Aula 12

Fsica Geral F-428

(quase) Tudo sobre os tomos

1

Algumas propriedades atmicas:

tomos so estveis (quase sempre);

Os tomos podem ser agrupados em famlias (propriedades peridicas, com o nmero atmico);

tomos emitem e absorvem radiao eletromagntica com espectros discretos (no com qualquer ) ;

Os tomos possuem momento angular e magntico;

Os tomos se combinam (como o fazem bem descrito pela mecnica quntica).

2

A tabela peridica dos elementos

3

Propriedades peridicas energia de ionizao

4

Nmero de elementos em cada perodo:

2, 8, 8, 18, 18, 32

Propriedades peridicas raio atmico

5

Absoro e emisso de luz: propriedades atmicas & teste da teoria

6

O modelo de Bohr:

nem mesmo to bom assim para o H, muito menos para outros elementos...

7

rerU

1

4 0

2

O poo de potencial coulombiano em que

o eltron est confinado tem a forma:

A equao de Schrdinger nesse potencial:

)(E)()r(U)(m

rrr 2

2

2

Recordando:

A equao de Schrdinger e o tomo de H

8

9

,,rr

Coordenadas esfricas:

rR,,r

l nmero quntico orbital

(Mdulo do Momento Angular Orbital)

n nmero quntico principal

(Energia)

m nmero quntico

magntico (Orientao

do Momento Angular Orbital)

smbolo valores

n 1, 2, 3,

l 0,..., n-1

m -l,..., l

Como o potencial coulombiano s depende de r, a funo de onda pode ser separada (em coordenadas esfricas).

Isto produz trs equaes diferenciais separadas,

para as coordenadas eletrnicas do tomo de H !

A equao de Schrdinger e o tomo de H

10

11

mlmnlmln rRrl ,,,,

Para estes estados, as solues da equao

de Schrdinger...

....... so bem comportadas!!

O nmero quntico orbital l corresponde aos estados:

(1,0,0)

(2,0,0) (2,1,0) (2,1,1) (2,1,-1)

l = 0, 1, 2, 3, 4,...

(s, p, d, f, g)

0E

4/0

E

9/0

E

(3,1,0) (3,0,0) (3,1,-1) (3,1,1) (3,2,1) (3,2,0) (3,2,2) (3,2,-1) (3,2,-2)

)(rnlm

(n,l,m)

1s

2s 2p

3s 3p 3d

A equao de Schrdinger e o tomo de H

2

1

nEn

12

Momento angular orbital

Na soluo da equao de Schrdinger para o

tomo de hidrognio temos:

Quantizao do momento angular orbital de

acordo com:

10 nl

22 )1( llL

)1(llL

13 Note a diferena com a previso de Bohr!

mLz

Momento angular e momento magntico

Momento magntico orbital:

)1(2

2

llm

e

Lm

e

orb

orb

14

Momento angular e momento magntico

Momento magntico orbital:

)1(2

2

llm

e

Lm

e

orb

orb

Momentos angulares no so medidos diretamente.

Medimos o momento magntico atravs de suas

componentes paralelas a um campo magntico.

Bll )1(

m

eB

2

15

magneton

de Bohr

16

E a direo do ??

Precisamos definir uma direo no espao p.ex., direo z dada por um ;

A componente Lz no pode assumir um valor qualquer, mas est restrita a apenas alguns

valores: chama-se esta propriedade de

quantizao espacial.

L

B

Componente z do momento angular orbital: Nmero quntico magntico: ml

Blzorb m,

lz

mL

17

Experimento de Einstein de Haas (1915): momento magntico dos tomos

B

Lrot

cilindro

de Fe

Lat

18 O experimento mostrou conexo entre uma propriedade

magntica do material (no caso, o ferro) e o momento angular.

Momento magntico atmico (orbital): Clculo Clssico (baseado em correntes moleculares no material)

Lm

ere

er

T

er

dt

dqrAi

22

1

2

2

22

2

2rmL

Lm

e

2 19

Alm do momento angular orbital, o eltron

tem tambm um outro momento angular,

que lhe intrnseco:

no importa qual movimento o eltron est

descrevendo, ou em que tomo ele est

ligado, no importa nada: o eltron sempre

ter este momento angular intrnseco.

20

O experimento de Stern Gerlach (1922)

Por que B no homogneo ?

... 5s1 4d10

Por que Ag ?

Z=47

21

22

O que exatamente

Stern e Gerlach estavam

procurando??

Resp.: Evidncias da quantizao espacial

Foi realizado com um feixe de tomos de prata, saindo de um

forno quente, porque podia ser facilmente detectado em uma

emulso fotogrfica;

Os tomos de prata (Z=47) permitiram o estudo das propriedades

magnticas de um nico eltron, pois esses tomos tm um nico

eltron exterior que se move em um potencial coulombiano

produzido por 47 prtons do ncleo, blindados por 46 eltrons de

caroo;

Como o eltron externo tem momento angular orbital nulo (l = 0),

esperava-se que a interao com um campo magntico externo s

seria possvel se existisse o momento de spin.

O experimento de Stern Gerlach

23

zBzBBB

gBU

2

z

B

z

UF z

Bz

O experimento de Stern Gerlach

EK 24

Stern-Gerlach: Curiosidade histrica

25

26

Qual foi o resultado do experimento?

http://www.physicstoday.org/vol-56/iss-12/p53.html#ref

Walther Gerlach (1889-1979)

Otto Stern (1888-1969)

Nobel de Fsica: 1943

stern-gerlach

Stern-Gerlach: Curiosidade histrica

27

Spin do eltron

2

1;)1( sssS

2

1; ssz mmS Componente z do momento:

Momento angular de spin:

Fator "g" do eltron*:

gs = 2,00232:

gl = 1: BsBsszs mmg 2,

llmmmg lBlBllzl ,;,

BzsBszs m ,, 2

)1(; ssm

eS

m

eSS

Momento magntico de spin:

28 *O fator gs do eltron uma das grandezas medidas com maior preciso na Fsica,

com uma incerteza relativa de 2.6 x 1013.

S LJ total

Momento angular total do eltron no tomo de H

29

jz mJ

jjJ

SLJ

1

Para somarmos os dois momentos

angulares h uma regra:

j= |l-s| , ....... ,(l +s) de 1 em 1....

Portanto, os valores possveis

para j (quando l no for 0) so:

j= l

Um exemplo.....

30

Nmeros qunticos:

Nmero quntico principal n

j aparece no modelo de Bohr eV

6,131

8 22220

4

nnh

meE

n

Exemplo de efeitos devidos aos novos nmeros qunticos:

Desdobramento das linhas espectrais

na presena de campos externos

),(,,, trsl mmln

Novos nmeros

qunticos, associados

ao momento angular

orbital (l, ml) e de

spin (ms)

)1(llL

lz

mL

;)1( ssS

;sz mS

orbital spin

1nl

lllml ...,,1,2

1sm

2

1s

ssms ,..,

Blzorb m, BBszs m2,Momento magntico:

Lm

eorb

2S

m

eS

m

eB

2

31

A estrutura fina do H:

32

Estados caracterizados pelo nmero quntico j,

relativo ao momento angular total J= L + S

j=1/2

j=3/2

j=1/2

j = 5/2

j = 3/2

j = 1/2

j = 7/2

j = 5/2

j = 3/2

j = 1/2

n = 4

n = 1

n = 3

n = 2

l = 3 l = 2 l = 1 l = 0

2s 2p

3s 2p3/2

H outros efeitos no tomo de hidrognio que no esto includos na equao de

Schrdinger, que causam a quebra das vrias degenerescncias. O efeito mais

importante : Interao do eltron s com o campo B interno do tomo (Bi 1 Tesla) +

Correo relativstica da energia dos eltrons "Estrutura Fina"

Splitting:

4.5

10-5 eV

33

separao

Quebra sucessiva das

degenerescncias

34

Hidrognio segundo Schrdinger

(confirma o modelo de Bohr)

Ressonncia magntica

BBBUUU zzzlowhighhl 2)(

BhfU zhl 2 Energia absorvida na regio de radiofreqncias:

m

eB

2

BU

35

Comparao entre ressonncias:

spin eletrnico nuclear ( sob campo externo B = 1 T )

BBhf zz 22

A freqncia de Larmor corresponde ao modo natural do sistema. 36

Freqncias de ressonncia

Partcula Spin Larmor/B

s-1T-1 /B

Eltron 1/2 1.7608 x 1011 28.025 GHz/T

Prton 1/2 2.6753 x 108 42.5781 MHz/T

Deutrio 1 0.4107 x 108 6.5357 MHz/T

Neutron 1/2 1.8326 x 108 29.1667 MHz/T

23Na 3/2 0.7076 x 108 11.2618 MHz/T

31P 1/2 1.0829 x 108 17.2349 MHz/T

14N 1 0.1935 x 108 3.08 MHz/T

13C 1/2 0.6729 x 108 10.71 MHz/T

19F 1/2 2.518 x 108 40.08 MHz/T

37

Imagem por ressonncia nuclear magntica

Os prtons dos tecidos do corpo humano esto situados em muitos

ambientes magnticos diferentes.

Quando o corpo submetido a um campo magntico externo, as

diferenas dos campos locais

podem ser detectadas e

processadas em computador,

gerando uma imagem

(semelhante obtida por raios X).

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuclear/mri.html 38

Resumo da aula:

Nveis de energia do tomo de H;

Momento angular orbital para os vrios estados;

Momento angular de spin do eltron;

Momento angular total;

Momentos de dipolo magntico;

Quebras de degenerescncia dos estados;

Aplicaes em ressonncia magntica.

39

40

Na prxima aula iremos

abordar tomos

com mais de um eltron!

Problema 40.28

Suponha que existam dois eltrons no mesmo tomo, ambos com n=2 e l=1. (a) Quantos

estados so possveis para estes dois eltrons? (No se esquea de que no existe nenhuma

diferena entre os dois eltrons.) (b) Se o princpio de excluso de Pauli no existisse,

quantos estados seriam possveis?

1;2 ln

1,0,1lm2l+1 valores de ml:

2.1+1=3 valores de ml 2 valores de ms: +1/2 -1/2

6 estados possveis para cada eltron!!

Combinao de 6 dois a dois!!

A ordem no importa! sem repetio !!

!,

nmn

mC nm

estadosC 15532

56

!412

!456

!4!2

!62,6

3

Sistema de 2 eltrons!

ml 1 1 0 0 -1 -1

ms +1/2 -1/2 +1/2 -1/2 +1/2 -1/2

41

Problema 40.28

Suponha que existam dois eltrons no mesmo tomo, ambos com n=2 e l=1. (a) Quantos

estados so possveis para estes dois eltrons? (No se esquea de que no existe nenhuma

diferena entre os dois eltrons.) (b) Se o princpio de excluso de Pauli no existisse,

quantos estados seriam possveis?

1;2 ln

1,0,1lm2l+1 valores de ml:

2.1+1=3 valores de ml 2 valores de ms: +1/2 -1/2

Outra abordagem!!!

Para o primeiro eltron, h 6 estados possveis. Para o segundo, h 6-1=5 estados possveis.

Sendo assim, temos 6 x 5 = 30 combinaes (estados possveis).

Estado j escolhido pelo eltron 1.

MAS...

Eltrons so indistinguveis e contamos a mesma configurao duas vezes!

21

21

21

21 ,1,,1,1,,1

2211,,, slsl mmmm

Temos que dividir por 2!!

Nmero de estados disponveis: !estados!152

5642

Problema 40.28

Suponha que existam dois eltrons no mesmo tomo, ambos com n=2 e l=1. (a) Quantos

estados so possveis para estes dois eltrons? (No se esquea de que no existe nenhuma

diferena entre os dois eltrons.) (b) Se o princpio de excluso de Pauli no existisse,

quantos estados seriam possveis?

1;2 ln 1,0,1lm

2 valores de ms: +1/2 -1/2 ml1 ms1 ml2 ms2

1 +1/2 1 -1/2

1 +1/2 0 -1/2

1 +1/2 0 +1/2

1 +1/2 -1 +1/2

1 +1/2 -1 -1/2

1 -1/2 0 -1/2

1 -1/2 0 +1/2

1 -1/2 -1 +1/2

1 -1/2 -1 -1/2

ml1 ms1 ml2 ms2

0 +1/2 0 -1/2

0 +1/2 -1 +1/2

0 +1/2 -1 -1/2

0 -1/2 -1 +1/2

0 -1/2 -1 -1/2

-1 +1/2 -1 -1/2

9 estados

6 estados

Total: 15 estados!

ml1 ms1 ml2 ms2

1 +1/2 1 +1/2

1 -1/2 1 -1/2

0 +1/2 0 +1/2

0 -1/2 0 -1/2

-1 +1/2 -1 +1/2

-1 +1/2 -1 -1/2

6 estados extras!!

Sem excluso de Pauli:

Ou simplesmente contando...

43

Problema 40.9 (Halliday, 7 edio)

Um eltron de um tomo se encontra em um estado com = 3. Determine:

(a) o mdulo de ; L =

(b) o mdulo de ;

(c) o maior valor possvel de m ;

(d) o valor correspondente de Lz ;

(e) o valor correspondente de orb,z ;

(f) o valor do ngulo semiclssico entre as direes de Lz e ;

(g) valor de para o segundo maior valor possvel de m ;

(h) valor de para o menor valor possvel (o mais negativo) de m ;

L

L

463321331 ,)()(

BBBorb ,)()(m

eL

m

e4633211

22

como: 3m m

3mLz

BBz,orb m 3

2

3

32

3

133

3

11 )()(

m

)(

mLLcos z

= 3 e ; 2m 7.543

3

32

2

)13(3

2cos

= 3 e ; 1502

3

32

3

)13(3

3cos3m 44

Problema 40.12 (7 edio):

Suponha que no experimento de Stern-Gerlach executado com tomos

neutros de prata o campo magntico tenha um mdulo de 0,50 T.

(a) Qual a diferena de energia entre os tomos de prata nos dois subfeixes?

(b) Qual a freqncia da radiao que induziria transies entre estes dois

estados?

(c) Qual o comprimento de onda desta radiao?

(d) Em que regio do espectro eletromagntico est situada?

Micro-ondas.

eV 58J/eV 101,60

T) J/T)(0,50 1028,9(22

19-

24

BUUE B

GHz 14 Hz 1040,1J.s 106,63

J 1028,9 1034-

24

h

Ef

cm 1,2s 101,4

m/s 1031-10

8

f

c

45

Cap. 40, Probl. No. 18:

Em um experimento de ressonncia magntica nuclear, a freqncia da fonte de RF

34 MHz e a ressonncia dos tomos de hidrognio da amostra observada quando a

intensidade do campo magntico externo Bext do eletroma 0,78T. Suponha que Bint e

Bext so paralelos e que a componente z do momento magntico dos prtons 1,41 x

10-26 J/T. Qual o mdulo de Bint?

T78,0J/T1041,12

Hz1034J.s1063,6

2 26

634

int extBhf

B

mT19T019,0T78,0T799,0intB

extint BBB

BhfE 2 2

hfB

B

BE

BE

B

BE

BE B

BE

BE

BE 2

46