aprendendo vetores - guia da oficina_2

OFICINA DE VETORES

Ensinando Vetores com metros de pedreiro

Maria Antonieta Teixeira de Almeida [email protected]

Valdeci Telmo [email protected]

Atividade 1 1.1 Desloque o cartão número 1 de 102 cm. Existe outra forma de deslocar o cartão? Responda deslocando os outros cartões (2, 3 e 4). De quantas formas é possível obedecer a essa instrução?__________ Todos os cartões saíram do mesmo ponto. Eles chegam ao mesmo ponto? ___________________________________________________________ Retorne todos os cartões ao ponto de partida. 1.2 Desloque o cartão número 1 de 102 cm perpendicular à parede que contém

quadro negro. Existe outra forma de deslocar o cartão? Responda deslocando os outros cartões (2, 3 e 4). De quantas formas é possível obedecer a essa instrução?__________ Todos os cartões saíram do mesmo ponto. Eles chegaram ao mesmo ponto?_________ Retorne todos os cartões ao ponto de partida. 1.3 Desloque o cartão número 1 de 102cm perpendicular à parede que contém

quadro negro aproximando-o do quadro. Existe outra forma de deslocar o cartão? Responda utilizando os outros cartões (2,3 e 4). De quantas formas é possível obedecer a essa instrução?__________ Todos os cartões saíram do mesmo ponto. Eles chegam ao mesmo ponto?_________ Retorne todos os cartões ao ponto de partida. Qual o desenho que representa um deslocamento? 1.4 Os números reais são representados simbolicamente por uma letra. Você representaria o seu deslocamento também por uma letra (pela letra d, por exemplo)? Por quê?_____________

1.5 Utilize três metros de pedreiro para fazer os seguintes deslocamentos: Deslocamento Módulo Direção Sentido

1d

102 cm Perpendicular à parede do quadro (AB)

Aproximando-se do quadro

Deslocamento Módulo Direção Sentido

2d

102 cm Forma um ângulo de 45o no sentido anti-horário com a parede AB que é perpendicular à parede do quadro. Considere A como ponto de partida para medição do ângulo.

Aproximando-se da parede do quadro. (ver figura 1)


3d

102 cm Forma um ângulo de 45o no sentido horário com a parede AB que é perpendicular à parede do quadro. Considere A como ponto de partida para medição do ângulo.

Aproximando-se da parede do quadro. (ver figura 1)

1.6 Complete: O desenho que representa um deslocamento é um ___________________. Representamos um número real por uma _______. Representamos o deslocamento por uma ___________________________.

Figura 1

A

B

Posição do relógio no chão

Aluno

-Vista de cima

Atividade 2 A PARTIR DE AGORA VAMOS UTILIZAR COMO UNIDADE DE MEDIDA A PARTE DA PALHETA VÍSIVEL DA ORDEM DE 17,5 cm, QUE DENOMINARAMOS pm. 2.1 Faça com os metros de pedreiro os seguintes deslocamentos. Deslocamento Módulo Direção Sentido

1d

1 pm Perpendicular à parede do quadro


2d



3d


Afastando-se do quadro

2.2 Complete a tabela 3 com as relações entre os deslocamentos 2d

e 1d

, e entre os deslocamentos 3d

e 1d

. Tabela 2

=2d

____ 1d

=3d

____ 1d

2.3 Relacione na Tabela 3 as propriedades dos deslocamentos 2d

e 3d

com as propriedades do deslocamento 1d

Tabela 3 A direção de 2d

é _______________

direção de 1d

A direção de 3d

é _____________

direção de 1d

O sentido de 2d

é ________________

sentido de 1d

O sentido de 3d

é _____________

sentido de 1d

O módulo de 2d

________________ módulo de 1d

O módulo de 3d

_____________

módulo de 1d

2.4 Complete a lacunas: Se o número real α é positivo o delocamento d

α tem ______ direção do

deslocamento d ,_______sentido do deslocamento d

e módulo igual a

=d

α _______.

Se o número real α é negativo o delocamento d

α tem ______ direção do deslocamento d

, sentido _______ do deslocamento d

e módulo igual a

=d

α _______.

Atividade 3 3.1 Marque com giz no piso dois pontos separados pela distância 8 pm. Denomine um dos pontos por A e o outro de B. Agora se desloque do ponto A até o ponto B. Construa com um metro de pedreiro o deslocamento entre os pontos A e B. Denomine esse deslocamento por d

, escolha na caixa o cartão com esse símbolo e

coloque-o junto ao metro. 3.2 Coloque embaixo do metro de pedreiro a figura com forma de paralelogramo como mostra a figura 2. Imagine agora que a figura é um obstáculo intransponível. Parta do ponto A e se desloque até o ponto B. Represente no chão, com metros de pedreiro, os deslocamentos realizados. Nomeie os novos deslocamentos por

mddd

,...,, 21 . Escolha na caixa os cartões com esses símbolos e coloque-os junto aos metros. Como os metros são objetos reais com área e volume a sua representação no piso não será perfeita. Não se preocupe com pequenas diferenças. 3.3 Observe no piso os deslocamentos d

, 1d

e 2d

que você construiu com os metros de pedreiro e complete as lacunas. O início do deslocamento 2d

coincide com _______ do deslocamento ____. O início do

deslocamento d

vai do ______ do deslocamento ___ até o ______do deslocamento _____. 3.4 Existem outras formas (simples) de se chegar ao ponto B a partir do ponto A, imaginando que o paralelogramo de papel é um objeto intransponível? ______ Se existir, represente tais deslocamentos com os metros de pedreiro. Escolha na caixa os cartões com esses símbolos e coloque-os junto aos metros. ___________________________________________________________ Todos os deslocamentos são diferentes? Se existirem deslocamentos iguais, nomeie-os com cartões contendo o mesmo símbolo. ___________________________________________________________

Figura 2

A

B

Todos os deslocamentos que possuem mesmo módulo, mesma direção e sentido, independente do ponto de aplicação, são considerados iguais. 3.5 Observe os metros no piso e responda: Quanto vale 12 dd + ? 3.6 Complete a seguinte relação: 1221 ___ dddd

++ . Logo a soma de deslocamentos é

_________. 3.7 Qual o módulo, a direção e o sentido de um deslocamento nulo? 3.8 Faça com o metro de pedreiro um deslocamento qualquer 1d

. Escolha um cartão da caixa

com esse símbolo e coloque-o junto ao metro. Faça com outro metro de pedreiro um deslocamento 2d

que, somado ao deslocamento 1d

, forneça um deslocamento nulo. Escolha

um cartão da caixa com esse símbolo e coloque-o junto ao metro. Escreva a representação simbólica dessa soma. 3.9 Marque com giz no piso dois pontos separados pela distância 9 pm. Denomine um dos pontos por A e o outro de B. Desloque-se de A para B. Construa no chão com um metro de pedreiro o deslocamento entre os pontos A e B. Denomine esse deslocamento por d

. Escolha um cartão da caixa com esse símbolo e coloque-o junto ao

metro. 3.10 Coloque embaixo do metro de pedreiro a folha com forma de polígono como mostra a figura 4. Imagine agora que a folha é um obstáculo intransponível. Parta a do ponto A e se desloque até o ponto B (contornando o polígono). Represente com metros de pedreiro no chão os deslocamentos realizados. Nomeie os novos deslocamentos por mddd

,...,, 21 . Escolha os

cartões da caixa com esses símbolos e coloque-os junto aos metros. Como os metros são objetos reais com área e volume a sua representação no piso não será perfeita. Não se preocupe com pequenas diferenças. 3.11 Com os deslocamentos construídos, calcule: 321 )( ddd

++ = _________

)( 321 ddd

++ =__________

Figura 3

A

B

Atividade 4 4.1 Construa com o metro de pedreiro os deslocamentos: Tabela 5 Deslocamento Módulo Direção Sentido

1d

1 pm Perpendicular à parede do quadro Aproximando-se do quadro

2d

2 pm Perpendicular à parede do quadro Aproximando-se do quadro

3d

3 pm Perpendicular à parede do quadro Afastando-se do quadro

Escolha na caixa cartões com esses símbolos e coloque-os junto aos metros. Definição: _Um deslocamento com módulo 1 é denominado deslocamento unitário e é representado simbolicamente por uma letra com acento circunflexo em cima. O deslocamento 1d

é unitário.

4.2 Complete na tabela 6 as relações dos deslocamentos 2d

e 3d

com o vetor unitário u . Tabela 6

=2d

=3d

4.3 Faça no piso, com o metro de pedreiro, um deslocamento 4d

com as propriedades da tabela 7. Escolha na caixa um cartão com esse símbolo e coloque-o junto ao metro. Tabela 7 Vetor Módulo Direção Sentido

4d

5 pm Forma um ângulo de 45o no sentido horário com a parede AB, que é perpendicular a parede do quadro. Considere A como ponto de partida para medição do ângulo.

(ver figura 1)

Aproximando-se da parede do quadro.

(ver figura 1)

Existe alguma relação simples entre 4d

e o unitário u ? Por quê?

Existe algum pedaço do deslocamento 4d

que tem a direção do unitário u ?

Figura 1

A

B


Aluno

Atividade 5 Vetores são grandezas que tem módulo, direção e sentido. Eles possuem uma regra de soma igual a dos deslocamentos, e uma regra de multiplicação por um número real igual a da multiplicação de um número real pelo deslocamento. 5.1 Os deslocamentos são vetores?______ Para projetar um vetor d

na direção de um unitário u é preciso passar, por suas

extremidades, retas perpendiculares à direção do unitário. O vetor projetado ud

tem o módulo igual à menor distância entre essas duas retas

perpendiculares, tem a direção do unitário e o sentido do vetor que foi projetado. 5.2 Coloque o vetor unitário u na direção perpendicular à parede do quadro e mesmo sentido do vetor 4d

. Projete com o auxílio das varetas de solda o vetor 4d

na direção do unitário u .

Faça com o metro de pedreiro o vetor projetado. Denomine o vetor projetado de ud4

. Escolha na caixa um cartão com esse símbolo e coloque-o junto ao metro. Meça com a unidade de medida pm o tamanho do vetor projetado ud4

. Escreva na tabela 8 a relação entre ud4

e u .

Tabela 8 =ud4

5.3 Se a componente ud de um vetor na direção de um unitário u é o número que se deve

multiplicar o unitário para se obter o vetor projetado, qual é a componente ud4 ? ud4 =_____ 5.4 Coloque no piso, afastado do vetor 4d

, o metro de pedreiro que representa o deslocamento

5d

com as propriedades da tabela 9. Escolha na caixa um cartão com esse símbolo e coloque-o junto ao metro. Coloque o vetor unitário u (com a direção perpendicular à parede do quadro e com sentido contrário do vetor 5d

) próximo ao vetor 5d

.

Tabela 9 Vetor Módulo Direção Sentido

5d

5 pm Forma um ângulo de 45o no sentido anti-horário com a parede AB, que é perpendicular a parede do quadro. Considere A como ponto de partida para medição do ângulo. (ver figura 1)

Afastando-se da parede do quadro.

(ver figura 1)

Figura 1

A

B


Aluno

5.5 Projete com o auxílio das varetas de solda o vetor 5d

na direção do unitário u . Faça com

o metro de pedreiro o vetor projetado ud5

. Meça com a unidade de medida pm o tamanho do

vetor projetado ud5

. Escreva na tabela 10 a relação entre ud5

e u . Tabela 10

=ud5

Se a componente ud de um vetor na direção de um unitário u é o número que se deve

multiplicar o unitário para se obter o vetor projetado, qual é a componente ud5 ? _____5 =ud 5.6 Observando as componentes dos vetores 4d

e 5d

na direção do unitário u você pode concluir: O módulo da componente de um vetor na direção do unitário mede ______, e o sinal informa __________. Orientação ao tutor: A componente de um vetor na direção de um unitário u é o pedaço do vetor na direção desse unitário. 5.7 Se você quiser representar o outro pedaço do 4d

, o que é preciso fazer?

5.8 Construa um sistema de eixos coordenados com as varetas de solda. Denomine um dos eixos de OX e o outro eixo de OY. Escolha o sentido dos eixos colocando uma seta na ponta deles. Construa com dois metros de pedreiro um unitário paralelo ao eixo OX com o mesmo sentido do eixo e outro com a direção do eixo OY e com o sentido dele. Denomine os unitários dos eixos de x e y (No material eles são denominados de i e j . Se você preferir utilize essa notação). Escolha cartões da caixa com esses símbolos e coloque-os junto aos unitários. 5.9 Projete utilizando as varetas de solda o vetor 4d

nas direções dos unitários x e y . Faça

com os metros de pedreiro os vetores projetados yx dd 44 e

. Escolha na caixa cartões com esses símbolos e coloque-os junto aos metros. Meça com a unidade de medida pm o tamanho dos vetores projetados. Represente os vetores projetados na tabela 11. Tabela 11

5.10 Copie o resultado da tabela 11 na tabela 12 e escreva as componentes do vetor 4d

. Tabela 12 Vetor componente Componente

=xd4

=xd4

=yd4

=yd4

5.11 Observando os metros de pedreiro no piso é possível estabelecer uma relação entre os vetores 4d

, xd4

e yd4

? Qual?________________

=xd4

=yd4

Quadro negro A

B Figura 2

Atividade 6 6.1 Utilize os metros de pedreiro para fazer os deslocamentos 21 ded

descritos a seguir.


1d

4 pm Forma um ângulo de 45o no sentido horário com a parede AB, que é perpendicular à parede do quadro. Considere A como ponto de partida para medição dos ângulos.

Aproximando-se do quadro.

(ver figura 2).


2d

2 pm Forma um ângulo de aproximadamente 50o no sentido anti-horário com a parede AB, que é perpendicular à parede do quadro. Considere A como ponto de partida para medição dos ângulos.

Afastando-se do quadro.

(ver figura 2).

Escolha na caixa cartões com esses símbolos e coloque-os junto aos metros. 6.2 Some 1d

com 2d

. Faça com um metro de pedreiro um deslocamento que represente a

soma dos deslocamentos 1d

e 2d

. Denomine-o 3d

. Escolha um cartão da caixa com esse símbolo e coloque-o junto ao metro. 6.3 Projete os vetores 1d

, 2d

e 3d

no eixo OX. Denomine os vetores projetados por xd1

, xd2

e

xd3

, respectivamente. Escolha na caixa cartões com esses símbolos e coloque-os junto aos metros. Preencha a tabela 13. Tabela 13

Vetor Vetor componente Componente

1d

=xd1

=yd1

=xd1 =yd1

2d

=xd2

=yd2

=xd2 =yd2

3d

=xd3

=yd3

=xd3 =yd3

6.4 A observação da tabela 13 permite tirar alguma relação entre a componente da soma de vetores e a soma das componentes? Qual?__________________


6.5 Utilize os metros de pedreiro para fazer os deslocamentos 21 ded

descritos a seguir.


1d

4 pm Forma um ângulo de 45o no sentido horário com a parede AB, que é perpendicular à parede do quadro.

Aproximando-se do quadro.


2d

2 pm Forma um ângulo de 50o no sentido anti-horário com a parede AB, que é perpendicular à parede do quadro.

Aproximando-se do quadro. (ver figura 2)

Considere o A ponto de partida para medição dos ângulos. Escolha na caixa cartões com esses símbolos e coloque-os junto aos metros. 6.6 Some 1d

com 2d

. Faça com um metro de pedreiro um deslocamento que represente a

soma desses deslocamentos, denominando-o 3d

. Escolha na caixa um cartão com esse símbolo e coloque-o junto ao metro. 6.7 Projete os vetores 1d

, 2d

e 3d

no eixo OX. Escolha na caixa cartões com esses símbolos e coloque-os junto aos metros. Preencha a tabela 14. Tabela 14 Vetor Vetor componente Componente

1d

=xd1

=yd1

=xd1 =yd1

2d

=xd2

=yd2

=xd2 =yd2

3d

=xd3

=yd3

=xd3 =yd3

6.8 A observação da tabela 14 permite tirar alguma relação entre a componente da soma de vetores e a soma das componentes? Qual?__________________ 6.9 O que você concluiu vale também para as componentes no eixo OY?____ 6.10 Complete as lacunas. A componente da soma de um vetor é igual a soma das componentes dos vetores somados. Porém, para essa definição ser válida, é preciso considerar o sinal das componentes.

_________________; se Portanto, 33213 ==⇒+= yx ddddd

, independentemente dos sentidos dos vetores.

AVALIANDO O APRENDIZADO 1. Utilize os vetores cba e, para realizar as seguintes operações: 1.a) ba

+

1.b) ba

− 1.c) ca

+ 1.d) ca 2− 2. Projete os vetores das figuras 2-1,2-2 e 2-3 nas direções dos eixos OX e OY. Encontre as suas componentes nestes eixos e coloque nas tabelas 2-1,2-2 e 2-3.

Componente Sinal Módulo

d1x=

d1y=


d2x=

d2y=


d3x=

d3y=

O

X

Yo45=θ

O

Y

O

Yo30=θ

X

X

i

j

i

j

i

j

1d

2d

3d

Figura-2-3

Figura-2-2

Figura-2-1

Tabela-2-1

Tabela-2-2

Tabela-2-3

a c

b

3. Projete os vetores da figura-3 nas direções dos eixos OX e OY. Encontre os vetores componentes nestes eixos. 4. Encontre as componentes do vetor 21 2dd

− . Utilize os vetores 1d

e 2d

da figura 3.


=xd1

=yd1


=xd2

=yd 2


=xd3

=yd3


=− xdd )2( 21

=− ydd )2( 21

O

X

Yo45=θ

O

Y

O

Yo30=θ

X

X

i

j

i

j

i

j

1d

2d

3d

Figura-3

aprendendo vetores - guia da oficina_2

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