AULA 1 - 2015/2

Equações Diferenciais e Modelos Matemáticos

Equações Diferenciais

Equações diferenciais são equações que relacionam funções (relações entre variáveis)e suas derivadas. Ou seja, relacionam taxas de variação de variáveis. Também podemosdizer que equações diferenciais são equações cujas incógnitas são funções e suasderivadas.

Classificação: As equações diferenciais podem ser classificadas da seguinte maneira:

- quanto a ordem: dependendo da ordem da maior derivada que aparece na equaçãoela pode ser classificada como equação diferencial de primeira ordem, de segunda ordem eassim por diante.

Exemplos:

dIdt

+ RL

I = EL

d2q

dt2+ R

L

dq

dt+ 1

LCq = E

L

md2y

dt2+ c

dy

dt+ Ky = Ft

- quanto ao tipo: dependendo das variáveis relacionadas, as equações podem serordinárias - EDO (quando envolvem funções de uma variável) ou parciais - EDP (quandoenvolvem funções de variás variáveis, isto é, derivadas parciais).

dIdt

+ RL

I = EL

∂y

∂t

2

= a2 ∂y

∂x

∂2u∂x2

+ ∂2u∂y2

= 0

- quanto a linearidade: equação diferecial linear é aquela em que a variáveldependente (y) e suas derivadas aparecem em combinações aditivas com coeficienteslineares na variável independente x.

y − xdx + 4xdy = 0

y ′′ − 2y ′ + y = 0

1

d3y

dx3+ x

dy

dx− 5y = ex

1 − yy ′ + 2y = ex

d2y

dx2+ siny = 0

Solução de uma Equação Diferencial

Para entender o que é solução de uma equação diferencial será feita uma comparaçãocom a solução de uma equação algébrica. Equações algébricas são equações cujasincógnitas são números desconhecidos. Por exemplo, 2x + 3 = 5, nesse caso a solução éx = 1, pois 1 é o valor de x que satisfaz a equação.

Já sabemos que uma equação diferencial é uma equação cujas incógnitas envolvemfunções e suas derivadas. assim resolver uma equação diferencial é encontrar uma funçãoque satisfaça a equação. Ou ainda, a solução de uma equação diferencial é uma funçãoque a satifaz sob determinadas condições.

Por exemplo, para a equação diferencial linear ordinaria de primeira ordem (EDO - 1ªordem)

y ′ + 2y = 0

a função

yt = 20e−2t

é uma solução, pois satisfaz a equação.

Para verificar substitua a função yt = 20e−2te sua derivada y ′ na equação diferencial everifique que a igualdade é satisfeita.

Observe que as funções yt = 2e−2t, yt = −5e−2t, yt = e−2t também são solução daequação diferencial y ′ + 2y = 0.

De uma maneira geral podemos considerar que

yt = k e−2t para k um número real qualquer,

representa qualquer solução da equação diferencial y ′ + 2y = 0, por isso ela é chamada desolução geral dessa equação diferencial.

A solução geral de uma dada equação diferencial representa uma família de curvas,pois para cada valor da constante temos uma função que pode ser representadageometricamente por uma curva. Essa família também é chamada de curvas integrais da

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equação diferencial.

-2 -1 1 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

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x

y

Muitas vezes o interesse está numa das curvas integrais, escolhida mediante umacondição inicial. Nesse caso a solução que satisfaz uma condição inicial é denominadasolução particular ou solução de um problema de valor inicial. O termo condição inicial vemde sistemas físicos em que a variável independente é o tempo t e em que yt0 = y0 ey ′t0 = y1 representam, respectivamente, a posição e a velocidade de um objeto noinstante inicial t0. Portanto resolver um problema de valor inicial envolve o uso de umafamília de funções, solução da equação diferencial dada e a determinação de constantesespeciais de tal forma que a solução particular se ajuste a estas condições.

Por exemplo, considerando a equação diferencial y ′ + 2y = 0 e a condição inicialy0 = −1, qual seria a solução particular?

Como a solução geral é yt = ke−2t, para encontrar a solução que satisfaça y0 = −1basta substituir essa condição na solução geral e calcular o valor da constante.

Dessa forma k = −1 e a solução particular é:

yt = −e−2t.

Outro exemplo:

Verifique se a função yx = xex é uma solução da equação diferencial y ′′ − 2y ′ + y = 0.

Observe que a equação y ′′ − 2y ′ + y = 0 tem como solução y = xex, observe ainda queesta equação diferencial tem também a solução constante y = 0. Uma solução de umaequação diferencial identicamente nula é chamada de solução trivial.

As vezes uma equação diferencial tem uma solução que não é membro de uma famíliade soluções da equação, isto é, uma solução que não pode ser obtida atribuindo valoresparticulares aos parâmetros na família de soluções. Tal solução extra é chamada de

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solução singular.Por exemplo:

A equação diferencialdy

dx= xy1/2 tem uma família de soluções a um parâmetro

y = 14

x2 + C2

. Quando C = 0 temos a solução particular y = 116

x4. Observe que a

solção trivial y = 0 é uma solução singular, pois ela não é membro da família

y = 14

x2 + C2

,não há fora de atribuir um valor a constante C e achar y = 0.

Uma solução na qual a variável dependente é expressa somente em termos da variávelindependente e das constantes é chamada de solução explícita, caso contrário échamada de solução implícita.

EXERCÍCIOS:

1- Nos problemas abaixo, determine se a função dada é uma solução para a equaçãodiferencial indicada:

a) yx = 2e−x + xe−x y ′′ + 2y ′ + y = 0 V

b) yx = −cosx. lnsec x + tanx y ′′ + y = tan x V

c) yx =−x4, x < 0

x4, x ≥ 0xy ′ − 4y = 0 no intervalo −∞,∞ V

d)w′ − w − 2y = 1

y ′ − 4w − 3y = −1

wx = e5x − e−x + 1

yx = 2e5x + e−x − 1V

e) x ′′ + 16x = 0, xt = A cos4t e xt = B sin4t, com A e B ∈ ℝ V

2- Determine C1 e C2 de modo que yx = C1e2x + C2ex satisfaça as condições y0 = 0 ey ′0 = 1. C1 = −1 e C2 = 1.

3- Considere a equação diferencialdy

dx= x + siny e uma curva solução que passa pelo

ponto 1, π2

. Qual é a inclinação neste ponto? m = 2

4- A função xt = 2 + B cos0,5t é solução geral de uma equação diferencial de primeiraordem, onde x representa o deslocamento de um corpo. Encontre uma solução particularque satisfaça x0 = 0,6. Calcule a posição do corpo, sob essa condição, para t igual a 2segundos. B = −1,4 e x2 = 1,24

5- Mostre que φx = ex − x é uma solução explícita para a equação

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dφdx

+ φ2 = e2x + 1 − 2xex + x2 − 1.

6- Interprete cada afirmativa abaixo, como uma equação diferencial:

a) Sobre o gráfico de y = fx, a inclinação da reta tangente em um ponto P é o quadradoda distância de P à origem.

b) Sobre o gráfico de y = fx, a taxa segundo a qual a inclinação varia em relação a x emum ponto P é o negativo da inclinação da reta tangente em P.

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Modelos Matemáticos

Quando observamos um fenômeno, como uma mola que oscila, a corrente que decainum circuito elétrico, um corpo que se desloca, podemos identificar variáveis que variamem função do tempo. Por exemplo, imagine um corpo oscilando na extremidade de umamola. De que maneira podemos expressar a posição do corpo em função do tempo?

As equações diferenciais apresentam importância fundamental na Matemática Aplicadaà Engenharia. Isto se deve ao fato que muitas leis e relações físicas surgemmatematicamente sob a forma de uma equação diferencial. Examinaremos váriosproblemas físicos e geométricos que conduzem a equações diferenciais e alguns dosmétodos empregados para resolver tais equações. Dedicaremos especial atenção a algunsmodelos matemáticos encontrados na literatura que nos auxiliarão a desenvolver osmétodos de resolução.

Os passos abaixo ilustram de maneira simplificada o "papel" dos conceitos matemáticos narepresentação de situações de forma a produzir resultados de interesse (resolução deproblemas, por exemplo).

Assim as equações diferenciais podem ser modelos de situações reais. Nesse caso asolução da equação diferencial dará informações sobre a situação representada, dentro decertos limites, que estão relacionados com as variáveis consideradas ao elaborar o modelo.

Muitos problemas ou fenômenos da Engenharia, das Ciências Físicas ou mesmo dasCiências Sociais e Humanas, quando formulados em termos de conceitos matemáticos,

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envolvem funções e suas derivadas fazendo surgir as equações diferenciais.

Exemplo 1 - CIRCUITO RL (Resistor - Indutor)

dIdt

+ RL

I = EL

onde, It representa a corrente em cada instante, R a resistência (uma constante), L aindutância (uma constante), Et a força eletromotriz ou a voltagem aplicada em cadainstante (uma constante ou uma função conhecida). Essa equação representa a taxa devariação da corrente num circuito RL (circuito contento um resistor e um indutor).

Exemplo 2 - CIRCUITO RC (Resistor - Capacitor)

dq

dt+ 1

RCq = E

R

onde, qt representa a carga num circuito, em cada instante, R a resistência (umaconstante), C a capacitância (constante), Et a força eletromotriz ou a voltagem aplicadaem cada instante (uma constante ou uma função conhecida). Essa equação diferencialrepresenta a variação da carga elétrica q, no capacitor num circuito RC.

Exemplo 3 - CIRCUITO RCL (Resistor - Capacitor - Indutor)

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d2q

dt2+ R

L

dq

dt+ 1

LCq =

EtL

onde, qt representa a carga num circuito, em cada instante, R a resistência (umaconstante), C a capacitância (constante), L a indutância (constante), Et a forçaeletromotriz ou a voltagem aplicada em cada instante (uma constante ou uma funçãoconhecida). Essa equação diferencial representa a variação da carga elétrica q, nocapacitor num circuito RCL.

A função incógnita da equação (1) é it, corrente em função do tempo; a funçãoincógnita da equação (2) e da equação (3) é a carga, qt. Observe que a corrente é a taxade variação da carga em função do tempo, isto é

it =dq

dt

Exemplo 4 - CRESCIMENTO E DECAIMENTO

Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano pormeio da matemática foi feita pelo economista inglês Thomas Malthus, em 1798. A idéia éque a taxa segundo a qual a população de um país cresce em determinado instante éproporcional à população total do país naquele instante.

Em termos matemáticos, se Pt for a população total no instante t, podemos escrever:

dPdt

α P

dPdt

= kP

Exemplo 5 - Sistema Massa - Mola

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Fenômenos que envolvem oscilações podem ser representados por meio de equaçõesdiferenciais de segunda ordem. Por exemplo a equação

md2y

dt2+ c

dy

dt+ Ky = Ft

representa a variação da posição yt de um corpo de massa m que oscila comamortecimento proporcional a velocidade, sendo c a constante de proporcionalidade desseamortecimento, K a constante de elasticidade da mola ou amortecedor e Ft uma forçaexterna ao movimento. Essa força é chamada de função entrada e a solução da equaçãodiferencial é chamada de função saída.

Exemplo 6 - Misturas

As misturas de duas soluções salinas com concentrações diferentes dá origem a umaequação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal contida na mistura. Seconsiderarmos At a quantidade de sal no tanque no instante t, a taxa segundo a qual Atvaria será:

dAdt

=

taxa

de

entrada

de

sal

−

taxa

de

saída

de

sal

= Te − Ts

A taxa de entrada de sal Te é dada pela taxa de entrada da salmora x concentração desal no fluxo de entrada de sal, assim como a taxa de saída de sal Ts é dada pela taxa desaída de salmora x concentração de sal no fluxo de saída.

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