aula 05 - rl - pós-edital

Aula 05

Raciocínio Lógico p/ STJ - Técnico Judiciário - Áreas Administrativa e Tecnologia daInformação

Professor: Marcos Piñon

Raciocínio Lógico p/ MPOG e ENAP

Teoria e exercícios comentados

Prof Marcos Piñon – Aula 05

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AULA 05: Probabilidade

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SUMÁRIO PÁGINA 1. Resolução das questões da Aula 04 1 2. Probabilidade 20 3. Exercícios comentados nesta aula 38 4. Exercícios propostos 41 5. Gabarito 48 1 - Resolução das questões da Aula 04 (Texto para as questões 239 a 241) De acordo com o primeiro lema de Kaplansky, a quantidade de subconjuntos de {1, 2, 3 ,..., n} com p elementos, em que não há números consecutivos, é dada pela fór mula abaixo.

)!1p2n(!p)!1pn(

++++−−−−++++−−−−

Uma das aplicações desse lema é a contagem do númer o de maneiras de se sentar 4 meninas e 6 meninos em uma fila de 10 cade iras, de modo que 2 meninas não fiquem em posições adjacentes. A estrat égia para se realizar essa contagem compreende quatro passos. Em primeiro lugar, deve-se contar o número de maneiras de se escolher 4 cadeir as sem que haja cadeiras consecutivas; esse procedimento deve ser f eito utilizando-se o lema de Kaplansky. Em seguida, deve-se contar o núm ero de maneiras de organizar as meninas nessas cadeiras. O próximo pas so consiste em contar o número de maneiras de se distribuir os meninos na s cadeiras restantes. Por fim, deve-se usar o princípio multiplicativo. Com base nessas informações, julgue os itens subsec utivos. 239 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Diante dos dados acima, é correto afirmar que o número de maneiras de se sentar 4 meninas e 6 men inos em uma fila de 10 cadeiras, de modo que não fiquem 2 meninas em posiç ões adjacentes, é superior a 600.000. Solução:





Conforme instruções da questão, vamos dividir o cálculo em quatro etapas: 1 - Contar o número de maneiras de se escolher 4 cadeiras sem que haja cadeiras consecutivas 2 - Contar o número de maneiras de se organizar as meninas nessas cadeiras 3 - Contar o número de maneiras de se distribuir os meninos nas cadeiras restantes 4 - Usar o princípio multiplicativo É dito na questão que a primeira etapa nós resolvemos com o lema de Kaplansky. Assim, para n = 10 e p = 4, temos:

)!1p2n(!p)!1pn(

+−+−

= )!14.210(!4

)!1410(+−

+−

)!1p2n(!p)!1pn(

+−+−

= )!1810(!4

!7+−

)!1p2n(!p)!1pn(

+−+−

= !3!.4

!4.5.6.7

)!1p2n(!p)!1pn(

+−+−

= 1.2.35.6.7

= 35

Portanto, temos 35 maneiras de escolher 4 cadeiras sem que haja cadeiras consecutivas. Agora, para contar o número de maneiras que podemos arrumar as quatro meninas nessas quatro cadeiras, utilizaremos a permutação, pois temos quatro meninas para serem distribuídas em quatro cadeiras, modificando apenas suas posições (ordem). P(4) = 4! = 4.3.2.1 = 24 Portanto, temos 24 maneiras de organizar as meninas nessas cadeiras. Agora, para contar o número de maneiras que podemos arrumar os seis meninos nas seis cadeiras restantes, utilizaremos novamente a permutação, pois temos seis meninos para serem distribuídos em seis cadeiras, modificando apenas suas posições (ordem). P(6) = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720





Por fim, utilizaremos o princípio multiplicativo para encontrar a solução para o problema: S = 35 × 24 × 720 = 604800 Portanto, item correto . 240 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Em face dos dados apresentados, é correto afirmar que o número de maneiras de se escolher as 4 cadeiras entre as 10 disponíveis sem que haja cadeiras consecutivas é su perior a 40. Solução: Vimos na questão anterior que temos 35 maneiras de escolher 4 cadeiras sem que haja cadeiras consecutivas. Item errado . 241 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) A partir dos dados acima, é correto concluir que o número de maneiras de se organizar as 4 menin as nas 4 cadeiras escolhidas é igual a 16. Solução: Vimos anteriormente que temos 24 maneiras de organizar as 4 meninas nas 4 cadeiras. Item errado . (Texto para as questões 242 a 244) Alberto, Bruno, Sérgio, Janete e Regina assistirão a uma peça de teatro sentados em uma mes ma fila, lado a lado. Nessa situação, julgue os itens subsequentes. 242 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Caso Janete e Regina sentem-se nas extremidades da fila, então a quantidade de maneira s distintas de como essas 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a 24. Solução: Nessa questão, devemos dividir as cinco pessoas em dois grupos: Grupo 1: Pessoas que sentarão nas extremidades (Janete e Regina) Grupo 2: Pessoas que sentarão no meio (Alberto, Bruno e Sérgio)





Para calcular a quantidade de maneiras de se organizar o grupo 1, utilizaremos a permutação, pois temos duas pessoas para ocuparem dois lugares, onde a única coisa que muda é a posição (ordem). P1 = 2! = 2.1 = 2 Para calcular a quantidade de maneiras de se organizar o grupo 2, utilizaremos novamente a permutação, pois temos três pessoas para ocuparem três lugares, onde a única coisa que muda é a posição (ordem). P2 = 3! = 3.2.1 = 6 Assim, utilizando o princípio multiplicativo, o total de maneiras distintas de como essas 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a: Total = P1 × P2 = 2 × 6 = 12 Item errado . 243 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de como essas 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a 120. Solução: Bom, agora não temos nenhuma restrição quanto à posição de cada elemento. Assim, como teremos 5 pessoas para ocuparem 5 lugares, onde a única mudança é a posição ocupada por cada um, utilizaremos a permutação: P(5) = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 Item correto . 244 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Considere que Sérgio e Janete sentem um ao lado do outro. Nesse caso, a quantidade de maneiras distintas de como as 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a 48. Solução: Nesse tipo de situação, nós dividimos o cálculo em três etapas: 1 - Consideramos que Sérgio e Janete são uma única pessoa. Com isso, calculamos a permutação de 4 pessoas. 2 – Calculamos a permutação de Sérgio e Janete nos dois lugares ocupados por eles. 3 – Utilizamos o princípio multiplicativo





Para calcular a primeira etapa, faremos a permutação de 4 pessoas: P(4) = 4! = 4.3.2.1 = 24 Para calcular a segunda etapa, faremos a permutação de 2 pessoas: P(2) = 2! = 2.1 = 2 Por fim, utilizaremos o princípio multiplicativo: T = P(4) × (P2) = 24 × 2 = 48 Item correto . (Texto para as questões 245 e 246) Julgue os itens seguintes, considerando que planos previdenciários possam ser contratados d e forma individual ou coletiva e possam oferecer, juntos ou separadamente , os cinco seguintes tipos básicos de benefícios: renda por aposentadori a, renda por invalidez, pensão por morte, pecúlio por morte e pecúlio por i nvalidez. 245 - (PREVIC - 2010 / CESPE) Para se contratar um plano previdenciário que contemple três dos cinco benefícios básicos especif icados acima, há menos de 12 escolhas possíveis. Solução: Nessa questão, para escolhermos três benefícios entre cinco possíveis, utilizaremos a combinação de cinco elementos, três a três, pois a ordem dos elementos não importa:

C(5, 3) = )!35!.(3

!5−

C(5, 3) = !2!.3!3.4.5

C(5, 3) = 2

20 = 10

Portanto, há menos de 12 escolhas possíveis. Item correto . 246 - (PREVIC - 2010 / CESPE) Suponha que os funcionários de uma empresa se organizem em 10 grupos para contratar um plano p revidenciário com apenas um benefício em cada contrato, de modo que a renda por invalidez seja contratada por 3 grupos, a pensão por morte, o pecúlio por morte e o





pecúlio por invalidez sejam contratados por 2 grupo s cada, e a renda por aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas c ondições, a quantidade de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divi didos para a contratação dos 5 benefícios básicos será inferior a 7 x 104. Solução: Nessa questão, temos: 3 grupos com renda por invalidez 2 grupos com pensão por morte 2 grupos com pecúlio por morte 2 grupos com pecúlio por invalidez 1 grupo com renda por aposentadoria Agora, queremos dividir os grupos para a contratação dos 5 benefícios. Assim, podemos começar com a contratação da renda por invalidez:

C(10, 3) = )!310!.(3

!10−

= )!7!.(3

!7.8.9.10 =

2.38.9.10

= 120

Agora, vamos à contratação da pensão por morte. Como já utilizamos 3 grupos, só restaram 10 – 3 = 7 grupos:

C(7, 2) = )!27!.(2

!7−

= )!5!.(2!5.6.7 =

26.7

= 21

Agora, vamos à contratação do pecúlio por morte. Como já utilizamos 3 + 2 = 5 grupos, só restaram 10 – 5 = 5 grupos:

C(5, 2) = )!25!.(2

!5−

= )!3!.(2!3.4.5 =

24.5

= 10

Agora, vamos à contratação do pecúlio por invalidez. Como já utilizamos 3 + 2 + 2 = 7 grupos, só restaram 10 – 7 = 3 grupos:

C(3, 2) = )!23!.(2

!3−

= )!1!.(2!2.3

= 13

= 3

Por fim, resta a contratação da renda por aposentadoria. Como já utilizamos 3 + 2 + 2 + 2 = 9 grupos, só restou 10 – 9 = 1 grupo, restando então uma única possibilidade. Assim, utilizando o princípio multiplicativo, o total de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divididos para a contratação dos 5 benefícios básicos será: T = 120 × 21 × 10 × 3 × 1 = 75.600 maneiras





Item errado . (Texto para as questões 247 e 248) Entre 3 mulheres e 4 homens, 4 serão escolhidos para ocupar, em uma empresa, 4 cargos de igual importância. Julgue os itens a seguir, a respeito das possibilid ades de escolha dessas 4 pessoas. 247 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A proposição “Se 2 mulheres e 2 homens forem os escolhidos, então a quantidade de maneiras disti ntas de se ocupar os cargos é igual a 12” é uma proposição falsa. Solução: Essa proposição é uma condicional “p → q”, que nós já sabemos que só é falsa quando “p” é verdadeira e “q” é falsa. Assim, vamos verificar se, escolhendo 2 mulheres e 2 homens, a quantidade de maneiras distintas de se ocupar os cargos é diferente de 12. Caso seja diferente, a proposição será falsa, caso seja igual a 12, a proposição será verdadeira. Vamos dividir nosso cálculo em três etapas: 1 – Escolhemos duas mulheres entre as três possíveis 2 – Escolhemos dois homens entre os quatro possíveis 3 – Utilizamos o princípio multiplicativo Para realizar a primeira etapa, utilizaremos a combinação, já que a ordem dos elementos não importa:

C(3, 2) = )!23!.(2

!3−

C(3, 2) = )!1!.(2!2.3

C(3, 2) = 13

= 3

Para realizar a segunda etapa, utilizaremos novamente a combinação, já que a ordem dos elementos não importa:

C(4, 2) = )!24!.(2

!4−

C(4, 2) = )!2!.(2!2.3.4





C(4,2) = 23.4

C(4,2) = 2

12 = 6

Por fim, utilizamos o princípio multiplicativo: T = C(3, 2) × C(4, 2) = 3 ×6 = 18 Portanto, escolhendo 2 mulheres e 2 homens, a quantidade de maneiras distintas de se ocupar os cargos é diferente de 12. Assim, a proposição é falsa e o item está correto . 248 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A proposição “Se todas as mulheres forem escolhidas, então a quantidade de escolhas distinta s para a ocupação das vagas é igual a 3” é uma proposição verdadeira. Solução: Nessa questão, novamente nós temos uma condicional “p → q”. Para checar se ela é falsa, consideramos o “p” verdadeiro e testamos o “q”, caso o “q” seja falso, a proposição será falsa. Assim, vamos considerar que todas as mulheres foram escolhidas. Com isso, só restou uma vaga para ser disputada entre os quatro homens. Portanto, teremos quatro maneiras distintas para a ocupação das vagas. Portanto, considerando o “p” verdadeiro, o “q” fica falso, o que faz com que a proposição seja falsa. Item errado . (Texto para as questões 249 e 250) Dez policiais federais — dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes — for am designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas locali dades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessa riamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes. Considerando essa situação hipotética, julgue os it ens que se seguem. 249 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentr o de um veículo com cinco lugares — motorista e mais quatro passageiros — será superior a 100. Solução:





Nessa questão, temos 5 elementos para ocuparem 5 posições diferentes dentro do veículo. Com isso, utilizaremos a permutação de 5 elementos: P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 Item correto . 250 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. Solução: Nessa questão, nós temos 2 opções para o cargo de delegado, duas opções para o cargo de perito, duas opções para o cargo de escrivão e quatro opções para os dois cargos de agente. Assim, temos: Delegado: 2 opções Perito: 2 opções Escrivão: 2 opções

Agente: C(4, 2) = )!24!.(2

!4−

= )!2!.(2!2.3.4 =

212

= 6 opções

Total de possibilidades = 2 × 2 × 2 × 6 = 48 possibilidades Item errado . (Texto para a questão 251) Estudos revelam que 95% dos erros de digitação de uma sequência numérica — como, por exemplo, um c ódigo de barras ou uma senha — são a substituição de um algarismo por outro ou a troca entre dois algarismos da mesma sequência; esse último tip o de erro corresponde a 80% dos casos. Considerando esses fatos e que a s enha de acesso de um usuário a seu provedor de email seja formada por 8 algarismos, escolhidos entre os algarismos de 0 a 9, julgue o item seguint e. 251 - (SERPRO - 2013 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de o usuário, ao digitar a sua senha, cometer um erro do tipo troca entre dois algarismos da própria sequência é superior a 30. Solução: Essa quantidade de maneiras é dada pela combinação dos 8 dígitos, 2 a 2:

C(8, 2) = )!28!.(2

!8−

= )!6.(2!6.7.8 =

27.8

= 28 possibilidades

Portanto, item errado .





(Texto para as questões 252 a 255) A figura acima representa, de forma esquemática, a divisão territorial de uma cidade. A s linhas representam as pistas e os quadrados, os terrenos. No ponto O há u m pronto socorro com uma ambulância para o transporte de pacientes. O pr onto socorro conta com 2 motoristas para a ambulância, 3 médicos e 10 enfe rmeiros e, sempre que for necessário o transporte de paciente, são escolh idos um motorista, um médico e três enfermeiros para o acompanhamento. O pronto socorro tem convênio com dez postos de combustível, de modo que a ambulância é abastecida utilizando-se vales-combustível, podendo ser abastecida mais de uma vez em um mesmo posto. Com base nessa situação, julgue os próximos itens. 252 - (CETURB/ES - 2010 / CESPE) Considere que tenha ocorrido um acidente no ponto P e que a ambulância deva se desl ocar de O para P percorrendo as pistas apenas nos sentidos norte e l este. Neste caso, há 1.001 maneiras distintas de a ambulância chegar ao local do acidente. Solução: Essa é uma questão bastante interessante. Percebam que, independentemente do caminho escolhido, se considerarmos que a ambulância irá seguir apenas nos sentidos leste e norte, ela irá percorrer 4 vias no sentido norte (N) e 10 vias no sentido leste (L): Caminho1: LLLLLLLLLLNNNN Caminho2: LLLLLLLLLNNNNL Caminho3: LLLLLLLLNNNNLL ... Assim, o que devemos calcular é a quantidade de maneiras distintas de ordenar estas 14 vias. Para isso, utilizaremos a permutação com repetição:





Pr = !....c!.b!.a

!n

Pr = !4!.10

!14

Pr = 1.2.3.4!.10

!10.11.12.13.14

Pr = 2.3.4

11.12.13.14

Pr = 7 × 13 × 11 = 1001 Portanto, o item está correto . 253 - (CETURB/ES - 2010 / CESPE) Se a cada transporte de paciente toda a equipe de acompanhamento é substituída, então, ness e caso, há mais de 250 maneiras distintas de substituição da equipe que es tava trabalhando. Solução: Bom, nós temos os seguintes profissionais: Motoristas: 2 Médicos: 3 Enfermeiros: 10 A equipe é formada por 1 motorista, 1 médico e 3 enfermeiros. Assim, na troca de equipes, nós teremos os seguintes profissionais disponíveis: Motoristas: 2 − 1 = 1 Médicos: 3 − 1 = 2 Enfermeiros: 10 − 3 = 7 Com isso, para a nova equipe, teremos as seguintes possibilidades: 1 motorista: 1 possibilidade 1 médico: 2 possibilidades

3 enfermeiros: C(7, 3) = )!37!.(3

!7−

= )!4.(1.2.3!4.5.6.7

= 7 × 5 = 35 possibilidades

Por fim, o total de possibilidades para a nova equipe será: 1 × 2 × 35 = 70 possibilidades

7





Portanto, o item está errado . 254 - (CETURB/ES - 2010 / CESPE) Há mais de 3.000 maneiras distintas de se escolher uma equipe de profissionais para o transpo rte de paciente. Solução: Agora nós temos todos os profissionais disponíveis: Motoristas: 2 Médicos: 3 Enfermeiros: 10 Assim, teremos as seguintes opções para a equipe: 1 motorista: 2 possibilidades 1 médico: 3 possibilidades

3 enfermeiros: C(10, 3) = )!310!.(3

!10−

= )!7.(1.2.3!7.8.9.10

= 6

720 = 120 possibilidades

Com isso, o total de possibilidades para a equipe será: 2 × 3 × 120 = 720 possibilidades Portanto, o item está errado . 255 - (CETURB/ES - 2010 / CESPE) Se o motorista abastece a ambulância utilizando quatro vales-combustível por mês e um va le a cada abastecimento, então, desconsiderando-se a ordem do s abastecimentos, há mais de 700 maneiras distintas de utilização dos va les. Solução: Essa é uma questão onde utilizamos a combinação com repetição, pois a ordem não importa e a ambulância pode ser abastecida mais de uma vez em um mesmo posto. Temos 10 postos e vamos formar grupos de 4 postos, podendo repeti-los, ou seja, n = 10 e p = 4: Cr(m, p) = C(m + p – 1, p) Cr(10, 4) = C(10 + 4 – 1 , 4)





Cr(10, 4) = C(13, 4)

C(13, 4) = )!413!.(4

!13−

C(13, 4) = )!9.(1.2.3.4

!9.10.11.12.13

C(13, 4) = 2.3.4

10.11.12.13

C(13, 4) = 2

1430 = 715 maneiras distintas.

Portanto, item correto . (Texto para as questões 256 e 257) Os alunos de uma turma cursam 4 disciplinas que são ministradas por 4 professores d iferentes. As avaliações finais dessas disciplinas serão realizadas em uma m esma semana, de segunda a sexta-feira, podendo ou não ocorrerem em um mesmo dia. A respeito dessas avaliações, julgue os itens segui ntes. 256 - (TRT 17 - 2013 / CESPE) Se cada professor escolher o dia em que aplicará a avaliação final de sua disciplina de mod o independente dos demais, haverá mais de 500 maneiras de se organizar o calendário dessas avaliações. Solução: Nessa questão, podemos fazer o seguinte: Disciplina 1: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira) Disciplina 2: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira) Disciplina 3: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira) Disciplina 4: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira) Total de possibilidades para o calendário: 5 × 5 × 5 × 5 = 625 possibilidades Isso é o mesmo que os cinco dias da semana agrupados de 4 em 4 podendo se repetirem ou não, ou seja, um arranjo com repetição: Ar (5, 4) = 54 = 625 possibilidades. Portanto, item correto .





257 - (TRT 17 - 2013 / CESPE) Se em cada dia da semana ocorrer a avaliação de no máximo uma disciplina, então, nesse caso, a q uantidade de maneiras distintas de se organizar o calendário de avaliaçõe s será inferior a 100. Solução: Para resolver esta questão, podemos fazer o seguinte: Disciplina 1: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira) Disciplina 2: 4 opções de data (pois não pode ser a mesma da disciplina 1) Disciplina 3: 3 opções de data (pois não pode ser a mesma das disciplinas 1 e 2) Disciplina 4: 2 opções de data (pois não pode ser a mesma das disciplinas 1, 2 e 3) Total de possibilidades em que as 4 disciplinas ocorrem em datas diferentes: 5 × 4 × 3 × 2 = 120 possibilidades. Isso é o mesmo que os cinco dias da semana agrupados de 4 em 4 sem repetição, ou seja, um arranjo simples:

As (5, 4) = )!45(

!5−

= )!1(!5

= )1(!5

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 possibilidades.


(Texto para as questões 258 a 261) Considerando que, na fruteira da casa de Pedro, haja 10 uvas, 2 maçãs, 3 laranjas, 4 bananas e 1 abacaxi, julgue os próximos itens. 258 - (TRT 17 - 2013 / CESPE) Se Pedro desejar comer apenas um tipo de fruta, a quantidade de maneiras de escolher frutas para comer será superior a 100. Solução: Bom, uma primeira observação é que, em minha opinião, o Cespe falhou em não informar que as frutas de um mesmo tipo são todas iguais, ou seja, as 10 uvas são iguais, as 2 maçãs são iguais, etc.. Assim, como Pedro deseja comer apenas um tipo de fruta, teremos o seguinte: Uva: 10 opções (ele pode comer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ou 10 uvas) Maçã: 2 opções (ele pode comer 1 ou 2 maçãs) Laranja: 3 opções (ele pode comer 1, 2 ou 3 laranjas) Banana: 4 opções (ele pode comer 1, 2, 3 ou 4 bananas) Abacaxi: 1 opção (ele só pode comer 1 abacaxi) Aplicando o princípio aditivo, temos:





Total = 10 + 2 + 3 + 4 + 1 = 20 opções Item errado . 259 - (TRT 17 - 2013 / CESPE) Há mais de 1.330 maneiras distintas de Pedro escolher pelo menos uma fruta entre aquelas que est ão em sua fruteira. Solução: Nessa questão, temos o seguinte: Uva: 11 opções (ele pode comer 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ou 10 uvas) Maçã: 3 opções (ele pode comer 0, 1 ou 2 maçãs) Laranja: 4 opções (ele pode comer 0, 1, 2 ou 3 laranjas) Banana: 5 opções (ele pode comer 0, 1, 2, 3 ou 4 bananas) Abacaxi: 2 opções (ele pode comer 0 ou 1 abacaxi) Aplicando o princípio multiplicativo, temos: Total = 11 × 3 × 4 × 5 × 2 = 1320 opções. Porém, como ele quer que Pedro coma pelo menos uma fruta, devemos excluir a opção em que ele escolhe 0 uva, 0 maçã, 0 laranja, 0 banana e 0 abacaxi. Assim, o total de possibilidades fica: Total = 1320 − 1 = 1319 possibilidades Item errado . 260 - (TRT 17 - 2013 / CESPE) Se, para fazer uma salada de frutas, Pedro deve escolher pelo menos dois tipos de frutas, em qualqu er quantidade, então há menos de 1.000 maneiras distintas de Pedro escolher frutas para compor sua salada. Solução: Agora, devemos eliminar do cálculo da questão anterior os casos em que Pedro escolhe apenas um tipo de fruta: Apenas uva: 10 possibilidades Apenas maçã: 2 possibilidades Apenas laranja: 3 possibilidades Apenas banana: 4 possibilidades Apenas abacaxi: 1 possibilidade Total = 1319 − 10 − 2 − 3 − 4 −1 = 1299 maneiras.





Item errado . 261 - (TRT 17 - 2013 / CESPE) Se Pedro desejar comer apenas bananas, haverá quatro maneiras de escolher algumas frutas p ara comer. Solução: Bom, essa é bem direta. Pedro pode comer: 1 banana ou 2 bananas ou 3 bananas ou 4 bananas Ou seja, aplicando o princípio aditivo: 1 + 1 + 1 + 1 = 4 maneiras de escolher as bananas Item correto . (Texto para as questões 262 a 264) A Mesa Diretora da Câmara dos Deputados, responsável pela direção dos trabalhos l egislativos e pelos serviços administrativos da Casa, compõe-se de Pres idência — presidente, 1.º e 2.º vice-presidentes — e de Secretaria — 1.º, 2.º, 3.º e 4.º secretários e 1.º, 2.º, 3.º e 4.º suplentes —, devendo cada um de sses cargos ser ocupado por um deputado diferente, ou seja, um mesmo deputa do não pode ocupar mais de um desses cargos. Supondo que, por ocasião da composição da Mesa Diretora, qualquer um dos 513 deputados possa assumir qualquer um dos cargos na Mesa, julgue os itens a seguir. 262 - (Câmara - 2012 / CESPE) O número correspondente à quantidade de maneiras diferentes de se compor a Mesa Diretora da Câmara dos Deputados pode ser expresso por 513!/502!. Solução: Bom, nessa questão, temos os 513 deputados podendo ocupar qualquer uma das 11 vagas disponíveis. Como essas 11 vagas são todas distintas entre si, ou seja, são ocupações diferentes, utilizaremos o arranjo:

A(m, p) = )!pm(

!m−

A(513, 11) = )!11513(

!513−

A(513, 11) = !502!513





Portanto, item correto . 263 - (Câmara - 2012 / CESPE) Sabendo-se que, entre os 513 deputados, 45 são do sexo feminino, então o número correspondente à quantidade de maneiras distintas de se compor a Mesa Diretora de forma que pelo menos um dos 11 cargos seja ocupado por deputada pode ser expresso por 45!/34!. Solução: Nessa questão, temos uma restrição na ocupação dos cargos: pelo menos um dos cargos deve ser ocupado por uma mulher. Assim, caso não tivéssemos essa restrição, o total de possibilidades seria:

A(513, 11) = !502!513

Porém, como há a restrição, podemos calcular o total de possibilidades em que nenhuma mulher ocupa os cargos da mesa diretora. Essa quantidade é dada pelo arranjo do total de homens (513 – 45 = 468) em grupos de 11 pessoas:

A(468, 11) = )!11468(

!468−

A(468, 11) = !457!468

Assim, o total de possibilidades de termos pelo menos uma mulher é dado por:

Total = !502!513 –

!457!468

No enunciado da questão foi dito que essa quantidade era 45!/34!. Esse número é igual ao arranjo das 45 mulheres em grupos de 11, o que está errado, já que os homens poderão ocupar também os cargos da mesa diretora. Item errado . 264 - (Câmara - 2012 / CESPE) Existem menos de 125.000.000 de maneiras diferentes de se escolher a Presidência da Mesa Dir etora da Câmara dos Deputados. Solução: Na Presidência da Mesa Diretora, temos apenas 3 cargos a serem ocupados. Assim, utilizaremos novamente o arranjo:





A(m, p) = )!pm(

!m−

A(513, 3) = )!3513(

!513−

A(513, 3) = !510!513

A(513, 3) = !510

!510.511.512.513

A(513, 3) = 513 × 512 × 511 = 134.217.216 possibilidades. Portanto, item errado . (Texto para a questão 265) Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 do sexo feminino. A região atend ida pelo batalhão é composta por 10 quadras e, em cada dia da semana, u ma dupla de policiais policia cada uma das quadras. Com referência a essa situação, julgue o item subse quente. 265 - (Polícia Federal - 2014 / CESPE) Se a escala dos policiais for feita de modo a diversificar as duplas que policiam as quadr as, então, se determinada dupla policiar a quadra X em determinad o dia, essa mesma dupla voltará a policiar a quadra X somente mais de seis meses após aquele dia. Solução: Essa é uma questão bastante simples. Temos um total de 20 policiais que irão trabalhar em duplas, e essas duplas serão diversificadas, ou seja, haverá mudança nas duplas. Devemos entender que as mudanças nas duplas deverão contemplar todas as possíveis combinações para sua formação. Assim, devemos encontrar o total de duplas que podem ser formadas pelos 20 policiais, que é dado pela combinação dos 20 policiais 2 a 2: Total de duplas = C(20, 2)

Total de duplas = )!220!.(2

!20−

Total de duplas = )!18.(2

!18.19.20





Total de duplas = 10 × 19 = 190 duplas. Aqui já podemos marcar a questão como correta, pois se a cada dia uma dupla diferente irá policiar a quadra X, e existem 190 combinações possíveis para as duplas, então após 190 dias nós teremos a repetição da dupla na quadra X, um tempo superior a 6 meses. Item correto .





2 - Probabilidade Vamos começar o estudo das probabilidades com uma definição simplória (que serve para o que nos é exigido nesse concurso) do que vem a ser probabilidade: A probabilidade de que ocorra um evento resulta do quociente entre os casos favoráveis à ocorrência desse evento sobre os casos possíveis.

Probabilidade = PossíveisCasos

FavoráveisCasos

Assim, a probabilidade de que, ao jogarmos uma moeda, o resultado seja cara é

21

, pois temos um caso favorável (cara) e dois casos possíveis (cara ou coroa). Já

a probabilidade de jogarmos um dado e o resultado ser o número 6 é 61

, pois

temos apenas um caso favorável (o número 6) e seis casos possíveis (os números 1, 2, 3, 4, 5 ou 6). Devemos lembrar que essas probabilidades podem aparecer de outras formas,

como porcentagens (21

= 50%) ou na forma decimal (21

= 0,5).

Uma observação que precisamos fazer é o que ocorre quando todos os casos possíveis são favoráveis. Nesse caso nós teremos:

P = PossíveisCasos

FavoráveisCasos =

PossíveisCasosPossíveisCasos

= 1 = 100%

Vejam que isso é bem lógico, mas nós precisamos ter isso em mente. Chamamos de espaço amostral o conjunto de todos os resultados possíveis. No caso do lançamento de uma moeda, o espaço amostral é {cara, coroa}, no caso do lançamento de um dado, o espaço amostral é {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Percebam que os casos favoráveis são subconjuntos do espaço amostral. No caso do lançamento de uma moeda sair cara, o caso favorável {cara} é um subconjunto do espaço amostral {cara, coroa}. No caso do lançamento do dado sair o número 6, o caso favorável {6} é um subconjunto do espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Vejamos alguns exemplos:





Ex1: Numa urna há 10 bolas semelhantes, o que as disti nguem é que 5 bolas são vermelhas, numeradas de um a cinco, e 5 bolas s ão azuis, numeradas de 6 a 10. Qual a probabilidade de retirarmos uma bol a dessa urna e ela ser ímpar e vermelha? Bom, conforme vimos acima, a probabilidade é a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis: Casos Favoráveis: Bolas 1, 3 ou 5 (3 opções) Casos Possíveis: Bolas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10 (10 opções) Assim, a probabilidade é:

P = PossíveisCasos

FavoráveisCasos =

103

= 0,3 = 30%

Outro exemplo: Ex2: Numa urna há 10 bolas semelhantes, o que as disti nguem é que 5 bolas são vermelhas, numeradas de um a cinco, e 5 bolas s ão azuis, numeradas de 6 a 10. Qual a probabilidade de retirarmos duas bol as dessa urna, com reposição, e elas serem ímpares e vermelhas? Para retirar cada bola, vimos que a probabilidade de ela ser ímpar e vermelha é

103

. Agora, como queremos que as duas bolas sejam ímpares e vermelhas,

usamos o princípio multiplicativo, e a probabilidade total é dada por:

Pt = P1 × P2 = 103

× 103

= 100

9 = 0,09 = 9%

Ex3: Numa urna há 10 bolas semelhantes, o que as disti nguem é que 5 bolas são vermelhas, numeradas de um a cinco, e 5 bolas s ão azuis, numeradas de 6 a 10. Qual a probabilidade de retirarmos duas bol as dessa urna, sem reposição, e elas serem ímpares e vermelhas? Para retirar a primeira bola, vimos que a probabilidade de ela ser ímpar e vermelha

é 103

. Agora, vamos calcular a probabilidade de a segunda bola também ser ímpar

e vermelha: Casos Favoráveis: Bolas 1, 3 ou 5, menos uma bola já retirada (3 – 1 = 2 opções) Casos Possíveis: Bolas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10, menos uma bola já retirada (10 – 1 = 9 opções)





P = PossíveisCasos

FavoráveisCasos =

92

Como queremos que as duas bolas sejam ímpares e vermelhas, a probabilidade total é dada por:

Pt = 103

× 92

= 906

= 6,67%

Probabilidade Complementar

Vimos que a probabilidade de sair o número 6 ao lançarmos um dado é igual a 61

.

Agora, e a probabilidade de que o resultado do lançamento do dado não seja o número 6? Temos cinco casos favoráveis (1, 2, 3, 4 ou 5) e seis casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5 ou 6).

P = PossíveisCasos

FavoráveisCasos =

65

Percebam que soma da probabilidade de sair o número 6 com a probabilidade de não sair o número 6 é:

61

+ 65

= 6

51+ =

66

= 1 = 100%

Podemos definir que dois eventos são complementares quando a união entre seus casos favoráveis resulta em todos os casos possíveis e eles não possuem nenhum caso favorável em comum. Com isso, chamando de “A” a probabilidade de um evento ocorrer, chamaremos de “ A ” a probabilidade desse evento não ocorrer. Assim: P(A) + P( A ) = 1 Ou P( A ) = 1 – P(A) Vejamos um exemplo: Ex4: Num baralho completo, com 52 cartas, 13 de cada n aipe, deseja-se saber qual a probabilidade de se retirar ao acaso u ma carta do naipe copas.





Casos Favoráveis: 13 cartas Casos Possíveis: 52 cartas

P(copas) = 5213

= 0,25 = 25%

Agora, e se eu quisesse saber a probabilidade de, ao retirar uma carta, ela não ser do naipe copas? Casos Favoráveis: 39 cartas Casos Possíveis: 52 cartas

P(não copas) = 5239

= 0,75 = 75%

Outra forma de se chegar ao mesmo resultado é lembrando que retirar uma carta de copas e retirar uma carta que não seja de copas são eventos complementares. Assim: P(não copas) = 1 – P(copas) P(não copas) = 1 – 0,25 P(não copas) = 0,75 Probabilidade Condicional Outro ponto importante que devemos saber é a probabilidade condicional. O que veremos aqui é a probabilidade de um segundo evento acontecer, dado que um primeiro evento já aconteceu. Vamos ver um exemplo: Ex5: Numa urna há 10 bolas semelhantes, o que as disti nguem é que 5 bolas são vermelhas, numeradas de um a cinco, e 5 bolas s ão azuis, numeradas de 6 a 10. Qual a probabilidade de retirarmos uma bola ímpar dessa urna, sabendo que ela é vermelha? Não há nenhuma novidade aqui, só devemos ficar atentos aos casos possíveis, pois com a informação de que a bola é vermelha essa quantidade sofre uma alteração: Casos Favoráveis: Bolas 1, 3 ou 5 (3 opções) Casos Possíveis: Bolas 1, 2, 3, 4 ou 5 (5 opções) Assim, a probabilidade é:

P = PossíveisCasos

FavoráveisCasos =

53

= 0,6 = 60%





Vejam que ao informar que a bola é vermelha, a questão tirou a possibilidade da bola ser 6, 7, 8, 9 ou 10, pois essas bolas são azuis. Nós costumamos representar a probabilidade de um evento A ocorrer, dado que um evento B já ocorreu por P(A | B). Outra forma de calcularmos a probabilidade condicional é por meio da seguinte equação.

P(A | B) = )B(P

)BA(P ∩∩∩∩

Voltemos ao nosso último exemplo. Vamos separar os dois eventos, a bola ser ímpar (A) e a bola ser vermelha (B): Casos Favoráveis à bola ser ímpar (A): {1, 3, 5, 7, 9} Casos Favoráveis à bola ser vermelha (B): {1, 2, 3, 4, 5} A ∩ B = {1, 3, 5} Assim, temos as seguintes probabilidades:

P(B) = 105

P(A ∩ B) = 103

Utilizando a equação, podemos encontrar a probabilidade de A, dado que B ocorreu:

P(A | B) = )B(P

)BA(P ∩ =

105

103

= 53

Vamos construir um diagrama semelhante ao que vimos na aula sobre conjuntos para entendermos melhor essa probabilidade condicional:

1

3

5

2

4

7

9

6

8

10

Espaço Amostral

Vermelhas Ímpares





No diagrama acima o retângulo representa o espaço amostral, enquanto que o circulo vermelho representa as bolas vermelhas e o círculo preto as bolas ímpares. Como é dito que a bola retirada é vermelha, tratamos esse caso como se nosso espaço amostral passasse a ser o círculo vermelho, pois só nos interessa as bolas vermelhas. Dentro desse “novo” espaço amostral, os casos favoráveis que nos interessa são justamente aqueles que se encontram na interseção dos conjuntos Bolas Vermelhas e Bolas Ímpares, representada pela área verde {1, 3, 5}. Quando os eventos A e B não possuem qualquer relação, P(A | B) = P(A), pois não importa se o evento B ocorreu ou não, já que ele não tem nenhuma influência no evento A. Assim, podemos perceber que para eventos independentes a probabilidade da interseção de A e B é igual ao produto P(A).P(B).

P(A | B) = )B(P

)BA(P ∩

P(A ∩ B) = P(A | B).P(B) P(A ∩ B) = P(A).P(B) Para finalizar a teoria, vamos ver agora como calcular a probabilidade da união de dois conjuntos. Lembram na aula sobre conjuntos quando eu pedi para vocês decorarem a equação que nos dá a quantidade de elementos da união de dois conjuntos? Pois a equação para a probabilidade da união de dois conjuntos é muito semelhante: P(A ∪∪∪ ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩∩∩∩ B) Vamos ver um exemplo: Ex6: Numa urna há 10 bolas semelhantes, o que as disti nguem é que 5 bolas são vermelhas, numeradas de um a cinco, e 5 bolas s ão azuis, numeradas de 6 a 10. Qual a probabilidade de retirarmos uma bola que seja ímpar ou vermelha? Vamos resolver essa questão diretamente por meio da equação:

P(Vermelha) = 105

P(Ímpar) = 105





P(Vermelha ∩ Ímpar) = 103

Assim, utilizando a equação, temos: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 105

+ 105

– 103

P(A ∪ B) = 107

Vamos, agora, representar o que calculamos por meio do diagrama: Percebam que a probabilidade de escolhermos bolas ímpares ou vermelhas é dada por:

P(Vermelha ∪ Ímpar) = PossíveisCasos

FavoráveisCasos =

107

Pronto, acabamos com a teoria! Vamos às questões! ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (Texto para as questões 266 a 268) Para jogar o Yathzee, jogo de dados criado em 1956, os jogadores lançam simultaneamente , em turnos, 5 dados de 6 faces numeradas de 1 a 6, buscando obter a mai or pontuação possível, de acordo com as regras estipuladas. Dois exemplos de combinações pontuadas no jogo são a sequência máxima — o jogado r obtém as faces de números 1, 2, 3, 4 e 5 — e a chance — a pontuação d o jogador é a soma dos números das faces dos 5 dados. A combinação Yathzee , que dá nome ao jogo, ocorre quando as faces dos 5 dados apresentam o mesmo número.

Internet: <www.hasbro.com> (com adaptações). Com base no texto acima e considerando um único lan çamento simultâneo dos cinco dados, julgue os itens a seguir.

1

3

5

2

4

7

9

6

8

10

Espaço Amostral

Ímpares Vermelhas





266 - (MEC - 2011 / CESPE) A probabilidade de se obter a sequência máxima

é inferior a 776.7

750.

Solução: Nessa questão, para calcular a probabilidade de ocorrência da sequência, temos: 1º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência (1, 2, 3, 4 ou 5).

P1 = 65

2º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência, exceto o número que sair no dado 1.

P2 = 6

15 − =

64

3º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência, exceto os números que saírem nos dados 1 e 2.

P3 = 6

25 − =

63

4º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência, exceto os números que saírem nos dados 1, 2 e 3.

P4 = 6

35 − =

62

5º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência, exceto os números que saírem nos dados 1, 2, 3 e 4.

P5 = 6

45 − =

61

Assim, a probabilidade total é:

Pt = 65

.64

.63

.62

.61

= 7776120

Item correto .





267 - (MEC - 2011 / CESPE) A probabilidade de se obter um Yathzee é igual a

296.11

.

Solução: Nessa questão, vamos calcular o número de casos favoráveis ao Yathzee e o número de casos possíveis para o lançamento dos cinco dados: Casos favoráveis: (1, 1, 1, 1, 1) (2, 2, 2, 2, 2) (3, 3, 3, 3, 3) (4, 4, 4, 4, 4) (5, 5, 5, 5, 5) (6, 6, 6, 6, 6) Total = 6 casos favoráveis Casos possíveis: Total = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 65 casos possíveis Assim, a probabilidade de se obter um Yathzee é:

P = 56

6 =

461

= 1296

1

Item correto . 268 - (MEC - 2011 / CESPE) Se o resultado do lançamento não apresentar faces com números iguais, então a maior pontuação p ossível na combinação chance será inferior a 18 pontos. Solução: Se o resultado do lançamento pudesse apresentar faces com números iguais, a maior pontuação possível seria: 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30 Como o resultado não apresenta faces com números iguais, a maior pontuação possível será: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 20 Item errado .





(Texto para as questões 269 e 270) As entrevistas e as análises dos currículos dos candidatos Carlos e Sérgio, realizad as pelo setor de recursos humanos de uma empresa, revelaram que a probabilida de de Sérgio ser

contratado é igual a 21

; que a probabilidade de apenas Carlos ser contrata do

é igual a 41

; que a probabilidade de Carlos não ser contratado é igual a 127

.

Nessa situação hipotética, a probabilidade de 269 - (EBC - 2011 / CESPE) os dois candidatos serem contratados é igual a

61

.

Solução: Nessa questão, para facilitar o entendimento, vamos desenhar o seguinte diagrama: Assim, temos:

A probabilidade de Sérgio ser contratado é igual a 21

A área azul do diagrama abaixo tem 21

de chances de acontecer.

Sérgio Carlos

Sérgio Carlos

21





a probabilidade de apenas Carlos ser contratado é i gual a 41

A área laranja do diagrama abaixo tem 41

de chances de acontecer.

A probabilidade de Carlos não ser contratado é igua l a 127

.

A área verde do diagrama abaixo tem 127

de chances de acontecer. Também

podemos concluir que a probabilidade de a área branca do diagrama abaixo

acontecer é dada por 1 – 127

= 125

.

O que nós queremos calcular é a probabilidade de tanto Sérgio quanto Carlos serem contratados, representada pela área amarela abaixo.

Sérgio Carlos

Sérgio Carlos

Sérgio Carlos

125

41





Vimos que: e Portanto, a probabilidade da área amarela é:

125

– 41

= 12

35 − =

122

= 61

Item correto . 270 - (EBC - 2011 / CESPE) nenhum dos dois candidatos ser contratado é

igual a 31

.

Solução: Nessa questão, vamos utilizar os diagramas da questão anterior.

Assim, sabendo que a probabilidade da área azul é 21

e da área laranja é 41

,

podemos concluir que a probabilidade da área branca é:

Sérgio Carlos

125

Sérgio Carlos

41

Sérgio Carlos

21

41





1 – 21

– 41

= 4

124 −− =

41

Item errado . (Texto para as questões 271 a 273) Uma pesquisa de opinião, para verificar a viabilidade das candidaturas de um candidato a pref eito e de um candidato a vereador de determinado município, entrevistou 2.00 0 pessoas: 980 responderam que votariam apenas no candidato a pref eito; 680 responderam que votariam apenas no candidato a vereador ou que não votariam em nenhum dos dois candidatos. Considerando essa situação, julgue os itens seguint es. 271 - (EBC - 2011 / CESPE) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria nos dois candidat os é igual a 0,17. Solução: Nessa questão, vamos desenhar o diagrama para visualizarmos melhor o que a questão está querendo: 980 responderam que votariam apenas no candidato a prefeito Esses eleitores estão representados pela área azul do diagrama

Prefeito Vereador

Prefeito Vereador

980





680 responderam que votariam apenas no candidato a vereador ou que não votariam em nenhum dos dois candidatos Esses eleitores estão representados pela área branca do diagrama Para calcular o total de pessoas na área amarela, sabendo que o total de entrevistados é 2.000, temos: 2.000 – 980 – 680 = 340 Portanto, a probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria nos dois candidatos é igual a:

P = possíveiscasosfavoráveiscasos

= 000.2

340 = 0,17

Item correto . 272 - (EBC - 2011 / CESPE) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a pr efeito é superior a 0,68. Solução: A quantidade de pessoas que disseram que votaria no prefeito esta representada pelas áreas azul e amarela:

Prefeito Vereador

980 680

Prefeito Vereador

980 680

340





Portanto, a probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a prefeito é:


= 000.2

340980 + =

000.21320

= 0,66

Item errado . 273 - (EBC - 2011 / CESPE) Se a probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a vereador for igual a 0,40, então 220 dos entrevistados responderam que não vot ariam em nenhum dos dois candidatos. Solução: Essa questão quer que encontremos o total de elementos da área verde abaixo: Supondo que a probabilidade de as áreas amarela ou branca (x) ocorrerem seja de 0,4. temos:

P(vereador) = 000.2340x +

= 0,4

x + 340 = 0,4.2000 x + 340 = 800 x = 800 – 340 x = 460 Como o total de elementos das áreas branca (x) e verde (y) é igual a 680, temos: x + y = 680 460 + y = 680

Prefeito Vereador

980 680

340 x

y





y = 680 – 460 y = 220 Item correto . (Texto para as questões 274 e 275) A prova objetiva de um concurso público é formada de itens para julgamento. O candidato dev erá julgar cada um deles e marcar na folha de respostas, para cada item, o c ampo indicado com a letra C se julgar que o item é CERTO, ou o campo in dicado com a letra E, se julgar que o item é ERRADO. Nenhum item poderá fica r sem marcação nem poderá haver dupla marcação, C e E. Em cada item, o candidato receberá pontuação positiva se acertar a resposta, isto é, s e sua marcação, C ou E, coincidir com o gabarito divulgado pela organização do concurso. Nos cinco itens que avaliavam conhecimentos de matemática, um candidato fez suas marcações de forma aleatória. Nesse caso, a probabi lidade de esse candidato 274 - (IBAMA - 2013 / CESPE) acertar exatamente três desses cinco itens é inferior à probabilidade de acertar exatamente dois deles. Solução: Nessa questão, temos um total de cinco questões. Para cada questão, o candidato pode acertar ou errar, ou seja, há duas possibilidades de resultado para cada uma das cinco questões. Com isso, podemos calcular o total de casos possíveis: Casos Possíveis = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25 = 32 possibilidades Para os casos favoráveis, temos a seguinte situação: 3 acertos: Podemos ter as seguintes situações: Acertou, acertou, acertou, errou, errou Acertou, acertou, errou, acertou, errou Acertou, acertou, errou, errou, acertou ... Essa quantidade de vezes é dada pela permutação dos 5 elementos com um deles se repetindo 3 vezes e o outro se repetindo 2 vezes (ou seja, uma permutação com repetição em que n = 5, a = 3 e b = 2):

Casos Favoráveis = Pr = !b!.a

!n =

!2!.3!5

= 2!.3

!3.4.5 =

24.5

= 2






Assim, temos a seguinte probabilidade para exatamente 3 acertos:


= 3210

Agora, vamos calcular a probabilidade de 2 acertos: 2 acertos: Podemos ter as seguintes situações: Acertou, acertou, errou, errou, errou Acertou, errou, errou, acertou, errou Acertou, errou, errou, errou, acertou ... Vejam que é a mesma situação de três acertos, uma permutação com repetição em que n = 5, a = 3 e b = 2:

Casos Favoráveis = Pr = !b!.a

!n =

!2!.3!5

= 2!.3

!3.4.5 =

24.5

= 2


Assim, temos a seguinte probabilidade para exatamente 2 acertos:


= 3210

Podemos concluir, então, que a probabilidade de esse candidato acertar exatamente três desses cinco itens é igual à probabilidade de acertar exatamente dois deles. Item errado . 275 - (IBAMA - 2013 / CESPE) acertar exatamente três desses itens de matemática é inferior a 1/3. Solução: Vimos na questão anterior, que a probabilidade de esse aluno acertar exatamente três dos cinco itens de matemática é dada por:


= 3210

Como 3210

é um número inferior a 1/3, concluímos que o item está correto .





(Texto para a questão 276) Uma entrevista foi realizada com 46 empregados de uma empresa, entre os quais 24 eram do sexo masc ulino e 22, do feminino. Com base nessas informações, julgue o ite m seguinte. 276 - (MP - 2013 / CESPE) Se exatamente 5 entre os empregados do sexo masculino tiverem idade inferior a 20 anos e se 2 e mpregados forem escolhidos ao acaso entre os 46 empregados dessa em presa, então a probabilidade de esses dois empregados escolhidos s erem do sexo

masculino e terem idade inferior a 20 anos será mai or do que 100

1.

Solução: Nessa questão, queremos escolher 2 funcionários que sejam do sexo masculino e com idade inferior a 20 anos: 1º funcionário: Casos Favoráveis: 5 opções Casos Possíveis: 46 opções

P1 = possíveiscasosfavoráveiscasos

= 465

2º funcionário: Casos Favoráveis: 5 − 1 = 4 opções (pois já escolhemos o 1º funcionário) Casos Possíveis: 46 − 1 = 45 opções (pois já escolhemos o 1º funcionário)

P2 = possíveiscasosfavoráveiscasos

= 454

Para finalizar, basta aplicarmos o princípio multiplicativo:

Ptotal = P1 × P2 = 465

× 454

= 207

2 <

1001


23 9

2





3 - Questões comentadas nesta aula (Texto para as questões 266 a 268) Para jogar o Yathzee, jogo de dados criado em 1956, os jogadores lançam simultaneamente, em turnos, 5 dados de 6 faces numeradas de 1 a 6, buscando obter a maior pontuação possível, de acordo com as regras estipuladas. Dois exemplos de combinações pontuadas no jogo são a sequência máxima — o jogador obtém as faces de números 1, 2, 3, 4 e 5 — e a chance — a pontuação do jogador é a soma dos números das faces dos 5 dados. A combinação Yathzee, que dá nome ao jogo, ocorre quando as faces dos 5 dados apresentam o mesmo número.

Internet: <www.hasbro.com> (com adaptações). Com base no texto acima e considerando um único lançamento simultâneo dos cinco dados, julgue os itens a seguir. 266 - (MEC - 2011 / CESPE) A probabilidade de se obter a sequência máxima é

inferior a 776.7

750.

267 - (MEC - 2011 / CESPE) A probabilidade de se obter um Yathzee é igual a

296.11

.

268 - (MEC - 2011 / CESPE) Se o resultado do lançamento não apresentar faces com números iguais, então a maior pontuação possível na combinação chance será inferior a 18 pontos. (Texto para as questões 269 e 270) As entrevistas e as análises dos currículos dos candidatos Carlos e Sérgio, realizadas pelo setor de recursos humanos de uma empresa, revelaram que a probabilidade de Sérgio ser contratado é igual a

21

; que a probabilidade de apenas Carlos ser contratado é igual a 41

; que a

probabilidade de Carlos não ser contratado é igual a 127

.

Nessa situação hipotética, a probabilidade de

269 - (EBC - 2011 / CESPE) os dois candidatos serem contratados é igual a 61

.





270 - (EBC - 2011 / CESPE) nenhum dos dois candidatos ser contratado é igual a

31

.

(Texto para as questões 271 a 273) Uma pesquisa de opinião, para verificar a viabilidade das candidaturas de um candidato a prefeito e de um candidato a vereador de determinado município, entrevistou 2.000 pessoas: 980 responderam que votariam apenas no candidato a prefeito; 680 responderam que votariam apenas no candidato a vereador ou que não votariam em nenhum dos dois candidatos. Considerando essa situação, julgue os itens seguintes. 271 - (EBC - 2011 / CESPE) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria nos dois candidatos é igual a 0,17. 272 - (EBC - 2011 / CESPE) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a prefeito é superior a 0,68. 273 - (EBC - 2011 / CESPE) Se a probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a vereador for igual a 0,40, então 220 dos entrevistados responderam que não votariam em nenhum dos dois candidatos. (Texto para as questões 274 e 275) A prova objetiva de um concurso público é formada de itens para julgamento. O candidato deverá julgar cada um deles e marcar na folha de respostas, para cada item, o campo indicado com a letra C se julgar que o item é CERTO, ou o campo indicado com a letra E, se julgar que o item é ERRADO. Nenhum item poderá ficar sem marcação nem poderá haver dupla marcação, C e E. Em cada item, o candidato receberá pontuação positiva se acertar a resposta, isto é, se sua marcação, C ou E, coincidir com o gabarito divulgado pela organização do concurso. Nos cinco itens que avaliavam conhecimentos de matemática, um candidato fez suas marcações de forma aleatória. Nesse caso, a probabilidade de esse candidato 274 - (IBAMA - 2013 / CESPE) acertar exatamente três desses cinco itens é inferior à probabilidade de acertar exatamente dois deles. 275 - (IBAMA - 2013 / CESPE) acertar exatamente três desses itens de matemática é inferior a 1/3.





(Texto para a questão 276) Uma entrevista foi realizada com 46 empregados de uma empresa, entre os quais 24 eram do sexo masculino e 22, do feminino. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 276 - (MP - 2013 / CESPE) Se exatamente 5 entre os empregados do sexo masculino tiverem idade inferior a 20 anos e se 2 empregados forem escolhidos ao acaso entre os 46 empregados dessa empresa, então a probabilidade de esses dois empregados escolhidos serem do sexo masculino e terem idade inferior a 20

anos será maior do que 100

1.





4 - Questões para praticar! A solução será apresent ada na próxima aula (Texto para as questões 277 e 278) Considere que, em uma amostra composta por 210 pessoas atendidas em unidade de atendimento do DETRAN, 105 foram ao DETRAN para resolver pendências relacionadas à documentação de veículos; 70, para resolver problemas relacionados a multas; e 70, para resolver problemas não relacionados à documentação de veículos ou a multas. A respeito dessa situação hipotética, julgue os itens seguintes. 277 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) Caso se selecionem, ao acaso, duas pessoas, entre as 210 da amostra, a probabilidade de que ambas tenham procurado a unidade do DETRAN para solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou que a tenham procurado para resolver problemas

relacionados a multas será superior a 61

.

278 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) Entre as 210 pessoas da amostra, para se selecionar, ao acaso, ao menos duas que tenham procurado a unidade do DETRAN para solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou ao menos duas que a tenham procurado para resolver problemas relacionados a multas, o menor número de pessoas que devem ser selecionadas será igual a 73. (Texto para as questões 279 e 280) Em uma cidade, uma emissora de televisão inaugurou os programas A e B. Posteriormente, para avaliar a aceitação desses programas, a emissora encomendou uma pesquisa, cujo resultado mostrou que, das 1.200 pessoas entrevistadas, 770 pretendem assistir ao programa A; 370 pretendem assistir apenas ao programa B e 590 não pretendem assistir ao programa B. Escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, julgue os próximos itens, com base no resultado da pesquisa. 279 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A probabilidade de essa pessoa pretender assistir

aos dois programas é superior a 41

.

280 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A probabilidade de essa pessoa pretender assistir a

apenas um dos programas é igual a 43

.

(Texto para as questões 281 a 283) Célia e Melissa são candidatas ao cargo de presidente de uma empresa. A escolha será decidida na assembléia de acionistas





e cada acionista poderá votar nas duas candidatas, em apenas uma ou em nenhuma delas. Uma pesquisa entre os 100 acionistas da empresa revelou a seguinte tendência: • 16 acionistas não votariam em nenhuma dessas 2 candidatas; • 28 acionistas votariam apenas em Melissa; • 65 acionistas votariam apenas em Célia ou apenas em Melissa. Nesse caso, escolhendo-se um acionista ao acaso, a probabilidade de ele votar 281 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) apenas em Célia é inferior a 0,4. 282 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) nas duas candidatas é igual a 0,2. 283 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) em Melissa é superior a 0,45. (Texto para as questões 284 a 286) Considerando que, em uma concessionária de veículos, tenha sido verificado que a probabilidade de um comprador adquirir um carro de cor metálica é 1,8 vez maior que a de adquirir um carro de cor sólida e sabendo que, em determinado período, dois carros foram comprados, nessa concessionária, de forma independente, julgue os itens a seguir. 284 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de que ao menos um dos dois

carros comprados seja de cor sólida é igual a 784460

.

285 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de que os dois carros comprados sejam de cor metálica é 3,24 vezes maior que a probabilidade de que eles sejam de cor sólida. 286 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de que somente um dos dois carros comprados seja de cor metálica é superior a 50%. (Texto para a questão 287) Estimou-se que, na região Norte do Brasil, em 2009, havia 1.074.700 analfabetos com 15 anos de idade ou mais, em uma população total de, aproximadamente, 10.747.000 habitantes, e que na região Centro-Oeste, no mesmo ano, havia 840.433 analfabetos com 15 anos de idade ou mais, em uma população total de, aproximadamente, 10.505.415 habitantes. A partir dessas informações, julgue o item subsequente. 287 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de uma pessoa com 15 anos de idade ou mais escolhida ao acaso em 2009, na região Norte ou na região Centro-Oeste, ser analfabeta é inferior a 20%.





(Texto para a questão 288) Estudo divulgado pelo Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a desigualdade social está entre as maiores causas da violência entre jovens. Um dos fatores que evidenciam a desigualdade social e expõem a população jovem à violência é a condição de extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 milhões de jovens brasileiros, membros de famílias com renda per capita de até um quarto do salário mínimo, afirma a pesquisa. Como a violência afeta mais os pobres, é usual fazer um raciocínio simplista de que a pobreza é a principal causadora da violência entre os jovens, mas isso não é verdade. O fato de ser pobre não significa que a pessoa será violenta. Existem inúmeros exemplos de atos violentos praticados por jovens de classe média.

Internet: <http://amaivos.uol.com.br> (com adaptações).

Tendo como referência o texto acima, julgue o item seguinte. 288 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) Selecionando-se ao acaso dois jovens brasileiros, a probabilidade de ambos serem atingidos pela condição de extrema pobreza será inferior a 1,5%. (Texto para as questões 289 e 290) Dos 420 detentos de um presídio, verificou-se que 210 foram condenados por roubo, 140, por homicídio e 140, por outros crimes. Verificou-se, também, que alguns estavam presos por roubo e homicídio. Acerca dessa situação, julgue os itens seguintes. 289 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de se selecionarem dois detentos entre os condenados por outros crimes, que não roubo ou homicídio, para participarem de um programa destinado à ressocialização de detentos é inferior a 10.000. 290 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) Selecionando-se ao acaso dois detentos desse presídio, a probabilidade de que ambos tenham sido condenados por roubo

ou ambos por homicídio será superior a 61

.

(Texto para a questão 291) Em um conjunto E de empresas, indica-se por Ex o subconjunto de E formado pelas empresas que já participaram de pelo menos x procedimentos licitatórios, em que x = 0, 1, 2, ..., e por Nx a quantidade de elementos do conjunto Ex. Julgue o item seguinte, a respeito desses conjuntos.





291 - (TCDF - 2012 / CESPE) A probabilidade de uma empresa selecionada ao acaso no conjunto E já ter participado de exatamente 10 procedimentos licitatórios

é igual a 0

1110

N

NN − .

(Texto para a questão 292) Dez policiais federais — dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes — foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes. Considerando essa situação hipotética, julgue o item que se segue. 292 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e independentemente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20%. (Texto para a questão 293) Em razão da limitação de recursos humanos, a direção de determinada unidade do MPU determinou ser prioridade analisar os processos em que se investiguem crimes contra a administração pública que envolvam autoridades influentes ou desvio de altos valores. A partir dessas informações, considerando P = conjunto dos processos em análise na unidade, A = processos de P que envolvem autoridades influentes, B = processos de P que envolvem desvio de altos valores, CP(X) = processos de P que não estão no conjunto X, e

supondo que, dos processos de P, 32

são de A e 53

são de B, julgue os itens a

seguir. 293 - (MPU - 2013 / CESPE) Selecionando-se ao acaso um processo em trâmite na unidade em questão, a probabilidade de que ele não envolva autoridade influente será superior a 30%. (Texto para as questões 294 a 297) Estudos revelam que 95% dos erros de digitação de uma sequência numérica — como, por exemplo, um código de barras ou uma senha — são a substituição de um algarismo por outro ou a troca entre dois algarismos da mesma sequência; esse último tipo de erro corresponde a 80% dos casos. Considerando esses fatos e que a senha de acesso de um usuário a seu provedor de email seja formada por 8 algarismos, escolhidos entre os algarismos de 0 a 9, julgue os itens de 41 a 45. 294 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Infere-se das informações que a probabilidade de ocorrer um erro de troca entre dois algarismos da própria sequência no momento da digitação de uma sequência numérica é de 80%.





295 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Infere-se das informações que a probabilidade de um erro ocorrido na digitação de uma sequência numérica ser do tipo substituição de um algarismo por outro é de 15%. 296 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Se, ao digitar a senha, o usuário cometer um erro, a probabilidade de o erro dever-se à troca entre dois algarismos adjacentes da sequência será igual a 20%. 297 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Se, ao digitar a sua senha, o usuário cometer um erro do tipo substituição de um algarismo por outro, então a probabilidade de que tal substituição ocorria no primeiro algarismo da senha será igual a 0,1. (Texto para as questões 298 e 299) Os alunos de uma turma cursam 4 disciplinas que são ministradas por 4 professores diferentes. As avaliações finais dessas disciplinas serão realizadas em uma mesma semana, de segunda a sexta-feira, podendo ou não ocorrerem em um mesmo dia. A respeito dessas avaliações, julgue os itens seguintes. 298 - (TRT 17 - 2013 / CESPE) Se cada professor escolher o dia em que aplicará a avaliação final de sua disciplina de modo independente dos demais, a probabilidade de que todos escolham aplicar as avaliações em um mesmo dia será inferior a 1%. 299 - (TRT 17 - 2013 / CESPE) Se cada professor escolher o dia em que aplicará a avaliação final de sua disciplina de modo independente dos demais, a probabilidade de que haja mais de uma avaliação em determinado dia será superior a 80%. (Texto para as questões 300 e 301) Considerando que, em uma pesquisa de rua, cada entrevistado responda sim ou não a cada uma de dez perguntas feitas pelos entrevistadores, julgue o item seguinte. 300 - (TCE/RO - 2013 / CESPE) Se um entrevistado responder à pesquisa aleatoriamente, a probabilidade de ele responder sim a pelo menos uma pergunta será superior a 99%. 301 - (TCE/RO - 2013 / CESPE) Será necessário entrevistar mais de mil pessoas para se garantir que duas pessoas respondam igualmente a todas as perguntas.





(Texto para a questão 302) Considere que, em um conjunto S de 100 servidores públicos admitidos por concurso público, para cada x = 1, 2, 3, ..., Sx, seja o subconjunto de S formado pelos servidores que prestaram exatamente x concursos até que no concurso de número x foram aprovados pela primeira vez; considere, ainda, que Nx seja a quantidade de elementos de Sx. A respeito desses conjuntos, julgue o item a seguir. 302 - (Polícia Federal - 2014 / CESPE) Considere que Sx para x = 1, 2, 3 e 4 represente conjuntos não vazios. Nessa situação, a probabilidade de um servidor público selecionado ao acaso no conjunto S ter prestado no máximo 4 concursos

até ser aprovado pela primeira vez é igual 100N4 .

(Texto para a questão 303) A partir de uma amostra de 1.200 candidatos a cargos em determinado concurso, verificou-se que 600 deles se inscreveram para o cargo A, 400 se inscreveram para o cargo B e 400, para cargos distintos de A e de B. Alguns que se inscreveram para o cargo A também se inscreveram para o cargo B. A respeito dessa situação hipotética, julgue o item subsecutivo. 303 - (Polícia Federal - 2014 / CESPE) Selecionando-se ao acaso dois candidatos entre os 1.200, a probabilidade de que ambos tenham-se inscrito no concurso para o cargo A ou para o cargo B é superior a 1/6.

partidos homens mulheres PA 45 60 PB 22 15 PC 35 40 PD 13 10 total 115 125

(Texto para as questões 304 a 307) A tabela acima mostra o resultado de uma pesquisa de intenção de voto, com 240 entrevistados — 115 do sexo masculino e 125 do feminino —, nos partidos PA, PB, PC e PD. Cada entrevistado preencheu uma ficha em que informava seu gênero (masculino ou feminino) e o partido em que pretendia votar. Considerando que essas fichas tenham sido arquivadas e que a probabilidade de se selecionar aleatoriamente qualquer uma delas é a mesma para todas as fichas, julgue os itens seguintes. 304 - (INPI - 2014 / CESPE) A probabilidade de se selecionar aleatoriamente uma ficha de um entrevistado do sexo feminino que pretende votar no partido PC é inferior a 0,18. 305 - (INPI - 2014 / CESPE) A probabilidade de se selecionar aleatoriamente uma ficha de um entrevistado do sexo masculino que não pretende votar no partido PB é inferior a 0,4.





306 - (INPI - 2014 / CESPE) A probabilidade de se selecionar aleatoriamente uma ficha de um entrevistado do sexo masculino que pretende votar no partido PD ou de um entrevistado do sexo feminino que pretende votar no partido PA é superior a 0,41. 307 - (INPI - 2014 / CESPE) A probabilidade de se selecionar aleatoriamente uma ficha de alguém que pretende votar no partido PD é superior a 0,1. (Texto para as questões 308 e 309) Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 do sexo feminino. A região atendida pelo batalhão é composta por 10 quadras e, em cada dia da semana, uma dupla de policiais policia cada uma das quadras. Com referência a essa situação, julgue os itens subsequentes. 308 - (Polícia Federal - 2014 / CESPE) Caso as duplas de policiais sejam formadas aleatoriamente, então a probabilidade de que em determinado dia os policiais que policiarão determinada quadra sejam do mesmo sexo será superior a 0,5. 309 - (Polícia Federal - 2014 / CESPE) Considerando que, após concurso público, sejam admitidos novos policiais no batalhão, de modo que a quantidade dos novos policiais do sexo masculino admitidos seja igual ao triplo da quantidade de novos policiais do sexo feminino, e que, devido a essas admissões, 0,7 passe a ser a probabilidade de se escolher, ao acaso, um policial do sexo masculino desse batalhão, então, no batalhão haverá mais de 15 policiais do sexo feminino.





5 - Gabarito 266 - C 267 - C 268 - E 269 - C 270 - E 271 - C 272 - E 273 - C 274 - E 275 - C 276 - E 277 - E 278 - C 279 - E 280 - C 281 - C 282 - E 283 - C 284 - C 285 - C 286 - E 287 - C

288 - C 289 - C 290 - E 291 - C 292 - E 293 - C 294 - E 295 - C 296 - C 297 - E 298 - C 299 - C 300 - C 301 - C 302 - E 303 - E 304 - C 305 - C 306 - E 307 - E 308 - E 309 - C

aula 05 - rl - pós-edital

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