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ELETRICIDADE CA

Aula 04 Relaes fasoriais, impedncia e admitncia

Prof. Jos Daniel de Alencar Santos jdaniel@ifce.edu.br

Escola Tcnica Aberta do Brasil - ETEC Instituto Federal do Cear - IFCE

Fortaleza - CE 2014

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SUMRIO

Apresentao ....................................................................... 03

Tpico 1 - Para comeo de conversa ................................... 04

Tpico 2 - Relaes fasoriais em circuitos CA ..................... 05

2.1 Relaes fasoriais nos elementos de circuitos .............. 05

Tpico 3 - Impedncia e admitncia ..................................... 09

3.1 Impedncia ..................................................................... 10

3.2 Admitncia ...................................................................... 12

Tpico 4 - Leis de Kirchhoff .................................................. 14

4.1 Leis de Kirchhoff no domnio da frequncia ................... 14

4.2 Leis de Kirchhoff e combinao de impedncias ........... 15

Concluso ............................................................................. 20

Referncias ........................................................................... 21

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Apresentao

Na aula 04, estudaremos primeiramente a representao fasorial

dos elementos passivos em circuitos CA. Na sequncia, veremos

os conceitos de impedncia e admitncia, bem como suas

implicaes na anlise CA. Exploraremos tambm as leis de

Kirchhoff das tenses e das correntes aplicadas no domnio da

frequncia. Por fim, estudaremos as associaes em srie e em

paralelo de impedncias em circuitos CA.

Boa aula!

Objetivos

q Compreender a aplicao da anlise fasorial em circuitos

CA com elementos passivos.

q Conhecer os conceitos de impedncia e admitncia.

q Compreender a aplicao das leis de Kirchhoff em circuitos

CA no domnio da frequncia.

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Tpico 1 - Para comeo de conversa Em aulas anteriores, vimos que tenso e corrente senoidais

possuem comportamentos diferentes quando tratamos com

cargas resistivas, indutivas ou capacitivas. Entretanto, com o

conhecimento adquirido sobre fasores, essa anlise em circuitos

CA torna-se mais compreensvel.

Um circuito CA original (no domnio do tempo) pode ser

transformado em um circuito com representao fasorial (no

domnio da frequncia); com os fasores no lugar das tenses e

correntes senoidais; e com as reatncias no lugar das indutncias e capacitncias, enquanto as resistncias

permanecem inalteradas.

Uma vantagem dos circuitos CA fasoriais que as reatncias e

resistncias tm a mesma unidade, que o ohm (), e assim podem ser combinadas de forma semelhante s resistncias em

circuitos CC.

De uma forma geral, podemos ento dizer que todos os conceitos

utilizados na anlise de circuitos CC, para a obteno de tenses

e correntes, igualmente se aplicam anlise de circuitos fasoriais.

Objetivo q Compreender a importncia da utilizao dos fasores na

anlise de circuitos CA.

Reatncia a oposio passagem de corrente eltrica que um indutor ou um capacitor impem no circuito eltrico.

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Entretanto, utilizamos agora em CA a teoria dos nmeros

complexos no lugar dos nmeros reais empregados em CC.

Portanto, a partir de agora, estudaremos a anlise fasorial nos

elementos passivos de circuitos (resistor, indutor e capacitor),

conhecendo os conceitos de impedncia e admitncia, bem como

as leis de Kirchhoff aplicadas a essas grandezas em circuitos CA,

para compreendermos melhor o comportamento desses circuitos.

Tpico 2 - Relaes fasoriais em circuitos CA

2.1 Relaes fasoriais nos elementos de circuitos

Agora que aprendemos a representar um sinal de tenso ou

corrente no domnio fasorial, ou da frequncia, podemos pensar

sobre como esse conceito aplicado em circuitos contendo

elementos passivos, tais como os resistores, os indutores e os

capacitores.

O que precisamos fazer transformar as relaes tenso-

corrente, em cada elemento, do domnio do tempo para o domnio

da frequncia (representao fasorial).

Objetivo q Compreender a aplicao da anlise fasorial em circuitos

CA com resistores, indutores e capacitores.

A conveno de sinal passivo satisfeita quando a corrente entra no terminal positivo do elemento, caracterizando-o como um elemento passivo. Em caso contrrio, o elemento dito ativo.

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Vamos fazer isso considerando aqui a conveno de sinal

passivo. Comecemos ento pelo resistor.

Se a corrente em um resistor R ,

Ento a tenso existente em seus terminais :

E a forma fasorial dessa tenso

Mas a representao fasorial da corrente

Logo,

Esta expresso mostra que a relao tenso-corrente para o

resistor no domnio fasorial continua sendo a lei de Ohm

( ), tal como no domnio do tempo.

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Perceba que para o resistor, a tenso e a corrente fasoriais esto

em fase (pois ambas tem o mesmo ngulo de fase ), como

ilustrado no diagrama fasorial abaixo:

Fig. 4.1 Diagrama fasorial para um resistor - ref. [5], p. 74

Analisaremos, ento, um indutor (L), cuja corrente atravs dele :

De acordo com o que estudamos na aula 02, a tenso no indutor

:

.

Aplicando a identidade trigonomtrica

Podemos reescrever a tenso no indutor como:

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A qual transformada para o fasor:

Mas

E

Portanto:

Podemos ento afirmar que a tenso no indutor tem amplitude de

e fase . A tenso est 90 fora de fase da corrente.

Especificamente, a corrente est atrasada 90 em relao a

tenso, conforme pode ser visto na figura 4.2:

Fig. 4.2 Diagrama fasorial para um indutor; a corrente est atrasada em relao a tenso - ref.

[5], p.93.

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Por fim, analisaremos um capacitor (C), cuja tenso aplicada em seus terminais

Ento, tambm de acordo com o que estudamos na aula 02, a

corrente atravs do capacitor C :

Seguindo os mesmos passos adotados para o caso do indutor,

teremos:

Nesse caso, podemos afirmar que a corrente est adiantada 90

em relao tenso, conforme ilustra a figura 4.3.

Fig. 4.3 Diagrama fasorial para um capacitor; a corrente est adiantada em relao a tenso - ref. [5], p.82

Tpico 3 - Impedncia e admitncia

Objetivo

q Conhecer os conceitos relacionados a impedncia e

admitncia, para utiliz-los nos circuitos em corrente alternada.

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3.1 Impedncia Nos tpicos anteriores, trabalhamos com a anlise fasorial em

circuitos CA e obtivemos as relaes de tenso-corrente para os

trs elementos passivos:

As equaes acima podem ser reescritas em termos da razo

entre a tenso fasorial e a corrente fasorial, conforme mostrado a

seguir:

A partir das trs equaes anteriores, podemos obter a lei de

Ohm na forma fasorial para qualquer um dos elementos passivos,

seja ele um resistor, um indutor ou um capacitor:

Em que Z a quantidade dependente da frequncia, e chamada de impedncia.

Apesar de a impedncia ser a razo entre dois fasores, ela no um fasor, pois no corresponde a uma grandeza senoidal variante.

Impedncia: a relao entre os fasores de tenso e corrente em um circuito CA genrico. Esta grandeza representa a oposio total oferecida pela carga passagem da corrente alternada senoidal. Seu valor um nmero complexo composto pela resistncia (parte real) e pela reatncia (parte imaginria). medida em ohms.

ouu

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Enquanto grandeza complexa, a impedncia pode ser expressa

na forma retangular por:

Na qual a resistncia e a reatncia

(rever a aula 01). A reatncia X pode ser positiva ou negativa. Falamos que a impedncia indutiva quando X positiva, ou capacitiva quando X negativa. Portanto:

A impedncia indutiva, pois a corrente estar

atrasada em relao a tenso.

A impedncia capacitiva, pois a corrente

estar adiantada em relao a tenso.

A impedncia, a resistncia e a reatncia so todas medidas em

ohms. Alm disso, a impedncia tambm pode ser expressa na

forma polar como:

Comparando:

Podemos escrever:

e

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A impedncia de um circuito tambm pode ser mostrada atravs

do chamado tringulo de impedncias, conforme mostrado

abaixo:

Fig. 4.4 Tringulo de impedncias para circuito indutivo e capacitivo - ref. [2], pag.67

3.2 Admitncia

Algumas vezes conveniente trabalharmos com o inverso da

impedncia, que chamada admitncia e medida em Siemens (S).

A admitncia Y de um elemento (ou circuito) a razo entre os fasores de corrente e tenso existentes no referido elemento (ou

circuito). escrita como:

Como tambm se trata de uma grandeza complexa, Y pode ser escrita como:

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Em que chamada de condutncia e

chamada de susceptncia. Vale ressaltar que a condutncia e a

susceptncia tambm so medidas em Siemens.

Como a admitncia o inverso da impedncia, podemos escrever

a seguinte igualdade:

Equacionando as partes real e imaginria:

Dessa forma, podemos calcular a condutncia e a susceptncia a

partir dos valores conhecidos de resistncia e reatncia.

A tabela 4.1 mostra um resumo das expresses para o clculo da

impedncia e admitncia em circuitos CA, que discutimos at o

momento.

Elemento Impedncia Admitncia

Resistncia

Capacitncia

Indutncia

Tabela 4.1 Impedncia e admitncia para elementos passivos - ref. [4], pag.33 (modificada)

Susceptncia Mede a permisso passagem de corrente eltrica causada por elementos passivos do circuito. a parte imaginria da admitncia, e depende da reatncia e da resistncia.

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Tpico 4 - Leis de Kirchhoff

4.1 Leis de Kirchhoff no domnio da frequncia As leis de Kirchhoff so ferramentas muito importantes para a

anlise de circuitos, seja em CC ou em CA. Portanto,

expressaremos agora as leis de Kirchhoff no domnio da

frequncia para circuitos em corrente alternada.

Para tanto, consideremos inicialmente a Lei das Tenses de

Kirchhoff (LTK), em que as tenses v1, v2, ..., vn em um loop

fechado podem ser relacionadas pela igualdade:

Em regime permanente senoidal, cada tenso pode ser escrita na

forma de um cosseno. Logo, aps algumas manipulaes

matemticas, a equao acima torna-se:

Seguindo a mesma linha de raciocnio, podemos mostrar que a

Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) tambm vlida para os

fasores.

Objetivo q Compreender as formas das leis de Kirchhoff das tenses e

das correntes em circuitos em corrente alternada.

A lei de Kirchhoff das tenses tambm vlida para o domnio fasorial.

LOOP qualquer caminho fechado em um circuito eltrico.

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Se , forem as correntes que entram ou deixam um n

ou uma regio fechada em um circuito no tempo, ento:

Se so as representaes fasoriais das senoides

, ento:

4.2 Leis de Kirchhoff e combinao de impedncias Como j estudamos o conceito de impedncia e as leis de

Kirchhoff aplicadas fasores, podemos fazer uso de vrios

procedimentos e equaes j aprendidos, tais como a

combinao de impedncias em srie e em paralelo.

Consideremos, por exemplo, N impedncias conectadas em srie, conforme mostra a figura 4.5.

I1 + I2 + ... + In = 0

A lei de Kirchhoff das correntes tambm vlida para o domnio fasorial.

Fig. 4.5 Circuito com N impedncias em srie - ref. [1], p.339

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Observando a figura acima, podemos constatar que a mesma

corrente I passa atravs de todas as impedncias. Aplicando ento a LTK ao loop mostrado, teremos:

A impedncia equivalente nos terminais de entrada :

A equao acima mostra que a impedncia equivalente de

impedncias conectadas em srie a soma das impedncias

individuais. Esse resultado similar associao em srie de

resistores.

Consideremos o caso particular de duas impedncias conectadas

em srie (N = 2), conforme mostrado na figura 4.6.

Fig. 4.6 Circuito divisor de tenso - ref. [1], p.339

A corrente atravs das impedncias :

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Como e , ento:

A equao acima nada mais que o princpio do circuito divisor

de tenso.

Seguindo a mesma linha de raciocnio, podemos obter a

impedncia ou admitncia equivalente a N impedncias

conectadas em paralelo, conforme mostrado na figura 4.7.

Fig. 4.7 Circuito com N impedncias em paralelo - ref. [1], p.340

A tenso em cada impedncia a mesma. Se aplicarmos a LCK

ao n superior do circuito, teremos:

A impedncia equivalente :

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E a admitncia equivalente :

Quando N = 2, como mostrado na figura 4.8, a impedncia

equivalente :

Fig. 4.8 Circuito divisor de corrente - ref. [1], p.340

Alm disso, como:

As correntes nas impedncias so:

A equao anterior nada mais que o princpio do circuito divisor

de corrente.

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A tabela 4.2 mostra um resumo de impedncias obtidas a partir da

associao em srie ou em paralelo dos elementos passivos:

Circuito Impedncia complexa

RC srie RL srie

RCL srie RC paralelo

RL paralelo

RCL paralelo

Tabela 4.2 Impedncias complexas - ref. [4], p.30 (modificada)

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Concluso

Nessa aula, aprofundamos nosso conhecimento sobre os fasores

e as relaes fasoriais dos elementos passivos (resistor, indutor e

capacitor) em circuitos CA. Alm disso, vimos os conceitos de

impedncia e admitncia, bem como sua importncia nos circuitos

CA. Exploramos as leis de Kirchhoff no domnio da frequncia, e

suas implicaes na associao de impedncias e admitncias.

Agora voc est apto a aprofundar-se no tema dessa aula.

Procure estudar tambm pelo material postado na biblioteca

virtual e faa pesquisas em livros e internet. No se esquea de

fazer todas as atividades propostas. Lembre-se de que

alcanamos agora a metade da nossa disciplina.

Vamos aula!

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Referncias

[1] ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. Fundamentos de Circuitos Eltricos. 1 ed. So Paulo: Bookman, 2003.

[2] FREITAS, J. A. L.; ZANCAN M. D. Eletricidade. Santa Maria:

Universidade Federal: Colgio Tcnico Industrial de Santa Maria,

2008.

[3] O'MALLEY, J. Anlise de Circuitos. 2 ed. So Paulo: Makron

Books, 1993. [4] PEREIRA, A. H. Eletricidade CA. Apostila, 2010.

[5] MUSSOI, F. L. R. Sinais Senoidais: Tenso e Corrente Alternadas. Centro Federal de Educao Tecnolgica de Santa

Catarina. Gerncia Educacional de Eletrnica, Florianpolis, 2006.