Apostila

MEDIDAS

Como surgiu a geometria

As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do dia-

a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos

astros são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de conhecimentos

geométricos. Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons

conhecimentos do assunto.

Medidas

Todos os dias medimos coisas, nas mais variadas ocupações e atividades (quais, por exemplo).

Afinal, o que é medir?

A palavras medidas representa o processo se obter um valor quantitativo (numérico) de uma certa

unidade de medida que é tomada como padrão.

Caso utilizarmos uma unidade de medida que não é padronizado, podemos obter alguns problemas

na comunicação dessas medidas. O palmo, por exemplo, ainda é usado, mas compare o seu palmo com o

de outras pessoas: cada palmo pode ser muito diferente. Esta medida não seria útil para a indústria, nem

para o comércio. Imagine você pedir 5 palmos de tecido ... Palmo de quem?

Os instrumentos mais comuns usados para medir comprimento (a régua, a fita métrica e a trena)

tem uma unidade de medida válida para qualquer pessoa que a use. Geralmente essa unidade padrão é o

metro. Mas há muito tempo, o homem media pequenos objetos usando a polegada. Ainda hoje,

principalmente em alguns setores da Indústria, a polegada é utilizada.

As medições podem ser feitas ou executadas de duas maneiras:

• Diretamente: Por exemplo a distância entre dois pontos, pode ser obtida através de medidas

realizadas com uma trena (fita métrica).

• Indireta (Quando não é possível realizar diretamente as medidas): Por exemplo quando mede-se

ângulos e distâncias para calcular a altura de um prédio.

Medição de Segmentos

Para Euclides a medida do segmento de reta 𝐴𝐵 é um número que deve exprimir quantas vezes o

segmento 𝐴𝐵 contém um segmento 𝑢, fixado previamente, que se convencionou tomar como unidade de

comprimento, ou como segmento unitário.

A explicação que demos acima é bastante ilustrativa para servir de sugestão, mas não serve como

uma verdadeira definição matemática porque é demasiadamente vaga. Não está claro o significado da

expressão "o número de vezes que o segmento 𝐴𝐵 contém o segmento 𝑢.

Suponhamos que, embora 𝐴𝐵 não contenha 𝑢 um número inteiro de vezes, exista, entretanto, um

segmento menor, 𝑤, tal que 𝑤 esteja 𝑛 vezes contido em 𝑢 e 𝑚 vezes contido em 𝐴𝐵, sendo 𝑚 e 𝑛

números inteiros.

O segmento 𝑤 é o que se chama um submúltiplo comum de 𝐴𝐵 e 𝑢. O que ocorre na verdade é

que fixado o segmento unitário 𝑢, o comprimento de um segmento 𝐴𝐵 é um número racional 𝑚/𝑛 quando

existe um segmento 𝑤 que esteja contido 𝑛 vezes em 𝑢 e m vezes em 𝐴𝐵. Neste caso, dizemos que os

segmentos 𝐴𝐵 e u são comensuráveis.

Durante algum tempo se acreditava que, de fato, não existissem segmentos incomensuráveis.

Inicialmente, Pitágoras e seus discípulos pensavam assim. Eles mesmos, porém, descobriram o primeiro

exemplo de um par de segmentos incomensuráveis.

Axiomas de Medição de Segmentos

Lembramos que na geometria euclidiana a processo de medir segmentos é regida pelos seguintes

axiomas:

Axioma de medição 1: A todo par de pontos do plano corresponde um número maior ou igual a zero.

Este número é zero se e somente se os pontos são coincidentes.

O número a que se refere o axioma é denominado de comprimento do segmento ou distância entre

os pontos que define o segmento.

Axioma de medição 2: Os pontos de uma reta podem ser sempre colocados em correspondência

biunívoca com os números reais, de modo que o módulo da diferença entre estes números meça a distância

entre os pontos correspondentes.

Fixada uma correspondência, o número que corresponde a um ponto da reta é denominado

coordenada daquele ponto. Portanto, se a e b são as coordenadas dos pontos A e B, respectivamente, então

a distância do segmento AB é o valor absoluto da diferença entre os números correspondentes (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =|𝑎 − 𝑏|).

Erros em medidas

Na prática, como nossos olhos (ou mesmo os instrumentos mais delicados de aferição) têm um

limite de percepção (ou precisão), sendo incapazes de distinguir dois pontos que, embora distintos, achem-

se situados a uma distância inferior a esse limite.

Portanto o processo de medida está sujeito às incertezas (erros), e o valor verdadeira da observação

nunca é conhecido. O que podemos fazer é tentar aproximar o valor medido com o valor real. Essa

acuracidade da medição depende, de:

• confiabilidade e calibração do instrumento usado.

• condições ambientais no momento da medição. (variações da temperatura, da pressão atmosférica,

vento, ect).

• fatores humanos (perícia do operador).

Por melhores que sejam os equipamentos empregados, melhores operadores e condições ideais do

meio ambiente que são realizadas as medições, os resultados podem se aproximar do valor verdadeiro,

mas nunca são exatas.

Um exemplo desse fato é quando a soma dos quadrados dos catetos de um triangulo retângulo

medidos por um o aluno é diferente do quadrado da hipotensa também medida pelo mesmo aluno. Outro

exemplo é quando a soma os três ângulos internos de um triângulo plano medidos por um aluno não é

iguais a 180º.

O metro

A definição atual do metro, dada em 1983 pela é a seguinte:

O metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo

de 1/299 792 458 de segundo.

(coletado de http://www.inmetro.gov.br/inovacao/publicacoes/si_versao_final.pdf)

Exercícios

1) Medir tem um pouco de contar?

2) Como lidar com a seguinte situação:

Seu aluno acabou de aprender o teorema de Pitágoras, e quer comprova que o teorema é verdadeiro.

Ele mediu (com uma régua) os catetos de dois catetos de um triangulo retângulo plano e obteve os

respectivos valores 16 cm e 23 cm. Porem quando esse mesmo aluno mediu a hipotensa desse

triangulo retângulo, obteve o 28 cm.

3) Ioana queria comprar um pedaço de pano para fazer uma toalha de mesa. Como não tinha fita

métrica, tirou as medidas da mesa usando seu palmo. Obteve as seguintes medidas: largura = 4

palmos e comprimento = 7 palmos. Ela sabia que seu palmo mede 18 centímetros. Quais as

medidas do pano que ela comprou?

4) Pela lei, o pé-direito (distância do chão ao teto) mínimo de um apartamento deve ser de 2 m e 70

em. Qual a altura mínima de um prédio de 20 andares?

CONSTRUINDO O PENSAMENTO GEOMÉTRICO

O plano e as figuras planas

Muito do que está à nossa volta nos dá a idéia de plano, como a superfície de uma folha de papel

ou de uma chapa de aço. Para resolver problemas práticos, as figuras planas mais importantes são: o

quadrado, o retângulo, o triângulo e o círculo.

A reta

Para compreender melhor a reta e o plano, imagine que devemos deitar uma vareta sobre uma

mesa. De quantas maneiras podemos fazer isso?

Você vê que podemos dispor a vareta sobre o isopor em inúmeras posições diferentes. Isso quer

dizer que: O plano contém infinitas retas.

O ponto

Temos uma boa idéia de um ponto quando observamos uma estrela no céu escuro. A diferença é

que, como a reta, o ponto não tem espessura.

Se encostamos nosso lápis no papel, temos aí um ponto. Como isso pode ser feito em qualquer

lugar do papel, concluímos que: o plano contém infinitos pontos.

Podemos marcar vários pontos numa reta, concluímos que: A reta contém infinitos pontos.

Retas concorrentes

Quando colocamos duas varetas sobre uma mesa, quase sempre,

encontram-se em algum ponto. Neste caso dizemos que as duas varetas

representam retas concorrentes, retas que concorrem ou se encontram num

ponto. Podemos, então, concluir que: Duas retas concorrentes têm um

ponto (único) comum, um ponto que pertence às duas.

Retas paralelas

Vamos voltar ao exemplo das duas varetas jogadas ao acaso sobre

uma mesa. Algumas varetas podem não se encontrarem em nenhum ponto,

mesmo quando estendidas indefinidamente. Neste caso, chamamos as

retas de paralelas, quando duas retas coplanares não têm ponto comum.

O segmento de reta

Imagine dois pontos, A e B, sobre uma reta. Eles dividem essa reta em três partes. A parte que está

entre A e B chama-se segmento de reta, ou apenas segmento, AB (ou BA), que tem como extremidades

os pontos A e B. As outras duas partes são chamadas de semi-retas. O segmento é limitado, pois não se

estende além de suas extremidades.

O espaço, o plano e a reta não têm extremidades, estendem-se indefinidamente, ou seja, não têm

fim.

Triângulos e quadriláteros

- o triângulo, formado por três segmentos (3 lados);

- o quadrilátero, formado por quatro segmentos (4 lados).

O paralelogramo tem dois pares de lados opostos (seguimentos de retas) que são paralelos.

Exercícios

1) Para resolver esta desenhe as retas em um papel. Considere três retas (r, s e t) situadas no mesmo plano.

O que podemos afirmar sobre r e t, quando:

a) r é paralela a s, e s é paralela a t? Resposta: As retas r e t são

b) r é perpendicular a s, e s é paralela a t? Resposta: As retas r e t são

c) r é perpendicular a s, e s é perpendicular a t? Resposta: As retas r e t são

2) Na figura a seguir, quais retas são concorrentes entre si? E quais são as paralelas?

Ângulo

Os ângulos estão sempre presentes em nossa vida e quase não nos damos

conta disso.

Conforme a hora que marcam, os ponteiros de um relógio se

afastam ou se aproximam, aumentando ou diminuindo a abertura entre si.

Ou seja, o que varia é o ângulo que se forma entre eles.

Para movimentar uma tesoura, precisamos abri-la e fechá-la

continuamente, aumentando ou diminuindo a abertura entre as lâminas, ou

seja, variando o ângulo entre elas.

Afinal, o que é um ângulo?

Vamos representar um plano e, nele, duas semi-retas que

não coincidem e que têm a mesma origem, isto é, partem do

mesmo ponto. Repare que, dessa forma, as semi-retas separam o

plano em duas regiões. Cada uma dessas regiões, junto com as

semi-retas, forma um ângulo. Temos, assim, dois ângulos

determinados.

Ângulo é o nome que

se dá à abertura

formada por duas

semi-retas que

partem de um mesmo ponto.

Como medir um ângulo

Se dois ou mais ângulos têm a mesma

abertura, também têm a mesma medida. E essa

medida é determinada pela abertura de seus lados.

Em geral, o instrumento utilizado para

realizar medidas de ângulos é o transferidor.

Unidades de medida de angulos

Os ângulos são medidos em graus (1º) - e as subunidades dos graus são os minutos (1º = 60') e os

segundos (1' = 60"). Veja como fazer a conversão entre essas unidades. Suponha que você tenha que

converter o ângulo de 30,12°.

A parte decimal é 0,12 assim usando a regra de três simples obtemos 0,12° = 7,2′. Repetindo o processo para calcular os segundos, ou seja 0,2° = 12". Reagrupando tem-se que

30,12° é igual 30° 7' 12''.

Outra unidade de medida de ângulos que facilita alguns cálculos envolvendo é o radiano. Sabendo

que o comprimento de uma circunferência em radiano é igual a 2π rad, então como o comprimento de

uma circunferência equivale a uma volta completa que é o mesmo que 360º, podemos concluir que 360º

= 2π rad. Portanto, a metade de uma volta completa em uma circunferência é 180º, concluindo que seria

também a metade da medida em radiano de uma volta completa, então 180º = π rad. A partir daí podemos

encontrar qualquer medida de ângulos em radiano através da regra de três.

Por exemplo, qual seria a medida do ângulo 60º em radianos? Logo 60º =𝜋

3 rad.

Classificando ângulos

Um dos ângulos que mais se destacam na vida cotidiana é o ângulo reto, ou seja, o ângulo de 90°.

Ele aparece em todo canto, como, por exemplo, em folhas de caderno, mesas retangulares ou janelas,

paredes e portas.

Outro ângulo que recebe nome especial é o ângulo que mede 180º. Neste tipo de ângulo, as duas

semi-retas que formam os lados estão sobre uma mesma reta, e ele é chamado ângulo raso (ou ângulo de

meia-volta).

Como o ângulo reto é o mais utilizado, os outros foram classificados a partir dele, chamando-se:

- ângulo agudo, quando é menor que o ângulo reto;

- ângulo obtuso, quando é maior que o reto.

Retas perpendiculares

As retas são perpendiculares se elas forem concorrentes e formares um ângulo reto.

Ângulos suplementares

Observando com atenção duas retas concorrentes, concluímos algumas coisas importantes sobre

os ângulos que elas formam. Os ângulos 𝐴�̂�𝐶 e 𝐶�̂�𝐷 formam um ângulo raso (logo, somam 180°). O

mesmo acontece com os ângulos 𝐴�̂�𝐶 e 𝐴�̂�𝐵 ou com quaisquer outros ângulos vizinhos. Dois ângulos

que somam 180°.

Duas retas concorrentes formam quatro ângulos, tais

que quaisquer dois ângulos vizinhos são suplementares.

Ângulos opostos pelo vértice

Ao comparar, os ângulos 𝐶�̂�𝐷 e 𝐴�̂�𝐵, percebemos o

que eles são iguais. De fato como

𝐴�̂�𝐶 + 𝐶�̂�𝐷 = 180° = 𝐴�̂�𝐶 + 𝐴�̂�𝐵

Então 𝐶�̂�𝐷 = 𝐴�̂�𝐵. Assim provamos que: Ângulos opostos

pelo vértice são congruentes.

Retas paralelas cortadas por uma transversal

Com um transferidor, vamos medir os ângulos 𝐸�̂�𝑃

e 𝐴�̂�𝐶. Podemos concluir que 𝐸�̂�𝑃 = 𝐴�̂�𝐶. Este

experimento comprova o seguinte enunciado.

Duas retas paralelas cortadas por uma

transversal formam ângulos correspondentemente

iguais.

Exercícios

1) Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando marcam (em graus e em

radianos):

a) 15 horas: b) 12 horas: c) 16 horas: d) 18 horas:

2) Converta os ângulos abaixo em radianos:

a) 37º 4’ 7” b) 30º 30’ 30”

3) classifique as seguintes os ângulos segundo suas medidas:

a) 30° b) 120° c) 95° d) 245°

4) Em cada um destes pares de retas concorrentes, quanto medem os ângulos 𝑥, 𝑦 e 𝑧?

5) Qual a medida dos ângulos 𝑥 e 𝑦?

POLÍGONOS

A regularidade de formas encontradas na natureza tem chamado a atenção do ser humano há

muitos séculos. Ao observar e estudar essas formas, o homem tem aprendido muitas coisas. Com as

abelhas, por exemplo, ele compreendeu que o formato dos favos de mel é muito bom para guardar objetos

com grande economia de espaço.

A grande maioria dos problemas práticos em que podemos aplicar nossos conhecimentos

geométricos fala de figuras tais como retângulos, quadrados, triângulos, hexágonos e outros polígonos.

Polígonos são figuras formadas por segmentos de reta (seus lados) dispostos numa linha poligonal

fechada.

Para falar desses elementos dos triângulos, a Matemática usa uma convenção universal. Com letras

maiúsculas representamos os vértices, pois eles são pontos do plano. Aqui estão alguns exemplos de

polígonos:

Triângulo 𝑨𝑩𝑪: Os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são os vértices; Os

segmentos 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 e 𝐴𝐶 são os lados (3 lados); �̂�, �̂� e �̂�

são os ângulos.

Quadrilátero 𝑼𝑻𝑽𝑿: Os pontos 𝑈, 𝑇, 𝑉 e 𝑋 são os

vértices; Os segmentos 𝑈𝑇, 𝑇𝑉, 𝑉𝑋 e 𝑋𝑈 são os lados; �̂�,

�̂�, �̂� e �̂� são os ângulos.

Pentágono 𝑰𝑱𝑲𝑳𝑴: Os pontos 𝐼, 𝐽, 𝐾, 𝐿 e 𝑀 são os

vértices; Os segmentos 𝐼𝐽, 𝐽𝐾, 𝐾𝐿, 𝐿𝑀 e 𝑀𝑁 são os lados

(4 lados); 𝐼, 𝐽 �̂�, �̂� e �̂� são os ângulos.

Hexágono 𝑵𝑶𝑷𝑸𝑹𝒁: Os pontos 𝑁, 𝑂, 𝑃, 𝑄, 𝑅 e 𝑍 são os

vértices. Os segmentos 𝑍𝑁, 𝑁𝑂, 𝑂𝑃, , 𝑃𝑄, 𝑄𝑅 e 𝑅𝑍 são

os lados (6 lados); �̂�, �̂�; �̂�, �̂�, �̂� e �̂� são os ângulos.

Há também octógonos (8 lados), decágonos (10

lados), dodecágonos (12 lados) etc. Os polígonos podem ser classificados como regulares ou irregulares.

• Polígonos regulares: lados e ângulos têm a mesma medida

• Polígonos irregulares: lados e ângulos não têm a mesma medida

TRIÂNGULOS

O triângulo é uma figura geométrica muito utilizada em construções. Você já deve ter notado que

existem vários tipos de triângulo.

Soma dos ângulos internos de um triângulo

Usando um transferidor, para medir os ângulos de todo triângulo, vamos chegar a seguinte

conclusão: que a soma dos ângulos de um triângulo é um ângulo raso!

De outro modo se dobrarmos os triângulos de papel para reunir os três ângulos em volta do mesmo

ponto, chegamos a mesma conclusão. Usando recortes e colagens, podemos mostrar com bastante

facilidade que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180º. Ou seja:

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°

Agora vamos tomar o triângulo da figura

seguinte para tentar provar que a soma dos três

ângulos é de fato um ângulo raso. Para

escolhemos o vértice 𝐴 e,

por ele, traçamos uma

reta paralela à base 𝐵𝐶.

Como vimos na aula

passada, se duas retas

paralelas cortadas por uma transversal, vemos que os ângulos vizinhos do ângulo 𝛼

são iguais aos ângulos 𝛽 e 𝛾. Primeiro, a transversal é 𝐴𝐵, e, portanto, o ângulo à

direita de 𝛼 é igual a 𝛾; e, depois, a transversal é 𝐴𝐶, e o ângulo à esquerda de 𝛼 é

igual a 𝛽. Conclusão: 𝛼, 𝛽 e 𝛾 formam um ângulo raso.

Assim, se você conhece dois ângulos de um triângulo, pode sempre

descobrir a medida do terceiro ângulo. Vejamos como seria resolvido esse

problema usando os mesmos exemplos acima.

O resultado é encontrado subtraindo-se de 180º da soma dos ângulos que

você já conhece.

180° − (90° + 30°) = 180° − 120° = 60°

Neste exemplo, você não conhece nenhum dos três ângulos, mas sabe que os três possuem medidas

iguais. Basta então dividir o total por 3. 180°

3= 60°

Classificação dos triângulos

Assim como as retas no

plano, os triângulos também

recebem nomes especiais

conforme os ângulos formados

entre seus lados.

• Triângulo acutângulo:

possui os 3 ângulos agudos.

• Triângulo retângulo: possui 1 ângulo reto e 2 ângulos agudos.

• Triângulo obtusângulo: possui 1 ângulo obtuso e 2 ângulos agudos.

Outro tipo de classificação utilizado é classificação conforme a medida dos seus lados.

• Triângulo equilátero: possui os 3 lados com a mesma medida.

• Triângulo isósceles: possui 2 lados com a mesma medida e o terceiro lado com medida diferente.

• Triângulo escaleno possui os 3 lados com medidas diferentes.

Exercícios

1) Se eu pedir a um amigo, por telefone, que pegue três varetas e faça um triângulo com ângulos de 77°,

69° e 34°, será que posso ter certeza de que ele fará um triângulo exatamente igual ao que eu estou

imaginando?

2) Responda

a) Quanto mede o terceiro ângulo de um triângulo em que os outros dois ângulos medem 50° e 70°?

b) Conhecendo os três ângulos de um triângulo, sabemos qual é a sua forma? E seu tamanho?

c) É possível construir um triângulo quando seus lados medem 8 cm, 4 cm e 3 cm?

d) Num triângulo equilátero, quanto mede cada ângulo?

3) Observe os triângulos abaixo e classifique-os quanto aos ângulos e quanto aos lados.

4) Já sabemos que em qualquer triângulo a soma dos três ângulos internos é 180º. Será que existe uma

propriedade desse tipo para quadriláteros, em geral? Isto é: a

soma dos ângulos de um quadrilátero (polígono de quatro

lados) é sempre a mesma ou depende da forma do

quadrilátero? Sugestão: Quando traçamos uma das diagonais

de um quadrilátero, ele fica dividido em dois triângulos.

5) O losango é um polígono regular? Por quê?

ÁREAS

Calculando áreas

Existem muitas situações práticas que envolvem o cálculo de áreas, como veremos nos exemplos

a seguir.

Um pedreiro, ao ser chamado para colocar azulejos em uma parede, começará seu trabalho

calculando a área das paredes que vão ser revestidas. Depois, ele vai comprar o material e, quando pedir

os azulejos, o balconista certamente lhe perguntará quantos metros quadrados ele deseja. Assim,

calculando a área das paredes, e das portas e janelas, o azulejista poderá pedir a quantidade certa de

azulejos, evitando a falta ou o desperdício de material.

Uma vez elaborado o projeto de uma casa, é necessário preparar seu orçamento. É preciso saber,

por exemplo, qual a quantidade de tijolos a ser usada na obra. Para isso, devemos saber quantos metros

quadrados de parede a casa terá. Esse cálculo é necessário não apenas para saber a quantidade de material

que se deve comprar, mas também para avaliar o custo da mão-de-obra que vai ser utilizada.

Esses são alguns dos exemplos que mostram que o cálculo de áreas faz parte do dia-a-dia de muitos

profissionais.

Definição geral de área

É possível associar a cada polígono 𝑃 um número real não-negativo, chamado de área de 𝑃, com

as seguintes propriedades:

1) Polígonos congruentes tem áreas iguais.

2) Se 𝑃 é um quadrado com lado unitário, então área de 𝑃 é igual a 1.

3) Se 𝑃 pode ser decomposto como reunião de 𝑛 polígonos 𝑃1, …, 𝑃𝑛 tais que dois quaisquer deles tem

em comum no máxima alguns lados, então a área de 𝑃 é a soma das áreas dos 𝑃𝑖.

Como medir áreas

Convencionaremos tomar como unidade de área um quadrado cujo lado mede 1 unidade de

comprimento. Esse quadrado é chamado de quadrado unitário. Logo para medir a área de uma figura

comparamos com o quadrado unitário. O resultado da comparação é um número positivo, ao qual

chamamos de área.

Unidade de área

Quando medimos uma área, queremos saber o espaço que uma superfície

ocupa. Para isso, temos unidades de medida específicas. Se a unidade for o metro

ou seja a área é 1 m então a área desse quadrado é 1 metro quadrado ou 1 m².

Vamos recordar as unidades de área mais usuais.

• Metro quadrado (m²): é a superfície de um quadrado de 1

metro (1 m) de lado.

• Quilômetro quadrado (km²): é a superfície de um quadrado

de 1 quilômetro (1 km) de lado.

• Centímetro quadrado (cm²): é a superfície de um quadrado

de 1 centímetro (1 cm) de lado.

Existem ainda: o hectômetro quadrado (hm²), o

decâmetro quadrado (dam²), o decímetro quadrado (dm²) e o

milímetro quadrado (mm²).

No Brasil, costuma-se usar o hectare (ha) ou o alqueire

para medir grandes extensões de terra. Um hectare (ha) é igual

10.000 m². Já o alqueire não é uma medida uniforme para todo o país. Existem:

- o alqueire paulista, que vale 24 200 m²;

- o alqueire mineiro, que vale 48 400 m² (o dobro do paulista) e

- o alqueire do Norte, que vale 27 225 m².

Mudando de unidade

Sabendo que em 1 centímetro cabem 10 milímetros, então em 1 centímetro quadrado cabem 100

milímetros quadrados, ou seja:

1 cm² = 10mm × 10 mm = 100 mm²

Um problema de herança

Um homem decidiu dividir um terreno entre seus filhos: Abel e Cássio.

Após desenhar a planta do terreno em papel quadriculado, ele chegou à divisão

mostrada na figura seguinte. Afinal, a divisão foi justa?

Podemos considerar cada quadradinho como uma unidade de área.

Contando os quadradinhos da parte que coube, por exemplo, a Abel, temos 12

unidades de área. Fazendo o mesmo com a parte que cabe a Cássio também temos

12 unidades. Sendo assim, houve justiça na divisão do terreno, pois todos receberam a mesma área.

Área de retângulos

O retângulo é uma das figuras geométricas mais comuns que encontramos na vida diária, como

podemos constatar em nossas casas, móveis e utensílios. No problema da herança, para calcular a área de

terreno que coube a cada filho, contamos quantos quadradinhos (unidades de área) cabem em cada terreno.

Chegamos a 12 unidades, nos dois casos. Mas, não era necessário contar os quadradinhos um por um. É

fácil observar que:

O terreno de Abel tem: 2 × 6 = 12 unidades de área.

O terreno de Cássio tem: 3 × 4 = 12 unidades de área.

Portanto: a área de um retângulo é igual ao produto dos seus lados.

Área do retângulo = comprimento × largura

𝐴 = 𝑏𝑎

Área do paralelogramo

Da área do retângulo, passa-se facilmente para a área do paralelogramo. Um paralelogramo é um

quadrilátero no qual os lados opostos são paralelos. Quando se toma um lado do paralelogramo como

base, chama-se altura do paralelogramo a um segmento de perpendicular que liga a base ao lado oposto

(ou ao seu prolongamento).

Observe as figuras abaixo. Podemos “cortar” um pedaço do paralelogramo

e encaixá-lo do outro lado, transformando o paralelogramo num retângulo:

A área do paralelogramo é, assim, igual

à área do retângulo obtido, ou seja, ao

produto das medidas da base pela altura:

𝐴 = 𝑏ℎ

Área do losango

O losango é uma figura geométrica de lados iguais e diagonais

perpendiculares.

Podemos construir um retângulo de tal forma que o losango fique

inscrito nessa construção. Observe que, dessa forma, a área do losango é

metade da área do retângulo, sendo determinada em função de suas diagonais:

Diagonal maior (𝐷) diagonal menor (𝑑).

𝐴 =𝐷𝑑

2

Área do trapézio

O trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos, chamados bases: Construa dois trapézios

iguais e encaixe-os, colocando um deles de “cabeça para baixo” em relação ao outro.

A figura obtida é um paralelogramo cuja área é o dobro da área do trapézio. Dessa forma, a área

do trapézio é:

𝐴 =(𝐵 + 𝑏)ℎ

2

Exemplo

Um terreno em forma de trapézio tem 75 m na base menor, 100 m

na base maior e 40 m de altura. Qual a área desse terreno?

𝐴 =(75 + 100) × 40

2=

175 × 40

2=

7000

2= 3500

Logo, a área do terreno é de 3.500 m2.

Área do triângulo

Usaremos um raciocínio semelhante ao que

usamos para determinar a área do trapézio. Assim,

construímos dois triângulos iguais:

Encaixando-os, como na figura da esquerda, obtemos um paralelogramo cuja área é o dobro da

área do triângulo. Como a área do

paralelogramo é determinada pelo produto da

base pela altura, a área do triângulo é igual à

área do paralelogramo dividida por dois.

𝐴 =𝑏ℎ

2

Se o triângulo for retângulo, a área pode ser calculada multiplicando-se os catetos e dividindo o

resultado por 2.

𝐴 =𝑏ℎ

2

Decompondo figuras planas

Usando a definição (c) de volume, podemos obter a área de qualquer polígono pode ser dividido

num certo número de triângulos, quadros ou outros polígonos mais simples cuja as áreas são mais fácies

de serem calculadas.

Exemplo

Calcule a área da figura: Podemos decompor essa figura da seguinte maneira:

Calculamos, então, a área de cada uma das figuras:

(1) é um trapézio de área: (3 + 4,5) × 1,5

2= 5,625 𝑐𝑚2

(2) é um paralelogramo de área:

4,5 × 2,5 = 11,25 𝑐𝑚2

(3) é um triângulo de área: 4,5 × 3

2= 6,75 𝑐𝑚2

Somando os três resultados, temos a área da figura dada:

5,625 + 11,25 + 6,75 = 23,625

Assim, a área da figura é 23,625 cm².

Cálculo aproximado de áreas

Existem figuras planas cujas áreas são obtidas por cálculos

aproximados.

Exemplo

Qual é a área figura do terreno?

Quadriculamos a figura tomando, por exemplo, o

centímetro quadrado como unidade de área:

Contando os quadradinhos internos e os que cobrem

a figura, temos:

Figura A 43 quadradinhos internos

Figura B 80 quadradinhos que cobrem a figura

A área da figura, portanto, está entre 43 cm² e 80 cm².

Aproximamos os valores encontrados por meio de

média aritmética: 43 + 80

2= 61,5 𝑐𝑚2

A área da figura é, portanto, 61,5 cm².

Observação: Se usarmos uma unidade de área menor, como por exemplo o milímetro quadrado (mm²), o

resultado obtido será mais preciso.

Exercícios

1) Calcule a área deste terreno desenhado em papel quadriculado:

a) Contando os quadradinhos de área unitária.

b) Separando-o em retângulos e calculando as respectivas áreas.

2) Calcule a área destes paralelogramos:

a) b) c)

3) Sabemos que os losangos, são uma classe especial de paralelogramo. Assim

demostre a área losango a partir da área do paralelogramo.

4) Calcule a área da figura:

5) Considerando o quadradinho como unidade de área

(u), determine o valor aproximado da área da figura:

6) Imagine que você tenha uma sala que pretende alugar.

Para isso, precisa calcular a área da sala. Seu chão é coberto de lajotas quadradas cujo lado mede

aproximadamente um palmo de 23 cm. A sala é retangular: num lado, existem 17 lajotas, e, no outro, 13.

Qual a área da sala? Explique como você resolveu o problema.

7) Um mineiro e um paulista estão discutindo qual deles tem o maior terreno. O paulista diz que é claro

que é o seu: "Pois, compadre, se eu tenho 20 alqueires e o compadre só tem 10, quem pode ter mais?" Na

realidade, os dois terrenos têm a mesma área. Como se explica isso?

TEOREMA DE TALES

São atribuídas a Tales muitas descobertas geométricas, entre as quais um teorema com seu nome.

Teorema de Tales: Quando três retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, os

segmentos determinados numa das retas transversais são proporcionais aos segmentos

determinados na outra.

O teorema acima pode ser rescrito da seguinte

forma: Duas retas, 𝐴𝐸 ⃡ e 𝐵𝐹 ⃡ , cortam três retas paralelas

𝐴𝐵 ⃡ , 𝐶𝐷 ⃡ e 𝐸𝐹 ⃡ . Nessas condições, os segmentos de medidas

𝐴𝐶, e 𝐶𝐸 são proporcionais aos segmentos de medidas

𝐵𝐷, e 𝐷𝐹. Assim: 𝐴𝐶

𝐶𝐸=

𝐵𝐷

𝐷𝐹

Logo se os segmentos tiverem os respectivos

valores 𝐴𝐶 = 1, 𝐶𝐸 = 2, e 𝐷𝐹 = 3, podemos encontrar o

valor do segmento 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ . 𝐴𝐶

𝐶𝐸=

𝐵𝐷

𝐷𝐹⇒

1

2=

𝐵𝐷

3⇒ 𝐵𝐷 =

3

2⇒ 𝐵𝐷 = 1,5

Uma aplicação do Teorema de Tales

Na planta de um loteamento, está faltando a

medida do lado dos fundos do lote B:

Representando por 𝑥 a medida que desejamos calcular

e usando o Teorema de Tales, podemos descobrir essa

medida sem efetuar medições. Como as laterais são

paralelas, temos: 20

30=

𝑥

24⇒ 𝑥 =

480

30⇒ 𝑥 = 16

Assim, concluímos que o lado dos fundos do lote B

mede 16 metros.

Semelhança de Triângulos

Se aplicarmos o Teorema de Tales num triângulo qualquer vamos obter

resultados bastante interessantes sobre os triângulos. Sendo dois triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝑃𝑁𝑀

de modo que 𝑃 corresponde a 𝐴, 𝑁 corresponde a 𝐵, e 𝑀 a 𝐶 são triângulos semelhantes,

quando:

• os ângulos de 𝐴𝐵𝐶 e 𝑃𝑁𝑀 são correspondentes e iguais (𝐴 → 𝑃, 𝐵 →𝑁 e 𝐶 → 𝑀); ou

• os lados de 𝐴𝐵𝐶 e 𝑃𝑁𝑀 são correspondentes e proporcionais: 𝑃𝑁

𝐴𝐵=

𝑃𝑀

𝐴𝐶=

𝑁𝑀

𝐵𝐶

Esta razão constante é a razão de semelhança de 𝑃𝑁𝑀 para 𝐴𝐵𝐶. Dá para perceber que dois

triângulos semelhantes têm sempre a mesma forma, sendo um deles uma ampliação ou uma redução do

outro.

EXEMPLO

Seja os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝑃𝑁𝑀, tal que os medem os lados 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 6 cm,

𝐴𝐶 = 8 cm e 𝐵𝐶 = 7 cm, e os lados de 𝑃𝑁𝑀 medem 𝑁𝑀 = 3,5 cm, 𝑃𝑁 = 3

cm e 𝑃𝑀 = 4. Então temos a proporção: 𝑃𝑁

𝐴𝐵=

3

6=

1

2

𝑃𝑀

𝐴𝐶=

4

8=

1

2

𝑁𝑀

𝐵𝐶=

3,5

7=

1

2

Neste caso, dizemos que 𝐴𝐵𝐶 e 𝑃𝑁𝑀 são triângulos semelhantes e a razão da

semelhança do triângulo 𝑃𝑁𝑀 em relação ao triângulo 𝐴𝐵𝐶 é 1

2.

Observe que apesar dos dois triângulos ABC e PNM não serem iguais eles têm

os mesmos ângulos (�̂� = �̂�, �̂� = �̂� e �̂� = �̂�).

Exercício

1) Nas figuras abaixo, calcule o valor de 𝑥 (as retas 𝑎, 𝑏 e c são paralelas).

a) b)

2) A planta abaixo mostra as medidas de dois terrenos. Calcule

as medidas de suas frentes, sabendo que as laterais são

paralelas e que a medida de 𝐴𝐵 é

90 metros.

3) Observe o desenho abaixo e descubra qual deve ser o

comprimento da ponte.

4) Qual é a altura de um obelisco cuja sombra é fácil de ser

medida.

TEOREMA DE PITÁGORAS

O triângulo retângulo

Num triângulo retângulo, os lados recebem os seguintes

nomes: hipotenusa e cateto. A hipotenusa é o maior dos lados e é o

lado oposto ao ângulo reto.

A área do quadrado formado

sobre a hipotenusa é igual à soma das

áreas dos quadrados formados sobre os

catetos.

Para demonstra esse teorema utilizamos as figuras abaixo, com

triângulos e o quadrado:

Observe que o quadrado ao centro da figura tem lado 𝑎, portanto, sua

área é igual a 𝑎2. Movimentando os triângulos observamos que os dois quadrados têm

lados 𝑏 e 𝑐. Portanto, suas áreas são 𝑏2 e 𝑐2.

Como o quadrado grande (de lado 𝑏 + 𝑐) é

o mesmo nos dois casos, podemos concluir que

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2, assim, deduzimos o Teorema de

Pitágoras:

Num triângulo retângulo, o quadrado da

medida da hipotenusa é igual à soma dos

quadrados das medidas dos catetos.

Usando a semelhança de triângulos, podemos demonstrar o Teorema de Pitágoras de outra

maneira, bem como aprender outras relações métricas entre os lados de um triângulo retângulo.

1ª relação: O quadrado do cateto maior é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto.

2ª relação: O quadrado do cateto menor é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto.

3ª relação: O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos sobre

a hipotenusa.

Exercícios

1) Aplicando o Teorema de Pitágoras, verifique se são retângulos os triângulos que têm estas medidas de

lados:

a) 6 cm, 8 cm e 10 cm b) 7 cm, 9 cm e 20 cm

c) 4 cm, 5 cm e 6 cm d) 13 cm, 12 cm e 5 cm

2) Desenhe um triângulo retângulo e construa triângulos retângulos e

isósceles sobre seus catetos e sua hipotenusa, conforme este modelo:

Em seguida:

a) calcule a área de cada um dos triângulos com de lados 𝑎, 𝑐 e 𝑏,

desenhados sobre os catetos e sobre a hipotenusa;

b) some as áreas dos triângulos desenhados sobre os catetos e compare

com a área do triângulo desenhado sobre a hipotenusa. O que você

concluiu?

3) Em cada um destes itens, calcule o terceiro lado do triângulo;

desenhe o triângulo e confirme. Todas as medidas estão em cm:

a) a = 17 b = 15 b) b = 10 c = 10 c) a = 12, 1

c = 6

4) Usando as relações métricas no triângulo retângulo,

calcule as medidas indicadas na figura:

5) As diagonais de um losango medem 18 cm e 24 cm.

Calcule a medida do lado desse losango.

6) Calcule a medida da diagonal do quadrado cujo perímetro mede 24 cm.

TRIGONOMETRIA

Agora vamos descobrir como podemos estabelecer relações entre os ângulos de um triângulo

retângulo (ângulos agudos) e seus lados.

Relacionando lados e ângulos

Você já sabe que, em todo triângulo retângulo,

os lados são chamados hipotenusa (o maior lado) e

catetos (lados perpendiculares). Precisamos, em

função do ângulo, diferenciar a nomenclatura dos

catetos.

O cateto que fica “em frente” ao ângulo agudo

que estamos utilizando chama-se cateto oposto, e o

cateto que está sobre um dos lados desse ângulo

chama-se cateto adjacente.

Observe que, se o ângulo do problema for o

outro ângulo agudo do triângulo, a nomenclatura

oposto e adjacente troca de posição, pois depende do

ângulo utilizado.

Repare que os o triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴𝑃𝑄 são semelhantes

logo temos as seguintes proporções: 𝐵𝐶

𝐴𝐶=

𝑃𝑄

𝐴𝑄=

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝐴𝐵

𝐴𝐶=

𝐴𝑃

𝐴𝑄=

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝐵𝐶

𝐴𝐵=

𝑃𝑄

𝐴𝑃=

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

Como esse triangulo é um triangulo retângulo então tem

um ângulo reto (90°), e assim é semelhante a todo triangulo retângulo com um dos ângulos agudo 𝜃. Logo

temos uma relação entre o ângulo 𝜃 e as proporções entre o cateto oposto e a hipotenusa (ou o cateto

adjacente e hipotenusa, ou o cateto oposto e cateto adjacente). Essas relações são chamadas de relações

trigonométricas e recebem os seguintes nomes.

• A primeira é chamada seno do ângulo 𝜃: sen 𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

• A segunda é chamada cosseno do ângulo 𝜃: cos 𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

• A última denomina-se tangente do ângulo 𝜃: tan 𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

Existem processos para calcular senos,

cossenos e tangentes com muitas casas decimais

exatas. Hoje em dia, muitas calculadoras já

trazem teclas com essas funções. Para usá-las,

basta digitar a medida do ângulo e depois a tecla

correspondente à função desejada. Outro recurso

muito utilizado é consultar uma tabela

trigonométrica.

Ângulo Seno Cosseno Tangente

30° 1

2 √3

2

√3

3

45° √2

2

√2

2 1

60° √3

2

1

2 √3

Exemplo

Uma escada está apoiada em um muro de 2 m de altura, formando um ângulo

de 45º. Forma-se, portanto, um triângulo retângulo isósceles. Qual é o comprimento

da escada?

Usando o cosseno do ângulo de 45º que a escada forma com o muro,

descobrimos o valor de 𝑥, que será o comprimento da escada.

cos 45° =2

𝑥

Como podemos ver na tabela cos 45° =√2

2 logo 𝑥 = 2√2

Exercício

1) Determine a medida do lado de um quadrado cuja diagonal é:

a) 4 cm b) 2 cm

2) Use uma calculadora ou um computador para fazer a tabela trigonométrica do ângulos 0°, 1°, 2°, …,

90°, com até três casas decimais.

3) Consulte esta tabela trigonométrica e dê os valores de:

a) sen 52º, cos 52º, tan 52º b) sen 38º, cos 38º, tan 38º

c) sen 20º e cos 70º d) sen 70º e cos 20º

4) Através da tabela de os valores dos ângulos agudos de um triângulo retângulos, sabendo que seus

catetos medem 4 m e 3 m.

5) Num hexágono regular (lados e ângulos iguais), o segmento 𝑎 da

figura chama-se apótema e o segmento 𝑟 é o raio da circunferência

circunscrita. Sabendo-se que um hexágono regular é formado por 6

triângulos equiláteros, obtenha 𝑎 e 𝑟 em função do lado 𝑙 do hexágono.

A inclinação de um telhado

Como calcular a inclinação (caimento) de um telhado é um dos assuntos que envolvem o curso de

práticas profissionais ou ainda cálculos para elaboração de desenho arquitetônico na faculdade de

arquitetura ou engenharia civil.

Antes vamos enumerar algumas definições básicas importantes:

O tipo de telha: Temos que ter conhecimento prévio do tipo de telha a ser aplicada no projeto,

independente do material da telha.

O tamanho da telha: quanto maior a telha, menor a inclinação, e vice-versa.

A unidade de medida: Adote uma única unidade de medida, ou metro ou centímetro.

A inclinação da telha: cada tipo de telha possui sua inclinação própria que é determina pelo seu tamanho.

Recomenda-se antes de se iniciar o cálculo, que o projetista verifique com o fabricante da mesma a

inclinação recomendada. A inclinação dos telhados é medida em porcentagem (%) e não em ângulo (º).

Como calcular a inclinação de um telhado

Se você decidir usar telha de amianto (que é chamado vulgarmente de eternit), o telhado possuirá

uma inclinação de 10%. Mas o que exatamente isso significa?

Significa que 10% = 10m/100m, ou seja,

a cada 1 metro na horizontal, o telhado avança

10cm (ou 0,1 m) na vertical.

Logo para calcular o ângulo 𝛼 podemos

usar a função arco tangente. Assim

tg 𝛼 = 10% =10

100=

1

10 logo 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 tg

1

10≅ 5,71

Se você decidir usar telha de amianto, o ângulo de inclinação pode ser um ângulo de 10º.

O mesmo raciocínio serve para todos os telhados com diferentes inclinações.

Cálculo de inclinação de um telhado na prática.

Calcule a altura final da cumeeira de um telhado com 2 águas com as seguintes dimensões:

Largura total = 8,0 metros;

Inclinação de 30%, (inclinação que informada pelo fabricante da telha)

Solução:

O telhado terá 8,0m de largura com duas águas, a cumeeira deve estar no meio da cobertura, ou seja, nos

4,0m. Então se o telhado tem inclinação de 30% = 30/100 = 30cm de altura a cada 1 m de largura, logo a

cada 4,0 de largura temos 120 cm ou a 1,2 m de altura.

Ou podemos usar a semelhança de triângulos onde ℎ é altura da cumeeira:

ℎ = 4 ∙ 30 % = 1,20 m

Exercícios

1) Para decidir com um carpinteiro qual o ângulo de inclinação que seu telhado terá, você precisa saber

que tipo de telha irá utilizar. Um carpinteiro nos informou que, para usar telhas francesas, o telhado pode

ter um caimento de 45%.

a) Calcule o ângulo 𝛼 (em grau) usando a

função arco tangente (valor aproximado com

duas casa decimais).

b) Calcule a altura final da cumeeira de um

telhado com 2 águas com largura total de 10

metros.

2) Qual é o caimento de um telhando que tem

um ângulo de declividade de 25º.

O círculo e o número 𝝅

As formas circulares aparecem com freqüência nas construções e nos objetos presente em nosso

mundo. As formas circulares estão presentes: nas moedas, nos discos, roda do carro... Quando riscamos

no papel ou no chão apenas o contorno do círculo, este contorno é chamado

circunferência. Uma circunferência no quadro, pode ser feito utilizando uma

tachinha, um barbante e um giz.

Algumas definições importantes

Corda é o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência.

Diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observe que o

diâmetro (𝑑) é sempre a corda maior e sua medida é igual a duas vezes a medida do raio (𝑟).

(𝑑 = 2𝑟)

O comprimento da circunferência

Várias circunferências nos levam a concluir que seu comprimento de qualquer circunferência

depende da medida do diâmetro. Usando diferentes objetos com a forma circular, vamos medir o

comprimento das circunferências e de seus diâmetros.

No quadro abaixo foram anotadas algumas medidas dos comprimentos e diâmetros de várias

objetos circulares. Na última coluna dividimos cada medida obtida do comprimento (𝐶) pela medida do

diâmetro correspondente (𝑑).

OBJETO MEDIDO COMPRIMENTO (𝐶) DIÂMETRO (𝑑) 𝐶/𝑑

Pires de xícara 47 cm 15 cm 3,133...

Prato de refeição 73,5 cm 23,4 cm 3,141...

Pirex de vidro 84,8 cm 27 cm 3,140...

Fundo de copo 155 mm 49 mm 3,163...

Moeda 69 mm 22 mm 3,136...

Faça você mesmo mais algumas medidas e verifique que a razão 𝐶/𝑑 se aproxima de um número

constante quanto mais precisas forem essas medidas. Este número é conhecido como pi, simbolizado pela

letra grega 𝜋, que é um número irracional e possui infinitas casas decimais, mas na prática utilizamos

apenas uma aproximação de seu valor.

𝜋 = 3,14159265358979323846264. .. ou 𝜋 ≈ 3,14 Na prática, de acordo com os exemplos, não obtivemos o resultado 3,14 em todas as razões 𝐶/𝑑.

Isso ocorre porque é impossível obter medidas exatas com os métodos que utilizamos. Da mesma forma

que nossas medições são aproximadas, o resultado das divisões também é uma aproximação. O cálculo

da medida do comprimento de uma circunferência, quando conhecemos a medida de seu raio, pode ser

feito por meio da relação acima. 𝐶

𝑑= 𝜋 ⇒ 𝐶 = 𝜋𝑑 ⇒ 𝐶 = 2𝜋𝑟

Exercício

1) Uma praça circular tem 200 m de raio. Quantos metros de grade serão necessários para cerca-la?

2) Complete a tabela abaixo: (Sugestão: use a aproximação 𝜋 = 3,14)

RAIO (𝑟) DIÂMETRO (𝑑) COMPRIMENTO (2𝜋𝑟)

2 cm 4 cm 12,56 cm

1 cm

5 cm

18,84 cm

A área do círculo

Desde os tempos mais antigos os matemáticos se preocupam com o problema de determinar a

área do círculo. O procedimento mais usado foi o método da exaustão, que foi obtido por Arquimedes.

Este procedimento consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas.

Assim a área do círculo pode ser aproximada por falta pela área de polígonos regulares inscritos neste

círculo. Por outro lado, a área do círculo pode ser aproximada por excesso pela área de polígonos regulares

nele circunscritos.

Um polígono regular está inscrito num círculo quando seus vértices estão sobre a circunferência

e seus lados são cordas. O polígono está circunscrito ao círculo quando seus lados são tangentes à

circunferência.

Os vértices de um polígono regular inscrito num círculo dividem a circunferência em partes

iguais. A perpendicular baixada do centro do círculo sobre o meio do lado chama-se apótema. Se o

polígono é inscrito, o apótema é menor do que o raio; se é circunscrito, seu apótema é igual ao raio do

círculo.

Assim, indiquemos com 𝑃𝑛 e 𝑄𝑛 os polígonos regulares de n lados, respectivamente inscrito no,

e circunscrito ao, círculo C de raio 𝑟.

Seja 𝐴𝑃𝑛 a área do polígono 𝑃𝑛 (inscrito na circunferência) é o produto dos lados (𝑙𝑛) pelo

apótema (𝑎𝑛) e o número de lados (𝑛) dividido por 2, ou seja:

𝐴𝑃𝑛= 𝑛

𝑙𝑛𝑎𝑛

2=

𝑝𝑛𝑎𝑛

2

onde 𝑝𝑛 = 𝑛𝑙𝑛 é e o perímetro do polígono 𝑃𝑛.

Seja 𝐴𝑄𝑛 a área do polígono 𝑄𝑛 (circunscrito na

circunferência) é o produto dos lados (𝐿𝑛) pelo raio 𝑟 e o

número de lados (𝑛) dividido por 2, ou seja:

𝐴𝑄𝑛= 𝑛

𝐿𝑛𝑟

2=

𝑞𝑛𝑟

2

onde 𝑞𝑛 = 𝑛𝐿𝑛 é e o perímetro do polígono 𝑄𝑛.

Como exemplo, vamos apresentar o cálculo da área dos polígonos para um

círculo de 10 cm de raio:

• se 𝑛 = 4 temos 𝑙4 = 𝑟√2 = 10√2, 𝑎4 = 𝑟√2/2 = 5√2 e 𝐿4 = 𝑟 = 20 logo

a área dos polígonos 𝑃4 e 𝑄4 será:

𝐴𝑃4= 4

10√2∙5√2

2= 4

100

2= 200 𝑐𝑚2

𝐴𝑄4= 4

20∙10

2= 4

200

2= 400 𝑐𝑚2

• se 𝑛 = 6 temos 𝑙6 = 𝑟 = 10, 𝑎6 = 𝑟√3/2 = 5√3 e 𝐿6 = 2𝑟√3/3 =

20√3/3 logo a área dos polígonos 𝑃6 e 𝑄6 será:

𝐴𝑃6= 6

5√3∙10

2= 6

50√3

2= 200√3 ≅ 259,807 𝑐𝑚2

𝐴𝑄6= 6

20√3/3∙10

2= 6

200√3/3

2= 200√3 ≅ 346,41 𝑐𝑚2

• se 𝑛 = 8 temos 𝑎8 ≅ 9,238, 𝑝8 ≅ 30,614 e 𝐿8 ≅ 33,137 logo a área dos

polígonos 𝑃8 e 𝑄8 será:

𝐴𝑃8≅ 30,614 ∙ 9,238 ≅ 282,842 𝑐𝑚2

𝐴𝑄8≅ 33,137 ∙ 10 ≅ 331,37 𝑐𝑚2

• se 𝑛 = 10 temos 𝑝10 ≅ 3,09, 𝑎10 ≅ 9,51 e 𝐿10 ≅ 3,249 logo a área dos

polígonos 𝑃10 e 𝑄10 será:

𝐴𝑃10≅ 3,09 ∙ 9,51 ≅ 2,93,892 𝑐𝑚2 e 𝐴𝑄10

≅ 3,249 ∙ 10 ≅ 324,919 𝑐𝑚2

• se 𝑛 = 100 temos 𝑝100 ≅ 31,41, 𝑎100 ≅ 9,995 e 𝐿100 ≅ 31,426 logo a área dos polígonos 𝑃100

e 𝑄100 será: 𝐴𝑃100

≅ 31,41 ∙ 9,995 ≅ 313,952 𝑐𝑚2 e 𝐴𝑄100≅ 31,426 ∙ 10 ≅ 314,262 𝑐𝑚2

• se 𝑛 = 1000 temos 𝑝1000 ≅ 31,415, 𝑎1000 ≅ 9,999 e 𝐿1000 ≅ 31,416 logo a área dos polígonos

𝑃1000 e 𝑄1000 será:

𝐴𝑃1000≅ 31,415 ∙ 9,999 ≅ 314,157 𝑐𝑚2 e 𝐴𝑄1000

≅ 31,41 ∙ 10 ≅ 314,16 𝑐𝑚2

É evidentemente que 𝐴𝑃𝑛< 100𝜋 < 𝐴𝑄𝑛

. Fazendo 𝑛 crescer cada vez mais, isto e, 𝑛 → +∞, os

polígonos 𝑃𝑛 e 𝑄𝑛 toma-se uma aproximação do círculo. Os perímetros 𝑝𝑛 e 𝑞𝑛 aproxima-se do

comprimento do círculo 2𝜋𝑟 e a o valor apótema e ℎ𝑛 aproxima-se do raio 𝑟. Temos,

lim𝑛→∞

𝐴𝑃𝑛=

2𝜋𝑟𝑟

2= 𝜋𝑟2 e lim

𝑛→∞𝐴𝑄𝑛

=2𝜋𝑟𝑟

2= 𝜋𝑟2

Logo obtemos a formula da área do círculo.

Podemos ilustrar a idéia da área do círculo imaginamos que o círculo seja formado por várias

circunferências concêntricas. Depois, imaginamos também que podemos cortar essas circunferências e

esticá-las. A figura que obtemos, então, é um triângulo retângulo com área equivalente ao círculo.

Observe o triângulo abaixo. Sua altura é igual ao raio do círculo e sua base mede 2𝜋𝑟, isto é, o

comprimento da maior circunferência que é a fronteira do círculo.

Área do círculo = área do triangulo equivalente ao circulo

Área do círculo =𝑏𝑎𝑠𝑒∙𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

2=

2𝜋𝑟∙ 𝑟

2= 𝜋𝑟2

Portanto a área do círculo depende da medida de seu raio.

Outra maneira de ilustrar a idéia da área do círculo é dividir o círculo em 16 partes iguais. Cada

uma destas partes é denominada setor circular. O setor circular é uma região

limitada por um arco de circunferência e por dois raios. Podemos pegar a

metade destes setores e arruma-los de maneira que a outra metade pode ser

encaixada sobre esta, de forma a não deixar espaços vazios.

Essa figura ainda não é

um quadrilátero, pois dois de

seus lados são formados por

arcos sucessivos e não por

segmentos de reta. No entanto,

“usando um pouco a imaginação”, podemos

dividir nosso círculo em setores circulares cada vez menores.

Repetindo o que fizemos com as 16 partes vamos pegar a metade dos

setores em uma certa posição e

encaixarmos sobre estes a outra

metade. Note que nos aproximamos

muito mais de um retângulo de altura

igual ao raio e comprimento igual a

metade do comprimento da

circunferência deste círculo.

Área do círculo = área do retângulo equivalente ao circulo

Área do círculo = 𝜋𝑟 ∙ 𝑟 = 𝜋𝑟2

Exemplo 1

Vamos agora calcular a área do círculo do de 10 cm de raio.

Solução: Como 𝑟 = 5 cm, 𝑟2 = 5 ∙ 5 = 25 cm². A área então será:

Área do círculo = 25𝜋 ≅ 3,14 ∙ 25 = 78,5 𝑐𝑚2

Área do setor circular

Muitas vezes estamos interessados em calcular apenas a área de um setor

circular (“fatia” do círculo). Todo setor circular está associado um ângulo central

corresponde um ângulo central. O ângulo central é aquele que tem o vértice no

centro da circunferência. O ângulo central máximo, que corresponde a uma volta

completa e está associado à circunferência toda, mede 360º. Logo a área do setor

circular, é proporcional á medida do ângulo central. Quando conhecemos o ângulo correspondente ao

setor circular, podemos calcular a área de um setor circular usando uma regra de três.

Exemplo 2

O círculo ao lado tem raio medindo 2 cm. Vamos calcular a área de um setor circular de 45º. Solução:

Área do círculo = 22𝜋 = 4𝜋 ≅ 12,566 cm²

Área do setor = 𝑥

360º 4𝜋 e ai 𝑥 = 45°∙4𝜋

360° 𝑥 =

𝜋

2≅ 1,5707 𝑐𝑚2

45º 𝑥 360º

Exercícios

1) Um CD tem 12 cm de diâmetro. Calcule a sua área.

2) Os dois azulejos da figura são quadrados com 20 cm de lado. Calcule a área da parte colorida em cada

um deles.

a) b)

3) Calcule a área da figura raio 4 cm

4) Denomina-se coroa circular à região pintada, que é obtida com dois círculos de mesmo

centro O e raios diferentes. Na figura os dois círculos têm o mesmo centro. O raio do círculo

pequeno é de 5 cm, já o raio do círculo grande é de 8 cm. Calcule a área da coroa circular.

5) Calcule a área do setor circular com raio de 6 cm e ângulo central de:

a) 𝛼 = 45°

b) 𝛼 = 60° c) 𝛼 = 120°

6) Se um círculo com raio de 10 m foi dividido em 9 partes iguais, calcule:

a) a área de um dos setores circulares assim obtidos;

b) a medida do correspondente ângulo central.

7) No gráfico de setores abaixo, foi utilizado um círculo com 2 cm de raio.

Calcule a área de cada setor.

8) Uma pizza tem raio igual a 15 cm e está dividida em 6 fatias. Calcule a área de cada fatia.

9) Uma pizza com 20 cm de diâmetro custa R$ 4,80. Quanto você espera pagar por uma outra do mesmo

sabor com 30 cm de diâmetro?

(Sugestão: a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os comprimentos diâmetro ou raio).