apostila matrizes 2º edição
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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSITICA APOSTILA DE MATRIZES
PROF. VINICIUS
1. Matrizes
1.1 Matrizes
Definição (matriz): Dados , chama-se matriz n por m (escreve-se matriz
) toda tabela formada por números reais distribuídos em linhas e colunas.
Usualmente, utilizam-se as letras e para representar matrizes, embora outras
letras possam ser eventualmente utilizadas.
Exemplos:
(matriz nula)
(matriz identidade)
2.2 Operações entre Matrizes
Adição: Dadas duas matrizes e (onde representa o
elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna em uma matriz ), chama-se soma de A e B
(escreve-se ) a matriz tal que .
Exemplos:
Observação: A subtração é inteiramente análoga a operação de adição, resultando na
matriz diferença .
Exemplo:
Multiplicação por escalar: A multiplicação por escalar é uma operação que associa
a um número e uma matriz , uma matriz tal que
.
Exemplos:
Multiplicação de matrizes: Dadas duas matrizes e ,
chama-se produto de A e B (escreve-se ) a matriz tal que
e .
Exemplos:
1.3 Matriz Transposta
Definição (matriz transposta): Dada uma matriz , chama-se transposta
de A a matriz tal que .
Exemplos:
A transposta de é .
A transposta de é .
A transposta de é .
1.4 Matriz Simétrica
Definição (matriz simétrica): Chama-se Mariz simétrica toda matriz quadrada
( tal que .
Exemplos:
1.5 Matriz Triangular
Definição (matriz triangular inferior): Uma matriz é dita ser uma
matriz triangular inferior quando , para todos tais que .
Exemplos:
Definição (matriz triangular superior): Uma matriz é dita ser uma
matriz triangular superior quando , para todo tais que .
Exemplos:
1.6 Determinantes
Definição (determinante ): Se uma matriz tem dimensões (matriz de
ordem , então o determinante de é o seu único elemento . Isto é,
.
Exemplos:
Definição (determinante ): .
Exemplos:
Definição (determinante ):
Exemplos:
Definição (menor complementar): Consideremos uma matriz de ordem .
Seja um elemento de . Definimos o menor complementar do elemento (e
denotamos por ), como sendo o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha
e a coluna de .
Exemplos:
Definição (cofatores): Consideremos uma matriz de ordem . Seja um
elemento de . Definimos como cofator de (e escrevemos ) o número
.
Exemplo:
Definição (definição geral de determinante): Seja uma matriz de ordem .
Definimos o determinante de ( ) de forma recorrente: Fixemos uma coluna . Se
, então . Se, porém, , com , então
.
Exemplos:
.
1.7 Propriedades dos Determinantes
P1: Se é uma matriz , então .
Exemplo:
P2: Se os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz forem todos
nulos, então .
Exemplo:
P3: Seja uma matriz e uma nova matriz obtida multiplicando-se uma fila
qualquer de por um número . Então .
Exemplo: Considere . Logo, . Agora considere
, que é obtida multiplicando a segunda coluna de por 5. Nota-se que
, ou seja , .
P4: Seja uma matriz de ordem . Se trocarmos de posição duas filas paralelas
(duas linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz tal que .
Exemplo:
e .
P5: Se uma matriz de ordem tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas
colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais, então .
Exemplo:
P6 (teorema de Binet): Se são matrizes quadradas de ordem , então
.
Exemplo:
,
1.9 Matriz Inversa
Definição (matriz inversa): Seja uma matriz . Chamamos de matriz inversa
a matriz tal que , onde é a matriz identidade (conforme a ordem).
Exemplo: Se , então , pois
.
Definição (matriz dos cofatores): Seja uma matriz . Chamamos de matriz
dos cofatores de A (escreve-se ) a matriz que se obtém de , substituindo cada elemento
de por seu respectivo cofator.
Exemplo: Se , então , , , e
.
Definição (matriz adjunta): Seja uma matriz . Chamamos de matriz adjunta
( a matriz .
Exemplo: Se , então e .
Teorema (teorema da matriz inversa): Se é uma matriz e , então a
inversa de é .
Exemplo:
Se , então , , e assim,
De fato, .
1.10 Exercícios sobre Matrizes
1) Dadas e , calcule e também .
2) Dadas , e
. Calcule .
3) Dadas e , calcule e também .
4) Calcule os seguintes produtos de matrizes:
e
5) Calcule os determinantes das seguintes matrizes:
, , ,
.
6) Calcule a matriz dos cofatores ( ) da matriz
.
7) Encontre a matriz transposta das seguintes matrizes: e .
8) Calcule a matriz a adjunta das matrizes e .
9) Encontre as matrizes inversas das matrizes e .
10) Sabendo que , responda, sem fazer nenhum cálculo, qual o
determinante da matriz .
11) Responda, sem realizar cálculos, qual o determinante da matriz .
12) Sabendo que , sem fazer cálculos, escreva o .
13) Sabendo que e são matrizes quadradas, que e que , encontre
.
14) Calcule .
15) Calcule .
Respostas: 1) e ; 2) ; 3)
e ; 4) e ; 5) ,
, , ; 6) ; 7) e
; 8) e ; 9) e
; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) .
Vinicius Carvalho Beck
Email: [email protected]
2º edição
2011