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* Graduandos do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal do Amapá-UNIFAP.** Professor Mestre- Orientador do Colegiado do Curso de Licenciatura em Matemática pela Universidade Federal

do Amapá-UNIFAP.

APRENDIZAGEM DE CÍRCULOS E ESFERA ATRAVÉS DE MATERIAIS

MANIPULATIVOS DE COORDENADAS GEOGRÁFICAS NO ENSINO

FUNDAMENTAL

Elcimar Braga da Costa* Valdeci da Silva Guedes*

Sergio Barbosa de Miranda **

Resumo

O trabalho consiste em uma pesquisa bibliográfica e de campo. Discutiu-se ideias da geometria não euclidiana com uso das esferas de isopor, que são conteúdos que desenvolve demonstrações do dia-a-dia. Dessa forma, os materiais manipulativos para aprender matemática permitem ao alunos argumentar e analisar situações-problema. De acordo, com a proposta didática aplicada em sala de aula a maioria dos alunos compreenderam que a esfera e o círculo estão presente e relacionados com diversas situações. Assim, a contribuição do uso dos materiais manipulativos estabeleceu ao aluno a construir uma ideia ou procedimento de reflexão matemática. Nessa perspectiva, os alunos aprenderam construir e usar ferramenta educacional como recurso nas aulas de matemática.

Palavras chaves: geometria, coordenadas geográficas, matemática,

interdisciplinaridade.

Abstract

The work consists of a bibliographical and field research. Geometry ideas are discussed non-Euclidean with Styrofoam balls, because the circle and the sphere are content that develops statements of day-to-day. Therefore, they contribute to the construction of figures. And across geographical coordinates allow students an understanding of geometry, in an understanding of a more applied mathematics. The research was conducted with students from 9th grade of Elementary Education of the State School D. Pedro I in the city of Mazagão, and obtained as a result a significant advantage of using the protractor Spherical-TE instrument.

Key words: geometry, geographic coordinates, mathematics, interdisciplinary.

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Introdução

A Proposta de utilizar recursos como modelos e materiais didáticos nas aulas

de matemática não é recente. Desde de Comenius (1592-1670) publicou sua

Didactica Magna recomenda-se que recursos os mais diversos sejam aplicados nas

aulas para “desenvolver uma melhor e maior aprendizagem”. Nessa obra, o autor

citado chega mesmo a fazer recomendações que nas aulas sejam pintados de

fórmulas e resultados nas paredes e que muitos modelos sejam construídos para

ensinar geometria.

Os materiais manipulativos há muito vêm despertando o interesse dos

professores e, atualmente, é quase impossível que se discuta o ensino de matemática

sem fazer referência a esse recurso. No entanto, a despeito de sua função para o

trabalho em sala de aula, seu uso idealizado há mais de um século não pode ser

aceito hoje de forma irrefletida. Outras são as nossas concepções de aprendizagem

e vivemos em outra sociedade em termos de acesso ao conhecimento e da posição

da criança na escola e na sociedade (DINIZ et al, 2012).

Dessa argumenta-se: Qual a importância do uso do círculo e da esfera no

contexto matemático? E qual a contribuição desse tema para as coordenadas

geográficas?

A justificativa que no período de estágio supervisionado encontrou-se nas

aulas de matemática o uso dos materiais é a de que, por serem manipuláveis, são

concretos para o aluno.

Alguns pesquisadores, ao analisar o uso de materiais concretos e jogos no

ensino da matemática, dentre eles Martos (2002), alertam para o fato de que, a

despeito do interesse e da utilidade que os professores veem em tais recursos, o

concreto para a criança não significa necessariamente materiais manipulativos.

Encontramos em Machado (1990, p. 46) a seguinte observação a respeito do termo

“concreto”.

O objetivo da pesquisa foi investigar a importância dos materiais

manipulativos como recurso nas aulas de círculos e esfera; descrevendo a

importância dessa Ferramenta Educacional no processo de Ensino-Aprendizagem;

discutindo o Círculo e a Esfera no Contexto Histórico e analisando o uso de materiais

manipulativos (isopor) para o estudo das coordenadas geográficas através do

aprendizado matemático.

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As hipóteses levantadas são: Os materiais manipulativos permitem ao aluno

aprender matemática, as construções de figuras através das coordenadas geográficas

permitem o entendimento de geometria mais prática e as ideias da geometria não

euclidiana contribui para a compreensão de uma matemática mais aplicada na vida

do aluno.

Granja e Pastore (2012), Eves e Domingues (2000) e Ávila (1990) com intuito,

de compreender o uso da circunferência e do círculo, como ferramenta educacional

no processo de ensino-aprendizagem, isto é, um importante material manipulativo

para Ensino Fundamental.

Através do tema pode-se fazer relação com outras áreas de conhecimento,

exemplo disso, a relação com estudo das coordenadas geográficas que permite a

interdisciplinaridade.

Destinou-se a análise e discussão da pesquisa do círculo e da esfera no

contexto matemático para as coordenadas geográficas, que teve como público alvo

25 alunos do Ensino Fundamental da Escola Estadual D.Pedro I.

O presente trabalho foi dividido em sete tópicos: (1) Introdução; (2) Os Materiais

Manipulativos como Ferramenta Educacional; (3) O Círculo e a Esfera no Contexto

Histórico; (4) O uso dos Materiais Manipulativos (Isopor) para o Estudo das

Coordenadas Geográficas (5) Metodologia; (6) Resultado e Discussão e (7)

Conclusão.

Referencial Teórico

Os Materiais Manipulativos como Ferramenta Educacional

Educadores como Pestalozzi (1746-1827) e Froëbel (1782-1852) propuseram

que a atividade dos jovens seria o principal passo para uma “educação ativa”. Assim,

na concepção deste dois educadores, as descrições deveriam preceder as definições

e os conceitos nasceriam da experiência direta e das operações que o aprendiz realiza

sobre as coisas que observasse ou manipulasse (DINIZ, et al, 2012).

Sem dúvida, foi a partir do movimento da Escola Nova – e dos estudos e

escritos de John Dewey (1859-1952) – que as preocupações com um método ativo de

aprendizagem ganharam força. Educadores como Maria Montessori (1870-1952) e

Decroly (1871-1932), inspirados nos trabalhos de Dewey, Pestalozzi e Froëbel,

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criaram inúmeros jogos e materiais que tinham como objetivos melhorar o ensino de

matemática (SMOLE, 2010).

O movimento da Escola Nova foi uma corrente da pedagógica que teve início

na metade do século XX, sendo renovador para a época pois questionava o enfoque

pedagógico da escola tradicional, fazendo oposição ao ensino centrado na tradição,

na cultura intelectual e abstrata, na obediência, na autoridade, no esforço e na

concorrência (DINIZ, et al, 2012).

É Importante lembrar também que, a partir dos trabalhos de Jean Piaget

(1896-1980), os estudos da escola de Genebra revolucionaram o mundo com suas

teorias sobre a aprendizagem da criança. Seguidores de Piaget, como Ávila (1990)

tentaram transferir os resultados das pesquisas teórica para a escola por meio de

materiais amplamente divulgados por eles, como os blocos lógicos (DINIZ, et al,

2012).

A autora Diniz et al (2012), ressalta a importância dos materiais manipulativos.

Desde sua idealização, esses materiais têm sido discutidos e muitas têm sido as

justificativas para a sua utilização no ensino de matemática. Vamos, então, procurar

relacionar os argumentos do passado, que deram origem aos materiais manipulativos

na escola, com sua significação para o ensino de hoje.

A criança aprende o que faz sentido para ela. No passado, dizia-se que os materiais facilitariam a aprendizagem por estarem próximos a realidade da criança. Atualmente, uma das justificativas comumente usadas para o trabalho com materiais didáticos nas aulas de matemática é a de que tal recurso torna o processo de aprendizagem significativo (DINIZ et al, 2012).

Já Coll (1995) afirma que, normalmente, insistimos em que apenas as

aprendizagens significativas conseguem promover o desenvolvimento pessoal dos

alunos e valorizamos as propostas didáticas e as atividades de aprendizagem em

função da sua maior ou menor potencialidade para promover aprendizagens

significativas.

Logo, Diniz et al (2012), elaborou uma proposta da importância dessa

ferramenta educacional no processo de ensino-aprendizagem. Os pressupostos da

aprendizagem significativa são:

O aluno é o verdadeiro agente e responsável último por seu próprio processo

de aprendizagem;

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A aprendizagem dá-se por descobrimento ou reinvenção;

A atividade exploratória é um poderoso instrumento para a aquisição de novos

conhecimentos porque a motivação para explorar, descobrir e aprender está

presente em todas as pessoas de modo natural.

No entanto, Freeman (2002) citado por Diniz et al (2012), faz uma observação

para o fato de que não basta a exploração para que efetive a aprendizagem

significativa. Para esse pesquisador, construir conhecimento e formar conceitos

significa compartilhar significados, e isso é um processo fortemente impregnado e

orientado pelas formas culturais. Dessa forma, os significados que o aluno constrói

são o resultado do trabalho do próprio aluno, sem dúvida, mas também dos conteúdos

de aprendizagem e da ação do professor.

Assim é que de nada valem materiais didáticos na sala de aula se eles não

estiverem atrelados a objetivos bem claros e se seu uso ficar restrito apenas à

manipulação ou ao manuseio que o aluno quiser fazer dele.

Outro ponto a ser destacado pelos autores Smole (2010) e Diniz et al (2012),

é que os materiais manipulativos são representações de ideias matemáticas. Desde

sua origem, os materiais são pensados e construídos para realizar com objetos aquilo

que deve corresponder a ideias ou propriedades que se deseja ensinar aos alunos.

Assim, os materiais podem ser entendidos como representações materializadas de

ideias e propriedades.

Segundo Monteiro, (2001), a simulação desempenha um importante papel na

tarefa de compreender e dar significado a uma ideia, correspondendo às etapas da

atividade intelectual anteriores à exposição racional, ou seja, anteriores à

conscientização. Algumas dessas etapas são a imaginação, a bricolagem mental, as

tentativas e os erros, que se revelam fundamentais no processo da aprendizagem da

matemática.

Para o referido autor, a simulação não é entendida como uma ação

desvinculada da realidade do saber ou da relação com o mundo, mas antes um

aumento de poderes da imaginação e da intuição. Nas situações de ensino com

materiais, a simulação permite que o aluno formulo hipóteses, inferências, observe

regularidades, ou seja, participe e atue em um processo de investigação que o auxilia

a desenvolver noções significativamente, ou seja, de maneira refletida.

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Em se tratando da importância dessa ferramenta no aprendizado matemático,

Diniz et al (2012) relata que essa ferramenta educacional permitem melhor

aprendizagem em matemática e foi em parte explicada anteriormente, quando

enfatizamos que a forma como as atividades são propostas e as interações do aluno

com o material é que permitem que, pela reflexão, ele se apoie na vivência para

aprender.

Porém, a linguagem matemática também se desenvolve quando são

utilizados os materiais manipulativos, isso porque os alunos naturalmente verbalizam

e discutem suas ideias enquanto trabalham com o material.

Não há dúvida de que, ao refletir sobre as situações colocadas e discutir com

seus pares, o aluno estabelece uma negociação entre diferentes significados de uma

mesma noção. De acordo com Smole (2010, p. 15):

O processo de negociação solicita a linguagem e os termos matemáticos apresentados pelo material. É pela linguagem que o aluno faz a transposição entre as representações implícitas no material e as ideias matemáticas, permitindo que ele possa elaborar raciocínios mais complexos do que aqueles presente na ação com os objetivos dos material manipulativo. Pela comunicação falada e escrita se estabelece a mediação entre as

representações dos objetos concretos e as das ideias.

Dessa forma, os alunos estarão interagindo sobre matemática quando as

atividades propostas a eles forem oportunidades para representar conceitos e as

definições de diferentes formas e para discutir como as representações que refletem

o mesmo conceito.

Logo, o uso das atividades com materiais manipulativos permitem, o trabalho

em grupo é elemento essencial na prática de ensino como uso de materiais

manipulativos.

Segundo Smole (2010) citado por Diniz et al (2012), acredita-se que os

materiais manipulativos podem ser úteis se provocarem a reflexão por parte dos

alunos de modo que elas possam criar significados para ações que realizam com eles.

Não é o uso específico do material com os alunos o mais importante para a construção

do conhecimento matemático, mas a conjunção entre o significado que a situação na

qual ele aparece tem para a criança, as suas ações sobre o material e as reflexões

que faz sobre tais ações.

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O Círculo e a Esfera no Contexto Histórico

O círculo e a esfera são formas geométricas que aparecem em várias

civilizações e sociedades associada a rituais religiosos, a astronomia, a arquitetura ou

tecelagem. São considerados por alguns historiadores da matemática como os

símbolos mais antigo desenhado pelo homem e suas origens remonta à pré-história.

Com relação ao cálculo da área do círculo são encontrados vários métodos e

fórmulas nas antigas civilizações chinesa, babilônica, egípcia e indiana. Algumas

destas fórmulas são exatas e outras aproximadas (GRANJA e PASTORE, 2012).

Assim, cada civilização possui seu papel fundamental no desenvolvimento do

estudo de círculo e a esfera.

Já a autora Smole (2010), relata a importância dos celtas do estudo do círculo.

Dentre tantos monumentos do mundo antigo, para nós ocidentais o enigma

arquitetônico mais famoso e intrigante é Stonehenge. O círculo, o labirinto, é uma

forma presente em todas as tradições e culturas, e esse é um legado da tradição e

cultura celta. Como toda cultura constitui um todo indissociável, esse monumento

demonstra que estamos todos integrados no tempo; e que presente e passado são

facetas de uma mesma existência.

Outra civilização importante para a contribuição do estudo da esfera e círculo

foram os chineses. Gerdes (1995) afirma, que a civilização da China é muito mais

antiga que as da Grécia e Roma. Datar os documentos matemáticos da China não é

nada fácil, e estimativas quanto ao Chou Pei Suang Ching, um documento da

matemática chinesa, geralmente, considerado o mais antigo dos clássicos

matemáticos, diferem por quase mil anos. Alguns consideram o Chou Pei como sendo

de cerca de 1.200 a.C., mas outros afirmam que tal obra teria sido produzida no

primeiro século de nossa era, por volta de 300 a.C com aplicações da geometria.

Em meados do século XV, diversos manuscritos do matemático grego do

século III a.C., Arquimedes, começaram a circular nos centros humanísticos nas

cortes da Itália. O artista renascentista Piero della Francesca (entre 1416 e 1492,

aproximadamente), mais conhecido pelos afrescos pintados para o Vaticano e as

capelas em Arezzo, transcreveu uma cópia de uma tradução latina da geometria de

Arquimedes (uma compilação de sete tratados existentes) e ilustrou-a com mais de

200 desenhos representando os teoremas matemáticos nos textos (ASGER, p.122,

2000).

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Segundo Ávila (1990), há muito tempo nas propriedades da Biblioteca

Riccardiana em Florença, esse manuscrito foi atribuído somente há pouco tempo a

Piero por James Banker, um estudioso americano da transmissão do estudo de círculo

e esfera de Arquimedes desde a era clássica. Provavelmente criado por Piero no final

de 1450, ele é composto de 82 fólios que destacaram de maneira significativa o seu

trabalho, tanto como artista quanto como estudante de matemática e geometria.

Muitas das ilustrações nas margens capturam as habilidades do artista na

representação de figuras geométricas complexas em formas compreensíveis.

As linhas simples e posicionadas corretamente das formas geométricas no

manuscrito representam um elemento essencial do trabalho do artista e oferecem

percepções sobre o uso criativo do espaço e da perspectiva para reproduzir objetos

tridimensionais em tela e papel (ÁVILA, 1990).

Assim, na análise das contribuições dos povos antigos, pelo qual,

Arquimedes, Euclides, Pitágoras, chineses ou até mesmo os reis medievais

elaboraram estratégias no uso do círculo e esfera nas construções de templos,

monumentos, casas, cidades, ruas etc.

O Círculo e a Esfera através das Coordenadas Geográficas

As recomendações dos PCN-Matemática (BRASIL, 1998, p. 25), com relação

à importância que a matemática desempenha quanto ao seu papel na estruturação do

pensamento, na agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na sua aplicação a

problemas, situações da vida cotidiana e atividades do mundo do trabalho. Ressalta-

se que atividades de confecção de globo contribui para cálculo matemático podem ser

socializadas com diversas áreas, neste caso, a geografia que apresenta estudos das

coordenadas geográficas.

Diante disso, considerar interdisciplinaridade do jeito em que os dados são

apresentados, torna muito superficial a ligação do estudo de Circunferência e Círculo

na disciplina Geografia.

Para Granja e Pastore (2012) assumir a forma da Terra como uma esfera

constitui um bom modelo para investigar muitas questões de natureza física ou

geográfica. Na matemática escolar trabalhamos com coordenadas cartesianas para

localização de pontos no plano; sobre uma esfera, contudo, isso não seria nada

prático. Na localização de pontos sobre uma esfera costuma-se utilizar o que

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chamamos de coordenadas geográficas, que nada mais é do que o uso de duas

referências regulares, conhecidas como Latitude e Longitude.

Assim como no plano cartesiano trabalhamos com um par de eixos ortogonais

como referência para a localização dos pontos, na esfera, usamos duas

circunferências máximas, perpendiculares entre si, como referência. No caso do

modelo da Terra, essas circunferências são a Linha do Equador, e o Meridiano de

Greenwich.

É importante dizer que a longitude refere-se ao ângulo orientado 𝛼 (leste/

oeste) a partir do Meridiano de Greenwich, e a latitude, ao ângulo orientado 𝛽 (norte/

sul) a partir da Linha do Equador. Os paralelos são circunferências imaginárias

paralelas à circunferência da Linha do Equador. A própria Linha do Equador é

considerada um paralelo, como também são paralelos os Trópicos de Capricórnio e

de Câncer. Os meridianos são semicircunferências contidas em circunferências

máximas da esfera. O meridiano mais conhecido é aquele que passa pela cidade de

Greenwich, próxima de Londres, pelo fato de ter sido escolhido como o meridiano de

referência para os fusos horários (IEZZI et al, 2004).

Assim, apropriação do conhecimento sobre coordenadas geográficas pode

parecer simples. O fato, porém, é que no universo do pensamento abstrato, ainda em

construções, dos estudantes do ensino fundamental, atividades experimentais com

esferas são de grande utilidade para a compreensão do assunto.

Os Conceitos, diferenças e as demonstrações entre o Círculo e a Esfera

As palavras circunferência e círculo não possuem significados universais; há

pessoas que usam a palavra círculo como sinônima de circunferência e a palavra

disco para significar o que foi definido no texto como círculo. Neste material,

estaremos distinguindo a figura bi unidimensional chamando-as por círculo e

circunferência, respectivamente (DANTE, 2009).

Figura 1: Círculo e circunferência Fonte: Dante (2013)

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Círculo (ou disco) é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um

ponto dado desse plano é menor ou igual a uma distância (não nula) fixa dada. É o

contorno e o interior da região circular. Por exemplo, a pizza não tem só o contorno

tem a parte interna (IEZZI et al, 2004).

Considere-se uma abertura do compasso tal que a distância entre a ponta de

grafite e a ponta-seca seja 5 cm. Ao fixar a ponta-seca em um ponto 𝐶 da folha de

caderno e desenhar uma linha com a ponta de grafite, fazendo-a girar uma volta

completa em torno do ponto 𝐶, estamos marcando todos os pontos da folha que

distam 5 cm de 𝐶. Essa linha é chamada de circunferência de centro 𝐶 e raio 5 cm

(SMOLE, 2010).

Sendo 𝐶 um ponto de um plano 𝛼 e 𝑟 uma medida positiva, chama-se de

circunferência de centro 𝐶 e raio 𝑟 o conjunto dos pontos do plano 𝛼 que distam de 𝐶

a medida 𝑟.

A forma esférica é considerada desde a antiguidade grega como padrão de

equilíbrio e perfeição. Uma frase de Aristóteles (384-322 a. C) mostra o fascínio dos

filósofos gregos por essa forma: “o céu deve ser necessariamente esférico, pois a

esfera, sendo gerada pela rotação do círculo, é, de todos os corpos, o mais perfeito”

(ASGER, 2012).

Dizem que a esfera é um sólido perfeito por não ter arestas e por apresentar

sempre a mesma forma, qualquer que seja o ângulo de observação.

Independentemente das opiniões de pessoas e particulares, as formas esféricas

podem ser vistas em diversos objetos e situações:

Figura 2: Circunferência Fonte: Iezzi et al (2004)

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De modo geral, o autor Dante (2013), diferencia a esfera de superfície

esférica. Sejam um ponto 0 e um segmento 𝑟, não nulo. Superfície esférica de centro

0 e raio 𝑟 é o conjunto dos pontos dos espaços cujas distâncias a 0 são iguais a 𝑟.

Esfera de centro 0 e raio 𝑟 é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias a 0 são

menores ou iguais a 𝑟.

Considera-se um ponto 0 do espaço e uma medida 𝑅 (sendo 𝑅 > 0). Chama-

se esfera de centro 0 e raio 𝑅 o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao

ponto 0 são, menores ou iguais a 𝑅.

O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto 0 são menores que

𝑅 é chamado de interior da esfera.

O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto 0 são iguais a 𝑅 é

chamado de superfície esférica.

O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto 0 são maiores que

𝑅 é chamado de exterior da esfera.

A Geometria da Esfera constitui um valioso ambiente de investigação sobre

os aspectos relativos da geometria euclidiana estudada na escola. Será discutida a

Figura 4: Esfera de centro 0 e raio R Fonte: Dante (2013)

Figura 3: Formas esféricas Fonte: Dante (2013)

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seguir algumas ideias iniciais apenas para sugerir um campo de trabalho no Ensino

Fundamental.

Para determinar no plano euclidiano uma reta que passe pelos pontos 𝐴 e 𝐵,

utilizamos uma régua. A régua nos permite traçar uma linha por meio do qual fica

evidente o segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , cuja medida é a menor distância ligando os pontos

𝐴 e 𝐵. Sobre a superfície de uma esfera, se marcarmos dois pontos 𝐴 e 𝐵, a menor

distância entre eles será dada por um arco de circunferência muito particular,

determinado por uma circunferência máxima que passa por 𝐴 e 𝐵 (GRANJA E

PASTORE, 2012).

Entende-se por circunferência máxima aquela que, no modelo do globo

terrestre, pode ser representada pela linha do Equador, ou por circunferências que

contenham um meridiano qualquer.

Dessa forma, pode-se traçar uma “reta” sobre uma esfera de isopor? Uma vez

que na esfera a “reta” é uma circunferência máxima, podemos traçá-la com auxílio do

Transferidor Esférico-𝑇𝐸 e de elásticos posicionados em correspondência com a

circunferência máxima determinada pelo 𝑇𝐸.

Metodologia

Materiais Manipulativos-Esfera de isopor/Proposta didática e aplicada em sala

de aula.

O autores como Granja e Pastore (2012) apontam algumas atividades

interessante que podem ser apresentadas para os alunos como: Materiais

manipulativos.

1-Marque uma circunferência qualquer sobre a esfera de isopor com ajuda da boca

de uma lata, ou de um copo.

2-Marque dois pontos sobre essa circunferência com as letras 𝐴 e 𝐵.

3-Mostre que existe um arco ligando 𝐴 e 𝐵 que é menor do que o arco definido pela

marcação da boca do copo no isopor.

Pode-se mostrar o que se pede no item 3 desenhando uma circunferência

máxima que passe por 𝐴 e 𝐵. Para fazer isso, posiciona-se o 𝑇𝐸 sobre 𝐴 e 𝐵, marca-

se um terceiro ponto qualquer 𝐶 que esteja na circunferência máxima indicada pelo

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𝑇𝐸, posiciona-se um elástico passando por 𝐴, 𝐵 e 𝐶 e marca-se uma circunferência

máxima. O arco de extremo de 𝐴 e 𝐵 contido nessa circunferência máxima é a menor

distância na superfície esférica entre 𝐴 e 𝐵. Isso pode ser demostrado com o auxílio

de cálculo diferencial, mas o que nos interessa com a discussão é o aspecto intuitivo

do resultado.

Logo, a esfera é apoiada em uma lata para marcação de uma circunferência.

A marcação de uma circunferência na esfera com auxílio do suporte de uma

lata.

Figura 5: Esfera de isopor Fonte: Dante (2013)

Figura 6: Esfera é apoiada em uma lata Fonte: Dante (2013)

Figura 7: Marcação de uma circunferência na esfera Fonte: Dante (2013)

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Marcação de dois pontos (𝐴 𝑒 𝐵) na circunferência.

Marcação com o auxílio do 𝑇𝐸 de um arco passando por 𝐴 e 𝐵.

Posiciona-se um elástico sobre o arco marcado com o 𝑇𝐸. Note que o arco de

extremos 𝐴 e 𝐵 contido nessa circunferência máxima é a menor distância na

superfície esférica entre esses dois pontos. Outra interessante frente de investigação

é a discussão sobre a existência de “paralelas” em uma esfera.

No plano euclidiano, paralelas são retas que nunca se cruzam, mas será que

existem “retas paralelas” em uma esfera? Se, na superfície da esfera, a menor

distância entre dois pontos é estabelecida por uma circunferência máxima, é fácil ver

que duas circunferências máximas distintas na esfera sempre irão se interceptar em

Figura 8: Pontos (𝐴 𝑒 𝐵) na circunferência Fonte: Dante (2013)

Figura 9: Um arco passando por 𝐴 e 𝐵 Fonte: Dante (2013)

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dois pontos. Decorre dessa investigação a conclusão de que não existem “retas

paralelas” em uma esfera.

Segundo Granja e Pastor (2012), duas circunferência máximas distintas, que

representam “retas” em uma esfera, sempre se intersectam em dois pontos. Sabendo

que, na esfera, as “retas” são circunferência máximas, a intersecção entre três

circunferências máximas distintas definem o que poderíamos chamar de triângulo

esférico, como se vê na foto com o uso de elásticos.

Triângulo Esférico

Um desafio interessante para os alunos é o de medir cada ângulo interno do

triângulo esférico como uso do 𝑇𝐸 . Além da interessante discussão sobre como

proceder para fazer tal medida, o resultado que será obtido certamente causará

enorme surpresa pelo fato de que a soma dos ângulos internos será maior do que

Figura 10: Circunferências máximas distintas na esfera Fonte: Dante (2013)

Figura 11: Triângulo Esférico Fonte: Dante (2013)

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180°. Pode-se demonstrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico

é maior do que 180° e menor do que 540°. Nas fotos a seguir mostramos como é

possível medir a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico com o 𝑇𝐸.

Medição do ângulo de lados sobre os elásticos verde e roxo com auxílio do

𝑇𝐸.

Medição do ângulo de lados sobre os elásticos laranja e roxo com auxílio do

𝑇𝐸 (53°).

Figura 12: Triângulo esférico Fonte: Dante (2013)

Figura 13: Medição do ângulo Fonte: Dante (2013)

Figura 14: Medição do ângulo de lados sobre os elásticos Fonte: Dante (2013)

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A Medição do ângulo de lados sobre os elásticos verde e laranja com auxílio

do 𝑇𝐸(65°). Assim, as medidas do ângulos são 135°, 53° e 65°, o que totaliza a soma.

Agora, uma última, e intrigante, proposta de atividade. Pelo, qual será apresentado na

proposta de atividade na pesquisa de campo.

Dessa forma, as observações das atividades de investigação com as esferas

de isopor e o transferidor esférico permitem ampliar o trabalho interdisciplinar com

geografia, bem como uma interessante extensão do conhecimento geométrico dos

alunos para além da Geometria Euclidiana. O material sugerido permite ainda

inúmeras incursões no programa de matemática no Ensino Fundamental, bastando

para isso o pré-requisito da trigonometria no círculo trigonométrico.

É importante dizer que em particular na geometria e na aritmética notam-se

violentas contradições. Por exemplo, a geometria do povo, dos balões e dois

papagaios é colorida, enquanto a geometria teórica, desde sua origem grega, eliminou

a cor. E a quantificação da produção e do consumo retirou as considerações sobre a

natureza do trabalho e do produto. Essas são algumas das inúmeras questões

abordadas pelos autores ao longo das suas trajetórias acadêmicas (GRANJAS e

PASTORE, 2012).

A proposta da aplicação do uso do isopor no conteúdo de esfera e círculo em

sala de aula, leva o aluno a elaborar e expor suas produções na lousa, em painéis,

murais, em exposições durante as finalidades traçadas. A ideia de trabalhar com os

materiais manipulativos valoriza a investigação e a concepção do aluno, e que

constitui em uma nova postura de aprender a matemática através das atividades

práticas em sala de aula.

Aplicação da proposta

O estudo definiu-se como uma pesquisa de análise investigativa procurando

referências teóricas publicados, a fim de recolher informações ou conhecimentos

prévios sobre o círculo e esfera.

Segundo Martins (2000), o método bibliográfico trata-se de estudo para

conhecer as contribuições científicas sobre um determinado assunto. Tem como

objetivo recolher, selecionar, analisar e interpretar as contribuições técnicas já

existentes sobre um determinado assunto.

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Dessa forma utilizou-se a técnica de questionário e de escrever a sequência

didática proposta, e que foram constituídas de fontes escritas primárias

contemporâneas para obtenção dos conceitos, definições e formulações discursivas

da temática pesquisada.

A pesquisa foi desenvolvida com os alunos do 9º ano do Ensino Fundamental

da Escola Estadual D. Pedro I do município de Mazagão. A turma 911 do Ensino

Fundamental, com a participação de 40 alunos, sendo 31 meninas e 9 meninos. O

instrumento de pesquisa foi um questionário de 5 perguntas dentro da sala de aula.

Técnica de Coleta e Análise de Dados

A análise de dados foi através da socialização e discussão com muito critério

e de forma detalhada os resultados dos alunos. Com a pesquisa é de caráter de

campo. Os resultados foram apresentados em cinco gráficos de pizza.

A Coleta da pesquisa foi apresenta em gráficos de pizza, caracterizado pelos

percentuais (%), calculado por Regra de Três Simples. Por último foi discutido com o

suporte teórico do tema analisado.

Apresentação dos gráficos com os comentários

A matemática possui uma linguagem diferente das outras ciências pelos

resultados mais explícitos nas soluções de problemas dentro e fora da sala de aula.

Ressalta-se que os cálculos de esfera e de outros componentes são causas para ela

ser mais “odiada’’ pelos alunos. Pode-se citar a metodologia de ensino, a relação

professor e aluno, falta de interesses dos pais no acompanhamento dos filhos na

escola etc.

No entanto, as atividades interdisciplinar com a geografia, torna-se

interessante no conhecimento geométrico e constatou-se que o uso do material

concreto do isopor a maioria dos alunos não tiveram dificuldade de aprender.

Logo, um aprendizado adequado é eficiente através dessas ferramentas como

o transferidor esférico é fundamental para o professor utilizar novos recursos e na

implantação de programas para aproximar o aluno do cálculo.

O gráfico 1 mostrou que 80% dos alunos afirmaram que não possui

dificuldade. Por outro lado, 20% disseram que o auxílio do TE não é suficiente.

19

Segundo Diniz et al (2012), compreender e utilizar o TE depende da

proposição de situações-problema que sejam significativas para os alunos, e que eles,

ao tentar solucioná-las, possam criar seus próprios procedimentos para calcular.

Através do TE, o aluno aprende matemática registrando as representações e

localizações por meio do isopor esférico. Ao registrar a maneira como resolveram a

operação, os alunos tornam visíveis todo o seu raciocínio e os procedimentos

utilizados, além de ser possível comparar suas anotações com outros alunos.

Gráfico 1: Você possui dificuldade para localizar duas cidades com o auxílio do TE?

Gráfico 2: Em sua opinião podemos trabalhar as esferas de isopor no cálculo de área

e volume de esfera?

Percebe-se que de acordo com os dados do gráfico 2, a maioria do alunos

afirmaram que é possível aprender e ampliar os cálculos de esfera através de

atividades experimentais.

Segundo Granja e Pastore (2012), é importante que os alunos tenham a

oportunidade de manusear o material livremente para que algumas noções comecem

a emergir da exploração inicial, para que depois, na condução da atividade, as

20%

80%

sim não

90%

10%

sim não

Fonte: Autores

Fonte: Autores

20

relações percebidas possam ser sistematizadas. De modo geral, cada sequência de

atividade apresenta as seguintes partes:

Conteúdo

Objetivos

Organização da classe (sob a forma de ícone)

Recursos

Descrição das etapas

Atividades

Respostas.

Em cada sequência, a organização da classe é indicada por meio de ícones,

que aparecem ao lado do item “conteúdo”. Os ícones utilizados são os seguintes:

Quando houver mais de uma forma de organização dos alunos, isso é indicado por

mais de um ícone. Cada uma das sequências de atividades propõe na descrição das

etapas uma série de procedimentos para o ensino e para a organização dos alunos e

dos materiais, de modo a assegurar que os objetivos sejam alcançados.

Gráfico 3: Durante a confecção da Esfera de isopor qual sua maior dificuldade?

Sabe-se que o conteúdo de Esfera faz parte do ensino, porém constatou-se

que o uso do material concreto do isopor a maioria dos alunos não tiveram dificuldade

de aprender. No entanto as atividades interdisciplinar com a geografia, torna-se

interessante no conhecimento geométrico.

60%

10%

10%20%

Calcular a area da esfera

Calcular a area do círculo

Achar os ângulos

Achar os pontos queintersectam

Fonte: Autores

21

Para Diniz et al (2012), algumas dificuldades encontrada pelos alunos envolve

a estratégia e planejamento para determinar quando e como utilizar os materiais

manipulativos, assim como qual é o momento em que eles devem ser abandonados.

É pela avaliação constante das aprendizagens dos alunos e de suas observações em

cada atividade que essas decisões podem ser tomadas de forma mais adequada e

eficiente.

Gráfico 4: Qual o tema que você mais gostou do círculo e esfera?

Percebe-se que a maioria dos alunos gosta de calcular os valores de raio e

diâmetro. Por outro lado, o gráfico mostrou que 10% dos alunos gosta de calcular

situações problema que envolve volume e 10% gosta de achar o grau.

Monteiro (2001), o raio e o diâmetro são tópicos relacionados e incluído nas

séries finais do Ensino Fundamental, pelo qual, o aluno, irá compreender suas funções

dentro de uma circunferência.

Gráfico 5: Em sua opinião o que é um círculo?

60%

10%

10%

20% Raio e diâmetro

Grau

Área de circunferência e daesfera

Volume da Esfera

75%

12%13%

É a medida entre dois pontos

É o conjunto de todos os pontos de umplano cuja distância a um ponto fixo O

É uma parte do arco

Fonte: Autores

Fonte: Autores

22

Segundo Granja e Pastore (2012), são sugeridos os encaminhamentos da

atividade com conceitos e preposições para o aluno compreender o fenômeno

matemático e na forma de questões a serem propostas aos alunos antes, durante e

após a atividade propriamente dita, assim como a melhor forma de apresentação do

material.

Nessa questão os dados confirmaram que as dificuldades de conceituar estão

associadas às metodologias e estratégias que o professor usa para o aluno aprender

um determinado tema.

Resultados e Discussão

Foi mostrado a sequência lógica da confecção da Esfera de Isopor para as

construções de figuras através das coordenadas geográficas que discutiu as ideias da

geometria. Para os interessados na abordagem do Estudo de Esfera e Círculo com

apoio de isopor recomenda-se o trabalho de Carlos Eduardo de Souza Campos

Granja e de José Luiz Pastores publicado no livro: Atividades experimentais de

Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental, São Paulo. Edições SM, 2012.

Ao longo da pesquisa de campo e da sequência didática percebeu-se maior

interesse dos alunos nas atividades apresentadas com o apoio do material

manipulativo do uso do isopor. É importante dizer, que toda sequência didática permite

ao aluno traçar as etapas de uma atividade realizada em sala de aula.

Certamente, alguns alunos terão dificuldades na compreensão da linguagem

matemática, mas, é necessário, que o professor busque alternativa na relação entre

o material utilizado e o aluno. Nessa mesma direção, o estudo da esfera e círculo

aponta, também, para uma compreensão de situações-problemas direcionado aos

cálculos de áreas e volumes.

Assim, a proposta do uso do material manipulativo nas aulas de matemática

torna-se uma ferramenta para o processo de ensino-aprendizagem. Desse modo, o

papel do professor, é fundamental para explorar os conhecimentos dos alunos através

dos recursos na sala de aula. Acredita-se que a proposta do uso do isopor nos estudos

da esfera e círculo mostra que as fórmulas, proposições, problemas podem ser

solucionadas com o uso desses materiais manipulativos em sala de aula. Desse

modo, a tal proposta centra-se no preparo do professor e na estratégia do uso desses

materiais manipulativos.

23

De acordo com a análise da pesquisa de campo foi constatado, que a maioria

dos alunos possuem dificuldade de calcular as distâncias entre pontos através do

Transferidor Esférico-TE. O trabalho com material concreto de isopor contribui para o

suporte nos cálculos de círculo e esfera. Pelo outro lado, a maior dificuldade dos

alunos foi nos cálculos de área e volume de esfera.

O estudo do círculo e da esfera são conteúdos para serem trabalhados em

qualquer nível de escolaridade. A proposta de utilizar o globo terrestre com modelo de

recurso em sala de aula permiti ao professor usar várias estratégias em sala de aula.

Exemplo disso, é colocar as coordenadas geográficas, cálculo de ângulo, medidas e

distâncias que leva o aluno a descobrir e aprender situações problemas, envolvendo

áreas e volumes de círculo e esfera.

Assim, os professores de matemática, somente estará pronto para mudar

estratégias para um ensino voltado para o uso de materiais manipulativos, quando

perceberem a importância da geometria no contexto social e educacional.

Referências ASGER, Aaboe. Episódios da História Antiga da Matemática, Publicação SBM, 2000. ÁVILA, Geraldo. Arquimedes, o Rigor e o Método, Matemática Universitária. São

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matemática/ Gelson Iezzi... [𝑒𝑡 𝑎𝑙. ] Ilustrado, Lzomar, Fernando Monteiro da Silva. 2 ed. São Paulo: Atual. (Coleção matemática: ciência e aplicações), 2004. MARTOS, Z. G. O Trabalho Pedagógico envolvendo a Geometria: As não

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professor - São Paulo: Global: Ação Educativa Assessoria. Pesquisa e informação, 2004. SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1. São Paulo: Mc

Graw-Hill, 2000. SMOLE, Katia Cristina Stocco. Matemática: Ensino Médio, volume 2/ Kátia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz – 6. Ed. – São Paulo; Saraiva, 2010.