Probabilidades - 9º ano

Elaborado por Sandra Coelho

Em 1651 o Conde de Méré (viciado no jogo) viajava com Pascal ( homem que estudava religião e Matemática – inventor da máquina de calcular) e colocou-lhe a seguinte questão:

“ Eu e um amigo estávamos a jogar quando uma mensagem urgente nos obrigou a interromper o jogo. Tínhamos colocado em jogo 30 pistolas cada um ( 1 pistola = 2,5 € ). Ganharia as 60 pistolas o primeiro que obtivesse 3 vezes o número que escolheu no lançamento de um dado. Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi interrompido já tinha saído o 6 duas vezes. O meu amigo tinha escolhido o 1 que apenas tinha saído uma vez”.

Como dividir as 60 pistolas?

Pascal interessou-se por este problema e iniciou uma correspondência com o seu amigo Fermat para analisar a situação. Essa correspondência marca o início da Teoria das Probabilidades.

PascalFermat

A importância das probabilidades na sociedade

METEREOLOGIAÉ pouco provável que chova durante esta semana.

SEGUROSPorque é que um condutor com pouco tempo de carta paga mais seguro?

JOGOSPorque é que o totoloto tem 49 números e não 10 ou 20?

Termos e conceitos

Experiência

• Lançamento de uma moeda• Lançamento de um dado• Totoloto• Estado do tempo para a semana• Extracção de uma carta • Tempo que uma lâmpada irá durar

• Furar um balão cheio• Deixar cair um prego num copo de água• Calcular a área de quadrado de lado 9 cm

À partida o resultado é desconhecido

À partida já conhecemos o resultado

Termos e conceitos

Espaço de Resultados ou Espaço Amostral

Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória.

EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado

Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

EXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol

Espaço Amostral = S = {Vitória, Empate, Derrota }

EXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola de Totoloto

Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, ... ,47, 48, 49 }

Termos e conceitos

Acontecimentos

Um acontecimento é um subconjunto do espaço amostral

EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado

Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Acontecimento A: “Sair um nº par”

A = { 2, 4, 6 }

Acontecimento B: “ Sair um nº maior que 2”

B = { 3, 4, 5, 6 }

Termos e conceitos

Acontecimento

EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado

Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

ELEMENTAR COMPOSTO

A: “ Sair o nº 3 ”

A={ 3 }

Só tem um elemento

B: “ Sair o nº ímpar ”

B={ 1, 3, 5 }

Tem mais do que um elemento

Termos e conceitos

Acontecimento

EXPERIÊNCIA: Lançamento de um rapa

Espaço Amostral = S = { R, T, D, P }

IMPOSSÍVEL CERTO

“ Sair a letra X ” “ Sair uma consoante ”

POSSÍVEL

“ Sair a letra T ”

Modos de definir probabilidade de um acontecimento

Lei de LAPLACE

1749 - 1827

Definição clássica de probabilidade

Lei de LAPLACEEXPERIÊNCIA: Lançamento de uma moeda

S = { F, V }

A moeda tem duas faces: F – frente; V - verso

Qual é a probabilidade de sair F no lançamento de uma moeda?

( )possíveis casos de Número

favoráveis casos deNúmero=FP

Nº casos favoráveis = 1

Nº casos possíveis = 2( ) %505,0

2

1 ===FP

Atenção!!! A regra de Laplace só é aplicável quando os acontecimentos elementares têm a mesma probabilidade

Cálculo de ProbabilidadesEXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado

( )6

1

possíveis casos de nº

favoráveis casos denº ==AP

Calcula a probabilidade de cada um dos acontecimentos:

A: “ Sair o número 5 “1) Só há uma face “5”

Um dado tem 6 faces

2) B: “ Sair um número maior que 2 “

Nº casos favoráveis = 4

Nº casos possíveis = 6( )

3

2

6

4 ==BPB = { 3, 4, 5, 6 }

Cálculo de ProbabilidadesEXPERIÊNCIA: Lançamento de dois dados

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Qual é o espaço de resultados?

Qual é a probabilidade de sair dois números maiores que 4?

9

1

36

4 ==P

Cálculo de ProbabilidadesEXPERIÊNCIA: Ementa de restaurante

• Arroz de frango• Bife grelhado• LampreiaSobremesa:• Fruta da época• Pudim

Prato:

Entrada:• Sopa• Canja

Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada uma, uma entrada, um prato e uma sobremesa?

Entrada Prato Sobremesa Refeição

S

C

A

B

L

A

B

L

FPFPFP

FPFPFP

( S,A,F )( S,A,P )( S,B,F )( S,B,P )

( S,L,P )( S,L,F )

( C,A,F )( C,A,P )( C,B,F )( C,B,P )( C,L,F )( C,L,P )

12 refeições diferentes!

Cálculo de ProbabilidadesEscolhida uma refeição ao acaso qual é a probabilidade de comer arroz ou fruta?

3

2

12

8 ==P

Qual é a probabilidade de não comer Lampreia nem Pudim?

Entrada Prato Sobremesa Refeição

S

C

A

B

L

A

B

L

FPFPFP

FPFPFP

( S,A,F )( S,A,P )( S,B,F )( S,B,P )

( S,L,P )( S,L,F )

( C,A,F )( C,A,P )( C,B,F )( C,B,P )( C,L,F )( C,L,P )

3

1

12

4 ==P

Como determinar a probabilidade de um acontecimento a partir da experiência

Lançamento de um dado perfeito 100 vezes

Frequência absoluta ou efectivo de um

acontecimento é o número de vezes que

esse acontecimento se verif ica

Frequência absoluta ou efectivo E se o número de efectivos aumentar? Vamos investigar o que se passa: * lançando o dado perfeito um maior nº de vezes. * comparando os resultados obtidos

Frequência relativa de um acontecimento é o

quociente entre a frequência absoluta e o nº total de

observações.

Lei dos grandes números

Esta experiência entre outras confirmam a LEI DOS GRANDES NÚMEROS:

Para um grande nº de experiências a frequência relativa de um acontecimento A é um valor aproximado da sua probabilidade: p(A)= Frequência relativa de A

Conclusão Se numa experiência aleatória os resultados

se prevêem equiprováveis, podes determinar a probabilidade de um acontecimento:

Previamente (antes de realizar a experiência), aplicando a Lei de Laplace.

Empiricamente (realizando a experiência), aplicando a Lei dos Grandes Números.