MATEMÁTICA

Aula 14 – Matrizes

Prof. Anderson

Conceito

Matrizes com Nomes Especiais

Igualdade de Matrizes

Operações com Matrizes

Matriz Inversa

AssuntosAULA 14 – Matrizes

As matrizes são quantidades de dados passíveis de serem adicionadas e multiplicadas dispostas na forma de uma tacelaretangular. Uma matriz é formada por linhas, que são conjuntos de dados dispostos horizontalmente e por colunas, conjuntos de dados dispostos verticalmente. Cada elemento presente em uma matriz é indicado por uma letra minúscula que possui como índice um par ordenado que representa o número da linha e o da coluna.

ConceitoAULA 14 – Matrizes

Costuma-se representar total de linhas de uma matriz pela letra m e o número total de colunas por n. Os valores de m e de n são as dimensões da matriz.

Matrizes devem ser escritas com parênteses ou colchetes àesquerda e à direita, sendo as duas maneiras equivalentes. Uma matriz é indicada por uma letra maiúscula. Seus elementos são indicados usando a mesma letra, porém minúscula, com a linha e coluna usados como índice (nesta ordem). Assim, o elemento da 3ª coluna na 2ª linha da matriz A será a23.

Assim, na matriz de 2 linhas e 3 colunas, temos:

NotaçãoAULA 14 – Matrizes

Ordem de uma matriz refere-se ao seu número de linhas e colunas. É apresentada na notação m×n, onde m é o número de linhas e n o de colunas. Lê se "m por n".

A matriz é uma matriz de ordem 2×3 com

elementos naturais.Nesse exemplo, o elemento a1 2 é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

Ordem de uma MatrizAULA 14 – Matrizes

As entradas (símcolos) de uma matriz tamcémpodem ser definidas de acordo com seus índicesi e j.Por exemplo, aij = i + j, para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a matriz 3x2

1. Escreva a matriz c = (cij)3 x 2 tal que cij = 2i – j.Solução:A matriz c tem 3 linhas e duas colunas. Portanto do tipo:

Como a regra indicada para encontrarmos os elementos é cij = 2i – j, temos que:

c11 = 2.1 – 1 = 1c12 = 2.1 – 2 = 0c21 = 2.2 – 1 = 3c22 = 2.2 – 2 = 2c31 = 2.3 – 1 = 5c32 = 2.3 – 2 = 4

Logo, a matriz procurada é:

Exercício ResolvidoAULA 14 – Matrizes

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3231

2221

1211

bbbbbb

B

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

452301

B

1. Escreva as matrizes:a. A = (cij) 4 x 2 , tal que cij = 2i + j – 1b. B = (eij) 3 x 3 , tal que eij = (-1)i + j

Exercícios de FixaçãoAULA 14 – Matrizes

a. A = (cij) 4 x 2 , tal que cij = 2i + j – 1Solução:A matriz A tem 4 linhas e 2 colunas. Como a regra indicada para encontrarmos os elementos é cij = 2i + j – 1, temos que:

c11 = 2.1 + 1 – 1 = 2c12 = 2.1 + 2 – 1 = 3c21 = 2.2 + 1 – 1 = 4c22 = 2.2 + 2 – 1 = 5c31 = 2.3 + 1 – 1 = 6c32 = 2.3 + 2 – 1 = 7c41 = 2.4 + 1 – 1 = 8c42 = 2.4 + 2 – 1 = 9

Logo, a matriz procurada é: A =

Exercícios de FixaçãoAULA 14 – Matrizes

2 34 56 78 9

b. B = (eij) 3 x 3 , tal que eij = (-1)i + j

Solução:A matriz A tem 4 linhas e 2 colunas. Como a regra indicada é eij = (-1)i + j, temos que:

e11 = (-1)1 + 1 = 1e12 = (-1)1 + 2 = -1e13 = (-1)1 + 3 = 1 e21 = (-1)2 + 1 = -1e22 = (-1)2 + 2 = 1 e23 = (-1)2 + 3 = -1 e31 = (-1)3 + 1 = 1 e32 = (-1)3 + 2 = -1 e33 = (-1)3 + 3 = 1

Logo, a matriz procurada é: B =

Exercícios de FixaçãoAULA 14 – Matrizes

1 –1 1– 1 1 –11 –1 1

A – MATRIZ COLUNA

É a matriz que tem apenas uma coluna.

Exemplo:

B – MATRIZ LINHA

É a matriz que tem apenas uma linha.

Exemplo: A = (2 5 7)

Matrizes com Nomes EspeciaisAULA 14 – Matrizes

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=31

2A

C – MATRIZ QUADRADAÉ a matriz que tem o número de linha e colunas iguais.

Exemplo:

Observação: A matriz quadrada é designada simplesmente matrizde ordem n, onde n é o número de linhas. A matriz A no exemplo éuma matriz de ordem 3.

D – MATRIZ NULAÉ a matriz em que todos os elementos são iguais a zero.

Exemplo:

Matrizes com Nomes EspeciaisAULA 14 – Matrizes

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

7451003132

A

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0000

A

E – MATRIZ DIAGONALAntes de definirmos matriz diagonal, vamos conhecer as diagonaisde uma matriz quadrada.

Chamamos de matriz diagonal toda a matriz em que apenas oselementos da diagonal principal são diferentes de zero.

Exemplo:

Matrizes com Nomes EspeciaisAULA 14 – Matrizes

diagonal principal diagonal secundária

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

500040002

A

AULA 14 – MatrizesMatrizes com Nomes Especiais

F – MATRIZ INDENTIDADEÉ a matriz onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são iguais a 0. Representa-se por In , onde n é a ordemda matriz quadrada.

Exemplo:

G – MATRIZ TRANSPOSTAA transposta de uma matriz Am × n é a matriz At

n × m em que , ouseja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementosda primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da m coluna.

Exemplo:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100010001

3I

AULA 14 – MatrizesMatrizes com Nomes Especiais

F – MATRIZ OPOSTAChama-se matriz oposta de A (indicada por –A) a matriz que se obtém trocando-se os sinais de todos os elementos da matriz A.

Exemplo: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

0132

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=−0132

A

AULA 14 – MatrizesExercício Resolvido

1. Sabendo que a matriz A é nula, determine os valores de x e y:

Solução:

2x + 4 = 0 ⇒ 2x = -4 ⇒ x = -1

y – 2 = 0 ⇒ y = 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

02420

yx

A

AULA 14 – Matrizes

1. Sendo as matrizes e , calcule x

e y de modo que .

2. Sejam as matrizes e

Se , determine x, y, z e t.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=112

52A ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−

=152yyxyx

B

tB

Exercícios de Fixação

A =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−+

=

1640

32324

tzyx

zyx

A

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

=

136140

323245

B

tt BA =

AULA 14 – MatrizesExercícios de Fixação

3. Determine os valores de a e b, de modo que a matriz abaixo sejanula:

4. Determine os valores de a e b de modo que a matriz abaixo sejamatriz diagonal:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−+

=000084001220

ab

B

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=

51841

ab

A

AULA 14 – Matrizes

1. Sendo as matrizes e , calcule x

e y de modo que . Solução:

Primeiro achamos Bt que é

Agora podemos fazer as contas:

x + y = 12x – y = 22x = 14 x = 7

7 + y = 12 y = 12 – 7 = 5

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=112

52A ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−

=152yyxyx

B

tB

Exercícios de Fixação

A =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−

=1

52yx

yyxBt

+

2. Sejam as matrizes e

Se , determine x, y, z e t.Solução:Primeiro Fazemos a transposição das matrizes

Exercícios de FixaçãoAULA 14 – Matrizes

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−+

=

1640

32324

tzyx

zyx

A

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

=

136140

323245

B

tt BA =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=113234246035

tB⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−+

=132

424603

yxtzz

yxAt

AULA 14 – MatrizesExercícios de Fixação

Agora podemos fazer as contas:x + y = 5x – y = -12x = 4 x = 22 + y = 5 y = 5 – 2 = 32z = 2 z = 1z – t = -3 1 – t = -3 t = 1 + 3 = 4Portanto a solução é:t = 4x = 2y = 3z = 1

+

AULA 14 – MatrizesExercícios de Fixação

3. Determine os valores de a e b, de modo que a matriz abaixo sejanula:

Solução:A matriz nula é aquela em que todos os elementos são iguais a zero.Neste caso basta igualarmos as expressões a zero:2b + 12 = 0 2b = -12 b = -64a – 8 = 0 4a = 8 a = 2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−+

=000084001220

ab

B

AULA 14 – MatrizesExercícios de Fixação

4. Determine os valores de a e b de modo que a matriz abaixo sejamatriz diagonal:

Solução:A matriz diagonal é aquela em que apenas os elementos dadiagonal principal são diferentes de zero.Neste caso basta igualarmos as expressões a zero:4b - 8 = 0 4b = 8 b = 2a + 1 = 0 a = -1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=

51841

ab

A

AULA 14 – MatrizesIgualdade de Matrizes

Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)pxq, podemos afirmar que A e

B são iguais se e somente se:

1. m = p e n = q (ou seja, se elas têm a mesma ordem);

2. aij = bij para todo 1 ≤ i ≤ m e 1 _ j _ n.

AULA 14 – MatrizesExercício Resolvido

1. Sejam as matrizes: Determine a, b e c, de modo que A = B.

Solução:Neste caso basta igualarmos as expressões de B aos valores de A:2a = 2 a = 1-b = 7 b = -73 + c = 3 c = 3 – 3 = 0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

43152

431752

cba

B

A

AULA 14 – MatrizesExercício de Fixação

1. Sendo as matrizes e , achar os

valores de x, y, m e n para que se tenha A=B.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−+

=nmyxnmyx

A32 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=10168

B

AULA 14 – MatrizesExercício de Fixação

1. Sendo as matrizes e , achar os

valores de x, y, m e n para que se tenha A=B.

Solução:Devemos resolver 2 sistemas, sendo o primeiro:x + y = 8x – 2y = -1Multiplicamos a primeira equação por 2 para podermos anular y:2x + 2y = 16x – 2y = -13x = 15 x = 52.5 + 2y = 16 2y = 16 – 10 = 6 y = 6/2 = 3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−+

=nmyxnmyx

A32 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=10168

B

+

AULA 14 – MatrizesExercício de Fixação

Agora resolvemos o 2º sistema:3m + n = 10m – n = 64m = 16 m = 43.4 + n = 10 n = 10 – 12 = -2

Portanto a solução éx = 5y = 3m = 4n = -2

+