apostila matemática financeira uerj atualizada

Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010

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MATEMÁTICA FINANCEIRA

Notas de Aula

Prof. Cristiano Santos

1. COMENTÁRIOS GERAIS SOBRE O CURSO

1.1. INTRODUÇÃO

O curso de matemática financeira tem como objetivo introduzir o aluno no universo das aplicações

financeiras da economia cotidiana, dimensionando o real valor do conhecimento de operações

financeiras simples do dia-a-dia de todos.

Nesse sentido, é desejável que o aluno, ao final do curso, esteja apto a avaliar as vantagens e

desvantagens de realizar determinadas transações de natureza monetária, como a aplicação de

investimentos em fundos ou poupança, adquirir um bem à vista com desconto ou a prazo, a

tomada de empréstimos de longo prazo, entre outros.

1.2. CONTEÚDO DO CURSO

O curso versa sobre os seguintes tópicos da área da matemática financeira:

- O Valor do Dinheiro no Tempo;

- Juros Simples;

- Juros Compostos;

- Equivalência de Fluxo de Caixa;

- Desconto;

- Sistemas de Amortização;

- Anuidades;

- Inflação e Cálculo de Taxa Over;

- Taxa Interna de Retorno e Valor Presente Líquido dos Investimentos;

1.3. AVALIAÇÂO

A avaliação do curso será por meio de duas provas, 1P e 2P , de conteúdos diferentes, cujas datas

serão estabelecidas no primeiro dia em que houver aula. A nota do aluno, NT, será calculada como

uma média simples entre as duas provas:


2

221 PP

NT+

=

Será considerado aprovado o aluno que obter NT maior ou igual a 7 (sete).

1.4. BIBLIOGRAFIA

As notas de aula não substituem as referências bibliográficas. Nelas sempre se encontrará uma

descrição mais detalhada de cada tópico, com muitos exercícios e alternativas de nomenclatura e

abordagem aos temas. Recomendo, basicamente, quatro livros, mas, na maioria dos casos, muitos

se eqüivalem. Deixo ao critério de cada um escolher aquele livro com o qual se identifique com a

linguagem e metodologia:

- ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações – 9ª edição – São

Paulo: Atlas, 2006

- PUCCINI, Abelardo. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada – São Paulo: LTC

Editora, 2000;

- VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira – 7ª edição – São Paulo:

Atlas, 2001;

- JUER, Milton. Matemática Financeira: Objetiva e Aplicada – 5ª edição – Rio de Janeiro:

IBMEC, 1995.

2. O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

O conceito de dinheiro foi evoluindo ao longo do tempo. Nos primórdios da civilização não havia

um conceito de moeda fiduciária propriamente dito. O escambo, que era a simples troca de

mercadoria por mercadoria, sem equivalência de valor, predominava. Ao poucos algumas

mercadorias começaram a se estabelecer como moedas-mercadoria. Estas eram aceitas por

todos, assumindo a função de intermediação, circulando como elemento de troca e servindo para a

avaliação de valor. Exemplos de moedas-mercadoria são o gado e o sal.

Aos poucos as relações de troca foram sendo estabelecidas através de metais, por estes

possuírem vantagens como a possibilidade de entesouramento, divisibilidade, raridade, facilidade

de transporte e beleza. A moeda de papel aparece apenas na Idade Média, surgindo com o

costume de se guardar valores em ourives, que eram pessoas que negociavam objetos de ouro e


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prata. Estes, como garantia, entregavam recibos. Com o tempo, estes recibos passaram a ser

utilizados para efetuar pagamentos, circulando de mão em mão e dando origem à moeda de papel.

No Brasil, os primeiros bilhetes de banco, precursores das cédulas atuais, foram lançados pelo

Banco do Brasil, em 1810. Tinham seu valor preenchido à mão, tal como, hoje, se faz com os

cheques.

O dinheiro, seja em que forma se apresente, não vale por si, mas pelas mercadorias e serviços que

pode comprar. É uma espécie de título que dá a seu portador a faculdade de se considerar credor

da sociedade e de usufruir, através do poder de compra, de todas as conquistas do homem

moderno.

A moeda não foi, pois, genialmente inventada, mas surgiu de uma necessidade e sua evolução

reflete, a cada momento, a vontade do homem de adequar seu instrumento monetário à realidade

de sua economia.

Por este mesmo motivo, uma determinada quantia hoje, não “vale” a mesma coisa amanhã, pois o

dinheiro cresce no tempo ao longo dos períodos. O que quantifica o crescimento do dinheiro são

os juros aplicados ao longo de um período.

Neste sentido, valores de uma mesma data são grandezas que podem ser comparadas. Valores

de datas diferentes só podem ser comparados após serem movimentados para uma mesma data,

com a correta aplicação dos juros. Estes são, usando termos coloquiais, o “aluguel pago pelo uso

do dinheiro”. Pode-se dizer então, que o juro é a remuneração do capital, a qualquer título, ou o

custo do capital de terceiros, ou ainda, a remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o

capital nelas aplicado.

O conceito que mais trabalhamos neste curso, além do conceito de juros em si, é o de taxa de

juros, que nada mais é que a taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo (ano,

semestre, trimestre, mês, dia), da aplicação dos juros sob um dado capital.

Abaixo seguem exemplos de taxas de juros e a nomenclatura adotada:

- 12 % ao ano = 12 % a. a.;

- 4 % ao semestre = 4 % a. s.;

- 1 % ao mês = 1 % a. m..

4.1. FORMAÇÃO DA TAXA DE JUROS


4

A taxa de juros hoje é um dos elementos centrais do mundo das finanças. A ela se dá uma

importância crucial, sobretudo por ser a responsável pela rentabilidade das empresas financeiras,

que negociam seus ativos no mercado levando em conta sempre os riscos imanentes ao sistema.

Estes riscos podem estar associados a muitas e diversas causas. Cada risco é objeto de minuciosa

análise e existem áreas inteiras nas grandes corporações para avaliações dessa natureza.

Neste sentido, podemos escrever a taxa de juros i do mercado, como uma combinação de vários

fatores (que aqui chamamos de prêmios):

RVLRIILR PPPPii ....=

A taxa LRi é o que se chama de taxa livre de risco, ou taxa de juros real, aquela que seria cobrada

caso não existisse nenhum risco inerente ao empréstimo do dinheiro, tal como o risco de inflação,

representado por IP . Este risco, ou prêmio, é dado por não se saber ao certo qual será a inflação

no futuro, desde o momento da concessão do empréstimo até a data de seu pagamento. Da

mesma maneira, RIP , representa o risco de inadimplência. Este é calculado baseando-se no perfil

do tomador do dinheiro, calculando-se a probabilidade de que um elemento no mesmo grupo

venha a não ter condições de honrar suas dívidas. O prêmio de liquidez, LP , está relacionado à

capacidade de o título garantidor da operação de crédito ser negociado em mercados secundários.

O grau de dificuldade de comercialização do título reflete o peso da componente na composição da

taxa de juros. É que, se a comercialização for facilitada, o emprestador terá a oportunidade de

reaver o capital antes do tempo previsto, isentar-se do risco da operação e reciclar o capital

envolvido.

4.2. REGIMES DE JUROS E FLUXOS DE CAIXA

A matemática financeira tem como objetivo básico estudar a evolução do valor do dinheiro no

tempo. A noção principal é a de que o dinheiro perde valor com o passar do tempo. Portanto, é

fácil admitir que mil reais em 2005 tivessem um determinado poder de compra. Hoje

conseguiríamos comprar menos produtos com os mesmos mil reais.

Para estudar essa evolução do dinheiro, adotamos regimes de capitalização dos juros. Há hoje na

economia dois deles: regime de juros simples e regime de juros compostos. No regime de juros

simples, apenas o capital inicial (ou principal), rende juros. Nesse modelo não se somam os juros

do período ao capital para o cálculo de novos juros, ou seja, juros não rendem juros. As equações


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de evolução dos juros são, portanto, lineares fazendo com o que o dinheiro cresça em progressão

aritmética ao longo do tempo.

No regime de juros compostos, somam-se os juros do período ao capital para o cálculo de novos

juros nos períodos seguintes. Juros são capitalizados e passam a render juros. Nesse caso, as

equações que regem a dinâmica dos juros são exponenciais e o dinheiro cresce em progressão

geométrica.

Para facilitar a visualização da evolução de operações monetárias ao longo do tempo, utiliza-se

uma ferramenta gráfica chamada fluxo de caixa, como mostrado abaixo. Este representa um

conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. O eixo horizontal representa

o tempo que sempre cresce da esquerda para a direita, discretamente. Setas verticais para cima

representam entradas e setas para baixo representam retiradas. Quanto maior a seta, maior o

valor da operação.

Podem-se ter fluxos de caixa de empresas, de investimentos, de projetos, de operações

financeiras etc. É indispensável na análise de rentabilidades e custos de operações financeiras, e

no estudo de viabilidade econômica de projetos e investimentos.

5. REGIME DE JUROS SIMPLES

Vamos derivar uma fórmula para juros simples, considerando a seguinte nomenclatura:

- PV (valor presente ou capital): é a quantidade monetária envolvida em uma transação

financeira, referenciada na data local zero;

- FV (valor futuro ou montante): é a quantidade monetária resultante de uma transação

financeira, referenciada em uma data futura;

- n: número de períodos (expressa em termos de tempo);

- J (juros): é a remuneração exigida na utilização do capital de terceiros;

- i (taxa de juros): é o coeficiente obtido pela relação estabelecida entre o valor do juro

de um período e o capital emprestado.

. . . nn - 11 2 3 4 n - 2

Tempo


6

Para a derivação, consideremos uma aplicação PV, que remunera a uma taxa de juros i, por n

períodos e que paga, ao final deste tempo um montante FV. A tabela e o fluxo de caixa abaixo

representam o ganho período a período.

Período Valor Presente Juros Saldo Final dos Juros

1 PV PV . i ( )iPVFV += 11

2 PV PV . i ( )iPVFV += 12

3 PV PV . i ( )iPVFV += 13

... ... ... ...

n – 1 PV PV . i ( )iPVFVn +=− 11

n PV PV . i ( )iPVFVn += 1

Sendo assim, o valor futuro total pode ser calculado como:

( )niPVFVFVFVFVFVFV nn

n

jj .1... 121

1

+=++++== −=∑

5.1. TAXAS EQUIVALENTES PARA JUROS SIMPLES

Nos cálculos efetuados em matemática financeira, é preciso que o prazo e a taxa estejam

representados na mesma unidade de tempo.

. . . nn - 11 2 3 4 n - 2

PVFV


7

Podemos dizer que duas taxas são equivalentes em juros simples quando aplicadas num mesmo

capital inicial, durante um mesmo prazo, resultam em juros iguais. Um exemplo simples seria

calcular a taxa anual equivalente a 1 % a. m.:

12,001,0.12.1201,0 ===⇒= mam iii

Logo, a taxa de 12% a. a. é equivalente à taxa de 1 % a. m..

5.2. JURO EXATO E JURO COMERCIAL

Existe uma distinção conceitual entre juro simples exato e juro simples comercial. O exato utiliza

efetivamente o calendário do ano civil (365 dias) enquanto o comercial admite o mês com 30 dias,

sendo o ano, portanto, de 360 dias.

5.3. TAXA DE DESCONTO E TAXA DE RENTABILIDADE

Taxa de Desconto: O conceito básico de taxa de desconto a juros simples é muito utilizado em

determinadas operações bancárias, tais como desconto de notas promissórias e desconto de

duplicatas.

Suponhamos inicialmente as seguintes definições:

Sejam d a taxa de desconto em cada período, PV o principal e FV o montante e n o prazo. Convém

então lembrar que a taxa de rentabilidade i é aplicada sobre o principal PV, durante n períodos,

para gerar o montante FV. Por outro lado, a taxa de desconto é aplicada sobre o montante FV,

durante n períodos, para produzir o principal PV. Assim teremos:

).1(.1

ndFVni

FVPV −=

+=

Para explicitarmos a taxa de rentabilidade i ou a taxa de desconto d, obteremos:

nd

di

.1−= ou

ni

id

..1+=


8

Como o valor principal PV é menor que o montante FV, dizemos que ele é obtido do desconto do

montante FV. O desconto utilizado com a taxa de desconto é conhecido como desconto comercial,

ou por fora. O desconto realizado com o uso da taxa de rentabilidade i é conhecido como desconto

racional, ou por dentro.

EXEMPLO: Qual o desconto de um empréstimo de R$ 10.000,00 para pagamento em quatro anos

com a taxa de 10% a. a. se o tomador quita a dívida com um ano de antecedência?

Resposta: Podemos fazer o cálculo diretamente, simplesmente calculando os valores do montante

para n = 3 e para n = 4 e descontando um do outro.

Para n = 3:

( ) 130003.1,0110000).1(1 =+=+= niPVFV

Para n = 4:

( ) 140004.1,0110000).1(2 =+=+= niPVFV

O que dá um desconto de:

1000130001400012 =−=−= FVFVD

No caso, o desconto será de R$ 1000,00.

Utilizando a fórmula para encontrar a taxa de desconto por fora:

3,1

1,0

3.1,01

1,0

..1=

+=

+=

ni

id

Colocando na fórmula para encontrar FV:

13000

3,11

10000

3,13,01

10000

.11 ==−

=−

=nd

PVFV

Fazendo o mesmo para n = 4, obteremos os mesmo R$ 14.000,00 o que resulta em um desconto

de R$ 1.000,00.

5.4. VALOR ATUAL – REAJUSTE DE SALÁRIOS E INFLAÇÃO

5.4.1. Cálculo do Valor Atual

Assim como os produtos, também os salários são reajustados utilizando a mesma Matemática de

juros compostos.


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Reajuste em um único período: Seja S o salário ou o preço inicial, e r a taxa de reajuste no

período. Então:

( )rSSr += 1

Onde Sr é o valor do salário ou preço reajustado. Para um único período o conceito é o de juros

simples.

EXEMPLO: Vamos supor que o salário mínimo seja R$ 100,00. Se o governo resolve aplicar um

reajuste de 10%, teremos r = 0,1:

110)1,01(100 =+=rS

Reajuste com taxas diferentes em cada período: Suponhamos que um produto ou um salário tenha

reajustes diferentes em cada período com taxas nrrr ,...,, 21 respectivamente:

( )( ) ( )nr rrrSS +++= 1...11 21

Se rrrr n ==== ,...,21 , então

( )nr rSS += 1

5.5. TAXA DE REAJUSTE ACUMULADO

Seja acumr a taxa de reajuste acumulado durante todos os períodos, então:

( )acumr rSS += 1

Comparando-se com a fórmula anterior

( )( ) ( ) 11...11 21 −+++= nacum rrrr

EXEMPLO: A gasolina teve o seu preço reajustado em 8% em 2005, 10% em 2006 e 5% em 2007.

Então, qual foi o reajuste acumulado nesses três anos?

Nesse caso, 05,0;1,0;08,0 321 === rrr


10

( )( ) ( )%74,242474,0

105,01...1,0108,01

==−+++=

acum

acum

r

r

5.6. INFLAÇÃO

Taxa de um aumento médio no período que sofrem os preços de determinados produtos,

escolhidos para formar a chamada "CESTA BÁSICA" e de alguns itens essenciais (aluguel,

transporte, vestuário, etc.)

Se a inflação foi de 20% em um determinado período, isto significa que os preços foram

reajustados em média de 20% no período. Afirmamos que o CUSTO DE VIDA aumentou em 20%.

A inflação acumulada acumI pode ser expressa como:

( )( ) ( ) 11...11 21 −+++= nacum IIII

onde I1, I

2......I

n são as taxas de inflação relativas a cada período.

Temos vários indicadores de preços INPC-IBGE, IPC-FIPE, IGP-M da FGV, ICV do DIEESE etc.

EXEMPLO: Calcule a inflação acumulada no período de abril de 2008 a março de 2009, segundo o

IPCA do IBGE.

Taxa (%)

Abril 0,55Maio 0,79Junho 0,74Julho 0,53Agosto 0,28Setembro 0,26Outubro 0,45Novembro 0,36Dezembro 0,28Janeiro 0,48Fevereiro 0,55Março 0,20

2008

2009

Período

Então

( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )

%61,5

10020,01...0074,010079,010055,01

11...111 12321

=−++++=

−++++=

acum

acum

acum

i

i

iiiii


11

5.7. PERDA OU GANHO SALARIAL

Se os salários são reajustados com base no índice de inflação no período então a perda e o ganho

se anulam. Se o índice de inflação é maior que o índice de reajuste então existe perda. Se o índice

de inflação é menor que o índice de reajuste então existe ganho.

Vamos derivar uma fórmula para o cálculo da perda percentual do salário. Utilizando a

nomenclatura previamente utilizada, temos:

( ))1(

1

iSS

rSS

i

r

+=+=

Chamemos de P a perda em valor do salário:

( )riSSSP ri −=−=

Como estamos interessados na perda percentual, que vamos chamar de p, teremos que esta é

dada por:

( )( )

i

rip

iS

riS

S

Pp

i

+−=

+−==

1

1

Uma outra expressão interessante é a do salário real:

( )( ) S

i

rS

S

S

S

S

REAL

i

rREAL

++=

=

1

1

Quando o salário não é reajustado, temos r = 0:

( )iS

SREAL +=

1


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EXEMPLO: Qual é a perda salarial de um indivíduo que ganha R$ 1.000,00 e que teve o seu

salário reajustado em 4%, enquanto que a inflação no mesmo período foi de 5,61%?

Como ⇒=>= 0400,00561,0 ri houve perda.

( )( ) 10561

10401

=+==+=

iSS

rSS

i

r

A perda percentual então será

%52,10561,01

0400,00561,0

1=

+−=

+−=

i

rip

Isso significa que temos a seguinte proporção

98,000,1056

00,1040

00,1000

80,984 ==

O valor de 984,80 é denominado de salário real, ou seja, um salário de R$ 1000,00 que sofre um

reajuste de 4% com uma inflação de 5,61% vale R$ 984,80.

5.7.1. TAXA DE RECOMPOSIÇÃO DA PERDA SALARIAL

A taxa de recomposição salarial é a que se deve ser incorporada ao salário para que o indivíduo

recupere o poder de compra.

( )( ) ( )

r

ri

r

ii

iSirS

recomp

recomp

+−=−

++=

+=++

11

1

1

111

No caso de se ter um reajuste de 4% com uma inflação de 5,61% no ano, para recompor o salário

deve-se ter:

%55,10400,01

0400,00561,0

1=

+−=

+−=

r

rii recomp


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5.8. DEPRECIAÇÃO E DESVALORIZAÇÃO

Deve-se levar em conta que um bem se desvaloriza pela inflação ao longo do tempo. O valor real

de um bem desvalorizado:

( )iFV

PVREAL +=

1

O valor real de uma cédula de R$ 100,00 (cujo lançamento foi em julho de 1994) pode ser

calculado, levando em conta que a inflação no período foi de 213%:

( ) 94,3113,21

100

1=

+=

+=

i

FVPVREAL

Comumente os conceitos de depreciação e desconto são confundidos, ou seja, um determinado

bem que tenha um valor nominal de R$ 100,00, depois de 20% de inflação em um certo período,

calcula-se o valor real com sendo igual a R$ 80,00 ao invés de R$ 83,33.

Calculando-se o valor real, teremos:

( ) 33,832,01

100

1=

+=

+=

i

FVPVREAL

No caso de um desconto, temos que, um determinado bem que tem seu valor estipulado em R$

100,00 para pagamento após um determinado período, se a taxa de desconto por dentro for de

20% ao período acordado, o valor presente será:

( ) 00,802,01100).1( =−=−= ndFVPV

É importante que esta diferença conceitual fique bem clara.

6. JUROS COMPOSTOS

Através da fórmula do reajuste salarial para taxas de reajuste igual, chegamos à expressão geral

de juros compostos, apenas fazendo as seguintes transformações:


14

===

.

;

;

ri

SPV

SFV r

Com isso, temos:

( )niPVFV += 1

É interessante notar a evolução do montante FV à medida que o número n de períodos cresce.

Primeiramente vimos que, ao fazer o gráfico de FV x n, tendo PV fixo no tempo, temos uma

evolução que pode ser registrada da seguinte forma:

n FV (Juros Simples) FV (Juros Compostos)

0 PV PV

0 < n < 1 FV < PV FV > PV

1 PV ( 1 + i ) PV ( 1 + i )

2 ( )iPV 21+ ( ) ( )22 211 iiPViPV ++=+

3 ( )iPV 31+ ( )32331 iiiPV +++

n ( )niPV .1+ nin

ni

ni

n.....

2.

11 2

+

+

+

onde a fórmula geral é uma binomial com coeficientes dados por:

( )!!

!

knk

n

k

n

−=

A tabela e gráficos abaixo exemplificam a diferença entre a capitalização simples e a composta

para uma aplicação na poupança no valor de R$ 1.000,00 ao longo de 3 anos.


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n Simples Compostos Diferença1 1.010,00 1.010,00 0,002 1.020,00 1.020,10 0,103 1.030,00 1.030,30 0,304 1.040,00 1.040,60 0,605 1.050,00 1.051,01 1,016 1.060,00 1.061,52 1,527 1.070,00 1.072,14 2,148 1.080,00 1.082,86 2,869 1.090,00 1.093,69 3,6910 1.100,00 1.104,62 4,6211 1.110,00 1.115,67 5,6712 1.120,00 1.126,83 6,8313 1.130,00 1.138,09 8,0914 1.140,00 1.149,47 9,4715 1.150,00 1.160,97 10,9716 1.160,00 1.172,58 12,5817 1.170,00 1.184,30 14,3018 1.180,00 1.196,15 16,1519 1.190,00 1.208,11 18,1120 1.200,00 1.220,19 20,1921 1.210,00 1.232,39 22,3922 1.220,00 1.244,72 24,7223 1.230,00 1.257,16 27,1624 1.240,00 1.269,73 29,7325 1.250,00 1.282,43 32,4326 1.260,00 1.295,26 35,2627 1.270,00 1.308,21 38,2128 1.280,00 1.321,29 41,2929 1.290,00 1.334,50 44,5030 1.300,00 1.347,85 47,8531 1.310,00 1.361,33 51,3332 1.320,00 1.374,94 54,9433 1.330,00 1.388,69 58,6934 1.340,00 1.402,58 62,5835 1.350,00 1.416,60 66,6036 1.360,00 1.430,77 70,77


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6.1. TAXAS EQUIVALENTES PARA JUROS COMPOSTOS

No regime de juros compostos, taxas equivalentes para distintos períodos de tempo perdem a

linearidade observada no caso de juros simples.

Dada a seguinte nomenclatura:

- ai : taxa anual;

- mi : taxa mensal;

- ti : taxa trimestral;

- di : taxa diária,

temos que ( ) ( ) ( ) ( )360412 1111 dtma iPViPViPViPVFV +=+=+=+= .

No caso genérico, temos que, dados p e q inteiros positivos, sempre existirá um I∈α tal que

q

p=α . Isto quer dizer que

( ) ( )qq

pp ii +=+ 11

1.000,00

1.050,00

1.100,00

1.150,00

1.200,00

1.250,00

1.300,00

1.350,00

1.400,00

1 5 9 13 17 21 25 29 33

Juros Simples Juros Compostos


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6.2. DESCONTO A TAXAS DE JUROS COMPOSTOS

Como no caso de juros simples, estamos procurando a taxa que, aplicada ao montante FV,

proporciona o valor PV.

( )( )n

ndFV

i

FVPV −=

+= 1

1

Assim, ficamos com:

( )( )n

n

id

+=−

1

11

O que dá:

i

id

+=

1

Para o mesmo exemplo utilizado no caso de juros simples temos:

==

=

3

10000

..%10

n

PV

aai

( ) 00,133101,0110000 3 =+=FV

A taxa de desconto será

0909,01,01

1,0 =+

=d

o que dá

( )00,13310

0909,01

100003

=−

=FV

7. SÉRIES DE PAGAMENTOS

Uma série de pagamentos é uma maneira de realizar fluxo de caixa rápida e eficiente,

levando em conta resgates e aplicações periódicas, para as quais pode-se deduzir fórmulas gerais.

Podemos ter vários conceitos de séries de pagamentos. Alguns são apresentados abaixo:

- Séries finitas: o número de períodos de capitalização é finito;

- Séries perpétuas: o número de períodos de capitalização é infinito;


18

- Séries anuais: o período de tempo de capitalização é o mesmo do pagamento das parcelas;

- Séries periódicas: o período de tempo de capitalização difere do pagamento das parcelas.

A série de pagamentos que é motivo deste curso é a uniforme, para fins de estudos de operações

de curto prazo, podendo assumir qualquer uma das quatro classificações acima, A série uniforma é

aquela na qual prestações têm um mesmo valor, representadas por PMT.

No diagrama de fluxo de caixa, temos

Se quisermos, a título de exemplo, calcular o montante FV após n períodos, quando se paga

periodicamente prestações iguais a PMT a uma taxa de rentabilidade i, considerando capitalização

composta.

O montante dado da primeira prestação será:

( ) 11 1 −+= niPMTFV

Na segunda prestação:

( ) 22 1 −+= niPMTFV

Penúltima prestação:

( )iPMTFVn +=− 11

Última:

PMTFVn =

Somando cada uma das parcelas:

PMT

0 1 2 3 4 . . . nn - 1n - 2


19

( ) ( ) ( ) PMTiPMTiPMTiPMTFV nn +++++++= −− 1...11 21

Para calcular uma expressão genérica para FV, calculamos ( )iFV +1 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )iPMTiPMTiPMTiPMTiFV nn ++++++++=+ − 11...111 21

Subtraindo a última equação da penúltima, teremos:

( ) ( )( ) ( )[ ]

( )[ ]( )[ ]

i

iPMTFV

iPMTFVi

iPMTiFV

PMTiPMTFViFV

n

n

n

n

11

11.

1111

11

−+=

−+=

−+=−+

−+=−+

Portanto, a fórmula geral para uma série de pagamentos é:

( )[ ]i

iPMTFV

n 11 −+=

Para o caso da relação de PV e PMT, temos então

( ) ( )i

iPMTiPV

nn 11

1−+=+

o que dá

( )( )n

n

ii

iPMTPV

+−+=

1

11

7.1. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PRICE (SAP)

No modelo price, o financiamento é pago em prestações iguais, cada uma subdividida em duas

parcelas:

- Juros do período (calculados sobre o saldo da dívida no início do período);

- Amortização do principal (correspondente ao pagamento parcial ou integral do principal e

obtida a partir da diferença do valor prestação e o valor dos juros no período).

Sendo PMT o valor da prestação, J o valor dos juros e A, a amortização, temos:

AJPMT +=


20

Dessa maneira ao longo do tempo, os juros vão decrescendo ao passo que as amortizações vão

crescendo, de tal modo que a soma dessas duas parcelas se mantenha sempre igual ao valor

constante da prestação. Sendo assim, já identificando o valor da parcela a ser paga mensalmente,

podemos calcular o valor da amortização.

Já que parcela é igual aos juros mais amortização, podemos escrever que:

nnnn AJAJAJAJPMT +=+=+=+= −− 112211 ...

Dado que o juro, para cada período, pode ser escrito da seguinte maneira:

( )( )

−=

−−=−=

=

∑−

=

1

1

123

12

1

.

.

.

.

.

.

.

n

jjn APViJ

AAPViJ

APViJ

PViJ

podemos derivar uma fórmula que relaciona uma parcela genérica de amortização rA com 1A , a

primeira parcela. Para tal, inicialmente, comecemos por encontrar a relação entre 1A e 2A .

( )( )1

..

12

121

2211

+=−+=+

+=+

iAA

APViAPViA

JAJA

Fazendo para 1A e 3A , já usando o resultado para 2A

( )213 1+= iAA

Usando o princípio da indução, ficamos, para o termo genérico:


21

( ) 11 1 −+= r

r iAA

De posse desta equação pode-se então construir uma tabela com todas as informações

necessárias sobre a operação que envolve parcelas iguais de pagamento.

Exemplo: Uma instituição financeira concedeu a um indivíduo um crédito no valor de R$ 18.000,00,

para ser pago em 12 parcelas iguais, com vencimento do 1º pagamento em 30 dias e periodicidade

mensal de amortização e juros de 1,50% a.m. Então:

a) Determine o valor da parcela a ser paga mensalmente;

b) Determine o valor de cada parcela de juros a ser paga e o valor a ser amortizado

mensalmente.

Resolução:

Para este caso, temos que PV = 18000, i = 1,5% a.m., n = 12 meses. O valor das parcelas é dado

pela fórmula calculada acima:

( )( )

( )( )

24,16501015,01

015,01.015,018000

11

112

12

=−+

+=−+

+=n

n

i

iiPVPMT

Vamos calcular a primeira parcela de amortização:

24,138018000).015.0(24,1650.111 =−=−=−= PViPMTJPMTA

Com a fórmula de recorrência encontrada acima, podemos escrever a tabela Price para o cliente:

Parcela Valor da Parcela Juros Amortização Saldo Devedor1 R$ 1.650,24 R$ 270,00 R$ 1.380,24 R$ 16.619,762 R$ 1.650,24 R$ 249,30 R$ 1.400,94 R$ 15.218,823 R$ 1.650,24 R$ 228,28 R$ 1.421,96 R$ 13.796,864 R$ 1.650,24 R$ 206,95 R$ 1.443,29 R$ 12.353,575 R$ 1.650,24 R$ 185,30 R$ 1.464,94 R$ 10.888,646 R$ 1.650,24 R$ 163,33 R$ 1.486,91 R$ 9.401,727 R$ 1.650,24 R$ 141,03 R$ 1.509,21 R$ 7.892,518 R$ 1.650,24 R$ 118,39 R$ 1.531,85 R$ 6.360,669 R$ 1.650,24 R$ 95,41 R$ 1.554,83 R$ 4.805,83

10 R$ 1.650,24 R$ 72,09 R$ 1.578,15 R$ 3.227,6811 R$ 1.650,24 R$ 48,42 R$ 1.601,82 R$ 1.625,8512 R$ 1.650,24 R$ 24,39 R$ 1.625,85 R$ 0,00


22

7.2. Sistema de Amortização Constante (SAC)

No modelo SAC, as amortizações são iguais. Neste caso, utilizando a mesma nomenclatura

utilizada anteriormente, teremos as seguintes relações:

nn JPMTJPMTJPMTA −==−=−= ...2211

As expressões para os juros continuam sendo iguais, já que sempre estão relacionadas ao saldo

devedor:

( )( )

−=

−−=−=

=

∑−

=

1

1

213

12

1

.

...

.

.

.

n

kkn APViJ

AAPViJ

APViJ

PViJ

Agora vamos encontrar uma expressão que relacione a k-ésima parcela PMT à primeira, utilizando

as igualdades existentes para a amortização. Usando a igualdade para a primeira e segunda

parcelas:

( )112

121

2211

.

..

AiPMTPMT

APViPMTPViPMT

JPMTJPMT

−=−−=−

−=−

Fazendo agora para o k-ésimo e o primeiro termos, temos:

( )( ) AkiPMTPMT

AkiPViPMTPViPMT

APViPMTPViPMT

JPMTJPMT

k

k

k

jjk

kk

.1.

.1...

..

1

1

1

11

11

−−=−+−=−

−−=−

−=−

∑−

=

Como a amortização A é constante, temos:


23

n

PVA =

Vamos voltar ao exemplo do caso SAP, apenas a título de comparação.


para ser pago em 12 parcelas iguais, com vencimento do 1º pagamento em 30 dias e periodicidade

mensal de amortização e juros de 1,50% a.m. Então:

a) Determine o valor da parcela a ser paga mensalmente;

b) Determine o valor de cada parcela de juros a ser paga e o valor a ser amortizado

mensalmente.

Resolução:

De novo, temos que PV = 18000, i = 1,5% a.m., n = 12 meses.

O valor da amortização será:

150012

18000===n

PVA

Os juros da primeira parcela vão ser:

27018000.015,0.1 === PViJ

o que resulta em uma primeira parcela de:

17702701500111 =+=+= AJPMT

Utilizando as fórmulas de recorrência para os juros e para as parcelas, chegamos então à seguinte

tabela:

Parcela Valor da Parcela Juros Amortização Saldo Devedor1 R$ 1.750,00 R$ 270,00 R$ 1.500,00 R$ 16.500,002 R$ 1.747,50 R$ 247,50 R$ 1.500,00 R$ 15.000,003 R$ 1.725,00 R$ 225,00 R$ 1.500,00 R$ 13.500,00


24

4 R$ 1.702,50 R$ 202,50 R$ 1.500,00 R$ 12.000,005 R$ 1.680,00 R$ 180,00 R$ 1.500,00 R$ 10,500,006 R$ 1.657,50 R$ 157,50 R$ 1.500,00 R$ 9.000,007 R$ 1.635,00 R$ 135,00 R$ 1.500,00 R$ 7.500,008 R$ 1.612,50 R$ 112,50 R$ 1.500,00 R$ 6.000,009 R$ 1.590,00 R$ 90,00 R$ 1.500,00 R$ 4.500,00

10 R$ 1.567,50 R$ 67,50 R$ 1.500,00 R$ 3.000,0011 R$ 1.545,00 R$ 45,00 R$ 1.500,00 R$ 1.500,0012 R$ 1.522,50 R$ 22,50 R$ 1.500,00 R$ 0,00

7.3. Carência

O conceito de carência é utilizado quando se é dado contratualmente ao tomador do empréstimo a

possibilidade de protelar o início da amortização por um determinado número de períodos. Com a

atual dinâmica do mercado de empréstimos, há uma gama enorme de produtos que prevêem esse

tipo de carência, cada um com uma característica específica. Aqui será discutido três casos, que,

certamente, não são exaustivos no que tange ao universo de possibilidades de ofertas reais. São

eles:

a) Quando é dado ao cliente a possibilidade de pagar apenas os juros relativos ao saldo devedor

durante o período de carência;

b) Quando o cliente paga todos os juros do saldo devedor no primeiro mês posterior ao término

da carência;

c) Quando o cliente pulveriza os juros do período de carência ao longo da série de pagamentos

da amortização.

Vamos estudar estes três casos sob a luz dos dois sistemas estudados anteriormente: SAP e SAC.

7.3.1. Carência no SAP

Voltando ao exemplo anterior, pode-se modificá-lo para estudarmos a carência.


para ser pago em 16 meses, com carência de 4 meses e vencimento do 1º pagamento no início do

5º, com parcelas iguais e periodicidade mensal de amortização e juros de 1,50% a.m. Monte a

tabela de pagamentos para os casos a seguir:

a) O cliente paga os juros do saldo devedor durante o período de carência;

b) O cliente não paga nada durante o período de carência e paga todos os juros deste período no

primeiro mês de amortização;

c) O cliente divide os juros do período de carência entre as demais parcelas, a partir da quinta.


25

Resolução: Vamos diretamente às tabelas que esclarecem o fluxo.

a) O cliente paga os juros do saldo devedor durante o período de carência.

Mês Parcela Juros Amortização Saldo Devedor JurosAcumulados da

Amortização

1 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 0,002 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 0,003 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 0,004 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 0,005 R$ 1.650,24 R$ 270,00 R$ 1.380,24 R$ 16.619,76 R$ 0,006 R$ 1.650,24 R$ 249,30 R$ 1.400,94 R$ 15.218,82 R$ 0,007 R$ 1.650,24 R$ 228,28 R$ 1.421,96 R$ 13.796,86 R$ 0,008 R$ 1.650,24 R$ 206,95 R$ 1.443,29 R$ 12.353,57 R$ 0,009 R$ 1.650,24 R$ 185,30 R$ 1.464,94 R$ 10.888,64 R$ 0,0010 R$ 1.650,24 R$ 163,33 R$ 1.486,91 R$ 9.401,72 R$ 0,0011 R$ 1.650,24 R$ 141,03 R$ 1.509,21 R$ 7.892,51 R$ 0,0012 R$ 1.650,24 R$ 118,39 R$ 1.531,85 R$ 6.360,66 R$ 0,0013 R$ 1.650,24 R$ 95,41 R$ 1.554,83 R$ 4.805,83 R$ 0,0014 R$ 1.650,24 R$ 72,09 R$ 1.578,15 R$ 3.227,68 R$ 0,0015 R$ 1.650,24 R$ 48,42 R$ 1.601,82 R$ 1.625,85 R$ 0,0016 R$ 1.650,24 R$ 24,39 R$ 1.625,85 R$ 0,00 R$ 0,00


primeiro mês de amortização.


Amortização

1 R$ 0,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 270,002 R$ 0,00 R$ 274,05 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 544,053 R$ 0,00 R$ 278,16 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 822,214 R$ 0,00 R$ 282,33 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 1.104,545 R$ 2.754,78 R$ 1.374,54 R$ 1.380,24 R$ 16.619,76 R$ 0,006 R$ 1.650,24 R$ 249,30 R$ 1.400,94 R$ 15.218,82 R$ 0,007 R$ 1.650,24 R$ 228,28 R$ 1.421,96 R$ 13.796,86 R$ 0,008 R$ 1.650,24 R$ 206,95 R$ 1.443,29 R$ 12.353,57 R$ 0,009 R$ 1.650,24 R$ 185,30 R$ 1.464,94 R$ 10.888,64 R$ 0,0010 R$ 1.650,24 R$ 163,33 R$ 1.486,91 R$ 9.401,72 R$ 0,0011 R$ 1.650,24 R$ 141,03 R$ 1.509,21 R$ 7.892,51 R$ 0,0012 R$ 1.650,24 R$ 118,39 R$ 1.531,85 R$ 6.360,66 R$ 0,0013 R$ 1.650,24 R$ 95,41 R$ 1.554,83 R$ 4.805,83 R$ 0,0014 R$ 1.650,24 R$ 72,09 R$ 1.578,15 R$ 3.227,68 R$ 0,0015 R$ 1.650,24 R$ 48,42 R$ 1.601,82 R$ 1.625,85 R$ 0,0016 R$ 1.650,24 R$ 24,39 R$ 1.625,85 R$ 0,00 R$ 0,00


26



Amortização

1 R$ 0,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.270,00 R$ 0,002 R$ 0,00 R$ 274,05 R$ 0,00 R$ 18.544,05 R$ 0,003 R$ 0,00 R$ 278,16 R$ 0,00 R$ 18.822,21 R$ 0,004 R$ 0,00 R$ 282,33 R$ 0,00 R$ 19.104,54 R$ 0,005 R$ 1.751,50 R$ 286,57 R$ 1.464,94 R$ 17.639,61 R$ 0,006 R$ 1.751,50 R$ 264,59 R$ 1.486,91 R$ 16.152,70 R$ 0,007 R$ 1.751,50 R$ 242,29 R$ 1.509,21 R$ 14.643,48 R$ 0,008 R$ 1.751,50 R$ 219,65 R$ 1.531,85 R$ 13.111,63 R$ 0,009 R$ 1.751,50 R$ 196,67 R$ 1.554,83 R$ 11.556,80 R$ 0,0010 R$ 1.751,50 R$ 173,35 R$ 1.578,15 R$ 9.978,65 R$ 0,0011 R$ 1.751,50 R$ 149,68 R$ 1.601,82 R$ 8.376,82 R$ 0,0012 R$ 1.751,50 R$ 125,65 R$ 1.625,85 R$ 6.750,97 R$ 0,0013 R$ 1.751,50 R$ 101,26 R$ 1.650,24 R$ 5.100,73 R$ 0,0014 R$ 1.751,50 R$ 76,51 R$ 1.674,99 R$ 3.425,74 R$ 0,0015 R$ 1.751,50 R$ 51,39 R$ 1.700,12 R$ 1.725,62 R$ 0,0016 R$ 1.751,50 R$ 25,88 R$ 1.725,62 R$ 0,00 R$ 0,00

7.3.2. Carência no SAC

Utilizando o mesmo exemplo e modalidades de carência utilizadas anteriormente, temos:

a) O cliente paga os juros do saldo devedor durante o período de carência.


Amortização

1 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 0,002 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 0,003 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 0,004 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 0,005 R$ 1.770,00 R$ 270,00 R$ 1.500,00 R$ 16.500,00 R$ 0,006 R$ 1.747,50 R$ 247,50 R$ 1.500,00 R$ 15.000,00 R$ 0,007 R$ 1.725,00 R$ 225,00 R$ 1.500,00 R$ 13.500,00 R$ 0,008 R$ 1.702,50 R$ 202,50 R$ 1.500,00 R$ 12.000,00 R$ 0,009 R$ 1.680,00 R$ 180,00 R$ 1.500,00 R$ 10.500,00 R$ 0,0010 R$ 1.657,50 R$ 157,50 R$ 1.500,00 R$ 9.000,00 R$ 0,0011 R$ 1.635,00 R$ 135,00 R$ 1.500,00 R$ 7.500,00 R$ 0,00


27

12 R$ 1.612,50 R$ 112,50 R$ 1.500,00 R$ 6.000,00 R$ 0,0013 R$ 1.590,00 R$ 90,00 R$ 1.500,00 R$ 4.500,00 R$ 0,0014 R$ 1.567,50 R$ 67,50 R$ 1.500,00 R$ 3.000,00 R$ 0,0015 R$ 1.545,00 R$ 45,00 R$ 1.500,00 R$ 1.500,00 R$ 0,0016 R$ 1.522,50 R$ 22,50 R$ 1.500,00 R$ 0,00 R$ 0,00


primeiro mês de amortização.


Amortização

1 R$ 0,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 270,002 R$ 0,00 R$ 274,05 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 544,053 R$ 0,00 R$ 278,16 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 822,214 R$ 0,00 R$ 282,33 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 1.104,545 R$ 2.874,54 R$ 1.374,54 R$ 1.500,00 R$ 16.500,00 R$ 0,006 R$ 1.747,50 R$ 247,50 R$ 1.500,00 R$ 15.000,00 R$ 0,007 R$ 1.725,00 R$ 225,00 R$ 1.500,00 R$ 13.500,00 R$ 0,008 R$ 1.702,50 R$ 202,50 R$ 1.500,00 R$ 12.000,00 R$ 0,009 R$ 1.680,00 R$ 180,00 R$ 1.500,00 R$ 10.500,00 R$ 0,0010 R$ 1.657,50 R$ 157,50 R$ 1.500,00 R$ 9.000,00 R$ 0,0011 R$ 1.635,00 R$ 135,00 R$ 1.500,00 R$ 7.500,00 R$ 0,0012 R$ 1.612,50 R$ 112,50 R$ 1.500,00 R$ 6.000,00 R$ 0,0013 R$ 1.590,00 R$ 90,00 R$ 1.500,00 R$ 4.500,00 R$ 0,0014 R$ 1.567,50 R$ 67,50 R$ 1.500,00 R$ 3.000,00 R$ 0,0015 R$ 1.545,00 R$ 45,00 R$ 1.500,00 R$ 1.500,00 R$ 0,0016 R$ 1.522,50 R$ 22,50 R$ 1.500,00 R$ 0,00 R$ 0,00



Amortização

1 R$ 0,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.270,00 R$ 0,002 R$ 0,00 R$ 274,05 R$ 0,00 R$ 18.544,05 R$ 0,003 R$ 0,00 R$ 278,16 R$ 0,00 R$ 18.822,21 R$ 0,004 R$ 0,00 R$ 282,33 R$ 0,00 R$ 19.104,54 R$ 0,005 R$ 1.878,61 R$ 286,57 R$ 1.592,05 R$ 17.512,50 R$ 0,006 R$ 1.854,73 R$ 262,69 R$ 1.592,05 R$ 15.920,45 R$ 0,007 R$ 1.830,85 R$ 238,81 R$ 1.592,05 R$ 14.328,41 R$ 0,008 R$ 1.806,97 R$ 214,93 R$ 1.592,05 R$ 12.736,36 R$ 0,009 R$ 1.783,09 R$ 191,05 R$ 1.592,05 R$ 11.144,32 R$ 0,00


28

10 R$ 1.759,21 R$ 167,16 R$ 1.592,05 R$ 9.552,27 R$ 0,0011 R$ 1.735,33 R$ 143,28 R$ 1.592,05 R$ 7.960,23 R$ 0,0012 R$ 1.711,45 R$ 119,40 R$ 1.592,05 R$ 6.368,18 R$ 0,0013 R$ 1.687,57 R$ 95,52 R$ 1.592,05 R$ 4.776,14 R$ 0,0014 R$ 1.663,69 R$ 71,64 R$ 1.592,05 R$ 3.184,09 R$ 0,0015 R$ 1.639,81 R$ 47,76 R$ 1.592,05 R$ 1.592,05 R$ 0,0016 R$ 1.615,93 R$ 23,88 R$ 1.592,05 R$ 0,00 R$ 0,00


29

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Uma pessoa aplicou em um instituição financeira R$ 18.000,00 resgatando R$ 21.456,00

quatro meses depois. Calcule a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicação.

Resolução:

PV = 18000

FV = 21456

N = 4 meses

i = ?

( )( )

048,04

192,0

411800021456

.1

==

+=+=

i

i

niPVFV

Portanto, a taxa é de 4,8 % a. m.

2) Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros:

- R$ 35.000,00 vencíveis no fim de 3 meses;

- R$ 65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses.

Para o resgate dessas dívidas, o devedor pretende utilizar suas reservas financeiras aplicando-se

em uma conta de poupança que rende 66% ao ano de juros simples. Pede-se determinar o valor

do capital que deve ser aplicado nesta poupança de forma que possam ser sacados os valores

devidos em suas respectivas datas de vencimentos sem deixar saldo final na conta.

Resolução:

i = 66% a. a. = 66/12 a. m. = 5,5 % a. m.

31,810235055,01

65000

3055,01

35000 =+

++

=xx

PV

A pessoa, depositando hoje R$ 81.023,31 numa poupança que paga 5,5 % ao mês de juros

simples, terá condições, com este capital aplicado, de resgatar suas dívidas nas respectivas datas

de vencimento.

Logo, ao capitalizar o capital aplicado para os momentos 3 e 5, o resultado registrado deve ser

igual ao valor dos pagamentos, isto é:


30

Momento 3 = 81023,31 x ( 1 + 0,055 x 3 ) = 94392,16 – 35000 = 59392,16

Momento 5 = 59392,16 x ( 1 + 0,055 x 2) = 65925,30 – 65000 = 925,30

O saldo remanescente de R$ 925,30 é devido à capitalização dos juros, procedimento incorreto no

regime linear. Em juros simples, o prazo da operação não pode ser fracionado, originando-se daí a

diferença encontrada.

3) Em quanto tempo duplica um capital que cresce à taxa de juros compostos de 2,2 % ao mês?

Resolução:

PV = 1

FV = 2

Mantida a proporção, pode-se atribuir qualquer valor a PV e FV.

i = 2,2 % a. m.

n = ?

Utilizando-se a fórmula básica:

( )

( )85,31

009451,0

301030,0

022,1log

2log

022,12

1

===

=

+=

n

iPV

FV

n

n

Ou seja, o capital dobra após 31 meses e 26 dias.

4) Calcular a taxa efetiva anual equivalente às seguintes taxas:

a) 2,5 % a. m.

b) 4 % a. b.

c) 6 % a. t.

d) 10 % a. s.

Resolução:

( )( )( )( ) aai

aai

aai

aai

.%0,21110,01

.%25,26106,01

.%53,26104,01

..%49,341025,01

212

412

612

1212

=−+=

=−+=

=−+=

=−+=


31

5) Para uma taxa de juros de 7% ao mês, qual das duas alternativas de pagamento apresenta

menor custo para o devedor:

a) Pagamento integral de R$ 140.000,00 a vista (na data zero);

b) R$ 30.000,00 de entrada, R$ 40.000,00 em 60 dias e R$ 104.368,56 em 120 dias.

Resolução:

O problema pode ser solucionado calculando-se PV das duas alternativas à taxa de 7% ao mês. A

alternativa que apresentar o maior valor presente é a que tem a maior custo, isto é:

a)

PV = 140000;

b)

( ) ( )82,14455927,7962255,3493730000

07,1

56,104368

07,1

4000030000

42=++=++=PV

A alternativa de pagamento b) com maior valor presente, apresenta um custo superior a 7% ao

mês, sendo portanto a mais onerosa.

O custo (taxa percentual) da alternativa b) em relação ao pagamento a vista é calculado pelo

conceito da taxa interna de retorno. Em verdade, deseja-se saber a taxa de juros que iguala o PV

da alternativa b) ao valor do pagamento a vista. Assim:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) 09488,013636,01

56,1043681400001110000

1

56,104368

1

40000110000

1

56,104368

1

4000030000140000

24

24

42

42

=−+−+

++=+

++

+=

++

++=

ii

ii

ii

ii

Esta é uma equação quadrática em ( )21+= ix . Chamando os coeficientes de a, b e c, teremos

( )0829,0

172684,12

9488,0.43636,03636,01

2

4

22

2

=

=++

=+

−±−=

i

i

a

acbbx

Logo, a taxa que representa o custo mensal efetivo das condições de pagamento é 8,3 % ao mês.


32

EXERCÍCIOS

1. Dado que a taxa livre de risco de uma dada operação de crédito é de 1,35% a. m., a inflação

acumulada esperada desde o momento de concessão do crédito até data de pagamento total

do empréstimo é de 4,83%. Supondo os demais prêmios iguais à unidade, qual será a taxa

aplicada para esta operação?

2. Um estudo com mil clientes enquadrados em um determinado perfil sócio-econômico de um

banco indicou 28 mal pagadores. Qual o prêmio de risco de inadimplência que a empresa

provavelmente está utilizando em empréstimos para novos clientes deste mesmo perfil?

3. Uma dívida contraída à taxa de juros simples de 10% ao mês, deverá ser paga em duas

parcelas, respectivamente iguais a R$ 126,00, daqui a 4 meses, e R$ 192,00, daqui a 6 meses.

Caso essa mesma dívida fosse paga em duas parcelas iguais, uma daqui a 4 meses, e a outra

daqui a 6 meses, qual seria a diferença entre as somas dos valores pagos em cada caso?

4. Dado que a inflação de acumulada do primeiro semestre de um determinado ano foi de 2,1 %

qual deverá ser a taxa de inflação do segundo semestre para que um reajuste salarial de 3.5 %

seja justo?

5. Derive uma fórmula para o ganho salarial em termos das taxas de inflação e reajuste salarial.

6. A taxa de recomposição salarial para uma determinada categoria trabalhista é de 1,41%. Se a

taxa de inflação no período foi de 5,4%, qual a taxa de reajuste salarial que o setor empresarial

forneceu?

7. Elabore um modelo para medir a inflação da sua família ao longo de um ano, levando em

consideração a representatividade de pelo menos 50% da renda mensal familiar.

8. Calcule o juro final como porcentagem do capital inicial aplicado a uma taxa de juros simples

de 24% ao ano, com capitalização mensal em um prazo de dezoito meses.

9. O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$

600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de

um desconto racional simples.

10. Um empréstimo de R$ 1.000,00 foi contraído via SAP em 5 prestações mensais à taxa de 10

% a.m. Construir a planilha financeira de amortização da dívida.

11. Um empréstimo de R$ 1.000,00 foi contraído via SAP em 5 prestações mensais à taxa de 10

% a.m., pagando-se as prestações 3 e 4 junto com a 2ª. Construir a planilha financeira de

amortização da dívida.

12. Um empréstimo no valor de R$ 15.000,00 será amortizado pelo SAP ( Sistema Francês ) no

prazo de 2 anos, em prestações mensais, à taxa de juros compostos de 6% ao mês. Determine

o valor das prestações, os juros pagos na 1ª prestação, a 1ª quota de amortização, a 15ª

quinta quota de amortização, os juros pagos na 20ª prestação, o saldo devedor após o

pagamento da 22ª prestação.


33

13. Um cliente de cartão de crédito decidiu parcelar uma dívida de R$ 3000,00, fazendo o

pagamento mínimo de R$ 298,00, sugerido pela operadora. Sabendo que as prestações são

iguais e que a taxa da transação é de 12,20% a.m., calcule quanto tempo o cliente levará para

saldar a dívida.

14. Uma dívida de R$ 6.500,00 será amortizada via SAP em 4 prestações mensais, a uma taxa de

juros de 10% a.m. vencendo a 1ª prestação 150 dias após a liberação do empréstimo.

Construir a planilha de amortização, sabendo que, durante a carência, apenas os juros são

pagos.

15. Um empréstimo de R$ 1.000,00 foi contraído via SAC em 5 prestações mensais à taxa de 10%

a.m. Construir a planilha financeira de amortização da dívida.

16. Refazer o exercício nº 10 utilizando SAC.

17. Um empréstimo no valor de R$ 80.000,00 será liquidado pelo SAC em 40 parcelas mensais.

Sendo a taxa de juros da operação de 4% a.m., determinar o valor das amortizações mensais,

o valor dos juros e da prestação referente ao 22º pagamento, o valor da última prestação e o

saldo devedor após o pagamento da 10ª prestação.


34

8. TRIBUTOS

Os tributos compõem toda a renda governamental que o país arrecada, seja por meio direto, ou

seja, quando se tributa diretamente o contribuinte, através do imposto de renda, seja por meio

indireto, através da taxação de mercadorias e serviços.

Os tributos podem ser divididos em três diferentes conceitos: impostos, taxas e contribuições. As

taxas geralmente têm esfera municipal e estão ligadas a um serviço específico oferecido pela

prefeitura (por exemplo, a taxa do gás, a taxa de incêndio, etc). Os impostos não têm uma

destinação específica nos cofres do governo. Esta arrecadação pode ser alocada livremente dentro

do orçamento da União. Já as contribuições possuem uma destinação específica, e servem,

geralmente para a construção de fundos constituídos com objetivos definidos (como o FAT –

Fundo de Amparo ao Trabalhador – por exemplo, que financia a casa própria).

A seguir há uma descrição bastante sucinta de alguns tributos importantes e que, de alguma

maneira, permeiam a vida cotidiana e o mundo da matemática financeira:

PIS / COFINS – Programa de Integração Social / Contribuição Social para o Financiamento da

Seguridade Social: incide sobre o faturamento mensal, assim considerando a receita bruta das

vendas de mercadorias, de mercadorias e serviços e serviços de qualquer natureza.

CSSL – Contribuição Social sobre o Lucro Líquido: percentual da receita bruta anual ou mensal da

venda de bens nas atividades comerciais, industriais, serviços hospitalares e de transporte.

IOF – Imposto sobre Operações de Crédito, Câmbio e Seguro, ou Relativas: incide sobre

operações de crédito realizadas por instituições financeiras ou similares, de pessoa jurídica a

pessoa jurídica, de pessoa física a pessoa física e de pessoa jurídica a pessoa física. Atualmente,

este imposto está em 0,0041% para transações envolvendo pessoas físicas (PF – PF e PF – PJ) e

0,0082% para transações financeiras envolvendo pessoas jurídicas (PJ – PJ).

ICMS – Imposto sobre Circulação de Mercadorias e Serviços: este é um imposto estadual e que

possui uma grande importância para o orçamento dos governos estaduais. Há alíquotas

diferenciadas para cada produto, baseando-se na NCM (Nomenclatura Comum do Mercosul,

classificação internacional utilizada em todos os países que compõem o mercado comum do cone

sul e que serve como base para as transações entre estes países) além também de haver

diferenciação para cada estado.


35

O ICMS é um dos pivôs da chamada “guerra fiscal”, que é a disputa que os estados brasileiros vêm

travando na obtenção de recursos industriais quando empresas multinacionais revelam suas

intenções de instalar novas plantas em território nacional. Como o governo estadual tem o poder

de modificar as alíquotas dos produtos, os governantes podem, para atrair a instalação da indústria

para seu estado,

9. SISTEMA FINANCEIRO NACIONAL

O Sistema Financeiro Nacional possui uma estrutura baseada em conselhos. Estes conselhos são

as entidades máximas que separam a dinâmica financeira em três partes, segundo o critério do

uso do dinheiro: o uso monetário, a seguridade privada e a previdência complementar.

Dessa maneira pode-se desenhar a estrutura do SFN da seguinte forma (dando maior ênfase ao

uso monetário):

O Banco Central, através do Comitê de Política Monetária (COPOM) é responsável por ordenar por

dar diretrizes básicas da economia. A principal tarefa do COPOM é determinar a meta da taxa

Conselho MonetárioNacional (CMN)

Banco Central (BC)

Comissão de ValoresMobiliários (CMN)

Operadores

Outras instituições

Bolsa de Mercadorias &Futuros (BMF)

Bolsa de Valores de SãoPaulo (Bovespa)

Conselho Nacional deSeguros Privados (CMN)

Superintendência de SegurosPrivados (Susep)

Conselho de Gestão daPrevidênciaComplementar

Secretaria dePrevidênciaComplementar (SPC)

Entidades Fechadas dePrevidênciaComplementar


36

SELIC. A taxa SELIC é a taxa de financiamento no mercado interbancário para operações de um

dia, ou overnight, que possuem lastro em títulos públicos federais, títulos estes que são listados e

negociados no Sistema Especial de Liquidação e Custódia, o SELIC.

Assim, como o risco final da transação acaba sendo efetivamente o do governo, pois seus títulos

servem de lastro para a operação e o prazo é o mais curto possível, esta taxa acaba servindo de

referência para todas as demais taxas de juros da economia.

Em situações normais, a SELIC é a taxa mais baixa, o que, porém, não ocorre sempre. De forma

geral, quanto maior o prazo, maior o risco e, portanto, maior a taxa.

Para tentar entender um pouco do mecanismo, vamos supor que o governo baixe a meta da

SELIC. Acontecendo isso, todas as operações bancárias feitas com o governo lastreadas na

SELIC perdem rentabilidade. Torna-se, então, interessante aos bancos emprestar dinheiro no

mercado privado. Aumentando a oferta de moeda, caem as taxa de juros de produtos bancários,

como o cartão de crédito e o cheque especial.

No Brasil, por questões históricas, o spread bancário, que é a diferença entre os juros que os

bancos pagam para captar dinheiro e os juros cobrados de quem toma empréstimos dos bancos, é

muito alto. Estima-se que, para o caso nacional, uma redução de um ponto percentual na SELIC

acarreta em uma queda de 0,4% nas taxas de juros bancárias.

No caso de fundo de renda fixa, os efeitos da redução da SELIC são mais diretos, pois boa parte

destes fundos é investida em papéis pós-fixados, ou seja, que seguem a rentabilidade da SELIC.

Assim, um corte na SELIC irá necessariamente reduzir a rentabilidade dos referidos fundos.

A taxa apurada no SELIC é obtida mediante o cálculo da taxa média ponderada e ajustada nas

operações de financiamento por um dia, na forma de operações compromissadas, que são

operações de venda de títulos com compromisso de recompra assumido pelo vendedor,

concomitantemente.

A equação para a taxa SELIC, ST , é:

j

N

jjS VLT ∑

=

=1


37

onde jL e jV são, respectivamente, o fator diário e o valor financeiro correspondentes à taxa da j-

ésima operação.

A amostra é constituída excluindo-se do universo as operações atípicas, assim consideradas:

- Para distribuição simétrica 2,5% das operações com os maiores fatores diários e 2,5% com

menores fatores diários;

- Para distribuição assimétrica positiva: 5% das operações com maiores fatores;

- Para distribuição assimétrica negativa: 5% das operações com menores fatores.

9.1 TAXAS DE JUROS DO SISTEMA FINANCEIRO

- TR (Taxa Referencial): A TR foi criada para ser uma taxa básica referencial dos juros a serem

praticados no mês vigente, e não reflexo do mês anterior. Indexadora oficial dos contratos com

prazo superior a 90 dias, contudo, ela também remunera a caderneta de poupança. A TR é

calculada e divulgada pelo Banco Central diariamente, em função do volume de captação de CDBs

e RDBs;

- TBF (Taxa Básica Financeira): A TBF foi criada com o intuito de alongar o perfil das aplicações

em títulos, através de uma remuneração superior à TR. Sua remuneração é calculada pelo

somatório de captação de depósitos a prazo das 30 maiores instituições financeiras do país, pelo

período de um semestre. É divulgada diariamente pelo Banco Central;

-TJLP (Taxa de Juros de Longo Prazo): A TJLP, como o próprio nome indica, tem a finalidade de

estimular investimentos de longo prazo, como dos setores de infra-estrutura e de consumo. Sua

remuneração, crescente, é resultado da média ponderada entre inflação (IPCA) e o Risco-Brasil,

que é um índice que mede o risco de investir no país. Esta taxa remunera o FAT (Fundo de

Amparo ao Trabalhador), PIS / PASEP, e algumas linhas de crédito do BNDES (como o Finame e

Finem)

10. JUROS BANCÁRIOS

Depois de termos estudado as taxas de juros oficiais e seus mecanismos, vamos estudar

brevemente como estas taxas se relacionam com os juros praticados pelos bancos para o cliente

final e quais são as taxas efetivas que estes praticam.

10.1. CUSTO EFETIVO


38

Quando da obtenção de alguma operação que envolva a concessão de crédito ao cliente (seguros,

empréstimos, limite do cheque especial), é comum que a instituição financeira inclua alguns custos

adicionais, além daquele representado pela taxa de juros efetivamente explicitada.

A mais comum é a taxa de abertura de crédito (TAC). Esta taxa de crédito, cobrada no momento

da liberação dos recursos, eleva o percentual de juros cobrados efetivamente.

O critério básico de se apurar o custo efetivo de uma conta garantida (cheque especial), por

exemplo, pode ser expresso no seguinte diagrama de fluxo de caixa mensal:

O custo efetivo final será a taxa interna de retorno deste fluxo de entradas e saídas de caixa.

Por exemplo, suponha uma conta garantida que cobre juros de 2,6% a.m., debitados

mensalmente, e uma TAC de 1,5%. Determinar o custo efetivo admitindo que a conta garantida

tenha sido contratada por:

a) 30 dias;

b) 60 dias;

c) 90 dias.

Assim, para um prazo de 30 dias, tem-se:

a) Calculando o custo efetivo para 30 dias:

( ) 6,10215,98 =+ i

%16,4=i a. m.

Juros Juros JurosTAC

. . .

Limite da conta: 100,00TAC: 1,50Crédito liberado: 98,50

Juros: 2,60Limite: 100,00Total: 102,60


39

Observe que a comissão de abertura de crédito eleva o custo da conta garantida por 30 dias de

2,6% a. m. para 4,16% a. m.

b) Considere o fluxo de 60 dias:

Para este fluxo, deve-se resolver a seguinte equação:

( ) ( )21

60,102

1

60,250,98

ii ++

+=

Resolvendo-se:

i = 3,39% a. m.

c) Para 90 dias:

( ) ( ) ( )32 1

60,102

1

60,2

1

60,250,98

iii ++

++

+=

i = 3,13% a. m.

O custo final se reduz à medida que se eleva o prazo da conta garantida. Este comportamento é

explicado pela maior diluição da TAC cobrada, uma única vez, no ato de liberação do crédito, pelos

meses seguintes.

10.2. CONTA GARANTIDA

Conta garantida é o nome que se dá à conta corrente que possui atrelada a ela um limite de

cheque especial. Representa, em outras palavras, uma conta de saldo devedor, em que o cliente

saca a descoberto e os juros são calculados periodicamente sobre o saldo médio utilizado.

Limite da conta: 100,00TAC: 1,50Crédito liberado: 98,50

Juros: 2,60Limite: 100,00Total: 102,60

Juros: 2,60


40

A determinação dos saldos devedores se faz por meio do método hamburguês. Vejamos um

exemplo:

EXEMPLO: Admita uma conta garantida com limite de R$ 5000,00 contratada por dois meses e

aberta no dia 15/01. Os encargos financeiros fixados para a operação são juros nominais de 3,9%

ao mês, debitados ao final de cada mês, e uma taxa de abertura de crédito (TAC) de 2% cobrada

no ato e incidente sobre o limite.

Sabe-se que no período da operação foram realizadas as seguintes movimentações na conta

garantida:

Mês 1:

Dia 15 – saque de R$ 250,00;

Dia 20 – saque de R$ 100,00;

Mês 2:

Dia 01 – saque de R$ 50,00;

Dia 10 – depósito de R$ 40,00;


Dia 22 – saque de R$ 50,00

O resultado da movimentação para o mês 1 se encontra o quadro abaixo:

DATA HISTÓRICO D / C SALDO DEVEDOR (SD) NUM DIAS (D) SD X D15-01 TAC 100,00 (D) 100,0015-01 SAQUE 250,00 (D) 350,00 5 1750,0020-01 SAQUE 100,00 (D) 450,00 7 4950,0031-01 JUROS 8,71 (D) 458,71

Os juros são calculados da seguinte forma:

( )71,8

495000,175030

039,0

=

+=

= ∑

Juros

Juros

DSDiJurosj

jj

Da mesma maneira, temos a movimentação do mês 2:


41

DATA HISTÓRICO D / C SALDO DEVEDOR (SD) NUM DIAS (D) SD X D01-02 SAQUE 50,00 (D) 508,71 9 4578,3910-02 DEPÓSITO 40,00 (C) 468,71 8 3749,6818-02 SAQUE 35,00 (D) 503,71 4 2014,8422-02 SAQUE 50,00 (D) 553,71 8 4429,6830-01 JUROS 19,20 (D) 572,91

( )20,19

68,442984,201468,374939,457830

039,0

=

+++=

= ∑

Juros

Juros

DSDiJurosj

jj

10.3. TAXA DE JUROS DO CHEQUE ESPECIAL

É tradição no Brasil a taxa de juros do cheque especial ser muito alta, se compararmos à taxa de

juros de empréstimos pessoais. Este comportamento é contra-intuitivo, pois, mesmo que o

correntista detenha aplicações financeiras junto a sua instituição bancária, quer em fundos, em

depósitos de poupança ou certificados de depósito bancário, a taxa do cheque especial não muda

para ele, continuando muito elevada, apesar do risco de crédito ser quase nulo nesta situação.

Para ilustrar um modelo que aponta uma razão para esta questão, suponha um correntista

assalariado que recebe R$ 100,00. Vamos supor que, inicialmente, só exista uma linha de crédito

de empréstimo pessoal com o prazo mínimo de um mês e que a liquidação do principal e dos juros

dessa linha seja feita na data final do empréstimo. Suponha ainda que o correntista possua um

problema de caixa e que todo mês seus recursos se esgotam no 24º dia, necessitam de mais R$

30,00 para encerrar o mês.

Neste caso, o correntista será obrigado a tomar um empréstimo, no início do mês, que evite que

sua conta fique negativa a partir do 24º dia. Supondo uma taxa de juros de 2% ao mês para o

empréstimo, o custo será R$ 30,00 x 0,02 = R$ 0,60 pagos no dia 1º do mês subseqüente.

Portanto, para o correntista, a solução do problema de caixa custa R$ 0,600 por mês.

O banco, no seu departamento de novos produtos, procurará desenvolver uma linha de

empréstimo que atenda ao correntista, o que poderia ser feito por um empréstimo de seis dias de

duração. Uma linha de crédito ideal seria um empréstimo com prazo mínimo de um dia que

denominaremos de CE (cheque especial).

Qual a taxa de juros a ser cobrada nessa nova linha de crédito de um dia? Para juros lineares,

poderia ser


42

( )( ) %402,0067,06

%067,030

02,0

6

1

==

==

dias

dia

i

i

Porém, o lucro obtido pelo banco seria inferior ao empréstimo de um mês. No máximo, seu lucro

seria de (R$ 30,00)(0,402%)=R$ 0,1296. Obviamente, o banco não implementaria este novo

produto.

Todavia, o banco tem conhecimento de que o correntista usa efetivamente até no máximo R$

30,00 por seis dias e para isso paga até R$ 0,60. O banco pode, então, fazer a conta inversa, isto

é, qual o nível de juros sobre os seis dias que resultaria em um total pago de juros inferior a R$

0,60?

( )( ) %100033,030

%33,030

60,0

6

1

30

1

==

=

=

dias

dia

i

i

É evidente que, para o banco, o produto CE é mais vantajoso, pois com a utilização dos recursos

por apenas alguns dias, ele obtém o mesmo ganho que empregando esses recursos por um mês.

Dessa forma, o banco precisará induzir através de uma taxa de juros para o produto CE que

resulte em um custo de juros inferior a R$ 0,60 para o período em que o saldo da conta fique

devedor.

Para o exemplo hipotético acima, em que a taxa de empréstimo pessoal é de 2% a. m. e o prazo

utilizado do cheque especial é de seis dias, o correntista estaria disposto a pagar por este último

uma taxa de até 9,9% a. m.

A taxa de juros para o cheque especial escolhida pelo banco será a taxa que maximiza a sua

alocação de recursos na modalidade cheque especial sujeito à restrição de ser inferior à taxa

descrita acima.

11. SÉRIES

Séries temporais possuem inúmeras aplicações. Algumas delas já foram vistas neste curso, como

por exemplo, os sistemas de amortização. Outra bastante interessante é cálculo o previdenciário.

Estes cálculos são bastante complexos e tema de inúmeros cursos para além do estudado aqui.


43

Porém é possível fazer algumas simulações simples que exemplificam bastante a aplicabilidade de

teorias desenvolvidas no âmbito da matemática financeiro.

Um primeiro modelo de cálculo de aposentadoria pode ser visto na figura abaixo.

O gráfico representa a situação em que um cliente paga um valor de PMT durante n meses, se

aposenta e passa a receber aposentadoria de PMT’ durante m - 1 meses.

Para este modelo, tem-se todas as informações que necessárias. A única questão é igualar o valor

do montante ao final da primeira série, dado por FV com o início da aplicação na segunda série,

dado por PV’.

Para a primeira série temos:

( )

i

iPMTFV

n 11 −+=

Para a segunda:

( )( ) 11

1''

1

1

−++= −

−

m

m

i

iiPVPMT

O que dará a seguinte relação entre o PMT e PMT’:

( )( )

( ) 1

11

11

11' −

− +−+

−+= m

m

n

ii

iPMTPMT

A variável de mais difícil mensuração na fórmula acima é m, o tempo de pagamento da

aposentadoria. Há uma série de cálculos, baseados em tábuas de mortalidade, para encontrar o

valor esperado da expectativa de vida de um determinado grupo da população.

PMT’

PMT

0 n n + 1 n + m


44

Para dirimir este problema, há um cálculo baseado em séries perpétuas, ou seja, séries de

pagamentos que pagam indefinidamente.

No caso anterior, para o caso da segunda série, temos que voltar às equações originais, a fim de

calcular PV’:

( ) ( ) ( )

( ) ( )∑ ∑∞

=

∞

= +=

+=+

++

++

++

=

0 0

32

1

1'

1

''

...1

'

1

'

1

''

t ttt i

PMTi

PMTPVPMT

i

PMT

i

PMT

i

PMTPV

Para facilitar o cálculo, pode-se fazer a seguinte transformação:

( )

∑∞

=

=

+=

0

''

1

1

t

taPMTPV

ia

Considerando,

( )( ) ( )

( )∑

∑

=

+

∞

=

+

=−

−

−=++++−=−

n

t

tn

t

tnn

aa

a

aaaaaaaa

0

1

0

421

1

1

1...111

Para 1<a , quando ∞→n temos 01 →+na . Assim,

( )∑

∑

+=+

−=

∞

=

i

i

i

aa

t

t

t

1

1

1

1

1

0

Assim, ficamos com


45

i

iPMTPVPMT

+=+ 1'''

o que dá

i

PMTPV

''=

Essa equação é conhecida como fórmula de Gordon.

Pode parecer que a equação acima se diferencia em demasia com a fórmula para pagamentos

constantes utilizada anteriormente, mas os cálculos comprovam que diferença não é tão grande,

sobretudo para um número elevado de meses, caso típico de problemas de previdência.

12. TÍTULOS DE RENDA FIXA

Os títulos são denominados de renda fixa quando se conhece a forma de rendimentos oferecidos.

São assim conhecidos por fixarem os rendimentos desde o momento inicial da operação. Esses

títulos são emitidos geralmente por uma instituição financeira, sociedade por ações e governos, e

negociados com os poupadores em geral.

Alguns exemplos de títulos ou papéis de renda fixa bastante negociados no mercado financeiro

são os certificados e recibos de depósitos bancários (CDB e RDB), debêntures e letras de câmbio.

Esses papéis podem ser negociados de diversas formas, principalmente no que concerne à

formação das taxas de juros, prazos, periodicidade dos rendimentos e tributação.

Basicamente, tem-se dois tipos de títulos de renda fixa: prefixados e pós-fixados.

Os títulos prefixados caracterizam-se pela revelação antecipada do valor total da remuneração

oferecida ao investidor. Ou seja, no momento da aplicação, o poupador toma conhecimento da

taxa total (nominal) de juro a ser aplicada sobre o capital investido.

Títulos pós-fixados costuma definir previamente a taxa real de juros e o indexador de correção

monetária a ser aplicado sobre o capital investido. O valor do resgata, no entanto, somente será

conhecido no momento da liquidação da operação em função do comportamento verificado no

índice de correção selecionado.


46

12.1 Certificados/Recibos de Depósitos Bancários – CDB/RDB

Os certificados/recibos de depósitos bancários são emitidos por instituições financeiras, visando

captar recursos para suas operações de empréstimos.

A diferença básica entre os títulos é que o CDB pode ser negociado no mercado mediante

endosso, e o RDB é intransferível.

Sobre os rendimentos desses títulos de renda fixa incide imposto de renda, geralmente pago

quanto do seu resgate. Em algumas situações, o imposto é pago na fonte, isto é, no momento de

realização do negócio. O critério de tributação tem-se alterado bastante no decorrer do tempo, não

permitindo que se defina uma regra geral e permanente para essas operações.

De qualquer forma, a incidência do imposto de renda nas negociações com títulos de renda fixa

determina a necessidade de conhecer os rendimentos e taxas brutos (antes do IR) e líquidos

(estabelecidos após o cálculo do IR).

A taxa de juros dos papéis de renda fixa é geralmente definida com base na taxa anual efetiva

(capitalizada por juros compostos). A atribuição desta taxa para intervalos de tempo menores é

processada por meio da taxa equivalente composta.

12.1.1 CDB com Taxas Prefixadas

Uma taxa prefixada incorpora uma expectativa de inflação mais os juros reais da operação. Existe

juro real, evidentemente, se o indexador escolhido refletir adequadamente a evolução dos índices

de preços da economia verificam-se situações em que o indexador da aplicação situa-se abaixo da

taxa efetiva da inflação, consumindo o rendimento real da operação.

Dessa forma, a taxa prefixada é uma taxa nominal que incorpora, a priori, a correção monetária e o

juro real.

O imposto de renda incidente nessas operações, conforme comentado, tem sofrido nos últimos

anos diversas alterações em sua metodologia de cálculo e alíquotas, prejudicando a definição de

uma fórmula de cálculo genérica. Para as operações com títulos de renda fixa, a tributação será

tratada de duas maneiras:

- IR antecipado – a incidência da alíquota do IR se reflete sobre o total dos rendimentos da

operação. O imposto é retido na fonte e cobrado juntamente com a aplicação financeira.


47

- IR Final – o cálculo do IR se verifica identicamente sobre o rendimento total da operação,

sendo pago, no entanto, quando de seu resgate.

A simbologia a ser adotada nas operações com títulos de renda fixa apresenta algumas novidades

em relação à que vem sendo adotada em juros compostos, principalmente pela interferência da

tributação sobre os resultados. O tratamento a ser dispensado a estas operações, desde que não

haja uma orientação explícita, segue o lado do investidor. Assim, tem-se:

- PV – valor da aplicação;

- FV – valor de resgate;

- IR – valor do imposto de renda;

- T – alíquota de IR;

- bi , Li - taxa nominal bruta (antes de IR) e líquida (após dedução do IR)

- br , Lr - taxa real bruta e líquida, respectivamente.

12.1.2 Taxa Prefixada com Rendimento Final

Essa modalidade de operação indica que os encargos são acumulados (capitalizados) e

resgatados somente ao final do prazo de aplicação:

Graficamente, pode ser representada segundo seja a forma de tributação:

( )( )PViTIR

iPVFV

b

b

.

1

=+=

Valor da Aplicação PV + IR

Valor de Resgate FV

IR Antecipado


48

( )PViTIR b.=

O exemplo a seguir é desenvolvido de maneira a ilustrar detalhadamente o processo de cálculo

dos resultados de uma operação com títulos de renda fixa.

Exemplo:

Suponha uma aplicação de R$ 27.000,00 efetuada em título de renda fixa pelo prazo de um mês. A

remuneração do papel é calculada à taxa bruta prefixada de 30% ao ano.

Com base nessas informações, pede-se determinar:

a) rendimentos brutos de aplicação (antes do IR);

b) rendimento nominal e real líquido para cada critério de tributação considerado acima. Admita

uma alíquota de 9% a ser aplicada sobre o rendimento nominal antecipado e de 15% sobre o

rendimento final. A correção monetária (inflação) do período atinge a 1,1%.

Solução:

a) Rendimentos Brutos da Aplicação

- Rentabilidade Nominal Bruta ( bi ):

%30=bi a. a.

%21,2130,112 =−=bi a. m.

- Valor Bruto do Resgate: R$ 27.000,00 x 1,0221 = R$ 27.596,70

Valor da Aplicação = (R$ 27.000,00)

Rendimento Bruto Nominal R$ 596,70

Valor da Aplicação PV

Valor de Resgate FV - IR

IR Final


49

- Rentabilidade Real Bruta ( br ):

%098,11011,01

0221,01 =−+

+=br a. m.

ou

%098,11011,100,000.27

70,596.27 =−×

=br a. m.

- Valor Bruto do Resgate: R$ 27.596,70

Valor Corrigido da Aplicação: R$ 27.000,00 x 1,011 = (R$ 27.297,00)

Rendimento Bruto Real: R$ 299,70

b) Rendimentos Líquidos da Aplicação

- IR Antecipado

Sendo de 9% a alíquota do IR retido na fonte incidente sobre o rendimento total da aplicação, tem-

se:

( )( ) 70,53%21,200,000.27%9

.

=××==

IR

PViTIR b

Como este tributo é pago no momento da realização do negócio, o total aplicado no título se eleva

de R$ 27.053,70. Logo a taxa de rentabilidade líquida nominal ( Li ) totaliza:

170,5300,000.27

70,596.27

1

−+

=

−+

=

L

L

i

IRPV

FVi

%01,2=Li a. m.

Por outro lado, a rentabilidade real líquida ( Lr ) atinge:

( ) ( )

( ) ( ) 1011,0170,5300,000.27

70,596.27

11

−+×+

=

−+×+

=

L

L

r

CMIRPV

FVr


50

%90,0=Lr a. m.

ou

1011,01

0201,01

11

1

−+

+=

−++

=

L

LL

r

CM

ir

%90,0=Lr a. m.

- IR Final

Para uma alíquota de 15% de IR calculada sobre o rendimento total e pago no resgate, tem-se:

Valor Bruto de Resgate: R$ 27.596,70

Valor de Aplicação: (R$ 27.000,00)

Rendimento Bruto: R$ 596,70

IR: 15% x R$ 596,70 (R$ 89,50)

Rendimento Líquido: R$ 507,20

Como o IR é pago por ocasião de resgate, tem-se o seguinte fluxo de caixa:

%88,1100,000.27

20,507.271 =−=−−=

nomL PV

IRFVi a. m.

%77,0100,297.27

20,507.271 =−=−−=

corL PV

IRFVr a. m.

Valor da AplicaçãoNominal: R$ 27.000,00Corrigido: R$ 27.297,00

Valor de ResgateR$ 27.596,70 – R$ 89,50


51

ou:

%77,01011,01

0188,011

1

1=−

++=−

++

=CM

ir L

L a. m.

12.1.3 Extensões ao Cálculo da Taxa Líquida

Muitas vezes é importante determinar a taxa líquida de um título de renda fixa diretamente de sua

taxa bruta divulgada. Este cálculo deve ser imediato de forma que se incorpore no processo de

decisão de investir nestes papéis.

Para o caso de incidência do imposto de renda na fonte, o qual é calculado antecipadamente sobre

o rendimento nominal da operação, tem-se:

1−+

=IRPV

FVi L

onde temos:

Valor de aplicação IRPV +=

Valor de Resgate ( )biPVFV +×= 1

( )biPVTIR ××=

( )biTPVIR ××=

Assim, ficamos com

( )( ) 11

1−

×++

=b

bL iTPV

iPVi

o que dá

11

1−

×++

=b

bL iT

ii


52

Utilizando-se o exemplo ilustrativo anterior, chega-se ao mesmo percentual de rentabilidade

apurado na hipótese de IR antecipado, ou seja, 2,01% a. m.

Assim, pela utilização da expressão direta da rentabilidade nominal líquida desenvolvida, pode-se

determinar a taxa líquida de retorno de uma aplicação em título de renda fixa a partir da taxa bruta

divulgada.

Em qualquer caso, a expressão de cálculo é válida somente para as operações em que a

tributação é realizada na fonte e incidente sobre o valor nominal dos rendimentos, conforme

definido.

Para operações em que o imposto de renda incidente sobre o rendimento nominal é pago por

ocasião do resgate do título, a expressão de cálculo da taxa líquida é bastante simplificada,

apurando-se o IR diretamente sobre a taxa bruta, isto é:

( )Tii bL −×= 1

Reportando-se novamente ao exemplo anterior, teremos o valor de 1,88% a. m.

12.1.4 Taxa Prefixada com Rendimento Periódico

Esse tipo de operação indica que os rendimentos são pagos periodicamente, e o principal

resgatado ao final do período da aplicação. Identicamente ao rendimento final, a taxa de juros

considerada em cada período de rendimentos é apurada pela equivalente composta.

Graficamente, essa modalidade de operação por ser apresentada da maneira seguinte, sendo J o

valor monetário dos rendimentos periódicos:

Vr. de aplicação(PV + IR)

1 2 3 . . . n - 1 n

IR antecipado

Vr. de aplicação(PV)

1 2 3 . . . n - 1 n

J - IR

IR final

J - IR J - IR J - IR J - IR J - IR J - IR


53

Conforme foi colocado, considerando que os juros são geralmente definidos em taxas anuais, os

rendimentos são determinados pela taxa equivalente compostos do período, assumindo a seguinte

expressão básica:

qbiPVJ ,.=

onde qbi , é a taxa nominal (prefixada) bruta equivalente de juros a ser aplicada a cada período de

rendimentos.

O imposto de renda na fonte incide sobre o total dos rendimentos. Logo:

niPVTIR qb ... ,=

onde qbi , é a taxa nominal (prefixada) bruta de juros (b) e equivalente (q) ao período de rendimento

e n é o número de períodos de rendimento.

Por outro lado, o IR final é pago somente por ocasião do resgate e calculado sobre o rendimento

total. Assim, para cada período tem-se o valor do IR apurado sobre o ganho do período J, ou seja:

JTIR .=

Exemplos

1. Admita uma aplicação de R$ 25.000,00 num título de renda fixa, pelo prazo de um ano,

com rendimentos trimestrais equivalentes à taxa prefixada de 18% ao ano. Os rendimentos

nominais são tributados à alíquota de 9% e pagos por ocasião da aplicação. Determinar o

valor total da aplicação, o rendimento trimestral e a rentabilidade líquida auferida pelo

poupador.

Solução:

%18=bi a. a.

Taxa bruta equivalente trimestral:

( ) %22,4118,01 41

, =−+=qbi a.t.


54

( )( )( )( ) 80,37940422,0000.2509,0

... ,

==

=

IR

niPVTIR qb

Rendimento trimestral:

( )( ) 00,10550422,0000.25

. ,

==

=

J

iPVJ qb

Graficamente:

Corretamente, a rentabilidade nominal líquida periódica obtida pelo investidor é determinada pela

taxa interna de retorno do fluxo financeiro da aplicação:

( ) ( ) ( ) ( )432 1

00,260555

1

00,1055

1

00,1055

1

00,105580,25379

LLLL iiii ++

++

++

+=

%8,3=li a. t.

2. No exemplo anterior, admita que o imposto de renda seja pago sobre o rendimento nominal

no momento do resgate de cada parcela. Nesta modalidade, a alíquota do IR é de 15%.

Determinar a rentabilidade nominal líquida desta operação.

Solução: Os juros (rendimentos) líquidos de cada período atingem:

Rendimento nominal bruto trimestral:

R$ 25000 x 4,22% = R$ 1055,00

IR sobre rendimento trimestral:

R$ 1055,00 x 15% = R$ 158,25

Rendimento nominal líquido = R$ 1055,00 – R$ 158,25 = R$ 896,75

Graficamente, pode ser representado o seguinte fluxo de caixa da aplicação:

25000 + 379,80 1055,00 1055,00 1055,00 1055,00

1 2 3 4

896,75 896,75 896,7525000,00

896,75

1 2 3 4

25000


55

Mediante a taxa interna de retorno (IRR) desse fluxo financeiro chega-se à taxa de rentabilidade

líquida nominal trimestral, ou seja:

( ) ( ) ( ) ( )432 1

75,896

1

75,896

1

75,896

1

75,89600,25000

LLLL iiii ++

++

++

+=

O que dá:

%59,3)( =LiIRR a. t.

12.1.5 CDB / RDB COM TAXAS PÓS-FIXADAS

As denominadas taxas pós-fixadas são aquelas cuja correção monetária acompanha a evolução

de um índice de preços definido para a operação. Em conseqüência, a taxa nominal de juros

somente é conhecida a posteriori, e não antecipadamente, conforme é característica das taxas

prefixadas.

A remuneração pós-fixada é composta de um indexador, que expressa a correção monetária ou

inflação apurada segundo uma estimativa para o prazo da aplicação, mais uma taxa real de juros,

a qual incide o valor aplicado corrigido.

O imposto de renda será considerado sobre os rendimentos reais e pagos por ocasião do resgate.

A apuração dos resultados de uma operação pós-fixada é bastante simples, principalmente em

razão de identificar, dissociadamente, a taxa de correção monetária e a taxa real de juros.

Por exemplo, admita uma aplicação com rendimento de 18% ao ano mais correção monetária. O

percentual de 18%, por incidir sobre o valor corrigido do investimento, representa o ganho real da

operação, ou seja, a taxa real de juros, isenta dos efeitos inflacionários. Logo:

%18=Lr a.a.

Como a alíquota do IR incide sobre o rendimento real, o retorno líquido é obtido:

( )IRrr bL −= 1


56

Admitindo uma alíquota de IR de 30% aplicada ao ganho real, tem-se

( ) %6,1230,01%18 =−×=Lr

Exemplo:

1. Suponha uma aplicação de R$ 16000,00 pelo prazo de 70 dias à taxa real de juros de 16%

a. a. mais correção monetária a ser definida com base no indexador oficial da inflação. A

variação nos índices oficiais de preços no período atingiu a 3,63%. A alíquota de imposto

de renda é de 31,5% (30% de IR federal e 5% sobre 30% de imposto estadual) e incidente

sobre os juros reais. Determinar os rendimentos nominais e reais da operação.

Solução:

Rendimento real:

%16=br a. a., equivalendo a:

( ) %93,2116,1 36070 =−=br para 70 dias

( ) %01,2315,01%93,2 =−=Lr para 70 dias

Rendimento nominal:

( )( ) %67,610363,010293,01 =−++=bi para 70 dias

( )( ) %71,510363,010201,01 =−++=Li para 70 dias

12.1.6 CONFRONTO ENTRE A TAXA PREFIXADA E A TAXA PÓS-FIXADA

Conforme foi discutido, a taxa prefixada de juros é definida em termos nominais, incorporando uma

expectativa futura de inflação. A operação somente realiza os rendimentos reais prometidos se a

inflação futura não exceder a correção embutida na taxa. Se a inflação do período de aplicação

ultrapassa o período considerado na taxa nominal, os juros reais são consumidos, podendo

inclusive produzir uma rentabilidade negativa. Evidentemente, se a inflação fica abaixo do previsto

a remuneração real cresce acima do prefixado.

A taxa pós-fixada, por seu lado, acompanha a evolução do índice de preços selecionado para

corrigir monetariamente o capital aplicado, definido os juros integralmente em termos de taxa real.


57

Esta modalidade, desde que o índice de correção selecionado seja representativo da efetiva

inflação da economia, não oferece risco de gerar uma remuneração negativa em termos reais.

Assim, a decisão entre uma taxa pré e outra pós-fixada é dependente do comportamento da

inflação. Por exemplo, a escolha entre aplicar um capital com rendimentos nominais (prefixados)

de 34% ao ano, ou a juros reais de 14% ao ano mais correção monetária pós-fixada, é definida

pela expectativa de inflação futura.

Comparativamente aos rendimentos pós-fixados, a taxa prefixada incorpora em seu percentual

uma estimativa de inflação de 17,5%, isto é:

( )

%5,17114,1

34,11

14,01

34,01

11

1

=−=−++=

−++=

I

r

iInflaçãoI

Assim, se no período de aplicação:

%5,17<I : interessa aplicar em taxa prefixada, pois a correção embutida na taxa é maior que a

inflação verificada;

%5,17=I : é indiferente. Ambas as modalidades oferecem a mesma remuneração;

%5,17>I : a melhor alternativa é a operação pós-fixada, pois os rendimentos acompanham a

evolução da inflação no período.

12.1.7 DESMEMBRAMENTO DA TAXA PREFIXADA

Foi demonstrado que uma taxa prefixada de juro incorpora duas grandes partes: a taxa real e a

taxa esperada de inflação.

A taxa real, por seu lado, embute em sua formação um juro mínimo praticado na economia,

denominado de taxa pura (livre de risco), e uma remuneração pelo risco envolvido na operação.

Desta maneira, tem-se a seguinte composição de uma taxa prefixada:

Taxa Livre de Risco

Remuneração pelo RiscoTaxaNominalBruta

TaxaNominalLíquida

Taxa Real

Taxa de Inflação


58

Ao se admitir que a taxa pura da economia brasileira seja a remuneração real de 0,5% ao mês

paga pela caderneta de poupança, é possível desmembrar uma taxa prefixada em todas as suas

partes, identificando os vários rendimentos oferecidos.

Assim, ilustrativamente, admita que um investidor esteja avaliando uma aplicação em um título de

renda fixa que remunera à taxa prefixada de 34,5% ao ano. O prazo da aplicação é de um mês.

A taxa de inflação projetada pelo mercado para os próximos 30 dias é de 1,0% e a alíquota vigente

de imposto de renda é de 15% incidente sobre o rendimento total de aplicação.

Com base nessas informações, pode-se decompor a taxa prefixada da forma seguinte:

Observe que a aplicação está oferecendo uma remuneração efetiva pelo risco de 0,61% ao mês.

Em outras palavras, a taxa real de 1,11% a. m. excede uma alternativa sem risco em 0,61% a.m.,

denotando o prêmio pelo risco pago.

12.1.8 DIFERENTES VARIAÇÕES DOS ÍNDICES DE PREÇOS

Muitas vezes o índice de correção monetária de uma dívida, ou mesmo de uma aplicação

financeira, pode destoar bastante dos índices de preços médios utilizados pelo mercado,

provocando reflexos sobre o resultado real da operação.

Isso é mais comum, principalmente, em financiamentos atrelados a uma moeda estrangeira, cujos

percentuais de variação cambial vêm sempre acompanhar os índices de preços da economia.

Taxa Livre de Risco0,5% a. m.

Taxa Nominal Bruta

%5,34=bi a. a.

%5,2=bi a. m.

IR = 2,5% x 0,15IR = 0,375%(-)

Taxa Nominal Líquida%0375%5,2 −=Li

%125,2=bi a. m.=

Taxa Real

101,1

02125,1 −=r

%11,1=r a. m.

Taxa de InflaçãoEmbutida

%0,1=I a. m.

Remuneração Risco

1005,1

0111,1 −=Risco

%61,0=Risco a. m.


59

Ilustrativamente, admita um financiamento em dólar cobrando uma taxa de juro real de 15% ao ano

mais variação cambial.

Se o percentual de variação cambial no período acompanhar exatamente a inflação da economia,

é correto concluir que a operação apresenta um custo real de 15% ao ano, conforme a taxa de juro

cobrada. No entanto, se a variação cambial for diferente dos índices gerais de preços da

economia, o resultado desta diferença deve ser incorporado no cômputo do juro real da operação.

Por exemplo, se a taxa da inflação atingir 20% e a variação cambial 17% no período da operação,

o custo real do financiamento reduz-se por esta sobreavaliação da moeda nacional, sendo

calculado pela expressão:

Custo nominal:

( )( ) %55,34117,0115,01 =−++=i a. a.

Custo real com base na inflação:

%13,12120,01

3455,01 =−+

+=r a. a.

inferior à taxa de 15% cobrada acima da variação do dólar.

Ao contrário, se a inflação da economia for de somente 12% no período, e mantendo-se em 17% a

variação cambial, o custo real se eleva para:

Custo real com base na inflação:

%13,20112,01

3455,01 =−+

+=r a. a.

pela incorporação de uma maior desvalorização da moeda nacional.

12.1.9. CUSTO DE CAPTAÇÃO COM RECOLHIMENTO COMPULSÓRIO

Admita que uma instituição financeira tenha colocado no mercado um CDB de sua emissão

pagando a taxa efetiva de 15,3% a. a. O prazo de colocação do título é de 63 dias. O Banco

Central, para formação de um depósito compulsório, recolhe 8% do principal captado pela

instituição financeira pelo prazo de emissão do título, liberando o valor retido somente quando de

sua liquidação. Durante todo o período, o Banco Central não para qualquer remuneração sobre o

valor retido (na prática, sabemos que o Banco Central remunera o compulsório pela SELIC).


60

Pede-se determinar:

a) Rentabilidade mensal efetiva e líquida do IR do aplicador do título. Considere uma alíquota

de 20% incidindo sobre a remuneração.

Solução:

Rentabilidade bruta:

%3,15=bi a. a.

( ) %52,21153,1 36063 =−=bi para 63 dias

( ) %19,11153,1 36030 =−=bi a. m.

Rentabilidade líquida:

( )( ) %95,020,0119,1 =−=Li a. m.

b) Valor líquido de resgate do aplicador, admitindo que tenha investido R$ 200000,00.

Solução:

Valor bruto:

(R$ 200000,00)(1,0252) = R$ 205040,00

Principal aplicado:

R$ 220000,00

Remuneração bruta = valor bruto – principal aplicado:

R$ 205040,00 – R$ 200000,00 = R$ 5040,00

Imposto de renda sobre rendimentos (20%):

(R$ 5040,00)(0,2) = R$ 1008,00

Remuneração líquida = remuneração bruta – imposto de renda

R$ 5040,00 – R$ 1008,00 = R$ 4032,00

Valor do resgate:

R$ 200000,00 + R$ 4032,00 = R$ 204032,00

c) Custo efetivo do CDB para a instituição financeira emitente

Solução:


61

O custo efetivo se dá subtraindo o percentual do compulsório tanto da aplicação quanto do

resgate, uma vez que este valor não poderá reaplicado pelo banco para operações que o

remunerem com taxas superiores:

( )( ) %74,21

00,200000%800,200000

00,200000%800,205040 =−×−×−=i para 63 dias

( ) %29,110274,1 6330 =−=i a. m.

A taxa efetiva de 2,74% para 63 dias é o custo mínimo pelo qual a instituição financeira pode

emprestar os recursos captados, considerando o compulsório de 8% (logo, pode emprestar

somente 92%), para que iguale suas receitas com despesas. Sobre esse custo é incluído um

spread, representando a margem de ganho exigida na operação.

Isso significaria, grosso modo, que o compulsório aumenta a taxa de juros para o tomador, ou seja,

o cliente pessoa física e jurídica das instituições bancárias. Essa também é uma das justificativas

dos bancos para o elevado spread bancário no sistema financeiro nacional. Todavia, estudos

recentes revelam que, na prática, o compulsório não afeta preponderantemente a diferença de

juros tomados e emprestas pelos bancos. Uma das razões para isso talvez seja que o compulsório

brasileiro é remunerado pela Selic, e esta continua muito alta (em torno de 10% a. a.).

12.2 DEBÊNTURES

As debêntures são títulos de longo prazo emitidos por companhias de capital aberto, visando

financiar investimentos de maior maturidade em ativos fixos e capital de giro.

Os rendimentos das debêntures são especificados em cada série lançada, assim como as demais

condições: garantias, prazo de vencimento, prêmios etc.

Uma debênture é denominada simples quando resgatada exclusivamente em dinheiro, no

vencimento. Quando o investidor puder optar por receber seu resgate em dinheiro ou em ações da

empresa, os títulos são classificados como conversíveis em ações.

Além dos juros, normalmente pagos duas vezes por ano, as debêntures podem remunerar os

investidores com prêmios expressos em juros adicionais, visando tornar o papel competitivo com

as taxas vigentes no mercado.


62

As debêntures podem ainda conter certas cláusulas especiais, como resgate antecipado dos

títulos, atualização monetária com base em índice geral de preços etc.

Em termos de garantia, as debêntures são geralmente subordinadas, indicando que o credor tem

preferência no recebimento sobre os acionistas da empresa.

Exemplo:

1. Admita que uma empresa tenha colocado 5.000 debêntures no mercado no valor de R$

1.000,00 cada uma. O prazo de colocação desses títulos é de dois anos. A remuneração

prometida aos investidores é de juros nominais de 30% ao ano com pagamento semestral.

O principal é pago por ocasião do resgate. Sabe-se ainda que a colocação das debêntures

somente foi possível mediante um deságio de 8% sobre o valor de emissão. Pede-se

calcular o fluxo de caixa da operação e a taxa efetiva anual de juros.

Solução:

Valor bruto da captação:

(5000)(R$ 1000,00) = R$ 5.000.000,00

Deságio:

(0,08)(R$ 5.000.000,00) = R$ 400.000,00

Valor líquido: valor bruto da captação – deságio

R$ 5.000.000,00 – R$ 400.000,00 = R$ 4.600.000,00

Valor do resgate:

R$ 5.000.000,00

Encargos semestrais:

(0,15)(R$ 5.000.000,00) = R$ 750.000,00

Fluxo de caixa da empresa emitente (tomadora dos recursos):

Taxa efetiva de juros:

1 2 3 4

R$ 4.600,00 R$ 750,00 R$ 750,00 R$ 750,00 R$ 750,00

semestres


63

( ) ( ) ( ) ( )432 1

5750

1

750

1

750

1

7504600

iiii ++

++

++

+=

%97,17=i a. s.

12.3 OBRIGAÇÕES (BÔNUS)

As obrigações (bônus) são também títulos de renda fixa de longo prazo, emitidos por órgãos

governamentais ou empresas privadas, visando financiar seus investimentos.

Os títulos conhecidos por zero coupon bond (título de cupom zero) não emitem cupons de juros,

sendo lançados no mercado com desconto. Outros títulos costumam prever juros pagos aos

investidores a cada semestre, ocorrendo a amortização do principal no momento do resgate.

Outras formas de pagamentos de juro e principal podem também ocorrer, porém com menos

freqüência.

Os juros dos títulos que prevêem pagamentos periódicos são representados por cupons, cujos

percentuais vigoram até o vencimento. Os rendimentos são padronizados pelo mercado em taxas

nominais, geralmente expressos em taxa anual com capitalização semestral. Assim, para se obter

a taxa de juro semestral do título, basta dividir a taxa anual por dois.

O título é adquirido no mercado pelo seu valor de face, geralmente fixado em R$ 1.000,00. Este

valor pode, no entanto, sofrer alterações determinadas pelas condições de mercado e saúde

financeira da empresa emitente do título. Nestas condições, o título é negociado no mercado com

ágio ou deságio em relação a seu valor previsto no vencimento (valor de face)

12.3.1 ZERO COUPON BOND

O zero coupon bond, ou título de cupom zero, é um título normalmente emitido se cupom, sendo

negociado no mercado com desconto. Seu preço de negociação equivale ao valor presente de seu

valor de face, descontado a uma taxa de juro que reflete a expectativa de remuneração de

investidores.

Graficamente, tem-se a seguinte representação de um título de cupom zero:

0PnC


64

onde:

nC = valor de resgate do título no vencimento;

0P = valor de negociação do título, sendo obtido por

K

CP n

+=

10

K equivale a taxa de retorno exigida na aplicação.

Por exemplo, admita um título com vencimento para um ano e valor de face de R$ 1000,00. A taxa

de desconto do título é fixada em 9% a. a. O preço de negociação do título no mercado atinge a R$

917,43, ou seja:

Exemplo:

1. Admita que um governo tenha emitido um título de cupom zero pagando taxa de 11% a. a.

O valor de face do título é fixado em R$ 1.000,00, a ser resgatado no momento do

vencimento. O prazo to título é de 3 anos. Pede-se determinar o fluxo de caixa do título.

Solução:

Para o investidor, o fluxo de caixa apresenta-se da forma seguinte:

0 n

43,91709,1

10000 ==P 1000

( ) 19,73111,1

100030 ==P 1000


65

A rentabilidade efetiva da operação atinge, evidentemente, a taxa de 11% a. a.

12.3.2 RELAÇÃO ENTRE PRAZO DE EMISSÃO E TAXA DE DESCONTO COM O VALOR DO

TÍTULO

O valor de um título de cupom zero aproxima-se de seu valor de face à medida que se aproxima

seu vencimento. Para ilustrar, admita um título com maturidade de 10 anos e taxa de emissão de

8%. O valor do título no vencimento é de R$ 1000,00.

O valor do título modifica-se (aproxima-se de seu valor de face) quanto mais próxima a data de

vencimento. Os cálculos a seguir demonstram este comportamento do valor do título em relação ao

prazo de vencimento.

- 1 ano: ( ) 2,50008,11000 90 ==P ;

- 3 anos: ( ) 5,58308,11000 70 ==P ;

- 5 anos: ( ) 5,78308,11000 50 ==P ;

- 9 anos: ( ) 9,92508,110000 ==P ;

Apesar da tendência demonstrada, os valores apurados podem ser diferentes em função das

alterações das taxas de juros de mercado.

A taxa de juro, usada para descontar o fluxo de caixa, e o valor do título apresentam uma relação

proporcionalmente inversa. Quando os juros sobem, o valor do título cai; ao contrário, ocorrendo

uma redução na taxa de desconto, verifica-se uma valorização no preço do título.

A tabela a seguir ilustra o valor de um título com maturidade de 10 anos e valor de face de R$

1000,00, admitindo diferentes taxas de desconto.

Taxa de JuroAnos

transcorridos 6% a. a. 8% a. a. 10% a. a.

0 ano 558,4 463,2 385,5

3 anos 665,1 583,5 513,2

9 anos 943,4 925,9 909,1

10 anos 1000,00 1000,00 1000,00


66

O valor do título diminui à medida que se eleva a taxa de desconto. Quanto maior o prazo de

emissão do título, seu preço converge ao valor de face.

12.3.3 BÔNUS COM CUPONS

Títulos com cupons oferecem geralmente juros periódicos (semestrais) e devolução do principal

aplicado ao final do prazo de emissão. Esses títulos são geralmente de longo prazo, variando a

maturidade de 5 a 30 anos.

Os juros dos cupons são pagos de acordo com a taxa prometida pelo título, garantindo um

determinado fluxo de rendimentos ao aplicador.

Se o investidor aceitar os juros oferecidos pelo cupom, o título é negociado por seu valor de face,

ou seja, ao par. Ocorrendo alterações nas taxas de juros, o valor do título também sofre alterações,

sendo cotado com ágio ou deságio em relação a seu valor de face.

12.3.4 PREÇO DE MERCADO

O preço de negociação no mercado é obtido pelo valor presente dos fluxos esperados de

rendimentos descontados a uma taxa de atratividade requerida pelos investidores, ou seja:

( ) ( ) ( ) ( )

++++

++

++

+=

nnn

K

PC

K

C

K

C

K

CP

1...

111 33

221

0

Exemplo:

1. Admita uma obrigação com valor de face de R$ 1000,00 com maturidade de seis anos. A

remuneração prometida são juros semestrais de 4%. Se os investidores aceitarem

descontar esse título somente à taxa de 10% ao ano, calcular seu preço de mercado.

Calcular também o preço de mercado do título se a taxa de desconto se elevar para 13%

ao ano.

Solução:

Taxa de desconto: 10% ao ano

( ) ( ) ( ) ( )

++++= 12320

05,1

1040...

05,1

40

05,1

40

05,1

40P


67

4,9110 =P

Taxa de desconto: 13% ao ano

( ) ( ) ( ) ( )

++++= 12320

065,1

1040...

065,1

40

065,1

40

065,1

40P

03,7960 =P

13. RENDA VARIÁVEL

Os valores mobiliários, representados por ações e debêntures, são emitidos pelas sociedades

anônimas de acordo com aprovação prévia da CVM (Comissão de Valores Mobiliários). Cabe à

CVM o disciplinamento da emissão e fiscalização do mercado de negociações de ações, opções e

debêntures.

A ação representa uma fração do capital social de uma sociedade anônima, sendo

caracteristicamente definida como ativo de risco. A debênture, por seu lado, representa um título

de crédito cujos rendimentos são calculados de maneira semelhante aos títulos de renda fixa,

como já estudado. O mercado de opções de ações será estudado com um pouco mais detalhe em

breve.

13.1 Avaliação de Ações

Identicamente às demais operações financeiras, na avaliação de ações é necessário construir-se

os fluxos de caixa, isto é, os fluxos dos benefícios econômicos de caixa esperados.

Fundamentalmente, os benefícios de caixa das ações são representados pelos dividendos, parcela

do lucro líquido que as empresas distribuem aos seus proprietários periodicamente, e valorização

de sua cotação, ou seja, ganhos de capital promovidos pelo aumento dos preços das ações.

O preço que uma ação está sendo normalmente negociada no mercado é denominado valor de

mercado ou cotação. O valor presente do fluxo de benefícios esperados de caixa, descontados a

uma dada taxa de juros (taxa de atratividade da aplicação), é definido por valor teórico de mercado

ou valor intrínseco de uma ação. Estes dois valores são iguais caracteristicamente em condições

de mercado eficiente.


68

As ações são consideradas aplicações de renda variável, pois seus benefícios de caixa

(dividendos e valorização) não são geralmente estabelecidos no momento de aquisição, variando

em cada período como resultado de diversos fatores.

13.1.1 Aplicações em Ações com Prazo Determinado

Para o caso mais simples de uma aplicação financeira em ação por determinado período no qual

não está previsto distribuição de dividendos, o fluxo de caixa pode ser estabelecido a partir da

seguinte representação gráfica:

Sendo:

0P : preço de mercado (aquisição) da ação 0t . Pode também representar o valor presente do fluxo

de benefícios esperados de caixa;

nP : preço de mercado esperado no momento da venda da ação.

A expressão de cálculo assume a forma seguinte:

K

PP n

+=

10

onde K representa a taxa de desconto da operação, ou seja, a taxa de retorno periódica exigida

pelo investidor.

Exemplo

Admita uma ação cujo valor de mercado atinja, em determinado momento R$ 15,00. Sendo de 5%

ao mês a taxa de retorno exigida por um investidor, pede-se:

a) demonstrar a atratividade da compra dessa ação pelo investidor prevendo-se que o seu preço

de mercado suba para R$ 16,00 ao final de um mês;

0PnP


69

b) se o investidor estimar que o preço de mercado dessa ação irá alcançar o valor de R$ 15,50 ao

fim de um mês, qual o preço máximo que ele poderia pagar hoje de maneira que apure um

retorno mínimo de 5% ao mês?

Solução

a)

K

K

PP n

+=

+=

1

00,1600,15

10

K = 6,67%

O rendimento produzido nesta situação esperada atinge 6,67% no período, marca superior à taxa

de retorno exigida pelo investidor de 5%. Logo, alternativa de aplicação, considerando os

benefícios esperados de caixa, é economicamente atraente.

b)

açãoP

K

PP n

/76,1405,01

00,161

0

0

=+

=

+=

O preço máximo que investidor poderia pagar pela ação, de forma a obter a rentabilidade mínima

desejada de 5% ao mês, é de R$ 14,76. Logo, diante das expectativas de valorização da ação, o

preço atual de mercado de R$ 15,00 é alto para o investidor, não sendo atraente a sua compra.

13.2 Opções

De uma forma geral, opção é o direito de uma parte comprar ou vender para outra parte, até

determinada data, uma quantidade de um determinado ativo por um preço previamente conhecido.

Deve-se notar que no mercado de opções não negociamos o produto em si (chamado título objeto)

mas apenas os direitos sobre ele. Isso significa que o titular da opção tem o direito de realizar uma

ação. Porém, este direito não precisa ser exercido. A opção só fornece este direito.


70

O titular da opção só vai exercer o seu direito de compra se lhe for conveniente. Por outro lado, o

vendedor da opção terá que aceitar a decisão do comprador se este optar pelo exercício da opção.

Para facilitar o entendimento vamos enumerar os conceitos básicos utilizados no mercado de

opções.

Titular: o titular é o proprietário ou comprador da opção, ou seja, aquele que detém o direito de

comprar ou vender. O titular paga um preço ou prêmio por este direito.

Ativo-objetivo: é o ativo que o titular pode comprar (se tiver uma opção de compra) ou vender (se

tiver uma opção de venda). Este ativo é, portanto, o produto que referencia a opção, por exemplo,

ações, ouro, dólar etc.

Opção de compra (call): uma opção de compra é aquela que permite ao seu titular o direito de

comprar um ativo em determinada data por determinado preço. No mercado, a opção de comprar

também é chamada de call.

Opção de venda (put): uma opção de venda é aquela que permite ao seu titular o direito de vender

um ativo em certa data por determinado preço. No mercado, a opção de venda também é chamada

de put.

Lançador: o lançador é o vendedor da opção, ou seja, é aquele que cede o direito ao titular.

Portanto, deve comprar ou vender o ativo do titular se este desejar.

Prêmio: é o preço de negociação da opção, ou preço de mercado, ou cotação da opção em bolsa

de valores ou de mercadorias. Em outras palavras, é o preço que o titular para pela opção. O

prêmio sempre será pago pelo titular ao lançador da opção. Este valor é pago no ato da

negociação de comprar e venda da opção e não é devolvido mesmo que a opção não seja

exercida.

Preço de exercício: é o valor futuro pelo qual o bem será negociado ou preço pelo qual o titular

pode exercer o seu direito (comprar se tiver uma opção de compra, vender se tiver uma opção de

venda). No mercado, o preço de exercício também é conhecido com strike price.

Data de vencimento: é o dia em que a posição será exercida ou em que cessam os direitos do

titular de exercer sua opção.


71

Opção americana: são opções que podem ser exercidas a qualquer hora, até a data de

vencimento.

Opção européia: são opções que podem ser exercidas apenas na data de vencimento.

Séries de uma opção: as bolsas quando lançam opções sobre um determinado ativo o fazem por

séries, onde fixam o preço de exercício para uma mesma data, sendo cada série identificada por

um código.

Em resumo, para serem negociadas em mercados organizados as opções devem ser

padronizados no que se refere ao ativo-objeto, data de exercício etc. No entanto, o mercado é livre

para negociar o valor do prêmio pelo qual as opções vão ser negociadas.

13.2.1 Classificação das Opções

Para facilitar a negociação das opções, tendo em vista que existem várias em negociação, as

bolsas criaram um sistema que agrupa as opções por tipo, classe e série. Estes elementos

especificam um contrato de opção e identificam o ativo objeto, o prazo de vencimento e o preço de

exercício das opções.

O tipo de uma opção é definido por ser ela uma call ou put. A série da opção é dada por seu preço

de exercício e a classe pelo prazo de vencimento.

As opções negociadas em bolsa são escriturais, as posições (lançadoras e titulares) são

registradas individualmente para cada cliente, e emitidos relatórios diários das posições individuais

de cada participante.

Outra classificação muito utilizada pelo mercado é feita de acordo com a possibilidade de exercício

das opções. Esta classificação compara o preço de exercício da opção como preço do ativo-objeto,

conforme o quadro abaixo:

Classificação Opção de Compra Opção de VendaDentro do Dinheiro Preço de exercício menor que o

preço do objetoPreço de exercício maior que opreço do objeto

No dinheiro Preço de exercício igual aopreços do objeto

Preço de exercício igual aopreço do objeto

Fora do dinheiro Preço de exercício maior que opreço do objeto

Preço de exercício menor que opreço do objeto


72

A diferença entre o preço atual e o preço de exercício é chamada de valor intrínseco da opção e é

uma medida intuitiva do seu valor.

Exemplo

Dada uma call (opção de compra) preencha as colunas de valor intrínseco e de classificação da

tabela abaixo:

Preço Atual Preço de Exercício Valor Intrínseco ClassificaçãoR$ 80,00 R$ 100,00R$ 90,00 R$ 100,00R$ 100,00 R$ 100,00R$ 110,00 R$ 100,00R$ 120,00 R$ 100,00

Solução

A tabela deve ser preenchida como se segue:

Preço Atual Preço de Exercício Valor Intrínseco ClassificaçãoR$ 80,00 R$ 100,00 R$ 0,00 Fora do dinheiroR$ 90,00 R$ 100,00 R$ 0,00 Fora do dinheiroR$ 100,00 R$ 100,00 R$ 0,00 No dinheiroR$ 110,00 R$ 100,00 R$ 10,00 Dentro do dinheiroR$ 120,00 R$ 100,00 R$ 20,00 Dentro do dinheiro

Como pode ser visto, o valor intrínseco de uma call com preço de exercício de R$ 100,00 com

preço atual é zero. Isso significa que o titular vai preferir deixar vencer o título-objeto a exercê-lo,

uma vez que poderia comprar a ação no mercado a um preço menor que aquele que tem

garantido.


73

LISTA DE EXERCÍCIOS

1. Descreva sucintamente o comportamento das taxas de juros praticadas pelos bancos em

dois cenários diferentes:

a) Num ambiente de recessão, em que o Banco Central tenciona estimular a demanda;

b) Num ambiente de inflação em alta, em que o Banco Central tenciona conter as

pressões inflacionárias.

2. Há indícios, encontrados por meio de análises econométricas, de que uma redução de 1%

na taxa SELIC representa variação negativa de cerca de 0,4% nas taxas de juros

praticadas pelas instituições financeiras. Dado que, para os dias atuais, a SELIC se

encontra a 9,25% a. a. e que os juros do cartão de crédito giram em torno de 10% a. m.,

qual o limite inferior da taxa praticada no cartão de crédito no sistema financeiro brasileiro?

3. Suponha que uma financeira possui um produto vinculado ao crédito consignado (em que

há desconto diretamente em folha salarial), que oferece uma taxa nominal bruta de 2% a.

m. mais uma tarifa de abertura de crédito no valor de 0,5% do total do empréstimo.

Desenhe um diagrama de fluxo de caixa e calcule o custo efetivo para o tomador no caso

de:

a) Prazo de liquidação de dois meses, pagamento dos juros mensal e pagamento do

montante ao final do período de contrato;

b) Prazo de liquidação de quatro meses, pagamento dos juros e montante ao final do período

de contrato;

c) Prazo de liquidação de dois meses, pagamentos iguais e mensais.

4. Um determinado banco possui um grupo significativo de correntistas com o perfil de

tomador de recursos do cheque especial por um prazo médio de 8 dias mensais. Dado que

o empréstimo mensal previsto para esse tipo de cliente supõe uma taxa de 1,5% a. m. qual

o limite da taxa do cheque especial que o banco pode cobrar para que o cheque especial

continue sendo a solução mais atrativa para o cliente.

5. Considere um correntista que necessita tomar emprestado 30% do seu salário líquido

nominal mensalmente para suprir suas despesas e que o custo efetivo deste empréstimo

seja de 2% a.m., via empréstimo pessoal, ou 9% a. m. via cheque especial.

a) Calcule a melhor alternativa para este cliente nos casos de:

I) Necessidade dos recursos por 4 dias ao mês;

II) Necessidade dos recursos por 15 dias ao mês;

b) Considerando as duas modalidades apresentadas para suprir o déficit financeiro,

calcule em quanto tempo o cliente terá comprometido 10% de seu salário para o

pagamento de juros mensais, no caso de necessidade dos recursos extras por 4 dias.

6. Um determinado correntista de um banco realizou as seguintes operações financeiras num

determinado mês:


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Dia 10 – saque de R$ 500,00;

Dia 12 – depósito de R$ 400,00,

Dia 20 – desconto de cheque no valor de R$ 130,00;

Dia 28 – saque de R$ 50,00.

Supondo que havia um saldo positivo em R$ 100,00 no primeiro dia do mês, utilize o

método hamburguês para determinar os juros que serão debitados sobre o saldo devedor

médio do cliente no último dia do referido período.

7. Defina uma equação que vincule a taxa real bruta com a taxa real líquida, tanto para o

caso do imposto de renda ser cobrado no início da aplicação, quanto no final.

8. Admita uma aplicação de R$ 20.000,00 num título de renda fixa, pelo prazo de dez meses,

com rendimentos mensais equivalentes à taxa nominal bruta prefixada de 13% ao ano. Os

rendimentos nominais são tributados à alíquota de 9% e pagos por ocasião da aplicação.

Determinar o valor total da aplicação, o rendimento mensal e indicar o modelo de cálculo

da rentabilidade líquida auferida pelo poupador.

9. Suponha que se queira comparar um título de renda fixa prefixado com outro título,

também de renda fixado, porém pós-fixado e tendo sua taxa de correção vinculada à

variação cambial. Descreva as melhores alternativas de investimento para os casos em

que:

a) Dólar estável em relação ao real e inflação com tendência de queda;

b) Apreciação do dólar frente ao real e valores estáveis dos produtos da cesta do

indicador de preços ao consumidor;

c) Cenário de forte desvalorização do real frente ao dólar e uma inflação interna em

queda;

10. Admita que uma mercadoria seja vendida a vista e adquirida com um prazo de pagamento

de 4 meses. Essa mercadoria permanece ainda dois meses em estoque antes de ser

revendida. Sabe-se que a empresa vem conseguindo aplicar suas disponibilidades de

caixa à taxa de juros de 2,3% ao mês no mercado financeiro. Nessas condições, a

empresa recebe uma oferta de venda a vista dessa mercadoria por R$ 1693,00 a unidade.

No entanto, sabe-se que seu preço de custo (compra) é de R$ 1760,00. Pode a empresa

aceitar essa oferta? Suponha simplesmente a inexistência de outras despesas sobre

vendas.

11. Certa loja incorre nos seguintes custos para cada R$ 100,00 de compra de uma

mercadoria:

- Frete: 1%, pago a vista;

- ICMS (crédito): 12%, prazo de recuperação de 16 dias;

- IPI: 15%, pagamento a vista, no ato da compra;


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- Condições de pagamento da compra: 2 pagamentos iguais, respectivamente, em 30 e 60

dias.

Calcular o preço total líquido da compra admitindo um taxa de juros de 2,2% a.m. e o valor

nominal da mercado em R$ 170,00.

12. Decomponha a taxa prefixada de 18% ao ano de um investimento mensal, cuja inflação

projetada para o próximo ano seja de 6,9% e uma alíquota de imposto de renda 15%

incidente sobre o rendimento total. Assuma ainda que a taxa livre de risco do mercado seja

de 0,7%.

13. Um título prefixado é emitido pelo prazo de seis meses, pagando juros nominais de 9,5%

ao semestre. Para um investidor que deseja obter um ganho real de 1,0% a. m., qual deve

ser o valor máximo de inflação no semestre?

14. Calcule o custo de captação mensal que uma instituição financeira possui por ter que

recolher compulsoriamente ao Banco Central 40% de suas aplicações em um título que

para 10% ao ano nos dois casos abaixo:

a) Quando o Banco Central não remunera o compulsório;

b) Quando o Banco Central remunera o compulsório à taxa SELIC de 8% ao ano.

15. Qual o deságio de uma debênture de valor de emissão de R$ 100,00 que promete 18% de

rentabilidade anual com pagamento de juros semestralmente e taxa efetiva anual de juros

de 20% ao ano.

16. Admita um título com vencimento para um ano e valor de face de R$ 1000,00. A taxa de

desconto do título é fixada em 4% ao ano. Qual o preço de negociação que o título atinge

no mercado?

apostila matemática financeira uerj atualizada

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