apostila jun
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Resumo de mecânica dos sólidos.TRANSCRIPT
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ENG03003 - Mecnica dos Slidos I - Diretrizes para o semestre
2010/2
Jun S. O. Fonseca
3 de setembro de 2010
Resumo
Este texto visa a melhor coordenao entre os professores de Mecnica dos Slidos I, uma vez que a partir
de agora havero muitas turmas e muitos professores. O objetivo principal apresentar a fundamentao
losca da disciplina, e como esta se reete em sua organizao.
Sumrio
1 Organizao dos assuntos 2
2 Notao 4
3 Diferenas principais em relao aos livros clssicos 6
3.1 nfase em trs ou quatro dimenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 nfase na Elasticidade e Mecnica do Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Conveno de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Deduo por hipteses cinemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Resumo dos tpicos 8
4.1 Deformao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.1.1 Reviso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.1.2 Deformaes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1.3 Hiptese de deformaes innitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.1.4 Mudana do sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1.5 Deformaes Principais: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1.6 Decomposio em parte volumtrica e desviadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Tenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2.1 Reviso de foras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2.2 Equaes de Equilbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2.3 Transformao das Tenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.4 Tenses principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Relaes constitutivas - Comportamento dos materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4 Critrios de falha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4.1 Critrios de Escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4.2 Critrios de ruptura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4.3 Princpio de Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4.4 Princpio da superposio de efeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4.5 Energia de deformao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.5 Problemas isostticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5.1 Funes de singularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.6 Trao e compresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.7 Toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.7.1 Eixos de seo circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.7.2 Eixos de seo no circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.7.3 Aproximao para retngulos estreitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1
-
4.7.4 Toro de sees fechadas de parede na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.8 Flexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.8.1 Clculo de momentos de Inrcia (reviso) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.8.2 Energia de deformao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.8.3 Vigas com foras transversais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.8.4 Dimensionamento de vigas isostticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.8.5 Vigas heterogneas (vrios materiais) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.9 Cisalhamento em Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.10 Deslocamentos em vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.10.1 Teoria de vigas de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1 Organizao dos assuntos
A disciplina dada segundo a seguinte seqncia:
1. Deformao
(a) Denio de deformao
(b) Notao de deformaes - Tensor deformao innitesimal
(c) Transformao de deformaes
(d) Deformaes principais (s vezes apresentado junto com as tenses principais)
(e) Caso particular: elasticidade 2D
(f) Lista 2 de exerccios
2. Tenso
(a) Tipos de carregamento
(b) Denio de tenso
(c) Notao de tenses - Tensor tenso
(d) Equaes de equilbrio
(e) Transformao de tenses
(f) Caso particular: elasticidade 2D
(g) Fatores que afetam a distribuio de tenses
(h) Tenses principais
(i) Noo de coeciente de segurana
(j) Lista 1
3. Relaes constitutivas - Comportamento dos materiais
(a) Denies
(b) Diagramas tenso - deformao
(c) Diagramas de engenharia
(d) Propriedades importantes
(e) Lei de Hooke generalizada
(f) Tipos de materias
(g) Princpio de Saint Venant
(h) Energia de deformao
(i) Trabalho externo
(j) Lista 3
2
-
4. Critrios de falha
(a) Teoria da mxima tenso cisalhante - Critrio de Tresca
(b) Teoria da mxima energia de distoro - Critrio de Henky-Mises
(c) Teoria da mxima tenso normal - Critrio de Coulomb-Rankine
(d) Teoria de Mohr
(e) Outros
(f) Coecientes de segurana
(g) Lista 4
5. Isosttica de Corpos Esbeltos
(a) Procedimento geral para soluo de um problema isosttico
(b) Convenes para vnculos e carregamentos
(c) Diagramas de esforos internos
(d) Equaes de equilbrio para membros esbeltos
(e) Soluo de problemas por funes de singularidade
(f) Lista 5
6. Trao e Compresso de Barras
(a) Equaes governantes - deduo das equaes pela Teoria da Elasticidade
(b) Energia de deformao
(c) Dimensionamento de barras e cabos
(d) Concentrao de tenses
(e) Lista s/n
7. Toro
(a) Equaes governantes para eixo circulares
(b) Energia de deformao
(c) Dimensionamento de eixos submetidos toro
(d) ngulo de toro (eixos circulares)
(e) Toro de eixos no-circulares - Deduo das equaes pela Teoria da Elasticidade
(f) Toro de sees fechadas de parede na
(g) Concentrao de tenses
(h) Lista 6
8. Flexo
(a) Teorias mais comuns
(b) Equaes governantes - Teoria de vigas de Euler-Bernoulli
(c) Energia de deformao
(d) Dimensionamento de membros sob exo
(e) Clculo de momentos de inrcia (reviso)
(f) Vigas de vrios materiais
(g) Concentrao de tenses
3
-
(h) Teoria de vigas de Timoshenko
(i) Lista 7
9. Deslocamentos em Vigas
(a) Equao da linha elstica
(b) Lista 10
10. Cisalhamento de Eixos e Vigas
(a) Equaes governantes
(b) Distribuio de tenses cisalhantes em sees
(c) Energia de deformao
(d) Dimensionamento de membros sob cisalhamento
(e) Centro de toro
(f) Concentrao de tenses
(g) Lista 8
11. Carregamentos Compostos
(a) Princpio da superposio de efeitos
(b) Lista 9
Observaes: Na prtica, gasta-se uma semana com uma breve reviso de esttica (foras, deslocamentos).
2 Notao
A disciplina far uma mudana para uma notao mais prxima indicial no semestre que vem. Por enquanto,
utilizar-se- uma notao intermediria. Embora com excesses, reserva-se letras gregas para escalares, letras
latinas minsculas para vetores e letras latinas maisculas para tensores de ordem superior.
1. vetor posio:
p =
xyz
, p0 =
x0y0z0
2. vetor deslocamento:
d =
u (x, y, z, t)v (x, y, z, t)w (x, y, z, t)
3. matriz ortogonal prpria (de rotao):
Q : QQT = I
R : RRT = I
Esta matriz pode ser decomposta em trs rotaes simples em torno de cada eixo, como, por exemplo:
Q = QxQyQz
=
1 0 00 cosx senx
0 senx cosx
cosy 0 seny0 1 0seny 0 cosy
cosz senz 0senz cosz 0
0 0 1
4
-
4. fora de superfcie (N/m2 = Pa):
t =
txtytz
5. fora de corpo (N/m3):
b =
bxbybz
6. fora resultante(N):
f =
S
t dS +
V
b dV
7. Momento de foras(Nm):
m =
S
p t dS +
V
p b dV
8. deformao innitesimal:
=d (d)
T
2=
ux
12
(uy +
vx
)12
(uz +
wx
)12
(uy +
vx
)vy
12
(vz +
wy
)12
(uz +
wx
)12
(vz +
wy
)wz
ij =1
2
(dipj
+djpi
)
no se usa letras diferentes para as cisalhantes, e se mantm o 1/2.
9. deformao nita (de Green):
E =1
2
((p)
T(p) 1
)=
1
2
((d+ I)
T(d+ I) 1
)
Eij =1
2
(dipj
+djpi
+
3k=1
dkpj
dkpi
)
10. deformaes principais:
= X
( I)X = 0
det ( I) = 0
onde X so autovetores (direes principais) e so autovalores (direes principais)
=
1 0 00 2 0
0 0 3
, 1 2 3
11. normal externa (adimensional):
n =
nxnynz
5
-
12. Tenso de Cauchy:
t = n
onde
=
xx xy xzyx yy yz
zx zy zz
.
No se usa letras diferentes para as cisalhantes. No entanto, usa-se a letra para uma tenso cisalhantegenrica, em algumas ocasies.
13. Equaes de equilbrio:
+ b = 0
ou
xxx
+yxy
+zxz
+ bx = 0
xyx
+yyy
+zyz
+ by = 0
xzx
+yzy
+zzz
+ bz = 0
14. Constantes elsticas: Mdulo de Young (ou mdulo de elasticidade longitudinal) E, coeciente de Poisson, constantes de Lam e , mdulo de elasticidade transversal G ou , e mdulo volumtrico .
15. Funes de singularidade: A maior parte dos livros usam a notao de Macaulay de 1919 x an. Nesta
disciplina, faz-se a conexo com a notao utilizada nas disciplinas de matemtica, isto , a funo de
Heaviside (degrau unitrio) H (x a) e Dirac (impulso unitrio) (x a). As derivadas so representadaspelas notaes convencionais
ddx ou
.
3 Diferenas principais em relao aos livros clssicos
Algumas diferenas fundamentais so implementadas nesta disciplina em relao ao contedo da maioria dos
livros textos existentes. Elas se reetem a gradual migrao da disciplina para se basear na Mecnica do Contnuo
e atender melhor a Engenharia Mecnica, onde geometrias simples facilmente identicveis como vigas ou barras
ocorrem com pouca freqncia. O engenheiro mecnico deve ser preparado para ser capaz de operar programas
computacionais de anlise estrutural, utilizando teorias estruturais e a elasticidade.
3.1 nfase em trs ou quatro dimenses
Na Engenharia Mecnica, a maioria dos problemas tridimensional, completamente dinmico ou ao menos
com vibraes. Desta maneira, imperativo enfatizar a abordagem dinmica e tridimensional da Mecnica dos
Slidos. Casos bidimensionais estticos so excelentes exemplos, mas devem ser apresentados com ressalvas.
Mtodos exclusivamente bidimensionais devem ser apresentados com muitas ressalvas (especialmente o crculo
de Mohr e frmulas prontas de rotao).
Apesar de no constarem no programa atual, exemplos dinmicos simples devem ser apresentados em barras
e vigas. Sempre que possvel, ressaltar que todas a variveis (foras, deslocamentos, deformaes e tenses) so
funes da posio (as trs coordenadas materiais) e do tempo.
3.2 nfase na Elasticidade e Mecnica do Contnuo
As dedues das equaes de barra, viga e toro devem ser apresentadas atravs da aplicao das hipteses
cinemticas e dinmicas nas equaes da Elasticidade.
O conceito de tenso deve ser apresentado no somente atravs de um cubo innitesimal, como tambm a
partir da frmula de Cauchy.
As equaes de equilbrio e movimento devem ser deduzidas tambm atravs do equilbrio integral de um
corpo. A relao entre a mecnica dos slidos com a mecnica dos uidos deve ser lembrada.
6
-
Figura 1: Conveno de sinais
3.3 Conveno de sinais
A Engenharia Mecnica normalmente coloca os eixos com o z para cima. No h uma conveno nica para ossinais de momentos e foras cortantes. Desta maneira, deve-se apresentar uma conveno de sinais mas enfatizar
que outras so possveis.
A conveno de sinais mais coerente vem da denio de tenso. Toma-se um corpo e corta-se com um plano
(gura1). Dada a frmula de Cauchy
t = n ,
onde t a fora interna de superfcie, a tenso de Cauchy e n a normal externa da superfcie, a resultanteda fora interna t na superfcie do corte dada por
f =
S
t dS
que pode ser decomposta em uma componente normal (fora normal) e duas tangenciais (foras cortantes). O
momento da fora na superfcie em relao ao seu centride dado por
m =
S
p tdS
que pode ser decomposto em uma componente normal (momento toror) e duas componentes tangenciais (mo-
mentos etores).
Na situao mais comum (gura2), a tenso dada por
xx = Eyd2v
dx2
que coincide com o esforo interno
tx = xx = Eyd2v
dx2.
Integrando na seo, isto resulta em
fx =
S
tx dydz = 0
7
-
Figura 2: viga comum
pelo fato do eixo ser centroidal. O momento resultante pode ser calculado como
m =
S
0yz
tx00
dydz
mxmymz
=
S
0z txy tx
dydz
mxmymz
=
S
00
y2E d2vdx2
dydz
mz = EIzzd2v
dx2
ou ainda
xx = ymzIzz
,
mz = P (L x0)
onde o sinal que aparece na deduo consistente no o usualmente encontrado em livros.
Deixando-se esta explicao pernstica de lado, na prtica isto signica que uma conveno consistente de
sinais toma a resultante de foras e momentos aplicados pelo lado direito da pea sobre a seo. No entanto, esta
no a conveno mais usada pelos livros. Normalmente se utiliza a conveno contrria, isto , a resultante
pelo lado esquerdo.
Resultado: no h como no confundir os alunos, pois livros diferentes trazem convenes diferentes! S
importante explicar a diversidade de convenes.
3.4 Deduo por hipteses cinemticas
A maior parte das dedues deve ser feita a partir de hipteses cinemticas. A maior parte dos livros preferem
as hipteses sobre as foras. Isto ser melhor explicitado no decorrer deste texto.
ste text.
4 Resumo dos tpicos
Apresenta-se agora um resumo dos tpicos para ns de harmonizar a notao e as convenes de sinais entre os
professores. Destacam-se os temas no encontrados normalmente nos livros texto.
8
-
4.1 Deformao
4.1.1 Reviso:
A apresentao deste tpico precedida de uma reviso de cinemtica.
Posio: o vetor posio localiza um ponto material em relao a uma referncia. Em uma descrio de um
movimento, este vetor uma funo do tempo.
p =
x (t)y (t)z (t)
, p0 =
x0y0z0
Normalmente se simplica a notao de p (t = 0) por p0.Deslocamento: a variao da posio. uma funo da posio e do tempo.
d (x, y, z, t) = p p0
u (x, y, z, t)v (x, y, z, t)w (x, y, z, t)
=
x x0y y0z z0
Destacar que a representao do deslocamento (e qualquer outra varivel da mecnica) como uma funo
contnua do espao e do tempo implica na Mecnica do Contnuo. O corpo considerado um meio contnuo no
espao e tempo, onde h material em qualquer coordenada. As propriedades materiais variam continuamente.
Apesar desta hiptese ser obviamente furada, a possibilidade de tomar limites (e utilizar o poder do Clculo) a
justicam.
Apresenta-se aqui vrios exemplos de deslocamentos (incluir desenhos de cubinhos unitrios se movendo):
translao unidimensional: d =
u (t)00
translao geral: d =
u (t)v (t)w (t)
dilatao uniforme: d =
(t) x (t) y (t) z
extenso (ou contrao) pura em x: d =
(t)x00
distoro pura no plano xy: d =
(t) y00
Introduz-se neste ponto a simplicao da Esttica. A dependncia do tempo ignorada e o sistema descrito
apenas pela posio inicial e nal. Explicar as implicaes: desrespeita o princpio da conservao de energia,
e torna difcil qualquer anlise dinmica. Simplica bastante as equaes. Serve para fenmenos que ocorrem
muito lentamente ou para sistemas aps o amortecimento ter dissipado toda energia cintica. Pode servir para
sistemas dinmicos atravs do uso de coecientes de segurana.
Apresentam-se outros exemplos de deslocamento, j dentro da esttica:
extenso simples em x: d =
xyz
9
-
distoro pura no plano xy: d =
0x0
rotao pura em torno de z: d =
x cosz y senz x0x senz + y cosz y0
0
= Qp0 p0
4.1.2 Deformaes:
Deformao apresentada como uma medida matemtica da mudana de forma de um elemento de volume.
Esta mudana de forma pode ser representada como uma mudana de comprimento de um elemento qualquer
de linha (gura 3). Do Clculo, um elemento de linha dado por ds e na congurao inicial por ds0. Mas aposio nal p uma funo da posio inicial p0, e a transformao da posio nal para a inicial pode ser
interpretada matematicamente como um mapeamento, expresso atravs de seus gradientes (a matriz jacobiana).
No caso, o gradiente de um vetor um tensor, o gradiente de deformaes, representado por F.
Fij =pip0j
F =
xx0
xy0
xz0
yx0
yy0
yz0
zx0
zy0
zz0
e o elemento de linha na posio nal dado por
ds =
dxdydz
= Fds0 .
Pode-se relacionar com os diferenciais totais do clculo. Exemplo: para a extenso pura, o deslocamento dado
por d = {x, 0, 0} e o gradiente dado por
F =
1 + 0 00 1 0
0 0 1
e podemos calcular o que ocorre com vrio elementos de linha:
um elemento de linha alinhado com x: ds0 = {dx0, 0, 0} se transforma em ds = {(1 + ) dx0, 0, 0}
um elemento de linha alinhado com y : ds0 = {0, dy0, 0} no se altera ds = {0, dy0, 0}
um elemento de linha a 45: ds0 = {dx0, dx0, 0} se transforma em ds = {(1 + ) dx0, dy0, 0}
O quadrado do comprimento (euclidiano) dado por
ds22 = (ds)
T(ds) = dx2 + dy2 + dz2
= (ds0)FTF (ds0)
e a metade da diferena entre os comprimentos nal e inicial dado por
1
2
(ds22 ds0
22
)= (ds0)
1
2
(FTF I
)(ds0)
onde dene-se o tensor de deformaes de Green(-Lagrange) como uma relao entre as diferenas dos compri-
mentos de linha por
E =1
2
(FTF I
).
10
-
Figura 3: deformao
Em termos de componentes, o tensor de deformaes de Green se escreve como:
Eij =1
2
(3
k=1
pkp0i
pkp0j
ij
)
onde o delta de Kronecker denido como a identidade por
ij =
{0 se i 6= j
1 se i = j.
A notao vetorial (vector free notation) pode ser mais interessante por ser independente do sistema de coorde-
nadas. Utilizando-se o operador "nabla" , o gradiente de deformaes expresso como
=
/x0/y0/z0
F =(pT
)T=
/x0/y0/z0
{ x y z }
T
.
Normalmente se prefere escrever a deformao em termos de deslocamentos, ao invs de posio nal. Subs-
tuindo p = d+ p0 na relao anterior, chega-se a
F =(pT
)T=
( (d+ p0)
T)T
=(dT
)T I .
usando a propriedade de que p0 = I. O tensor de Green em termos de deslocamentos dado por
E =1
2
((dT
)T+dT +
(dT
)T (dT
))
Eij =1
2
(dip0j
+djp0i
+
3k=1
dkp0i
dkp0i
)
11
-
ou componente por componente
E11 =1
2
(2u
x+
(u
x
)2+
(v
x
)2+
(w
x
)2)
E22 =1
2
(2v
y+
(u
y
)2+
(v
y
)2+
(w
y
)2)
E33 =1
2
(2w
z+
(u
z
)2+
(v
z
)2+
(w
z
)2)
E12 =1
2
(u
y+v
x+u
x
u
y+v
x
v
y+w
x
w
y
)
E13 =1
2
(u
z+w
x+u
x
u
z+
v
x
v
z+w
x
w
z
)
E23 =1
2
(w
y+v
z+u
z
u
y+v
z
v
y+w
z
w
y
)
Um problema que aparece neste tpico que os conceitos de clculo vetorial esto sendo vistos simultanea-
mente com a disciplina de Matemtica Aplicada. Normalmente o professor tem que apresentar os operadores de
gradiente e divergente.
4.1.3 Hiptese de deformaes innitesimais
Neste caso, considera-se que as derivadas dos deslocamentos sejam bastante pequenas, ou pelo menos sucien-
temente pequenas para desconsiderar os produtos de derivadas. Adicionalmente, derivadas em relao posio
inicial se confundem com as derivadas em relao posio nal. Desta forma o tensor de deformaes de Green
se simplica para o tensor de deformaes innitesimais :
=1
2
(d+ (d)
T)=
1
2
(F+ FT
) I
ij =1
2
(dipj
+djpi
)
ou em componentes
11 =u
x
22 =v
y
33 =w
z
12 =1
2
(u
y+v
x
)
13 =1
2
(u
z+w
x
)
23 =1
2
(w
y+v
z
)
O tensor innitesimal pode ser uma aproximao muito boa na maior parte das situaes de engenharia
mecnica, mas sempre deve-ser ressaltar que vale apenas para pequenas deformaes. Um exemplo claro das
limitaes aparece na rotao pura, por exemplo em torno de z.
d =
x cosz y senz x0x senz + y cosz y0
0
12
-
na qual pode-se desenvolver como:
d = Qp0 p0
d = Q I
o tensor de Green ca (corretamente)
E =1
2
(Q I+ (Q I)
T+ (Q I)
T(Q I)
)=
1
2
(Q I+QT I+QTQQT Q+ I
)= 0
e o innitesimal ca
=1
2
(d+ (d)T
)=
1
2
(Q I+QT I
)
=
cosz 1 0 00 cosz 1 0
0 0 cosz 1
ou seja, aponta erroneamente uma contrao nos trs eixos. A ordem de grandeza do erro pode facilmente chegar
prxima s deformaes usuais em engenharia, por exemplo se o ngulo z for prximo a 1, que resulta em
cos 1 1 = 1, 52 104. Ou seja, em um movimento de corpo rgido sem deformao, o tensor innitesimalerroneamente aponta uma deformao compressiva enorme.
A partir daqui, usa-se somente o tensor innitesimal, embora sempre que possvel deve se ressaltar a possi-
bilidade de erros.
Informar que a congurao inicial e nal se confundem, e no haver mais uma diferenciao entre elas, isto
, no h porque diferenciar p e p0.
Interpretao geomtrica do tensor innitesimal:
Inserir aqui o que se encontra em qualquer livro, nos moldes da Figura 4. Diferenciar as componentes normais
(extenses) das componentes tangenciais (distores).
Figura 4: Interpretao das deformaes
Apresentar os exemplos de deslocamento anteriores com ilustraes:
translao unidimensional: d =
u (t)00
=
0 0 00 0 0
0 0 0
translao geral: d =
u (t)v (t)w (t)
=
0 0 00 0 0
0 0 0
13
-
dilatao uniforme: d =
(t) x (t) y (t) z
=
(t) 0 00 (t) 0
0 0 (t)
extenso (ou contrao) pura em x: d =
(t)x00
=
(t) 0 00 0 0
0 0 0
distoro pura no plano xy: d =
(t) y00
=
0 12 (t) 01
2 (t) 0 00 0 0
extenso (ou contrao) simples em x: d =
xyz
=
0 00 0
0 0
distoro pura no plano xy: d =
0x0
=
0 12 01
2 0 00 0 0
vibrao extensional pura: d =
x sent00
=
0 00 0 0
0 0 0
sent
4.1.4 Mudana do sistema de coordenadas
Apresenta-se aqui as mudanas de coordenadas: Mostrar que a mudana de origem no faz a menor diferena
no deslocamento e deformaes, mas que a rotao do sistema faz. Esta rotao se representa como (deduzir em
aula):
i
j'k
= Q
ijk
posio e deslocamentos: p = QTp d = QTd
deformao: = QQT
Uma explicao alternativa para a rotao de tensor pode ser feita atravs da seguinte explicao
F = p = pT =
/x0/y0/z0
xyz
T
onde se faz a rotao de vetor independentemente no gradiente e na posio nal:
F = (Q) (Qp)T= QpTQT = QFQT
e depois se extende para os tensores de deformao.
Enfatizar que as deformaes de distoro e extenso se misturam em sistema de coordenadas rotacionados.
Exemplo de extenso simples:
d =
x00
=
0 00 0 0
0 0 0
que rotacionado de 30 ca
=
32
12 0
12
32 0
0 0 1
0 00 0 0
0 0 0
32
12 0
12
32 0
0 0 1
=
34
34 0
34
4 0
0 0 0
Pode explicar a apario da distoro e das extenses imaginando-se um quadrado rotacionado de 30 desenhadona parede de um cubo se extendendo. Este quadrado distorce, como pode-se ver na gura 5 .
14
-
Figura 5: rotao 30
4.1.5 Deformaes Principais:
O tensor deformao representa uma transformao de um elemento de linha. Se este tensor for diagonal, isto
signica que o elemento de linha se extende ou se contrai sem mudar de direo. possvel se provar que sempre
existem ao menos trs direes na qual o elemento de linha somente se extende. Isto escrito como
X = X
onde X um elemento de linha, que aps se deformar (X), continua na mesma direo, isto , um mltiplode si mesmo (X).
Matemticamente, isto um problema de autovalores e autovetores X do tensor de deformaes, que sedesenvolve como:
X = X
X IX = 0
( I)X = 0
det ( I) = 0
de onde se calculam os valores de para que I seja singular. Para isto se resolve as razes do polinmioque resulta do determinante. Estas razes so sempre reais (pois a deformao simtrica), mas podem ser
repetidas. Explicar o que representam as razes repetidas.
Exemplo:
d =
x+ y2
yy
=
y 0 y /2
0 /2 0
em x = 0 e y = 0 os autovalores e autovetores so; em x = 0 e y = 1 so.Depois de alguns exemplos, apresenta-se o crculo de Mohr como um dispositivo grca para a soluo de
autovalores e autovetores para casos bidimensionais.
4.1.6 Decomposio em parte volumtrica e desviadora
Qualquer tensor de segunda ordem pode ser decomposto de vrias maneiras. As mais teis so a decomposio
polar e a decomposio em parte esfrica e desviadora. Esta ltima visa a separar os efeitos de mudana pura
de volume e a mudana de forma:
= s + d
onde
s =1
3tr () I
d = s
15
-
ou por extenso:
s =
xx+yy+zz3 0 0
0xx+yy+zz
3 0
0 0xx+yy+zz
3
d =
2xxyyzz3 xy xzxy
xx+2yyzz3 yz
xz yzxxyy+2zz
3
.
Como exemplos, a dilatao pura s tem a parte volumtrica, a distoro pura s tem a parte desviadora e a
extenso simples ca:
=
0 00 0
0 0
s =+ 2
3
1 0 00 1 0
0 0 1
d =
223 0 00 +3 0
0 0 +3
de onde se conclui que se = 12, a parte volumtrica nula.
4.2 Tenses
Este um dos temas mais difceis da engenharia. Segundo o prof. Luiz T. V. Pereira, da UFSC, a maioria dos
engenheiros formados no conseguem denir o que tenso.
4.2.1 Reviso de foras
Segundo os livros de Fsica, fora a ao de um corpo sobre outro. Sua existncia comprovada apenas por
seus efeitos, como acelerao ou deformao.
Na mecnica dos slidos, as foras so sempre distribudas. As foras concentradas s existem como aproxi-
maes, seja como resultantes ou no contexto do princpio de Saint Venant.
As foras podem ser distribudas em um todos os pontos de uma regio de um corpo. Neste caso so chamadas
de foras de corpo, e denidas como fora por unidade de volume.
b =
bx (x, y, z, t)by (x, y, z, t)bz (x, y, z, t)
(N/m3) .
Normalmente a fora de corpo externa (isto , aplicada por outro corpo). Os tipos mais comuns de foras de
corpo so a gravidade e o magnetismo. A gravidade normalmente considerada constante em valor e direo
para corpos pequenos prximos a superfcie terrestre. A resultante de uma fora de corpo dada por
f =
b dV .
As foras distribudas mais importantes so as de superfcie. Elas so aplicadas em uma superfcie do corpo.
As foras externas mais comuns de superfcie so as de contato mecnico e as de campo eltrico.
t =
tx (x, y, z, t)ty (x, y, z, t)tz (x, y, z, t)
(N/m2) .
16
-
xx
yx
zx
xz
zz
yz
xy
zy
yy
Figura 6: Tenses em um cubo
A resultante de uma fora de superfcie dada por
f =
t dS .
Um aspecto importante das foras de superfcie a denio de fora interna. Se um corpo for partido
por uma superfcie, de se esperar que haja uma distribuio de foras sobre esta superfcie, representando
as foras que esto sendo transmitidas de uma parte do corpo outra. A esta distribuio damos o nome de
foras internas, e so sempre de superfcie pois a fronteira entre duas partes de um corpo uma superfcie. As
resultantes de foras e momentos internos recebem nomes como fora normal, fora cortante, momento etor e
momento toror.
Em um ponto do corpo, a fora interna varia conforme a orientao do plano de corte. D-se o nome de
tenso ao ente matemtico que relaciona a fora interna em um ponto com a orientao do plano de corte. Esta
relao dada pela frmula de Cauchy para o caso mais simples, na qual se admite uma transformao linear
entre fora interna e orientao:
t = n
onde t a fora interna, a tenso de Cauchy n o vetor normal adimensional que d orientao do plano decorte. Em componentes:
txtytz
=
xx xy xzyx yy yz
zx zy zz
nxnynz
tx = xxnx + xyny + xznzty = yxnx + yyny + yznztz = zxnx + zyny + zznz
de onde se observa que o primeiro ndice do tensor tenso se refere direo da fora interna e o segundo ndice
se refere direo normal do plano de corte.
Ressaltar que o tensor de tenses de Cauchy uma medida Euleriana, isto , refere-se congurao atual
(deformada).
Apresentar aqui o cubinho g. 6 com as componentes de foras internas. Ressaltar os sinais das normais.
Explicar a importncia da denio de tenso como fundamental para descrever o comportamento de um
material. Correlacionar com a microestrutura de um material.
4.2.2 Equaes de Equilbrio
As equaes de equilbrio so deduzidas diretamente. Seja a somatria de todas as foras distribudas igual a
zero
f = 0b dV +
t dS = 0 .
17
-
Figura 7: Equilbrio em x
Utilizando a frmula de Cauchy e transformando a integral de superfcie em integral de volume, obtm-se:b dV +
n dS = 0
b dV +
dV
( + b) dV = 0 .
Utilizando o argumento que cada parte do corpo tem que estar em equilbrio, elimina-se a integral e resulta em:
+ b = 0 em V.
O equilbrio dos momentos
p f = 0p b dV +
p t dS = 0
resulta que o tensor tenso de Cauchy deve ser simtrico.
Um problema que aparece nesta parte que os teoremas integrais ainda esto sendo vistos simultaneamente
em Matemtica Aplicada. O professor de Mecnica dos Slidos tem que explicar a transformao da integral de
volume em integral de superfcie (frmula de Gauss).
Deduzir agora pelo mtodo tradicional do equilbrio de um cubinho diferencial g.
4.2.3 Transformao das Tenses
O mesmo esquema da transformao das deformaes, com a vantagem adicional que mais fcil de entender
utilizando a frmula de Cauchy e rotacionando individualmente cada vetor.
t = Qt
n = Qn
que aplicadas na frmula de Cauchy para o novo sistema
t = n
Qt = Qn
t = QTQn
de onde se conclui
= QTQ
= QQT .
18
-
4.2.4 Tenses principais
O mesmo esquema das deformaes principais, com a vantagem de uma interpretao fsica mais inteligvel.
Neste caso, as direes principais podem ser denidas como as direes nas quais a fora interna est alinhada
com a normal. Desta forma,
t = n
n = n
n n = 0
( I)n = 0
e pode-se chegar a
det ( I) = 0 .
As tenses principais so os autovalores e as direes principais so os autovetores.
Apresentam-se alguns casos tridimensionais e depois se mostra o crculo de Mohr para casos bidimensionais.
4.3 Relaes constitutivas - Comportamento dos materiais
As relaes constitutivas devem ser apresentadas de uma maneira geral e abrangente, antes de ser particularizadas
para a elasticidade isotrpica innitesimal linear. Deve-se citar a piezoeletricidade, eletro-estrico, magnetismo,
mudanas de fase, uidos newtonianos, visco-elasto-plasticidade, termoelasticidade, etc. Isotropia, anisotropia e
ortotropia devem ser citados...
Um ensaio de trao mostrado com os vrios comportamentos de material. Deve-se apresentar os conceitos
habituais de
Elasticidade
Proporcionalidade
Plasticidade
Retorno Elstico
Encruamento
Estrico
Ruptura
Tenso real e tenso de engenharia (nominal)
De preferncia correlacionar o grco com a microestrutura de um ao. Mostrar discordncias se movendo, a
linhas de deslizamento de planos cristalinos, as incluses impedindo este deslizamento, a formao de micro-
vazios, o coalescimento destes micro-vazios.
Denir uncia, viscoelasticidade e suas aplicaes. Denir hiperelasticidade e as aplicaes em borrachas e
biomecnica. Citar que esto em Mecnica dos Slidos IV.
Denir anisotropia e relacionar com materiais compostos. Citar que esto em Mecnica dos Slidos III.
Escreve-se nalmente a lei de Hooke generalizada para a regio elstica e particulariza-se para a isotropia.
ij =
3k=1
3l=1
Cijklkl
ij = ij
(3
k=1
kk
)+ 2Gij
19
-
Figura 8: exemplo
onde
=E
(1 + ) (1 2)
G =E
2 (1 + )
por extenso
xx = (+ 2G) xx + yy + zzyy = xx + (+ 2G) yy + zzzz = xx + yy + (+ 2G) zzxz = 2Gxzyz = 2Gyzxy = 2Gxy
e a relao inversa
xx =1Exx
Eyy
Ezz
yy = Exx +
1Eyy
Ezz
zz = Exx
Eyy +
1Ezz
xz =12Gxz
yz =12Gyz
xy =12Gxy
.
A seguir se mostra-se vrios exemplos, nos quais a partir de um campo de deslocamento chega-se s tenses,
foras de corpo e foras de superfcie. Por exemplo: seja um cubo de ao com dimenses de 0, 2 0, 2 0, 2mcom o seguinte deslocamento (gura 8 )
20
-
d = 104
5x2 + 3x+ y 2z3yx4zx
m .
As deformaes sero dadas por
= 104
10x+ 3 12 (1 + 3y) 12 (2 + 4z)1
2 (1 + 3y) 3x12 (0 + 0)
12 (2 + 4z)
12 (0 + 0) 4x
= 104
10x+ 3 12 + 32y 1 + 2z1
2 +32y 3x 0
1 + 2z 0 4x
.
Dadas as propriedades elsticas do ao como E = 210GPa e = 0, 3, pode-se calcular
=E
(1 + ) (1 2)= 121, 15GPa
G =E
2 (1 + )= 80, 769GPa
e calcular a tenso de Cauchy:
= tr () I+ 2G
que resulta em
=
197, 88x+ 84, 807 8, 0769 + 24, 231y 16, 154+ 32, 308z8, 0769 + 24, 231y 12, 115x+ 36, 346x 016, 154+ 32, 308z 0 28, 269x+ 36, 346
MPa .
As foras de corpo saem das equaes de equilbrio:
b =
=
141, 3500
MN/m3
e as foras de superfcie so calculadas pela frmula de Cauchy para cada face do corpo.
face normal a +x: t1 = |x=0,2m
100
=
45, 2318, 0769 + 24, 231y16, 154 + 32, 308z
MPa
face normal a -x: t2 = |x=0m
100
=
84, 8078, 0769 24, 231y16, 154 32, 308z
MPa
face normal a +y: t3 = |y=0,2m
010
=
12, 92312, 115x+ 36, 346
0
MPa
face normal a y: t4 = |y=0m
010
=
8, 07712, 115x 36, 346
0
MPa
face normal a +z: t5 = |z=0,2m
001
=
9, 6920
28, 269x+ 36, 346
MPa
21
-
face normal a -z: t6 = |z=0m
001
=
16, 1540
28, 269x 36, 346
MPa
Resultantes em cada face:
face normal a +x:
f1 =
y=0,2y=0
z=0,2z=0
t1dz dy
=
0,20
0,20
45, 2318, 0769 + 24, 231y16, 154+ 32, 308z
dzdy MPa
=
1809420
516, 9
kPa
face normal a -x :
f2 =
y=0,2y=0
z=0,2z=0
t2dz dy
=
3392420516, 9
kPa
face normal a +y :
f3 =
x=0,2x=0
z=0,2z=0
t3dz dx
=
516, 915020
kPa
face normal a -y :
f4 =
x=0,2x=0
z=0,2z=0
t4dz dx
=
323, 11502
0
kPa
face normal a +z :
f5 =
x=0,2x=0
y=0,2y=0
t5dy dx
=
387, 715670
kPa
face normal a +z :
f6 =
x=0,2x=0
y=0,2y=0
t6dy dx
=
646, 11567
0
kPa
Faltam ainda os momentos das foras...
22
-
4.4 Critrios de falha
Denir falha da maneira mais ampla, isto , a incapacidade de atender aos requisitos de projeto. Falha pode ser
deslocamento/deformaes elsticas excessivas (ex. equipamentos de preciso), vibrao excessiva, desconforto
do usurio, deformaes permanentes, quebra; mas tambm pode ser exatamente o contrrio. Por exemplo,
parafusos "fusveis", para-choques, molas, rebites "pop".
Desta forma, se apresentam neste captulo critrios de ruptura e de escoamento. O engenheiro deve utiliz-los
para criar um critrio de falha para casos especcos.
Apresentar rudimentos da conabilidade via interferncia entre distribuies estatsticas da solicitao e
da resistncia. Explicar que os coecientes de segurana so demasiadamente simplistas, mas que ainda so
utilizados e esto nas normas. Citar algumas das normas (NBR8800, ASME VIII).
Explicar tambm que na Engenharia Mecnica, normalmente a solicitao dinmica e leva a vibraes.
Na maioria dos componentes mecnicos, o projeto feito para uma vida til nita. Explicar que mais tarde
o fenmeno da fadiga ser estudado para que o engenheiro consiga projetar sistemas mecnicos com vida til
cuidadosamente selecionada para criar um mercado de reposio e obsolescncia. Explicar que na aeronutica,
a restrio de peso leva todos os projetos a terem vida til nita, e que o trabalho de muitos engenheiros o de
controlar a reposio de cada componente da aeronave dentro de sua vida programada.
4.4.1 Critrios de Escoamento
Os dois critrios clssicos de escoamento so apresentados:
Critrio da mxima tenso cisalhante (Tresca)
max = max
(1 22 ,1 32
,3 22
)
Critrio da mxima energia (especca) de distoro (Maxwell-von Mises-Huber-Hencky)
eq =
(1 2)
2+ (1 3)
2+ (3 2)
2
2
=2xx +
2yy +
2zz xxyy xxzz yyzz + 3
(2xy +
2xz +
2yz
)Por curiosidade, pode-se deduzir o desviador das tenses principais:
=
1 0 00 2 0
0 0 3
d =1
3
21 2 3 0 00 1 + 22 3 0
0 0 1 2 + 23
A energia do tensor desviador dada por:
Ud =1
2d : C
1 : d
que aps alguma manipulao resulta em
Ud =1
6G
((1 2)
2+ (1 3)
2+ (3 2)
2)
que equivalente tenso de von Mises e foi deduzido por Hencky.
4.4.2 Critrios de ruptura
Critrio de Rankine (mxima tenso normal) - materiais frgeis:
max (1, 2, 3)
Explicar que os critrios de escoamento so utilizados como aproximao para um critrio de ruptura de
materiais dteis, mas a aproximao pode ser bastante imprecisa. A distribuio das tenses pode mudar
bastante durante o escoamento.
23
-
4.4.3 Princpio de Saint Venant
O efeito de dois carregamentos estaticamente equivalentes sobre uma estrutura semelhante em pontos suci-
entemente distantes das regies de aplicao de cargas.
4.4.4 Princpio da superposio de efeitos
Em um sistema linear, o efeito da atuao simultnea de dois conjuntos de carga equivalente soma dos efeitos
de cada uma delas aplicadas separadamente.
Explicar que as relaes deslocamentos - deformaes innitesimais (cinemticas) so lineares, as relaes
deformao - tenso para a elasticidade so lineares, as relaes tenso - foras de corpo e tenso - fora de
superfcie so lineares.
Explicar que no so lineares:
deformaes nitas (Green)
relaes constitutivas diferentes da elasticidade proporcional (hiperelasticidade, elasto-plasticidade, etc)
critrios de falha.
4.4.5 Energia de deformao
A energia de deformao pode ser calculada como a integral do trabalho das foras externas, que para problemas
lineares resulta em metade do trabalho nal das foras externas. Desta maneira:
W =
S
t u dS +
V
b u dV .
A integral de superfcie do primeiro termo do lado direito pode ser transformada em uma integral de volume
usando o teorema da divergncia:S
t u dS =
S
(n) u dS
=
V
(( ) u+ : u) dV .
Substituindo no trabalho, resulta em
W =
V
( + b) dV +
V
: u dV ,
onde a primeira parte se anula pelas equaes de equilbrio. A simetria da tenso de Cauchy na segunda integral
permite substituir o gradiente dos deslocamentos pela deformao innitesimal. O trabalho ento pode ser
escrito como
W =
V
: dV
=
V
: C : dV
=
V
: C1 : dV
utilizando as relaes constitutivas da elasticidade linear = C : .A energia de deformao pode ser escrita como
U =1
2
V
: dV =1
2
V
: C : dV =1
2
V
: C1 : dV .
Deve-se ressaltar dois pontos importantes:
o princpio da conservao da energia mecnica no se aplica na esttica, dado que o sistema analisado
aps a dissipao da energia cintica
e a energia potencial gravitacional j est includa no trabalho das foras de corpo.
24
-
4.5 Problemas isostticos
O clculo de esforos internos em vigas faz parte do contedo da disciplina de esttica (Mecnica Aplicada I)
que pr-requisito desta disciplina. Parte de suas peculiaridades j foram cobertas na introduo. Em todo
caso, dois exemplos so apresentados. O primeiro (gura 9) uma viga em balano (cantilever).
X
P
L
y
Figura 9: viga simples em balano
Os esforos internos sero dados de acordo com a seguinte conveno: o eixo y est apontado para cima,e em uma determinada seo transversal em uma coordenada x, consideram-se os esforos aplicados pelo ladodireito da seo, ou a reao aos esforos aplicados pelo lado esquerdo.
Neste caso, pelo lado direito temos uma fora vertical negativa em y deP e seu momento negativo em tornode z de valor Pz (gura 10). Considerando pelo lado direito, o valor das reaes de apoio so +P e momento+Pz. Considerando as reaes, temos os mesmos valores que pela direita.
1000
800
600
400
200
00.2 0.4 0.6 0.8 1
x
Figura 10: cortante Vy e momento Mz para P = 1000N e L = 1m
Como a face normal ao sentido positivo de x, os sinais negativos signicam que o cortante est no sentidonegativo de y e que o momento est no sentido da mo esquerda. importante enfatizar que h vrias convenesdiferentes para os sinais. Por exemplo, colocando-se o eixo y para baixo, o eixo z estar entrando e os sinais seinvertem. Esta conveno foi adotada aqui porque coincide com a frmula de Cauchy t = n e suas resultantesf =
tdS e M =
x tdS. A maioria dos textos em Engenharia Civil adota a conveno contrria.Um outro exemplo, desta vez tridimensional est apresentado na gura 11. Este exemplo visa apresentar a
conveno tridimensional de sinais de momentos.
Neste caso,
no segmento CD temos Vz = P , e Mx = P (c y).
No segmento BC temos Nz = P , Mx = P c.
No segmento AB temos Vz = P , Mx = P c e My = P (a x).
25
-
a
b
c
A
B
CD
Pz
x
y
Figura 11: tubulao em balano
a
b
c
A
B
CD
z
x
y
P
Figura 12: outra carga
Se alteramos a carga conforme a g. 12, os esforos internos cam:
No segmento CD Vx = P , Mz = P (c y).
No segmento BC Vx = P , My = P (b z) e Mz = P c
No segmento AB Nx = P , My = P b e Mz = P c .
4.5.1 Funes de singularidade
Apresentar as funes de singularidade:
Distribuio de Heaviside (degrau unitrio):
H (x a) =
1 se x a > 012 se x a = 0
0 se x a < 0
com a propriedade que 0
f (x)H (x a) dx =
a
f (x) dx .
26
-
Distribuio de Dirac (impulso)
(x a) =d
dxH (x a)
=
{0 se x 6= a
se x = a
mas 0
(x a) dx = 1
e 0
f (x) (x a) dx = f (a) .
As seguintes regras valem para a integrao sucessiva das funes de singularidade:
(x a) dx = H (x a)
H (x a) dx = (x a)H (x a)
(x a)H (x a) dx =
1
2(x a)
2H (x a)
(x a)pH (x a) dx =
1
p+ 1(x a)p+1H (x a)
Notao de Macaulay:
(x a) = x a2
(x a) = x a1
H (x a) = x a0
(x a)H (x a) = x a1
1
p(x a)
pH (x a) = x a
p
As funes de singularidade podem ser usadas para denir carregamentos em peas. Pode-se representar
cargas atuantes em apenas algumas regies da pea. Por exemplo, uma fora distribuda pode ser escrita como
t = H () t0
de forma que a regio de atuao apenas onde > 0.Mas a maior aplicao desta formulao no clculo de esforos cortantes e momentos etores em barras
com cargas transversais.
Exemplo:
Seja uma viga com o carregamento
qy = P (x a) +M (x b) + q0 (H (x c)H (x d))
Os esforos internos podem ser calculados por
Vy =
qydx
= PH (x a) +M (x b) + q0 ((x c)H (x c) (x d)H (x d))
27
-
4.6 Trao e compresso
Os alunos j tiveram clculos de fora em trelias isostticas, de modo que podem dimensionar trelias.
Neste tpico, importante ressaltar as limitaes da teoria de barras, especialmente:
articulaes nas juntas
ambagem
princpio de Saint Venant impede dimensionamentos nas juntas.
Apresentam-se as hipteses para a teoria de barras. As hipteses so:
1. a geometria de uma barra denida uma seo transversal constante ao longo do comprimento. Este
comprimento tem dimenses muito superiores seo transversal. Neste caso o comprimento est ao longo
de x.
2. as paredes laterais no tem carga.
3. uma seo transversal plana permanece plana e com a mesma normal; porm pode se deslocar ao longo de
x.
Da hiptese 2, para todas as paredes laterais
t = 0
e aplicando a frmula de Cauchy
n = 0 .
Da hiptese 1, as normais das paredes laterais no tm componente x:
0nynz
=
000
xyny + xznzyyny + yznzzyny + zznz
=
000
e tambm so muito prximas, de modo que a relao acima aproximadamente vlida mesmo no interior da
seo. Desta maneira, conclui-se que
=
xx 0 00 0 0
0 0 0
. (1)
A hiptese 3 leva ao seguinte corolrio: que o deslocamento longitudinal depende apenas da coordenada longi-
tudinal: u (x). Da: xx =dudx = xx (x).
Juntando as equaes acima com a elasticidade innitesimal isotrpica chega-se a
xx =xxE
yy =xxE
= xx
zz =xxE
= xx = yy
de onde se conclui que a tenso varia apenas ao longo do comprimento ( xx (x)). As equaes de equilbriocam
dxxdx
+ bx = 0
by = 0
bz = 0
28
-
P
x
g
Figura 13: barra pendurada
e as foras distribudas na face frontal cam
t = n
txtytz
=
xx 0 00 0 0
0 0 0
100
de onde se conclui que a nica componente de fora distribuda tx = xx, e constante. A resultante destafora fx = txA e no h momentos resultantes em torno do centro da face. Concluses semelhantes se tiramda face posterior.
Como exemplo: uma barra pendurada sujeita ao peso prprio e uma fora na ponta. A fora de corpo dada
por bx = g. Considerando o comprimento L, a fora de superfcie na face x = L considerada uniformementedistribuda tx = P/A. Ento resolve-se as equaes de equilbrio como:
d
dx
(Edu
dx
)+ g = 0 em x = [0, L]
com condies de contorno tx (x = L) =PA e u (x = 0) = 0. Para uma barra homognea, E e so constantes,
e a soluo pode ser encontrada por integraes sucessivas.
Edu
dx= gx+ C1
u = gx2
2E+C1Ex+ C2
onde C2 = 0 e C1 =PA + gL.
Explicar que para os materiais usuais da engenharia mecnica, as barras resistem muitas vezes mais que o seu
peso prprio, e muitas vezes a fora de corpo pode ser desconsiderada. Neste caso, pela equao de equilbrio, a
tenso constante, a deformao constante e o deslocamento linear.
xx = tx =P
A
xx =xxE
u = xxx+ C2
= xx =L
L
29
-
p
p
0
Figura 14: Toro de eixo cilndrico
Apresentar exemplos de clculos de trelias e barras. Apresentar um exemplo dinmico (vibraes livres) e
de energia de deformao. Incluir exemplos com coecientes de segurana e conabilidade.
4.7 Toro
So apresentados trs teorias de toro: toro de eixos cilndricos, toro de seo no circulares e toro de
sees fechadas de paredes nas.
Para todas elas, explicar que dicilmente a toro ocorre de forma pura. Normalmente h um acoplamento
entre exo e toro.
4.7.1 Eixos de seo circular
Hipteses cinemticas: uma seo circular plana permanece plana e circular. Os raios no se deformam, apenas
giram de um ngulo de toro .Desta forma, um ponto identicado pelo vetor posio p0 estar ao nal do movimento na posio p. As
componentes iniciais so:
p0 =
xyz
=
R cosR sen
z
,
e as nais so
p =
R cos (+ (z))Rsen (+ (z))
z
=
R (coscos (z) sensen (z))R (cossen (z) + sencos (z))
z
=
x cos (z) y sen (z)x sen (z) + y cos (z)
z
de onde o deslocamento vale
d =
x (cos (z) 1) y sen (z)x sen (z) + y (cos (z) 1)
0
.
30
-
Considerando que os ngulos (z) so muito pequenos, faz a aproximao cos 1 e sen e o deslocamentoca
d =
y (z)x (z)
0
.
As deformaes para este caso so
=
0 0 12y ddz0 0 12xddz 12y
ddz
12x
ddz 0
e as tenses para um material elstico isotrpico ca
=
0 0 Gy ddz0 0 GxddzGy ddz Gx
ddz 0
.
Em coordenadas cilndricas, temos:
d =
0 (z)0
=
0 0 12r ddz0 0 0
12r
ddz 0 0
=
0 0 00 0 Gr ddz
0 Gr ddz 0
.
A fora distribuda sobre as superfcies so as seguintes: sobre uma geratriz, cuja normal dada por n ={cos, sen, 0}, a fora para gerar este campo de deslocamento nula:
t = n =
0 0 Gy ddz0 0 GxddzGy ddz Gx
ddz 0
cossen0
tz = Gd
dz(y cos+ x sen)
= Gd
dz(Rsen cos+Rcos sen) = 0 ,
(em coordenadas cilndricas trivial). Para a face frontal, a fora distribuda
t =
0 0 Gy ddz0 0 GxddzGy ddz Gx
ddz 0
001
= Gd
dz
yx0
ou em coordenadas cilndricas t = Gddz r. Em suma, para esta hiptese sobre os deslocamentos, a carga aplicada
sobre o eixo nula na lateral do cilindro e proporcional ao raio nas faces anterior e posterior.
31
-
O momento dado por
M =
r t dS
=
xy0
Gddz
yx0
dS
Mz = Gd
dz
(x2 + y2
)dS
Mz = Gd
dzJ
podendo ser escrito em coordenadas cilndricas como
z = M r/J
com o mximo na superfcie externa do eixo.
Para as equaes de equilbrio, uma hiptese adicional introduzida. Considera-se que
ddz constante. Desta
forma, pode-se escrever as equaes de equilbrio como
xzz
+ bx = 0
yzz
+ by = 0
xzx
+yzy
+ bz = 0
o que signica a ausncia de foras de corpo. Reciprocamente, pode-se dizer que na ausncia de foras de corpo
ddz constante.
Signicado geomtrico de
ddz : a taxa de variao do ngulo de toro ao longo do comprimento. Pode-se
denir um ngulo de distoro = ddz r medido na geratriz para o caso constante.
4.7.2 Eixos de seo no circular
Consideram-se a hiptese adicional que a seo transversal inicialmente plana empena, e este empenamento
dado por uma funo (x, y) e proporcional derivada ddz . Neste caso
d =
x (cos (z) 1) y sen (z)x sen (z) + y (cos (z) 1)
(x, y) ddz
,
onde a existncia de um deslocamento w no constante mostra um empenamento da seo.Considerando
ddz constante, a deformao vale
=
0 0 12ddz
(y + x
)0 0 12
ddz
(x+ y
)12ddz
(y + x
)12ddz
(x+ y
)0
e as tenses
= Gd
dz
0 0 y +
x
0 0 x+ yy + x x+
y 0
.
Impondo que as superfcies laterais no tenham carga lateral atravs da frmula de Cauchy, feita pela
seguinte identidade
tz = Gd
dz
((y +
x
)nx +
(x+
y
)ny
)= 0 . (2)
32
-
Na ausncia de foras de corpo, a terceira equao de equilbrio ca
xzx
+yzy
+zzz
= 0
2(y + x
)x2
+2(x+ y
)y2
= 0 . (3)
= 0 (4)
Esta equao, juntamente com as condies de contorno (eq. 2) podem ser usadas para determinar a funo
empenamento (x, y) a menos de uma constante. Esta constante no interfere no clculo das tenses.Tradicionalmente, no entanto, se resolve o problema de toro de sees no circulares denindo uma nova
varivel (x, y) como a funo de tenso de Prandtl de modo que
xz =
yyz =
x
que satisfaz automaticamente as equaes de equilbrio e leva as condies de contorno (eq. 2) para a forma
tz =
ynx +
dxny = 0
Considerando a denio alternativa para a normal ao longo de uma linha s ser dada por nx =dxds e ny =
dyds , a
condio de contorno dada por
d
ds= 0 ,
isto , constante ao longo do contorno da seo s. Normalmente se adota = 0 no contorno pois no alteraos resultados de tenso. Resolve-se ento a equao harmnica com condies de contorno homogneas para
obter a distribuio de tenses na seo:
2
x2+2
y2= 2G
d
dz.
O torque dado pela integrao das foras de superfcie:
M =
r tdS
=
xy0
xzyz0
dxdy
=
xy0
ddyddx0
dxdy
Mz =
x
d
dx y
d
dydxdy
= 2
dxdy
Colocar um exemplo tpico (retangular). Mostrar tabelas.
33
-
4.7.3 Aproximao para retngulos estreitos
Retngulos de parede na se estendendo ao longo de y, com largura b e altura h. Considera-se 2y2 muito
pequeno, e da
2
x2= 2G
d
dze
= Gd
dz
x2
2+ C1x+ C2 .
Considerando (x = b/2) = 0,{Gddz
b2
4 + C1b2 + C2 = 0
Gddzb2
4 C1b2 + C2 = 0
C1 = 0, C2 = Gd
dz
b2
4
= Gd
dz
(b2
4 x2
).
Fazendo a integral dupla de temos o torque
Mz = 2
dxdy
= 2h
b/2b/2
Gd
dz
(b2
4 x2
)dx
= 2hGd
dz
(b2
4x
x3
3
)b/2b/2
onde a simplicao de constncia ao longo de y foi utilizada. O resultado
Mz = b3h
3Gd
dz
e pode ser usado para calcular o torque a partir do ngulo ou vice-versa. A tenso dada por
yz =6Mzx
b3h
variando linearmente entre um sentido e outro em z e seu valor mximo
yz =3Mzb2h
no meio da face mais longa.
Esta aproximao serve tambm para pers abertos de chapa dobrada, substituindo a altura do retngulo
pelo permetro, desde que no hajam cantos vivos. Por exemplo, um tubo circular de raio r e espessura t comuma fenda longitudinal tem permetro 2pir. Neste caso, a variao do ngulo de toro ser
d
dz= Mz
3
Gb3h=Mz
3
G2pirt3
e a mxima tenso
yz =3Mz2pirt2
.
Para o tubo sem a fenda, utilizando as frmulas deduzidas anteriormente
d
dz=
MzGJ
=Mz
G2pir3t
e a tenso mxima
=Mzr
J=
Mzr
2pir3t=
Mz2pir2t
.
Considerando que r t, a diferena assustadora. Mostrar com exemplo numrico. Explicar que o uxo decisalhamento tem que inverter seu sentido ao longo da espessura.
34
-
tq
r
Figura 15: Tubo de parede na
4.7.4 Toro de sees fechadas de parede na
Para sees fechadas de parede na de apenas um furo, pode-se considerar que a tenso cisalhante constante ao
longo da espessura da parede. Considera-se tambm que a integral na espessura da tenso cisalhante (uxo de
cisalhamento) constante ao longo da seo transversal, isto , a tenso cisalhante inversamente proporcional
espessura.
Dene-se um sistema de coordenadas s, n ao longo da superfcie mdia da parede. A fora cisalhante ao longoda parede (uxo de cisalhamento) dada por
q =
t/2t/2
tdn
mas se assume a hiptese que a intensidade da fora q da fora q constante e sz = q/t. Consequentemente,o torque total vai ser dado por
Mz =
r q ds = 2Aq .
importante ressaltar que a aproximao no funciona se houverem mudanas sbitas de direo da parede
do tubo, como por exemplo em dobras. Nas regies com estas mudanas a teoria no vlida, como em arestas
de tubos de seo retangular.
Exemplo: comparao entre as formulaes para paredes nas e as formulaes gerais. Seja um tubo cilndrico
com dimetro externo De e dimetro interno Di. Calculando pela formulao original para sees circulares, atenso cisalhante dada por
r =Mzr
Jonde
J =pi(De4 Di4
)32
e introduzindo o dimetro mdio D e substituindo De = D + t e Di = D t,
J =pi(D3t+Dt3
)4
no ponto de tenso mxima r = De/2.
z =Mz (D + t) /2
pi (D3t+Dt3) /4
onde para a espessura muito pequenas pode ser simplicado como
z =2MzpiD2t
Pela formulao simplicada de tubos de parede na,
Mz = 2Aq
z =Mz2At
35
-
xy
v
u
Figura 16: Hiptese de Euler-Bernoulli
que resulta tambm em
z =2MzpiD2t
4.8 Flexo
O estudo da exo feito a partir de hipteses cinemticas e de foras. As hipteses cinemticas dizem que
uma seo transversal plana permanece plana e perpendicular linha centroidal g. 16. Isto permite escrever
os deslocamentos de toda a viga em relao ao deslocamento transversal da linha centroidal. Considerando a
linha centroidal alinhada com o eixo x, dene-se o deslocamento desta linha como v (x).Da hiptese cinemtica escreve-se que
tgz =dv
dxu = y senz .
Aproximando-se senz = tgz = z, podemos escrever
u = ydv
dx
e
xx = yd2v
dx2.
Fazendo-se a mesma hiptese da ausncia de cargas nas laterais que no caso de barras (eq. 1), a tenso deve ter
a forma
=
xx 0 00 0 0
0 0 0
e consequentemente a deformao deve ser
=
xx 0 00 yy 0
0 0 zz
36
-
onde
xx =xxE
yy = zz = xx .
Pode-se concluir que
xx = Eyd2v
dx2. (5)
Observem que nada pode ser denido a respeito dos deslocamentos em y e z. comum consider-los nulos(seo indeformvel), mas isto causaria tenses yy e zz, o que normalmente compensado considerandotemporariamente = 0. O ideal seria apresentar a soluo exata de Saint Venant, mas isto normalmente no feito na graduao.
As foras para gerar esta hiptese cinemtica so nulas nas faces laterais (n = {0, 0, 1}T e n = {0, 1, 0}T ) ena face frontal dada por
t = n
=
xx 0 00 0 0
0 0 0
100
=
xx00
.
A resultante
f =
t dzdy
fx =
Ey
d2v
dx2dzdy
= Ed2v
dx2
y dzdy
= 0
onde o resultado explicado pelo fato do eixo x ser centroidal.O momento resultante dado por
m =
r t dzdy
=
0yz
Ey d2vdx2
00
dzdy
= Ed2v
dx2
0yzy2
dzdy
onde a denio do momento de inrcia de rea (segundo momento de rea) Izz =
y2dzdy e do produto deinrcia Pyz =
yz dydz podem ser utilizadas. O produto de inrcia e o momento my = 0 se os eixos y e z
forem eixos principais de inrcia. Desta maneira, a nica componente de momento restante o momento etor
em torno de z:
mz = EIzzd2v
dx2,
Pode-se ainda relacionar a tenso eq.(5) com o momento etor
xx = ymzIzz
.
As concluses que se tiram desta deduo: a teoria de Euler-Bernoulli feita para barras exionadas por
momentos nos extremos puros nos extremos e nenhuma fora resultante est presente.
37
-
4.8.1 Clculo de momentos de Inrcia (reviso)
Revisar momentos de inrcia, produto de inrcia, eixos principais de inrcia, teorema dos eixos paralelos (Steiner).
Momentos de inrcia equivalentes de vigas compostas.
4.8.2 Energia de deformao
A energia de deformao de vigas calculada por
U =
V
: dV
=
Lx=0
A
xxxxdy dz dx
=
Lx=0
A
(Ey2
(d2v
dx2
)2)dy dz dx
=
Lx=0
E
(d2v
dx2
)2Izzdx
4.8.3 Vigas com foras transversais
A denio das cargas na teoria de Euler-Bernoulli indica que esta teoria foi desenvolvida apenas para vigas com
momentos puros aplicados nas extremidades, de modo que o momento etor seja constante. No entanto, pode-se
aplic-la a outras situaes se adicionarmos a hiptese que o efeito do momento etor muito mais signicativo
que o de qualquer outro esforo. Isto particularmente vlido para vigas longas, dado que os braos de alavanca
tornam os momentos mais signicativos que os efeitos das foras em si. Com esta ressalva, esta teoria uma
boa aproximao para momentos variveis (Mz (x)), como no caso de vigas com foras transversais.A denio de viga longa normalmente adotada quando o comprimento ao menos vinte vezes a altura da
viga. Mas em engenharia se utiliza at 10 vezes, compensando no coeciente de segurana.
O procedimento de clculo de uma viga (isosttica) se baseia em encontrar o momento etor atravs dos
mtodos das sees ou por dupla integrao da carga. Da Esttica, sabe-se que
Vy = dMzdx
qy =dVydx
logo
qy =d2Mzdx2
=d2
dx2
(EIzz
d2v
dx2
)
4.8.4 Dimensionamento de vigas isostticas
Pode-se denir muitas maneiras diferentes de se denir as dimenses da seo transversal de uma viga:
Seleo de uma seo transversal para a viga toda de uma lista
Determinao de alguma dimenso livre de uma dada seo transversal para a viga toda
Seleo de vrias sees transversais para vrias partes da viga
Determinao de uma variao contnua da seo transversal
Seleo de material para a viga
Seleo de um material de uma viga composta
Escolher exemplos e explic-los.
38
-
4.8.5 Vigas heterogneas (vrios materiais)
Supomos que a viga seja composta por vrios materiais isotrpicos, distribudos ao longo da seo transversal,
mas homognea longitudinalmente. Escreve-se isto considerando as propriedades do material variveis, como
E (y, z) , (y, z) , (y, z). Considera-se as hipteses cinemticas ainda vlidas, de modo que a deformao lon-gitudinal continua sendo
xx = yd2v
dx2
mas a tenso longitudinal
xx = E (y, z) yd2v
dx2
no mais necessriamente uma funo linear com a altura. As foras distribudas sobre a face frontal so dadas
por
tx = xx = E (y, z) yd2v
dx2.
Deve-se calcular a posio da linha neutra (no necessariamente coincidente com o centride) para que a resul-
tante seja zero.
fx =
txdy dz
=d2v
dx2
E (y, z) y dy dz = 0
O momento resultante dado por
m =
r t dzdy
=
0yz
E (y, z) y d2vdx2
00
dzdy
=d2v
dx2
E (y, z)
0yzy2
dzdy
onde o momento my pode se anular em condies de simetria geomtrica e de distribuio de materiais. Nocaso de materiais discretos pode-se considerar que as propriedades sejam descritas por funes de Heaviside, e
as integrais acima podem ser feita por material.
Viga laminada. Seja uma viga feita de vrias lminas isotrpicas, E (y). A posio da linha neutra pode serencontrada atravs da equao
fx = 0
=
z
(E (y) ydy
)dz
Neste caso, a variao do mdulo de elasticidade pode ser interpretada como um multiplicador da largura da
viga. Pode-se calcular o centride e momento de inrcia considerando uma viga de largura modicada pela
proporo do momento de inrcia.
Exemplo de uma viga sanduche: seja uma viga de seo quadrada de 100mm e duas placas externas de 2mm
de carbono-epxi com E1 = 150GPa e um "recheio" de espuma de poliuretano com E2 = 100MPa. Em umaseo simtrica como esta, o centride coincide com a linha neutra. Desta maneira
E =
E1 y < 0, 048
E2 0, 048 < y < 0, 048
E1 y > 0, 048
39
-
tB tA
tC
h/2
A
y*C
B
x+ xx
Figura 17: Cisalhamento em vigas
e o momento pode ser calculado como
mz =d2v
dx2
0,05z=0,05
dz
Ey2dy
=d2v
dx2b
[ 0,0480,05
E1y2dy +
0,0480,048
E2y2dy +
0,050,048
E1y2dy
].
que pode ser reescrito como
mz =d2v
dx2
[bE1
0,0480,05
E1y2dy +
b
E1/E2E1
0,0480,048
y2dy + bE1
0,050,048
y2dy
]
que equivalente a uma viga I de carbono-epxi com a largura da alma reduzida por E1/E2.
4.9 Cisalhamento em Vigas
Teoria simplicada de Jourawski, para vigas com paredes nas e retas. Serve apenas para sees retangulares,
ou nos trechos retangulares de sees quaisquer.
Na face x+x da rea hachurada a fora distribuda dada por
t =
10
0
=
xx0
0
=
Ey d
2vdx2
00
40
-
e a fora resultante por
f =
t dy dz
fx =
txdydz
=
Ey
d2v
dx2dydz
= Ed2v
dx2
b/2b/2
h/2y
y dy dz
onde a integral
Q (y) =
b/2b/2
h/2y
y dy dz
o momento esttico de rea. Substituindo Mz (x+x) = EIzzdvdx2 ca
fAx =Mz (x+x)Q (y
)
Izz.
Repetindo a operao para o face em x, temos que a fora ser dada por
fBx = Mz (x)Q (y
)
Izz.
A diferena compensada por uma fora na face inferior
fAx + fBx + fCx = 0
fCx = Q (y)
Izz(M (x+x) M (x))
dividindo por bx e tomando o limite x 0
tCx = Q (y)
b Izz
dM
dx
que considerando que a normal negativa em y resulta em
xy =V Q (y)
b Izz.
Esta teoria de cisalhamento adequada para retngulos, incluindo a alma de vigas I ou C.
Explicar o clculo do momento esttico por integral e somatrio de reas vezes centrides. Ainda no viram;
tero novamente em hidrosttica em Mecnica dos Fluidos. O momento esttico de rea denido pela integral
Q (y) =
hyy dy
ou pela somatria
Q (y) =i
Ai (y) yci (y)
OPara exemplicar, seja uma viga retangular de seo b h. O momento esttico dado por
Q =
b/2b/2
h/2y
y dy dz
=
b/2b/2
(h2
8
(y)2
2
)dz
= b
(h2
8
(y)2
2
)
41
-
yz
y*
Figura 18: Momento esttico de rea
42
-
e o momento de inrcia por
Izz =bh3
12
de modo que a tenso cisalhante dada por
xy =6V(h2
4 (y)2)
b h3.
O maior valor de cisalhamento ocorre em y = 0 e vale
xy (y = 0) =
3V
2A
o que 50% maior que a tenso cisalhante mdia V/A.
Cisalhamento vertical em vigas I
As sees com abas superiores e inferiores apresentam a maior parte da resistncia em sua alma (ou elemento
vertical). possvel ento considerar apenas esta parte no clculo do cisalhamento, e considerar a tenso
cisalhante constante. Apresentar exemplo.
Cisalhamento em abas
O cisalhamento horizontal em abas ocorre no plano xz diferentemente do vertical. A distribuio de tensescresce linearmente ao longo da aba em direo ao centro, enquanto no vertical ocorre quadraticamente.
Centro de toro (corte)
Apresentar a localizao do centro de toro pelo equilbrio dos momentos dos esforos cisalhantes.
4.10 Deslocamentos em vigas
Clculo da linha elstica em vigas de Euler-Bernoulli atravs da dupla integrao do momento.
4.10.1 Teoria de vigas de Timoshenko
O efeito do esforo cortante em uma viga pode ser considerado de forma simplicada. Considerando uma
distoro pura, dc ={
0 vc (x) 0}T
, de tal maneira que a deformao seja dada por
c =
0 (x)2 0(x)
2 0 00 0 0
,
onde (x) = dvcdx um ngulo de distoro. A tenso associada
c =
0 G 0G 0 0
0 0 0
que constante na seo. As foras de superfcie so dadas por
t1c =
G00
, t2c =
0G0
, t3c =
G00
,
respectivamente nas faces superior, frontal e inferior. Por causa da existncia da fora tangencial nas faces
inferior e superior, a distoro pura no uma hiptese perfeita para o cisalhamento em vigas. O ideal seria
43
-
uma distoro varivel ao longo de y com valor nulo nas faces superior e inferior, o que implicaria em seestransversais tornando-se curvas. Reparem que a fora distribuda na face frontal uniforme. A fora resultante
na face frontal fy = GA, onde A a rea da seo transversal.A teoria de Timoshenko utiliza uma distoro constante em y, sendo desta maneira inconsistente com o
carregamento, mas mantendo as sees transversais planas. Deve-se considerar o ngulo (x) apenas como umarotao mdia da seo. O movimento composto de uma exo adicionada da distoro:
d = df + dc
=
ufvfwf
+
0vc0
A rotao total da seo inclui a exo e a distoro; desta maneira, deve-se retirar a distoro do desloca-
mento longitudinal:
u = y
(dv (x)
dx (x)
)As deformaes valem
xx = yd2vfdx2
xy =
2
e as tenses
xx = Eyd2vfdx2
xy = G
e as foras na face frontal valem
t =
Eyd2vfdx2
G0
cuja resultante
f =
0GA0
e o momento resultante
M =
00
EIzzd2vfdx2
.
Para levar em conta que a distribuio de fora cisalhante e ngulo de distoro no uniforme, introduz-se um
fator de correo sobre a relao entre a fora resultante vinda da hiptese cinemtica e o esforo cortante.
V = GA
onde a correo dada em tabelas. Por exemplo, para sees circulares dada por = 6(1+)7+6 , para sees
retangulares = 10(1+)12+11 .A soluo pode ser feita por simples superposio, j que o efeito do momento e da fora cortante esto
separados.
H aqui uma inconsistncia do programa da disciplina, j que a diferena entre as teorias est no deslocamento;
desta forma, deve ser dada aps as deexes da teoria de Euler-Bernoulli.
Exemplo: seja uma viga de seo retangular com dimenses 3040mm (basealtura), comprimento de meiometro, feita em ao 1020 com E = 210GPa e = 0, 3, engastada em um lado e com carga vertical para cima deP = 10000N . Calcule deslocamentos transversais.
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A = b h = 120mm2 = 1, 2 104m2
Izz =b h3
12= 160000mm4 = 1, 6 107m4
=10 (1 + 0, 3)
12 + 11 0, 3= 0, 8497
O deslocamento de exo
Mz = P (L x)
EIzzdvf
dx=
Mzdx
dvf
dx=
P
EIzz
(Lx
x2
2
)
vf =
dv
dxdx =
P
EIzz
(Lx2
2x3
6
)
e o deslocamento de cisalhamento dado por
Vy = P
xy = G =VyA
xy =Vy
2GA
vc =
xydx =
P
2GAx
Por superposio
v = vf + vc
=P
EIzz
(Lx2
2x3
6
)+
P
2GAx
O deslocamento da ponta dado por
v (x = L) =PL3
3EIzz+
PL
2GA
=104 (1/2)
3
3 210 109 1, 6 107+
104 1/2
2 0, 85 80, 9 109 1, 2 104
= 12, 40mm+ 0.06mm = 12, 46mm
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