Cálculo

Curso de Sistema de Informação

Prof. Ma. Polyanna Possani da Costa Petry

Propriedades do Cálculo de Limite:

Observação: Nem todos os limites podem ser calculados pela substituição direta. Estes são os casos onde a função não está definida no ponto 𝑎 ou ainda lim

𝑥→𝑎𝑓 𝑥 ≠ 𝑓(𝑎).

Vejamos alguns exemplos:

a) lim𝑥→5

𝑥2−25

𝑥−5

b) lim𝑥→4

𝑓 𝑥 , com 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 4 5 𝑠𝑒 𝑥 = 4

c) lim𝑡→0

𝑡2+9 −3

𝑡2

Propriedades do Cálculo de Limite:

Exercício: Calcule os limites, caso existam:

a) lim𝑥→4

𝑓 𝑥 , com 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 4 𝑠𝑒 𝑥 > 4 8 − 2𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 4

b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→0

(3+𝑥)2 −9

𝑥

c) lim𝑥→4

𝑥 − 2

𝑥−4

d) lim𝑥→1

𝑥2−5𝑥+4

𝑥−1

e) lim𝑥→0

𝑥+3 − 3

𝑥

f) lim𝑥→1

𝑥3−3𝑥+2

𝑥2−1

Limites Infinitos

Para discutir limite infinito, consideremos o seguinte limite

lim𝑥→0

1

𝑥2

Observe que para

𝑥 = 0,5 temos 1

(0,5)2=

1

0,25= 4

𝑥 = 0,25 temos 1

(0,25)2=

1

0,0625= 16

𝑥 = 0,1 temos 1

(0,1)2=

1

0,01= 100

𝑥 = 0,01 temos 1

(0,01)2=

1

0,0001= 10.000

𝑥 = 0,001 temos 1

(0,001)2=

1

0,000001= 1.000.000

Limites Infinitos

A medida que 𝑥 se aproxima de 0, 𝑥2 também se aproxima de 0

e desta forma 1

𝑥2 fica muito grande.

Assim, os valores de 𝑓(𝑥) não tendem a um número 𝑎 e

portanto não existe lim𝑥→0

1

𝑥2.

Limites Infinitos

Para indicar esse comportamento, usamos a notação lim𝑥→0

1

𝑥2 = ∞

Alguns outros casos:

FIGURAS

A reta 𝑥 = 𝑎 é chamada de assíntota vertical da curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 .

Limites Infinitos

Exemplos: Calcule os limites.

1) lim𝑥→0

1

𝑥3

2) lim𝑥→3+

𝑥2+𝑥+2

𝑥2−2𝑥−3

Exercício: Calcule os limites e encontre as assíntotas verticais.

1) lim𝑥→3−

𝑥2+𝑥+2

𝑥2−2𝑥−3

2) lim𝑥→3

5

𝑥−3 2

Limites no Infinito

Para discutir limite no infinito, consideremos o seguinte limite

lim𝑥→∞

1

𝑥2

Observe que para

𝑥 = 10 temos 1

102 =1

100= 0,01

𝑥 = 100 temos 1

1002 =1

10.000= 0,0001

𝑥 = 1.000 temos 1

1.00002 =1

1.000.000= 0,000001

Se 𝑟 > 0 for um número racional então

lim𝑥→∞

1

𝑥𝑟 = 0 e lim𝑥→−∞

1

𝑥𝑟 = 0

Limites no Infinito

Para calcular o limite no infinito de uma função racional, primeiro dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de 𝑥.

Exemplo:

lim𝑥→∞

3𝑥2 − 𝑥 − 2

5𝑥2 + 4𝑥 + 1

Exercício: Calcule os limites

1) lim𝑥→∞

2𝑥2

𝑥2+1

2) lim𝑥→∞

4𝑥−3

2𝑥+5

3) lim𝑥→−∞

2𝑥2−𝑥+5

4𝑥3−1

Limites no Infinito

A reta 𝑦 = 𝐿 é chamada assíntota horizontal.

Limites Trigonométricos

Antes de prosseguirmos, lembremos de algumas identidades trigonométricas.

Algumas Identidades Fundamentais:

• cossec 𝜃 =1

sen 𝜃

• sec 𝜃 =1

cos 𝜃

• tg 𝜃 =sen 𝜃

cos 𝜃

• cotg 𝜃 =1

tg 𝜃

• sen2𝜃 + cos2 𝜃 = 1

• 1 + tg2 𝜃 = sec2 𝑥

Limites Trigonométricos

Primeiro Limite Fundamental

lim𝑥→0

sen 𝑥

𝑥= 1

A partir do primeiro limite fundamental e utilizando algumas identidades trigonométricas podemos calcular muitos outros limites trigonométricos.

Vejamos alguns exemplos:

a) lim𝑥→0

sec 𝑥−1

𝑥2 sec 𝑥

b) lim𝑥→0

tg 𝑥

𝑥

c) lim𝑥→0

sen 3𝑥

𝑥