aula 1: noçoes elementares e congru˜ enciaˆ · definiçao 5.˜ anguloˆ e uma figura formada...

Geometria Basica

Aula 1: Nocoes Elementares e Congruencia

Lhaylla CrissaffDepartamento de Geometria

Universidade Federal Fluminense

2018

Nocoes Elementares

Geometria significa medida da terra. A palavra geometria vem do gregogeo, que significa terra, e metrein, significa medir.

Elementos primitivos do estudo da Geometria:

• ponto,

• reta,

• plano.

Aula 1 Lhaylla Crissaff GGM - Universidade Federal Fluminense – 2018 1

Nocoes Elementares

Nomenclatura:

• ponto: letras maiusculas (A, B, C, ...)

• reta: letras minusculas (r, s, t, ...)

• plano: letras gregas (α, β, γ, ...)


Nocoes Elementares

O estudo da Geometria comeca admitindo como propriedades verdadeirasafirmacoes simples e intuitivas que nao precisam ser demonstradas. Essasafirmacoes sao chamadas de axiomas ou postulados.

Vejamos, agora, alguns axiomas:

Axiomas de incidencia:

• Existem infinitos pontos no plano.

• Por dois pontos distintos (ou seja, diferentes) passa uma unica reta.

• Dada uma reta, existem infinitos pontos pertencentes a ela, e infinitos pon-tos fora dela.


Nocoes Elementares

Dadas duas retas no plano, temos tres possibilidades:

• elas nao se intersectam (retas paralelas);

• elas se intersectam em um unico ponto (retas concorrentes);

• elas tem todos os pontos em comum (retas coincidentes).

Notacao: A reta que passa pelos pontos A e B sera denotada por←−→AB .

Definicao 1. Se um determinado conjunto de pontos esta contido em umamesma reta, dizemos que esses pontos sao colineares.


Nocoes Elementares

Mais axiomas:

Axiomas de ordem:

• Dados 3 pontos colineares e distintos dois a dois, um deles, e apenas um,esta entre os outros dois.

• Dados 2 pontos distintos A e B, existe sempre um ponto C que esta entreA e B, e um ponto D tal que A esta entre D e B.


Nocoes Elementares

Definicao 2. Chamamos de segmento de reta AB ao conjunto formado porA,B e todos os pontos que estao entre A e B.

Mais um axioma...


Uma reta r do plano α separa o conjunto dos pontos desse plano que naopertencem a r em dois conjuntos, α′ e α′′, tais que:

• α′ e α′′ sao disjuntos (nao possuem elementos em comum);

• se A ∈ α′ e B ∈ α′′, entao AB intersecta r;

• se A,B ∈ α′ (ou α′′), entao AB nao intersecta r.


Nocoes Elementares

Definicao 3. Os conjuntos α′ e α′′ mencionados anteriormente sao chama-das semiplanos determinados pela reta r.

Da mesma forma, um ponto pertencente a uma reta separa esta reta emdois conjuntos. Se A esta entre B e C, e r e a reta que contem esses trespontos, o ponto A separa a reta r em duas partes, uma contendo o ponto Be outra contendo o ponto C.

Definicao 4. As partes da reta, mencionadas anteriormente sao chamadassemirretas determinadas pelo ponto A.


Nocoes Elementares

Notacao: A semirreta que passa que contem B sera denotada por−−→AB e

a que contem C sera denotada por−−→AC .

As semirretas−−→AB e

−−→AC sao chamadas semirretas opostas.


Nocoes Elementares

Definicao 5. Angulo e uma figura formada por duas semirretas distintas coma mesma origem.

Se−−→AB e

−−→AC sao semirretas definindo um

angulo, entao:

• A e o vertice do angulo;

• Este angulo sera denotado por BAC, ouapenas A;

•−−→AB e

−−→AC sao os lados do angulo.


Nocoes Elementares

Definicao 6. Dados um angulo BAC, define-se o interior de BAC como oconjunto de todos os pontos que pertencem a intersecao entre o semiplanodeterminado por

←→AB que contem C e o semiplano determinado por

←→AC que

contem B.


Congruencia de segmentos e angulos

Congruencia de segmentos: intuitivamente, significa que podem ser so-brepostos sem “sobrar” ou “faltar” nada. Vejamos os axiomas:

• Todo segmento e congruente a si mesmo.

• Se AB e congruente a CD, entao CD e congruente a AB.

• Se AB e congruente a CD e CD e congruente a EF , entao AB e congru-ente a EF .



Notacao: Para indicar que dois segmentos sao congruentes, usaremos osımbolo ≡. Assim, se AB e CD sao dois segmentos congruentes, escrevere-mos AB ≡ CD.

Nos desenhos, usaremos pequenos riscos transversais aos segmentospara denotar sua congruencia, como na figura acima.


Congruencia de segmentos e angulosMais um axioma:

• Se B esta entre A e C, E esta entre D e F , AB ≡ DE e BC ≡ EF , entaoAC ≡ DF ;

• Axioma de transporte de segmentos: dados um segmento AB e uma se-mirreta

−−→CD, existe um unico ponto E ∈

−−→CD tal que AB ≡ CE.



Mais um axioma:

• A cada segmento AB esta associado um numero real positivo que chama-mos de medida de AB, e escrevemos m(AB). Dois segmentos sao con-gruentes se, e somente se, suas medidas sao iguais. Do mesmo modo,se considerarmos um numero real positivo qualquer c, entao existem seg-mentos com medida igual a c.

• Se B esta entre A e C, entao m(AC) = m(AB) +m(BC).



Com esta notacao, definiremos a distancia entre dois pontos.

Definicao 7. A distancia entre dois pontos X e Y e a medida do segmentoXY .

Congruencia de angulos: intuitivamente, significa que podem ser sobre-postos sem “sobrar” ou “faltar” nada.

Vejamos os axiomas a seguir.



Axioma de transporte de angulos: dados um angulo BAC e uma semirreta−−→DE, em cada semiplano determinado pela reta

←→DE (que e o prolongamento

de−−→DE) existe uma unica semirreta

−−→DF tal que BAC e congruente a EDF .

Notacao: Para indicar que dois angulos sao congruentes, tambem usare-mos o sımbolo ≡. Assim, se BAC e EDF sao dois angulos congruentes,escreveremos BAC ≡ EDF .



Mais axiomas:

• A cada angulo BAC do plano esta associado um numero real positivo me-nor que 360◦ chamado medida do angulo BAC, e denotado por m(BAC),tal que dois angulos sao congruentes se, e somente se, tem a mesma me-dida. Reciprocamente, para todo numero real positivo c menor que 360◦,existe um angulo cuja medida e c.

• Se−−→AD e uma semirreta que divide BAC, entao m(BAC) = m(BAD) +

m(CDA).

OBS.: Por motivos historicos, usa-se grau para indicar a medida de umangulo.



Resumindo a nomenclatura de angulos:

1. Dois angulos sao chamados suplementares se a soma de suas medidasfor 180◦, e complementares se a soma das medidas for 90◦.

2. Angulo reto: um angulo cuja medida e 90◦.

3. Angulo obtuso: um angulo cuja medida e maior que 90◦.

4. Angulo nulo: um angulo cuja medida e 0◦.

5. Angulo raso: um angulo cuja medida e 180◦.


Proxima aula

TRIANGULOS!


aula 1: noçoes elementares e congru˜ enciaˆ · definiçao 5.˜ anguloˆ e uma figura formada...

Documents