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8/19/2019 AULA 2 - Cinematica - RENATO BRITO.pdf

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Aula 2 – CINEMÁTICAPARTE 1 – M.U. e M.U.V

1 - INTRODUÇÃOA cinemática é a parte da Mecânica que estuda o movimento dos corpos sem se preocupar em desvendar as suas causas. No estudo dacinemática, estamos interessados em determinar a posição do móvel, a sua velocidade ou mesmo a sua aceleração num dado instante. Para

esse estudo, nos utilizamos de funções horárias, gráficos e propriedades dos movimentos.

2 - VALOR MÉDIO DE UMA GRANDEZANo estudo da mecânica, é comum estarmos interessados em calcular a velocidade média de um móvel, a aceleração média de um foguete, aforça média que uma raquete aplica à uma bola de tênis. Calcular o valor médio de uma grandeza é algo simples e a maneira de calcular éúnica para todos os casos. A seguir aprenderemos a calcular o valor médio de uma grandeza genérica e isso será muito útil para oscapítulos seguintes.

Suponha uma função matemática contínua F(t) qualquer que depende da variável t. Considere que a função F(t) tenha um comportamentodado pelo gráfico da figura 1:

F

tt1

t2

figura1

F

tt1

t2

área 1

figura 2

F

tt1

t2

área 2

m

figura 3

Percemos que o valor de F é variável, isto é, para cada valor da variável independente t, a função assume um novo valor F(t). Assim, qual ovalor médio m da função F no intervalo [t1, t2] ?

É o valor constante m que essa função F deve assumir no intervalo [t1, t2] que faz com que a área 1 seja igual a área 2. Interpretandogeometricamente, estamos transformando a área 1 numa área 2 retangular idêntica, de mesma base t2 – t1 e altura m a ser determinadaSeguindo essa definição, temos:

área1 = área 2 área1 = m x ( t2 – t1 ) m =)tt(

1área

12

Profi, mas por queas áreas têm que

ser iguais ?

Essas áreas, em cada caso,têm um significado físico

diferente. Veremos a seguir.

Exemplo resolvido 1:Um móvel está se deslocando numa trajetória retilínea e sua velocidade, em cada instante t, é dada pela funçãoV = 2 + 4.t válida no SI. Pede-se determinar a velocidade média do móvel no intervalo de tempo [5s , 10s].

Solução: O gráfico da função V = 2 + 4.t é uma reta, visto que é uma função do 1o grau, e está ilustrado na figura 4:


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2

V(m/s)

t(s)5 10

22

42

área 1

figura 4

V(m/s)

t(s)5 10

vm

área 2

figura 5

Determinemos o valor numérico da área 1 acima, efetuando os cálculos com as unidades físicas envolvidas. Lembrando da fórmula da áreade um trapézio, vem:

área1 2

)s5(10s 22m/s) s/m42( =

2

5s s/m64 = 160 m

Observe que a unidade física que resultou do cálculo acima foi metro. Assim, o valor numérico da área 1 representa o deslocamentos = 160 m do móvel no intervalo de tempo [5s , 10s].

Para determinar a velocidade média Vm do móvel nesse intervalo, transformemos a área 1 em um retângulo de mesma área, mesma base ealtura Vm a ser determinada (área 2 na figura 5) :

área 1 = área 2 160 = Vm x (10 – 5) Vm = 32 m/s

Assim, o que significa dizer que a velocidade média do móvel, no intervalo [5s,10s], vale Vm = 32 m/s ?

Essa é a velocidade constante (figura 5) com que o móvel deveria se deslocar, durante aquele intervalo de tempo, para ter o mesmodeslocamento de antes s = 160m. Nesse contexto, “mesmo deslocamento” significa dizer área1 = área2, já que no gráfico V x t, a área soba curva representa s. Daí vem a necessidade de que as áreas 1 e 2 sejam iguais.

O significado físico da área varia, em cada contexto, mas o cálculo do valor médio m de qualquer grandeza sempre segue o mesmo raciocínioTransforma-se a área 1 numa área 2 retangular igual, de mesma base e altura m a ser determinada.

3 - INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS

Um gráfico é uma forma de representação de dados bastante compacta e, ainda assim, trás uma quantidade de informações muito grande. Oestudante deve ser capaz de extrair todas as informações de um gráfico, que podem ser obtidas por: Leitura direta dos valores numéricos dos eixos do gráfico Analisando a área sob a curva Analisando a inclinação da curva em pontos convenientes

A área sob a curva, em cada gráfico, geralmente trás informações importantes na solução de problemas.

Profi, e como saberei osignificado físico de

uma área em cadagráfico ?

É simples e não requer nenhuma memorização,como mostrarei a seguir


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3

Para se determinar saber o significado físico da área sob a curva em gráfico, basta multiplicar a unidade física do eixo Y pela unidade física doeixo X. A unidade física resultante indicará a grandeza física representada pela área sob a curva.Para se determinar o significado físico da inclinação do gráfico (tg ), basta dividir a unidade física do eixo Y pela unidade física do eixo X. Aunidade física resultante indicará a grandeza física representada pela inclinação da curva em um dado instante.A tabela a seguir mostra o significado físico da área e da inclinação em alguns gráficos como de posição S, velocidade escalar V, aceleraçãoescalar a e potência P, em função do tempo. No gráfico de potência P, note que:

1 watt = 1segundo

joule

S x t V x t a x t P x t

Área( Y x X )

Semsignificado físico

ms

s

m

área s

s

m s

s

m

2

área v

jss

j

área energia

Inclinação( Y X )

s/ms

m

tg v

2s/m

s

s/m

tg a



A tabela mostra que não há necessidade de se memorizar o significado da área e da inclinação da curva para todos os inúmeros gráficosAfinal, todos seguem o mesmo princípio.Exemplo resolvido 2:A figura abaixo mostra o gráfico da posição escalar S, em função do tempo, de dois móveis A e B, que se movem sobre uma mesma estradaAnalise o gráfico:Solução:

Analisando o gráfico acima, é possível afirmar que:

Por leitura direta dos valores do gráfico, conclui-se que o móvel A está à frentedo móvel B no instante inicial ( t = 0 ) visto que S0A > S0B.

No intervalo de tempo [ 0 , t 2 ] os móveis se movem com velocidades escalares

iguais, visto que os gráficos de A e B são retas paralelas ( mesma inclinação = )nesse intervalo de tempo. Assim, velocidades dos móveis certamente são entre siiguais no instante t 1.

A partir do instante t 2 , o móvel A passou a se mover com velocidade maior que o

móvel B, visto que o ângulo que a reta A faz com a horizontal é maior que o

ângulo que a reta B faz com a horizontal, para t > t 2 . Então, certamente o carro A está mais veloz que o B no instante t 3.

S(m)

t(

A

B

S0A

S0B

t1 t2 t3


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4

4 - VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA

Considere um móvel que se desloca ao longo de uma trajetória orientada. No instante to sua posição escalar vale So e, no instante t, valeS. Define-se como velocidade escalar média no intervalo de tempo [ to , t ] o quociente:

o

o

tt

SS

t

S Vm

S(m)

So S

to t A expressão acima é geral e, portanto, se aplica ao cálculo da velocidade escalar média para qualquer classe de movimentos.

5 - ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA

Considere um móvel que se desloca ao longo de uma trajetória orientada. No instante to sua velocidade escalar vale Vo e, no instante tvale V. Define-se como aceleração escalar média no intervalo de tempo [ to , t ] o quociente:

o

om

tt

VV

t

V a

S(m)

to t

vo

V

A expressão acima é geral e, portanto, se aplica ao cálculo da aceleração escalar média para qualquer classe de movimentos.

6 - MOVIMENTO UNIFORME - (MU)O movimento uniforme é aquele em que o móvel desloca-se com velocidade escalar constante .

S(m)

10 m 14 m 18 m

0 s 1 s 2 s

figura 7

O móvel acima se desloca em movimento uniforme com velocidade escalar 4 m/s constante. A característica marcante desse movimento éque o móvel se desloca espacos iguais em intervalos de tempos iguais. Esse fato pode ser notado analisando a área sob a curva no gráfico

da figura 8, ou observando as posições ocupadas pelo móvel na tabela 1.

t (s) 0 1 2 3 4 5 6

S (m) 10 14 18 22 26 30 34

V (m/s) 4 4 4 4 4 4 4

Tabela 1 – movimento uniforme


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5

Quando o móvel se desloca com velocidade escalar constante V, o cálculo da sua velocidade média Vm entre quaisquer dois instantes t1 et2 sempre resultará o mesmo valor V. A fim de verificar esse fato, a seguir caculamos as velocidades médias do móvel da figura 7 nosintervalos [1s, 3s] , [2s, 5s] e [3s , 6s] :

o

o

tt

SS

t

S Vm

=

36

2234

25

1830

13

1422

= 4 m/s

Assim, para o MU podemos escrever:

o

o

tt

SS

t

S Vm

= V S – So = V. ( t – to ) S = So + V.( t – to )

A expressão acima chama-se função horária completa da posição para o MU. Em geral, considera-se que o instante inicial to vale zero( to = 0 ) e a expressão se reduz a:

S = So + V. t

O Sinal da velocidade escalar é tomado positivo (+) quando o móvel se desloca a favor da trajetória (movimento progressivo) e, negativo ( –)quando o móvel se desloca no sentido contrário da trajetória.

Para o móvel da figura 7, tem-se So = 10 m e V = +4 m/s, assim:

S = So + V. t S = 10 + 4. t

Essa função determina a posição do móvel para qualquer instante t > 0.

A tabela 1 também mostra que a aceleração escalar do móvel é nula durante o MU, visto que sua velocidade escalar não aumenta nemdiminui durante o movimento.

7 - MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO - (MUV)

Ao contrário do MU, no MUV o móvel apresenta uma aceleração escalar não nula que permanece constante durante o movimento. Issosignifica que a velocidade varia linearmente durante o movimento.

Considere o MUV descrito pelo gráfico da figura 9 em que a velocidade do móvel aumenta de 4 m/s em 4 m/s a cada segundo num ritmoconstante. Isso significa que o móvel tem uma aceleração escalar +4 m/s2 durante o movimento. A área sob a curva na figura 9 revela que omóvel em movimento acelerado não percorre distâncias iguais em intervalos de tempos iguais mas, sim, distâncias progressivamentecrescentes. Analisando a área sob a curva, no gráfico da figura 9, pode-se perceber que:

No intervalo [ 0s, 1s ] o móvel percorre s = 4 + 2 = 6 mNo intervalo [ 1s, 2s ] o móvel percorre s = 4 + 4 + 2 = 10 mNo intervalo [ 2s, 3s ] o móvel percorre s = 4 + 4 + 4 + 2 = 14 m

O móvel, de fato, percorre distâncias cada vez maiores, a cada segundo. Essa é a diferença prática entre o MU e o MUV e é causada pela

aceleração.


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6

4 4 4 4 4

V(m/s)

T(s)1 2 3 4 5

4

8

12

16

20

figura 8 – gráfico de MU

4

2

4 4 4 4 4

4

4

44

4

44

4

4

V(m/s)

T(s)1 2 3 4 5

4

8

12

16

20

2

2

2

2

figura 9 – gráfico de MUV

A velocidade escalar média no MUV

Uma das características marcantes de todo MUV é que a sua velocidade escalar varialinearmente com o tempo. Assim, considere o gráfico de um MUV genérico mostrado ao lado.A seguir, determinaremos a velocidade média Vm desse móvel no intervalo [ t0 , t ] a partir dadefinição geral de velocidade média:

12 tt

trapéziohachuradaárea

t

S Vm

=

)tt(2

)tt()VV(

12

120

=2

VV0

V(m/s)

t(s)

V0

V

t0 t

Assim, no MUV, valem as seguintes relações para o cálculo da velocidade média de um móvel :

2

VV

t

S Vm

0

Exemplo resolvido 3:Um veículo, deslocando-se em movimento uniformemente variado, penetra um túnel a uma velocidade 10 m/s e sai pelo outro extremo 4 sdepois, com uma velocidade de 20 m/s. Determine o comprimento do túnel.

Solução:O comprimento do túnel corresponde ao deslocamento s do veículo naquele intervalo de 4 s, desprezando-se o comprimento do carro

Assim, sendo o movimento um MRU, podemos escrever:

2

VV

t

S Vm

0

2

2010

4

S Vm

15

4

S

s = 60 m

Assim, o comprimento do túnel vale 60 m.Esse exercício mostra uma interessante aplicação da fórmula da velocidade média do MUV. Aplicamos a fórmula quando, na verda de, não

havia interesse em determinar a velocidade média mas, sim, o deslocamentos.


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7

8 - A FUNÇÃO HORÁRIA DA VELOCIDADE DO MUV

Uma das características marcantes do MUV é que o móvel se desloca com aceleração escalar constante a ao longo do tempo. Issosignifica que a sua aceleração média am , em qualquer intervalo [ t 0 , t ] , sempre resulta o mesmo valor a, assim:

o

om

tt

VV

t

V a

= a (V – V0) = a.( t – t0)

tomando t0 = 0, por simplicidade, vem:

V = Vo + a. t

9 - A FUNÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO DO MUV

Considere um móvel deslocando-se em MUV tal que noinstante to sua posição escalar vale So e sua velocidadeescalar vale Vo . Se sua aceleração vale a , qual será aposição escalar S do móvel no instante t > to ?

Para determinar S, devemos recordar que no MUV valem asseguinte relações:

S(m)

So S

to

t

Vo

Va

= 0

2

VV

t

S Vm

0

V = Vo + a. t

A partir dessas relações, temos:

t.2

VV S

o

( S – So ) = )0t.(

2

t.aV V oo

S = So + Vo. t +2

t.a 2

A relação acima chama-se função horária da posição para o MUV. A função horária completa é obtida se não considerarmos o instanteinicial to = 0, o que pode ser útil em problemas nos quais os móveis não começam a se mover no mesmo instante:

S = So + Vo.( t – to) +2

)tt.(a 2o para t to

So é a posição do móvel no instante to S é a posição do móvel no instante t, com t > to


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8

Exemplo resolvido 3:

Juquinha está no alto de um prédio de 25 m de altura e rebola,verticalmente para cima, um coco com velocidade de 20 m/s. Se aaceleração da gravidade vale g = 10 m/s2, pede-se determinar:

a)

o instante em que o coco atinge a altura máxima;

b)

a altura máxima atingida pelo coco em relação à calçada;c)

após quanto tempo o coco chega à calçada;

Solução: Para definir o sinal algébrico das grandezas tratadas escalarmente,inicialmente adotamos arbitrariamente um eixo orientado para cima,com a origem S = 0 m no nível da calçada. Assim, a velocidade escalarinicial do coco será tomada positiva ( a favor do eixo ) V o = + 20 m/s e asua aceleração escalar será tomada negativa a = –g = –10 m/s2 , já que agravidade, sendo vertical para baixo, se opõe ao eixo.

S(m)

0 m

25 m

45 m

25 m

a = -g

No instante inicial t o = 0, o coco está na posição So = 25 m de acordo com o eixo adotado. Assim, as funções horárias da posição e davelocidade do coco são:

S = So + Vo. t +2

t.a 2

= 25 + 20.t – 2

t.10 2

S = 25 + 20. t – 5. t2 , t 0 s

V = Vo + a. t V = 20 – 10. t , t 0 s

a) o coco atinge a altura máxima no instante em que sua velocidade se anula ( a bola pára momentaneamente) , portanto:

V = 20 – 10. t 0 = 20 – 10. t t = 2 s

b) determinar a altura máxima do coco corresponde a determinar a sua posição S no instante t = 2 s, portanto:

S = 25 + 20. t – 5. t2 = 25 + 20. ( 2 ) – 5. ( 2 )2 = 45 m Hmax = 45 m

c) perguntar o instante t em que o coco atinge a calçada equivale a per guntar: “ em qual instante t a posição do móvel será S = 0 m ?

Afinal, a origem do eixo orientado foi adotada na calçada. Assim :

S = 25 + 20. t – 5. t2 0 = 25 + 20. t – 5. t2 t2 – 4.t – 5 = 0

Resolvendo a equação, encontramos t = –1 s e t = 5 s. Como o movimento começa em t = 0 s, então somente t = 5 s faz sentidofisicamente. O coco atinge o solo em t = 5 s. O aluno deve atentar para o fato de que uma única função horária da posição é útil paraestudar tanto a subida como a descida do móvel.

Exemplo resolvido 4:

Uma esfera A foi lançada verticalmente para cima com velocidade 60 m/s de umponto 15 m acima do solo. Três segundos depois, uma segunda esfera B foilançada verticalmente para cima, com velocidade 80 m/s, a partir do solo. Sendog = 10 m/s2, determine:

a)

quanto tempo a bola B se moveu até encontrar a bola A ;

b) a que altura ocorreu o encontro;

c) a velocidade das bolas e a direção em que se moviam no instante do encontro.

Solução:Nesse problema, os movimentos das esferas não iniciam no mesmo instante. Paraesse tipo de problema, utiliza-se a função horária completa do MUV seguinte:

S (m)

+60 m/s

+80 m/s

a = -g

0

5

10

15

VoA

VoB

B

A

figura 10


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9

S = So + Vo.( t – to) +2

)tt.(a 2o

So é a posição do móvel no instante to S é a posição do móvel no instante t, com t > to

Nessa função, to é o instante em que o móvel inicia o seu movimento, e So

é a posição do móvel no instante to . O diagrama ao lado mostra asequência dos eventos ao longo do tempo:

Para o móvel A, temos So = 15 m, to = 0 s, Vo = + 60 m/s

Para o móvel BA, temos So = 0 m, to = 3 s, Vo = + 80 m/s

Adotando o eixo das posições na vertical apontando para cima, com aorigem S = 0 no solo, as velocidades iniciais dos móveis A e B serãopositivas ( a favor do eixo) e a aceleração escalar do movimento seránegativa ( a = –g) já que a gravidade é vertical para baixo ao contrário doeixo.

T (s

0 s 3 s t

lançamentoda bola AtoA

= 0 s

lançamentoda bola BtoB

= 3 s

encontrodas bolas

Para o móvel A, a função da posição fica:

SA = So + Vo.( t – to) + 2

)tt.(a 2

o

= 0 + 60.( t – 0) – 2

)0t.(10 2

SA = 15 + 60. t – 5. t2 , válida para t 0 s

Para o móvel B, a função da posição fica:

SB = So + Vo.( t – to) +2

)tt.(a 2o = 0 + 80.( t – 3) – 2

)3t.(10 2

SB = 80.( t – 3) – 5.( t – 3)2 , válida para t 3 s

Para achar o instante do encontro, resolvemos a equação S A = SB:

S A = SB

15 + 60. t – 5. t2 = 80.( t – 3) – 5.( t – 3)2 t = 6 s

O encontro ocorreu no instante t = 6 s no eixo dos eventos. A posição do encontro é obtida substituindo t = 6 s em qualquer função horáriada posição:

S = 60. t – 5. t2 = 60x ( 6 ) – 5. ( 6 )2 = 180 m

O encontro ocorreu a 180 m de altura do solo. Assim, durante quanto tempo a bola B se moveu até encontrar a bola A ?Observando o diagrama de eventos acima, vemos que a bola B se moveu do

instante 3 s ao instante 6 s. Assim, seu movimento durou t = 6 – 3 = 3 s

A função horária da velocidade para o móvel A vale:V A = V oA + a.( t – t o ) = +60 – 10.( t – 0 ) V A = 60 – 10. t

A função horária da velocidade para o móvel B vale:

T (s)

0 s 3 s 6 s

lançamentoda bola AtoA

= 0 s

lançamentoda bola BtoB

= 3 s

encontrodas bolas

V B = V oA + a.( t – t o ) = +80 – 10.( t – 3 ) V B = 80 – 10.( t – 3 )

O encontro dos móveis ocorreu no instante t = 6 s no eixo dos eventos. Nesse instante, as velocidades escalares dos móveis valem:

V A = 60 – 10. t = 60 – 10 x 6 = 0 m/s


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10

V B = 80 – 10.( t – 3 ) = 80 – 10.( 6 – 3 ) = 80 – 10.( 3 ) = + 50 m/s

Vemos que, em t = 6 s, a bola A estava momentaneamente em repouso ( v = 0 ), indicando que ela estava em sua altura máxima naqueleinstante. A velocidade escalar da bola B em t = 6 s resultou positiva (a favor do eixo) , indicando que B estava em movimento ascendente nomomento do encontro.


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11

10 - LANÇAMENTO HORIZONTAL

Vx

Vx

Vx

Vx

Vy

Vy

Vy

V

V

V

Vo

figura 11

Professor: Observe a figura acima. A bola vem rolando pelo solo horizontal e, de repente, entra em queda livre (sob ação exclusiva da força

peso) até atingir o solo. Esse movimento chama-se lançamento horizontal porque sua velocidade era exclusivamente horizontal oV xV

noinício da queda, não havendo nenhuma componente vertical. Claudete, o que você espera que ocorra com a velocidade horizontal Vx da boladurante o movimento em direção ao solo ?Claudete: Não sei, prôfi, mas acho que ela deve diminuir, certo ?Professor: A velocidade Vx da bola só aumenta se houver uma aceleração horizontal causada por alguma força resultante horizontalEntretanto, a única força atuante na bola é o peso, que só atua na direção vertical, não causando nenhuma aceleração horizontal. Semaceleração horizontal, a velocidade Vx da bola não irá aumentar ou diminuir de valor, permanecendo constante oV xV

.

Claudete: Ah, entendi ! Quer dizer que se a gente observar somente o movimento da bola na direção horizontal, seria um MovimentoUniforme MU né, prôfi, já que a velocidade horizontal permanece constante ?Professor: Exatamente, querida ! Horizontalmente a bola percorrerá espaços iguais em intervalos de tempos iguais. Agora me diga, ClaudeteO que se pode concluir sobre o comportamento da velocidade vertical Vy da bola durante a sua queda ?Claudete: Agora eu sei ! Como tem a força peso P agindo na direção vertical, a aceleração g da gravidade causará um aumento progressivoda velocidade Vy, né verdade ?

Professor: Sem dúvida ! Seu movimento vertical é idêntico ao de um coco que cai verticalmente de uma árvore. A velocidade Vy vaaumentando gradativamente de acordo com a gravidade.Claudete: Ah ! Legal ! Mostre um exemplo prático, professor !

40 m/s

V

V

V

Vo40 m/s

40 m/s

40 m/s

10 m/s

20 m/s

30 m/s

t = 0 s t = 1 s

t = 2 s

t = 3 sH = 45 m

Alcance = D

g = 10 m/s2

Professor: Olhe atentamente a figura acima. A bola de basquete que vinha com V o = 40 m/s rolando num plano a 45 m de altura entra emqueda até o chão.


12/17

12

Veja a velocidade Vx = 40 m/s da bola permanecendo constante durante a queda. Veja a velocidade Vy da bola, que inicialmente valia Vy = 0, aumentando progressivamente de 10 m/s em 10 m/s a cada 1 s egundo, já

que a aceleração da gravidade vale g = 10 m/s2. Note que se quisermos achar a velocidade V da bola num certo instante, temos que achar a resultante (teorema de Pitágoras) entre a

velocidades Vx e Vy da bola. Assim, no instante t = 3 s, a bola tem velocidade Vx = 30 m/s , Vy = 40 m/s , o que permite facilmenteachar o valor da velocidade total V da bola:

V2 = (Vx)2 + (Vy)2 = (30)2 + (40)2V2 = 900 + 1600 = 2500

V = 50 m/s

A bola, que partiu lá de cima com velocidade Vo = 40 m/s, chegou ao solo em t = 3 s com velocidade V = 50 m/s

Claudete: Puxa, que legal ! E prôfi, como eu iria saber que a bola leva t = 3 s para chegar lá embaixo ?Professor: Ora, amiga Claudete. Lembra que o movimento vertical daquela bola é idêntico ao de um coco caindo de uma árvore. Quantotempo um coco leva para despencar do alto de uma árvore gigante de 45 m de altura ? Basta usar aquela conhecida relação da queda livre:

2

tg. H

2

45 =2

t.10 2

t = 3 s

(cálculo do tempo de queda

Claudete:Hummmm ! entendi. E seu eu quisesse saber quanto vale aquela distância percorrida pela bolota horizontalmente, aquele tal dealcance D , prôfi ?

Professor: Beeem facinho ! Você lembra que o movimento daquela bola, na horizontal, é um MRU, já que horizontalmente sua velocidade éconstante Vx = 40 m/s ? Assim, qual a distância horizontal percorrida por um móvel que se desloca com 40 m/s durante t = 3 s ?Adiviiiiinha ?

D = Vx . t = 40 m/s x 3 s D = 120 m

(cálculo do alcance

Ou seja, Claudete. A bola, em seu “vôo” até o chão percorreu, horizontalmente, 120 m , que é o chamado alcance. A figura aba ixo resumetodos os resultados que encontramos. Agora você já sabe como se calcula o tempo de queda da bolinha, bem como o seu alcance:

40 m/s

V

V

Vo40 m/s

40 m/s

40 m/s

10 m/s

20 m/s

30 m/s

t = 0 s t = 1 s

t = 2 s

t = 3 sH = 45 m

Alcance = 120 m

g = 10 m/s2

50 m/s

Claudete: Afff ! Gostei desse negócio, prôfi ! E olhe, e é porque pensei que nunca fosse entender, acredita ? Olhe, percebi uma coisainteressante nesse movimento: quando calculamos o tempo de queda da bolinha ( t = 3 s ), nem precisamos utilizar a velocidade V0 = 40 m/scom que a bolinha iniciou o seu movimento. Por que, prôfi ?

Professor: Bem notado, Claudete ! O cálculo do tempo de queda é efetuado usando apenas a altura e a gravidade, da mesma forma comocalculamos o tempo de queda de um coco. Isso ocorre porque o movimento de queda vertical é totalmente independente do movimentohorizontal da bola. Em outras palavras, quando a bolinha está caindo, ela “não sabe” que também está indo para a direita em MRU ! Atabela abaixo resume tudo isso:


13/17

13

Grandeza a ser determinada Únicos fatores dos quais a grandeza depende

Tempo de queda (t) H e g apenas

Alcance (D)Vo e tempo de queda (t), ou seja,

Vo , H e g


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14

11 - LANÇAMENTO OBLÍQUO

Professor: Agora o lançamento não será mais horizontal. A bola será lançada numa direção que forma um ângulo com a horizontal. Issosignifica que, no início do lançamento, a bola já terá tanto velocidade horizontal Vx quanto vertical Vy. Uma vez mais, durante todo omovimento da bola, só atuará na mesma a força vertical peso P. Assim, Claudete, como você espera que seja o comportamento davelocidade horizontal Vx da bola, durante o movimento ?

g = 10 m/s2

Vo

VoX

VoY

Claudete: Ora, prôfi , que nem antes ! A velocidade horizontal Vx da bola nem aumentará nem diminuirá de valor durante o “vôo” da bolotapois para isso teria que haver alguma força na horizontal para empurrar ou frear a bola, coisa que não existe ! Agora, na vertical, por causado peso, a velocidade vai mudando de acordo com a gravidade, certo ?

g = 10 m/s2

Professor: Muito bem, Claudete ! A figura acima mostra que a velocidade Vx da bola não muda de valor durante o movimento da bola. Já avelocidade vertical Vy vai diminuindo durante o movimento até atingir a altura máxima (onde Vy = 0 já que a bola pára de subir). A partir daí avelocidade vertical volta a aumentar de valor gradativamente. Esse comportamento da velocidade Vy, logicamente, se deve à presença daforça peso na vertical, proporcionando a aceleração da gravidade g que controla Vy.

Claudete: Bora ver um exemplo prático, prôfi !


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15

g = 10 m/s2

30 m/s

20 m/s

10 m/s

10 m/s

20 m/s

30 m/s

40 m/s

40 m/s

40 m/s

40 m/s40 m/s

40 m/s

40 m/s

50 m/s

50 m/s

H

alcance = D

t = 0 s

t = 1 s

t = 2 s

t = 3 s

t = 4 s

t = 5 s

t = 6 s

Professor: Na figura acima, uma bola é lançada com velocidade inicial Vo = 50 m/s numa direção que forma um ângulo = 36 com ahorizontal. Decompondo a velocidade inicial Vo da bola em suas componentes Vox = 40 m/s e Voy = 30 m/s , podemos estudaseparadamente os movimentos vertical (MUV) e horizontal (MRU). Observe os seguintes detalhes na figura acima: A velocidade Vx = 40 m/s da bola não se altera durante todo o “vôo” da bola MRU) como era esperado; A velocidade inicial Vy = 30 m/s da bola vai diminuindo 10 m/s a cada segundo que se passa durante a subida até se anular na altura

máxima (t = 3 s) . A seguir, a velocidade Vy passa a aumentar 10 m/s a cada 1 s durante o movimento de descida, já que a aceleraçãoda gravidade vale g = 10 m/s2.

As velocidade Vx e Vy da bola durante todo o movimento, bem como a velocidade resultante V (determinada pelo teorema de Pitágoras) podem ser vistas na tabela abaixo:

T (s) 0 1 2 3 4 5 6

Vx (m/s) 40 40 40 40 40 40 40

Vy (m/s) +30 +20 +10 0 –10 –20 –30

V (m/s) 50 44,72 41,23 40 41,23 44,72 50

Note que a velocidade mínima da bola ocorre na altura máxima ( V = 40 m/s ) , onde toda a componente Vy se anula, restando apenas acomponente horizontal Vx naquele instante ( t = 3 s ).

Claudete: Prôfi, e como faço para determinar as componentes Vox e Voy no instante inicial ?Professor: Ora, claudete. Basta você decompor a velocidade inicial Vo da bola, veja:

Suponha dado sen 36 = 0,6 e cos 36 = 0,8

Vox = Vo. cos 36 = 50 x 0,8 = 40 m/s

Voy = Vo. sen 36 = 50 x 0,6 = 30 m/s

Vo

VoX

VoY

Claudete: E como sei quanto tempo a bola vai durar o “vôo” da bola, prôfi ?


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Professor: Ora, vamos analisar apenas o movimento vertical. Quando um coco é jogado com Vy = 30 m/s verticalmente para cimaquanto tempo ele leva para parar (e atingir a altura máxima) ? Ora, como a gravidade vale g = 10 m/s2, a velocidade na subida diminui de 10m/s em 10 m/s a cada 1 segundo. Se ela vale 30 m/s no começo e diminui de 10 em 10, em quanto tempo ela se anula ? Fácil :

Vy 30 20 10 0

T 0 1 2 3

Intuitivamente, vê-se que ela se anula após 3 s . Assim, o tempo de subida vale Tsub = 3 s. Como o tempo de subida é igual ao tempo dedescida, devido à simetria, o tempo de vôo é dado por:

Tvôo = Tsub + Tdes = 3 s + 3 s = 6 s

A velocidade Vy da bola, em qualquer instante, pode ser determinada:

Vy = Voy + a. T , com Voy = +30 m/s e a = –10 m/s2

Vy = 30 – 10. Ta = -10 m/s2

Eixo y

Voy = +30 m/s

Claudete: Prôfi, e como a gente faz para determinar a altura máxima atingida pela bola ?Professor: Claudete, para isso, lembre-se que o movimento vertical é independente do horizontal. Ou seja, quando a bola está subindo oudescendo, ela “não sabe” que também está s e deslocando para a direita. Para determinar a altura máxima, vamos avaliar apenas omovimento vertical da bola.Claudete: Ah, prôfi ! Sendo assim, o movimento vertical da bola é igual ao de um coco jogado verticalmente para cima com 30 m/s né ?Professor: Exato, Claudete ! Esse coco levará 3 s para subir, atingir a altura máxima e 3 s para descer. Se ele leva 3 s para descer lá decima, a partir do repouso, de que altura ele desceu ? Usando a conhecida relação da queda livre, vem:

2

)T(g. H

2desc

max Hmax =2

)3.(10 2 Hmax = 45 m

(cálculo da altura máxima

Claudete: Ahhh ! Entendi ! Basta notar que ela leva 3 s para descer lá de cima, onde encontrava-se em repouso na vertical ( Vy = 0). E prôfie como se faz para achar o alcance horizontal D da bola em seu vôo ?Professor: Ora, perguntar quanto vale o alcance equivale a perguntar “qual a distância percorrida horizontalmente (MRU) pela bolinha dur anteos 6 s de duração do vôo ?” Se na horizontal o movimento ocorre com velocidade constante (MRU), vem:

D = Vx . Tvôo = 40 m/s x 6 s D = 240 m

(cálculo do alcance

Assim, aprendemos como interpretar direitinho o lançamento horizontal e o lançamento oblíquo em queda livre no campo gravitacional.


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12 - PROPRIEDADES DO LANÇAMENTO OBLÍQUO

Vo

VoX

VoY

A

Hmax

Alcance A atingido pelo corpo : A = )cos().sen(.2.g

V2o ou A = )2sen(.

g

V2o

Altura máxima atingida pelo corpo: Hmax = 2)(sen

.g

V 22

o

A

Vo

Vo

Dois disparos feitos com mesma velocidade inicial Vo atingem o mesmo alcance A + = 90o

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