Ano lectivo: 2010/2011

Física e Química A

APSA: Utilização da calculadora gráfica no estudo dos

movimentos – questões resolvidas Nº: _____ Nome: ____________________ Ano: 11º Turma: ____

Procedimentos utilizando a máquina de calcular gráf ica TI – 84 Plus.

1. Questão resolvida 5, página 201 do manual escola r. A lei de movimento de um corpo, que se move ao longo de uma linha recta e horizontal, é dada por: x(t) = -t2 + 5t + 4 (SI).

1.1. Introduza esta função na calculadora gráfica e estude o movimento apenas nos

primeiros 7 s. Y= Escreva a função: -x2 + 5t + 4 TABLE (2ND GRAPH) Analise a tabela e registe os valores de xmin, xmáx, ymin e ymáx xmin=0; xmáx= 7; ymin=-10 e ymáx=11 WINDOW Introduza apenas os valores máximos e mínimos registados anteriormente, sem alterar as escalas. GRAPH Observe o traçado do gráfico.

1.2. Analise o gráfico e indique as grandezas que estão representadas no eixo dos xx e no eixo dos yy. No eixo dos xx está representado o tempo. No eixo dos yy está representada a distância percorrida pelo corpo.

1.3. Indique o instante em que o corpo passa pela origem do referencial. O corpo passa pela origem do referencial em y=0, ou seja, quando a função x(t) se anula. Portanto, temos que procurar os zeros da função. CALC (2ND TRACE) 2: zero Com o cursor indique um ponto à esquerda e um ponto à direita do ponto pretendido, premindo ENTER em cada definição do ponto e termine com ENTER. Aparecerá o valor x= 5,7. Este será o instante em que o corpo passa pela origem do referencial, isto é t= 5,7 s.

1.4. Indique a posição inicial do corpo. A posição inicial do corpo ocorre quando t=0, isto é, quando x=0. CALC (2ND TRACE) 1: value x=0 � y=4. A posição inicial do corpo é x=4 m.

1.5. Indique a posição final do corpo. A posição final do corpo ocorre quando t=7, isto é, quando x=7. CALC (2ND TRACE) 1: value x=7 � y=-10. A posição inicial do corpo é x=-10 m.

1.6. Indique em que instante o corpo inverteu o sen tido do movimento. Analise o movimento relativamente ao seu sentido. Como a função é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, procuramos o máximo da função, pois será este valor o correspondente à posição em que o corpo inverteu o sentido. CALC (2ND TRACE) 4: maximum Com o cursor indique um ponto à esquerda e um ponto à direita do ponto pretendido, premindo ENTER em cada definição do ponto e termine com ENTER. x=2,5 e y=10,25 A inversão do sentido do movimento deu-se no instante t=2,5 s e ocorreu na posição x=10,25 m. A partícula moveu-se no sentido positivo da trajectória no intervalo t Є [0; 2,5] s. A partícula moveu-se no sentido negativo da trajectória no intervalo t Є �2,5; 7�s.

1.7. Calcule a distância percorrida pela partícula nos 7 s de movimento.

Trace um esboço do gráfico indicando a posição inicial, posição máxima e a posição final.

//

-10

O corpo move-se no sentido positivo da trajectória desde a posição x=4m até à posição x=10,25 m, percorrendo uma distância de 6,25m. O corpo move-se no sentido negativo da trajectória desde a posição x=10,25 m até à posição x=-10m, percorrendo uma distância de 20,25m. A distância total percorrida pelo corpo será 26,25m.

1.8. Calcule e caracterize o vector deslocamento. A projecção escalar do vector deslocamento será: ∆x = xf - xi = -10 -4 = -14 m O vector deslocamento tem a direcção horizontal e o sentido negativo da trajectória.

1 2 3 4 5 6 7 t/s

11 10 9 8 7

6 5

4 3

2 1

x/m

1.9. Indique o instante em que a partícula atingiu a posição x=-5 m. Introduza a função x=-5:

Y= Escreva (-) 5 em Y2=

CALC (2ND TRACE) 5: intersect Com o cursor indique um ponto à esquerda da posição pretendida, na curva, e, na recta, um ponto à esquerda e um ponto à direita da posição pretendida, premindo ENTER em cada definição do ponto e termine com ENTER. x=6,4 e y=-5, isto é, a partícula atingiu a posição x=-5 m no instante t=6,4 s. Limpe a função x=-5 introduzida em Y=

1.10. Indique o valor de velocidade do corpo no ins tante t=1s. O valor de velocidade no instante t=1s corresponde ao declive da recta tangente à curva do gráfico nesse instante. Iremos obter a equação da tangente (y=a x + b) em que o declive, ou seja o valor da velocidade do corpo, corresponde ao valor de a. CALC (2ND TRACE) 1: value X=1 ENTER DRAW (2ND PRGM) 5:tangent( ENTER Quando aparecer o gráfico prima ENTER Visualizará o traçado da tangente no ponto x= 1. Apresenta-se escrita a equação da recta da tangente. O valor 3,1 corresponde ao declive da recta tangente, isto é, ao valor de velocidade do corpo no instante t=1s � v=3,1 m/s.

2. Actividade 4, página 205 do manual escolar. Proc edimentos utilizando a máquina de calcular gráfica TI – 84 Plus. Qual é a lei de movimento de um corpo x(t) para um movimento real? Esta actividade permite construir o gráfico posição-tempo, a recta mais provável e a respectiva equação x(t) (a lei do movimento), a partir de dados experimentais apresentados na tabela 1.

t/s 0,000 2,512 4,534 7,012 8,259 8,569

x/m 0,000 0,100 0,176 0,230 0,264 0,280

2.1. Obtenha o gráfico posição-tempo. STAT 1: Edit Introduza os valores do tempo em L1 e da posição em L2. STAT PLOT (2ND Y=) 1: Plot 1… On Type (tipo de gráfico - pontos) Xlist: L1 Ylist: L2 Mark: à escolha ZOOM 9:ZoomStat Analise o gráfico no ecrã

Tabela 1

2.2. Obtenha a lei do movimento e o traçado da equa ção que a define. A linha que melhor se ajusta a estes pontos é uma recta, cuja equação reduzida (y=a x+b) é obtida através de uma regressão linear. STAT CALC 4: LinReg(a x+b) L1 (2ND 1) , L2 (2ND 2) , VARS Y-VARS 1:Function ENTER 1: Y1 ENTER A recta obtida é: y=0,031 x + 0,014, logo se conclui que a equação do movimento para este corpo é: x=0,031t + 0,014. Com R2 = 0,987 O quadrado do coeficiente de correlação é muito próximo da unidade, indicador de que a recta é adequada. Para obter o traçado da recta prima GRAPH.

3. Questão resolvida 11, página 208 do manual escol ar. Com o objectivo de saber como varia a velocidade de um pequeno corpo com o tempo, que descreve uma trajectória rectilínea, fez-se a aquisição dos dados registados na tabela 2.

t/s 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

x/m 0,8 1,0 1,4 1,9 2,7 3,6 4,8 6,0 7,5 9,6 3.1. Obtenha o gráfico e conclua se o corpo se move u com velocidade constante ou

variável. Indique a lei do movimento para este corp o. STAT 1: Edit Introduza os valores do tempo em L1 e da posição em L2. STAT PLOT (2ND Y=) 1: Plot 1… On Type (tipo de gráfico - pontos) Xlist: L1 Ylist: L2 Mark: à escolha ZOOM 9:ZoomStat Analise o gráfico no ecrã. Pela análise do gráfico, verifica-se que a linha que melhor se ajusta é uma parábola e não uma recta, significando que a partícula não tem uma velocidade constante ao longo do seu movimento.

Tabela 2

Para obter a lei do movimento para este corpo devemos fazem a regressão quadrática STAT CALC 5: QuadReg L1 (2ND 1) , L2 (2ND 2) , VARS Y-VARS 1:Function ENTER 1: Y1 ENTER A função quadrática obtida é: y=10,1 x2 + 0,43 x + 0,85. Logo se conclui que a equação do movimento para este corpo é: x =10,1 t2 + 0,43 t + 0,85. Com R2 = 0,999 O quadrado do coeficiente de correlação é muito próximo da unidade, indicador de que a parábola é a mais adequada. Para obter o tracado da parábola prima GRAPH.

3.2. Indique a componente escalar da velocidade em t=0,5 s.

A projecção escalar do vector velocidade obtém-se a partir do declive da recta tangente à curva do gráfico no instante pedido. Iremos obter a equação da tangente (y=a x + b) em que o declive, ou seja o valor da velocidade do corpo, corresponde ao valor de a. Tendo o gráfico no ecrã: CALC (2ND TRACE) 1: value X=1 ENTER DRAW (2ND PRGM) 5:tangent( ENTER Quando aparecer o gráfico prima ENTER Visualizará o traçado da tangente no ponto x= 0,5. Apresenta-se escrita a equação da recta da tangente. O valor 10,5 corresponde ao declive da recta tangente, isto é, ao valor de velocidade do corpo no instante t=0,5 s � v=10,5 m/s.

3.3. Construa o gráfico velocidade-tempo. Determine, como no caso anterior, o declive das rectas tangentes à curva em todos os instantes considerados. Como estes valores não são exactos, mas sim, obtidos por estimativa, devem escrever-se com, pelo menos, mais uma casa decimal. Construa a tabela com os declives obtidos em cada instante considerado.

t/s 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 v/ms-1 0,4 2,56 4,65 6,51 8,60 10,69 12,55 14,64 16,73 18,60

Introduza os valores da tabela: STAT 1: Edit Introduza os valores do tempo em L1 e da velocidade em L2. STAT PLOT (2ND Y=) 1: Plot 1… On Type (tipo de gráfico - pontos) Xlist: L1 Ylist: L2 Mark: à escolha ZOOM 9:ZoomStat Observe o gráfico obtido.

Obtenha a equação da recta de regressão:

STAT CALC 4: LinReg(a x+b) L1 (2ND 1) , L2 (2ND 2) , VARS Y-VARS 1:Function ENTER 1: Y1 ENTER a= 20,153 b= 0,531 A Lei das velocidades para este movimento será: v = 20,153 t + 0,531 Como R2 = 1,000 esta é a melhor recta. Para visualizar o traçado da recta prima GRAPH. FIM

Tabela 3