Elos, Juntas e seus Parmetros

Cinemtica Direta

Elos, Juntas e seus Parmetros.

Um manipulador mecnico consiste de uma seqncia de corpos rgidos, chamados de elos, conectados atravs de juntas do tipo prismtica ou de revoluo. Cada par juntas-elo constitui um grau de movimento. Assim, para N graus de movimento, um manipulador tem N conjuntos de pares junta elo. O elo 0, que no considerado parte do rob, fica ligado a um suporte de base onde um sistema de coordenadas inercial normalmente estabelecido para este sistema dinmico. O ltimo elo est ligado ferramenta.

Os elos e juntas so numerados a partir da base, assim a junta 1 o ponto de conexo entre o elo 1 e a base (chamada de elo 0). Cada elo est conectado a, no mximo, dois elos, de modo que nenhum lao fechado seja formado.

As juntas permitem que os elos possuam movimentos relativos entre si, essa junta chamada par inferior. O tipo de movimento depende do tipo de junta utilizado. H seis tipos diferentes de juntas: as de revoluo (rotativas), as prismtica (deslizamento), as cilndricas, as de fuso, as esfricas, a planares. No entanto, apenas as juntas de revoluo e prismticas so comumente empregadas na construo de manipuladores.

O eixo da junta estabelecido na conexo entre dois elos. Esse eixo da junta tem duas normais conectadas a ele, uma para cada um dos elos, como mostra afigura abaixo:

Figura 1- Sistema de coordenadas do elo e seus parmetrosA posio relativa de entre elos vizinhos conectados, elo i-1 e elo i, dada por di, a qual a distncia medida ao longo do eixo da junta entre as normais. O ngulo da junta (1 entre as normais, o menor ngulo formado entre as normais e medido no plano normal ao eixo da junta. Assim, (1 e di devem ser chamados de distncia e ngulo entre elos adjacentes, respectivamente. Eles determinam a posio relativa entre elos vizinhos.

Um elo i est conectado a no mximo dois outros elos, elo i-1 e elo i+1, assim, duas juntas so estabelecidos em suas duas extremidades. O significado dos elos, dentro da perspectiva cinemtica, que eles mantm uma configurao fixa entre suas juntas, a qual deve ser caracterizada por dois parmetros ai e (i. O parmetro ai a mais curta distncia medida ao longo da normal comum entre o eixos das juntas, isto , entre os eixos zi-1 e zi para a junta i e i+1, respectivamente. O ngulo (i o ngulo entre os eixos das juntas, medido no plano perpendicular a ai. Desta forma, ai e (i so chamados de largura e ngulo de giro do elo i, respectivamente. Eles determinam a estrutura do elo i.

Os parmetros di, (1, ai e (i esto associados com cada elo de um manipulador. A determinao deste conjunto de parmetros define completamente a configurao cinemtica de cada um dos elos de um brao robtico. Note que estes parmetros vm em pares: os parmetros do elo, ai e (i, determinam a estrutura do elo; os parmetros das juntas, (1 e di, determinam a posio relativa entre elos vizinhos.

Representao Denavit- Hartenberg

Para descrever a translao e a rotao entre elos adjacentes, Denavit e Hartenberg propuseram um mtodo matricial para estabelecer, sistematicamente, um sistema de coordenadas para cada elo de uma cadeia articulada. A representao D-H resulta numa matriz de transformao homognea 4x4, representando o sistema de coordenada do elo de cada junta, com relao ao sistema de coordenada do elo anterior. Assim, atravs de transformaes seqenciais, o rgo terminal ou efetuador, representado pelas coordenadas da mos, pode ser transformado e expresso em termos das coordenadas da base, as quais representam o sistema de coordenadas inercial do manipulador.

Um sistema de coordenadas cartesianas ortonormal (xi , yi , zi) pode ser estabelecido para cada elo no eixo de sua junta, onde i=1, 2, 3, ...,n (n=numero de graus de movimento ou de juntas), alm do que estabelecido para base. Como uma junta rotativa tem apenas um grau de liberdade, cada sistema de coordenadas (xi , yi , zi) de um brao robtico, corresponde a uma junta i+1 e a um elo fixo i. Quando o atuador da junta i ativado, o elo i movido em relao ao elo i-1. Assim, o i-simo sistema e coordenadas fixado no elo i, e move-se juntamente com ele. O n-simo sistema de coordenadas move-se com a mo, que corresponde ao elo n. O sistema de coordenada da base definido como o sistema de ndice 0, o qual tambm o sistema de coordenadas inercial do brao robtico. Deste modo, um rob PUMA com seis juntas, tem sete sistemas de coordenada, cuja numerao vai de de 0 a 6.

Figura 2 - Rob PUMA ilustrando juntas e elosTodos os sistemas de coordenadas, so determinados e estabelecidos com base nas seguintes regras:1. O eixo zi-1 localiza-se ao longo do eixo de movimentao da i-sima junta.

2. O eixo xi normal ao eixo zi-1, e aponta para fora dele.

3. O yi obtido pela regra da mo direita.Atravs dessa trs regras, estamos livres para escolher a localizao do sistema de coordenadas 0 em qualquer ponto do suporte de base, lembrando que o eixo z0 deve ser posicionado ao longo do eixo de movimentao da primeira junta. O ltimo sistema de coordenadas, o n-simo, pode ser colocado em qualquer lugar da mo, lembrando que o eixo xn deve ser normal ao eixo zn-1.A representao D-H de um elo rgido depende dos quatro parmetros geomtricos, associados a cada elo. Esses quatro parmetros descrevem completamente qualquer junta de revoluo ou prismtica, e esto representadps na figura 1.

Os quatro parmetros tambm podem ser definidos em termos do sistema de coordenadas da junta. Isso pode ser feito da seguinte forma:

(i ( ngulo da junta i( ngulo entre o eixo xi-1 para xi , medido em torno do eixo zi-1, usando a regra da mo direita para definir o sinal;

di ( off-set da junta i( a distncia entre origem do i-1simo sistema de coordenadas e o ponto de interseco do cruzamento entre os eixos zi-1 e o eixo xi, ao longo do eixo zi-1.

ai ( comprimento do elo i-1 ( a distncia entre origem do i-simo sistema de coordenadas e o ponto interseco do cruzamento entre os eixos zi-1 e xi , ao longo do eixo xi ( ou a mais curta distncia entre os eixos zi-1 e zi).(i ( ngulo de toro do elo i( ngulo entre o eixo zi-1 para zi , medido em torno do eixo xi, usando a regra da mo direita para definir o sinal;

Figura 3- Estabelecendo sistema de coordenadas para um Rob PUMAPara as juntas rotativas, di , ai, e (i so parmetros da junta e se mantm constantes para o rob, enquanto (1 a varivel da junta , a qual muda quando o elo i gira em torno do elo i-1. Assim devemos nos referir (i como a varivel da junta, e ao conjunto di, ai, e (i como os parmetros da junta.

Da mesma forma, para as juntas prismticas, (1 , ai, e (i so os parmetros da junta e se mantm constantes para o rob, enquanto di a varivel da junta. Assim devemos nos referir di como a varivel da junta, e ao conjunto (1 , ai, e (i como os parmetros da junta.

Figura 4 - Sistema de coordenadas para o Rob da StanfordAlgoritmo D-H

Dado um brao robtico com n graus de liberdade, esse algoritmo define um sistema ortonormal de coordenadas para cada elo do brao. Deve-se fazer a marcao dos sistemas de coordenadas desde a base at rgo terminal. As relaes entre os elos adjacentes so representadas por uma matriz de transformao homognea 4x4. A importncia dessa tcnica que ela ir ajudar a desenvolver um procedimento consistente para calcular as solues da juntas.

D1. Estabelecimento do sistema de coordenada da base Estabelea o sistema de coordenadas positivo (x0 , y0 , z0) na base, com z0 localizado ao longo do eixo de movimentao da junta 1 e apontando para o ombro do brao. Os eixos x0 e y0 podem ser convenientemente estabelecidos e so normais ao z0.D2. Inicializar e Fazer um Loop

Para cada i, i=1,...,n-1, repita os paos de 3 a 6.

D3. Estabelea os eixos das juntas

Alinhe o zi com o eixo de movimentao da junta i+1, seja ela rotativa ou prismtica.

Para robs tendo configurao direita/esquerda, os eixos z1 e z2 devem apontar para fora do ombro e do brao.

D4. Estabelea a origem do i-simo sistema de coordenadas Localize a origem do i-simo sistema de coordenadas na interseco dos eixos zi e zi-1 ou na interseco da normal comum a zi e zi-1 e o eixo zi .

D5. Estabelea o eixo xi Estabelea ou ao longo da normal comum aos eixos zi e zi-1 quando eles forem paralelos.

D5. Estabelea o eixo yi

Designe usando a regra da mo direita.

D7. Estabelea as coordenada da mo do sistema

Normalmente a n-sima junta uma junta rotativa.

Estabelea zn ao longo da direo do eixo zn-1 e aponte para fora do rob.

Estabelea xn de modo que seja normal aos eixos zn e zn-1. Defina yn usando a regra da mo direita.

D8. Encontre os parmetros das juntas e dos elos

Para cada i, i=1,...n, fazer os passos D9 a D12

D9. Encontre di

di a distncia da origem do i-1simo quadrante de coordenadas ao ponto de interseco entre eixos zi-1 e xi, ao longo do eixo zi-1. Ela a varivel se a junta i for prismtica.

D10.Encontre ai ai a distncia do ponto de interseco entre os eixo zi-1 e xi em relao a origem do i-simo sistema de coordenadas, ao longo do eixo xi ( ou a mais curta distncia entre os eixos zi-1 e zi.D11. Encontre (i (i ngulo do eixo xi-1 para xi em torno do eixo zi-1, usando a regra da mo direita;

D12. Encontre (i

(i o ngulo do eixo zi-1 ao eixo zi em torno do eixo xi , usando a regra da mo direita.Uma vez estabelecido as coordenadas D-H para cada elo, a matriz de transformao homognea pode ser facilmente desenvolvida relacionando os sistemas de coordenadas i e i-1.

Um ponto ri expresso no i-simo sistema de coordenadas pode ser expresso no i-1 simo sistema de coordenadas, como ri-1, atravs das seguintes sucessivas transformaes:

1. Rotacione, em torno do eixo zi-1, de um ngulo de (i, para alinhar o eixo xi-1 com o eixo xi (O xi-1 fica paralelo ao xi e aponta na mesma direo).

2. Translade ao longo do eixo zi-1 uma distncia di para fazer coincidir os eixos xi-1 e xi.

3. Translade ao longo do eixo xi uma distncia ai para fazer coincidir as duas origens e como tambm o eixo x.

4. Rotacione em torno do eixo xi um ngulo de (i para fazer os dois sistemas coincidirem.

Cada uma dessas operaes pode ser expressa atravs de uma matriz homognea bsica de translao-rotao e o produto dessas quatro matrizes bsicas homognea de transformao produz uma matriz composta de transformao homognea i-1Ai , conhecida como a matriz de transformao D_H para os quadrantes de coordenadas adjacentes, i e i-1. Assim:

onde (i, ai, di so as constantes e (i a varivel da junta se a junta for de revoluo.

A matriz inversa :

Para a junta prismtica, a varivel da junta di e os outros parmetros so as constantes. Neste caso, i-1Ai se torna:

A matriz inversa :

Usando a matriz i-1Ai, podemos relacionar o ponto pi, em repouso em relao ao elo i e expressa-lo em coordenadas homogneas em relao ao sistema de coordenadas i, para o sistema de coordenadas i-1 estabelecido no elo i-1 atravs:

onde:

Equaes Cinemticas para Manipuladores

A matriz homognea 0Ti, que especifica a localizao do i-simo sistema de coordenadas com relao ao sistema de coordenadas da base, uma serie de sucessivos produtos de matrizes de transformao i-1Ai, como mostra as equaes abaixo:

onde:

i=1,2,3 .......n;

[xi, yi, zi] ( matriz de orientao do i-simo sistema de coordenadas, estabelecido no elo i com relao ao sistema de coordenada de base;

pi ( vetor posio que aponta da origem da coordenada da base para a origem do i-simo sistema de coordenadas;

A matriz T to freqentemente usada na cintica do brao robtico que chamada matriz do brao, e podemos escreve-la da seguinte forma:

onde:

n = vetor perpendicular ao rgo terminal. Perpendicular aos dedos;

s = deslizamento. Aponta na direo do movimento dos dedos quando a pina abre e fecha;

a = Aproximao. Aponta na direo perpendicular a palma da mo;

p = Vetor posio da mo. Aponta da origem do referencial da base para origem do referencial do rgo terminal, que est normalmente localizado no seu centro.

Se o manipulador com n juntas, est relacionado a um sistema de coordenadas de referncia atravs de uma transformao B, onde B( ref A 0, e tem uma ferramenta montada em sua ultima junta, descrita pelo sistema de coordenadas H, onde H ( n A tool, ento a ferramenta pode ser relacionada ao sistema de coordenadas de referncia atravs do seguinte produto de matrizes:

Cinemtica de Alguns Manipuladores

Manipulador TIER 6000 Manipulador com seis graus de liberdade

Parmetros DH

Transformadas Homogneas

Matriz T de transformao

onde:

Manipulador Stanford Manipulador com seis graus de liberdade

Parmetros DH

Transformaes Homogneas

Manipulador PUMA

Manipulador com seis graus de liberdade

Parmetros DH

Transformaes Homogneas

Smbolos Usados para Representar Robs

Smbolos usados para representar robs

Rob RV-M1

Rob ScaraBibliografia

1. K. S., Fu, Gonzalez, R. C., Lee, C. S. G., Lee, Robotic Control, Sesing, Vision, and Intelligence,.McGraw Hill Book Company, 1987.

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