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Trabalho

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Trabalho

1.Introdução

2.Resolução de Exemplos

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1. Introdução

O termo trabalho é usado na linguagemcotidiana significando a quantidade de esforçomecessária para executar uma tarefa.

Na Física essa palavra tem um significadotécnico que depende do conceito de força.

Intuitivamente, você pode pensar na forçaque descreve o empurrar ou o puxar de um objeto– por exemplo, um empurrão horizontal em um livrosobre uma mesa ou a ação da gravidade terrestresobre uma bola.

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1. Introdução

Em geral, se um objeto se move ao longo deuma linha reta com função de deslocamento s(t),então a força F no objeto (na mesma direção) édefinida pela Segunda Lei de Newton doMovimento como o produto de sua massa m pelasua aceleração:

2

2

d sF m

dt=

5

1. Introdução

No Sistema Métrico Internacional (SI), amassa é medida em quilogramas (kg), odeslocamento em metros (m), o tempo em segundos(s) e a força em Newtons (N = kg.m/s2).

Então, uma força de 1 N atuando em umamassa de 1 kg produz uma aceleração de 1 m/s2. Nosistema norte-americano, a unidade de forçaescolhida é a libra.

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1. Introdução

No caso de aceleração constante, a força Ftambém é constante, e o trabalho feito é definidopelo produto da força F pela distância d que oobjeto se move:

trabalho = força x distância W Fd=

Se F é medido em Newtons e d em metros,então a unidade para W é o Newton x metro, a qualé chamada Joule (J). Se F é medida em libras (lb)e d em pés (foot), então a unidade de trabalho é alibra x pé ou libra x foot, a qual é cerca de 1,36 J.

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2. Resolução de exemplos

Exemplo 1: (a) Quanto trabalho é realizadoquando se levanta um livro de 1,2 kg do chão atéuma carteira de altura 0,7 m? Use g = 9,8 m/s2.(b) Quanto trabalho é realizado levantando-se umpeso de 20 lb a uma altura de 6 pés do chão?

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(a) A força exercida é igual e oposta à forçaexercida pela gravidade.

1,2 x 9,8 11,76 NF mg= = =

11,76 x 0,7 8,2 JW Fd= = ≈

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(b) Aqui a força dada é F = 20 lb; portanto otrabalho realizado é

20 x 6 120 lb.péW Fd= = =

Note que na parte (b), ao contrário da parte(a), não tivemos de multiplicar por g, porque o dadoera o peso (o qual é força) e não a massa do objeto.

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A equação W = Fd define trabalho desdeque a força seja constante. Mas o que acontece sea força é variável?

Suponha que o objeto se mova ao longo doeixo x na direção positiva de x = a até x = b, e emcada ponto x entre a e b uma força f(x) atua noobjeto, onde f é uma função contínua.

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Dividimos o intervalo [a, b] em n subinter-valos com o extremo x0, x1, …, xn e larguras iguais a∆x.

Escolhemos o ponto de amostragem xi* noi-ésimo subintervalo [xi-1, xi]. Então a força naqueleponto é f (xi*).

Se n é grande, então ∆x é pequeno, e como fé contínua, os valores de f não variam muito aolongo do intervalo [xi-1, xi].

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Em outras palavras, f é praticamenteconstante no intervalo e então o trabalho Wi que éexecutado no movimento da partícula de xi-1 a xi édado aproximadamente pela equação abaixo.

*( )i iW f x x≈ ∆

Então podemos aproximar o trabalho totalpor

*

1

( )n

ii

W f x x=

≈ ∆∑

13


Parece que a aproximação torna-se cada vezmelhor quando n é grande. Portanto definimos otrabalho feito no movimento de um objeto de a a bcomo o limite dessa quantidade quando n → ∞.

*

1

lim ( ) ( )bn

ini a

W f x x f x dx→∞ =

≈ ∆ =∑ ∫

Como o lado direito da equação anterior éuma soma de Riemann, reconhecemos seu limitecomo uma integral definida e então

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Exemplo 2: Quando uma partícula está localizada auma distância de x pés da origem, uma força de(x2 + 2x) lb age sobre ela. Quanto trabalho érealizado movendo-a de x = 1 a x = 3?

15


Solução:

( )33 3

2 2

1 1

23x

W x x dx x

= + = +

∫

27 1 54 4 509 1 lb.pé

3 3 3 3 3 = + − + = − =

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No próximo exemplo usaremos uma lei daFísica: a Lei de Hooke estabelece que a forçanecessária para manter uma mola esticada xunidades além do seu comprimento natural éproporcional a x:

( )f x kx=

onde k é uma constante positiva (chamadaconstante elástica). A Lei de Hooke vale desde quex não seja muito grande, conforme a figura aseguir.

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Superfíciesem atrito

(a) Posição natural da mola

(b) Posição esticada da mola

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Exemplo 3: Uma força de 40 N é necessária paramanter uma mola esticada do seu comprimentonatural de 10 cm para um comprimento de 15 cm.Quanto trabalho é realizado esticando-se a molade 15 cm para 18 cm?

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Solução: De acordo com a Lei de Hooke, a forçanecessária para manter uma mola esticadax metros além do seu comprimento natural éf(x) = kx. Quando a mola é esticada de 10 cm para15 cm, a quantidade esticada é 5 cm = 0,05 m.

( )f x kx=

40 0,05k= ⋅

800 N/mk =

20


Então, f(x) = 800x, e o trabalho realizadopara esticar a mola de 15 cm para 18 cm é

0,080,082

0,050,05

800 400W x dx x = = ∫

2 2400 (0,08) (0,05) 1,56 J = − =

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Exemplo 4: Um cabo de 200 lb tem 100 pés decomprimento e está pendurado sobre a borda deum edifício alto. Qual o trabalho necessário parapuxar o cabo para o topo do edifício?

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Solução: Aqui não temos uma fórmula para a funçãoforça, mas podemos pensar na resolução doproblema utilizando a soma de Riemann.

Para tanto, vamos posicionar a origem notopo do edifício e o eixo x apontando positiva-mente para baixo, conforme a figura a seguir.

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24


Dividimos o cabo em pequenos pedaços iguaisde comprimento ∆x. Se xi* é um ponto do i-ésimointervalo, então todos os pontos nesse intervalosão içados por aproximadamente a mesmaquantidade, a saber xi*.

O cabo pesa 2 lb por pé, logo o peso dai-ésima parte é 2∆x. Assim, o trabalho realizadonessa i-ésima parte, em lb.pé, é

��

* *

força distância

2 2i ix x x x∆ ⋅ = ∆

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Teremos o trabalho total realizado somandotodas essas aproximações, fazendo o número departes se tornar grande (∆x → 0).

100*

1 0

lim 2 2n

ini

W x x x dx→∞ =

= ∆ =∑ ∫

1002

010.000 lb.péx = =

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Se tivéssemos colocado a origem naextremidade do cabo e o eixo x apontandopositivamente para cima, teríamos obtido

100

0

2(100 )W x dx= −∫

que nos dá a mesma resposta.

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Exemplo 5: Um tanque tem o formato de um conecircular invertido de altura 10 m e raio da base 4 me está cheio de água até uma altura de 8 m. Calculeo trabalho necessário para esvaziar o tanquebombeando toda a água pelo topo do tanque. (Adensidade da água é de 1.000 kg/m3).

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Solução: Vamos medir as profundidades a partir dotopo do tanque introduzindo uma coordenadavertical como na figura a seguir.

29


A água se estende de uma profundidade de2 m até uma profundidade de 10 m e entãodividimos o intervalo [2, 10] em n subintervaloscom extremos x0, x1, …, xn e escolhemos xi* noi-ésimo subintervalo.

Isso divide a água em n camadas. A i-ésimacamada é aproximada por um cilindro circular deraio ri e altura ∆x.

30


Podemos calcular ri por similaridade detriângulos usando a figura a seguir.

31


( )**

4 210

10 10 5i

i ii

rr x

x= ⇒ = −

−

Então uma aproximação para o volume dai-ésima camada de água é

( )22 *410

25i i iV r x x x= ∆ = − ∆ππ

e, dessa forma, sua massa é

densidade x volumeim =

32


( ) ( )2 2* *41.000 x 10 160 10

25i i im x x x x= − ∆ = − ∆π π

A força necessária para elevar essa camadade água deve ser maior que a força da gravidade, eassim

( )2*(9,8) 160 10i i iF m g x x= ≈ ⋅ − ∆π

( )2*1.570 10i i iF m g x x= ≈ − ∆π

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Cada partícula na camada deve se mover auma distância de aproximadamente xi*. O trabalhoW, feito para elevar essa camada até o topo éaproximadamente o produto da força F e dadistância xi*.

( )2* * *1.570 10i i i i iW F x x x x= ≈ − ∆π

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Para determinar o trabalho total realizadopara esvaziar o tanque, adicionamos as contri-buições de cada uma das n camadas e entãotomamos o limite quando n → ∞.

( )2* *

1

lim 1.570 10n

i ini

W x x x→∞ =

= − ∆∑ π

( )10

2

2

1.570 10W x x dx= −∫ π

35


( )10

2

2

1.570 100 20W x x x dx= − +∫π

( )10

2 3

2

1.570 100 20W x x x dx= − +∫π

1042 3

2

201.570 50

3 4x

W x x

= − +

π

63,4 x 10 JW ≈

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