ÁREAS DAS FIGURAS PLANASPROF. Carlos A. Gomes

Medir uma grandeza significa compará-la com outra de mesma espécie que é tomada por unidade.

* O que significa medir uma grandeza?

* O que é a área de uma figura plana?

É uma medida da porção do plano que é cercada (ocupada) pela figura.

* Como encontrar a medida da área de uma figura plana?

Devemos comparar a sua superfície (porção do plano queela ocupa) com a de outra figura que é tomada como uni-dade.

* Qual uma boa sugestão para a unidade de área ?

Um quadrado cujo lado mede uma unidade de comprimento.(ele será chamado de quadrado unitário)

1

1 u.a.

Definição geral de área

Dado um polígono P associamos a esse polígono um número real não negativo, chamado de área de P com as seguintes propriedades:

I – Polígonos congruentes têm áreas iguais.

II – Se P é um quadrado de lado 1, então (área de P) = 1.

III – Se P pode ser decomposto como a reunião de nPolígonos P1.P2,...,Pn tais que dois quaisquer delestêm em comum no máximo alguns lados, então

n

kk 1

área de P P

Áreas das principais figuras planas

QUADRADOS

RETÂNGULOS

PARALELOGRAMOS

TRIÂNGULOS

TRAPÉZIOS

LOSANGOS

CÍRCULOS

* Quadrados

Partindo da definição, num curso mais rigoroso, pode-se demonstrar que a medida de um quadrado de lado a é a2.

a

a u.a.2

* Retângulos

Por quê?

b

b

b b

h

h

h

h

A = b.h

b

h

A

A2b

2h

2 2 2b h 2.A b h

2 2 2 2b 2.b.h h 2.A b h

A b.h

* Paralelogramos

A = b.h

b

h

Por quê?

b

h

b

h

Logo, A = b.h

* Triângulos

b

hb.h

A2

Por quê?

b

hb.h

A2

* Observação importante !

a

b

c

a.hA

2b.h

A2

c.hA

2

a

bc

ha

hb hc

Outras formas de calcular a área de um triângulo:

a

bc

A

B C a

bc

ha

A

B C

Sabemos que: a1

A a.h2

Mas, ahsen

c ah c.sen

E daí, a1

A a.h2

1

A .a.c.sen2

De um modo geral temos que:

a

bc

A

B C

1A .a.c.sen

21

A .a.b.sen21

A .b.c.sen2

Área de um triângulo em função do semi-perímetro edo raio da circunferência inscrita.

a

bc

A

B C

r

A p.r

a b cOnde, p

2

Por quê ?

a

bc

A

B C

r

rr

a.rA

2 + b.r

2+

c.r2

a b cA .r

2

A p.r

Observação importante!!!

Na verdade a fórmula A=p.r funciona para qualquer Polígono circunscritível

A p.r

Área de um triângulo em função do raio da circunferência circunscrita.

a

bc

A

B C

Ra.b.c

A4.R

Por quê ?

Lembre que:

a

bc

A

B C

R a b c2.R

sen sen sen

( Lei dos senos )

Já sabemos que:1

A .a.c.sen2

Mas,

b b2.R sen

sen 2.R

1 bA a.c.

2 2.R a.b.c

A4.R

Fórmula de Heron

a

bc

A

B C

A p. p a . p b . p c

Onde,a b c

p2

Por quê ?

Quando 90°,

tg .tg tg .tg tg .tg 1

Pois, 90 90

Assim,

90 tg tg 90 tg cot g

Mas,1

cot gtg

a

bc

A

B C

r

rr

Note que =180° e

assim temos que =90°,

E daí temos que:

tg tg 1tg cot g

1 tg .tg tg

tg tg 1tg . tg tg 1 tg .tg

1 tg .tg tg

tg . tg tg 1 tg .tg

tg .tg tg .tg tg .tg 1

Mas,

a

bc

A

B C

r

rr

x

x y

y

zz2p 2x 2y 2z

x p b

p x y z y p c

z p a

Perceba que:r r r

tg , tg e tgz x y

Mas, tg .tg tg .tg tg .tg 1

Assim,

2 2 2 2r . x y z r .p r pr r r r r r. . . 1 1 1 1

z x z y x y xyz xyz p.xyz

Sabemos que A = p.r . Assim temos que:

22 2 2prr p A1 1 1 A p.xyz

p.xyz p.xyz p.xyz

Lembrando que

x p b

p x y z y p c

z p a

Segue que

A p.xyz A p. p a . p b . p c

Algumas observações importantes:

I. Qual dos triângulos abaixo possui a maior área?

(r)/ / (s)

(s)

Os dois triângulos têm a mesma área. A área de umtriângulo não se altera quando a sua base permanece fixa e o terceiro vértice percorre uma reta paralela a base

II. Num triângulo qualquer uma das suas medianas o divide em dois triângulos de mesma área

h

III. As três medianas de um triângulo o dividem em seis triângulos de mesma área.

IV – Se no lugar das medianas tivermos três cevianasconcorrentes quaisquer, demonstra-se que:

1

2

3 45

6

1 3 5 2 64A .A .A A .A .A

(Teorema de Ceva para áreas)

V – Quando dois triângulos são semelhantes com razão deSemelhança k suas áreas apresentam razão k2. (por quê ?)

VI – Quando dois triângulos têm a mesma altura a razãodas suas áreas é igual a razão das suas bases.(por quê?)

VII - Área de um triângulo equilátero.

a

ah a

2a 3

a.b.h a 32A A2 2 4

VIII – Área de um hexágono regular.

a

a

a

a

a

a

2 2

Ta 3 3a 3

A 6.A 6.4 2

* Trapézio

h

B

b

B b .hA

2

Por quê?

h

B

b

B-b

b

h

b

B b .h B b .hA bh A

2 2

* Losango

D

dD.d

A2

Por quê?

T

D d. D.d2 2A 4.A A 4. A2 2

D/ 2

d/2

* Círculos

Já vimos que

A p.r

Tomando um polígono regular com um grande número de lados, isto é, o número de lados tendendo ao infinito, temos que esse polígono tende a uma circunferência.

Assim temos que:

Tn n n

a.h nahA n.A n.lim lim lim

2 2

Ra

R

R

n (n lados)

Tn n n

a.h nahA n.A n.lim lim lim

2 2

Note que :na 2 R

nh R

E daí concluímos que:

2

n

nah 2 RRA A A Rlim

2 2

FIM !