Geometria: ângulos Professor Diego Viug

O ângulo e seus elementos

Regiões e ângulos especiais

O ângulo e seus elementos

Ângulo é a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem.

Determine a medida de x nas figuras abaixo:

a) 315° b) 50° c) 80°

x

45° 70°

40°

20°

x 100°

x

Determine a medida de x nas figuras abaixo:

d) 120° e) 300° f) 290°

45°

15° x

60°

x

70°

Medida de um ângulo

Grau: a unidade padrão

Transformação de unidades

Medida de um ângulo

Operações com medidas de ângulos

Adição

30° 48’ + 45° 10’

10° 36’ 30” + 23° 45’ 50”

Medida de um ângulo

Subtração

70° 25’ – 30° 15’

38° 45’ 50” – 27° 35’ 35”

Medida de um ângulo

Subtração

90° – 35’ 49’ 46”

80° 48’ 30” – 70° 58’ 55”

Exercícios

Calcule as somas abaixo:

a) 25° 12’ + 37 ° 20’

b) 86 ° 52’ 50’’ + 39 ° 43’ 20’’

c) 52° 30’ + 13 ° 30’

d) 35 ° 39’ 16’’ + 80 ° 20’ 44’’

e) 30° 21’ + 38 ° 12’ 10’’

f) 45 ° 12’ 37’’ + 47 ° 49’ 38’’

g) 121 ° 45’ + 43 ° 40’

h) 42 ° 30’ + 47 ° 30’

Exercícios

Calcule as diferenças abaixo:

a) 180° - 127 ° 49’

b) 75 ° 21’ - 49 ° 33’

c) 45° 20’ - 30° 30’ 30’’

d) 47 ° 39’ 25’’ - 29 ° 31’ 45’’

e) 93° 21’ - 39 ° 47’

f) 80 ° 49’ 32’’ - 73 ° 51’ 46’’

g) 45 ° 20’ 20’’ - 37 ° 37’ 37’’

h) 180 ° - 110 ° 27’ 38’’

Multiplicação por um número natural

2 . (36° 25’)

4 . (15° 12’)

5 . (12° 36’ 40”)

Divisão por um número natural

(40° 20’) : 2

(45° 20’) : 4

(50° 17’ 30”) : 6

Exercícios

Calcule os produtos abaixo:

a) 6 . (45° 12’)

b) 4 . (12 ° 30’)

c) 7 . (1° 10’ 13’’)

d) 4 . (32° 49’)

e) 3 . (37° 45’)

f) 2 . (12 ° 30’)

g) 7 . (30° 30’ 30’’)

h) 5 . (45 ° 12’ 56’’)

i) 8 . (25 ° 20’ 20’’)

j) 12 . (50’ 30’’)

Exercícios

Calcule os quocientes:

a) 15° : 3

b) 72 ° 46’ 25’’ : 5

c) 15° : 8

d) 84° 40’ 20’’ : 2

e) 11° : 8

f) 37° 29’ 30’’ : 3

g) 25° 17’ : 3

h) 39° 11’ 40’’ : 2

i) 98° 56’ : 2

j) 42° 35’ 20’’ : 8

Ângulos congruentes

Dois ângulos são congruentes quando possuem a mesma medida.

Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes

Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado comum.

Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.

Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo é a semirreta, com origem no vértice, que divide o ângulo em dois outros ângulos congruentes.

Agudo, reto e obtuso

Ângulo agudo é o ângulo que possui medida menor do que 90°.

Ângulo reto é aquele que possui medida 90°.

Agudo, reto e obtuso

Ângulo obtuso é aquela que possui medida maior do que 90°.

Ângulos complementares

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90°.

Exercícios

Determine o valor de x, nas figuras, sabendo que os dois ângulos formados são adjacentes complementares:

a) b) c)

8x

x

x

x+ 30°

5x

5x

Exercícios

Determine o valor de x, nas figuras, sabendo que os dois ângulos formados são adjacentes complementares:

d)

x + 35°

𝒙 + 𝟑𝟓° = 𝟔𝟓°

𝐞𝒙 − 𝟓° = 𝟐𝟓°

x - 5°

Ângulos suplementares

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180°.

Exercícios Calcule o valor de x nas figuras, sabendo que os dois ângulos formados são adjacentes suplementares:

a) b) c)

130° x 5x - 90°

3x + 30° x - 45°

x + 45°

Ângulos replementares

Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é 360°.

Ângulos opostos pelo vértice

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Exercícios

Determine o valor de x nas figuras abaixo:

a) b)

2x + 100°

6x

5x - 20° 3x - 20°