aproximação na esfera por uma soma com pesos de … · envolvendo a derivada forte,...

Aproximação na esfera por uma soma com pesosde harmônicos esféricos

Ana Carla Piantella

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USPData de Depósito:Assinatura:

Aproximação na esfera por uma soma com pesosde harmônicos esféricos1

Ana Carla Piantella

Orientador: Prof. Dr. Valdir Antonio Menegatto

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Com-putação da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitospara obtenção do título de Doutor em Ciências: Matemática.

USP - São CarlosJaneiro/2007

1Este trabalho teve suporte financeiro da CAPES

Aos meus pais,

José Antonio e Sonia,

com carinho...

Agradecimentos

A Deus, por sempre me iluminar nos momentos mais difíceis, por ter me dado forças e me

mostrado o caminho para conseguir chegar ao final de mais uma etapa da minha vida.

Ao meu orientador, Prof. Valdir Antonio Menegatto, pela tão dedicada orientação e por

não ter medido esforços para me ajudar sempre que precisei. Agradeço pela sua disposição,

paciência, amizade, incentivo e pelo exemplo de profissional que mostrou ser durante todos

esses anos.

Aos meus pais, que com seus ensinamentos e carinho sempre me incentivaram a buscar os

meus sonhos, mesmo que isso me levasse a ficar um pouquinho distante deles. Muito obrigada

por todo apoio e amor que sempre demonstraram, e por tudo que fizeram para tentar me dar

o melhor. Amo vocês!

A toda minha família, que sempre torceu por mim e sempre demonstrou muito carinho.

Aos professores Ana Paula Peron e Claudemir Pinheiro de Oliveira, pela ajuda no trabalho,

pelas sugestões e pela amizade. Agradeço a todos os professores que participaram da minha

vida acadêmica, em especial, Luiz Alberto Duran Salomão, Walter dos Santos Motta Jr. e

Geraldo M. de Azevedo Botelho pela orientação no período da graduação.

Aos meus amigos, pela amizade e pelo carinho. Agradeço em especial, minhas "irmãs de

república": Chris e Karen, e os meus amigos do ICMC: Grazielle, Judith, Mário, Michelle,

Ronaldinho e Thiago, pela ajuda e pelos bons momentos que passamos juntos, e que com

certeza tornaram os dias em São Carlos mais alegres e mais agradáveis.

Aos funcionários do ICMC por serem tão prestativos e atenciosos, e a todos os que cola-

boraram para a realização deste trabalho.

À CAPES pelo suporte financeiro.

Muito obrigada!

Abstract

The subject of this work is to study approximation on the sphere by weighted sums

of spherical harmonics. We present necessary and sufficient conditions on the weights for

convergence in both, the continuous and the Lp cases. We analyse the convergence rates of

the approximation processes using a modulus of smoothness related to the strong Laplace-

Beltrami derivative. We include proofs for several results related to such a derivative, since

we were unable to find them in the literature.

Resumo

O objetivo deste trabalho é estudar aproximação na esfera por uma soma com pesos de

harmônicos esféricos. Apresentamos condições necessárias e suficientes sobre os pesos para

garantir a convergência, tanto no caso contínuo quanto no caso Lp. Analisamos a ordem de

convergência dos processos aproximatórios usando um módulo de suavidade esférico rela-

cionado à derivada forte de Laplace-Beltrami. Incluímos provas para vários resultados sobre

a derivada forte de Laplace-Beltrami, já que não conseguimos encontrá-las na literatura.

Sumário

Introdução 1

1 Preliminares 5

1.1 Os harmônicos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 O Teorema da Adição e a Fórmula de Funk-Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Fórmula de linearização de Dougall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 A derivada forte de Laplace-Beltrami e operadores associados 17

2.1 A projeção esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 O operador translação esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 A derivada forte de Laplace-Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 A integral de Laplace-Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5 A função Lh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6 O operador Arh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.7 Uma caracterização para W rX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.8 O módulo de suavidade esférico e o K-funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.9 Equivalência entre o módulo de suavidade e o K-funcional . . . . . . . . . . . 56

3 Aproximação por somas com pesos de harmônicos esféricos 59

3.1 O operador Tn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2 A norma de Tn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3 Aproximações da identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4 Um exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5 Aproximação da identidade: o caso pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4 Ordem de convergência do operador Tn 83

4.1 A ordem de aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Problemas abertos 91

Referências Bibliográficas 93

i

ii Sumário

Tabela de símbolos 97

Índice Remissivo 99

Introdução

A intersecção da Teoria da Aproximação com a Análise na Esfera é um tópico com apli-

cações em diversas áreas, dentre elas, a Geofísica, Geologia, Meteorologia, Oceanografia,

Tomografia, Teoria do Potencial, etc ([27]). Nos casos mais importantes, as aplicações en-

volvem problemas práticos onde a esfera tri-dimensional serve como modelo para a superfície

terrestre.

Um procedimento padrão para aproximar uma função f em um espaço com produto

interno, é considerar a série de Fourier da função em relação a um sistema ortogonal do

espaço, e usar a seqüência das somas parciais da série como seqüência aproximadora. Esse

procedimento é clássico dentro da Teoria da Aproximação como pode-se comprovar em muitas

referências na literatura, por exemplo, ([32]), ([7], Cap. VIII).

No caso em que S é um intervalo fechado, existe uma função contínua com domínio

S para a qual a série de Fourier correspondente não converge para f em relação a norma

uniforme ([14]). Dessa forma, neste e em outros casos, a solução alternativa para o processo

de aproximação é considerar expansões com pesos e estudar a convergência baseada na escolha

dos pesos. Surgem, então, algumas perguntas:

(i) Como escolher os pesos para garantir a convergência para toda função do espaço ambiente;

(ii) Garantida a convergência, estudar o comportamento das ordens de convergência;

(iii) Como escolher os pesos de forma que os operadores de aproximação dados pela série de

Fourier truncada tenham propriedades semelhantes a de outros operadores conhecidos.

Vários artigos recentes de R. Lasser e J. Obermaier (veja por exemplo, [15] e [16]) discuti-

ram problemas semelhantes aos acima descritos, bem como outros relacionados. Precisamente,

os artigos tratam de expansões de Fourier com pesos, em relação a sistemas de polinômios

ortogonais, considerando o espaço usual C(S) de funções contínuas e os espaços Lp(S, π),

1 ≤ p <∞, onde S ⊂ R é o suporte compacto de uma medida de probabilidade π.

Neste trabalho consideraremos os problemas citados nos itens (i)-(iii) acima para funções

definidas em Sm, a esfera unitária em Rm+1, m ≥ 2.

No primeiro passo, estudaremos a aproximação de uma tal função por somas com pesos

de harmônicos esféricos. Procuraremos condições necessárias e suficientes sobre os pesos para

garantir a convergência tanto no caso contínuo quanto no caso Lp.

1

2 Introdução

No segundo passo, tentaremos analisar a razão de convergência. Dentre os módulos de

suavidade disponíveis na literatura, optamos pela análise da razão de convergência usando o

módulo de suavidade esférico introduzido por M. Wehrens. Tal módulo já foi discutido em

algumas situações por P. I. Lizorkin, S. Pawelke e P. L. Butzer ([18, 26, 36, 37]). A análise

das propriedades desse módulo de suavidade passa naturalmente pelo estudo da derivada

forte de Laplace-Beltrami e do operador translação esférica. Um tratamento formal para a

derivada forte de Laplace-Beltrami no caso tridimensional foi dado por Wehrens em sua tese

de doutorado ([37]), enquanto que uma descrição de como alguns resultados ficariam no caso

geral foi incluída, sem provas, em [36]. O trabalho de Wehrens foi baseado em um artigo

de W. Rudin ([28]), que considerou a versão pontual da derivada forte de Laplace-Beltrami

para estabelecer sua teoria de unicidade para séries de Laplace. Na verdade, os resultados em

[28] são bem semelhantes àqueles em [36], mas com um conjunto de hipóteses ligeiramente

diferente. Dessa forma, faz parte de nosso trabalho ratificar os resultados listados em [36],

incluindo provas detalhadas para todos os resultados lá mencionados bem como a discussão de

outros que se fizeram necessários ao longo do trabalho. Apresentaremos também um estudo

dos operadores associados à derivada forte de Laplace-Beltrami e ao módulo de suavidade

esférico. Como conseqüência, apresentaremos uma descrição dos espaços de funções suaves no

sentido da derivada forte de Laplace-Beltrami.

O trabalho propriamente dito será apresentado da seguinte forma.

No Capítulo 1, apresentaremos todo o material básico necessário no desenvolvimento do

trabalho, ou seja discutiremos rapidamente os seguintes itens: harmônicos esféricos, poli-

nômios de Legendre, fórmula da adição para harmônicos esféricos, teorema de Funk-Hecke,

convolução esférica e fórmula de linearização de Dougall.

No Capítulo 2, introduziremos os operadores projeção esférica e translação esférica para em

seguida apresentar a derivada forte de Laplace-Beltrami. Após estabelecer vários resultados

envolvendo a derivada forte, introduziremos e analisaremos o operador integral de Laplace-

Beltrami. Nas seções finais do capítulo, apresentaremos caracterizações para os espaços de

funções suaves no sentido da derivada forte de Laplace-Beltrami e deduziremos algumas pro-

priedades do módulo de suavidade esférico, dentre elas a equivalência deste com o K-funcional

correspondente.

Finalmente, no Capítulo 3, estudaremos aproximações de uma função definida na esfera

por somas com pesos de harmônicos esféricos. Investigaremos as propriedades básicas do op-

erador de aproximação, calcularemos sua norma e consideraremos tanto aproximações globais

quanto aproximações pontuais, válidas para todas as funções do espaço envolvido. Além disso,

apresentaremos um exemplo concreto de construção de um operador de aproximação.

No Capítulo 4, utilizaremos os resultados do Capítulo 2, para analisar ordens de con-

vergência do operador de aproximação em alguns casos específicos.

Introdução 3

Finalizaremos o trabalho apresentando alguns problemas abertos que colocamos como

propostas de trabalho para o futuro.

4 Introdução

Capítulo1

Preliminares

Neste capítulo, apresentaremos alguns resultados da análise em Sm. Quase todo esse ma-

terial será utilizado na dedução dos resultados dos capítulos posteriores. Uma ampla discussão

sobre esses resultados, incluindo provas e aplicações dos mesmos, podem ser encontrados em

várias referências, dentre elas [2], [11], [22], [24], [23] e [31].

1.1 Os harmônicos esféricos

Os harmônicos esféricos desempenham em Sm, m ≥ 2, o papel desempenhado pelas funções

seno e cosseno no estudo de funções periódicas no círculo S1. Precisamente, enquanto uma

função definida em S1 possui sua expansão em série de Fourier usual, funções definidas em

Sm, m ≥ 2, possuem uma expansão de Fourier em termos de harmônicos esféricos. Antes de

explicarmos isso em detalhes, introduziremos algumas notações.

Seja dσm o elemento de medida usual sobre Sm normalizada por

σm :=

∫Sm

dσm =2π(m+1)/2

Γ((m+ 1)/2),

onde Γ denota a função gama usual.

Denotaremos por C(Sm) o espaço das funções contínuas definidas em Sm, munido de sua

norma uniforme

‖f‖∞ := supx∈Sm

|f(x)|, f ∈ C(Sm),

e por Lp(Sm), 1 ≤ p < ∞, o espaço das funções f definidas em Sm tal que |f |p é integrável

em relação a dσm, onde identificamos funções que coincidem em Sm exceto em um conjunto

de medida nula. A norma nesses espaços é dada por

‖f‖p :=

(1

σm

∫Sm

|f(x)|pdσm(x)

)1/p

, f ∈ Lp(Sm).

A menos de especificação em contrário, X denotará um dos espaços acima e ‖ · ‖X a norma

correspondente. Observamos também que em todo o trabalho o espaço Rm+1 será munido

com a norma euclidiana.

5

6 Capítulo 1. Preliminares

Usaremos a estrutura métrica do espaço L2(Sm), ou seja aquela determinada pelo produto

interno

〈f, g〉2 =1

σm

∫Sm

f(x) g(x) dσm(x), f, g ∈ L2(Sm), (1.1)

No que segue, ortogonalidade sempre referir-se-à ao produto interno (1.1). Observamos ainda

que neste trabalho N denotará o conjunto N := {0, 1, 2, . . .}.Dizemos que uma função f : Rm+1 → C é homogênea de grau n quando

f(λx) = λnf(x), λ > 0, x ∈ Rm+1.

Ela é dita ser harmônica quando ∆(f) = 0, onde ∆ =∑m+1

j=1 ∂2/∂x2j .

Denotaremos por Pn(Rm+1) o espaço formado pelos polinômios em m + 1 variáveis que

são homogêneos de grau n e por Hn(Rm+1) o espaço dos polinômios em m + 1 variáveis que

são harmônicos e homogêneos de grau n.

Definição 1.1.1. Um polinômio esférico de grau n em m+ 1 variáveis é a restrição a Sm de

um polinômio de grau n em m+1 variáveis. Denotaremos por Pn(Sm) o espaço dos polinômios

esféricos de grau no máximo n em m+ 1 variáveis e escreveremos P(Sm) := ∪∞n=0Pn(Sm).

Definição 1.1.2. Um harmônico esférico de grau n em m+1 variáveis é a restrição a Sm de

um polinômio harmônico e homogêneo de grau n em m+1 variáveis. O espaço dos harmônicos

esféricos de grau n em m+ 1 variáveis será denotado por Hn(Sm).

Denotaremos por Pn(Sm) o espaço das restrições a Sm dos polinômios homogêneos de

grau n em m+ 1 variáveis .

Os resultados a seguir mostrarão que é possível construir uma base ortonormal de Pn(Sm)

inteiramente composta de harmônicos esféricos.

Teorema 1.1.3. Se l 6= k, então Hl(Sm) e Hk(S

m) são subespaços ortogonais de L2(Sm).

Demonstração: Sejam p ∈ Hl(Rm+1) e q ∈ Hk(R

m+1). Pela Identidade de Green temos que∫Sm

(pD~n(q)− qD~n(p)) dσm =

∫Bm

(p∆(q)− q∆(p))(x) dx = 0,

onde D~n(p) e D~n(q) são, respectivamente, as derivadas direcionais de p e q na direção do vetor

normal ~n exterior a Sm e Bm é a bola aberta unitária com centro na origem de Rm+1. Mas,

D~n(p)(ξ) =d

dtp(tξ)|t=1 =

d

dt(tlp(ξ))|t=1 = lp(ξ), ξ ∈ Sm,

e, da mesma forma, D~n(q)(ξ) = kq(ξ), ξ ∈ Sm. Logo,

0 =

∫Sm

(pD~n(q)− qD~n(p)) dσm =

∫Sm

(k p q − l p q) dσm = (k − l)

∫Sm

p q dσm.

1.1. Os harmônicos esféricos 7

Como l 6= k, segue que p e q são ortogonais. �

Usando multi-índices α = (α1, α2, . . . , αm+1) podemos representar um polinômio p(x) de

Pn(Rm+1) da seguinte forma ([22]):

p(x) =∑|α|=n

aαxα, aα ∈ C, x = (x1, x2, . . . , xm+1),

onde xα := xα11 x

α22 . . . x

αm+1

m+1 e |α| := α1 + α2 + · · ·+ αm+1. O operador diferencial associado a

p é o operador p(D) dado por

p(D) :=∑|α|=n

aαDα, Dα =

∂α1

∂xα11

∂α2

∂xα22

· · · ∂αm+1

∂xαm+1

m+1

.

Podemos definir o seguinte produto interno em Pn(Rm+1):

[p, q]n := p(D)(q), p, q ∈ Pn(Rm+1).

Se p tem a representação acima e q(x) =∑

|β|=n bβxβ, podemos usar a fórmula

Dα(xβ) :=

{0 se α 6= β e |α| = |β|α! se α = β

para concluir que

[p, q]n := p(D)(q) =∑|α|=n

∑|β|=n

aαbβDα(xβ) =

∑|α|=n

α!aαbα.

No próximo teorema utilizaremos a notação [s], s ∈ R, para representar o maior inteiro

menor ou igual a s.

Teorema 1.1.4. Se p é um elemento de Pn(Rm+1), então

p(x) = pn(x) + |x|2pn−2(x) + · · ·+ |x|2kpn−2k(x), x ∈ Rm+1

onde k = [n/2] e pn−2j ∈ Hn−2j(Rm+1), j = 0, 1, . . . , k. A representação acima é única.

Demonstração: Se n = 0 ou n = 1, então Pn(Rm+1) = Hn(Rm+1) e o teorema é válido

trivialmente. Nos casos restantes mostraremos que

Pn(Rm+1) = Hn(Rm+1)⊕ |x|2Pn−2(Rm+1)

onde |x|2Pn−2(Rm+1) = {|x|2q(x) : q ∈ Pn−2(R

m+1)} e a soma direta é ortogonal em relação ao

produto interno [·, ·]n. Para tanto, vamos mostrar que o complemento ortogonal de Hn(Rm+1)

em Pn(Rm+1) é |x|2Pn−2(Rm+1). Se p ∈ Pn(Rm+1) é ortogonal a |x|2Pn−2(R

r), então

0 = [|x|2q, p]n = ∆(q)(D)(p) = q(D)(∆(p)) = [q,∆(p)]n−2, q ∈ Pn−2(Rm+1),


onde a última igualdade segue do fato de que ∆(p) ∈ Pn−2(Rm+1). Segue que ∆(p) é or-

togonal a todo q ∈ Pn−2(Rm+1), ou seja, ∆(p) = 0. Portanto, p ∈ Hn(Rm+1). Conse-

quentemente, (|x|2Pn−2(Rm+1))⊥ ⊂ Hn(Rm+1). O procedimento acima é reversível, isto é,

(|x|2Pn−2(Rm+1))⊥ ⊃ Hn(Rm+1). A conclusão do teorema segue por indução. �

Como todo polinômio é soma de polinômios homogêneos, o corolário abaixo segue imedi-

atamente do teorema acima.

Corolário 1.1.5. Se p é um polinômio de grau n em m+ 1 variáveis, então a restrição de p

a Sm é soma de harmônicos esféricos de grau no máximo n.

Na verdade, os resultados acima revelam que

Pn(Sm) = H0(Sm)⊕H1(S

m)⊕ · · · ⊕ Hn(Sm). (1.2)

O espaço Hn(Sm) tem dimensão N(m,n) ([1, p. 82]) onde N(m, 0) = 1 e

N(m,n) =

(m+ n

m

)−(m+ n− 2

m

)=

2n+m− 1

n

(n+m− 2

n− 1

), n ≥ 1. (1.3)

Lembramos que se {xn} e {yn} são seqüências de números reais, a igualdade

xn = O(yn) (n→∞)

é equivalente ao fato da seqüência {xn/yn} ser limitada.

O próximo resultado pode ser encontrado em ([22], p. 17).

Proposição 1.1.6. Vale a seguinte igualdade:

N(m,n) = O(nm−1) (n→∞).

Segue de (1.2) que a dimensão dn do espaço Pn(Sm) é

dn =n∑

k=0

N(m, k). (1.4)

Usando propriedades do fatorial podemos mostrar que

dn =

(m+ n

m

)+

(m+ n− 1

m

). (1.5)

Note ainda que

dn ≥2nm

m!. (1.6)

Proposição 1.1.7. Com as notações acima, vale a seguinte igualdade:

limn→∞

N(m,n)

dn

= 0.

1.1. Os harmônicos esféricos 9

Demonstração: Da Proposição 1.1.6 segue que existe uma constante positiva C tal que

N(m,n) ≤ Cnm−1, n ∈ N.

Portanto, usando a Equação (1.6) vem que

N(m,n)

dn

≤ Cm!

n.

Tomando-se o limite quando n→∞ em ambos os lados da desigualdade acima obtemos

limn→∞

N(m,n)

dn

= 0,

completando a prova da proposição. �

O conjunto de todos os harmônicos esféricos em m+ 1 variáveis é um subconjunto funda-

mental (total) de X, isto é,

[∪∞k=0Hk(Sm)] = X.

Em particular, fixadas bases ortonormais {Yk1, Yk2, . . . , YkN(m,k)} de Hk(Sm), k = 0, 1, . . ., o

conjunto {Ykl : k ∈ N; l = 1, 2, . . . , N(m, k)} é um conjunto ortonormal completo de L2(Sm).

O leitor deve ficar atento ao fato de utilizarmos a notação acima em vários pontos à frente,

sem qualquer explicação adicional.

Toda função f em X possui uma expansão de Fourier da forma ([11])

f ∼∞∑

k=0

N(m,k)∑l=1

f(k, l)Ykl

onde o coeficiente de Fourier f(k, l) é dado por

f(k, l) =1

σm

∫Sm

f Ykl dσm.

Finalizamos essa seção estabelecendo e provando uma adaptação do Lema 4.2 de [5] ao

contexto esférico.

Teorema 1.1.8. Seja f ∈ L1(Sm). Se∫Sm

f(x)g(x)dσm(x) = 0, g ∈ C(Sm).

então f = 0.

Demonstração: Assuma que a fórmula do enunciado vale e seja ε > 0. Como C(Sm) é denso

em L1(Sm) ([10], p.70), existe gε ∈ C(Sm) tal que ||f − gε||1 < ε. Como∫Sm

gε(x)g(x) dσm =

∫Sm

(gε − f)(x)g(x) dσm(x) +

∫Sm

f(x)g(x) dσm(x)

=

∫Sm

(gε − f)(x)g(x) dσm(x), g ∈ C(Sm),


a Desigualdade de Hölder implica que∣∣∣∣∫Sm

gε(x)g(x) dσm(x)

∣∣∣∣ ≤∫

Sm

|(gε − f)(x)||g(x)| dσm(x)

≤ ||f − gε||1||g||∞< ε||g||∞. (1.7)

Defina K1 := {x ∈ Sm; gε(x) ≥ ε} e K2 := {x ∈ Sm; gε(x) ≤ −ε}. Como K1 e K2 são

conjuntos compactos e disjuntos, o Lema de Urysohn ([25]) garante a existência de h ∈ C(Sm)

tal que |h(x)| ≤ 1, x ∈ Sm, h(x) = 1, x ∈ K1 e h(x) = −1, x ∈ K2. Fazendo K = K1 ∪K2,

encontramos∫Sm

gε(x)h(x) dσm(x) =

∫Sm\K

gε(x)h(x) dσm(x) +

∫K

gε(x)h(x) dσm(x) (1.8)

de modo que∫K

|gε(x)| dσm(x) =

∫K1

|gε(x)| dσm(x) +

∫K2

|gε(x)| dσm(x)

=

∫K1

|gε(x)h(x)| dσm(x) +

∫K2

|gε(x)h(x)| dσm(x)

=

∫K1

gε(x)h(x) dσm(x) +

∫K2

gε(x)h(x) dσm(x)

=

∫K

gε(x)h(x) dσm(x).

Segue de (1.7) e (1.8) que∫K

|gε(x)| dσm(x) ≤ ε+

∫Sm\K

|gε(x)||h(x)| dσm(x) ≤ ε+

∫Sm\K

|gε(x)| dσm(x).

Conseqüentemente,∫Sm

|gε(x)| dσm(x) =

∫K

|gε(x)| dσm(x) +

∫Sm\K

|gε(x)| dσm(x)

≤ ε+ 2

∫Sm\K

|gε(x)| dσm(x)

≤ ε+ 2εσm,

pois |gε(x)| ≤ ε, x ∈ Sm \K. Portanto,

||f ||1 ≤ ||f − gε||1 + ||gε||1 ≤ 2ε+ 2εσm.

Como ε é arbitrário, a prova está completa. �

1.2. O Teorema da Adição e a Fórmula de Funk-Hecke 11

1.2 O Teorema da Adição e a Fórmula de Funk-Hecke

Nesta seção apresentaremos o Teorema da Adição e a Fórmula de Funk-Hecke. O Teorema

da Adição é um resultado insubstituível na análise de vários problemas de natureza esférica.

Ele surge quando se tenta determinar os elementos de Pn(Sm) que são zonais, isto é, que são

invariantes por transformações ortogonais que fixam um determinado ponto de Sm. Sendo o

Teorema da Adição um resultado clássico, sua prova será omitida (veja [22] e [23]).

Teorema 1.2.1. (Teorema da Adição) Seja {Yn1, Yn2, . . . , YnN(m,n)} uma base ortonormal

de Hn(Sm). Então

N(m,n)∑l=1

Ynl(x)Ynl(y) = N(m,n)Pmn (〈x, y〉), x, y ∈ Sm,

onde Pmn é o polinômio de Legendre de grau k associado à dimensão m+1 e 〈·, ·〉 é o produto

interno usual de Rm+1.

Observamos que a normalização do polinômio de Legendre é Pmn (1) = 1. Ainda, P 1

n é o

polinômio de Chebyshev de grau n e P 2n é o polinômio de Legendre clássico de grau n. Os

polinômios de Legendre podem ser escritos na forma

Pmn =

C(m−1)/2n

C(m−1)/2n (1)

, m ≥ 2,

onde C(m−1)/2n é o polinômio de Gegenbauer de grau n associado ao racional (m − 1)/2. Os

polinômios de Gegenbauer Cλn , λ > −1/2, podem ser obtidos através da expansão em z da

função geradora (1− 2zt+ z2)−λ, z ∈ [−1, 1]. Precisamente,

∞∑k=0

Cλk (t)zk =

1

(1− 2zt+ z2)λ, t ∈ [−1, 1].

Em particular, observamos que

C(m−1)/2n (1) =

Γ(n+m− 1)

n!Γ(m− 1).

Além disso, valem as relações ([34], p. 81,82),

d

dtC(m−1)/2

n (t) = (m− 1)C(m+1)/2n−1 (t). (1.9)

e

(1− t2)d2

dt2C(m−1)/2

n (t)−mtd

dtC(m−1)/2

n (t) + n(n+m− 1)C(m−1)/2n (t) = 0 (1.10)

Essas duas relações implicam no seguinte resultado:


Proposição 1.2.2. Se n ≥ 1, vale a seguinte igualdade:

d

dt

(− m− 1

n(n+m− 1)(1− t2)m/2C

(m+1)/2n−1 (t)

)= (1− t2)(m−2)/2C(m−1)/2

n (t).

Demonstração: Derivação por partes produz a fórmula

d

dt

(− m− 1

n(n+m− 1)(1− t2)m/2C

(m+1)/2n−1 (t)

)=

=m− 1

n(n+m− 1)

[mt(1− t2)(m−2)/2C

(m+1)/2n−1 (t)− (1− t2)m/2 d

dtC

(m+1)/2n−1 (t)

],

enquanto que o uso de (1.9) e (1.10) nos leva a

d

dt

(− m− 1

n(n+m− 1)(1− t2)m/2C

(m+1)/2n−1 (t)

)=

=1

n(n+m− 1)(1− t2)(m−2)/2

[mt

d

dtC(m−1)/2

n (t)− (1− t2)d2

dt2C(m−1)/2

n (t)

]= (1− t2)(m−2)/2C(m−1)/2

n (t).

Logo, a prova está completa. �

No que segue, consideraremos o espaço das funções integráveis sobre [−1, 1] em relação à

medida wm definida pela relação

dwm(t) := (1− t2)(m−2)/2dt.

A norma em tal espaço é dada por

‖K‖1,m :=σm−1

σm

∫ 1

−1

|K(t)| dwm(t), K ∈ L1,m([−1, 1], dwm).

Não é difícil verificar que o conjunto {Pmk : k = 0, 1, . . .} é um subconjunto ortogonal de

L1,m([−1, 1], dwm), (ver [22]). Em particular, temos o seguinte resultado:

Proposição 1.2.3. Seja k um inteiro não negativo. Então∫ 1

−1

(Pmk (t))2dwm(t) =

σm

σm−1N(m, k).

O próximo teorema descreve a versão mais elementar da Fórmula de Funk-Hecke. Essa

fórmula transforma uma integral na esfera em uma integral no intervalo [−1, 1]. Sua prova

pode ser encontrada em [11] e [23].

Teorema 1.2.4. (Fórmula de Funk-Hecke) Seja K : [−1, 1] → C uma função tal que

‖K‖1,m <∞ e Yk ∈ Hk(Sm). Então∫

Sm

K(〈x, y〉)Yk(y) dσm(y) = amk (K)Yk(x), x ∈ Sm,

onde

amk (K) = σm−1

∫ 1

−1

K(t)Pmk (t) dwm(t).

1.3. Fórmula de linearização de Dougall 13

A expressão que aparece no lado esquerdo da igualdade que define a Fórmula de Funk-

Hecke, é um caso particular do conceito abaixo. Se K é como no Teorema 1.2.4, o operador

f ∈ X 7→ TK(f) ∈ X dado por

TK(f)(x) =1

σm

∫Sm

K(〈x, y〉)f(y) dσm(y), x ∈ Sm, (1.11)

é chamado de convolução esférica gerada por K. Notemos que o Teorema 6.18 de [10] garante

que, de fato, TK está bem definido. A notação mais comum para este operador, a qual será

adotada aqui, é TK(f) = K ∗ f .

A proposição abaixo pode ser encontrada em ([3], p. 208).

Proposição 1.2.5. Sejam f ∈ X e K ∈ L1,m([−1, 1], dwm). Então, vale a desigualdade

‖K ∗ f‖X ≤ ‖K‖1,m‖f‖X .

Teorema 1.2.6. Seja K ∈ L1,m([−1, 1], dwm). Se f, g ∈ X e o produto (K ∗ f)g é σm-

integrável, então ∫Sm

(K ∗ f)(x)g(x) dσm(x) =

∫Sm

f(x)(K ∗ g)(x) dσm(x).

Demonstração: É uma aplicação direta do Teorema de Fubini ([33], p. 384). �

Informações mais refinadas sobre o operador introduzido acima podem ser encontradas em

[3]. Para aplicações em problemas de aproximação, ver [19]. No Capítulo 2, apresentaremos

alguns resultados adicionais sobre convolução esférica que serão necessários para o completa-

mento do trabalho.

1.3 Fórmula de linearização de Dougall

Nesta seção apresentaremos uma fórmula de linearização para polinômios de Legendre, a ser

utilizada no Capítulo 3. Várias são as referências em que podemos encontrar informações mais

detalhadas sobre o assunto, dentre elas, [1], [6],[9] e [13].

Antes de apresentarmos a fórmula de linearização de Dougall, precisaremos de alguns

resultados sobre funções positivas definidas.

Definição 1.3.1. Uma função f : [−1, 1] → C contínua é positiva definida em Sm se para

todo n ≥ 1 e qualquer escolha dos pontos x1, x2, . . . , xn em Sm, a matriz An×n com entradas

aij = f(〈xi, xj〉) é não negativa definida, isto é, se

cAcT =n∑

i=1

n∑j=1

cif(〈xi, xj〉)cj ≥ 0,

para todos os vetores c = (c1, c2, . . . , cn) ∈ Rm.


Os polinômios de Gegenbauer são exemplos de funções positivas definidas. Em particular,

os polinômios de Legendre Pmk , k ∈ N, são funções positivas definidas. Isso segue diretamente

da Fórmula da Adição, como observou Schoenberg em [30].

O prova do próximo teorema pode ser encontrada em [12].

Teorema 1.3.2. (Teorema do produto de Schur) Se A = (aij)n×n e B = (bij)n×n são

matrizes não negativas definidas, então a matriz C = (aijbij)n×n é não negativa definida.

Observemos que o Teorema de Schur garante que o produto de duas funções positivas

definidas é positiva definida.

O próximo teorema nos dá uma caracterização das funções que são positivas definidas em

Sm. Esse teorema é devido à I. J. Schoenberg e sua demonstração pode ser encontrada em

[30].

Teorema 1.3.3. Uma função contínua f : [−1, 1] → C é positiva definida em Sm se, e

somente se, ela possui a seguinte representação:

f(t) =∞∑

k=0

akC(m−1)/2k (t),

com ak ≥ 0, k = 0, 1, . . ., e∑∞

k=0 akC(m−1)/2k (1) <∞.

Uma formulação da fórmula de linearização de Dougall é dada pelo seguinte teorema.

Teorema 1.3.4. Sejam m ≥ 2 e, k e i inteiros não negativos. Então

Pmk (t)Pm

i (t) =k∧i∑j=0

c(k, i, j)Pmk+i−2j(t), t ∈ [−1, 1], (1.12)

onde os coeficientes c(k, i, j) são todos não negativos.

Demonstração: A prova de (1.12) está feita em [6]. Para mostrar que os coeficientes c(k, i, j),

j = 0, . . . , k∧i, são não negativos, começamos observando que como os polinômios de Legendre

são funções positivas definidas, o Teorema do produto de Schur garante que o produto Pmk P

mi

é uma função positiva definida. Logo, pelo Teorema 1.3.3, Pmk P

mi pode ser escrito como uma

soma de polinômios de Legendre com coeficientes não negativos. Isso completa a prova do

teorema. �

Chamando u := k + i− 2j, podemos escrever a Equação (1.12) da seguinte maneira:

Pmk (t)Pm

i (t) =k+i∑

u=|k−i|

d(k, i, u)Pmu (t), (1.13)

onde d(k, i, u) ≥ 0, |k − i| ≤ u ≤ k + i.

1.3. Fórmula de linearização de Dougall 15

Teorema 1.3.5. Se k e i são inteiros não negativos, então∑k+i

j=|k−i| d(k, i, j) = 1.

Demonstração: Basta tomar t = 1 na igualdade (1.13). �

O próximo resultado nos dá uma caracterização dos coeficientes da fórmula de linearização

de Dougall.

Proposição 1.3.6. Sejam k, i e j inteiros não negativos tais que |k − i| ≤ j ≤ k + i. Então

d(k, i, j) =σm−1

σm

N(m,n)

∫ 1

−1

Pmk (t)Pm

i (t)Pmj (t)dwm(t).

Demonstração: Usando a fórmula de linearização dada acima segue que∫ 1

−1

Pmk (t)Pm

i (t)Pmj (t)dwm(t) =

k+i∑u=|k−i|

d(k, i, u)

∫ 1

−1

Pmu (t)Pm

j (t)dwm(t)

= d(k, i, j)

∫ 1

−1

(Pmj (t))2dwm(t).

Logo, a Proposição 1.2.3 implica que

d(k, i, j) =σm−1

σm

N(m,n)

∫ 1

−1

Pmk (t)Pm

i (t)Pmj (t)dwm(t),

completando a prova da proposição. �

Segue da proposição acima que

d(k, i, j) = d(i, k, j) =N(m, j)

N(m, i)d(j, k, i). (1.14)

Para finalizar essa seção calcularemos um dos coeficientes da fórmula de linearização de

Dougall que será usado no Capítulo 3.

Proposição 1.3.7. Se k ∈ N então d(k, k, 0) = N(m, k)−1.

Demonstração: Usando as Proposiçôes 1.3.6 e 1.2.3 temos que

d(k, k, 0) =σm−1

σm

N(m, 0)

∫ 1

−1

(Pmk (t))2Pm

0 (t)dwm(t)

=σm−1

σm

∫ 1

−1

(Pmk (t))2dwm(t)

=1

N(m, k).

Logo, a proposição está provada. �

Capítulo2

A derivada forte de Laplace-Beltrami eoperadores associados

O objetivo neste capítulo é introduzir a derivada forte de Laplace-Beltrami e alguns op-

eradores associados a ela. Aparentemente esse conceito foi introduzido por Rudin em [28] no

caso tri-dimensional, sem no entanto usar essa nomenclatura. Como estamos trabalhando sem

fixar a dimensão, apresentaremos provas detalhadas para quase todos os resultados. Entre-

tanto, observamos que, provas para alguns deles no caso tri-dimensional já estão disponíveis

em [28] e [37]. A extensão de várias delas para o caso geral é não trivial. Na seção 2.8, definire-

mos o módulo de suavidade esférico que utilizaremos no último capítulo deste trabalho para

analisar ordens de convergência dos processos aproximatórios que iremos discutir.

2.1 A projeção esférica

Esta seção contém propriedades básicas do operador que projeta o espaço X sobre o subespaço

Hn(Sm). O operador projeção Yn : X → X é definido por

Yn(f)(x) :=N(m,n)

σm

∫Sm

Pmn (〈x, y〉)f(y) dσm(y), x ∈ Sm, n ∈ N.

Para ver que Yn(f) ∈ Hn(Sm), f ∈ X, basta aplicarmos o Teorema da Adição. De fato,

Yn(f)(x) =N(m,n)

σm

∫Sm

Pmn (〈x, y〉)f(y) dσm(y)

=1

σm

N(m,n)∑l=1

Ynl(x)

∫Sm

f(y)Ynl(y) dσm(y)

=

N(m,n)∑l=1

f(n, l)Ynl(x), x ∈ Sm. (2.1)

O fato de Yn ser uma projeção segue do seguinte resultado mais geral.

17

18 Capítulo 2. A derivada forte de Laplace-Beltrami e operadores associados

Proposição 2.1.1. Sejam n, k ∈ N. Então

Yn ◦ Yk = δnkYn.

Demonstração: Seja f ∈ X. Usando a representação dada acima segue que

Yn(Yk(f)) =

N(m,n)∑l=1

Yk(f)(n, l)Ynl

=

N(m,n)∑l=1

(1

σm

∫Sm

Yk(f)(x)Ynl(x) dσm(x)

)Ynl

=

N(m,n)∑l=1

N(m,k)∑j=1

f(k, j)

(1

σm

∫Sm

Ykj(x)Ynl(x) dσm(x)

)Ynl

= δnk

N(m,n)∑l=1

f(n, l)Ynl

= δnkYn(f).

Isso prova a proposição. �

É fácil ver que Yn(0) = 0, n ∈ N. A recíproca deste resultado é o conteúdo do próximo

teorema.

Teorema 2.1.2. Seja f ∈ X. Se Yn(f) = 0, n ∈ N, então f = 0.

Demonstração: Suponhamos que Yn(f) = 0, n ∈ N. Consideremos primeiramente os casos

X = C(Sm) e X = L2(Sm). Fixemos n ∈ N, l ∈ {1, 2, . . . , N(m,n)} e escolhamos um sistema

fundamental {x1, x2, . . . , xN(m,n)} em Sm ( [23], p. 31-33). Então existem números complexos

αnj ∈ R tais que ([35], Teorema 1.1.12, p.15)

Ynl(y) =

N(m,n)∑j=1

αnjPmn (〈xj, y〉).

Logo, ∫Sm

Ynl(y)f(y) dσm(y) =

N(m,n)∑j=1

αnj

∫Sm

f(y)Pmn (〈xj, y〉) dσm(y) = 0.

Como {Ynl : n ∈ N; l = 1, 2, . . . , N(m,n)} é um conjunto ortonormal completo de L2(Sm)

segue que f = 0. Se f ∈ L1(Sm) \ L2(Sm), então procedendo como acima temos que∫Sm

Ynl(y)f(y) dσm(y) = 0, n ∈ N, l = 1, 2, . . . , N(m,n).

Em vista do Teorema 1.1.8, para terminar a prova, é suficiente mostrar que∫Sm

f(y)h(y) dσm(y) = 0, h ∈ C(Sm).

2.1. A projeção esférica 19

Seja p ∈ P (Sm). Como p pode ser escrito como combinação linear de harmônicos esféricos

segue que ∫Sm

f(y)p(y) dσm(y) = 0.

Se h ∈ C(Sm), segue do Teorema da Aproximação de Weierstrass que existe uma seqüência

{pn}n∈N ⊂ P(Sm), tal que

limn→∞

‖h− pn‖∞ = 0.

Conseqüentemente,∣∣∣∣∫Sm

f(y)h(y) dσm(y)

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∫

Sm

f(y)(h− pn)(y) dσm(y)

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∫Sm

f(y)pn(y) dσm(y)

∣∣∣∣≤

∫Sm

|f(y)||(h− pn)(y)| dσm(y)

≤ ‖h− pn‖∞∫

Sm

|f(y)| dσm(y).

Tomando o limite quando n→∞ na desigualdade acima vem que∫Sm

f(y)h(y) dσm(y) = 0,

completando a prova do teorema. �

Proposição 2.1.3. Seja n um inteiro não-negativo. Valem as seguintes propriedades:

(i) Yn(Yk) = δnkYn, Yk ∈ Hk(Sm);

(ii) |Yn(f)(x)| ≤ N(m,n)‖f‖X , f ∈ X, x ∈ Sm;

(iii) ‖Yn(f)‖X ≤ N(m,n)‖f‖X , f ∈ X.

Demonstração: Para provar (i) é suficiente considerar um elemento básico de Hk(Sm) e

usar o Teorema da Adição. Logo, se l ∈ {1, 2, . . . , N(m, k)}

Yn(Ykl)(x) =N(m,n)

σm

∫Sm

Ykl(y)Pmn (〈x, y〉) dσm(y)

=

N(m,n)∑j=1

Ynj(x)1

σm

∫Sm

Ykl(y)Ynj(y) dσm(y)

= δnkYnl(x), x ∈ Sm.

Para provar o item (ii), consideremos primeiramente os casos em que X = C(Sm) e X =

L1(Sm). Se f ∈ X, então como |Pmn (t)| ≤ 1, −1 ≤ t ≤ 1, segue que

|Yn(f)(x)| =

∣∣∣∣N(m,n)

σm

∫Sm


∣∣∣∣≤ N(m,n)

σm

∫Sm

|Pmn (〈x, y〉)||f(y)| dσm(y)

≤ N(m,n)‖f‖X , x ∈ Sm.


Para o caso em que X = Lp(Sm), 1 < p < ∞, sejam f ∈ X e p′ o expoente conjugado de p.

Como Pmn (〈x, ·〉) ∈ Lp′(Sm), x ∈ Sm, a desigualdade de Hölder e o fato de que |Pm

n (t)| ≤ 1,

−1 ≤ t ≤ 1, implicam que

|Yn(f)(x)| ≤ N(m,n)

σm

∫Sm

|Pmn (〈x, y〉)||f(y)| dσm(y)

≤ N(m,n)‖Pmn (〈x, ·〉)‖p′‖f‖p

≤ N(m,n)‖f‖p, x ∈ Sm.

O item (iii) segue diretamente de (ii). Assim, a prova da proposição está completa. �

Proposição 2.1.4. Sejam n um inteiro não-negativo, f ∈ X e K ∈ L1,m([−1, 1], dwm).

Então Yn(K ∗ f) = K(n)Yn(f), onde K(n) é o n-ésimo coeficiente de Fourier-Legendre de

K, isto é,

K(n) :=σm−1

σm

∫ 1

−1

K(t)Pmn (t) dwm(t).

Demonstração: Usando o Teorema da Adição temos que

Yn(K ∗ f)(x) =N(m,n)

σm

∫Sm

Pmn (〈x, y〉)(K ∗ f)(y) dσm(y)

=1

σm

N(m,n)∑l=1

Ynl(x)

∫Sm

Ynl(y)(K ∗ f)(y) dσm(y), x ∈ Sm.

O Teorema de Fubini ([33], p. 384) e a Fórmula de Funk-Hecke implicam que (x ∈ Sm)

Yn(K ∗ f)(x) =1

σ2m

N(m,n)∑l=1

Ynl(x)

∫Sm

Ynl(y)

(∫Sm

K(〈y, z〉)f(z) dσm(z)

)dσm(y)

=1

σ2m

N(m,n)∑l=1

Ynl(x)

∫Sm

f(z)

(∫Sm

K(〈y, z〉)Ynl(y) dσm(y)

)dσm(z)

=σm−1

σ2m

N(m,n)∑l=1

Ynl(x)

∫Sm

f(z)

(∫ 1

−1

K(t)Pmn (t) dwm(t)

)Ynl(z) dσm(z).

Logo, usando a representação dada em (2.1), obtemos

Yn(K ∗ f)(x) = K(n)

N(m,n)∑l=1

f(n, l)Ynl(x) = K(n)Yn(f)(x), x ∈ Sm.

Isso completa a prova. �

Observação 2.1.5. Na prova da proposição acima, no caso X = L1(Sm), a igualdade que se

obtem é de fato

Yn(K ∗ f)(x) = K(n)Yn(f)(x), x ∈ Sm \ Λ, n ∈ N,

onde σm(Λ) = 0. Como Yn(K ∗ f), K(n)Yn(f) ∈ Hn(Sm), tal igualdade acaba sendo válida

para todo x ∈ Sm.

2.2. O operador translação esférica 21

2.2 O operador translação esférica

Nesta seção, introduziremos o operador translação esférica, provaremos algumas de suas pro-

priedades principais e também alguns resultados relacionando a translação esférica à projeção

esférica.

A translação esférica é mais uma noção que foi introduzida por Rudin em seu famoso artigo

[28]. Novamente, apenas o caso tri-dimensional foi considerado. Mais tarde, este conceito foi

explorado um pouco mais em [3], visando a aplicação do mesmo no estudo de problemas

de saturação em esferas. Mais recentemente, tal conceito reapareceu como um importante

ingrediente na definição de vários módulos de suavidade para funções definidas em esferas

([4]).

Para t ∈ (−1, 1), a translação esférica Smt é um operador linear positivo sobre X, definido

pela expressão

Smt (f)(x) =

1

σm−1(1− t2)(m−1)/2

∫〈x,y〉=t

f(y) dy, x ∈ Sm, f ∈ X, (2.2)

onde dy denota o elemento de medida usual da seção esférica Sm,tx := {y ∈ Sm : 〈x, y〉 = t},

(ver figura 2.1 na próxima página) . Dessa forma, Smt (f)(x) pode ser interpretado como a

média de f sobre a superfície de uma subesferam-dimensional de raio (1−t2)1/2. As referências

[3] e [35] contém algumas informações básicas sobre esse operador.

A justificativa de alguns resultados sobre a translação esférica usa o resultado descrito

pelo teorema abaixo. Uma prova do mesmo pode ser encontrada em ([23], p. 30).

Teorema 2.2.1. Se t ∈ (−1, 1) e x ∈ Sm, então∫〈x,y〉=t

Yk(y) dy = σm−1(1− t2)(m−1)/2Pmk (t)Yk(x), Yk ∈ Hk(S

m).

Uma conseqüência imediata do teorema acima, é a fórmula

σm(Sm,tx ) = σm−1(1− t2)(m−1)/2, (2.3)

que calcula a medida σm(Sm,tx ) de Sm,t

x . Observamos também que

Smt (f) =

σm

σm−1(1− t2)(m−1)/2Kt ∗ f, (2.4)

onde

Kt(〈x, y〉) =

{1, 〈x, y〉 = t

0, 〈x, y〉 6= t.(2.5)

A figura 2.1 a seguir mostra a seção esférica Sm,tx no caso da esfera tridimensional S2.


y

x

Sm,tx

t

Figura 2.1: Seção esférica Sm,tx

O próximo resultado nos fornece mais uma propriedade da translação esférica que será

usada na Proposição 2.2.7.

Proposição 2.2.2. Sejam t ∈ (−1, 1) e f, g ∈ X. Então∫Sm

Smt (f)(x)g(x) dσm(x) =

∫Sm

f(x)Smt (g)(x) dσm(x).

Demonstração: Usando a observação acima e o Teorema 1.2.6 segue que∫Sm

Smt (f)(x)g(x) dσm(x) =

σm

σm−1(1− t2)(m−1)/2

∫Sm

(Kt ∗ f)(x)g(x) dσm(x)

=σm

σm−1(1− t2)(m−1)/2

∫Sm

f(x)(Kt ∗ g)(x) dσm(x)

=

∫Sm

f(x)Smt (g)(x) dσm(x).


Observando que Kt é uma função a valores reais, podemos mostrar de maneira análoga à

prova da proposição anterior, o seguinte resultado.

Proposição 2.2.3. Se t ∈ (−1, 1) e f, g ∈ X, então 〈Smt (f), g〉2 = 〈f, Sm

t (g)〉2.

Proposição 2.2.4. Seja t ∈ (−1, 1). Valem as seguintes propriedades:

(i)‖Smt (f)‖X ≤ ‖f‖X , f ∈ X;

(ii)‖Smt ‖X = 1.

Demonstração: Para provar o item (i), seja f ∈ X. Usando (2.4) e a Proposição 1.2.5

obtemos

‖Smt (f)‖X =

σm

σm−1(1− t2)(m−1)/2‖Kt ∗ f‖X

≤ σm

σm−1(1− t2)(m−1)/2‖Kt‖1,m‖f‖X .


A não-negatividade de Kt e a Fórmula de Funk-Hecke implicam que

‖Kt‖1,m =σm−1

σm

∫ 1

−1

Kt(u)dwm(u)

=1

σm

∫Sm

Kt(〈x, y〉)dσm(y)

=1

σm

∫〈x,y〉=t

dy

=σm−1

σm

(1− t2)(m−1)/2,

onde x ∈ Sm. Logo, ‖Smt (f)‖X ≤ ‖f‖X . Tomando-se f0 ≡ 1, temos que ‖Sm

t (f0)‖X = 1 =

‖f0‖X . Assim, ‖Smt ‖X = 1. �

Na prova do próximo resultado, utilizaremos um lema técnico, a saber, a desigualdade

de Minkowski para integrais. Apenas enunciaremos aqui tal desigualdade, já que uma prova

detalhada pode ser encontrada em ([10], p. 194).

Lema 2.2.5. Sejam (Z,M, µ) e (W,N , ν) espaços de medida σ-finita, e seja φ uma função

M⊗N -mensurável sobre Z ×W . Valem as seguintes desigualdades:

(i) Se φ ≥ 0 e 1 ≤ p <∞, então(∫Z

(∫W

φ(z, w) dν(w)

)p

dµ(z)

)1/p

≤∫

W

(∫Z

φ(z, w)p dµ(z)

)1/p

dν(w);

(ii) Se 1 ≤ p ≤ ∞, φ(·, w) ∈ Lp(Z, µ) quase sempre, e a aplicação w ∈ W 7→ ‖φ(·, w)‖p

pertence a L1(W, ν), então para quase todo z ∈ Z, a função φ(z, ·) pertence a L1(W, ν), a

função

z ∈ Z 7→∫

W

φ(z, w) dν(w)

pertence a Lp(Z, µ), e vale a desigualdade∥∥∥∥∫W

φ(·, w) dµ(w)

∥∥∥∥p

≤∫

W

‖φ(·, w)‖p dµ(w).

Proposição 2.2.6. Seja t ∈ (−1, 1). Valem as seguintes propriedades:

(i) Se f ∈ X, então limt→1− ‖f − Smt (f)‖X = 0;

(ii) Smt (Yk) = Pm

k (t)Yk, Yk ∈ Hk(Sm), k = 0, 1, . . .;

(iii) Smt (Pm

k (〈·, y〉)) = Pmk (t)Pm

k (〈·, y〉), y ∈ Sm, k = 0, 1, . . ..

Demonstração: Seja f ∈ X. Para provar (i) primeiro escrevemos

|f(x)− Smt (f)(x)| =

1

σm−1(1− t2)(m−1)/2

∣∣∣∣∫〈x,y〉=t

f(x)− f(y) dy

∣∣∣∣≤ 1

σm−1(1− t2)(m−1)/2

∫〈x,y〉=t

|f(x)− f(y)| dy, x ∈ Sm.


No caso contínuo, a desigualdade acima implica que

‖f − Smt (f)‖∞ ≤ sup

x∈Sm

supy∈Sm,t

x

|f(x)− f(y)|.

Se t → 1−, então 〈x− y, x− y〉 → 0, o que implica que y → x. Daí, a continuidade de f

garante que limt→1− ‖f−Smt (f)‖∞ = 0. No caso X = Lp(Sm), primeiro usamos a desigualdade

de Minkowski para integrais, para obter

‖f − Smt (f)‖p ≤

1

σm−1(1− t2)(m−1)/2

∫〈x,y〉=t

‖f(·)− f(y)‖p dy.

Como a integral de uma função de L1(Sm) é absolutamente contínua, dado ε > 0, existe δ > 0

tal que

‖f(·)− f(y)‖p < ε, σm(Sm,tx ) < δ.

Portanto,

‖f(·)− f(y)‖p < ε, |t| >

(1−

(δ

σm−1

)2/(m−1))1/2

.

Logo, a condição (i) segue. Se Yk ∈ Hk(Sm), então o Teorema 2.2.1 implica que

Smt (Yk)(x) =

1

σm−1(1− t2)(m−1)/2

∫〈x,y〉=t

Yk(y)dy = Pmk (t)Yk(x), x ∈ Sm.

Isso prova o item (ii). Para provar (iii), usamos o Teorema da Adição e a linearidade de Smt ,

para obter

Smt (Pm

k (〈·, y〉))(x) =1

N(m, k)Sm

t

N(m,k)∑l=1

Ykl(x)Ykl(y)

=

1

N(m, k)

N(m,k)∑l=1

Smt (Ykl) (x)Ykl(y)

=Pm

k (t)

N(m, k)

N(m,k)∑l=1

Ykl(x)Ykl(y)

= Pmk (t)Pm

k (〈x, y〉), x, y ∈ Sm, k = 0, 1, . . . .

Isto conclui a prova da proposição. �

Na proposição abaixo, computamos a composição entre o operador projeção e a translação.

Proposição 2.2.7. Se n é um inteiro não-negativo e t ∈ (−1, 1), então Yn ◦ Smt = Pm

n (t)Yn.

Demonstração: Sejam n ∈ N e t ∈ (−1, 1). Da Proposição 2.2.2, temos que

(Yn ◦ Smt )(f)(x) =

N(m,n)

σm

∫Sm

Pmn (〈x, y〉)Sm

t (f)(y) dσm(y)

=N(m,n)

σm

∫Sm

Smt (Pm

n (〈x, ·〉))(y)f(y) dσm(y), x ∈ Sm.


Mas, usando o Teorema da Adição e o Teorema 2.2.1, vem que

Smt (Pm

n (〈x, ·〉))(y) =1

σm−1(1− t2)(m−1)/2

∫〈y,z〉=t

Pmn (〈x, z〉) dz

=1

σm−1(1− t2)(m−1)/2N(m,n)

N(m,n)∑l=1

Ynl(x)

∫〈y,z〉=t

Ynl(z) dz

=Pm

n (t)

N(m,n)

N(m,n)∑l=1

Ynl(x)Ynl(y)

= Pmn (t)Pm

n (〈x, y〉), x, y ∈ Sm.

Logo, deduzimos que (x ∈ Sm)

(Yn ◦ Smt )(f)(x) =

N(m,n)

σm

Pmn (t)

∫Sm

Pmn (〈x, y〉)f(y) dσm(y) = Pm

n (t)Yn(f)(x),

e a proposição segue. �

Para t ∈ (−1, 1), o operador diferença esférica é o operador linear dado por

∆t := I − Smt ,

onde I : X → X é o operador identidade. Indutivamente, a r-ésima diferença esférica é

definida por

∆rt := ∆t ◦∆r−1

t , r = 2, 3, . . . .

Devido à Proposição 2.2.6-(i), o operador diferença esférica é usado para definir vários módulos

de suavidade para funções definidas na esfera.

Proposição 2.2.8. Sejam r um inteiro positivo e t ∈ (−1, 1). Valem as seguintes pro-

priedades:

(i) ‖∆rt (f)‖X ≤ 2r‖f‖X , f ∈ X;

(ii) limt→1− ‖∆rt (f)‖X = 0, f ∈ X;

(iii) Yn ◦∆rt = (1− Pm

n (t))rYn, n = 0, 1, . . ..

Demonstração: Da Proposição 2.2.4 temos que ‖Smt (f)‖X ≤ ‖f‖X , f ∈ X. Logo,

‖∆t(f)‖X = ‖f − Smt (f)‖X ≤ ‖f‖X + ‖Sm

t (f)‖X ≤ 2‖f‖X , f ∈ X.

Portanto,

‖∆rt (f)‖X = ‖∆t(∆

r−1t (f))‖X ≤ 2‖∆r−1

t (f)‖X ≤ . . . ≤ 2r‖f‖X , f ∈ X.

Por outro lado, a Proposição 2.2.6-(i) implica que

limt→1−

‖∆rt (f)‖X ≤ 2r−1 lim

t→1−‖∆t(f)‖X = 0, f ∈ X.


Logo, limt→1− ‖∆rt (f)‖X = 0, f ∈ X. Para provar (iii), consideremos primeiramente o caso

r = 1. A linearidade de Yn e a Proposição 2.2.7 implicam que

Yn(∆t(f)) = Yn(f)− Yn(Smt (f)) = (1− Pm

n (t))Yn(f), n ∈ N, f ∈ X.

Assim, para r > 1, temos que

Yn(∆rt (f)) = Yn(∆t(∆

r−1t )(f))

= (1− Pmn (t))Yn(∆r−1

t (f))...

= (1− Pmn (t))rYn(f), n ∈ N, f ∈ X.

A prova está completa. �

Proposição 2.2.9. Se t, h ∈ (−1, 1), então Smt ◦ Sm

h = Smh ◦ Sm

t .

Demonstração: Seja f ∈ X. A Proposição 2.2.7 implica que

Yn((Smt ◦ Sm

h )(f)) = Pmn (t)Yn(Sm

h (f))

= Pmn (t)Pm

n (h)Yn(f)

= Pmn (h)Yn(Sm

t (f))

= Yn((Smh ◦ Sm

t )(f)), n = 0, 1, . . . .

Logo, o Teorema 2.1.2 garante que Smt ◦ Sm

h = Smh ◦ Sm

t . �

O teorema abaixo estabelece uma relação entre a convolução esférica e a translação esférica.

Teorema 2.2.10. Se K ∈ L1,m([−1, 1], dwm) e f ∈ X, então

K ∗ f(x) =σm−1

σm

∫ 1

−1

K(t)Smt (f)(x) dwm(t), x ∈ Sm.

Demonstração: Sejam K ∈ L1,m([−1, 1], dwm) e f ∈ X. Usando a Proposição 2.1.4 segue

que

Yn(K ∗ f)(x) = K(n)Yn(f)(x), x ∈ Sm, n ∈ N.

Para concluir a prova, definimos

Kf (x) :=σm−1

σm

∫ 1

−1

K(t)Smt (f)(x) dwm(t), x ∈ Sm,

e calculamos Yn(Kf ). Mudando a ordem de integração temos que (x ∈ Sm)

Yn(Kf )(x) =σm−1

σ2m

N(m,n)

∫Sm

Pmn (〈x, y〉)

(∫ 1

−1

K(t)Smt (f)(y) dwm(t)

)dσm(y)

=σm−1

σ2m

N(m,n)

∫ 1

−1

K(t)

(∫Sm

Pmn (〈x, y〉)Sm

t (f)(y) dσm(y)

)dwm(t),

2.3. A derivada forte de Laplace-Beltrami 27

enquanto que a Proposição 2.2.2 e o Teorema 2.2.6-(iii) implicam que

Yn(Kf )(x) =σm−1

σ2m

N(m,n)

∫ 1

−1

K(t)

(∫Sm

Smt (Pm

n (〈x, ·〉))(y)f(y) dσm(y)

)dwm(t)

=σm−1

σ2m

N(m,n)

∫ 1

−1

K(t)Pmn (t)

(∫Sm


)dwm(t)

= K(n)Yn(f)(x), x ∈ Sm, n ∈ N.

Logo, o Teorema 2.1.2 garante que K ∗ f = Kf , completando a prova do teorema. �

2.3 A derivada forte de Laplace-Beltrami

Nesta seção, introduziremos o conceito de derivada forte de Laplace-Beltrami e deduziremos

suas propriedades básicas.

Definição 2.3.1. Dizemos que uma função f ∈ X é diferenciável no sentido de Laplace-

Beltrami quando existir uma função D1(f) ∈ X tal que

limt→1−

∥∥∥∥∆t(f)

1− t−D1(f)

∥∥∥∥X

= 0.

D1(f) é chamada a primeira derivada forte de Laplace-Beltrami de f .

Derivadas de ordem superior são definidas indutivamente por

Dr := D1 ◦Dr−1, r = 2, 3, . . . .

Denotamos o conjunto das funções diferenciáveis nesse sentido por W rX , isto é,

W rX := {f ∈ X : Dr(f) ∈ X}, r = 1, 2, . . . .

Observamos que 0 ∈ W rX e que Dr(0) = 0, r = 1, 2, . . ..

Proposição 2.3.2. Sejam k um inteiro não-negativo e r um inteiro positivo. Valem as

seguintes propriedades:

(i) Hk(Sm) ⊂ W r

X ;

(ii) Dr(Yk) = kr(k +m− 1)rm−rYk, Yk ∈ Hk(Sm).

Demonstração: Consideremos o caso r = 1. Se Yk ∈ Hk(Sm), k ∈ N, usando a Proposicão

2.2.6-(ii) obtemos∥∥∥∥∆t(Yk)

1− t− k(k +m− 1)

mYk

∥∥∥∥X

=

∥∥∥∥(1− Pmk (t))Yk

1− t− k(k +m− 1)

mYk

∥∥∥∥X

=

∣∣∣∣1− Pmk (t)

1− t− k(k +m− 1)

m

∣∣∣∣ ‖Yk‖X , t ∈ (−1, 1).


Aplicando a Regra de L’Hospital e usando (1.9) vemos que

limt→1

1− Pmk (t)

1− t= lim

t→1

k(k +m− 1)

mPm

k−1(t) =k(k +m− 1)

m.

Logo,

limt→1−

∥∥∥∥∆t(Yk)

1− t− k(k +m− 1)

mYk

∥∥∥∥X

= 0

Portanto, Yk ∈ W 1X e

D1(Yk) =k(k +m− 1)

mYk.

Suponhamos que a proposição vale para r = 1, 2, . . . , s − 1. Usando a hipótese de indução

com r = s− 1, segue que

limt→1−

∥∥∥∥∆t(Ds−1(Yk))

1− t−(k(k +m− 1)

m

)s

Yk

∥∥∥∥X

=

(k(k +m− 1)

m

)s−1

limt→1−

∥∥∥∥∆t(Yk)

1− t−D1(Yk)

∥∥∥∥X

.

Por outro lado, usando a hípótese de indução com r = 1, temos que

limt→1−

∥∥∥∥∆t(Ds−1(Yk))

1− t−(k(k +m− 1)

m

)s

Yk

∥∥∥∥X

= 0.

Logo, Ds−1(Yk) ∈ W 1X . Isto implica que Ds(Yk) = D1(Ds−1(Yk)) ∈ X, ou seja, que Yk ∈ W s

X .

Além disso,

Ds(Yk) =

(k(k +m− 1)

m

)s

Yk.

Logo, a proposição está provada. �

Teorema 2.3.3. Seja r um inteiro positivo. Então o conjunto W rX é denso em X.

Demonstração: Isto segue das inclusões ∪∞k=0Hk(Sm) ⊂ W r

X ⊂ X e do fato do conjunto

∪∞k=0Hk(Sm) ser fundamental em X. �

Proposição 2.3.4. Se r é um inteiro positivo, então o conjunto W rX é um subespaço vetorial

de X.

Demonstração: Já sabemos que 0 ∈ W rX . Para provar a outra condição de subespaço

vetorial consideremos primeiramente o caso r = 1. Sejam f, g ∈ W 1X e α ∈ C. Usando a

linearidade de ∆t e a desigualdade triangular segue que∥∥∥∥∆t(αf + g)

1− t− (αD1(f) +D1(g))

∥∥∥∥X

≤ |α|∥∥∥∥∆t(f)

1− t−D1(f)

∥∥∥∥X

+

∥∥∥∥∆t(g)

1− t−D1(g)

∥∥∥∥X

.

2.3. A derivada forte de Laplace-Beltrami 29

Tomando-se o limite para t → 1−, concluímos que D1(αf + g) = αD1(f) + D1(g). Como

f, g ∈ W 1X , segue que αf + g ∈ W 1

X . Suponhamos que o resultado vale para r = 1, 2, . . . , s− 1

e sejam f, g ∈ W sX e α ∈ R. Então, procedendo como acima, temos que∥∥∥∥∆t(D

s−1(αf + g))

1− t− (αDs(f) +Ds(g))

∥∥∥∥X

≤ |α|∥∥∥∥∆t(D

s−1(f))

1− t−Ds(f)

∥∥∥∥X

+

∥∥∥∥∆t(Ds−1(g))

1− t−Ds(g)

∥∥∥∥X

.

Tomando-se o limite na desigualdade acima para t→ 1− vem que

limt→1−

∥∥∥∥∆t(Ds−1(αf + g))

1− t− (αDs(f) +Ds(g))

∥∥∥∥X

= 0.

Logo, Ds(αf + g) = αDs(f) +Ds(g). Como f, g ∈ W sX , segue que αf + g ∈ W s

X . �

Corolário 2.3.5. Para cada inteiro positivo r, a derivada forte de Laplace-Beltrami Dr é

linear.

Uma maneira natural de gerar uma topologia para o espaço W rX é considerar a norma

‖ · ‖W rX

dada por

‖f‖W rX

= ‖f‖X + ‖Dr(f)‖X , f ∈ W rX .

Mostraremos no final da Seção 2.7 que o espaço (W rX , ‖ · ‖W r

X) é completo.

A ação do operador projeção sobre a derivada forte de Laplace-Beltrami é explicada abaixo.

Teorema 2.3.6. Sejam r um inteiro positivo e f ∈ W rX . Então

Yn(Dr(f)) =

(n(n+m− 1)

m

)r

Yn(f), n ∈ N.

Demonstração: Fixe n ∈ N. No caso r = 1, usamos inicialmente a fórmula (1.9) para

deduzir que, para x ∈ Sm e f ∈ W 1X ,∣∣∣∣n(n+m− 1)

mYn(f)(x)− Yn(D1(f))(x)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ ddtPmn (t)Yn(f)(x)− Yn(D1(f))(x)

∣∣∣∣= lim

t→1−

∣∣∣∣1− Pmn (t)

1− tYn(f)(x)− Yn(D1(f))(x)

∣∣∣∣Pela Proposição 2.2.7 e pela linearidade de Yn, podemos escrever∣∣∣∣1− Pm

n (t)

1− tYn(f)(x)− Yn(D1(f))(x)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣Yn(f)(x)− Yn(Smt (f))(x)

1− t− Yn(D1(f))(x)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣Yn

(f − Sm

t (f)

1− t−D1(f)

)(x)

∣∣∣∣ .Por outro lado, a Proposição 2.1.3-(ii) implica que

limt→1−

∣∣∣∣Yn

(f − Sm

t (f)

1− t−D1(f)

)(x)

∣∣∣∣ ≤ N(m,n) limt→1−

∥∥∥∥f − Smt (f)

1− t−D1(f)

∥∥∥∥X

= 0.


Combinando-se as três informações anteriores, concluímos que

Yn(D1(f)) =n(n+m− 1)

mYn(f).

Suponhamos que o resultado vale para r = 1, 2, . . . , s− 1. Então

Yn(Ds(f)) = Yn(D1(Ds−1(f)))

=

(n(n+m− 1)

m

)Yn(Ds−1(f))

=

(n(n+m− 1)

m

)s

Yn(f), f ∈ W sX .

Assim, o teorema segue. �

Como a imagem de Yn é Hn(Sm), combinando-se a Proposição 2.3.2-(ii) e o teorema

anterior, deduzimos o seguinte corolário.

Corolário 2.3.7. Se r é um inteiro positivo e n é um inteiro não-negativo, então Yn ◦Dr =

Dr ◦ Yn em W rX .

Proposição 2.3.8. Sejam r um inteiro positivo e f ∈ X. As seguintes afirmações são equiv-

alentes:

(i) f ∈ W rX e Dr(f) = 0;

(ii) f é constante.

Demonstração: Se f é contante, ∆t(f) = 0, t ∈ (−1, 1). Consequentemente, f ∈ W 1X e

D1(f) = 0. Agora está claro que D1(f) ∈ W r−1X e que Dr−1(D1(f)) = 0, quando r ≥ 2. Logo,

f ∈ W rX e Dr(f) = 0. Reciprocamente, suponha que f ∈ W r

X e Dr(f) = 0. Do Teorema 2.3.6,

segue que

0 = Yn(Dr(f)) =

(n(n+m− 1)

m

)r

Yn(f), n ∈ N.

Portanto, Yn(f) = 0, n = 1, 2, . . .. Procedendo-se como na prova do Teorema 2.1.2, concluímos

que f(k, l) = 0, k = 1, 2, . . ., l = 1, 2, . . . , N(m, k). Logo, f − f(0, 1)Y01 = 0, o que implica

que f é constante. �

O próximo resultado descreve a ação da derivada forte de Laplace-Beltrami sobre a

translação esférica.

Proposição 2.3.9. Sejam r um inteiro positivo, f ∈ W rX e t ∈ (−1, 1). Então Sm

t (f) ∈ W rX

e Dr(Smt (f)) = Sm

t (Dr(f)).

Demonstração: É suficiente provar que Smt (f) ∈ W 1

X e que D1(Smt (f)) = Sm

t (D1(f)),

quando f ∈ W 1X . Se f ∈ W 1

X , usamos a Proposição 2.2.9 e a linearidade de Smt para obter

∆h(Smt (f)) = Sm

t (f)− Smh (Sm

t (f)) = Smt (f)− Sm

t (Smh (f)) = Sm

t (∆h(f)), h ∈ (−1, 1).

2.4. A integral de Laplace-Beltrami 31

Logo,

∆h(Smt (f))

1− h− Sm

t (D1(f)) =Sm

t (∆h(f))

1− h− Sm

t (D1(f))

= Smt

(∆h(f)

1− h−D1(f)

), h ∈ (−1, 1).

Como f ∈ W 1X , segue que

limh→1−

∥∥∥∥∆h(Smt (f))

1− h− Sm

t (D1(f))

∥∥∥∥X

≤ ‖Smt ‖X lim

h→1−

∥∥∥∥∆h(f)

1− h−D1(f)

∥∥∥∥X

= 0.

Portanto,

limh→1−

∥∥∥∥∆h(Smt (f))

1− h− Sm

t (D1(f))

∥∥∥∥X

= 0.

Assim, Smt (f) ∈ W 1

X e D1(Smt (f)) = Sm

t (D1(f)). �

Corolário 2.3.10. Se r é um inteiro positivo, então Dr ◦∆t = ∆t ◦Dr em W rX .

Corolário 2.3.11. Sejam r, s inteiros positivos e t1, t2, . . . , ts ∈ (−1, 1). Então,

∆t1 ◦∆t2 ◦ . . . ◦∆ts ◦Dr = Dr ◦∆t1 ◦∆t2 ◦ . . . ◦∆ts

em W rX .

2.4 A integral de Laplace-Beltrami

Nesta seção, descreveremos um operador que atua como um operador inverso para Dr, pelo

menos quando ambos estão atuando nos elementos de [∪∞k=1Hk(Sm)]. Construções semelhantes

foram consideradas por Rudin ([28]) e Wehrens ([37]), no caso de S2.

Levando-se em conta a Proposição 2.3.2, a idéia aqui é construir um operador Jr tal que

Jr(Yk) =

(m

k(k +m− 1)

)r

Yk, Yk ∈ Hk(Sm), k = 1, 2, . . . .

O passo principal é considerar a função L dada abaixo.

Lema 2.4.1. Seja L : (−1, 1) → R a função definida por

L(t) = m

∫ t

−1

(1− s2)−m/2

∫ s

−1

dwm(u) ds.

Então L ∈ L1,m([−1, 1], dwm) e

L(n) =

m

n(n+m− 1), n = 1, 2, . . .

‖L‖1,m, n = 0.(2.6)


Demonstração: Para provar que L ∈ L1,m([−1, 1], dwm), analisaremos dois casos separados.

No caso m = 2,

L(t) = 2

∫ t

−1

(1− s2)−1

∫ s

−1

du ds = 2 ln2

1− t.

Logo,σ1

σ2

∫ 1

−1

L(t) dt =

∫ 1

−1

ln2

1− tdt = 2,

o que implica que L ∈ L1,2(−1, 1). Como L(t) ≥ 0, t ∈ (−1, 1), segue que

L(0) = ‖L‖1,2 =σ1

σ2

∫ 1

−1

L(t) dt = 2.

No caso m > 2, usando a Regra de L’Hospital ([29], p. 109), temos que

limt→−1+

L(t)(1− t2)(m−2)/2 = limt→−1+

m∫ t

−1(1− s2)−m/2

∫ s

−1dwm(u) ds

(1− t2)−(m−2)/2

= limt→−1+

m

t(m− 2)

∫ t

−1

dwm(u)

= 0.

De maneira análoga, podemos mostrar que

limt→1−

L(t)(1− t2)(m−2)/2 =m

m− 2

∫ 1

−1

dwm(u) <∞.

Logo, como L é contínua em (−1, 1), segue que L ∈ L1,m([−1, 1], dwm). Para concluir a prova,

primeiramente observamos que a não-negatividade de L implica que

L(0) =σm−1

σm

∫ 1

−1

L(t) dwm(t) = ‖L‖1,m.

Para calcular L(n), n ≥ 1, primeiro escrevemos

L(n) =σm−1

σm

∫ 1

−1

L(t)Pmn (t) dwm(t)

=mσm−1

C(m−1)/2n (1)σm

∫ 1

−1

∫ t

−1

(1− s2)−m/2

∫ s

−1

dwm(u) dsC(m−1)/2n (t) dwm(t)

Usando integração por partes e a Proposição 1.2.2 vemos que

L(n) = −D(m) limt→1−

∫ t

−1

(1− s2)−m/2

∫ s

−1

dwm(u) ds (1− t2)m/2C(m+1)/2n−1 (t)

+D(m) limt→−1+

∫ t

−1

(1− s2)−m/2

∫ s

−1

dwm(u) ds (1− t2)m/2C(m+1)/2n−1 (t)

+D(m)

∫ 1

−1

∫ t

−1

dwm(u)C(m+1)/2n−1 (t) dt,


onde

D(m) :=σm−1

C(m−1)/2n (1)σm

m(m− 1)

n(n+m− 1).

Usando o que foi feito na parte anterior, temos que

limt→1−

∫ t

−1

(1− s2)−m/2

∫ s

−1

dwm(u) ds (1− t2)m/2C(m+1)/2n−1 (t) =

limt→1−

∫ t

−1

(1− s2)−m/2

∫ s

−1

dwm(u) ds (1− t2)(m−2)/2(1− t2)C(m+1)/2n−1 (t) = 0.

Analogamente, mostramos que

limt→−1+

∫ t

−1

(1− s2)−m/2

∫ s

−1

dwm(u) ds (1− t2)m/2C(m+1)/2n−1 (t) = 0.

Logo, integrando por partes novamente, obtemos

L(n) = D(m)

∫ 1

−1

∫ t

−1

dwm(u)C(m+1)/2n−1 (t) dt

=D(m)

m− 1

[C(m−1)/2

n (t)

∫ t

−1

dwm(u)∣∣1−1 −

∫ 1

−1

C(m−1)/2n (t) dwm(t)

]=D(m)

m− 1

[C(m−1)/2

n (1)

∫ 1

−1

dwm(u)−∫ 1

−1


].

A Proposição 1.2.2 garante que∫ 1

−1

C(m−1)/2n (t) dwm(t) = − m− 1

n(n+m− 1)(1− t2)m/2C

(m+1)/2n−1 (t)

∣∣1−1 = 0

Logo, usando a Fórmula de Funk-Hecke, segue que

L(n) =D(m)

m− 1C(m−1)/2

n (1)

∫ 1

−1

dwm(u)

=m

n(n+m− 1)

σm−1

σm

∫ 1

−1

dwm(u)

=m

n(n+m− 1).

Isso completa a prova do lema. �

No próximo resultado, normalizamos convenientemente a função L introduzida acima, de

forma que seu primeiro coeficiente de Fourier-Legendre seja igual a 1.

Teorema 2.4.2. Seja L : (−1, 1) → R a função definida por

L(t) = L(t) + 1− ‖L‖1,m.

Então L ∈ L1,m([−1, 1], dwm) e

L(n) =

m

n(n+m− 1), n = 1, 2, . . .

1, n = 0.(2.7)


Demonstração: Como L ∈ L1,m([−1, 1], dwm) segue que L ∈ L1,m([−1, 1], dwm). Usando a

Fórmula de Funk-Hecke, obtemos

L(0) =σm−1

σm

[∫ 1

−1

L(t) dwm(t) +

∫ 1

−1

(1− ‖L‖1,m) dwm(t)

]= ‖L‖1,m + (1− ‖L‖1,m)

σm−1

σm

∫ 1

−1

dwm(t)

= ‖L‖1,m + (1− ‖L‖1,m)1

σm

∫Sm

dσm

= 1.

Se n ≥ 1, a ortogonalidade de {Pmk : k = 0, 1, . . .} em L1,m([−1, 1], dwm) e o lema anterior,

implicam que

L(n) =σm−1

σm

[∫ 1

−1

L(t)Pmn (t) dwm(t) + (1− ‖L‖1,m)

∫ 1

−1

Pmn (t) dwm(t)

]= L(n) + (1− ‖L‖1,m)

σm−1

σm

∫ 1

−1

Pmn (t)Pm

0 (t) dwm(t)

= L(n).


A seguir, introduziremos o operador integral de Laplace-Beltrami por meio de uma con-

volução com a função L.

Definição 2.4.3. Seja r um inteiro positivo. O operador integral de Laplace-Beltrami é o

operador Jr : X → X dado por

J1(f) := L ∗ f, f ∈ X,

e, indutivamente, por

Jr(f) := J1(Jr−1(f)), r = 2, 3, . . . , f ∈ X.

Notemos que a Proposição 1.2.5 garante que o operador Jr está bem definido e que

‖Jr‖X ≤ ‖L‖r1,m.

Teorema 2.4.4. Seja r um inteiro positivo. Então vale a seguinte propriedade:

Yn ◦ Jr =

(

m

n(n+m− 1)

)r

Yn, n = 1, 2, . . . ,

Y0, n = 0.

(2.8)


Demonstração: Usando a Proposição 1.2.5 e o Teorema 2.4.2, temos que

Yn ◦ Jr(f) = Yn((L ∗ Jr−1)(f))

= L(n)Yn(Jr−1(f))...

= L(n)rYn(f)

=

(m

n(n+m− 1)

)r

Yn(f), n = 1, 2, . . . , f ∈ X.

Se n = 0,

Y0 ◦ Jr(f) = L(0)rY0(f) = Y0(f), f ∈ X.

Logo, o teorema está provado. �

Teorema 2.4.5. Seja r um inteiro positivo. Então Jr ◦Dr = I −Y0 em W rX . Em particular,

W rX é Jr ◦Dr-invariante.

Demonstração: Seja f ∈ W rX . Usando o teorema anterior e o Teorema 2.3.6, segue que

Yn(Jr(Dr(f))) =

(m

n(n+m− 1)

)r

Yn(Dr(f)) = Yn(f), n = 1, 2, . . . ,

ou seja, Jr(Dr(f))− f é uma constante em X. Em particular, Jr(Dr(f)) ∈ W rX . Finalmente,

dos Teoremas 2.4.4 e 2.3.6 e do fato de que Y0 é uma projeção, temos que

Y0(Jr(Dr(f))− f) = Y0(D

r(f))− Y0(f) = −Y0(f).

Dessa forma, a constante é −Y0(f). �

O corolário seguinte é uma conseqüência das propriedades mencionadas acima e das

Proposições 2.1.3 e 2.3.2.

Corolário 2.4.6. Valem as seguintes afirmações:

(i) A restrição de Jr ◦Dr a [∪∞k=1Hk(Sm)] é o operador identidade;

(ii) Para k = 1, 2, . . .,

Jr(Yk) =

(m

k(k +m− 1)

)r

Yk, Yk ∈ Hk(Sm).

Demonstração: Seja Yk ∈ Hk(Sm), k = 1, 2, . . .. A Proposição 2.1.3-(i) garante que

Y0(Yk) = 0. Logo, usando o teorema anterior, segue que

Jr(Dr(Yk)) = Yk.

Isso prova a parte (i). Usando o item anterior, o Teorema 2.3.6 e a linearidade de Jr vemos

que

Yk = Jr(Dr(Yk)) =

(k(k +m− 1)

m

)r

Jr(Yk).


Logo,

Jr(Yk) =

(m

k(k +m− 1)

)r

Yk.

Isso conclui a prova. �

2.5 A função LhNesta seção, definiremos uma função Lh ∈ L1,m([−1, 1], dwm) que satisfaz

Lh(n) =1− Pm

n (h)

n(n+m− 1), n = 1, 2, . . . .

Em vista da Proposição 2.2.8 e do Teorema 2.4.4, o efeito da convolução dessa função com

elementos de X deve ser similar àquele da ação do operador ∆h ◦ J1 nesses elementos.

Lema 2.5.1. Seja n um inteiro não-negativo. A função Imn : (−1, 1) → R definida por

Imn (h) := σm−1

∫ 1

h

Pmn (t) dwm(t).

satisfaz1

σm−1

∫ 1

h

Imn (u)(1− u2)−m/2 du =

1− Pmn (h)

n(n+m− 1). (2.9)

Demonstração: Substituindo a expressão de Imn na integral em (2.9) obtemos∫ 1

h

Imn (u)(1− u2)−m/2du = σm−1

∫ 1

h

(∫ 1

u

Pmn (t)dwm(t)

)(1− u2)−m/2du

=σm−1

C(m−1)/2n (1)

∫ 1

h

(∫ 1

u


)(1− u2)−m/2du.

Mas, a Proposição 1.2.2 garante que∫ 1

u

C(m−1)/2n (t) dwm(t) =

m− 1

n(n+m− 1)(1− u2)m/2C

(m+1)/2n−1 (u).

Logo,

1

σm−1

∫ 1

h

Imn (u)(1− u2)−m/2du =

m− 1

n(n+m− 1)C(m−1)/2n (1)

∫ 1

h

C(m+1)/2n−1 (u) du

Como ∫ 1

h

C(m+1)/2n−1 (u) du =

1

m− 1

(C(m−1)/2

n (1)− C(m−1)/2n (h)

),

o uso da Fórmula (1.9) nos leva a concluir que

1

σm−1

∫ 1

h

Imn (u)(1− u2)−m/2du =

C(m−1)/2n (1)− C

(m−1)/2n (h)

n(n+m− 1)C(m−1)/2n (1)

=1− Pm

n (h)

n(n+m− 1).

2.5. A função Lh 37


Usando o lema acima, vemos facilmente que a função Lh que procuramos deve satisfazer

σm−1

σm

∫ 1

−1

Lh(t)Pmn (t) dwm(t) =

1

σm−1

∫ 1

h

Imn (u)(1− u2)−m/2du

=

∫ 1

h

(∫ 1

u

Pmn (t) dwm(t)

)(1− u2)−m/2du.

Uma mudança de variáveis reduz essa igualdade a

σm−1

σm

∫ 1

−1

Lh(t)Pmn (t) dwm(t) =

∫ 1

h

(∫ t

h

(1− u2)−m/2du

)Pm

n (t)dwm(t)

=

∫ 1

−1

χ[h,1)(t)

(∫ t

h

(1− u2)−m/2du

)Pm

n (t) dwm(t).

Na igualdade acima, o símbolo χA denota a função característica do conjunto A.

Lema 2.5.2. Sejam h ∈ (−1, 1) e Lh a função definida por

Lh(t) :=σm

σm−1

χ[h,1)(t)

∫ t

h

(1− u2)−m/2du, t ∈ (−1, 1).

Então Lh ∈ L1,m([−1, 1], dwm) e

Lh(n) =

1− Pm

n (h)

n(n+m− 1), n = 1, 2, . . .

‖Lh‖1,m, n = 0(2.10)

Demonstração: Observemos primeiramente que Lh é não-negativa. Para mostrar que Lh ∈L1,m([−1, 1], dwm), analisaremos dois casos. Se m = 2, então

1

2

∫ 1

−1

Lh(t) dw2(t) =

∫ 1

h

(∫ t

h

(1− u2)−1du

)dt

=1

2

∫ 1

h

ln(1 + t)(1− h)

(1− t)(1 + h)dt

= ln2

1 + h<∞.

Se m ≥ 3, aplicando a Regra de L’Hospital, segue que

limt→1

(1− t2)(m−2)/2

∫ t

h

(1− u2)−m/2du = limt→1

∫ t

h(1− u2)−m/2du

(1− t2)−(m−2)/2

= limt→1

1

(m− 2)t

=1

m− 2<∞.

Como a função

t ∈ [h, 1) 7→ (1− t2)(m−2)/2

∫ t

h

(1− u2)−m/2du


é contínua, temos que

σm−1

σm

∫ 1

h

(∫ t

h

(1− u2)−m/2du

)dwm(t) <∞.

Portanto, Lh ∈ L1,m([−1, 1], dwm). A fórmula na afirmação do lema, segue trivialmente no

caso n = 0, já que Lh é não-negativa. Se n ≥ 1, então

Lh(n) =σm−1

σm

∫ 1

−1

Lh(t)Pmn (t) dwm(t)

=1

C(m−1)/2n (1)

∫ 1

h

(∫ t

h

(1− u2)−m/2 du

)C(m−1)/2

n (t) dwm(t)

=1

C(m−1)/2n (1)

limε→1−

∫ ε

h

(∫ t

h

(1− u2)−m/2 du

)C(m−1)/2

n (t) dwm(t).

Se l é o limite acima, integração por partes nos leva a

l =m− 1

n(n+m− 1)lim

ε→1−

[−∫ t

h

(1− u2)−m/2du (1− t2)m/2C(m+1)/2n−1 (t) |εh

+

∫ ε

h

C(m+1)/2n−1 (t) dt

]=

m− 1

n(n+m− 1)

[− lim

ε→1−

∫ ε

h

(1− u2)−m/2du (1− ε2)m/2C(m+1)/2n−1 (ε)

+

∫ 1

h

C(m+1)/2n−1 (t) dt

].

Mas, usando a regra de L’Hospital uma vez mais, temos que

limε→1−

(1− ε2)m/2

∫ ε

h

(1− u2)−m/2du = limε→1−

∫ ε

h(1− u2)−m/2du

(1− ε2)−m/2

= limε→1−

(1− ε2)−m/2

m(1− ε2)−(m+2)/2ε

= limε→1−

(1− ε2)

mε= 0.

Logo,

limε→1−

∫ ε

h

(1− u2)−m/2du (1− ε2)m/2C(m+1)/2n−1 (ε) = 0.

Assim, usando (1.9),

Lh(n) =m

n(n+m− 1)C(m−1)/2n (1)

∫ 1

h

C(m+1)/2n−1 (t) dt

=1

n(n+m− 1)C(m−1)/2n (1)

[C(m−1)/2

n (1)− C(m−1)/2n (h)

]=

1− Pmn (h)

n(n+m− 1),

o que completa a verificação da fórmula. �

2.5. A função Lh 39

Lema 2.5.3. Sejam h ∈ (−1, 1) e Lh a função definida no lema anterior. Defina

Gh(t) := ‖Lh‖−11,mLh(t), t ∈ (−1, 1).

Então Gh ∈ L1,m([−1, 1], dwm) e

Gh(n) =

‖Lh‖−1

1,m

n(n+m− 1)(1− Pm

n (h)), n = 1, 2, . . .

1, n = 0

(2.11)

Demonstração: Segue diretamente do lema anterior que Gh ∈ L1,m([−1, 1], dwm), h ∈(−1, 1). Para a outra parte, como Gh(t) ≥ 0, t ∈ (−1, 1), já temos que

Gh(0) = ‖Gh‖1,m = 1.

Se n ≥ 1,

Gh(n) = ‖Lh‖−11,mLh(n) =

1− Pmn (h)

n(n+m− 1)‖Lh‖−1

1,m

pelo lema anterior novamente. �

Os próximos três lemas contêm algumas propriedades adicionais da função Lh.

Lema 2.5.4. Se h ∈ [0, 1), então ‖Lh‖1,m ≤ 1− h.

Demonstração: Basta mostrar que a função

ψ(h) = ‖Lh‖1,m − (1− h), h ∈ [0, 1),

é não-positiva. Fazendo uma mudança de variáveis, obtemos

‖Lh‖1,m =

∫ 1

h

(∫ t

h

(1− u2)−m/2du

)dwm(t)

=

∫ 1

h

∫ 1

u

(1− u2)−m/2dwm(t) du.

Como limh→1− ψ(h) = 0, é suficiente mostrar que ψ(h) é não-decrescente no intervalo [0, 1).

Como

ψ′(h) = 1− (1− h2)−m/2

∫ 1

h

dwm(t),

basta mostrarmos que ∫ 1

h

dwm(t) ≤ (1− h2)m/2.

Mas, pelo Teorema do Valor Médio para integrais, sabemos que∫ 1

h

dwm(t) =

∫ 1

h

(1− t2)(m−2)/2dt = (1− η2)(m−2)/2(1− h),

para algum η ∈ [h, 1). Daí,∫ 1

h

dwm(t) ≤ (1− h2)(m−2)/2(1− h) =1

1 + h(1− h2)m/2 ≤ (1− h2)m/2.



Lema 2.5.5. Se h ∈ (−1, 1), então m‖Lh‖1,m ≥ 1− h.

Demonstração: Sejam θ, ξ : (−1, 1) → R as funções definidas por θ(h) := 1− h e

ξ(h) := m‖Lh‖1,m = m

∫ 1

h

(1− u2)−m/2

(∫ 1

u

dwm(t)

)du.

Usando o lema anterior, é fácil ver que limh→1− ξ(h)− θ(h) = 0. Logo, para provar o lema, é

suficiente mostrar que ξ′(h) ≤ θ′(h), h ∈ (−1, 1), ou seja, que

−m(1− h2)−m/2

∫ 1

h

dwm(t) ≤ −1, h ∈ (−1, 1).

Definindo-se

ψ(h) := m

∫ 1

h

dwm(t)− (1− h2)m/2, h ∈ (−1, 1),

é, então, suficiente mostrar que ψ(h) ≥ 0, h ∈ (−1, 1). Como limh→1− ψ(h) = 0 e

ψ′(h) = −m(1− h2)(m−2)/2 +mh(1− h2)(m−2)/2

= m(1− h2)(m−2)/2(−1 + h) ≤ 0, h ∈ (−1, 1).

o resultado segue. �

Lema 2.5.6. Se Lh é a função definida no Lema 2.5.2, então

limh→1

m‖Lh‖1,m

1− h= 1

Demonstração: Notemos primeiramente que fazendo uma mudança de variáveis obtemos

‖Lh‖1,m =σm−1

σm

∫ 1

−1

Lh(t) dwm(t)

=

∫ 1

h

∫ t

h

(1− u2)−m/2du dwm(t)

=

∫ 1

h

∫ 1

u

(1− u2)−m/2dwm(t)du.

Logo, usando a Regra de L’Hospital duas vezes, segue que

limh→1

m‖Lh‖1,m

1− h= lim

h→1

m

1− h

∫ 1

h

∫ 1

u

(1− u2)−m/2dwm(t) du

= limh→1

m

(1− h2)m/2

∫ 1

h

dwm(t)

= limh→1

1

h= 1.

Isso conclui a prova. �

2.6. O operador Arh 41

2.6 O operador Arh

No que segue, usaremos a função Gh para construir um operador de convolução esférica

associado, aqui chamado de operador auxiliar. O operador está relacionado diretamente com

outros até agora introduzidos, e será usado na dedução de várias propriedades subseqüentes,

dentre elas caracterizações para os espaços W rX e propriedades do módulo de suavidade que

introduziremos à frente.

Definição 2.6.1. Sejam r um inteiro positivo e h ∈ (−1, 1). O operador auxiliar é o operador

linear Arh : X → X dado por

A1h(f) := Gh ∗ f, f ∈ X,

e, indutivamente, por

Arh := A1

h ◦ Ar−1h , r = 2, 3, . . . .

As propriedades básicas do operador Arh estão listadas no lema abaixo.

Lema 2.6.2. Sejam h ∈ (−1, 1) e r um inteiro positivo. Então Arh é um operador positivo

com norma ‖Arh‖X = 1. Além disso,

‖f − Arh(f)‖X ≤ r sup

h≤t<1‖f − Sm

t (f)‖X , f ∈ X.

Em particular,

limh→1−

‖f − Arh(f)‖X = 0, f ∈ X.

Demonstração: Como Gh é uma função não-negativa, a positividade de Arh segue. Usando

a Proposição 1.2.5 e o Lema 2.5.3, temos que

‖Arh(f)‖X = ‖Gh ∗ (Ar−1

h (f))‖X

≤ ‖Gh‖1,m‖Ar−1h (f)‖X

...

≤ ‖Gh‖r1,m‖f‖X

= ‖f‖X , f ∈ X.

Mas, se f0 = 1, então como Smh (f0) = 1, usando o Teorema 2.2.10, obtemos

A1h(f0)(x) =

σm−1

σm

∫ 1

−1

Gh(t) dwm(t) = ‖Gh‖1,m = 1, x ∈ Sm.

Portanto,

Arh(f0) = Ar−1

h (A1h(f0)) = Ar−1

h (f0) = · · · = f0 = 1.


Os argumentos acima mostram que ‖Arh(f0)‖X = 1. Logo,

‖Arh‖X = sup

f∈X\{0}

‖Arh(f)‖X

‖f‖X

= 1.

A definição de A1h e o Teorema 2.2.10 implicam que

‖f − A1h(f)‖X = ‖f −Gh ∗ f‖X

=σm−1

σm

∥∥∥∥∫ 1

−1

[f(·)− Smt (f)(·)]Gh(t) dwm(t)

∥∥∥∥X

.

Logo, usando a desigualdade de Minkowski para integrais, temos que

‖f − A1h(f)‖X ≤ σm−1

σm

∫ 1

−1

‖f − Smt (f)‖X Gh(t) dwm(t)

=σm−1

σm

∫ 1

h

‖f − Smt (f)‖X Gh(t) dwm(t).

Agora está claro que

‖f − A1h(f)‖X ≤ sup

h≤t<1‖f − Sm

t (f)‖X

σm−1

σm

∫ 1

h

Gh(t) dwm(t)

= suph≤t<1

‖f − Smt (f)‖X ‖Gh‖1,m

= suph≤t<1

‖f − Smt (f)‖X .

Se r ≥ 1, usando o fato de que ‖Arh‖X = 1 e a parte anterior, vemos que

‖f − Arh(f)‖X =

∥∥∥∥∥f − A1h(f) +

r−1∑j=1

(Ajh(f)− Aj+1

h (f))

∥∥∥∥∥X

≤∥∥f − A1

h(f)∥∥

X+

r−1∑j=1

∥∥Ajh(f)− Aj+1

h (f)∥∥

X

=∥∥f − A1

h(f)∥∥

X+

r−1∑j=1

∥∥Ajh(f − A1

h(f))∥∥

X

≤∥∥f − A1

h(f)∥∥

X+

r−1∑j=1

‖f − A1h(f)‖X

= r∥∥f − A1

h(f)∥∥

X

= r suph≤t<1

‖f − Smt (f)‖X .

Ainda, como limt→1− ‖f − Smt (f)‖X = 0 (Proposição 2.2.6-(i)), deduzimos que

limh→1−

‖f − Arh(f)‖X ≤ lim

h→1−r sup

h≤t<1‖f − Sm

t (f)‖X = 0,

e o lema está provado. �

No lema abaixo analisamos o efeito do operador projeção sobre o operador Arh.

2.6. O operador Arh 43

Lema 2.6.3. Sejam r um inteiro positivo e h ∈ (−1, 1). Então vale a igualdade

Yn ◦ Arh = (Gh(n))rYn, n ∈ N.

Em particular,

Yn ◦ (I − Arh)

r−1 = [1− (Gh(n))r]r−1 Yn, n ∈ N.

Demonstração: Seja f ∈ X. Então a Proposição 2.1.4 implica que

Yn(Arh(f)) = Yn(A1

h(Ar−1h (f)))

= Gh(n)Yn(Ar−1h (f))

...

= (Gh(n))rYn(f), n ∈ N.

Usando a linearidade de Yn temos que

Yn((I − Arh)

r−1(f)) = Yn((I − Arh) ◦ (I − Ar

h)r−2(f))

= Yn((I − Arh)

r−2(f))− Yn(Arh((I − Ar

h)r−2(f)))

= Yn((I − Arh)

r−2(f))− (Gh(n))rYn((I − Arh)

r−2(f))

= [1− (Gh(n))r]Yn((I − Arh)

r−2(f))...

= [1− (Gh(n))r]r−1 Yn(f), n ∈ N.


Uma propriedade análoga àquela do lema anterior, mas com o operador diferença esférica

no lugar de Yn, é como segue.

Lema 2.6.4. Se r é um inteiro positivo, então

∆t ◦ (I − Arh)

r−1 = (I − Arh)

r−1 ◦∆t, t, h ∈ (−1, 1).

Demonstração: Seja f ∈ X. Usando o lema anterior e a Proposição 2.2.8-(iii), temos que

Yn(∆t((I − Arh)

r−1(f)) = (1− Pmn (t))Yn((I − Ar

h)r−1f)

= [1− (Gh(n))r]r−1 (1− Pmn (t))Yn(f)

= [1− (Gh(n))r]r−1 Yn(∆t(f))

= Yn((I − Arh)

r−1(∆t(f))), n ∈ N.

Logo, o Teorema 2.1.2 implica que

∆t((I − Arh)

r−1(f)) = (I − Arh)

r−1(∆t(f)),

e a igualdade do lema segue. �


Teorema 2.6.5. Sejam r um inteiro positivo e h ∈ (−1, 1). Valem as seguintes igualdades:

(i) Arh = m−r‖Lh‖−r

1,m(∆rh ◦ Jr) + Y0

(ii) Arh = m−r‖Lh‖−r

1,m(Jr ◦∆rh) + Y0

(iii) ∆rh ◦ Jr = Jr ◦∆r

h.

Demonstração: Seja f ∈ X. Usando a Proposição 2.1.4, o Lema 2.5.3 e o Teorema 2.4.2,

obtemos

Yn(Arh(f)) = (Gh(n))rYn(f)

=

(‖Lh‖−1

1,m

n(n+m− 1)(1− Pm

n (h))

)r

Yn(f)

= m−r‖Lh‖−r1,m

(m

n(n+m− 1)

)r

(1− Pmn (h))rYn(f)

= m−r‖Lh‖−r1,mL(n)r(1− Pm

n (h))rYn(f), n = 1, 2, . . . .

Logo, o Teorema 2.4.4, a Proposição 2.2.8-(iii) e a linearidade de Yn implicam que

Yn(Arh(f)) = m−r‖Lh‖−r

1,m(1− Pmn (h))rYn(Jr(f))

= m−r‖Lh‖−r1,mYn(∆r

h(Jr(f)))

= Yn(m−r‖Lh‖−r1,m∆r

h(Jr(f))), n = 1, 2, . . . .

Em particular, Arh(f)−m−r‖Lh‖−r

1,m∆rh(J

r(f)) é uma constante. Usando a linearidade de Y0,

as Proposições 2.1.4 e 2.2.8 obtemos

Y0(Arh(f)−m−r‖Lh‖−r

1,m∆rh(J

r(f))) = Y0(f).

Logo, a constante é Y0(f). Isso prova a parte (i). A prova de (ii) segue o mesmo padrão e

será omitida. A última afirmação do teorema é uma conseqüência de (i) e (ii). �

2.7 Uma caracterização para W rX

Aqui, caracterizaremos os espaços W rX usando os operadores Jr e Dr e a conexão com o

operador Arh dada pelo Teorema 2.6.5. Começamos com uma condição suficiente sobre Jr

para garantir que uma função f ∈ X pertença a W rX .

Teorema 2.7.1. Seja r um inteiro positivo. Então a imagem do operador Jr é um subconjunto

de W rX .

2.7. Uma caracterização para W rX 45

Demonstração: Consideremos primeiro o caso r = 1. Sejam f, g2 ∈ X tais que f = Jr(g2).

Usando o Teorema 2.6.5, temos que

f − Smh (f)

1− h=

J1(g2)− Smh (J1(g2))

1− h

= (m‖Lh‖1,m)−1(J1(g2)− Smh (J1(g2)))

m‖Lh‖1,m

1− h

= (m‖Lh‖1,m)−1∆h(J1(g2))

m‖Lh‖1,m

1− h

= (A1h(g2)− Y0(g2))

m‖Lh‖1,m

1− h.

Conseqüentemente,∥∥∥∥∆h(f)

1− h− (g2 − Y0(g2))

∥∥∥∥X

=

∥∥∥∥(A1h(g2)− Y0(g2))

m‖Lh‖1,m

1− h− (g2 − Y0(g2))

∥∥∥∥X

≤∣∣∣∣m‖Lh‖1,m

1− h− 1

∣∣∣∣ ‖g2 − Y0(g2)‖X +m‖Lh‖1,m

1− h

∥∥A1h(g2)− g2

∥∥X.

Aplicando o limite na desigualdade acima para h → 1− e usando ambos, o Lema 2.6.2 e o

Lema 2.5.6, obtemos

limh→1−

∥∥∥∥∆h(f)

1− h− (g2 − Y0(g2))

∥∥∥∥X

= 0.

Logo, f ∈ W 1X e D1(f) = g2−Y0(g2). Para completar a prova, vamos assumir, indutivamente,

que o teorema vale nos casos r = 1, 2, . . . , s − 1. Sejam f, g2 ∈ X tal que Js(g2) = f . Como

J1(Js−1(g2)) = f , a hipótese de indução implica que f ∈ W s−1X e

D1(f) = Js−1(g2)− Y0(Js−1(g2)).

Está claro agora que Js−1(g2) ∈ X. A hipótese de indução, novamente, implica que

D1(f) + Y0(Js−1(g2)) ∈ W s−1

X .

Como W s−1X é um espaço vetorial, isso implica que D1(f) ∈ W s−1

X . Assim, f ∈ W sX . �

O resultado principal dessa seção é como segue.

Teorema 2.7.2. Sejam r um inteiro positivo e f ∈ X. As seguintes afirmações são equiva-

lentes:

(i) f ∈ W rX ;

(ii) Existe uma função g1 ∈ X tal que

Yn(g1) =

(n(n+m− 1)

m

)r

Yn(f), n = 0, 1, . . . ;

(iii) Existe uma única função g2 ∈ X tal que

Jr(g2) = f


Demonstração: Para justificar que (i) implica (ii) é suficiente tomar g1 = Dr(f) no Teorema

2.3.6. Se (ii) vale para alguma função g1 ∈ X, o Teorema 2.4.4 implica que

Yn(f) =

(m

n(n+m− 1)

)r

Yn(g1) = Yn(Jr(g1)), n = 1, 2, . . . .

Definindo g2 = g1 + Y0(f) podemos usar a Proposição 2.1.1 e o Teorema 2.4.4, novamente,

para deduzir que

Yn(Jr(g2)) = Yn(Jr(g1)) + Yn(Jr(Y0(f)) = Yn(f).

Um cálculo semelhante e o fato de que Y0(g1) = 0, mostram que a igualdade anterior também

é válida para n = 0. Logo, Jr(g2) = f . Finalmente, se Jr(g2) = Jr(f2) para duas funções g2 e

f2, então

Yn(Jr(g2)) = Yn(Jr(f2)), n = 0, 1, . . . .

Do Teorema 2.4.4, segue que

Yn(g2) = Yn(f2), n = 0, 1, . . . .

Logo, o Teorema 2.1.2 implica que g2 = f2. Finalmente, o teorema anterior completa a prova

do teorema. �

O próximo resultado fornece uma descrição do espaço W rX em termos do operador integral

de Laplace-Beltrami.

Corolário 2.7.3. Se r é um inteiro positivo, então W rX = X ∩ Jr(X).

O Corolário acima induz uma norma alternativa no espaço W rX . Precisamente, a expressão

|f |W rX

= ‖f‖X + ‖f‖Jr(X), f ∈ W rX ,

onde ‖f‖Jr(X) := ‖g‖X e g ∈ X é tal que f = Jr(g), define uma norma em W rX .

Fecharemos a seção apresentando aplicações do Teorema 2.7.2 que envolvem a derivada

forte de Laplace-Beltrami.

Proposição 2.7.4. Valem as seguintes afirmações:

(i) Se r1, r2 são inteiros positivos e r2 < r1, então W r1X ⊂ W r2

X .

(ii) Se r é um inteiro positivo, f ∈ W rX e K ∈ L1,m([−1, 1], dwm), então K ∗ f ∈ W r

X e

Dr(K ∗ f) = K ∗Dr(f).

Demonstração: Sejam r1 e r2 como em (i) e f ∈ W r1X . Se g1 é a função definida por

g1 = Jr1−r2(Dr1(f)),


aplicando os Teoremas 2.3.6 e 2.4.4, vem que

Yn(Jr1−r2(Dr1(f)) =

(m

n(n+m− 1)

)r1−r2

Yn(Dr1(f))

=

(n(n+m− 1)

m

)r2−r1(n(n+m− 1)

m

)r1

Yn(f)

=

(n(n+m− 1)

m

)r2

Yn(f), n = 1, 2, . . . .

Como Y0◦Jr1−r2 = Y0 (Teorema 2.4.4), a igualdade acima também é válida para n = 0. Logo,

o teorema anterior implica que f ∈ W r2X . Para a outra parte sejam r um inteiro positivo,

f ∈ W rX e K ∈ L1,m([−1, 1], dwm). A Proposição 2.1.4 implica que

Yn(K ∗Dr(f)) = K(n)Yn(Dr(f))

= K(n)

(n(n+m− 1)

m

)r

Yn(f)

=

(n(n+m− 1)

m

)r

Yn(K ∗ f), n ∈ N.

Como K ∗ Dr(f) ∈ X, o Teorema 2.7.2 garante que K ∗ f ∈ W rX . Usando o Teorema 2.3.6

temos que

Yn(K ∗Dr(f)) =

(n(n+m− 1)

m

)r

Yn(K ∗ f) = Yn(Dr(K ∗ f)), n ∈ N.

Portanto, o Teorema 2.1.2 conclui a prova da proposição. �

Teorema 2.7.5. Se r é um inteiro positivo, então Dr ◦ Jr = I − Y0.

Demonstração: Sejam r um inteiro positivo e f ∈ X. Se g1 = f − Y0(f) ∈ X, então do

Teorema 2.4.4, segue que

Yn(g1) = Yn(f)− Yn(Y0(f))

= Yn(f)

=

(n(n+m− 1)

m

)r (m

n(n+m− 1)

)r

Yn(f)

=

(n(n+m− 1)

m

)r

Yn(Jr(f)), n = 1, 2, . . . .

Como Y0 é projeção, a mesma igualdade vale no caso n = 0. Logo, o Teorema 2.7.2 garante

que Jr(f) ∈ W rX . Usando o Teorema 2.3.6, obtemos

Yn(f − Y0(f)) = Yn(Dr(Jr(f))), n ∈ N,

e, conseqüentemente, Dr(Jr(f)) = f − Y0(f). �

Combinando os Teoremas 2.4.5 e 2.7.5, obtemos o seguinte resultado.


Corolário 2.7.6. Se r é um inteiro positivo, então Dr ◦ Jr = Jr ◦Dr em W rX .

O Teorema 2.7.2 mostra que o operador Jr é o operador inverso da derivada forte de

Laplace-Beltrami Dr, a menos de uma constante. Juntando-se o corolário anterior e o

Corolário 2.4.6, obtemos o resultado a seguir.

Corolário 2.7.7. Se r é um inteiro positivo, então as igualdades Dr ◦Jr = Jr ◦Dr = I valem

em [∪∞k=1Hk(Sm)].

A equivalência das duas normas introduzidas no espaço W rX é justificada na próxima

proposição.

Proposição 2.7.8. Seja r um inteiro positivo. Então as normas ‖ · ‖W rX

e | · |W rX

são equiv-

alentes.

Demonstração: Seja f ∈ W rX e g ∈ X tal que Jr(g) = f . Usando o Teorema 2.7.5, temos

que

‖Dr(f)‖X = ‖Dr(Jr(g))‖X = ‖g − Y0(g)‖X ≤ ‖g‖X + ‖Y0(g)‖X .

Pelo Teorema 2.4.4 e pela Proposição 2.1.3-(iii), obtemos

‖Dr(f)‖X ≤ ‖g‖X + ‖Y0(Jr(g))‖X = ‖g‖X + ‖Y0(f)‖X ≤ ‖f‖Jr(X) + ‖f‖X .

Logo,

‖f‖W rX

= ‖f‖X + ‖Dr(f)‖X ≤ 2‖f‖X + ‖f‖Jr(X) ≤ 2(‖f‖X + ‖f‖Jr(X)) = 2|f |W rX.

Por outro lado, usando novamente o Teorema 2.7.5, segue que

|f |W rX

= ‖f‖X + ‖g‖X = ‖f‖X + ‖Dr(Jr(g)) + Y0(g)‖X ≤ ‖f‖X + ‖Dr(f)‖X + ‖Y0(g)‖X .

Portanto, pelo Teorema 2.4.4 e pela Proposição 2.1.3-(iii), vem que

|f |W rX

≤ ‖f‖X + ‖Dr(f)‖X + ‖Y0(Jr(g))‖X

= ‖f‖X + ‖Dr(f)‖X + ‖Y0(f)‖X

≤ 2‖f‖X + ‖Dr(f)‖X

≤ 2‖f‖W rX.

Isso completa a prova da proposição. �

No próximo resultado, usamos o Teorema 2.7.2 para calcular a derivada forte de Laplace-

Beltrami do operador Arh. Antes, porém, precisamos de uma pequena adaptação do Teorema

2.6.5-(ii).


Lema 2.7.9. Nas condições do Teorema 2.6.5

Arh = Jr ◦

((m−r‖Lh‖−r

1,m

)∆r

h + Y0

).

Demonstração: Seja f ∈ X. Procedendo como na prova do Teorema 2.6.5, temos que


1,m(1− Pmn (h))rL(n)rYn(f), n = 1, 2, . . . .

Usando o Teorema 2.4.4 e a Proposição 2.1.1, segue que


1,mL(n)rYn(∆rh(f)) + Yn(Y0(f))

= L(n)rYn(m−r‖Lh‖−r1,m∆r

h(f)) + L(n)rYn(Y0(f))

= Yn

(Jr(m−r‖Lh‖−r

1,m∆rh(f)

))+ Yn(Jr(Y0(f)))

= Yn


1,m∆rhf + Y0(f)

)), n = 1, 2, . . . .

Pelos Lemas 2.6.3 e 2.5.3, Proposição 2.1.1 e a definição de Pm0 , temos ainda que

Y0(Arh(f)) = (Gh(0))rY0(f) = m−r‖Lh‖−r

1,mL(0)r(1− Pm0 (h))rY0(f) + Y0(Y0(f)).

Logo, procedendo-se como acima,

Y0(Arh(f)) = m−r‖Lh‖−r

1,mL(0)rY0(∆rh(f)) + Y0(Y0(f))

= L(0)rY0(m−r‖Lh‖−r

1,m∆rh(f)) + L(0)rY0(Y0(f))

= Y0


1,m∆rh(f)

))+ Y0(J

r(Y0(f)))

= Y0


1,m∆rh(f) + Y0(f)

)).

Portanto, o Teorema 2.1.2 completa a prova. �

Teorema 2.7.10. Sejam r um inteiro positivo e h ∈ (−1, 1). Valem as seguintes afirmações:

(i) A imagem do operador Arh é um subconjunto de W r

X ;

(ii) Dr ◦ Arh = m−r‖Lh‖−r

1,m∆rh.

Demonstração: Se f ∈ X, então m−r‖Lh‖−r1,m∆r

h(f) ∈ X. Usando o Teorema 2.4.4 e a

Proposição 2.1.1, temos que

Yn

(m−r‖Lh‖−r

1,m∆rh(f)

)=

(n(n+m− 1)

m

)r

Yn


1,m∆rh(f)

))+ Yn(Y0(f)).

Pela linearidade de Yn e o Teorema 2.6.5, deduzimos que

Yn

(m−r‖Lh‖−r

1,m∆rh(f)

)=

(n(n+m− 1)

m

)r

Yn (Arh(f)) , n = 1, 2, . . . .


A igualdade acima também é válida para n = 0 devido à Proposição 2.2.8-(iii). Portanto, o

Teorema 2.7.2 garante que Arh(f) ∈ W r

X . Para provar (ii) usamos o Lema 2.7.9 e o Teorema

2.7.5 para escrever

Dr ◦ Arh = Dr ◦ Jr ◦

((m−r‖Lh‖−r

1,m

)∆r

h + Y0

)= m−r‖Lh‖−r

1,m∆rh + Y0 − Y0 ◦

(m−r‖Lh‖−r

1,m∆rh + Y0


1,m∆rh − Y0 ◦

(m−r‖Lh‖−r

1,m∆rh

).

Mas,

Y0 ◦(m−r‖Lh‖−r

1,m∆rh


1,mY0 ◦∆rh = m−r‖Lh‖−r

1,m(1− Pm0 (h))rY0 = 0.

Portanto, Dr ◦ Arh = m−r‖Lh‖−r

1,m∆rh. �

O próximo resultado é conseqüência da Proposição 2.7.4-(ii).

Corolário 2.7.11. Sejam r um inteiro positivo e h ∈ (−1, 1). Então Dr ◦ Arh é a r-ésima

convolução de Gh com Dr em W rX , isto é, Dr ◦ Ar

h = Gh ∗ (Gh ∗ · · · ∗ (Gh ∗Dr))) em W rX .

Teorema 2.7.12. Seja r um inteiro positivo. Então o operador Dr : W rX → X é fechado.

Demonstração: Sejam f, g ∈ X e {fn}n∈N ⊂ W rX uma seqüência tal que

limn→∞

‖fn − f‖X = limn→∞

‖Dr(fn)− g‖X = 0.

Usando o Teorema 2.3.6 e a Proposição 2.1.3-(ii) temos que∣∣∣∣(k(k +m− 1)

m

)r

Yk(fn)− Yk(g)

∣∣∣∣ = |Yk(Dr(fn))− Yk(g)|

= |Yk(Dr(fn)− g)|

≤ N(m, k) ‖Dr(fn − g)‖X , k ∈ N.

Como limn→∞ ‖Dr(fn)− g‖X = 0, segue que

limn→∞

(k(k +m− 1)

m

)r

Yk(fn) = Yk(g), k ∈ N.

Por outro lado, como

|Yk(fn)− Yk(f)| = |Yk(fn − f)| ≤ N(m, k)‖fn − f‖X , k ∈ N,

e limn→∞ ‖fn − f‖X = 0, vemos que limn→∞ Yk(fn) = Yk(f), k ∈ N. Segue que(k(k +m− 1)

m

)r

Yk(f) = Yk(g), k ∈ N.

Portanto, pelo Teorema 2.7.2, f ∈ W rX e Dr(f) = g. Isto justifica o fechamento de Dr. �

2.8. O módulo de suavidade esférico e o K-funcional 51

Teorema 2.7.13. Seja r um inteiro positivo. Então o espaço (W rX , ‖ · ‖W r

X) é completo.

Demonstração: Seja {fn}n∈N uma seqüência de Cauchy em W rX . Então dado ε > 0, existe

N ∈ N tal que

‖fn − fm‖X + ‖Dr(fn)−Dr(fm)‖X = ‖fn − fm‖W rX≤ ε, n,m ≥ N.

Logo, {fn}n∈N e {Dr(fn)}n∈N são seqüências de Cauchy em X. Como X é completo, existem

funções f, g ∈ X tal que

limn→∞

‖fn − f‖X = limn→∞

‖Dr(fn)− g‖X = 0.

Portanto, pelo teorema anterior temos que f ∈ W rX e Dr(f) = g. Assim,

limn→∞

‖fn − f‖W rX

= limn→∞

‖fn − f‖X + ‖Dr(fn)−Dr(f)‖X = 0,


2.8 O módulo de suavidade esférico e o K-funcional

Nesta seção, introduziremos o módulo de suavidade esférico de uma função e deduziremos

uma desigualdade básica envolvendo tal módulo. A dedução de tal propriedade passa pela

equivalência entre o módulo de suavidade e o K-funcional de funções de X relativo aos espaços

W rX . Aparentemente, esses conceitos são de domínio de muitos pesquisadores trabalhando

com a Análise na Esfera ou mesmo outras áreas. Entretanto, não encontramos provas auto-

suficientes para os resultados que precisávamos no contexto do trabalho, ou seja, com a

dimensão da esfera fixada mas arbitrária, razão pela qual todas elas estão incluídas aqui.

Módulos de suavidade são extensões naturais dos conhecidos módulos de continuidade. En-

quanto estes últimos constituem-se em ferramentas importantes na detecção da suavidade de

uma função, os primeiros são úteis na detecção de propriedades mais profundas de suavidade

da mesma ([8]).

Definição 2.8.1. Sejam f ∈ X e δ ∈ (−1, 1). O módulo de suavidade esférico é o número

dado pela fórmula

w1(δ, f,X) := supδ≤t<1

‖∆t(f)‖X .

Podemos estender o conceito acima, definindo o r-ésimo módulo de suavidade, de pelo

menos duas maneiras distintas: substituindo-se a diferença ∆t pela r-ésima diferença ∆rt ou,

simplesmente definindo-se

wr(δ, f,X) := sup{‖∆t1 ◦∆t2 ◦ · · · ◦∆tr(f)‖X : tj ∈ [δ, 1), j = 1, 2, . . . , r}.


Neste trabalho, não discutiremos a primeira extensão. Mesmo os resultados no restante do

capítulo sendo dependentes de wr(δ, f,X), lembramos o leitor de que, apenas o módulo

w1(δ, f,X) será efetivamente usado nos resultados subseqüentes.

A proposição abaixo enumera as propriedades básicas do módulo de suavidade wr.

Proposição 2.8.2. Sejam f, g ∈ X e r um inteiro positivo. Então valem as seguintes pro-

priedades:

(i) limδ→1− wr(δ, f,X) = 0;

(ii) wr(δ2, f,X) ≤ wr(δ1, f,X), −1 < δ1 < δ2 < 1;

(iii) wr(δ, f + g,X) ≤ wr(δ, f,X) + wr(δ, g,X), δ ∈ (−1, 1);

(iv) wr(δ, cf,X) = |c|wr(δ, f,X), c ∈ R, δ ∈ (−1, 1);

(v) Se s é um inteiro positivo, então

wr+s(δ, f,X) ≤ 2swr(δ, f,X) ≤ 2r+s‖f‖X , δ ∈ (−1, 1).

Demonstração: A propriedade (i) segue da Proposição 2.2.6-(i) enquanto que o item (ii)

é óbvio. A propriedade (iii) segue da linearidade dos operadores ∆tj e da desigualdade

triangular. A mesma linearidade justifica o item (iv). Para provar o item (v) sejam s um

inteiro positivo e t1, t2, . . . , tr+s ∈ [δ, 1). Pela Proposição 2.2.8-(i), temos que

‖∆t1 ◦∆t2 ◦ · · · ◦∆tr+s(f)‖X ≤ 2‖∆t2 ◦∆t3 ◦ · · · ◦∆tr+s(f)‖X

...

≤ 2s‖∆ts+1 ◦∆ts+2 ◦ · · · ◦∆tr+s(f)‖X

≤ 2swr(δ, f,X).

Logo, wr+s(δ, f,X) ≤ 2swr(δ, f,X). Além disso,

‖∆t1 ◦∆t2 ◦ · · · ◦∆tr+s(f)‖X ≤ 2‖∆t2 ◦∆t3 ◦ · · · ◦∆tr+s(f)‖X

...

≤ 2s‖∆ts+1 ◦∆ts+2 ◦ · · · ◦∆tr+s(f)‖X

...

≤ 2r+s‖f‖X ,

e, conseqüentemente, wr+s(δ, f,X) ≤ 2r+s‖f‖X . �

Notemos que os itens (iii) e (iv) do resultado acima mostram que o módulo wr é uma

seminorma em X.

A próxima proposição apresenta uma estimativa para o módulo de suavidade em função

da derivada forte de Laplace-Beltrami, quando a função reside no espaço W rX .


Proposição 2.8.3. Sejam r um inteiro positivo e δ ∈ (−1, 1). Então existe uma constante

M(r) tal que

wr(δ, f,X) ≤M(r)(1− δ)r‖Dr(f)‖X , f ∈ W rX .

Demonstração: Seja f ∈ W rX e consideremos o caso r = 1. Usando o Teorema 2.7.10 e a

Proposição 2.7.4-(ii), temos que

‖∆t(f)‖X = m‖Lt‖1,m‖D1(A1t (f))‖X = m‖Lt‖1,m‖A1

t (D1(f))‖X , 0 ≤ δ ≤ t < 1.

Pelo Lema 2.5.4 e pela Proposição 1.2.5-(i), vem que

‖∆t(f)‖X ≤ m(1− t)‖A1t (D

1(f))‖X ≤ m(1− t)‖Gt‖1,m‖D1(f)‖X .

Como ‖Gt‖1,m = 1 (veja prova do Lema 2.5.3) concluímos que

‖∆t(f)‖X ≤ m(1− t)‖D1(f)‖X ≤ m(1− δ)‖D1(f)‖X .

Se −1 < δ ≤ 0 e δ ≤ t < 1, note inicialmente que o Teorema 2.4.5 e a definição de ∆t,

implicam que

‖∆t(f)‖X = ‖∆t(J1(D1(f))) + ∆t(Y0(f))‖X = ‖∆t(J

1(D1(f)))‖X .

Segue, da Proposição 2.2.8 e da definição de J1, que

‖∆t(f)‖X ≤ 2‖J1(D1(f))‖X = 2‖L ∗D1(f)‖X .

Finalmente, pela Proposição 1.2.5,

‖∆t(f)‖X ≤ 2‖L‖1,m‖D1(f)‖X ≤ 2‖L‖1,m(1− δ)‖D1(f)‖X .

Tomando-se M := max{m, 2‖L‖1,m} segue que

‖∆t(f)‖X ≤M(1− δ)‖D1(f)‖X , δ ∈ (−1, 1), δ ≤ t < 1.

Logo,

w1(δ, f,X) ≤M(1− δ)‖D1(f)‖X .

Se −1 < δ ≤ tj < 1, j = 1, 2, . . . , r, então usando o que foi feito acima e o Corolário 2.3.11,

temos que

‖∆t1 ◦∆t2 ◦ · · · ◦∆tr(f)‖X ≤ M(1− δ)‖D1(∆t2 ◦∆t2 ◦ · · · ◦∆tr(f))‖X

= M(1− δ)‖∆t2 ◦∆t2 ◦ · · · ◦∆tr(D1(f))‖X

...

≤ M r(1− δ)r‖Dr(f)‖X .


Definindo-se M(r) := M r segue que

wr(δ, f,X) ≤M(r)(1− δ)r‖Dr(f)‖X ,

o que conclui a prova. �

A propriedade abaixo não é utilizada no restante do trabalho, mas com o intuito de deixar

o trabalho mais completo optamos por colocá-la. Ela compara o r-ésimo módulo de suavidade

esférico com o s-ésimo módulo de suavidade esférico quando s < r.

Proposição 2.8.4. Sejam δ ∈ (−1, 1) e r, s inteiros positivos tais que s < r. Então existe

uma constante M(q) tal que

wr(δ, f,X) ≤M(r − s)(1− δ)r−sws(δ,Dr−s(f), X), f ∈ W r−s

X .

Demonstração: Sejam q = r − s e f ∈ W qX . Se −1 < δ ≤ tj < 1, j = 1, 2, . . . , r, usamos o

que foi feito na primeira parte da demonstração da proposição anterior e o Corolário 2.3.11

para obter

‖∆t1 ◦∆t2 ◦ · · · ◦∆tr(f)‖X ≤ M(1− δ)‖D1(∆t2 ◦∆t3 ◦ · · · ◦∆tr(f)‖X

= M(1− δ)‖∆t2 ◦∆t3 ◦ · · · ◦∆tr(D1(f))‖X

...

≤ M q(1− δ)q‖∆tq+1 ◦∆tq+2 ◦ · · · ◦∆tr(Dq(f))‖X

≤ M q(1− δ)qwr−q(δ,Dq(f), X),

onde M é uma constante positiva. Logo,

wr(δ, f,X) ≤M(q)(1− δ)qwr−q(δ,Dq(f), X),

onde M(q) := M q, e a proposição está provada. �

A constante M(r) da Proposição 2.8.3 pode ser melhorada, se δ estiver suficientemente

próximo de 1. A veracidade deste fato pode ser constatada na proposição abaixo.

Proposição 2.8.5. Se r é um inteiro positivo, existe δ ∈ (−1, 1) tal que se δ ∈ [δ, 1), então

wr(δ, f,X) ≤ 2r(1− δ)r‖Dr(f)‖X , f ∈ W rX .

Demonstração: Seja f ∈ W 1X . Obviamente

‖∆t(f)‖X ≤ (1− t)

∥∥∥∥∆t(f)

1− t−D1(f) +D1(f)

∥∥∥∥X

≤ (1− t)

(∥∥∥∥∆t(f)

1− t−D1(f)

∥∥∥∥X

+ ‖D1(f)‖X

), t ∈ (−1, 1).


Da definição de D1(f), existe 0 < δ′ < 2 tal que, se 1− t < δ′, então∥∥∥∥∆t(f)

1− t−D1(f)

∥∥∥∥X

< ‖D1(f)‖X .

Logo, tomando-se δ > 1− δ′, segue que

w1(δ, f,X) ≤ supδ≤t<1

(1− t)

(∥∥∥∥∆t(f)

1− t−D1(f)

∥∥∥∥X

+ ‖D1(f)‖X

)= (1− δ) sup

δ≤t<1

∥∥∥∥∆t(f)

1− t−D1(f)

∥∥∥∥X

+ (1− δ)‖D1(f)‖X

≤ 2(1− δ)‖D1(f)‖X .

Escrevendo 1 − δ′ = δ, o resultado segue neste caso. No caso geral utilizamos um raciocínio

análogo àquele usado na prova da Proposição 2.8.3. �

A seguir, introduziremos o K-funcional de uma função de X relativo ao espaço W rX . Assim

como o módulo de suavidade esférico, o K-funcional fornece informações sobre a suavidade

da função dada.

Definição 2.8.6. Sejam r um inteiro positivo e t > 0. O K-funcional de f ∈ X relativo a

W rX é o número real não negativo dado por

K(t, f,X,W rX) := inf{‖f − g‖X + t‖Dr(g)‖X : g ∈ W r

X}.

Proposição 2.8.7. Sejam r e s inteiros positivos, f ∈ X e t > 0. Então

K(s t, f,X,W rX) ≤ max{1, t} K(s, f,X,W r

X) ≤ (1 + t) K(s, f,X,W rX).

Demonstração: Suponhamos primeiramente que 0 < t ≤ 1. Então max{1, t} = 1 e ts ≤ s.

Daí, segue que

‖f − g‖X + ts‖Dr(g)‖X ≤ ‖f − g‖X + s‖Dr(g)‖X , g ∈ W rX .

Logo,

inf{‖f − g‖X + ts‖Dr(g)‖X : g ∈ W rX} ≤ inf{‖f − g‖X + s‖Dr(g)‖X : g ∈ W r

X},

e, conseqüentemente,


X) ≤ (1 + t) K(s, f,X,W rX).

Suponhamos agora que t > 1. Então max{1, t} = t e

‖f − g‖X + ts‖Dr(g)‖X ≤ t (‖f − g‖X + s‖Dr(g)‖X) , g ∈ W rX .

Logo,

inf{‖f − g‖X + ts‖Dr(g)‖X : g ∈ W rX} ≤ t inf{‖f − g‖X + s‖Dr(g)‖X : g ∈ W r

X},

e, portanto,


X) ≤ (1 + t) K(s, f,X,W rX).

Isso conclui a prova da proposição. �


2.9 Equivalência entre o módulo de suavidade e o K-funcional

Nesta seção provaremos a equivalência entre o K-funcional e o módulo de suavidade esférico.

A equivalência produz uma propriedade adicional do módulo de suavidade esférico, a ser usada

na análise da ordem de convergência dos processos de aproximação discutidos no trabalho.

A equivalência propriamente dita é descrita no teorema a seguir.

Teorema 2.9.1. Sejam r um inteiro positivo e δ ∈ (−1, 1). Então existem constantes mr e

Mr tais que

mrwr(δ, f,X) ≤ K((1− δ)r, f,X,W rX) ≤Mrwr(δ, f,X), f ∈ X.

Demonstração: Seja f ∈ X. Usando a Proposição 2.8.2-(iii),(v) e a Proposição 2.8.3, vemos

que

wr(δ, f,X) ≤ wr(δ, f − g,X) + wr(δ, g,X)

≤ 2r‖f − g‖X +M(r)(1− δ)r‖Dr(g)‖X , g ∈ W rX ,

onde M(r) é a constante definida na Proposição 2.8.3. Definindo-se m−1r := max{2r,M(r)},

vem que

wr(δ, f,X) ≤ m−1r (‖f − g‖X + (1− δ)r‖Dr(g)‖X), g ∈ W r

X .

Logo,

mrwr(δ, f,X) ≤ K((1− δ)r, f,X,W rX).

Para obter a outra desigualdade do teorema, vamos estimar K((1 − δ)r, f,X,W rX) usando

uma função particular de W rX . Para tanto, definamos (veja Definição 2.6.1)

Brδ (f) :=

r∑j=1

(−1)j+1

(r

j

)Arj

δ (f).

Então, Brδ (f) = f − (I − Ar

δ)r(f), onde I é o operador identidade. Como Ar

δ(f) ∈ W rX segue

que Brδ (f) ∈ W r

X . Das Proposições 2.7.4 e 1.2.5 vem que

‖Dr(Arjδ (f))‖X = ‖Arj

δ (Dr(f))‖X

≤ ‖Gδ‖(j−1)r1,m ‖Dr(Ar

δ(f))‖X

= ‖Dr(Arδ(f))‖X , j = 1, 2, . . . , r,

2.9. Equivalência entre o módulo de suavidade e o K-funcional 57

enquanto que a linearidade de Dr implica que

‖Dr(Brδ (f))‖X =

∥∥∥∥∥r∑

j=1

(−1)j+1

(r

j

)Dr(Arj

δ (f))

∥∥∥∥∥X

≤r∑

j=1

(r

j

)‖Dr(Arj

δ (f))‖X

≤ ‖Dr(Arδ(f))‖X

r∑j=1

(r

j

)= (2r − 1)‖Dr(Ar

δ(f))‖X .

Logo, usando o Teorema 2.7.10-(ii) e o Lema 2.5.5 temos que

‖Dr(Brδ (f))‖X ≤ (2r − 1)m−r‖Lh‖−r

1,m‖∆rδ(f)‖X

≤ (2r − 1)(1− δ)−r‖∆rδ(f)‖X .

Passando à estimativa propriamente dita, notemos inicialmente que o Lema 2.6.2 implica que

‖f −B1δ (f)‖X =

∥∥(I − A1δ)(f)

∥∥X≤ sup{‖∆t(f)‖X : t ∈ [δ, 1)} = w1(δ, f,X).

Se r = 2, então usando novamente o Lema 2.6.2, deduzimos

‖f −B2δ (f)‖X =

∥∥(I − A2δ)

2(f)∥∥

X

=∥∥(I − A2

δ) ◦ (I − A2δ)(f)

∥∥X

≤ 2 sup{∥∥∆t2 ◦ (I − A2

δ)(f)∥∥

X: t2 ∈ [δ, 1)}.

Como ∆t2 e (I − A2δ) comutam (Lema 2.6.4), temos que

‖f −B2δ (f)‖X ≤ 2 sup{

∥∥(I − A2δ) ◦∆t2(f)

∥∥X

: t2 ∈ [δ, 1)}

≤ 4 sup{‖∆t1 ◦∆t2(f)‖X : t1, t2 ∈ [δ, 1)}

= 4w2(δ, f,X).

Em geral, deduzimos que

‖f −Brδ (f)‖X ≤ rrwr(δ, f,X).

Assim,

K((1− δ)r, f,X,W rX) ≤ ‖f −Br

δ (f)‖X + (1− δ)r‖Dr(Brδ (f))‖X

≤ rrwr(δ, f,X) + (2r − 1)‖∆rδ(f)‖X

≤ rrwr(δ, f,X) + (2r − 1)wr(δ, f,X)

≤ Mrwr(δ, f,X),

onde Mr := max{rr, 2r − 1}. Isso completa a prova do teorema. �


Corolário 2.9.2. Sejam f ∈ X e r um inteiro positivo. Então limt→0K(t, f,X,W rX) = 0.

Demonstração: Segue diretamente do teorema anterior e da Proposição 2.8.2-(i). �

Finalizamos a seção apresentando um corolário de Teorema 2.9.1 que será usado no Capí-

tulo 4.

Corolário 2.9.3. Sejam r um inteiro positivo e δ1, δ2 ∈ (−1, 1). Então existe uma constante

C(r) tal que

wr(δ1, f,X) ≤ C(r)

[1 +

(1− δ11− δ2

)r]wr(δ2, f,X), f ∈ X.

Demonstração: Seja f ∈ X. Usando a primeira desigualdade do Teorema 2.9.1 e a Propo-

sição 2.8.7, segue que

wr(δ1, f,X) ≤ 1

mr

K((1− δ1)r, f,X,W r

X)

=1

mr

K

((1− δ11− δ2

)r

(1− δ2)r, f,X,W r

X

)≤ 1

mr

max

{1,

(1− δ11− δ2

)r}K ((1− δ2)

r, f,X,W rX) ,

enquanto que a segunda desigualdade do teorema anterior nos leva a

wr(δ1, f,X) ≤ Mr

mr

max

{1,

(1− δ11− δ2

)r}wr(δ2, f,X)

≤ C(r)

[1 +

(1− δ11− δ2

)r]wr(δ2, f,X),

onde C(r) := Mr/mr. �

Capítulo3

Aproximação por somas com pesos deharmônicos esféricos

Neste capítulo, detalharemos aquilo que chamamos de aproximação por somas com pesos

de harmônicos esféricos. Introduziremos os operadores de aproximação relativos aos proces-

sos em questão e discutiremos várias propriedades desses operadores, incluindo o cálculo de

suas normas em alguns casos. Concluiremos o capítulo, analisando as propriedades aproxi-

matórias propriamente ditas, principalmente aquelas referentes à obtenção de aproximações

da identidade em X a partir dos operadores.

3.1 O operador Tn

Fixadas bases para os espaços Hk(Sm) como no primeiro capítulo, investigaremos processos

aproximatórios definidos por operadores Tn : X → X, n = 0, 1, . . ., da forma

Tn(f) =n∑

k=0

N(m,k)∑l=1

akl(n)f(k, l)Ykl, f ∈ X, (3.1)

onde akl(n) ∈ R, n, k = 0, 1, . . ., l = 1, 2, . . . , N(m, k). Notamos que cada Tn é uma expansão

de Fourier truncada que inclui harmônicos esféricos até grau n. Os pesos a que se refere o

título do trabalho e do capítulo são, então, os números reais akl(n). A ação de Tn(f) em um

ponto x ∈ Sm será denotada por Tnf(x) := (Tn(f))(x) em várias passagens do texto.

A ortonormalidade dos harmônicos esféricos implica imediatamente que

Tn(Yµν) =

{aµν(n)Yµν , µ ≤ n

0, µ > n,(3.2)

enquanto que a linearidade de Tn revela que se q =∑M

µ=0

∑N(m,µ)ν=1 rµνYµν é um polinômio

arbitrário de grau M em Pn(Sm), então

Tn(q) =M∑

k=0

N(m,k)∑l=1

akl(n)rklYkl, n ≥M. (3.3)

59

60 Capítulo 3. Aproximação por somas com pesos de harmônicos esféricos

Utilizando-se a definição do coeficiente de Fourier na definição de Tn obtemos:

Tnf(x) =1

σm

n∑k=0

N(m,k)∑l=1

akl(n)

(∫Sm

f(y)Ykl(y) dσm(y)

)Ykl(x)

=1

σm

∫Sm

f(y)n∑

k=0

N(m,k)∑l=1

akl(n)Ykl(x)Ykl(y) dσm(y)

Logo, provamos o seguinte teorema.

Teorema 3.1.1. Se f ∈ X, então

Tnf(x) =1

σm

∫Sm

Kn(x, y)f(y) dσm(y), x ∈ Sm,

onde

Kn(x, y) =n∑

k=0

N(m,k)∑l=1

akl(n)Ykl(x)Ykl(y), x, y ∈ Sm.

No restante desta seção utilizaremos a representação descrita acima para estabelecer uma

conexão entre Tn e o conceito de convolução esférica. Isto de certa forma é uma das facetas

que motivaram o estudo de aproximações usando a seqüência {Tn}n∈N.

Núcleos que dependem do produto interno entre as variáveis, isto é, núcleos da forma

K(x, y) = L(〈x, y〉), x, y ∈ Sm, para alguma função L, são chamados núcleos bi-zonais. As

proposições abaixo analisam a possibilidade de Tn ser um operador de convolução.

Proposição 3.1.2. O núcleo Kn é bi-zonal se, e somente se, ak1(n) = ak2(n) = · · · =

akN(m,k)(n), k ∈ N.

Demonstração: Se ak1(n) = ak2(n) = · · · = akN(m,k)(n), k ∈ N, podemos usar o Teorema

da Adição para obter

Kn(x, y) =n∑

k=0

ak1(n)

N(m,k)∑l=1

Ykl(x)Ykl(y)

=n∑

k=0

ak1(n)N(m, k)Pmk (〈x, y〉) := Ln(〈x, y〉), x, y ∈ Sm.

Logo, Kn é bi-zonal. Reciprocamente, se Kn(x, y) = Ln(〈x, y〉) para algum Ln, então a Fór-

mula de Funk-Hecke nos dá∫Sm

Kn(x, y)Ykl(y) dσm(y) =

∫Sm

Ln(〈x, y〉)Ykl(y) dσm(y)

= amk (Ln)Ykl(x), x ∈ Sm,

enquanto que o teorema anterior e a Equação (3.2) implicam que∫Sm

Kn(x, y)Ykl(y) dσm(y) = σmakl(n)Ykl(x), x ∈ Sm, k ≤ n.

3.2. A norma de Tn 61

Logo,

amk (Ln)Ykl(x) = σmakl(n)Ykl(x), x ∈ Sm.

Como Ykl 6≡ 0, segue que akl(n) = amk (Ln)/σm, l = 1, 2, . . . , N(m, k). �

Proposição 3.1.3. O operador Tn é um operador de convolução se, e somente se, o núcleo

Kn é bi-zonal.

Demonstração: Se Kn(x, y) = Ln(〈x, y〉), x, y ∈ Sm, para alguma função Ln, então a

representação do Teorema 3.1.1 implica que Tn(f) = Ln ∗ f , f ∈ X. Por outro lado, se

Tn(f) = Ln ∗ f , f ∈ X, para alguma função Ln, então∫Sm

[Kn(x, y)− Ln(〈x, y〉)] f(y) dσm(y) = 0, x ∈ Sm, f ∈ X.

Em particular, se k ∈ N e l = 1, 2, . . . , N(m, k), então∫Sm

[Kn(x, y)− Ln(〈x, y〉)]Ykl(y) dσm(y) = 0, x ∈ Sm.

Como {Ykl : k ∈ N, l = 1, 2, . . . , N(m, k)} é um conjunto ortonormal completo de L2(Sm),

segue que

Kn(x, y)− Ln(〈x, y〉) = 0 x, y ∈ Sm, q.s..

Como Kn é polinomial, segue que Kn(x, y) = Ln(〈x, y〉), x, y ∈ Sm. �

3.2 A norma de Tn

Nesta seção, calcularemos a norma do operador Tn. A norma desse operador será denotada

por ‖Tn‖X apesar dessa notação ser semelhante àquela adotada no Capítulo 1.

Se K : Sm × Sm → C é um núcleo qualquer, escreveremos Kx e Ky para denotar as

funções y ∈ Sm 7→ K(x, y) e x ∈ Sm 7→ K(x, y), respectivamente. Observamos que se K é

polinomial, então ambas as funções Kx e Ky são elementos de L1(Sm). Em um passo da prova

do teorema abaixo usamos o espaço L∞(Sm) como definido em ([10], p. 184).

Teorema 3.2.1. Vale a seguinte desigualdade: ‖Tn‖X ≤ sup{‖Kxn‖1 : x ∈ Sm}.

Demonstração: Vejamos inicialmente o caso em que X = C(Sm). Se f ∈ C(Sm), a repre-

sentação dada no Teorema 3.1.1 implica que

|Tnf(x)| ≤ 1

σm

∫Sm

|Kn(x, y)f(y)| dσm(y) ≤ ‖Kxn‖1‖f‖∞, x ∈ Sm.

Logo,

‖Tn(f)‖∞ ≤ ‖f‖∞ sup{‖Kxn‖1 : x ∈ Sm}, f ∈ C(Sm),


e, conseqüentemente,

‖Tn‖C(Sm) ≤ sup{‖Kxn‖1 : x ∈ Sm}.

Para os demais casos, sejam f ∈ Lp(Sm) e p′ o expoente conjugado de p. Então

‖Tn(f)‖pp =

1

σm

∫Sm

|Tnf(x)|p dσm(x)

=1

σm

∫Sm

∣∣∣∣ 1

σm

∫Sm

Kn(x, y)f(y) dσm(y)

∣∣∣∣p dσm(x)

≤ 1

σm

∫Sm

[1

σm

∫Sm

|Kn(x, y)f(y)| dσm(y)

]p

dσm(x).

Como (Kxn)1/pf ∈ Lp(Sm), x ∈ Sm e (Kx

n)1/p′ ∈ Lp′(Sm), x ∈ Sm, a desigualdade de Hölder

implica que[1

σm

∫Sm

|Kn(x, y)f(y)| dσm(y)

]p

≤ ‖(Kxn)1/p′‖p

p′ ‖(Kxn)1/pf‖p

p

= ‖Kxn‖

p/p′

1

1

σm

∫Sm

|Kn(x, y)||f(y)|p dσm(y).

Como a função x ∈ Sm 7→ ‖Kxn‖1 ∈ R é contínua e Sm é compacta, existe um ponto x0 ∈ Sm

tal que

sup{‖Kxn‖1 : x ∈ Sm} = ‖Kx0

n ‖1.

Logo, usando o Teorema de Fubini ([33], p. 384), segue que

‖Tnf‖pp ≤

1

σm

∫Sm

‖Kxn‖

p/p′

1

1

σm

∫Sm

|Kn(x, y)||f(y)|p dσm(y) dσm(x)

≤ ‖Kx0n ‖

p/p′

1

1

σm

∫Sm

1

σm

∫Sm

|Kn(x, y)||f(y)|p dσm(y) dσm(x)

= ‖Kx0n ‖

p/p′

1

1

σm

∫Sm

(1

σm

∫Sm

|Kn(y, x)| dσm(x)

)|f(y)|p dσm(y),

ou seja,

‖Tnf‖pp ≤ ‖Kx0

n ‖p/p′

1

1

σm

∫Sm

‖Kyn‖1|f(y)|p dσm(y)

≤ ‖Kx0n ‖

p/p′

1 ‖Kx0n ‖1 ‖f‖p

p

= ‖Kx0n ‖1 ‖f‖p

p.

Segue que

‖Tnf‖p ≤ sup{‖Kxn‖1 : x ∈ Sm}‖f‖p,

e, portanto,

‖Tn‖Lp(Sm) ≤ sup{‖Kxn‖1 : x ∈ Sm}.

Isso conclui a prova do teorema. �

3.2. A norma de Tn 63

Na prova do próximo resultado, utilizaremos as seguintes fórmulas para calcular a norma

de um elemento de C(Sm) ou L1(Sm). Se f ∈ C(Sm), então

‖f‖∞ = sup

{∣∣∣∣ 1

σm

∫Sm

f g dσm

∣∣∣∣ : ‖g‖1 = 1

}.

Se f ∈ L1(Sm), então

‖f‖1 = sup

{∣∣∣∣ 1

σm

∫Sm

f g dσm

∣∣∣∣ : ‖g‖∞ = 1

}.

A primeira fórmula pode ser obtida do Teorema de Representação de Riesz para C(Sm)

([10], p. 216). Na verdade, se a função f é não-negativa, então ela segue do Teorema 7.2 de

([10] p. 205). A outra fórmula pode ser obtida da Desigualdade Inversa de Hölder ([10], p.

181).

Teorema 3.2.2. Se X = C(Sm) ou X = L1(Sm), então

‖Tn‖X = sup{‖Kxn‖1 : x ∈ Sm}.

Demonstração: Em vista do teorema anterior basta provar que

‖Tn‖X ≥ sup{‖Kxn‖1 : x ∈ Sm}.

Por um lado temos que

‖Kxn‖1 = sup

{∣∣∣∣ 1

σm

∫Sm

Kn(x, y) f(y) dσm(y)

∣∣∣∣ : ‖f‖∞ = 1

}= sup

{∣∣∣∣ 1

σm

∫Sm

Kn(x, y)f(y) dσm(y)

∣∣∣∣ : ‖f‖∞ = 1

}= sup {|Tnf(x)| : ‖f‖∞ = 1}

≤ sup {‖Tn(f)‖∞ : ‖f‖∞ = 1}

= ‖Tn‖C(Sm), x ∈ Sm.

Logo,

sup{‖Kxn‖1 : x ∈ Sm} ≤ ‖Tn‖C(Sm).

Por outro lado, temos que∫Sm

Tnf(y) g(y)dσm(y) =

∫Sm

n∑k=0

N(m,k)∑l=1

akl(n)f(k, l)Ykl(y) g(y) dσm(y)

=

∫Sm

n∑k=0

N(m,k)∑l=1

akl(n) g(k, l)Ykl(y)

f(y) dσm(y)

=

∫Sm

Tng(y) f(y) dσm(y).


Logo,

‖Tn‖L1(Sm) = sup {‖Tnf‖1 : ‖f‖1 = 1}

= sup‖f‖1=1

(sup

{∣∣∣∣ 1

σm

∫Sm

Tnf(y) g(y) dσm(y)

∣∣∣∣ : ‖g‖∞ = 1

})= sup

‖f‖1=1

(sup

{∣∣∣∣ 1

σm

∫Sm

Tng(y) f(y) dσm(y)

∣∣∣∣ : ‖g‖∞ = 1

})= sup

‖g‖∞=1

(sup

{∣∣∣∣ 1

σm

∫Sm

Tng(y) f(y) dσm(y)

∣∣∣∣ : ‖f‖1 = 1

})= sup{‖Tn(g)‖∞ : ‖g‖∞ = 1}

= ‖Tn‖C(Sm).

O teorema segue. �

Após algumas tentativas não conseguimos obter uma versão do teorema acima no caso em

que X = Lp(Sm), p > 1. Entretanto, acreditamos na existência de tal versão.

3.3 Aproximações da identidade

Nos resultados a seguir, investigaremos a seguinte propriedade de convergência:

limn→∞

‖Tn(f)− f‖X = 0, f ∈ X.

Lembramos que se tal fenômeno ocorre, a seqüência {Tn}n∈N é denominada uma aproximação

da identidade em X. Entretanto oservamos que esta mesma terminologia é também usada em

situações mais refinadas. Alguns exemplos de aproximações da identidade em X, incluindo

exemplos envolvendo convolução esférica e translação esférica, podem ser encontrados em

[19]. Como os operadores de convolução esférica pertencem à classe de operadores que esta-

mos trabalhando, muitos resultados dessa seção podem ser considerados como generalizações

daqueles correspondentes à aproximação por convolução esférica.

O teorema abaixo apresenta duas condições necessárias para que a seqüencia {Tn}n∈N seja

uma aproximação da identidade em X.

Teorema 3.3.1. Se {Tn}n∈N é uma aproximação da identidade em X, então

(i) Existe uma constante C > 0 tal que ‖Tn(f)‖X ≤ C‖f‖X , n ∈ N, f ∈ X;

(ii) limn→∞ akl(n) = 1, k ∈ N, l = 1, 2, . . . , N(m, k).

Demonstração: Suponha que limn→∞ ‖Tn(f) − f‖X = 0, f ∈ X. Então, fixada f ∈ X,

a seqüência {‖Tn(f)‖X}n∈N é limitada. Pelo Princípio da Limitação Uniforme ([33],p. 217),

existe uma constante C ≥ 0 tal que

‖Tn(f)‖X ≤ C‖f‖X , f ∈ X, n ∈ N.

3.3. Aproximações da identidade 65

Note que C > 0, pois caso contrário Tn(f) = 0, f ∈ X, n ∈ N, o que implicaria

‖f‖X = limn→∞

‖Tn(f)− f‖X = 0, f ∈ X,

uma óbvia contradição. Isso justifica o item (i). Para provar o item (ii), sejam k ∈ N e

l ∈ {1, 2, . . . , N(m, k)}. Utilizando a fórmula (3.2), vemos que

limn→∞

TnYkl(y) = limn→∞

akl(n)Ykl(y) = Ykl(y) limn→∞

akl(n), y ∈ Sm. (3.4)

Se X = C(Sm), nossa hipótese inicial implica que

limn→∞

TnYkl(y) = Ykl(y), y ∈ Sm. (3.5)

Como Ykl 6≡ 0, podemos escolher y0 ∈ Sm tal que Ykl(y0) 6= 0. Portanto, de (3.4) e (3.5)

obtemos

Ykl(y0) = Ykl(y0) limn→∞

akl(n),

ou seja, limn→∞ akl(n) = 1. Se X = Lp(Sm), 1 ≤ p <∞, deduzimos analogamente que

limn→∞

TnYkl(y) = Ykl(y), y ∈ Sm \ Λ,

onde σm(Λ) = 0. Logo, usando (3.4), vem que

Ykl(y) = Ykl(y) limn→∞

akl(n), y ∈ Sm \ Λ. (3.6)

Seja y1 ∈ Sm \ Λ tal que Ykl(y1) 6= 0. Note que tal y1 existe, pois caso contrário, Ykl ≡ 0.

Procedendo-se como no caso anterior o resultado segue. �

Vejamos agora possíveis recíprocas do teorema anterior.

Teorema 3.3.2. Assuma que limn→∞ akl(n) = 1, k ∈ N, l = 1, 2 . . . , N(m, k). Seja f ∈C(Sm) satisfazendo a seguinte condição: se q ∈ P(Sm), existe C := Cf−q ≥ 0 tal que

‖Tn(f − q)‖∞ ≤ Cf−q‖f − q‖∞, n ∈ N. Então limn→∞ ‖Tn(f)− f‖∞ = 0.

Demonstração: Seja ε > 0. O Teorema da Aproximação de Weierstrass ([33], p. 96) garante

a existência de um polinômio q tal que ‖f − q‖∞ < ε. Escrevevendo q na forma

q =M∑

k=0

N(m,k)∑l=1

rklYkl, rkl ∈ C, k = 0, 1, . . . ,M, l = 1, 2, . . . , N(m, k),


e usando (3.3), obtemos

|Tnq(y)− q(y)| =

∣∣∣∣∣∣M∑

k=0

N(m,k)∑l=1

(akl(n)− 1)rklYkl(y)

∣∣∣∣∣∣≤

M∑k=0

N(m,k)∑l=1

|akl(n)− 1||rkl||Ykl(y)|

≤M∑

k=0

N(m,k)∑l=1

|akl(n)− 1||rkl|‖Ykl‖∞

≤ B1B2

M∑k=0

N(m,k)∑l=1

|akl(n)− 1|, y ∈ Sm, n ≥M,

onde

B1 := max{|rkl| : k = 0, 1, . . . ,M, l = 1, 2, . . . , N(m, k)}

e

B2 := max{‖Ykl‖∞ : k = 0, 1, . . . ,M, l = 1, 2, . . . , N(m, k)}.

Conseqüentemente,

‖Tn(q)− q‖∞ ≤ B1B2

M∑k=0

N(m,k)∑l=1

|akl(n)− 1|, n ≥M.

Pela hipótese sobre as seqüências {akl(n)}n∈N, segue que

limn→∞

‖Tn(q)− q‖∞ = 0.

Logo, existe N(ε) ∈ N tal que

‖Tn(q)− q‖∞ < ε, n ≥ N(ε).

Assim, temos que

‖Tn(f)− f‖∞ ≤ ‖Tn(f)− Tn(q)‖∞ + ‖Tnq − q‖∞ + ‖q − f‖∞≤ ‖Tn(f − q)‖∞ + 2ε

≤ Cf−q‖f − q‖∞ + 2ε

≤ (Cf−q + 2)ε, n ≥ N(ε),


Teorema 3.3.3. Assuma que limn→∞ akl(n) = 1, k ∈ N, l = 1, 2, . . . , N(m, k). Seja f ∈Lp(Sm) satisfazendo a seguinte condição: se q ∈ P(Sm), existe uma constante C := Cf−q ≥ 0

tal que ‖Tn(f − q)‖p ≤ Cf−q‖f − q‖p, n ∈ N. Então limn→∞ ‖Tn(f)− f‖p = 0.


Demonstração: Seja ε > 0. Como C(Sm) é denso em Lp(Sm), existe uma função g ∈ C(Sm)

tal que ‖f − g‖p < ε/2. Além disso, pelo Teorema da Aproximação de Weierstrass, existe um

polinômio q tal que ‖q − g‖∞ < ε/2. Logo,

‖f − q‖p ≤ ‖f − g‖p + ‖g − q‖p ≤ε

2+ ‖g − q‖∞ ≤ ε

2+ε

2= ε.

Como na prova do teorema anterior, limn→∞ ‖Tn(q)− q‖∞ = 0. A desigualdade

‖Tn(q)− q‖p ≤ ‖Tn(q)− q‖∞,

mostra que limn→∞ ‖Tn(q)− q‖p = 0. Portanto, existe N(ε) ∈ N tal que

‖Tn(q)− q‖p < ε, n ≥ N(ε).

Assim,

‖Tn(f)− f‖p ≤ ‖Tn(f)− Tn(q)‖p + ‖Tn(q)− q‖p + ‖q − f‖p

≤ ‖Tn(f − q)‖p + 2ε

≤ Cf−q‖f − q‖p + 2ε

≤ (Cf−q + 2)ε, n ≥ N(ε),


O resultado abaixo é conseqüência direta dos três teoremas acima.

Corolário 3.3.4. A seqüência {Tn}n∈N é uma aproximação da identidade em X se, e somente

se, valem as seguintes condições:

(i) Para cada f ∈ X, existe uma constante Cf ≥ 0 tal que ‖Tn(f)‖X ≤ Cf‖f‖X , n ∈ N;


A seguir, investigaremos a possibilidade de trocar a hipótese (i) no corolário anterior por

outra envolvendo o núcleo Kn. A suspeita de que tal possibilidade viesse a ocorrer partiu da

representação deduzida no Teorema 3.1.1.

Teorema 3.3.5. Se limn→∞ akl(n) = 1, k ∈ N, l = 1, 2, . . . , N(m, k) e

supn∈N

(sup {‖Kxn‖1 : x ∈ Sm}) <∞,

então {Tn}n∈N é uma aproximação da identidade em X.

Demonstração: Se existir uma constante positiva C, que não depende de n, tal que

sup{‖Kxn‖1 : x ∈ Sm} ≤ C, n ∈ N,


então o Teorema 3.2.1 implica que ‖Tn‖X ≤ C, n ∈ N. Daí,

‖Tn(f)‖X

‖f‖X

≤ supf∈X

‖Tn(f)‖X

‖f‖X

= ‖Tn‖X ≤ C, n ∈ N, f ∈ X \ {0},

e, por conseguinte,

‖Tn(f)‖X ≤ C‖f‖X , n ∈ N, f ∈ X.

Assim, o teorema segue diretamente do corolário anterior. �

A recíproca do teorema acima vale em pelo menos dois casos.

Teorema 3.3.6. Assuma que X = C(Sm) ou L1(Sm). Então {Tn}n∈N é uma aproximação

da identidade em X se, e somente se, valem as seguintes condições:

(i) supn∈N(sup{‖Kxn‖1 : x ∈ Sm}) <∞;


Demonstração: Uma implicação é conseqüência do teorema anterior. Para a outra, assuma

que {Tn}n∈N é uma aproximação da identidade em X. A condição (ii) vale pelo Teorema

3.3.1. Seja C a constante dada pelo Teorema 3.3.1-(i). Então

‖Tn‖X = supf∈X\{0}

‖Tn(f)‖X

‖f‖X

≤ C, n ∈ N.

Como o Teorema 3.2.2 é aplicável,

sup{‖Kxn‖1 : x ∈ Sm} = ‖Tn‖X ≤ C, n ∈ N.

Portanto,

supn∈N

(sup{‖Kxn‖1 : x ∈ Sm}) ≤ C

e o teorema segue. �

Se Kn é um núcleo positivo, isto é, Kn(x, y) ≥ 0, x, y ∈ Sm, n ∈ N, então podemos refinar

a afirmação feita no teorema acima.

Teorema 3.3.7. Assuma que X = C(Sm) ou X = L1(Sm) e suponha que Kn(x, y) ≥ 0,

x, y ∈ Sm, n ∈ N. Então {Tn}n∈N é uma aproximação da identidade em X se, e somente se,

limn→∞ akl(n) = 1, k ∈ N, l = 1, 2, . . . , N(m, k).

Demonstração: Uma implicação é conseqüência do Teorema 3.3.5. Para a outra, assumimos

a condição nas seqüências {akl(n)} e procedemos da seguinte forma. A positividade de Kn e


a ortonormalidade dos harmônicos esféricos permite deduzirmos que

‖Kxn‖1 =

1

σm

∫Sm

Kn(x, y) dσm(y)

=1

σm

∫Sm

n∑k=0

N(m,k)∑l=1

akl(n)Ykl(x)Ykl(y) dσm(y)

=n∑

k=0

N(m,k)∑l=1

akl(n)Ykl(x)1

σmY01(x)

∫Sm

Y01(y)Ykl(y) dσm(y)

= a01(n), x ∈ Sm, n ∈ N.

Daí,

supx∈Sm

‖Kxn‖1 = a01(n), n ∈ N.

Como limn→∞ a01(n) = 1, segue que

limn→∞

supx∈Sm

‖Kxn‖1 = lim

n→∞a01(n) = 1.

Portanto, existe uma constante positiva C tal que

supn∈N

(sup{‖Kxn‖1 : x ∈ Sm}) ≤ C.

Logo, o resultado segue do teorema anterior. �

A seguir incluímos conseqüências e reformulações dos resultados acima.

Corolário 3.3.8. Assuma que X = C(Sm) ou L1(Sm) e que limn→∞ akl(n) = 1, k ∈ N,

l = 1, 2, . . . , N(m, k). Então as seguintes afirmações são equivalentes:

(i) limn→∞ ‖Tn(f)− f‖X = 0, f ∈ X;

(ii) Existe uma constante C ≥ 0 tal que ‖Tn(f)‖X ≤ C‖f‖X , f ∈ X, n ∈ N;

(iii) supn∈N(sup{‖Kxn‖1 : x ∈ Sm} <∞.

Corolário 3.3.9. A seqüência {Tn}n∈N é uma aproximação da identidade em C(Sm) se, e

somente se, é uma aproximação da identidade em L1(Sm).

Observação 3.3.10. Os Teoremas 3.3.5 e 3.3.6 implicam que se {Tn}n∈N é uma aproximação

da identidade em C(Sm), então também o é em Lp(Sm), 1 ≤ p <∞. Dessa forma, fica claro

que o contexto mais importante a ser estudado é o caso em que X = C(Sm).

Teorema 3.3.11. Se X = C(Sm) ou L1(Sm) e supn∈N supx∈Sm ‖Kxn‖1 < ∞, então as

seguintes afirmações são equivalentes:

(i) limn→∞ ‖Tn(f)− f‖X = 0, f ∈ X;

(ii) limn→∞ akl(n) = 1, k ∈ N, l = 1, 2, . . . , N(m, k);

(iii) limn→∞ ‖Tn(Y )− Y ‖X = 0, Y ∈ ∪∞k=0Hk(Sm);

(iv) limn→∞ ‖Tn(W )−W‖X = 0, W ∈ ⊕∞k=0Hk(S

m).


Demonstração: Assuma as hipóteses do teorema. Se (i) vale, então (ii) segue diretamente

do Teorema 3.3.1. Se (ii) vale, o Teorema 3.3.5 implica que limn→∞ ‖Tn(f)−f‖X = 0, f ∈ X.

Em particular, limn→∞ ‖Tn(Y )−Y ‖X = 0, Y ∈ ∪∞k=0Hk(Sm), e (iii) segue. Suponha que (iii)

vale e seja W =∑M

j=0 Yj, Yj ∈ Hj(Sm). Da linearidade de Tn segue que

‖Tn(W )−W‖X ≤M∑

j=0

‖Tn(Yj)− Yj‖X .

Portanto, tomando-se o limite na desigualdade acima temos que

limn→∞

‖Tn(W )−W‖X = 0, W ∈ ⊕∞k=0Hk(S

m).

A prova do Teorema 3.3.5 revela que existe C ≥ 0 tal que ‖Tn(f)‖X ≤ C‖f‖X , f ∈ X, n ∈ N.

Sejam f ∈ X e ε > 0. Da fundamentalidade de ∪∞k=0Hk(Sm) em X, existe uma seqüência

{Wn}n∈N de elementos de ⊕∞k=0Hk(S

m) e um índice n0 ∈ N tal que

‖Wn − f‖X <ε

C + 2, n ≥ n0.

Se (iv) vale, limn→∞ ‖Tn(Wn0)−Wn0‖X = 0, e podemos escolher um índice n1 ≥ n0 tal que

‖Tn(Wn0)−Wn0‖X <ε

C + 2, n ≥ n1.

Logo,

‖Tn(f)− f‖X ≤ ‖Tn(f)− Tn(Wn0)‖X + ‖Tn(Wn0)−Wn0‖X + ‖Wn0 − f‖X

≤ ‖Tn(f −Wn0)‖X +ε

C + 2+

ε

C + 2

≤ C‖f −Wn0‖X +2ε

C + 2

≤ ε, n ≥ n1.

Portanto, (i) vale. �

O teorema abaixo nos fornece um meio de construir aproximações da identidade a partir

de outras dadas.

Teorema 3.3.12. Se {Tn}n∈N e {Sn}n∈N são aproximações da identidade em X, então {Tn ◦Sn}n∈N é uma aproximação da identidade em X.

Demonstração: Seja {Tn}n∈N como em (3.1) e {Sn}n∈N dada por

Sn(f) =n∑

i=0

N(m,i)∑j=1

cij(n)f(i, j)Yij, f ∈ X,

3.4. Um exemplo 71

com cij(n) ∈ R, i ∈ N, j = 1, 2, . . . , N(m, i). Utilizando a representação dada pelo Teorema

3.1.1, vemos que

(Tn(Snf))(x) =1

σm

∫Sm

Kn(x, y)(Snf)(y)dσm(y)

=1

σm

∫Sm

n∑k=0

N(m,k)∑l=1

akl(n)Ykl(x)Ykl(y)n∑

i=0

N(m,i)∑j=1

cij(n)f(i, j)Yij(y)dσm(y)

=n∑

k=0

N(m,k)∑l=1

n∑i=0

N(m,i)∑j=1

akl(n)cij(n)f(i, j)Ykl(x)1

σm

∫Sm

Yij(y)Ykl(y) dσm(y)

=n∑

k=0

N(m,k)∑l=1

akl(n)ckl(n)f(k, l)Ykl(x), x ∈ Sm, f ∈ X.

Como {Tn}n∈N e {Sn}n∈N são aproximações da identidade em X, o Teorema 3.3.1 garante

que

limn→∞

akl(n) = limn→∞

ckl(n) = 1, k ∈ N, l = 1, 2, . . . , N(m, k).

Logo,

limn→∞

akl(n)ckl(n) = 1, k ∈ N, l = 1, 2, . . . , N(m, k).

Pelo mesmo teorema, existem constantes C1,C2 > 0 tais que

‖Tn(f)‖X ≤ C1‖f‖X , n ∈ N, f ∈ X

‖Sn(f)‖X ≤ C2‖f‖X , n ∈ N, f ∈ X.

Portanto,

‖Tn(Snf)‖X ≤ C1‖Sn(f)‖X ≤ C1C2‖f‖X , n ∈ N, f ∈ X.

Pelo Corolário 3.3.4, {Tn ◦ Sn}n∈N é uma aproximação da identidade em X. �

Observação 3.3.13. Se {Tn}n∈N é uma aproximação da identidade em X, então o mesmo

vale para {T 2n}n∈N. Portanto, {T k

n}n∈N, k ∈ N, é aproximação da identidade em X.

3.4 Um exemplo

Apresentaremos nesta seção um método construtivo para gerar uma seqüência {Kn} na qual

todos os núcleos são positivos e bi-zonais, e de forma que os operadores associados a esses

núcleos dêem origem a uma aproximação da identidade em X.

Consideremos o núcleo

Fn(〈x, y〉) =n∑

k=0

N(m,k)∑l=1

Ykl(x)Ykl(y), x, y ∈ Sm.


Pelo Teorema da Adição podemos escrever

Fn(〈x, y〉) =n∑

k=0

N(m, k)Pmk (〈x, y〉).

Calculando o quadrado de Fn e usando a fórmula de linearização de Dougall dada no Capítulo

1, obtemos

(Fn(〈x, y〉))2 =n∑

k=0

n∑i=0

N(m, k)N(m, i)Pmk (〈x, y〉)Pm

i (〈x, y〉)

=n∑

k=0

n∑i=0

k+i∑j=|k−i|

N(m, k)N(m, i)d(k, i, j)Pmj (〈x, y〉).

Fazendo uma mudança na ordem das somas segue que

(Fn(〈x, y〉))2 =n∑

k=0

k+n∑j=0

k+j∧n∑i=|k−j|

N(m, k)N(m, i)d(k, i, j)Pmj (〈x, y〉)

=2n∑

j=0

n∑k=0

k+j∧n∑i=|k−j|

N(m, k)N(m, i)d(k, i, j)Pmj (〈x, y〉),

onde k + j ∧ n = min{k + j, n}. Usando novamente o Teorema da Adição temos que

(Fn(〈x, y〉))2 =2n∑

j=0

N(m,j)∑l=1

n∑k=0

k+j∧n∑i=|k−j|

N(m, k)N(m, i)d(k, i, j)

N(m, j)Yjl(x)Yjl(y)

=2n∑

j=0

N(m,j)∑l=1

bj(2n)Yjl(x)Yjl(y),

onde

bj(2n) :=n∑

k=0

k+j∧n∑i=|k−j|

N(m, k)N(m, i)d(k, i, j)

N(m, j).

Em particular, a Proposição 1.3.7 garante que

b0(2n) =n∑

k=0

N(m, k)2d(k, k, 0) =n∑

k=0

N(m, k).

Como b0(2n) > 0, n ∈ N, podemos definir o núcleo

K2n(〈x, y〉) :=(Fn(〈x, y〉))2

b0(2n)=

2n∑j=0

N(m,j)∑l=1

aj(2n)Yjl(x)Yjl(y),

onde

aj(2n) :=bj(2n)

b0(2n).

3.4. Um exemplo 73

Notemos que K2n assim construído é um núcleo positivo e bizonal. Associado a esse núcleo,

definimos o operador T2n : X → X por

T2n(f)(x) =1

σm

∫Sm

K2n(〈x, y〉)f(y)dσm(y)

=2n∑

j=0

N(m,j)∑l=1

aj(2n)f(j, l)Yjl(x), x ∈ Sm. (3.7)

Observemos que como K2n(〈x, y〉) ≥ 0, x, y ∈ Sm, segue do Teorema 3.3.7 que {T2n}n∈N é

uma aproximação da identidade em X se limn→∞ aj(2n) = 1, j ∈ N. O lema abaixo fornece

uma condição necessária e suficiente para que isso ocorra.

Lema 3.4.1. Com as notações acima, limn→∞aj(2n) = 1, j ∈ N, se, e somente se

limn→∞

1

dn

n∑k=n+1−j

k+j∑i=n+1

N(m, k)d(j, k, i) = 0, j ∈ N.

Demonstração: A definição de aj(2n) e a Equação (1.14) implicam que

aj(2n) =1

dn

n∑k=0

k+j∧n∑i=|k−j|

N(m, k)N(m, i)d(k, i, j)N(m, j)−1

=1

dn

n∑k=0

k+j∧n∑i=|k−j|

N(m, k)d(j, k, i).

Usando o Teorema 1.3.5 podemos escrever, para n ≥ j,

aj(2n) =1

dn

n−j∑k=0

k+j∑i=|k−j|

N(m, k)d(j, k, i) +1

dn

n∑k=n+1−j

n∑i=|k−j|

N(m, k)d(j, k, i)

=1

dn

n−j∑k=0

N(m, k) +1

dn

n∑k=n+1−j

n∑i=|k−j|

N(m, k)d(j, k, i).

Mas, usando novamente o Teorema 1.3.5, a última soma da equação acima pode ser reescrita

da seguinte forman∑

k=n+1−j

n∑i=|k−j|

N(m, k)d(j, k, i) =n∑

k=n+1−j

N(m, k)

k+j∑i=|k−j|

d(j, k, i)−k+j∑

i=n+1

d(j, k, i)

=

n∑k=n+1−j

N(m, k)−n∑

k=n+1−j

k+j∑i=n+1

N(m, k)d(j, k, i)

Portanto,

aj(2n) =1

dn

n∑k=0

N(m, k)− 1

dn

n∑k=n+1−j

k+j∑i=n+1

N(m, k)d(j, k, i)

= 1− 1

dn

n∑k=n+1−j

k+j∑i=n+1

N(m, k)d(j, k, i).


Logo, limn→∞aj(2n) = 1, j ∈ N, se, e somente se

limn→∞

1

dn

n∑k=n+1−j

k+j∑i=n+1

N(m, k)d(j, k, i) = 0, j ∈ N,

e o lema está provado. �

O próximo teorema revela que {T2n}n∈N é uma aproximação da identidade em X.

Teorema 3.4.2. Nas notações acima, limn→∞aj(2n) = 1, j ∈ N e, portanto, a seqüência de

operadores {T2n}n∈N definida em (3.7) é uma aproximação da identidade em X.

Demonstração: Do lema anterior segue que é suficiente provar que

limn→∞

1

dn

n∑k=n+1−j

k+j∑i=n+1

N(m, k)d(j, k, i) = 0, j ∈ N.

Usando o Teorema 1.3.5 temos que

0 ≤ 1

dn

n∑k=n+1−j

k+j∑i=n+1

N(m, k)d(j, k, i) ≤ 1

dn

n∑k=n+1−j

N(m, k)

k+j∑i=|k−j|

d(j, k, i)

=1

dn

n∑k=n+1−j

N(m, k)

A soma do último termo da desigualdade acima tem j termos para todo n ∈ N. Logo, para

terminar a prova, basta calcular

limn→∞

N(m, k)

dn

, k = n+ 1− j, . . . , n.

Como k ≤ n, usando a Proposição 1.1.7, segue que

limn→∞

N(m, k)

dn

≤ limn→∞

N(m,n)

dn

= 0.

Portanto,

limn→∞

N(m, k)

dn

= 0, k = n+ 1− j, . . . , n.

Logo,

limn→∞

1

dn

n∑k=n+1−j

k+j∑i=n+1

N(m, k)d(j, k, i) = 0, j ∈ N.

Isso completa a prova do teorema. �

3.5. Aproximação da identidade: o caso pontual 75

3.5 Aproximação da identidade: o caso pontual

Nesta seção, consideraremos somente o caso em queX = C(Sm). Investigaremos aproximações

similares àquelas consideradas na seção anterior, tentando na medida do possível estabelecer

versões pontuais dos resultados daquela seção.

Para motivar a definição principal desta seção seja {Tn} como em (3.1) e assuma que

{Tn}n∈N é uma aproximação da identidade em C(Sm). Como limn→∞ ‖Tn(f) − f‖∞ = 0,

f ∈ C(Sm), é óbvio que limn→∞ Tnf(y) = f(y), y ∈ Sm, f ∈ C(Sm). Logo,

f(y) = limn→∞

n∑k=0

N(m,k)∑l=1

akl(n)f(k, l)Ykl(y)

= limn→∞

1

σm

∫Sm

n∑k=0

N(m,k)∑l=1

akl(n)Ykl(y)Ykl(x)f(x) dσm(x)

= limn→∞

1

σm

∫Sm

T yn (x)f(x) dσm(x), y ∈ Sm, f ∈ C(Sm).

onde cykl(n) := akl(n)Ykl(y) e

T yn (x) :=

n∑k=0

N(m,k)∑l=1

cykl(n)Ykl(x), x ∈ Sm.

Dessa forma, introduzimos a seguinte definição.

Definição 3.5.1. Fixado y ∈ Sm, dizemos que uma seqüência {T yn}n∈N dada por

T yn (x) :=

n∑k=0

N(m,k)∑l=1

bykl(n)Ykl(x), x ∈ Sm, (3.8)

onde bykl(n) ∈ C, k = 0, 1, . . . , n, l = 1, 2, . . . , N(m, k), é uma aproximação da identidade em

y quando

limn→∞

1

σm

∫Sm

T yn (x)f(x) dσm(x) = f(y), f ∈ C(Sm).

Obviamente, temos o seguinte resultado.

Teorema 3.5.2. Se y ∈ Sm e {Tn}n∈N como em (3.1) é uma aproximação da identidade em

C(Sm), então a seqüência {T yn}n∈N onde

bykl(n) = akl(n)Ykl(y), k ∈ N, l = 1, 2, . . . , N(m, k),

é uma aproximação da identidade em y ∈ Sm.

No que segue, procuraremos condições para que uma seqüência {T yn}n∈N seja uma aprox-

imação da identidade em y. Começamos calculando a norma do operador definido em (3.8).


Teorema 3.5.3. Seja Lyn o funcional linear sobre C(Sm) dado pela expressão

Lyn(f) =

1

σm

∫Sm

T yn (x)f(x)dσm(x), f ∈ C(Sm),

com T yn dado pela Fórmula (3.8). Então Ly

n é contínuo e ‖Lyn‖C(Sm) = ‖T y

n‖1.

Demonstração: Temos que

|Lyn(f)| =

∣∣∣∣ 1

σm

∫Sm

T yn (x)f(x) dσm(x)

∣∣∣∣≤ 1

σm

∫Sm

|T yn (x)||f(x)| dσm(x)

≤ ‖f‖∞‖T yn‖1, f ∈ C(Sm).

Logo,

‖Lyn‖C(Sm) = sup{|Ly

n(f)| : ‖f‖∞ ≤ 1} ≤ ‖T yn‖1.

Para obter a outra desigualdade, consideremos o conjunto fechado

F = {x ∈ Sm : T yn (x) = 0}.

Dado ε > 0, existe um conjunto aberto Oε ⊃ F tal que

1

σm

∫Oε

|T yn (x)| dσm(x) < ε.

Como Sm é um espaço normal, segue do Lema de Urysohn ([25]) que existe uma função

contínua gε : Sm → [0, 1] tal que gε(x) = 0, x ∈ F e gε(x) = 1, x ∈ Sm \ Oε. Seja hε a

função definida por hε(x) = gε(x)sign Tyn (x), onde sign z = z/|z|, z 6= 0 e sign 0 = 0. Note

que hε ∈ C(Sm) e ‖hε‖∞ ≤ 1. Além disso,

Lyn(hε) =

1

σm

∫Sm

T yn (x)hε(x) dσm(x)

=1

σm

∫Sm

T yn (x)sign T y

n (x) gε(x) dσm(x)

=1

σm

∫Sm\F

|T yn (x)|gε(x) dσm(x)

≥ 1

σm

∫Sm\Oε

|T yn (x)| dσm(x)

≥ ‖T yn‖1 − ε.

Logo, ‖Lyn‖C(Sm) ≥ ‖T y

n‖1 − ε. Isso completa a prova do teorema. �

Substituindo-se a expressão que define T yn na integral que define Ly

n e efetuando-se as

contas, chegamos à seguinte formulação alternativa:

Lyn(f) =

n∑k=0

N(m,k)∑l=1

bykl(n)f(k, l), f ∈ C(Sm).


A existência de aproximações da identidade pontuais segue dos resultados das seções

anteriores e do Teorema 3.5.2. O teorema abaixo fornece uma prova independente desse

mesmo resultado.

Teorema 3.5.4. Fixado y ∈ Sm, existe uma aproximação da identidade em y.

Demonstração: Seja y ∈ Sm. Considere a seguinte família de conjuntos abertos de Rm+1:

Oyn = {x ∈ Sm : 〈y − x, y − x〉 < 1/n2}, n ∈ N.

Como Oyn é aberto em Rm+1, o Lema de Urysohn ([25]) implica que podemos encontrar uma

seqüência de funções {gyn} ⊂ C(Sm) tais que gy

n(x) ≥ 0, x ∈ Sm, gyn(x) = 0, x ∈ Sm \Oy

n e

1

σm

∫Sm

gyndσm = 1.

Por outro lado, o Teorema da Aproximação de Weierstrass garante a existência de uma família

de polinômios {qyn}n∈N tal que

‖gyn − qy

n‖∞ <1

n, n ∈ N.

Seja f ∈ C(Sm) e fixe ε > 0. Da continuidade de f segue que existe n0 = n0(ε) ∈ N tal que

|f(y)− f(x)| < ε, x ∈ Oyn0.

Além disso, podemos escolher n1 ≥ n0 tal que

|f(y)− f(x)| < ε, x ∈ Oyn1

e ‖f‖∞ < εn1. Como∣∣∣∣f(y)− 1

σm

∫Sm

qyn(x)f(x) dσm(x)

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ 1

σm

∫Sm

(f(y)− f(x))gyn(x) dσm(x)

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ 1

σm

∫Sm

(gyn(x)− qy

n(x))f(x) dσm(x)

∣∣∣∣≤ 1

σm

∫Sm

|f(y)− f(x)|gyn(x) dσm(x)

+1

σm

∫Sm

|gyn(x)− qy

n(x)||f(x)| dσm(x),

então ∣∣∣∣f(y)− 1

σm

∫Sm

qyn(x)f(x) dσm(x)

∣∣∣∣ ≤ 1

σm

∫Oy

n

|f(y)− f(x)|gyn(x) dσm(x)

+ ‖gyn − qy

n‖∞‖f‖∞

≤ ε1

σm

∫Oy

n

gyn(x) dσm(x) +

‖f‖∞n

≤ 2ε, n ≥ n1.


Como qyn pode obviamente ser escrito na forma

qyn(x) =

Mn∑k=0

N(m,k)∑l=1

bykl(n) Ykl(x),

onde Mn é o grau de qyn, o resultado segue. �

O teorema abaixo fornece uma caracterização completa de uma aproximação da identidade

em y ∈ Sm.

Teorema 3.5.5. Seja y ∈ Sm. Então {T yn}n∈N é uma aproximação da identidade em y se, e

somente se, as seguintes condições estão satisfeitas:

(i) Existe uma constante positiva C tal que ‖T yn‖1 ≤ C, n ∈ N;

(ii) limn→∞ bykl(n) = Ykl(y), k ∈ N, l = 1, 2, . . . , N(m, k).

Demonstração: Suponhamos inicialmente que {T yn}n∈N é aproximação da identidade em y.

Então

limn→∞

Lyn(f) = lim

n→∞

1

σm

∫Sm

T yn (x)f(x)dσm(x) = f(y), f ∈ C(Sm).

Logo, cada seqüência {Lyn(f)}n∈N é limitada e, conseqüentemente, para cada f ∈ C(Sm)

existe uma constante Cf ≥ 0 tal que

sup{|Lyn(f)| : n ∈ N} < Cf .

Do Princípio da Limitação Uniforme e do Teorema 3.5.3, segue que

‖T yn‖1 = ‖Ly

n‖C(Sm) < C, n ∈ N,

para algum C > 0. Como,

Lyn(Yµν) =

1

σm

∫Sm

T yn (x)Yµν(x) dσm(x)

=n∑

k=0

N(m,k)∑l=1

bykl(n)1

σm

∫Sm

Yµν(x)Ykl(x) dσm(x)

= byµν(n), n ≥ µ,

então

limn→∞

byµν(n) = limn→∞

Lyn(Yµν) = Yµν , µ ∈ N, ν = 1, 2, . . . , N(m,µ).

Reciprocamente, suponha que (i) e (ii) valem. Seja f ∈ C(Sm) e fixe ε > 0. Pelo Teorema da

Aproximação de Weierstrass, existe um polinômio q em m+ 1 variáveis tal que

‖q − f‖∞ < ε.

Escrevendo

q =M∑

µ=0

N(m,µ)∑ν=1

rµνYµν ,


onde M é o grau de q, então

Lyn(q) =

n∑k=0

N(m,k)∑l=1

bykl(n)q(k, l)

=1

σm

n∑k=0

N(m,k)∑l=1

bykl(n)

∫Sm

q(x)Ykl(x) dσm(x)

=n∑

k=0

N(m,k)∑l=1

bykl(n)M∑

µ=0

N(m,µ)∑ν=1

rµν1

σm

∫Sm

Yµν(x)Ykl(x) dσm(x)

=M∑

k=0

N(m,k)∑l=1

bykl(n)rkl, n ≥M.

Usando a condição (ii), vem que

limn→∞

Lyn(q) = lim

n→∞

M∑k=0

N(m,k)∑l=1

bykl(n)rkl =M∑

k=0

N(m,k)∑l=1

rklYkl(y) = q(y).

Logo, se N(ε) ∈ N é tal que

|Lyn(q)− q(y)| < ε, n ≥ N(ε),

podemos usar a condição (i) para obter

|Lyn(f)− f(y)| ≤ |Ly

n(f)− Lyn(q)|+ |Ly

n(q)− q(y)|+ |q(y)− f(y)|

≤ |Lyn(f − q)|+ ε+ ‖q − f‖∞

≤ ‖Lyn‖C(Sm) ‖(f − q)‖∞ + 2ε

= ‖T yn‖1 ‖(f − q)‖∞ + 2ε

≤ (C + 2)ε, n ≥ N(ε).

Isto completa a prova do teorema. �

Podemos estabelecer e provar um resultado semelhante ao Teorema 3.3.7, se assumirmos

que T yn (x) ≥ 0, x ∈ Sm, n ∈ N.

Teorema 3.5.6. Seja y ∈ Sm e suponha que T yn (x) ≥ 0, x ∈ Sm, n ∈ N. Então {T y

n}n∈N

é aproximação da identidade em y se, e somente se, limn→∞ bykl(n) = Ykl(y), k ∈ N, l =

1, 2, . . . , N(m, k).

Demonstração: Da positividade de T yn e da ortogonalidade dos harmônicos esféricos segue


que

‖T yn‖1 =

1

σm

∫Sm

T yn (x) dσm(x)

=1

σm

∫Sm

n∑k=0

N(m,k)∑l=1

bykl(n)Ykl(x) dσm(x)

=n∑

k=0

N(m,k)∑l=1

bykl(n)1

σmY01(y)

∫Sm

Ykl(x)Y01(x) dσm(x)

=by01(n)

Y01(y).

Da hipótese segue que

limn→∞

‖T yn‖1 = lim

n→∞

by01(n)

Y01(y)= 1,

Logo, existe uma constante positiva C tal que ‖T yn‖1 ≤ C, n ∈ N. Portanto, o resultado

segue do Teorema 3.5.5. �

Finalizamos essa seção, apresentando um resultado de aproximação global envolvendo o

operador Ln : C(Sm) → C(Sm) definido por

Ln(f)(y) :=1

σm

∫Sm

T yn (x)f(x)dσm(x), y ∈ Sm.

A prova de tal resultado é análoga à do Teorema 3.5.5. Entretanto, como essa prova apresenta

alguns detalhes diferentes, faremos todos os passos novamente.

Teorema 3.5.7. Seja Ln o operador definido acima e assuma que bykl(n) é contínuo em

y ∈ Sm, k ∈ N, l = 1, 2, . . . , N(m, k). Então limn→∞ ‖Ln(f) − f‖∞ = 0, f ∈ C(Sm), se, e

somente se, as seguintes condições estão satisfeitas:

(i) Existe uma constante positiva C tal que ‖Ln(f)‖∞ ≤ C‖f‖∞, f ∈ C(Sm), n ∈ N;

(ii) limn→∞ bykl(n) = Ykl(y), k ∈ N, l = 1, 2, . . . , N(m, k), uniformemente em Sm.

Demonstração: Suponhamos que limn→∞ ‖Ln(f)− f‖∞ = 0, f ∈ C(Sm). Então

limn→∞

Ln(f) = f, f ∈ C(Sm),

o que implica que para cada f ∈ C(Sm) existe uma constante Cf ≥ 0 tal que

sup{‖Ln(f)‖∞ : n ∈ N} < Cf .

Do Princípio da Limitação Uniforme segue que

‖Ln(f)‖∞ ≤ C‖f‖∞, f ∈ C(Sm), n ∈ N,

para algum C > 0. Para provar (i), seja f ∈ C(Sm). Como limn→∞ ‖Ln(f)− f‖∞ = 0, dado

ε > 0, existe N = N(ε, f) ∈ N tal que

‖Ln(f)− f‖∞ < ε, n ≥ N.


Isso implica que

|Ln(f)(y)− f(y)| < ε, n ≥ N, y ∈ Sm.

Logo, limn→∞ Ln(f)(y) = f(y) uniformemente em Sm. Em particular,

limn→∞

Ln(Ykl)(y) = Ykl(y), k ∈ N, l = 1, 2, . . . , N(m, k),

uniformemente em Sm. Mas, para n ≥ k,

Ln(Ykl)(y) = bykl(n), k ∈ N, l = 1, 2, . . . , N(m, k).

Portanto,

limn→∞

bykl(n) = limn→∞

Ln(Ykl)(y) = Ykl(y), k ∈ N, l = 1, 2, . . . , N(m, k),

uniformemente em Sm. Reciprocamente, suponha que (i) e (ii) valem. Seja f ∈ C(Sm) e

fixe ε > 0. Pelo Teorema da Aproximação de Weierstrass, existe um polinômio q em m + 1

variáveis tal que ‖q − f‖∞ < ε. Escrevendo

q =M∑

µ=0

N(m,µ)∑ν=1

rµνYµν ,

onde M é o grau de q, segue que

Ln(q)(y) =M∑

k=0

N(m,k)∑l=1

bykl(n)rkl, n ≥M.

Usando a condição (ii), temos que

limn→∞

Ln(q)(y) = limn→∞

M∑k=0

N(m,k)∑l=1

bykl(n)rkl =M∑

k=0

N(m,k)∑l=1

rklYkl(y) = q(y),

uniformemente em Sm. Logo, existe N(ε) ∈ N tal que

|Ln(q)(y)− q(y)| < ε, n ≥ N(ε), y ∈ Sm.

Daí, usando a condição (i) obtemos

|Ln(f)(y)− f(y)| ≤ |Ln(f)(y)− Ln(q)(y)|+ |Ln(q)(y)− q(y)|+ |q(y)− f(y)|

≤ |Ln(f − q)(y)|+ ε+ ‖q − f‖∞≤ ‖Ln(f − q)‖∞ + 2ε

= C ‖(f − q)‖∞ + 2ε

≤ (C + 2)ε, n ≥ N(ε), y ∈ Sm.

Portanto,

‖Ln(f)− f‖∞ < (C + 2)ε, n ≥ N(ε).

Isto completa a prova do teorema. �

Capítulo4

Ordem de convergência do operador Tn

Neste capítulo discutiremos ordens de convergência para ‖Tn(f) − f‖X , quando n →∞, onde Tn é o operador dado pela Fórmula (3.1). Utilizaremos o módulo de suavidade

introduzido e discutido no Capítulo 2. Os resultados mais relevantes nesse sentido dependem

de hipóteses de bi-zonalidade e da positividade sobre o núcleo Kn.

4.1 A ordem de aproximação

Antes de apresentarmos os resultados sobre ordem de convergência registraremos o lema

abaixo, cuja prova segue da definição de Kn e da ortonormalidade dos harmônicos esféricos.

Lema 4.1.1. Seja Kn definido como no Teorema 3.1.1. Então

1

σm

∫Sm

Kn(x, y) dσm(y) = a01(n), x ∈ Sm, n ∈ N.

Observamos que se Kn(x, y) ≥ 0, x, y ∈ Sm, então segue do lema acima que a01(n) ≥ 0,

n ∈ N.

A análise da ordem de convergência será feita em duas estapas. Consideraremos primeira-

mente, o caso em que X = C(Sm).

Teorema 4.1.2. Sejam X = C(Sm), Kn um núcleo positivo e bi-zonal, e ϕ : N → (0,∞)

uma função satisfazendo limn→∞ ϕ(n) = 0. Se a01(n) = 1, n ∈ N, e

|1− a11(n)| = O(ϕ(n)) (n→∞), (4.1)

então existem um inteiro positivo N0 e uma constante positiva C tal que

‖Tn(f)− f‖∞ ≤ C w1(1− ϕ(n), f,X), f ∈ C(Sm), n ≥ N0.

Demonstração: Seja f ∈ C(Sm) e assuma que as seqüências {ak1(n)}, k = 0, 1 satisfazem

as condições do enunciado. Como Kn é bi-zonal, temos que Kn(x, y) = Ln(〈x, y〉), x, y ∈ Sm,

83

84 Capítulo 4. Ordem de convergência do operador Tn

para alguma função Ln. Usando o Teorema 3.1.1 e o Lema 4.1.1, podemos escrever

Tnf(x)− f(x) =1

σm

∫Sm

Ln(〈x, y〉)f(y) dσm(y)− f(x)

σm

∫Sm

Ln(〈x, y〉) dσm(y), x ∈ Sm.

Do Teorema 2.2.10 e da Fórmula de Funk-Hecke, segue que

Tnf(x)− f(x) =σm−1

σm

∫ 1

−1

Ln(t)[Smt (f)(x)− f(x)] dwm(t), x ∈ Sm.

Logo, a não-negatividade de Ln implica que

|Tnf(x)− f(x)| ≤ σm−1

σm

∫ 1

−1

Ln(t) ‖Smt (f)− f‖∞ dwm(t), x ∈ Sm,

e portanto,

‖Tn(f)− f‖∞ ≤ σm−1

σm

∫ 1

−1

Ln(t) ‖Smt (f)− f‖∞ dwm(t).

Da definição de módulo de suavidade, a desigualdade acima pode ser reduzida a

‖Tn(f)− f‖∞ ≤ σm−1

σm

∫ 1

−1

Ln(t)w1(t, f,X) dwm(t).

Como limn→∞ ϕ(n) = 0, existe N ∈ N tal que 0 < ϕ(n) < 2, n ≥ N . Logo, o Corolário 2.9.3

garante que existe uma constante C(1) tal que

‖Tn(f)− f‖∞ ≤ C(1)

(σm−1

σm

∫ 1

−1

Ln(t)

(1 +

1− t

ϕ(n)

)dwm(t)

)w1(1− ϕ(n), f,X)

= C(1)σm−1

σm

[∫ 1

−1

Ln(t)dwm(t) +1

ϕ(n)

∫ 1

−1

Ln(t) dwm(t)

− 1

ϕ(n)

∫ 1

−1

tLn(t) dwm(t)

]w1(1− ϕ(n), f,X), n ≥ N.

Mas, se x0 é um ponto qualquer de Sm, usando novamente a Fórmula de Funk-Hecke e o

Lema 4.1.1, obtemos

σm−1

σm

∫ 1

−1

Ln(t) dwm(t) =1

σm

∫Sm

Ln(〈x0, y〉) dσm(y) = 1

eσm−1

σm

∫ 1

−1

tLn(t) dwm(t) =1

σm

∫Sm

Ln(〈x0, y〉) 〈y, x0〉 dσm(y). (4.2)

Observando que 〈y, x0〉 = Pm1 (〈y, x0〉), y ∈ Sm, e usando o Teorema da Adição, segue que

〈y, x0〉 =1

N(m, 1)

N(m,1)∑ν=1

Y1ν(y)Y1ν(x0).

Ainda, pela Proposição 3.1.2, podemos escrever

Ln(〈x0, y〉) =n∑

k=0

ak1(n)

N(m,k)∑l=1

Ykl(x0)Ykl(y).

4.1. A ordem de aproximação 85

Voltando em (4.2) e usando a ortonormalidade dos harmônicos esféricos, obtemos

1

σm

∫Sm

Ln(〈x0, y〉) 〈y, x0〉 dσm(y) =1

N(m, 1)a11(n)

N(m,1)∑ν=1

Y1ν(x0)Y1ν(x0)dσm(y)

= a11(n)Pm1 (〈x0, x0〉)

= a11(n), n ≥ 1.

Assim, tomando-se N0 ∈ N com N0 ≥ 1 e N0 ≥ N , obtemos

‖Tn(f)− f‖∞ ≤ C(1)

[1 +

1

ϕ(n)(1− a11(n))

]w1(1− ϕ(n), f,X), n ≥ N0.

Da hipótese (4.1), segue que existe uma constante positiva C1 tal que

1− a11(n)

ϕ(n)< C1, n ∈ N.

Logo,

‖Tn(f)− f‖∞ ≤ C(1)(1 + C1) w1(1− ϕ(n), f,X), n ≥ N0.

Portanto, existe uma constante positiva C tal que

‖Tn(f)− f‖∞ ≤ C w1(1− ϕ(n), f,X), n ≥ N0,


Analisemos, agora, o caso Lp(Sm), 1 ≤ p <∞.

Teorema 4.1.3. Sejam X = Lp(Sm), 1 ≤ p < ∞, Kn um núcleo positivo e bi-zonal, e

ϕ : N→ (0,∞) a função definida no Teorema 4.1.2. Se a01(n) = 1, n ∈ N, e

|1− a11(n)| = O(ϕ(n)) (n→∞),

então existem um inteiro positivo N0 e uma constante positiva C tal que

‖Tn(f)− f‖p ≤ C w1(1− ϕ(n), f,X), f ∈ Lp(Sm), n ≥ N0.

Demonstração: Seja f ∈ Lp(Sm), 1 ≤ p <∞. Da prova do Teorema 4.1.2, temos que


σm

∫ 1

−1

Ln(t)[Smt (f)(x)− f(x)] dwm(t), x ∈ Sm.

Logo, usando a desigualdade de Minkowski para integrais segue que

‖Tn(f)− f‖p =σm−1

σm

∥∥∥∥∫ 1

−1

Ln(t)[Smt (f)(·)− f(·)] dwm(t)

∥∥∥∥p

≤ σm−1

σm

∫ 1

−1

Ln(t) ‖Smt (f)− f‖p dwm(t).

Portanto, a prova segue como a do Teorema 4.1.2. �


Corolário 4.1.4. Sejam Kn um núcleo positivo e bi-zonal, e ϕ : N → (0, 2) uma função

satisfazendo limn→∞ ϕ(n) = 0. Se a01(n) = 1, n ∈ N, e

|1− a11(n)| = O(ϕ(n)) (n→∞), (4.3)

então existe uma constante positiva C tal que

‖Tn(f)− f‖X ≤ C w1(1− ϕ(n), f,X), f ∈ X, n ∈ N.

Vejamos agora as recíprocas dos teoremas acima.


como no Teorema 4.1.2. Se existir um inteiro positivo N1 e uma constante positiva C tal que

‖Tn(f)− f‖∞ ≤ C w1(1− ϕ(n), f,X), f ∈ C(Sm), n ≥ N1, (4.4)

então

|1− a11(n)| = O(ϕ(n)) (n→∞).

Demonstração: Usando o fato de Kn ser bi-zonal e a ortonormalidade dos harmônicos

esféricos, temos que

Tn(Y11) =n∑

k=0

N(m,k)∑l=1

akl(n)Y11(k, l)Ykl

=n∑

k=0

ak1(n)

N(m,k)∑l=1

(1

σm

∫Sm

Y11(y)Ykl(y) dσm(y)

)Ykl

= a11(n)Y11, n ≥ 1.

Como Sm é um conjunto compacto e Y11 é uma função contínua, escolhemos x0 ∈ Sm tal que

‖Y11‖∞ = |Y11(x0)|. Como Y11(x0) 6= 0 podemos escrever

a11(n) =TnY11(x0)

Y11(x0), n ≥ 1.

Logo,

|1− a11(n)| =

∣∣∣∣1− TnY11(x0)

Y11(x0)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣Y11(x0)− TnY11(x0)

Y11(x0)

∣∣∣∣≤ ‖Y11 − Tn(Y11)‖∞

‖Y11‖∞, n ≥ 1.

Seja N0 ≥ N1 tal que 0 < ϕ(n) < 2, n ≥ N0. Pela Proposição 2.8.3, existe uma constante

M(1) tal que

w1(1− ϕ(n), Y11, X) ≤M(1)ϕ(n)‖D1(Y11)‖∞, n ≥ N0.


Por outro lado, a Proposição 2.3.2 revela que D1(Y11) = Y11. Isso por sua vez, implica que

‖D1(Y11)‖∞ = ‖Y11‖∞. Logo, se (4.4) vale, obtemos

|1− a11(n)| ≤ C

‖Y11‖∞w1(1− ϕ(n), Y11, X)

≤ CM(1)

‖Y11‖∞ϕ(n)‖D1(Y11)‖∞

= CM(1)ϕ(n), n ≥ N0.

O teorema segue. �

Teorema 4.1.6. Sejam X = Lp(Sm), 1 ≤ p < ∞, Kn um núcleo positivo e bi-zonal, e

ϕ : N → (0,∞) como no Teorema 4.1.2. Se existir um inteiro positivo N1 e uma constante

positiva C tal que

‖Tn(f)− f‖p ≤ C w1(1− ϕ(n), f,X), f ∈ Lp(Sm), n ≥ N1, (4.5)

então

|1− a11(n)| = O(ϕ(n)) (n→∞).

Demonstração: Da prova do Teorema 4.1.5, segue que

(a11(n)− 1)Y11 = Tn(Y11)− Y11, n ≥ 1.

Logo,

|a11(n)− 1|p‖Y11‖pp =

1

σm

∫Sm

|Y11(x)|p|a11(n)− 1|p dσm(x)

=1

σm

∫Sm

|TnY11(x)− Y11(x)|p dσm(x)

= ‖Tn(Y11)− Y11‖pp,

ou seja,

|a11(n)− 1|‖Y11‖p = ‖Tn(Y11)− Y11‖p, n ≥ 1.

Como Y11 6≡ 0, podemos escrever

|a11(n)− 1| = ‖Tn(Y11)− Y11‖p

‖Y11‖p

, n ≥ 1.

O restante da prova segue como a do Teorema 4.1.5. �

Corolário 4.1.7. Sejam Kn um núcleo positivo e bi-zonal, e ϕ : N → (0,∞) como no Teo-

rema 4.1.2. Suponha que a01(n) = 1, n ∈ N. Então as seguintes afirmações são equivalentes:

(i) |1− a11(n)| = O(ϕ(n)) (n→∞);

(ii) Existem um inteiro positivo N1 e uma constante positiva C tal que

‖Tn(f)− f‖X ≤ C w1(1− ϕ(n), f,X), f ∈ X, n ≥ N1.


Corolário 4.1.8. Sejam Kn um núcleo positivo e bi-zonal, e ϕ : N→ (0, 2) como no Teorema

4.1.2. Suponha que a01(n) = 1, n ∈ N. Então as seguintes afirmações são equivalentes:

(i) |1− a11(n)| = O(ϕ(n)) (n→∞);

(ii) Existe uma constante positiva C tal que

‖Tn(f)− f‖X ≤ C w1(1− ϕ(n), f,X), f ∈ X, n ∈ N.

Observação 4.1.9. Se a11(n) < 1, n ∈ N, e limn→∞ a11(n) = 1, uma escolha natural para a

função ϕ nos resultados acima é ϕ(n) = 1− a11(n), n ∈ N.

Para provar os teoremas acima, consideramos a condição a01(n) = 1, n ∈ N. Provaremos

agora resultados semelhantes aos Teoremas 4.1.2 e 4.1.3, impondo uma condição mais fraca

nos coeficientes a01(n), e uma outra condição envolvendo os coeficientes a01(n) e a11(n). A

estimativa resultante depende agora da norma da função a ser aproximada.


uma função como no Teorema 4.1.2. Se limn→∞ a01(n) = 1 e

|1− a01(n)| = O(ϕ(n)) = |1− a11(n)| (n→∞), (4.6)

então existem N0 ∈ N e constantes positivas C1 e C2 tal que

‖Tn(f)− f‖∞ ≤ C1w1(1− ϕ(n), f,X) + C2ϕ(n)‖f‖∞, n ≥ N0, f ∈ C(Sm).

Demonstração: A prova é bem semelhante à do Teorema 4.1.2. Seja f ∈ C(Sm) e escrevamos

Kn(x, y) = Ln(〈x, y〉), x, y ∈ Sm. Usando o Teorema 3.1.1 e o Lema 4.1.1, podemos escrever

(x ∈ Sm)

Tnf(x)− f(x) =1

σm

∫Sm

Ln(〈x, y〉)f(y) dσm(y)− f(x)

σma01(n)

∫Sm

Ln(〈x, y〉) dσm(y),

contanto que a01(n) 6= 0. Logo, do Teorema 2.2.10 e da Fórmula de Funk-Hecke, obtemos


σm

∫ 1

−1

Ln(t)

(Sm

t (f)(x)− f(x)

a01(n)

)dwm(t)

=σm−1

σma01(n)

∫ 1

−1

Ln(t)[a01(n)Smt (f)(x)− f(x)] dwm(t).

Logo, usando o fato de que a01(n) ≥ 0, n ∈ N, temos que

|Tnf(x)− f(x)| ≤ σm−1

σma01(n)

∫ 1

−1

Ln(t) |a01(n)Smt (f)(x)− f(x)| dwm(t)

≤ σm−1

σma01(n)

∫ 1

−1

Ln(t) ‖a01(n)Smt (f)− f‖∞ dwm(t), x ∈ Sm.


Como

‖a01(n)Smt (f)− f‖∞ ≤ |a01(n)− 1|‖Sm

t (f)‖∞ + ‖Smt (f)− f‖∞,

segue que

‖Tn(f)− f‖∞ ≤ σm−1

σma01(n)

∫ 1

−1

Ln(t) ‖a01(n)Smt (f)− f‖∞ dwm(t)

≤ σm−1

σma01(n)

[|a01(n)− 1|

∫ 1

−1

Ln(t) ‖Smt (f)‖∞ dwm(t)

+

∫ 1

−1

Ln(t) ‖Smt (f)− f‖∞ dwm(t)

].

A Proposição 2.2.4-(i), a Fórmula de Funk-Hecke e o Lema 4.1.1, implicam que

σm−1

σm

∫ 1

−1

Ln(t)‖Smt (f)‖∞ dwm(t) ≤ σm−1

σm

‖f‖∞∫ 1

−1

Ln(t) dwm(t)

=‖f‖∞σm

∫Sm

Ln(〈x0, y〉) dσm(y)

= ‖f‖∞a01(n),

onde x0 ∈ Sm. Usando um procedimento similar ao do Teorema 4.1.2, podemos encontrar

N0 ∈ N tal que

σm−1

σm

∫ 1

−1

Ln(t) ‖Smt (f)− f‖∞ dwm(t) ≤

[1 +

a01(n)− a11(n)

ϕ(n)

]w1(1− ϕ(n), f,X)

e a01(n) 6= 0, quando n ≥ N0. Se (4.6) vale, existe C > 0 tal que

a01(n)− a11(n)

ϕ(n)≤ C, n ∈ N.

Daí,

σm−1

σm

∫ 1

−1

Ln(t) ‖Smt (f)− f‖∞ dwm(t) ≤ (1 + C)w1(1− ϕ(n), f,X), n ≥ N0.

Juntando-se essas informações, vem que

‖Tn(f)− f‖∞ ≤ |a01(n)− 1|‖f‖∞ +1 + C

a01(n)w1(1− ϕ(n), f,X), n ≥ N0.

Se limn→∞ a01(n) = 1, existe uma constante positiva C1 tal que

1 + C

a01(n)≤ C1, n ∈ N,

enquanto que (4.6) garante a existência de C2 > 0 tal que

|a01(n)− 1| < C2ϕ(n), n ∈ N.

Portanto,

‖Tn(f)− f‖∞ ≤ C1w1(1− ϕ(n), f,X) + C2ϕ(n)‖f‖∞, n ≥ N0.

Isso completa a prova do teorema. �


Teorema 4.1.11. Sejam X = Lp(Sm), 1 ≤ p < ∞, Kn um núcleo positivo e bi-zonal e

ϕ : N→ (0,∞) como no Teorema 4.1.2. Se limn→∞ a01(n) = 1 e

|1− a01(n)| = O(ϕ(n)) = |1− a11(n)| (n→∞) (4.7)


‖Tn(f)− f‖p ≤ C1w1(1− ϕ(n), f,X) + C2ϕ(n)‖f‖p, n ≥ N0, f ∈ Lp(Sm).

Demonstração: Seja f ∈ Lp(Sm). Da prova do teorema anterior, sabemos que


σma01(n)

∫ 1

−1

Ln(t)[a01(n)Smt (f)(x)− f(x)] dwm(t), x ∈ Sm.

A desigualdade de Minkowski para integrais implica que

‖Tn(f)− f‖p ≤σm−1

σma01(n)

∫ 1

−1

Ln(t) ‖a01(n)Smt (f)− f‖p dwm(t).

O restante da prova segue como a do teorema anterior. �

Exigindo-se que a01(n) 6= 0, n ∈ N, e que a função ϕ(n) ∈ (0, 2), n ∈ N, obtemos o

seguinte resultado.

Teorema 4.1.12. Sejam Kn um núcleo positivo e bi-zonal e ϕ : N→ (0, 2) como no Teorema

4.1.2. Se a01(n) 6= 0, n ∈ N, limn→∞ a01(n) = 1 e

|1− a01(n)| = O(ϕ(n)) = |1− a11(n)| (n→∞) (4.8)

então constantes positivas C1 e C2 tal que

‖Tn(f)− f‖X ≤ C1w1(1− ϕ(n), f,X) + C2ϕ(n)‖f‖X , n ∈ N, f ∈ X.

O resultado abaixo é conseqüência do Corolário 3.3.4 e dos Teoremas 4.1.10 e 4.1.11. Ele

coloca as estimativas obtidas no contexto do Capítulo 3.

Corolário 4.1.13. Sejam Kn um núcleo positivo e bi-zonal, e ϕ : N → (0,∞) como no

Teorema 4.1.2. Se {Tn}n∈N é aproximação da identidade em X e

|1− a01(n)| = O(ϕ(n)) = |1− a11(n)| (n→∞), (4.9)


‖Tn(f)− f‖X ≤ C1w1(1− ϕ(n), f,X) + C2ϕ(n)‖f‖X , n ≥ N0, f ∈ X.

Problemas abertos

Comentaremos aqui sobre algumas questões relativas ao trabalho, umas que não con-

seguimos resolver, outras que nem chegamos a pensar. De qualquer forma, pretendemos

considerá-las como propostas de trabalho para o futuro.

No Capítulo 3, calculamos a norma do operador de aproximação Tn nos casos X = C(Sm)

e X = L1(Sm). No caso X = Lp(Sm), 1 < p <∞, obtivemos apenas uma estimativa para sua

norma. Parece-nos razoável esperar que o valor da norma neste caso restante ainda tenha a

mesma expressão encontrada nos outros casos.

Quanto aos resultados envolvendo o módulo de suavidade, duas questões permanecem:

analisar a possibilidade de obter-se resultados similares aos aqui obtidos, com hipóteses so-

bre os núcleos diferentes daquelas consideradas. Ainda, obter resultados mais refinados que

envolvam os módulos de suavidade de ordem maior do que 1 ou mesmo outros módulos de

suavidade.

91

92 Problemas abertos

Referências Bibliográficas

[1] Askey, R., Orthogonal polynomials and special functions. Society for Industrial and Ap-

plied Mathematics, Philadelphia, Pa., 1975.

[2] Axler, S.; Bourdon, P.; Ramey, W., Harmonic function theory. Graduate Texts in Math-

ematics, 137. Springer-Verlag, New York, 1992.

[3] Berens, H.; Butzer, P. L.; Pawelke, S., Limitierungsverfahren von Reihen mehrdimension-

aler Kugelfunktionen und deren Saturationsverhalten. (German) Publ. Res. Inst. Math.

Sci. Ser. A 4 1968/1969, 201-268.

[4] Berens, H.; Li, L. Q., On the de la Vallée-Poussin means on the sphere. Results Math.

24 (1993), no. 1-2, 12-26.

[5] Brezis, H., Analyse fonctionnelle.(French) [Functional analysis] Théorie et applications

[Theory and applications]. Collection Mathématiques Appliquées pour la Maîtrise. [Col-

lection of Applied Mathematics for the Master’s Degree] Masson, Paris, 1983.

[6] Carlitz, L., The product of two ultraspherical polinomials, Proc. Glasgow Math. Assoc.,

5 (1961), p. 76-79.

[7] Davis, P. J., Interpolation and approximation. Republication, with minor corrections, of

the 1963 original, with a new preface and bibliography. Dover Publications, Inc., New

York, 1975.

[8] DeVore, Ronald A.; Lorentz, George G., Constructive approximation. Grundlehren der

Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences],

303. Springer-Verlag, Berlin, 1993.

[9] Dougall, J., The product of two Legendre polynomials, Proc. Glasgow Math. Assoc., 1

(1953), 121-125.

[10] Folland, G. B., Real analysis. Modern techniques and their applications. Second edition.

Pure and Applied Mathematics (New York). A Wiley-Interscience Publication. John

Wiley & Sons, Inc., New York, 1999.

93

94 Referências Bibliográficas

[11] Groemer, H., Geometric applications of Fourier series and spherical harmonics. Ency-

clopedia of Mathematics and its Applications, 61. Cambridge University Press, 1996.

[12] Horn, R. A.,; Johnson, C. R., Matrix analysis. Cambridge University Press, New York,

1990.

[13] Hylleraas, E., Linearization of products of Jacobi polinomials, Math. Scand., 10 (1962),

189-200.

[14] Körner, T. W., Fourier analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1988.

[15] Lasser, R.; Obermaier, J., On the convergence of weighted Fourier expansions with respect

to orthogonal polynomials. Acta Sci. Math. (Szeged) 61 (1995), no. 1-4, 345-355.

[16] Lasser, R.; Obermaier, J., Orthogonal expansions for Lp- and C-spaces. Special functions

(Hong Kong, 1999), 194-206, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2000.

[17] Lizorkin, P. I.; Nikol’skiı, S. M., Approximation by spherical functions. (Russian) Stud-

ies in the theory of differentiable functions of several variables and its applications, 11

(Russian). Trudy Mat. Inst. Steklov. 173 (1986), 181-189.

[18] Lizorkin, P. I.; Nikol’skiı, S. M., Approximation theory on the sphere, Proc. Steklov Inst.

Math., 172 (1987), 295-302.

[19] Menegatto, V. A., Approximation by spherical convolution, Numer. Funct. Anal. Optim.

18 (1997), no. 9-10, 995-1012.

[20] Menegatto, V. A.; Piantella, A. C. Approximation on the sphere by weighted Fourier

expansions. J. Appl. Math. 2005, no. 4, 321-339.

[21] Menegatto, V. A.; Piantella, A. C. Old and new on the Laplace-Beltrami derivative:

weighted approximation on the sphere. Submetido para publicação.

[22] Morimoto, M., Analytic functionals on the sphere. Translations of Mathematical Mono-

graphs, 178. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1998.

[23] Müller, C., Analysis of spherical symmetries in euclidean spaces. Applied Mathematical

Sciences, Vol. 129, Springer-Verlag, New York, 1998.

[24] Müller, C., Spherical harmonics. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 17, Springer-Verlag,

Berlin-New York, 1966.

[25] Munkres, J. R., Topology, a first course, Prentice-Hall,Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1975.

Referências Bibliográficas 95

[26] Pawelke, S., Über die Approximationsordnung bei Kugelfunktionen und algebraischen

Polynomen. (German) Tôhoku Math. J. (2) 24 (1972), 473-486.

[27] Reimer, M., Multivariate polynomial approximation. International Series of Numerical

Mathematics, 144. Birkhäuser Verlag, Basel, 2003.

[28] Rudin, W., Uniqueness theory for Laplace series. Trans. Amer. Math. Soc. 68, (1950).

287-303.

[29] Rudin, W., Principles of mathematical analysis. Third edition. International Series in

Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New York-Auckland-Düsseldorf,

1976.

[30] Schoenberg, I. J., Positive definite functions on sphere, Duke Math. J., 9 (1942), 96-108.

[31] Seeley, R. T., Spherical harmonics, American Math. Monthly, 73 (1966) no. 4 , Part II,

115-121.

[32] Shapiro, Harold S., Smoothing and approximation of functions. Revised and expanded

edition of mimiographed notes (Matscience Report No. 55). Van Nostrand Reinhold

Mathematical Studies. Van Nostrand Reinhold Co., New York-Toronto, Ontário-London,

1969.

[33] Stromberg, K.; Hewitt, E., Real and abstract analysis. A modern treatment of the theory

of functions of a real variable. Second printing corrected. Springer-Verlag, New York-

Berlin, 1969.

[34] Szegö, G., Orthogonal polynomials, American Mathematical Society Colloquium Publi-

cations, v. 23. American Mathematical Society, New York, 1939.

[35] Kunyang, W.; Luoqing, L., Harmonic analysis and approximation on the unit sphere,

Science Press, Beijing, 2000.

[36] Wehrens, M., Best approximation on the unit sphere in Rk, Functional analysis and

approximation (Oberwolfach, 1980), pp. 233-245, Internat. Ser. Numer. Math., 60,

Birkhäuser, Basel-Boston, Mass., 1981.

[37] Wehrens, M., Legendre-Transformationsmethoden und approximation von funktionen auf

der einheitskugel in R3. Doctoral Dissertation, RWTH Aachen, 1980.

96 Referências Bibliográficas

Tabela de símbolos

Sm Esfera unitária em Rm+1

Sm,tx Subesfera de Sm com pólo x e raio (1− t2)1/2

amk (K) Coeficiente da Fórmula de Funk-Heckeσm Área da superfície de Sm

σm(A) Medida do conjunto Adσm Elemento de medida usual sobre Sm

dy Elemento de medida de Sm,tx

dwm Elemento de medida sobre [−1, 1]d(k, i, j) Coeficiente da fórmula de linearização de DougallC

(m−1)/2n Polinômio de Gegenbauer de grau n associado a (m− 1)/2

C(Sm) Espaço das funções contínuas definidas em Sm

Dr Derivada forte de Laplace-Beltrami de ordem rHn(Rm+1) Espaço dos polinômios em m+ 1 variáveis que são harmônicos e

homogêneos de grau nHn(Sm) Espaço dos harmônicos esféricos de grau n em m+ 1 variáveisJr Operador integral de Laplace-Beltrami de ordem rLp(Sm) Espaço das funções f : Sm → C tal que |f |p é integrável em

relação a dσm

L1,m([−1, 1], dwm) Espaço das funções integráveis em relação a dwm sobre [−1, 1]N(m,n) Dimensão de Hn(Sm)Pn(Rm+1) Espaço dos polinômios em m+ 1 variáveis que são homogêneos de

grau nPn(Sm) Espaço das restrições a Sm dos polinômios homogêneos de grau n

em m+ 1 variáveisPn(Sm) Espaço dos polinômios esféricos de grau no máximo n em m+ 1

variáveisPm

n Polinômio de Legendre de grau n associado à dimensão m+ 1Sm

t Operador translação esféricaTn Operador de aproximaçãoW r

X Espaço das funções diferenciáveis no sentido da derivada forte deLaplace-Beltrami de ordem r

Yn Operador projeção esférica

97

98 Tabela de símblos

δnk Função delta de KroneckerΓ Função gama∆t Operador diferença esférica∆r

t r-ésima diferença esférica〈·, ·〉 Produto interno usual de Rm+1

〈·, ·〉2 Produto interno em L2(Sm)

Índice Remissivo

Aproximação da identidade, 64

em um ponto, 75

Coeficiente de Fourier, 9

Coeficiente de Fourier-Legendre , 20

Convolução esférica, 13, 26

Derivada forte de Laplace-Beltrami, 27

Desigualdade

de Minkowski para integrais, 23

Dimensão de Hn(Sm), 8

Elemento de medida sobre Sm, 5

Espaço

Pn(Sm), 6

C(Sm), 5

Lp(Sm), 5

L1,m([−1, 1], dwm), 12

W rX , 27

Hn(Sm), 6

Pn(Sm), 6

Fórmula de Funk-Hecke, 12

Fórmula de linearização de Dougall, 14

Função

Gh, 39

L, 33

Lh, 37

L, 31

harmônica, 6

homogênea, 6

positiva definida, 13

Harmônicos esféricos, 6

Integral de Laplace-Beltrami, 31, 34

K-funcional, 55

Módulo de suavidade esférico, 51

Núcleo bi-zonal, 60

Norma

de Smt , 22

de Tn, 61, 63

em Lp(Sm), 5

em W rX , 29

uniforme, 5

Operador

Tn, 59

auxiliar Arh, 41

diferença esférica, 25

integral de Laplace-Beltrami, 31, 34

projeção esférica, 17

Ordem de aproximação, 83

Polinômio

de Gegenbauer, 11

de Legendre, 11

esférico, 6

Problemas abertos, 91

Produto interno de L2(Sm), 6

Teorema da Adição, 11

Teorema do produto de Schur, 14

Translação esférica, 21

99

aproximação na esfera por uma soma com pesos de … · envolvendo a derivada forte,...

Documents