aula 8 sl direto

8/18/2019 Aula 8 SL Direto

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3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

3.1 Introdução

A solução de sistemas lineares é uma ferramenta matemática muitoimportante na engenharia. Normalmente os problemas não-lineares sãosolucionados por ferramentas lineares.

As fontes mais comuns de problemas de equações lineares algébricas aplicados àengenharia incluem:

a) Solução de modelos matemáticos de circuitos lineares; b) aproximação de equações diferenciais ou integrais contínuas através de sistemas

discretas e finitos;c) linearização local de sistemas de equações não lineares;

d)

ajuste de curvas em dados.

Exemplo de um Circuito:

10 1010 10

22 2 2

44

8 8 8

10 1010 10

22 2

44

8 8 8

I1

I2 I3

3.2 Representação do Sistema Linear

Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo:


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⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++

=+++

nnnnnnn

nn

nn

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

............

..................................................................

..................................................................

............

............

332211

22323222121

11313212111

Este sistema pode ser representado através de uma representação matricial da forma:

Α x = b

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nnnnnn

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

MM

L

MOMM

L

L

2

1

2

1

21

22221

11211

onde: A – matriz de coeficientes de ordem nn× x – vetor de incógnitas de ordem 1×n b – vetor independente de ordem 1×n

Os tipos de solução do sistema dependem da matriz A:

A não-singular ⇒ compatível ⇒ { únicasolução

A singular ⇒ ⎩⎨⎧

⇒

⇒

soluçãoexistenãoelincompatívsistema

soluçõesinitascompatível inf

Sistema Compatível → Posto( A)=Posto( Ab)

Ab=⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

nnnnn

n

n

baaa

baaa

baaa

L

MMOMM

L

L

21

222221

111211

Se Posto( A)=Posto( Ab) = n ⇒ solução únicaSe Posto( A)=Posto( Ab) = k


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Exemplo 1:

0

0

21

21

=−

=+

x x

x x

Det( A)=2 Posto( A)=Posto( Ab) = n = 2 ⇒ solução única

Este é um sistema homogêneo com solução trivial [ ]T x 00= . A solução é dada pelo pontode intersecção das retas no gráfico. Neste caso como n=2 a solução é um ponto no 2ℜ .

Exemplo 2:

022

0

21

21

=+

=+

x x

x x

Det( A)=0 Posto( A) = Posto( Ab) = 1 < 2 ⇒ compatível com infinitas soluções

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

o

x2

x1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

o

x2

x1


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Observe que as retas são coincidentes e temos infinitos pontos de intersecção.

Exemplo 3:

1

0

21

21

=+

=+

x x

x x

Det( A)=0 Posto( A)=1 Posto( Ab) = 2 ⇒ sistema incompatível. Não existe solução.Pose-se observar no gráfico que neste caso não há intersecção entre as retas representadas

no 2ℜ .

Não há nenhum ponto de intersecção entre as retas.

3.3 Métodos de Solução

Métodos Diretos – Fornece solução “exata” após um número finito de operações. Soluçãoassegurada para matriz de coeficientes não-singular.

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

LU Fatoração

Gaussdeinação E

A Matrizda Inversão

Cramer degra

Diretos Métodoslim

Re

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-6

-4

-2

0

2

4

6

x2

x1


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Métodos Iterativos – Processo de aproximação iterativa da solução. A convergência éassegurada sob certas condições.

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−

..etc

do EstabilizaiconjugadoGradienteB

o Biconjugad Gradiente

ConjugadoGradiente

ios Estacionár Não

açãoSobrerelax

SeidelGauss JacobiGauss

ios Estacionár

Iterativos Métodos

3.3.1 Regra Cramer

A solução de cada componente do vetor de incógnitas é dado pela relação de doisdeterminantes:

∆

∆= ii x

onde:

∆ = determinante da matriz A

i∆ = determinante da matriz A com a iésima coluna substituída pelo vetor independente b.

Exemplo da ordem de grandeza do tempo de solução para um sistema de ordem 20.

∆

∆= ii x

Operações necessárias:a) Cálculo de 21 determinantes, cada um de ordem 20.

O determinante de uma matriz Α é definido como uma soma de termos −−− 321 aaa ...... −na

onde o símbolo – representa subscritos de permutações de 1 a n. No exemplo a soma tem20! termos cada qual requerendo 19 multiplicações. Assim, a soluções do sistema requer21 x 20! x 19 multiplicações, além de um número 21 x 20! de somas que serádesconsiderado.

Seja um computador com capacidade de 2000 Mflops.


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2.000.000.000 operações por segundo.

Tempo de Solução:

360243600000.000.000.2

19!2021

x x x

x x = 15604,55 anos

Strang 1993 - “If world be crazy to solve equation this way”.

O método de Cramer também possui pouca estabilidade numérica. [Highan]. (erros dearredondamento excessivos). (forward estability)

3.3.2 Inversão da Matriz A

A solução do sistema linear pode ser dada por:

x= 1− A b

Entretanto, na grande maioria de problemas práticos é desnecessário e mesmo

desaconselháveis o cálculo da matriz inversa 1− A .Veja o que acontece neste exemplo simples com uma equação:

217 = xA melhor maneira de obter a solução é por divisão,

3721 == x

O uso da matriz inversa levaria a (precisão 6 dígitos) :

b ( )( )

( )( ) 99997,221142857,0217 1

==

= −

x

x

A inversa requer mais aritmética (uma divisão e uma multiplicação em vez de uma sódivisão), além de produzir uma resposta menos exata.

3.3.3

Eliminação de Gauss

Sistemas Lineares Equivalentes

Dois sistemas lineares b x A = e b x A~~

= são equivalentes se qualquer

solução de um também é solução do outro.

Teorema


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Seja b x A = um sistema linear. Aplicando sobre as equações desse sistema

linear uma sequência de operações, escolhidas entre:

a) trocar a posição de duas equações entre si; b) multiplicar uma equação por uma constante;

c) somar uma equação a outra multiplicada por uma constante.

Obtém-se um novo sistema b x A~~

= e os sistemas b x A = e b x A~~

= são equivalentes.

O método de solução através da eliminação aplica as operações elementares para eliminarvariáveis do sistema e transformá-lo num sistema triangular.

A eliminação de Gauss é composta de duas etapas básicas:

1. Eliminação direta de variáveis2. Substituição inversa

=

Eliminação de Variáveis (triangularização)

U =

Solução do Sistema Triangularizado

Números de operações necessárias para obter soluções, considerando a matriz A cheia.

a) Solução por Inversão

x= 1− A b

1. Obtenção da matriz inversa utilizando um algoritmo eficiente de matriz cheia

A x = b

U x = b’

x

A x b

x

3n operações (produto)

b’


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2. Obtenção de x pelo produto de 1−Α com b

b) Solução por eliminação de Grauss1. Redução triângular

U x = b

= ~ 33

n operações de produção

2. Substituição Inversa.

2

2η

operações de produto

Exemplo Numérico

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 234

211

423

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

x

x

x

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

( )0Α

Estágio 1 pivô 311 =a

Multiplicadores

31

21 =Μ

34

31 =Μ

2n operação (produto)

U

0

x b


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66

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−3

223

103

.23

10

423

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

x

x

x

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

35

351

( )1Α

Estágio 2

Pivô3

122 =a

Multiplicador 1

31

31

23 ==Μ

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−800

32

310

423

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

x

x

x

=

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

0

351

Substituição Inversa

. –8 03 = x 03 = x

1423

35

32

31

321

32

=++

=+

x x x

x x

3

5

1

2

−=

=

x

x

3.3.3.1 Estratégia de Pivoteamento

(a) Evitar pivôs nulos(b) Evitar pivôs próximos de zero (multiplicadores elevado,

ampliação de erros de arredondamento)

Exemplo:

Usando aritmética de 3 dígitos

⎩⎨⎧

=+

=+

622

520002,0

21

21

x x

x x


10/11

67

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

11

13

102.2102,0

102.0102.0

x x

x x ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

x

x = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1

1

106.0

105.0

x

x

pivô 0.2 x 10 3−

multiplicadores 543

1

101.0101102.0102.0 x x

x x ==−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

5

13

102.00

102.0102.0

x

x x ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

x

x= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

− 5

1

105.0

105.0

x

x

( )( )

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=

−=−=

−=−=

5.20

105.0101.0105.0106.0

102.0102.0101.0102.05511

2

515122

x

x x x x xb

x x x xa

Com pivoteamento

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 13

11

102.0102.0

102.0102.0

x x

x x ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

x

x = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1

1

105.0

106.0

x

x

pivô 1102.0 x mult.1

3

102.0

102.0

x

x − = 3101.0 − x

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1

11

102.00

102.0102.0

x

x x⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

x

x = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1

1

105.0

106.0

x

x

1131

1311

105.0106.0101.0105.0

102.0101.0102.0102.0

x x x x x

x x x x x

−−

=−−

−

5,0

5,2

1

2

=

=

x

x Solução de sistema

Resumindo: Pivoteamento parcial consiste em adotar como pivô no passo (K) daeliminação de Gauss o maior elemento (em valor absoluto) na parte não reduzido dacoluna. As linhas contendo esses elementos devem ser intercambiadas.

OBS: Seja * x é a solução calculada de Ax=b e x a solução exata (teórica). Como os

elementos de * x são representados em uma aritmética de precisão finita existe uma

diferença em relação x . Normalmente utiliza-se as seguintes medidas para auferir estadiferença.

Não satisfaz o sistema


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Erro: * x xe −=

Resíduo: r = || b – A x * || (dependente de escala, multiplicando-se A e b

por uma constante α , o resíduo também vaiser multiplidado por α )

Resíduo relativo:*

*

x A

Axb −

Da teoria de matrizes sabemos que, sendo A não singular e se uma medida acima é nula, aoutra também o será, mas ambos não são necessariamente igualmente pequenas.

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