0xxxZ

32321321

3221321

3221321

3221321

3221321

≥

=++++++

=++−+++

=++++−+

=−−−−−−−

Dá 2o restrição a2 = – x1 – x2 – 2x3 + u2 + 20

Dá 3o restriçãoa3 = – 2x1 – x2 – 3x3 + 60


Substituindo a2 e a3 em W(a2,a3), fica:

Min W(a2,a3) = Max – W(a2,a3) = 3x1 + 2x2 + 5x3 – u2 – 80 = 0

que na forma de equação é – W(a2,a3) – 3x1 – 2x2 – 5x3 + u2 = – 80


800010523

00000111

601000312

200110211

100001112

baauuxxx 3221321

−−−−

−−−

−

− }}

Restrições

função-objetivo

} função-objetivo auxiliar

Após 2 iterações (neste exemplo) do Método Simplex, a Tabela Simplex fica:

01100000

203100003

23

1

203211003

13

1

203100013

13

2

303100103

46

16baauuxxx 3221321

−−

−−}}}

Restrições

função-objetivo

função-objetivo auxiliar


A Tabela Simplex agora apresenta uma solução cuja as Variáveis Artificiais sãoVariáveis Não-Básicas (portanto, iguais a zero) e podem então ser desprezadas e oMétodo Simplex pode continuar sendo utilizado a fim de encontrar a solução ótima.

Considerações Finais

1.Problema de Degeneração

A saída de uma V.B. com valor nulo provoca o aparecimento de uma outra V.B. nulana próxima solução sem alteração do valor da Função-Objetivo. Neste caso a soluçãoé denominada degenerada, indicando que existe, no mínimo, uma restriçãoredundante. Se os coeficientes da Função-Objetivo retornam não negativos em algumaiteração, o caso não apresenta dificuldade. O problema surge quando as iteraçõeslevam a circuitos, sem caracterizar a solução ótima. Neste caso faz-se necessárioutilizar regras mais complexas, as quais não serão abordadas neste curso. Tal problemaé bastante raro em aplicações práticas.

Exemplo em que a degeneração não acarretou em circuito:

≥

≤+

≤+

+=

0x,x

4x2x

8x4x

x9x3ZMax

21

21

21

21

00093

41021

80141

buuxx 2121

−− 1804904

3

012102

1

204114

1buuxx 2121

−

−

1823

2300

02101

221

2110

buuxx 2121

−

−

1 iteração 2 iteração


Exemplo em que a degeneração ocorreu temporariamente:

≥

≤+

≤+

≤−

+=

0x,x

8xx4

12x3x4

8xx4

x2x3ZMax

21

21

21

21

21

000023

810014

1201034

800114

buuuxx 32121

−−

−

60043

4110

010120

401140

20041

411

buuuxx 32121

−

−

−

−

681108

500

02102

110

421100

28108

101

buuuxx 32121

−

−

−

217

81

85000

221

21010

4211002

38

38

1001

buuuxx 32121

−

−

−

1 iteração 2 iteração 3 iteração


Exemplo em que a degeneração acarretou em circuito:

≥

≤−−+

≤++−−

−−+=

0x,x,x,x

0x2x3

1xx

3

1

0x9xx9x2

x12xx3x2ZMax

4321

4321

4321

4321

00012132

01023

11

3

10019192

buuxxxx 214321

−−

−−

−−

0306001

01023

11

3

10919201

buuxxxx 214321

−

−−

−−

01213200

023

11

3

110

0919201

buuxxxx 214321

−−

−−

−−

0600130

023

11

3

110

0920191

buuxxxx 214321

−

−−

−−

03200121

013

1102

3

10920191

buuxxxx 214321

−−

−−

−−

0013060

013

1102

3

10019192

buuxxxx 214321

−

−−

−−

00012132

01023

11

3

10019192

buuxxxx 214321

−−

−−

−−




2.Solução Ilimitada

Ocorre quando a variável que entra na base não possui em sua coluna nenhumcoeficiente positivo, não sendo portanto possível determinar a linha pivô. Exemplo:

≥

≤+−

≥+

+=

0x,x

0xx

40xx

x0xZMax

21

21

21

21

3.Soluções Múltiplas

Se na solução ótima o coeficiente de um V.N.B. é zero, esta variável poderá entrar nabase sem alterar o valor da função objetivo, gerando outra solução ótima. Neste casoqualquer combinação linear dessas 2 soluções também será ótima. Exemplo:

≥

≤+

≤+

+=

0x,x

10x5x2

12x3x4

x10x4ZMax

21

21

21

21


4.Soluções Inviável

Se o problema de P.L. não possuir nenhuma solução viável, então o Método da Função-Objetivo Auxiliar (ou do M Grande) irá fornecer na solução final no mínimo umavariável artificial com valor diferente de zero, caso contrário, todas variáveis artificiaisserão nulas. Exemplo:

≥

≥+−

≥−

+=

0x,x

1xx

1xx

xxZMax

21

21

21

21


5.Lado Direito das Restrições Negativas

Solução Inicial: x1 = x2 = 0, u1 = -1 e u2 = -10 ⇒ Inviável, pois u1 e u2 são negativos.

Sempre que houver restrições cujo lado direito são negativos deve-se multiplicar ambosos lados destas restrições por –1.

Solução Inicial: x1 = x2 = u1 = u2 = 0, a1= 1, a2 = 10 ⇒ Viável.

≥

−=+++

−=+++

⇒

≥

−≤+

−≤+

0u,u,x,x

10uu0x5x2

1u0uxx

0x,x

10x5x2

1xx

2121

2121

2121

21

21

21

≥

=++−−−−

=++−−−−

≥

⇒≥−−

≥−−

⇒

≥

−≤+

−≤+

0a,a,u,u,x,x

10aa0uu0x5x2

1a0au0uxx

0x,x

10x5x2

1xx

0x,x

10x5x2

1xx

212121

212121

212121

21

21

21

21

21

21

programacao linear.ppt [modo de compatibilidade] · engenheiro de vôo 120 comissário 280....

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