Apostila: Matrizes e Determinantes Prof. Andr Lus Rossi de Oliveira

1 Matrizes

1.1 Conceitos Bsicos

Chamamos de matriz a uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.

Exemplos:

(1) Considere a tabela abaixo:

Altura (metros) Peso (quilos) Idade (anos)

Pessoa 1 1,70 70 23

Pessoa 2 1,75 60 45

Pessoa 3 1,60 52 25

Pessoa 4 1,81 72 30

Ao abstrarmos os significados das linhas e colunas, obtemos a matriz

1,70 70 231,75 60 451,60 52 251,81 72 30

(2) Os elementos de uma matriz podem ser nmeros, funes etc, como nas

matrizes abaixo:

[ ]2

3

1 05 22

31 3

xsen x ex

xx

+

1

Representamos uma matriz de m linhas e n colunas por

11 12 1

21 22 2

1 2

,

n

nm n ij m n

m m mn

a a aa a a

A a

a a a

= =

""

# # % #"

onde o elemento caracterstico da matriz, com i representando a linha e j, a coluna. ija

Definio: Duas matrizes e m n ij r s ijm n r sA a B b = = so iguais, ou seja, A B= , se elas tm o mesmo nmero de linhas ( m r= ) e colunas ( n s= ) e todos os seus elementos correspondentes so iguais ( ). ij ija b=

Exemplo:

2

0

2 ln1 90 4 0 13 0 9 3 0

cos90 1 3 0 1 3

osen 3

=

1.2 Tipos Especiais de Matrizes

Seja uma matriz com m linhas e n colunas. Alguns tipos importantes de matrizes

so os seguintes:

m nA

(a) Quadrada: aquela cujo nmero de linhas igual ao nmero de colunas

( m ). n=

[ ]1 13 3

2 0 94 8 7 42 8 6

2

(b) Nula: . 0 ,ija i= j

0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 0

(c) Coluna: . 1n =

61

04

83

7

Uma matriz coluna chamada de vetor-coluna.

(d) Linha: . 1m =

[ ] [ ]3 7 4 6 4 1 8

Uma matriz linha chamada de vetor-linha.

(e) Diagonal: uma matriz quadrada onde 0ija i j= .

2 0 00 1 00 0 4

(f) Identidade: uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal so

iguais a 1, ou seja, 1 e 0ii ija a i j= = .

3

1 0 00 1 00 0 1

(g) Triangular Superior: uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo

da diagonal so nulos, isto , 0ija i j= > .

4 3 2 90 1 0 10 0 3 40 0 0 1

(h) Triangular Inferior: uma matriz quadrada onde todos os elementos acima

da diagonal so iguais a zero, isto , 0ija i j= < .

2 0 0 03 2 0 03 3 4 02 4 8 9

(i) Simtrica: uma matriz quadrada onde ,ij jia a i j= .

1 2 42 3 14 1 2

1.3 Operaes com Matrizes

Adio: , onde ij ij m nA B a b + = + e m n ij m n ijA a B b = = .

4

Exemplo: 1 5 0 8 1 133 3 7 1 4 24 2 9 0 13 2

+ =

Propriedades da adio: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem mxn, temos:

(i) A B B A+ = + (comutatividade) (ii) ( ) ( )A B C A B C+ + = + + (associatividade) (iii) , onde 0 a matriz nula mxn. 0A+ = A

Demonstrao: Exerccio!

Multiplicao por escalar: . ij m nk A ka = , onde ij m nA a = e k um nmero real.

Exemplo: 0 3 0 21

74 5 28 35

=

Propriedades: Dadas matrizes A e B de mesma ordem mxn e nmeros reais ,

temos:

1 2, e k k k

(i) ( )k A B kA kB+ = +(ii) ( )1 2 1 2k k A k A k A+ = +(iii) 0. 0A =(iv) ( ) ( )1 2 1 2k k A k k A=

Demonstrao: Exerccio!

Transposio: Dada uma matriz ij m nA a = , a matriz transposta de A definida como , cujas linhas so as colunas de A, isto , T ij n mA b = ,ij jib a i j= .

Exemplos:

5

3 83 0 0

0 78 7 3

0 3

4 2 4 22 1 2 1

T

T

A A

B B

= = = =

Propriedades:

(i) Uma matriz simtrica se, e somente se, ela igual sua transposta, ou seja, TA A= . (ii) ( )TTA A= (iii) ( )T T TA B A B+ = + (iv) ( )T TkA kA=(v) ( )T T TAB B A=

Demonstrao: Exerccio!

Multiplicao de Matrizes: Sejam [ ] e ij rs n pm nA a B b = = . Definimos o produto matricial [ ]uv m pAB c = por

1 11

n

uv uk kv u v un nvk

c a b a b a=

= = + + " b

Perceba que s possvel efetuar o produto de duas matrizes e m n l pA B se n l= , ou seja, se o nmero de colunas da matriz que aparece pr-multiplicando for igual ao nmero

de linhas da matriz que aparece ps-multiplicando.

Exemplos:

6

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

1 1 2 3

2 1 2

3 1

3 1 5 4 3 0 5 73 5 1 0 17 354 1 6 4 4 0 6 74 6 4 7 20 42

1 3 1 5 3 9 325

2 8 2 5 8 9 829

4 0 4 5 0 9 20

2 8 9 2 8 93 9 0 3 92 1 3 2

x x x xA x x Ax x x

x x

+ + = = + + + = + = +

+ + = = = + 2 33x x

+

Propriedades:

(i) Em geral, AB BA .

Exemplo: Se , ento 1 1 1 1 2 33 2 1 2 4 62 1 0 1 2 3

A B = =

0 0 0 11 6 10 0 0 e 22 12 20 0 0 11 6 1

AB BA = =

importante perceber que 0AB = sem que 0 ou 0A B= = . Desde que estejam bem definidas as operaes, as seguintes propriedades so vlidas:

(ii) AI IA A= = (iii) ( )A B C AB AC+ = + (iv) ( )A B C AC BC+ = + (v) ( ) ( )AB C A BC= (vi) ( )T T TAB B A= (vii) 0. 0 e .0 0A A= =

7

1.4 Matriz Inversa

Definio: Seja A uma matriz quadrada. A matriz inversa de A, denotada por , aquela

que satisfaz a condio .

1A

1 1AA A A I = =

Obs.: (i) Nem toda matriz quadrada possui inversa. Se uma matriz quadrada possui

inversa, ela chamada de no-singular. Se ela no possui inversa, chamada de singular.

(ii) Se existe a matriz inversa, ento ela nica.

Exemplos: Se e 3 10 2

A =

1 13 6

102

B

= , ento

3 1 2 1 6 0 1 01 1 .0 2 0 3 0 6 0 16 6

AB I = = = =

Podemos verificar facilmente que BA I= , de forma que 1B A= e . 1A B=

Propriedades:

(i) ( ) 11A A = (ii) ( ) 1 1 1AB B A = Demonstrao: Seja C a inversa de AB. Ento CAB I= , de forma que

1 1 1 1 1 1.CABB A IB A B A = =

Mas tambm verdade que

1 1 1 1 ,CABB A CAIA CAA CI C = = = =

o que implica 1 1C B A = .

8

(iii) ( ) ( )1 1 TTA A =

1.5 Sistemas de Equaes Lineares e Matrizes

Um sistema de equaes lineares com m equaes e n incgnitas um conjunto de

equaes do tipo:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + = + + + =m+ + + =

""

#"

onde os , so nmeros reais. , 1 ,1ija i m j n

)Uma soluo do sistema acima uma lista de n nmeros (n-upla) do tipo

( 1 2, , , nx x x que satisfaa simultaneamente as m equaes. O sistema pode ser escrito na forma matricial como

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

ou ,

n

n

m m mn n n

a a a x ba a a x b

Ax b

a a a x b

= =

# # % # # #

onde A a matriz dos coeficientes, x o vetor das incgnitas e b o vetor dos termos

independentes.

Outra matriz importante a matriz ampliada do sistema:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

n

m m mn n

a a a ba a a b

a a a b

# # % # #

9

Exemplo: Considere o sistema 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 57

5 9

x x xx x x

x x x

743

+ = + = + + = . A sua forma matricial

1

2

3

2 3 5 71 7 1 4 .

1 5 9 3

xxx

=

Operaes Elementares

(i) Permuta da i-sima e j-sima linhas ( i jL L )

Exemplo: 1 2L L

2 0 4 24 2 2 0

5 1 5 1

(ii) Multiplicao da i-sima linha por um escalar (nmero real) no nulo k ( ) i iL kL

Exemplo: 3 32L L

2 0 2 04 2 4 2

5 1 10 2

j

(iii) Substituio da i-sima linha pela i-sima linha mais k vezes a j-sima linha

( i iL L kL + )

Exemplo: 2 2 3L L + 1L

2 0 2 04 2 10 2

5 1 5 1

10

Se A e B so matrizes mxn, dizemos que B linha-equivalente a A se B pode ser

obtida de A atravs de um nmero finito de operaes elementares sobre as linhas de A. A

notao para isso . ou A B A B

Exemplo: , pois 1 0 1 04 1 0 1

3 4 0 0

2 2 1 3 3 1

2 2 3 3 2

4 3

4

1 0 1 0 1 04 1 0 1 0 1

3 4 3 4 0 4

1 0 1 00 1 0 10 4 0 0

L L L L L L

L L L L L

+

Teorema: Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes so equivalentes, ou

seja, toda soluo de um dos sistemas tambm soluo do outro.

Demonstrao: No ser apresentada.

Forma Escada

Definio: Uma matriz mxn linha-reduzida forma escada se:

(a) O primeiro elemento no nulo de uma linha no nula 1;

(b) Cada coluna que contm o primeiro elemento no nulo de alguma linha tem todos

os seus outros elementos iguais a zero;

(c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linha no nulas;

(d) Se as linhas 1, so as linhas no nulas, e se o primeiro elemento no nulo da

linha i ocorre na coluna , ento

, r

ik 1 2 rk k k< <

(1) A matriz no satisfaz as condies (b) e (c). 1 4 00 0 00 1 0

(2) A matriz no satisfaz as condies (a), (b) e (d). 0 3 01 0 20 0 1

(3) A matriz est na forma escada. 0 1 0 2 20 0 1 0 30 0 0 0 0

Teorema: Toda matriz linha-equivalente a uma nica matriz linha-reduzida forma

escada.

m nA

Dem.: No ser apresentada.

Definio: Dada uma matriz m nA , seja m nB a matriz linha-reduzida forma escada

equivalente a A. O posto de A, denotado por p, o nmero de linhas no nulas de B. A

nulidade de A igual ao nmero n-p.

Exemplo: Considere a matriz 1 2 1 01 0 3 5

1 2 1 1A

= . Efetuamos as seguintes operaes:

22 2 12

3 3 1

31 1 2 1 1 33

3 3 2 2

2

2 34 8

1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 01 0 3 5 0 2 4 5 0 1 2 5 2

1 2 1 1 0 4 0 1 0 4 0 1

1 0 3 5 1 0 3 50 1 2 5 2 0 1 2 5 20 0 8 11 0 0 1 11 8

LL L L LL L L

LL L L L L LLL L L L

+

+ +

2 32

1 0 0 7 80 1 0 1 40 0 1 11 8L L

O posto de A 3 e a nulidade 4-3=1.

12

Podemos interpretar a matriz A como sendo a matriz ampliada do seguinte sistema

linear:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 00 3

2 1

x x xx x x

x x x

+ + = 5 + + = + =

Pelo que foi demonstrado acima, esse sistema equivalente ao seguinte sistema:

1

2

3

7814

118

x

x

x

= = =

Solues de Sistemas de Equaes Lineares

Considere o sistema formado de apenas uma equao e uma incgnita . Nesse

caso, h trs possibilidades:

ax b=

(i) : Existe uma nica soluo 0a bxa

= .

(ii): : Neste caso, o sistema torna-se 00 e 0a b= = 0x = e qualquer nmero real uma soluo.

(iii) : Neste caso, o sistema torna-se 0 e 0a b= 0x b= e no possui soluo.

Analogamente, no caso de um sistema de m equaes lineares e n incgnitas, h trs

casos possveis: uma nica soluo, infinitas solues ou nenhuma soluo. No primeiro

caso, o sistema dito possvel (ou compatvel) e determinado, no segundo, possvel e

indeterminado, e, no terceiro, impossvel (ou incompatvel).

O seguinte teorema traz alguns resultados sobre a existncia de solues.

13

Teorema:

(i) Um sistema de m equaes e n incgnitas admite soluo se, e somente se, o posto da

matriz ampliada igual ao posto da matriz de coeficientes;

(ii) Se as duas matrizes tm o mesmo posto p e p n= , a soluo nica. (iii) Se as duas matrizes tm o mesmo posto e p

Podemos observar que 2, 2, 4c ap p m n= = = = , de forma que h 2 graus de liberdade. As variveis 3 e 4x x so livres. Se fizermos 3 1 4 e x x 2 = = , obteremos as seguintes solues do problema:

1 1

2 1

3 1

4 2

52

xxxx

2

2

= += ==

2 Determinantes

2.1 Definio e propriedades bsicas

Considere o sistema de apenas uma equao e uma incgnita , com ax b= 0a . A soluo desse sistema bx

a= . O denominador a est associado matriz de coeficientes do

sistema, [ ]a . Em um sistema 2x2 do tipo 11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

a x a x ba x a x b

+ = + =, a soluo dada por

1 22 2 12 2 11 1 211 211 22 12 21 11 22 12 21

e .b a b a b a b ax xa a a a a a a a

= =

Perceba que os denominadores so iguais. Alm disso, de maneira anloga ao caso de

uma equao e uma incgnita, os denominadores esto associados matriz de coeficientes

do sistema, qual seja

11 1221 22

a aa a

Em um sistema 3x3, as solues 1 2, e 3x x x so fraes com denominadores iguais a

11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31,a a a a a a a a a a a a a a a a a a + +

15

que tambm esto relacionados matriz de coeficientes do sistema, dada por

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

Os denominadores mencionados acima so chamados de determinantes das matrizes

de coeficientes.

Para podermos definir determinante, precisamos da noo de inverso, dada a seguir:

Definio: Dada uma permutao dos inteiros 1, , existe uma inverso quando um

inteiro precede outro menor do que ele.

2, , n

Podemos agora definir o conceito de determinante.

Definio: O determinante de uma matriz quadrada ijA a = definido como ( )

1 21 2det 1 ,

n

Jj j njA a a

= a

onde o nmero de inverses da permutao ( 1 2, , , nJ J j j j= ) ( )1 2, , , nj j j e indica que a soma ocorre sobre todas as permutaes de ( )1,2, ,n (existem permutaes). !n

Podemos fazer as seguintes observaes com relao a essa definio.

Obs.: (i) Em cada termo do somatrio, existe um e apenas um elemento de cada linha e um,

e apenas um, elemento de cada coluna da matriz;

(ii) O determinante tambm pode ser definido atravs da frmula

( )1 21 2

det 1 ,n

Jj j j nA a a

= a

Exemplos:

(1) [ ]det a a= (2) 11 12 11 22 12 21

21 22

deta a

a a a aa a =

16

(3)

11 12 13

21 22 23 11 22 33 11 23 32 12 21 33

31 32 33

12 23 31 13 21 32 13 22 31

deta a aa a a a a a a a a a a aa a a

a a a a a a a a a

= + +

Propriedades:

(1) Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz A so nulos, ento

. det 0A =Dem.: Segue-se imediatamente da observao (i).

(2) det det TA A= . Dem.: Se ijA a = , sabemos que T ijA b = , onde ij jib a= . Sendo assim,

( )( )

1 2

1 2

1 2

1 2

det 1

1

det ,

n

n

Jij j j nj

Jj j j n

ij

b b b

a a a

a

= =

=

b

pela observao (ii).

Exemplo: , .a b a c

ad bc ad bcc d b d

= =

(3) Se a linha de uma matriz multiplicada por uma constante, o determinante fica

multiplicado por esta constante.

Dem.: Segue-se imediatamente da observao (i).

Exemplo: ( ) .ka kb a bkad kbc k ad bc kc d c d

= = =

(4) A troca da posio de duas linhas (ou colunas) altera o sinal do determinante,

mas no o seu valor numrico.

Dem.: Quando duas linhas so trocadas, alterada a paridade do nmero de

inverses dos ndices, o que significa que o sinal dos termos trocado.

Exemplo: ( ), .a b c dad bc cb ad ad bcc d a b

= = =

17

(5) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais zero.

Dem.: Quando as posies das linhas iguais so trocadas, o determinante troca

de sinal, pela propriedade (4). Por outro lado, a matriz que resulta da troca de

linhas (ou colunas) a mesma de antes, o que significa que o determinante tem

que ser o mesmo. Portanto, a nica possibilidade que o determinante seja nulo.

(6) Se uma linha (ou coluna) um mltiplo de outra linha (ou coluna), ento o valor

do determinante zero.

Dem.: Mesmo argumento utilizado acima, utilizando tambm a propriedade (3).

(7) O determinante no se altera se for somada a uma linha (ou coluna) outra linha

(ou coluna) multiplicada por uma constante.

Exemplo: ( ) ( ) .a b aa d kb b c ka ad bcc ka d kb c d

= + + = =+ +b

)

(8) ( ) ( )(det det detAB A= B

2.2 Desenvolvimento de Laplace

O determinante de uma matriz A de dimenso 3x3 pode ser escrito como

( ) ( ) ( )

11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 23 31

11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31

22 23 21 23 21 2211 12 13

32 33 31 33 31 32

11 11 12 12 13 13 ,

A a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a aa a a

a a a a a a

a A a A a A

= + + = + = += +

onde ijA a submatriz da matriz inicial que resulta da retirada da i-sima linha e da j-sima

coluna.

Defina agora ( )1 i jij ijA+ = , chamado de o cofator do elemento . A frmula do desenvolvimento de Laplace a seguinte:

ija

1

det ,n

n n ij ijj

A a=

=

18

onde podemos observar que o determinante foi desenvolvido pela i-sima linha. Uma

frmula anloga vale para o desenvolvimento a partir de uma determinada coluna.

Exemplos:

(1)

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )12 22 321 2 32 1 1 2 1 1 2 2 1 8 1 7 52 1 2

A

= = + + = + +

,=

onde ( ) ( ) ( )1 2 2 2 3 212 22 322 1 1 3 1 31 2, 1 8 e 12 2 2 2 2 1+ + = = = = =

+ .

(2)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )

1 1 2

1 1 23 3 2

72 2

2

3 72 2

1 2 3 4 5 2 3 45 3 4

4 2 0 0 0 2 0 02 1 5 3 0

1 2 3 0 5 2 3 08 3 1

2 5 3 1 8 5 3 1

5 3 4 10 0 410 4

2 5 3 0 2 5 3 0 2 3 113 1

8 3 1 13 0 1

6 10 52 372.

C C C

L L LL L L

+

+ + +

= =

= = = = =

2.3 Clculo da matriz inversa

Definio: A matriz de cofatores de uma matriz n nA definida como ijA = .

Exemplo: Considere a matriz 2 1 03 1 4

1 6 5A

= . Ento

( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 311 12 131 4 3 4 3 11 19, 1 19, 1 19,6 5 1 5 1 6+ + + = = = = = =

e assim por diante, de maneira que

19

19 19 195 10 11

4 8 5A

.

=

Definio: Dada uma matriz quadrada A, definimos a matriz adjunta de A como sendo a

transposta da matriz dos cofatores de A.

Exemplo: Para a matriz A do exemplo anterior, temos

19 5 4

19 10 8 .19 11 5

adj A =

Teorema: ( ) ( )detT nAA A adj A A I= = . Dem.: (Para ) 3n =

Considere uma matriz A de dimenso 3x3. Ento

( ) 11 12 13 11 21 3121 22 23 12 22 3231 32 33 13 23 33

,ij

a a aA adj A a a a c

a a a

= =

onde

11 11 11 12 12 13 1312 11 21 12 22 13 23

det,

c a a ac a a a

= + + == + +

A

e assim por diante. Podemos verificar que corresponde ao desenvolvimento de Laplace

de

12c

11 12 13

11 12 13

31 32 33

a a aa a aa a a

, que igual a zero porque duas linhas so iguais.

Analogamente, , de forma que det e 0,ii ijc A c i= = j

( ) ( ) 3det 0 0

0 det 0 det .0 0 det

AA adj A A A I

A

= =

Dada uma matriz quadrada A de ordem n que possua inversa, temos que

20

( ) ( )( )1 1det det det .AA A A =

Alm disso, sabemos que 1 nAA I = e que det 1nI = , de maneira que

( )( )1det det 1A A = . Podemos ento concluir que, se A tem inversa, ento (i) det 0A (ii) 1 1det

detA

A = ,

ou seja, uma condio necessria para que A tenha inversa. Mas essa condio

tambm suficiente, pois sabemos que

det 0A ( )detTAA A= I , de forma que, se , ento det 0A

11 e det det

T 1 TA A I A AA A

= = . Isso conduz ao seguinte resultado:

Teorema: Uma matriz quadrada A admite inversa se, e somente se, det . Nesse caso, 0A ( )1 1 .

detA adj A

A =

Exemplo: Seja . Ento 4 1 10 3 23 0 7

A =

99 0B = e a matriz de cofatores

3 2 0 2 0 30 7 3 7 3 0

21 6 91 1 4 1 4 1

7 31 30 7 3 7 3 0

5 8 121 1 4 1 4 13 2 0 2 0 3

.

=

Portanto, e 21 7 56 31 89 3 12

adj A =

21

121 7 5

1 6 31 899

9 3 12A

=

2.4 Regra de Cramer

Considere um sistema de n equaes lineares e n incgnitas:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n nn n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x bn

+ + + = + + + = + + + =

""

#"

Seja A a matriz de coeficientes desse sistema e denote por i o determinante da matriz obtida substituindo a i-sima coluna de A pela coluna dos termos independentes. A

regra de Cramer estabelece a seguinte relao entre determinantes e a soluo do sistema:

Teorema: O sistema acima tem uma nica soluo se, e somente se, det . Nesse caso,

a soluo nica dada por

0A

1 21 2, , ,det det detn

nx x x .A A A = = =

preciso enfatizar que a regra de Cramer s pode ser utilizada para resolver sistemas

de equaes lineares com o mesmo nmero de equaes e incgnitas e quando det 0A . Na verdade, se det , o teorema no diz se o sistema tem soluo ou no. 0A =

Exemplo: Considere o sistema 2 3 13 5 2

2 3

x y zx y z

x y z81

+ = + + = = . O determinante da matriz de coeficientes

desse sistema 2 3 1

det 3 5 2 221 2 3

A

=

= . Alm disso,

22

1 2 3

1 3 1 2 1 1 2 3 18 5 2 66, 3 8 2 22, 3 5 8 44.1 2 3 1 1 3 1 2 1

= = = = = =

Utilizando a regra de Cramer, obtemos

31 23, 1, 2.det det det

x y zA A A

= = = = = =

2.5 Exemplos de Economia e Econometria

2.5.1 Economia

Considere uma economia com dois bens em que as funes de demanda e oferta so

lineares. Temos ento as seguintes relaes em um mercado competitivo:

10 1 1 2 2

10 1 1 2 2

1 1

20 1 1 2

20 1 1 2

2 2

0

0,

d

s

d s

d

s

d s

Q a a P a PQ b b P b PQ QQ PQ PQ Q

= + += + + == + += + + =

2

2

PP

onde os e so parmetros das funes de demanda e oferta do bem 1 e os ia s jb s i s e

j s so parmetros das funes de demanda e oferta do bem 2, respectivamente. Podemos substituir a primeira e a segunda equaes na terceira, e a quarta e a quinta

equaes na sexta, para obter o seguinte sistema de equaes nos preos e : 1P 2P

1 1 2 2 01 1 2 2 0

,c P c P c

P P + = + =

onde e , 0,1,2i i ic a b i = , 1, 2,3i i i i = . Podemos aplicar a regra de Cramer a esse sistema, desde que o determinante da

matriz de coeficientes seja diferente de zero. Suponha que 1 2 2 1c c . Ento

23

1 2 1 2 2 11 2

det 0,c c

A c c = =

e o mtodo pode ser aplicado.

Os outros determinantes de que necessitamos so

0 21 0

0 2

1 02 1

1 0

c cc c

c cc c

2 2 0

0 0 1

= = + = = +

A soluo ento dada por:

2 0 0 2 1 1 01 21 21 2 2 1 1 2 2 1

, .det det

oc c c cP PA c c A c c

= = = =

Para que os preos sejam positivos, preciso que os numeradores tenham o mesmo

sinal que o denominador, o que introduz novas restries sobre os parmetros.

As quantidades de equilbrio podem ser encontradas por substituio dos preos de

equilbrio nas funes de oferta ou demanda.

Outra aplicao a modelos de Teoria dos Jogos. O problema mais conhecido em

Teoria dos Jogos e o Dilema dos Prisioneiros, que pode ser representado pela matriz de

payoffs abaixo:

No confessar Confessar

No confessar -2,-2 -10,-1

Confessar -1,-10 -5,-5

No jogo acima, Confessar (C) uma estratgia dominante para ambos jogadores e o

perfil (C,C) um equilbrio de Nash.

O jogo abaixo est na forma extensiva e conhecido como o Jogo da Cerveja-Quiche

(Beer-Quiche):

24

Natureza

Forte Fraco

1 1

s s w w 2 2

O jogo se desenvolve como a seguir. O jogador 1 observa um movimento aleatrio da

natureza que determina o seu tipo: ele forte (S) com probabilidade 0,9 e fraco (W), com

probabilidade 0,1. Aps tomar conhecimento do seu tipo, o jogador 1 envia um de dois

sinais ao jogador 2: s (Eu sou forte) ou w (Eu sou fraco). Enviar um sinal verdadeiro

no custa nada, mas enviar um sinal falso custa 10 unidades de payoff. Aps receber o

sinal, o jogador 2 decide se luta (l) ou recua (r). Se decidir lutar, ele ganhar 10 unidades de

payoff se o jogador 1 for fraco e perder 10 se ele for forte. O jogador 1, por outro lado,

perder 20 unidades de payoff se ocorrer a luta (independentemente do seu tipo).

Cada jogador tem 4 estratgias puras. Para o jogador 1, elas so: sempre s (ss), s

quando S, w quando W (sw), w quando S, s quando W (ws), e sempre w (ww). As

estratgias do jogador 2 so: recuar quando s, lutar quando w (rl), sempre recuar (rr),

sempre lutar (ll), e lutar quando s, recuar quando w (lr).

A matriz de payoffs :

rl rr ll lr

ss -1,0 -1,0 -21,-8 -21,-8

sw -2,1 0,0 -20,-8 -18,-9

ws -28,-9 -10,0 -30,-8 -12,1

ww -29,-8 -9,0 -29,-8 -9,0

2010

00

3010

3010

100 10

0 2010

00

l l l l r r r r

25

Para entender melhor os payoffs da matriz, observe o perfil (ws,rf). O payoff do

jogador 1 pode ser recalculado como

( )( ) ( )( )0.9 30 0.1 10 28, + = enquanto o payoff do jogador 2

( )( ) ( )( )0.9 10 0.1 0 9. + = Os equilbrios de Nash com estratgias puras so (ss,rf) e (ww,fr). Agora suponha que

estejamos interessados em encontrar os equilbrios de Nash com estratgias mistas. Sejam

as estratgias mistas do jogador 1 representadas pelo vetor ( )1 1 2 3 4, , ,x x x x = e as do jogador 2, por . ( )2 1 2 3, , ,y y y y = 4

Observe que em qualquer equilbrio de Nash, pois ff estritamente dominada

por rr. Observe tambm que

3 0y =3 0x = em qualquer equilbrio de Nash, pois ws no

racionalizvel.

Queremos determinar as condies sob as quais (ss,sw) pode fazer parte de um

equilbrio de Nash com estratgias mista, isto , onde e . Sabemos que para

isso ser verdade preciso que

1 0x > 2 0x >( ) ( )1 2 1, ,u ss u sw 2 = , onde

( ) ( ) ( )( )

1 2 1 2 3 4 1 2 3

2 2 1 2 3 4 1 3 4

, 21 21 21

, 2 0 20 18 2 20 18 .

u ss y y y y y y y y

u sw y y y y y y y

= = + += + =

4

Lembrando que , obtemos a seguinte equao: 3 0y = ( )1 2 4 1 4 1 2 421 2 18 3 0.y y y y y y y y + = =Combinando essa equao com 1 2 4 1y y y+ + = , obtemos um sistema de equaes que

pode ser resolvido como a seguir:

2 2 1

2 1 1 22 2

1 1 3 0 1 1 3 01 1 1 1 0 2 4 1

11 1 3 0 1 0 12

1 10 1 2 0 1 22 2

L L L

L L L LL

+

Esse sistema tem uma infinidade de solues. Fazendo 4y = , obtemos

26

1 21 1, 22 2

y y . = + = Se 1 10 = , por exemplo, ento 1 6 10y = e 2 3 10y = .

2.5.2 Econometria

Suponha que a relao entre a varivel dependente e vrias variveis independentes

(explicativas) seja a seguinte:

1 1 2 2 , 1, ,i i i K iK iy x x x i .n = + + + + =" A relao acima chamada de equao de regresso, onde a varivel dependente, y,

explicada pelas variveis 1, , Kx x . O subndice i indexa as observaes, que totalizam n. O termo o erro aleatrio. Esse erro surge por diversas razes, sendo a principal o fato de que no possvel captar todas as influncias sobre uma determinada varivel y. O

resultado lquido de todos os fatores omitidos est refletido no erro. Outro elemento

capturado pelo erro aleatrio so os erros de medio, que esto presentes em qualquer

amostra.

Por exemplo, suponha que estejamos interessados em estudar o comportamento da

renda dos indivduos e que tenhamos postulado o seguinte modelo de regresso simples:

0 1educao .renda = + +

Esse modelo no leva em considerao que outros fatores alm do nvel de educao

podem afetar a renda do indivduo, como idade e nvel de educao dos pais. Portanto, o

erro aleatrio refletir a omisso dessas variveis. Alm disso, bastante provvel que a varivel educao esteja medida com erro, mesmo porque no h consenso sobre como ela

deve ser medida. Isso tambm capturado pelo erro aleatrio.

A equao de regresso na verdade um conjunto de equaes, uma para cada

observao:

1 1 11 2 12 1 1

2 1 21 2 22 2 2

1 1 2 2

K K

K K

n n n K nK n

y x x xy x x x

y x x x

= + + + += + + + +

= + + + +

""

"

27

Essas equaes podem ser representadas na forma matricial como a seguir:

,y X = + onde

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

1 2

, ,

K

K

n n n nK K

y x x xy x x x

y X

y x x x

1

2,

n

= = = =

""

# # # % # #"

#

O objetivos principais de uma anlise de regresso so estimar os parmetros

desconhecidos i , usar os dados disponveis para estudar a validade de proposies tericas e usar o modelo para testar hipteses e fazer previses sobre a varivel dependente.

Para obter estimativas dos parmetros, o mtodo mais utilizado o de mnimos

quadrados ordinrios. Esse mtodo procura encontrar os coeficientes que minimizam a

soma dos quadrados dos resduos

21

,n

Ti

ie e e

==

onde o vetor de resduos, sendo o resduo da i-sima observao definido por

e a estimativa de

1

2

n

ee

e

e

= #

( )1 1 2 2i i i i iK Ke y x b x b x b= " ib i . A soluo do problema de minimizao

( ) 1 .T Tb X X X y= Podemos ento calcular os resduos como

( )

( )( )1

1.

T T

T T

e y Xb y X X X X y

I X X X X y My

= = = =

A matriz M tem grande importncia para a anlise de regresso, e apresenta

propriedades interessantes. Alm de ser simtrica, essa matriz idempotente, o que

significa que 2M M= . De fato,

28

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1 12

1 1 1

1 1

1 1

2

2

T T T T

T T T T T T T

T T T T

T T T T

T T

M I X X X X I X X X X

1 TI X X X X X X X X X X X X X X X X

I X X X X X X X IX

I X X X X X X X X

I X X X X M

= = += += += =

T

e

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

1 1

11

1.

T TT T T T T

TT TT T T T

T T

M I X X X X I X X X X

I X X X X I X X X X

I X X X X M

= = = =

= =

29

MatrizesConceitos BsicosTipos Especiais de MatrizesOperaes com MatrizesMatriz InversaSistemas de Equaes Lineares e Matrizes

DeterminantesDefinio e propriedades bsicasDesenvolvimento de LaplaceClculo da matriz inversaRegra de CramerExemplos de Economia e EconometriaEconomiaEconometria