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35A U L A

35A U L A

Progressesgeomtricas

Introduo Nesta aula, vamos abordar outra importan-te seqncia: a progresso geomtrica. possvel que voc j tenha ouvidoalgum preocupado com o nmero de habitantes do nosso planeta dizer aseguinte frase: A produo de alimentos cresce em p rogresso aritmticaenquanto a populao mundial cresce em progresso geomt r i ca.

O que essa frase significa?A primeira parte da frase diz que o aumento da produo de alimentos

constante, ou seja, a cada ano aumenta do mesmo valor. A segunda parte dafrase fala de uma seqncia cujo crescimento cada vez mais rpido.

Para que voc tenha uma primeira idia do que vamos estudar, mostramos,no desenho seguinte, alguns termos de uma progresso aritmtica e de umaprogresso geomtrica, situados sobre uma rgua. Observe o crescimentoconstante da progresso aritmtrica e o crescimento, cada vez mais rpido,da progresso geomtrica.

Progresso geomtrica (ou simplesmente PG) uma seqncia denmeros no nulos em que cada um deles, multiplicado por um nmero fixo,fornece o prximo elemento da seqncia. Esse nmero fixo chama-se razo, eos elementos da seqncia so os termos da progresso geomtrica.

Por exemplo, vamos obter os termos de uma progresso geomtrica derazo 2, partindo do nmero 3.

Nossa aula

3 6 12 24 48 96 192 384 768 1.536...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

PA

PG

x2... x2 x2 x2 2 x2 x2 x2 x2 x2

Acesse: http://fuvestibular.com.br/

P/ as outras apostilas de Matemtica, Acesse: http://fuvestibular.com.br/telecurso-2000/apostilas/ensino-medio/matematica/

35A U L AObserve como o crescimento rpido.

Os termos da progresso geomtrica so representados, como em qualquerseqncia, por a1, a2, a3, ..... , an, e a razo ser representada pela letra q. Assim,no exemplo anterior, temos a1=3, a2=6, a3=12 etc. e q = 2.

Se cada termo da PG multiplicado pela razo d o termo seguinte, entopodemos afirmar que:

A razo da PG igual a qualquer termo dividido pelo anterior.

No nosso estudo, vamos considerar apenas progresses geomtricas determos positivos. So as que tm interesse prtico e ocorrem em diversosfenmenos naturais.

Observe trs exemplos que mostram a classificao das progressesgeomtricas:

l a1 = 2, q = 5PG: 2, 10, 50, 250, 1.250, ... uma progresso crescente.

l a1 = 8, q = 12

PG: 8, 4, 2, 1, 12

, 14

...

uma progresso decrescente.

l a1 = 3, q = 1PG: 3, 3, 3, 3, 3, 3, ... uma progresso estacionria.

Pelo que vimos acima, conclumos que, se a razo for maior que 1, aprogresso geomtrica crescente e, se a razo for um nmero entre 0 e 1,a progresso decrescente.

Vamos agora obter uma frmula para determinar qualquer termo de umaPG a partir do primeiro termo e da razo. Observe ento uma progressogeomtrica qualquer:

a1 a2 a3 a4 a5 ..... an

xq xq xq xq .....

A partir da definio de PG, temos que a2 = a1 . q.O terceiro termo a3 = a2 . q = a1 . q . q = a1 . q. O quarto termo

a4 = a3 . q = a1 . q . q = a1 . q e assim por diante.

a2 = a1 . qa3 = a1 . qa4 = a1 . qa5 = a1 . q

4

.................

Para obter ento o termo de ordem n, devemos multiplicar o primeiro termopela razo n-1 vezes, ou seja,

Frmula do termo geralan = a1 . q

n-1



35A U L A EXEMPLO 1

Determinar o 12 termo da PG 7, 14, 28, .....

Como a razo da PG igual a qualquer termo dividido pelo anterior,temos que:

q = 147

2= .

Para calcular o 12 termo dessa progresso, substitumos n por 12 nafrmula do termo geral. Temos ento:

a12 = a1 . q11

Substituindo os valores do primeiro termo e da razo, encontramos:

a12 = 7 . 211

a12 = 7 . 2.048 = 14.336

EXEMPLO 2

Existem bactrias que se reproduzem de forma extremamente rpida.Um exemplo a bactria que causa a sfilis (chamada treponema pallidum):cada uma delas se transforma em 8 iguais no perodo de 1 hora.Se uma bactria desse tipo comea a se reproduzir, quantas elas sero 12horas depois, supondo que nenhuma delas tenha morrido?

Soluo: A populao de bactrias forma uma progresso geomtrica:

momento inicial _ a1 = 11 hora depois _ a2 = 82 horas depois _ a3 = 64........................................................

Vemos ento que, 12 horas depois, devemos calcular o 13 termo da progressogeomtrica com a1 = 1 e q = 8. Aplicando novamente a frmula do termogeral, com n = 13, temos:

a13 = a1 . q12

Substituindo os valores do primeiro termo e da razo, encontramos:

a13 = 1 . 812

Esse resultado d o incrvel nmero 68.719.476.736, ou seja, mais de 68bilhes de bactrias!



35A U L AA PG na calculadora

A maioria das calculadoras simples capaz de mostrar no visor os termosde uma progresso geomtrica de forma bastante prtica. Basta digitar a razo,o sinal de multiplicao, o primeiro termo e a tecla = sucessivas vezes.

Os termos da PG vo aparecendo no visor:

VISORq x a1 = a2

= a3= a4 etc.

Por exemplo, para obter diversos termos da PG de razo 3 com primeirotermo 2, digite, nesta ordem:

Voc ver ento os seguintes nmeros aparecerem no visor:

EXEMPLO 3

Joo investiu R$ 500,00 em aes de uma empresa.Por infelicidade, esse dinheiro sofreu desvalorizao de 5% todos os meses.Quanto Joo ainda tinha no fim de 1 ano?

Quem perde 5% fica com 95% do que tinha antes.

9595

1000 95% ,= =

Se ele tinha R$ 500,00, um ms depois passou a ter 500 . 0,95 = 475, ou seja,ele passou a ter apenas 95% do que tinha antes.O raciocnio continua igual. Se ele agora tem R$ 475,00, no ms seguinte elepassar a ter 475 . 0,95 = 451,25, ou seja, apenas 95% do que tinha. Vocobservou ento que:

Para desvalorizar uma quantia em 5%, devemos multiplic-la por 0,95.

O dinheiro de Joo forma ento uma progresso geomtrica decrescente:

ms inicial _ a1 = 5001 ms depois _ a2 = 500 . 0,952 meses depois _ a3 = 500 . 0,95

2

..................................................................12 meses depois: _ a13 = 500 . 0,95

12

Para encontrar esse valor, use a mquina de calcular. Digite primeiro arazo (0,95), o sinal de multiplicao, o primeiro termo (500) e, em seguida,12 vezes a tecla = .No visor aparecer o nmero 270,18. Isso quer dizer que os R$ 500,00 de Jooforam sendo desvalorizados em 5% a cada ms e, no fim de um ano, ficaramreduzidos a R$ 270,18.

6 18 54 1.458 4.374 13.122

3 x 2 = = = = ...

486162



35A U L A Propriedades da PG

O grfico

Esse grfico de barras re-presenta a progresso geo-mtrica cujo primeiro ter-mo 1 e cuja razo 1,5.O termo geral dessa PG portanto:

an = 1 . (1,5)n-1Repare que, na progressoaritmtica (Aula 33), as ex-tremidades das barras es-to sobre uma reta. Na pro-gresso geomtrica, as ex-tremidades das barras es-to sobre uma curva. Essacurva, chamada curvaexponencial, ser objetode nosso estudo na Aula58.

Progresso de trs termos

Suponha inicialmente que os nmeros a, b, c, formem uma progressoaritmtica. Como a razo igual a b ----- a e tambm igual a c ----- b temos:

b - a = c ----- b2b = a + c

b =a + c

2

Dizemos ento que b a mdia aritmtica entre a e c.Agora, se os nmeros positivos a, b, c formam uma progresso geomtrica,

ento a razo igual a b/a e tambm igual a c/b. Da,

Dizemos ento, nesse caso, que b mdia geomtrica entre a e c.

Observe duas progresses, uma aritmtica e outra geomtrica, ambascom trs termos.

PA: 4, 10, 16, _ 10 mdia aritmtica entre 4 e 16.

PG: 4, 08, 16, _ 08 mdia geomtrica entre 4 e 16.

1 2 3 4 5 6

a1

a2

a3

a4

a5

a6

ba=

cb

b2 = ac

b = ac



35A U L AExerccio 1

Escreva os 8 primeiros termos da progresso geomtrica cujo primeirotermo 5 e cuja razo 2.

Exerccio 2Calcule o valor de x em cada uma das progresses geomtricas abaixo:

a) 4, 12, xb) 2, x, 50c) x, 6, 9

Exerccio 3Uma pequena empresa est em desenvolvimento, e seu faturamentoaumenta 20% todos os meses. Se em janeiro ela faturou R$ 7.400,00, quantoela dever faturar em outubro do mesmo ano?Sugesto: Se o faturamento em certo ms x, ento no ms seguinte ser20% maior, ou seja,

x + 20100

. x = x + 0,2x = (1 + 0,2) x = 1,2x

Esse clculo mostra que, para conhecer o faturamento do ms seguinte,basta multiplicar o faturamento atual por 1,2. Portanto, os faturamentosformam uma progresso geomtrica de razo 1,2.

janeiro _ a1 = 7.400fevereiro _ a2 = 7.400 . 1,2maro _ a3 = 7.400 . 1,2

2

......................................................outubro _ a10 = ?

Use a mquina de calcular para determinar o faturamento de outubro.

Exerccio 4O nmero x positivo e os nmeros 8 , x e x + 6 formam, nessaordem, uma progresso geomtrica. Calcule x .

Exerccio 5Uma indstria comeou a funcionar em 1980 e aumentou sua produo em10% a cada ano. Em que ano a produo ser, pela primeira vez, maior queo dobro da inicial?Sugesto: Se a produo em certo ano x, no ano seguinte ser 10% maior,ou seja,

x + 10100

x = x + 0,1x = (1 + 0,1) x = 1,1x

Ento, para calcular a produo do ano seguinte, basta multiplicar a produ-o atual por 1,1.Considere um valor qualquer para a produo inicial, por exemplo, 100.Construa uma PG de razo 1,1 e, com auxlio da mquina de calcular,verifique quando essa produo passar de 200.

ExercciosAcesse: http://fuvestibular.com.br/


35A U L A Exerccio 6

O protozorio chamado plasmodium vivax um dos causadores damalria. Ele se reproduz muito rpido. No espao de um dia, cada umdeles se transforma em 4 iguais.Se um deles penetra no organismo de uma pessoa, quantos eles sero(aproximadamente) 10 dias depois?

Exerccio 7A partir de 1970 a incidncia de certa doena passou a diminuir de 40% acada ano. Em que ano o nmero de doentes foi de cerca de 1% do nmeroregistrado em 1970?Sugesto: Construa a progresso geomtrica abaixo:

ANO 1970 1971 1972 1973 .......

N DE100 60 36

DOENTES

e, com auxlio da mquina de calcular, verifique em que ano aparece umnmero prximo de 1.



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