ESTATSTICA BSICA APLICADA A PROCESSOS DE MEDIO

Claudinei Jos de Oliveira

NDICE

CAPTULO 1 - REGRAS DE ARREDONDAMENTO 1.1 Algarismos significativos - Regras de arredondamento............................................... 1.2 Critrios normalizados (NBR 5891:1977)...................................................................... 1.3 Critrios acordados.......................................................................................................... 1.3.1 Critrio estatstico de arredondamento (desvio padro)............................................... 1.3.2 Critrio da resoluo do sistema de medio................................................................ CAPITULO 2 - MEDIDAS DE DISPERSO 2.1 Introduo......................................................................................................................... 2.2 Populao.......................................................................................................................... 2.2.2 Amostra........................................................................................................................... 2.2.3 Tamanho da amostra..................................................................................................... 2.3 Amplitude mxima entre valores................................................................................... 2.4 Mdia algbrica................................................................................................................ 2.5 Mediana............................................................................................................................. 2.6 Moda.................................................................................................................................. 2.7 Desvio padro................................................................................................................... 2.8 Varincia........................................................................................................................... 2.9 Erro sistemtico (Tendncia).......................................................................................... 2.10 Erro aleatrio................................................................................................................. 2.11 Coeficiente de variao........................................................................................ CAPITULO 3 ESTATSTICA APLICADA A MELHORIA DA QUALIDADE 3.1 Tcnicas grficas para soluo de problemas................................................................ 3.1.1 Fluxograma.................................................................................................................... 3.1.2 Grfico de Pareto........................................................................................................... 3.1.3 Grfico de linhas............................................................................................................ 3.1.4 Histograma..................................................................................................................... 3.1.5 Diagrama de causa e efeito (Diagrama de Ishikawa) .................................................. 3.1.6 Grfico de disperso/ Correlao linear....................................................................... 3.2 Controle Estatstico do Processo (CEP) ........................................................................ 3.2.1 ndices de capacidade de processo (Cp/ Cpk) .............................................................. CAPTULO 4 - INCERTEZA DE MEDIO 4.1 Introduo......................................................................................................................... 4.2 Fontes de incerteza........................................................................................................... 4.2.1 Incerteza do Tipo A........................................................................................................ 4.2.2 Incerteza do Tipo B........................................................................................................ 4.3 Clculo de incerteza......................................................................................................... 4.3.1 Incerteza combinada (Uc) ............................................................................................. 4.3.2 Incerteza expandida....................................................................................................... 4.3.3 Determinao do fator k................................................................................................ 4.3.4 Caso especial da incerteza Tipo A................................................................................. 4.3.5 Calibrao de instrumentos por faixas de indicao................................................. 4.3.6 Comparao da tolerncia de fabricao com a incerteza de medio.......................

1 1 2 2 3

4 4 5 5 6 6 7 7 7 9 9 10 11

12 12 13 14 14 15 16 18 23

26 27 27 28 29 29 30 30 31 32 32

1

CAPTULO 1 - REGRAS DE ARREDONDAMENTO

1.1 Algarismos significativos - Regras de arredondamento A expresso do resultado de medio deve ser expressa de acordo com a resoluo do meio usado na medio e do valor procurado no mensurando, pois no se justifica um resultado de medio com muitas casas decimais sendo que apenas duas dariam uma excelente representatividade do resultado procurado. Algumas vezes valores mdios podem aparecer com essa configurao. Por isso regras de arredondamento se fazem necessrias, tanto para no se arredondar um valor demasiadamente, como para no considerar uma grande quantidade de casas decimais que no agregam nada de significativo no valor final. Como se faz o arredondamento do resultado de uma medio? Atualmente, h trs possibilidades: as regras da NBR 5891, os critrios acordados e o critrio da resoluo do sistema. Para os critrios acordados ser abordado apenas o critrio da influencia do desvio padro (estatstico).

1.2 Critrios normalizados (NBR 5891:1977) A seguir os critrios normalizados so apresentados na Tab. 1.1 onde so descritas as condies, os procedimentos e alguns exemplos de arredondamento para a primeira casa decimal. Tabela 1.1: Regras de arredondamento na numerao decimal segundo NBR 5891:1977Condio 5 =5 = 5 e seguido de algum valor de 0 Procedimento O ltimo algarismo a ser mantido permanece o mesmo. O ltimo algarismo a ser mantido acrescido de uma unidade. O ltimo algarismo a ser mantido permanece o mesmo ou aumenta uma unidade, de forma que seja sempre par. O ltimo algarismo aumentado uma unidade. Exemplo 3,741 3,7 8,86 8,9 3,3505 3,4 7,45 7,4 9,650 9,6 9,552 9,6

Os nmeros do Qd. 1.1 a seguir foram arredondados considerando a terceira como significativa.

2

Quadro 1.1: aplicao das regras de arredondamento.12,04458 12,045 7,9908 7,991 0,12780,128 0,45897 0,459 3,9998 4,000 8,7452 8,746 87,0651 87,066 5,004505,004

1.3 Critrios acordados

1.3.1 Critrio estatstico de arredondamento (desvio padro) O critrio estatstico s vlido para situaes onde exista um nmero maior ou igual a trs medies, devido condio mnima de existncia de um desvio padro. Para a aplicao desse critrio necessrio conhecer a mdia da amostra envolvida, para verificar em que casa decimal o desvio padro da mdia sensvel a uma variao, ou seja, qual casa decimal duvidosa. Este procedimento e simplificado aplicando a Eq. 1.1SX n2

(SX )

(1.1)

Onde, x a mdia aritmtica da populao ou amostra, S X o desvio padro da mdia e n o nmero de amostras. Exemplo:x = 51,12578 mm

S X = 0,0876 mmn = 84 medies

(S X )

0,0876 = 0,00967 mm 84 2

Obs.: neste exemplo a terceira casa decimal sensvel a uma variao. Uma observao deve ser feita, os critrios de arredondamento s so eficientes no resultado final do processo de medio ou calibrao, seno uma srie de erros de arredondamentos pode ser propagada para o resultado final. Existem situaes que devem que devem observadas, por exemplo, um instrumento qualquer com resoluo de duas casas decimais. Qualquer inferncia sobre as medies deste instrumento deve estar representada com duas casas decimais. Quando acontecer a situao onde um resultado for o produto de uma srie operaes algbricas, e estes valores forem acompanhados de muitas casas decimais, estas devem ser conservadas durante as operaes

3

matemticas e tratamentos que forem submetidas. O arredondamento deve ser feito na apresentao do resultado final. A no observao deste procedimento propaga uma srie de erros de arredondamento.

1.3.2 Critrio da resoluo do sistema de medio Deve-se fazer o arredondamento de acordo com a resoluo do sistema de medio que estabelece neste caso, o significado fsico do resultado da medio. Se o meio de medio tem a resoluo de uma casa depois da vrgula, o arredondamento e feito para aquela casa, caso a resoluo seja na segunda ou terceira casa o critrio o mesmo, observando a NBR 5891:1977.

4

CAPITULO 2 - MEDIDAS DE DISPERSO

2.1 Introduo Ao se considerar um grupo de valores referentes medio de alguma grandeza fsica ou mesmo correlao de atributo, necessrio fazer algumas inferncias sobre este grupo, tais como: houve muita variao entre os resultados? Os resultados esto prximos uns dos outros? Os resultados esto fora dos especificado? Para responder essas perguntas e muitas outras, se faz necessrio uma maneira ou um modo em que estes valores possam ser comparados em relao a um valor de referncia ou um Valor Verdadeiro Convencional (VVC). Para tanto, existem formas de analisar a tendncia e a disperso entre os valores do grupo referido. Essas caractersticas tanto so aplicadas na populao quando so consideras todas as medies executadas em um determinado perodo de tempo ou em uma parte (amostra) que pode ser retirada desta populao.

2.2 Populao O conceito de populao abrange uma ou mais caractersticas que so observadas em um determinado grupo em um perodo de tempo. Para exemplificar este conceito podemos considerar a produo de engrenagens em uma fbrica durante uma semana ou mesmo um ms, onde a caracterstica do dimetro entre esferas na parte dentada a caracterstica mais relevante deste componente. Caso seja considerada a produo de 3200 engrenagens por semana esta ser a populao, caso consideremos 12800 engrenagens por ms esta ser a populao. A Fig. 3.1 mostra esquematicamente a diferena entre as populaes referentes h uma semana e h um ms completo de produo.

5

(a) Populao de engrenagens de uma semana. (b) Populao de engrenagens de um ms. Figura 2.1: Diferena entre populaes com intervalo de tempo diferente.

2.2.2 Amostra A amostra nada mais que uma parte da populao. Na maioria dos casos a inferncia sobre uma caracterstica qualquer realizada sobre uma amostra da populao. Isso se deve muitas vezes ao grande nmero de elementos contidos dentro dessa populao e por razes bvias de tempo e custo de anlises. Alguns cuidados devem ser tomados quando se fizer alguma inferncia sobre a populao partindo de uma amostra. A amostra deve ser representativa, sendo coletada ao longo de toda a populao que esta sendo considerada. Quanto maior for amostra mais representativa ela das caractersticas da populao.

2.2.3 Tamanho da amostra As amostras podem ser extradas aleatoriamente, sistematicamente, de maneira estratificada e sistematicamente. A Fig. 3.2 mostra esquematicamente elementos de uma amostra retirados aleatoriamente de uma populao.

(a) Amostra aleatria da populao de uma semana.

(b) Amostra aleatria da populao de um ms.

Figura 2.2: Amostragem entre populaes com elementos distintos.

6

Um passo importante antes de iniciar o clculo do tamanho da amostra definir qual o erro amostral tolervel para o estudo que ser realizado. As Equaes 3.1 e 3.2 referem-se ao tamanho da amostra de acordo com a populao.n0 = 1 2 E0

(2.1)

n=

N .n0 N + n0

(2.2)

Onde, n0 a primeira aproximao do tamanho da amostra e E0 o erro amostral tolervel (Ex.: 1,5% = 0,015) e N o nmero de elementos da populao e n o tamanho da amostra.

2.3 Amplitude mxima entre valores a diferena mensurvel entre o maior e o menor valor dentro de uma populao ou amostra significativa ou no. O valor da amplitude mxima pode ter muitas aplicaes para estimar determinadas caractersticas dentro de um grupo de medies. Porm, estes valores devem ser analisados dentro de critrios para se evitar fazer estimativas no representativas e realistas como, por exemplo, usar valores contaminados com outliers. Uma melhor definio de outlier definida dentro do erro aleatrio.

2.4 Mdia algbrica a soma de todos os valores coletados seja na populao ou na amostra, dividido pelo nmero de valores considerados. A mdia usada como valor de equilbrio, ela determina exatamente o centro de uma distribuio estatstica normal (gaussiana). O valor mdio de uma populao ou de uma amostra diferenciado apenas pelo caractere grego ou latino, sendo o grego utilizado para mdias populacionais e o latino para mdia de amostras. A Eq. 2.3 referente ao clculo de uma mdia populacional.n

=

xi =1

n

n

=

x1 + x2 + x3 + ... + xn n

(2.3)

7

Onde, a mdia populacional. Existem outros tipos de mdia como mdia harmnica, geomtrica e ponderada. Porm, para este trabalho ser discutida apenas a algbrica.

2.5 Mediana o valor que divide uma srie ordenada em duas partes iguais. Se n = mpar, a mediana ser o termo de ordem (n+1)/2. Se n = par, a mediana ser a mdia aritmtica dos termos de ordem n/2 e n/2+1.

2.6 Moda Em uma populao ou amostra a moda ser aquele valor ou parmetro que houver maior incidncia dentro do universo que estiver sendo avaliado. Dentro deste universo pode aparecer uma moda, mais de uma ou mesmo nenhuma moda.

2.7 Desvio padro o ndice de variabilidade que existe em uma seqncia de valores coletados seqencialmente ou no de uma populao ou em uma amostra. Matematicamente o desvio padro dado pela raiz quadrada do somatrio de cada amostra individual menos o valor mdio dos valores tomados para clculo, elevado ao quadrado, dividido pelo nmero de termos existentes. O desvio padro pode ser associado ao erro aleatrio, pois, quanto menor esse valor menor a variao entre os valores observados. A Fig. 2.3 faz uma representao grfica do desvio padro em relao mdia da populao.

8

Figura 2.3: Representao grfica de um desvio padro.

O desvio padro pode ser preciso ou estimado e o uso de cada um depende do tipo de tratamento que esta sendo dado s medies. Quando forem utilizados todos os elementos ou medies de uma o desvio padro preciso o indicado. seguir representam os dois tipos de desvio padro. Quando apenas uma amostra de uma populao for utilizada, utiliza-se o desvio padro estimado. As Equaes 2.4 e 2.5 a

=

(x

i

)

2

n

(2.4)

Onde, o desvio padro populacional, xi so as amostras individuais, a mdia da populao e n o nmero de amostras da populao.S=

(x x )n 1

2

(2.5)

Onde, S o desvio padro da amostra, xi so as amostras individuais, X a mdia da amostra e n o nmero de amostras da populao. Deve se tomar o cuidado ao se levantar o desvio padro de uma populao ou de uma amostra, se estes valores no esto contaminados com outliers. Pois so valores que extrapolam ou que diferem consideravelmente de uma seqncia de medies. Essas variaes nos dados possivelmente so provenientes a existncia de folgas, atrito, vibraes, flutuaes de tenso eltrica, instabilidades internas das condies ambientais, erro de manuseio no equipamento, problemas de funcionamento ou interpretao errnea de resultado por parte de quem esta fazendo as mensuraes, um valor que deve ser analisado e desconsiderado.

9

2.8 Varincia A varincia corresponde rea onde acontece determinado evento, a varincia corresponde a grandeza analisada elevada ao quadrado. A varincia de dividida em dois tipos, varincia da populao e varincia da amostra. As Equaes 2.6 e 2.7 apresentam os dois tipos.n

2 =

(xi =1

i

)

2

n

um 2

(2.6)

Onde, 2 a varincia da populao, xi so os valores individuais da populao, a mdia algbrica de todos os valores da populao, n o nmero total de indivduos da populao e um2 uma unidade de medida qualquer ao quadrado.n

S2 =

(xi =1

i

X)

2

n 1

um 2

(2.7)

Onde, S2 a varincia da amostra, xi so os valores individuais da amostra, X a mdia algbrica de todos os valores da amostra, n - 1 o nmero total de indivduos da amostra menos um (graus de liberdade) e um2 uma unidade de medida qualquer ao quadrado.

2.9 Erro sistemtico (Tendncia) a parcela constante de incremento que ocorre na expresso de um resultado, essa diferena pode ser facilmente encontrada e compensada na expresso do valor final de medio. O erro sistemtico a diferena que existe na comparao de um valor de referncia conhecido e o mensurando, esta diferena considerada na expresso do resultado de medio. Essa diferena pode ser encontrada nos meios de medio e comparao como ponteiros de relgios comparadores/ apalpadores tortos ou desgastes em padres de comprimento.

10

O valor da tendncia encontrado extraindo-se o valor mdio das medies menos o Valor Verdadeiro Convencional (VVC), o valor da tendncia a diferena entre os dois valores com sinal trocado. O valor de tendncia deve ser analisado, para que se possa fazer o ajuste na expresso do resultado.Td = X - VVC

(2.8)

Onde, Td a tendncia, X a mdia das n medies e VVC o Valor Verdadeiro Convencional. A Fig. 2.4 exemplifica esquematicamente como um erro sistemtico pode ser representado em relao a um valor de referncia ou a mdia de uma zona de tolerncia.

(a) Erro sistemtico em relao h um valor de referencia

(b) Erro sistemtico em relao h uma zona de tolerncia.

Figura 2.4: Representao do erro sistemtico.

2.10 Erro aleatrio

A variao entre valores de um grupo de medies retrata a aleatoriedade ou o erro aleatrio dos valores observados. Quanto menor for diferena entre os valores observados verificada pelo desvio padro, menor o erro aleatrio presente entre os valores, logo, melhor a repetibilidade. A Fig. 2.5 Apresenta uma pequena aleatoriedade entre um grupo de valores, sendo que um dos valores aparece com o valor muito disperso em relao ao grupo considerado. Dependendo da disperso em relao aos demais valores, este caso pode ser classificado como outlier. Os outliers devem ser desconsiderados nos tratamentos, pois no representam com fidelidade as caractersticas que esto sendo estudadas na populao ou amostra. Estes valores podem ser originados de interpretaes errneas de leituras de medio ou mesmo por erros grosseiros. Para verificar a influencia de valores extremos, pode-se

11

utilizar o teste de Dixon. Com este teste possvel inferir se o valor pode ser um ponto esprio ou no.

Figura 2.5: Medio contaminada com outlier.

Um teste eficiente para discriminar populaes e amostras contaminadas com outliers o teste de Dixon que de fcil aplicao e ser abordado neste trabalho posteriormente.

2.11 Coeficiente de variao O coeficiente de variao e um parmetro adimensional, sendo utilizado para verificar a disperso entre grupos de anlises distintas. Ele dado pelas Equaes 2.9 e 2.10, sendo a primeira relativa populao e a segunda a uma amostra retirada da populao.

I var =

(2.9)

I var =

S X

(2.10)

12

CAPITULO 3 ESTATSTICA APLICADA A MELHORIA DA QUALIDADE

3.1 Tcnicas grficas para soluo de problemas Neste capitulo so abordados uma srie de procedimentos onde, os conceitos de desvio padro, amostra e populao j devem estar bem claros para o leitor, pois eles so de extrema importncia. Uma srie de ferramentas grficas pode ser aplicada em torno de um problema ou simultaneamente a vrios problemas, facilitando assim o entendimento. Estas podem ser utilizadas para diferentes propsitos e em vrios estgios do processo de soluo de problemas. A mxima de que um grfico vale por mil palavras amplamente aplicada nos processos de monitoramento da qualidade, pois possuem o atributo de fcil visualizao dos problemas e solues, ou seja, tudo que puder ser agrupado e visualizado em forma de grficos se torna de fcil entendimento e compreenso. So ferramentas grficas utilizadas para este fim: Fluxograma; Grfico de Pareto; Grfico de linhas; Histograma; Diagrama de causa e efeito e Diagrama de disperso.

3.1.1 Fluxograma De acordo com Brassard (1991) o fluxograma uma representao grfica mostrando todos os passos de um processo, ele apresenta uma excelente viso do processo e pode ser muito til para verificar como vrios passos do processo esto relacionados entre si. O fluxograma utiliza smbolos ordinrios padronizados para representar cada etapa do processo. A Fig 4.1 mostra esquematicamente um fluxograma ordinariamente organizado.

Figura 3.1: Fluxograma ordinrio [Brassad (1991)].

13

O fluxograma mais amplamente utilizado na identificao de problemas no processo conhecido como Imagineering. Sua aplicao mais direta se d na comparao entre um fluxograma atual como se encontra o processo e outro desenhado com todas as etapas que este processo deveria ter. Dai se compara os dois fluxogramas para verificar onde diferem entre si, pois ai esta a raiz do problema. Um fluxograma tpico possui a seguinte interpretao:

Define claramente os limites do processo; Utiliza smbolos simples; Assegura a soluo para todas as alternativas; Normalmente uma nica seta sai do retngulo processo, de outra forma pode ser necessrio o losango deciso.

3.1.2 Grfico de Pareto uma forma especial do grfico de barras verticais que permite determinar quais problemas resolverem e qual a prioridade. O grfico de Pareto elaborado em uma coleta de dados e ajuda a dirigir as atenes e esforos para problemas mais importantes. A Fig. 4.2 mostra uma aplicao desta ferramenta grfica.

Figura 3.2: Grfico de Pareto.

Bassad (1991) cita que o bom censo deve imperar, pois, nem sempre eventos mais freqentes ou de maior custo so sempre os mais importantes. Por exemplo, dois acidentes fatais requerem mais ateno que 100 cortes no dedo.

14

3.1.3 Grfico de linhas O grfico de linhas tem o mesmo principio do grfico de barras, a diferena que as grandezas esto associadas a pontos de um par ordenado causa e efeito ou ao e reao. Um grfico pode ter uma linha apenas ou vrias dependo do tipo de inferncia que se procura. A Fig 4.3 mostra um grfico de linha, que representa uma varivel qualquer ao longo do tempo em torno do valor mdio.

Figura 3.3: Grfico de linha.

3.1.4 Histograma O histograma um grfico de colunas que agrupa os dados em conjuntos menores definidos por intervalos pr-estabelecidos, e a cada um deles associado um retngulo, cuja base coincide com a largura do prprio intervalo e cuja rea proporcional sua freqncia. A freqncia definida pela Eq. 4.1.

f ( x) =

ki n

(3.1)

Onde, f(x) a freqncia de ocorrncia de valores de um intervalo; Ki o nmero de ocorrncias dos valores de um determinado intervalo e n o nmero total de medidas. Como a somatria de todas as freqncias deve ser igual a um, a rea total sob o histograma tambm vale um. Para facilitar a comparao com os dados tabelados, a altura dos retngulos pode ser igual freqncia do intervalo, e no sua rea. Como as bases so todas iguais, a proporcionalidade de rea no alterada. A Fig. 4.4 mostra um histograma com a mdia e seus respectivos desvios.

15

Figura 3.4: Histograma e sua distribuio de freqncia.

3.1.5 Diagrama de causa e efeito (Diagrama de Ishikawa)

Esta ferramenta grfica pode ser utilizada quando se necessitar identificar, explorar e ressaltar todas as causas possveis de um problema ou condio especifica. Ele representa relao entre o efeito e todas as possibilidades de causa que podem contribuir para esse efeito. O efeito ou problema colocado no lado direito do grfico e os grandes contribuidores ou causas so listados esquerda. Esquematicamente a Fig. 3.5 mostra um diagrama do tipo 6Ms.

Figura 3.5: Esquema do diagrama de causa e efeito 6Ms.

Ainda segundo Brassad (1991) um diagrama de causa e efeito pode ser definido da seguinte maneira: i. Comece o processo estabelecendo de comum acordo uma definio que descreva o problema relacionado em termos claros do que seja, onde ocorre, quando ocorre e sua extenso;

16

ii.

A pesquisa das causas prea a construo do diagrama de causa e efeito feita por um dos seguintes mtodos: brainstorming e verificao das etapas do processo mais de perto;

iii.

Construa o diagrama de causa e efeito atual colocando o problema j definido no quadro a direita, desenhando as categorias de causas (essas categorias podem ser aumentadas e modificadas de acordo com o problema), aplique o resultado do brainstorming para as apropriadas categorias principais e sempre questione as causas, Porque isso acontece? sempre relacionado as resposta como contribuidores da causa principal.

3.1.6 Grfico de disperso/ Correlao linear

O diagrama de disperso utilizado para estudar a possvel relao entre duas variveis. O diagrama de disperso usado para verificar a relao de causa e efeito. Isso no prova que a varivel afeta a outra, mais torna claro se uma relao existe e em que intensidade. O diagrama de disperso construdo de forma que o eixo horizontal (x) represente valores mensurados de uma varivel e o eixo vertical (y) represente os valores de uma segunda varivel. Um diagrama de disperso tpico pode ser visto na Fig. 3.6, onde os pontos circulados so os valores que se repetem.

Figura 3.6: Grfico de disperso [adaptado de Brassard (1991)].

Para verificar se duas variveis possuem correlao se aplica a Eq. 3.2. Nesta calculado um coeficiente r (Coeficiente de Pearson).

r=

n ( x 2 ) ( x ) . n ( y 2 ) ( y )2

n x . y ( x ). ( y )

2

(3.2)

17

O valor significativo deste coeficiente r pode ser interpretado de acordo com a Fig. 3.7.

Figura 3.7: Valores para o coeficiente r de Pearson.

Tambm pode ser interpretado que quando as grandezas analisadas so diretamente proporcionais tm-se correlao positiva e quando so inversamente proporcionais a correlao negativa. A configurao dos pontos na rea do grfico pode ser interpretada de diferentes maneiras. O Qd. 3.1 mostram essas possveis interpretaes. Quadro 3.1: Possveis interpretaes de correlaes.Correlao positiva Um aumento em Y depende de um aumento em X. Se X controlado, Y naturalmente controlado. Ex: temperatura x presso; treinamento x desempenho.

Possvel correlao positiva Se X aumentado, Y aumentar um pouco, mas existem outras causas alm de X

Nenhuma correlao No h correlao

Correlao negativa Um aumento em X mostra um decrscimo em Y. Ou seja, uma relao inversamente proporcional. Ex: velocidade x tempo

Possvel correlao negativa Um aumento em X causar uma tendncia de decrscimo em Y. Ex: treinamento x rejeies.

18

3.2 Controle Estatstico do Processo (CEP)

a maneira a qual um processo monitorado, onde atravs de uma coleta sistemtica de dados, possvel verificar a disperso dos valores dentro do campo de tolerncia definido e sua variao em torno de um valor mdio esperado. Esse monitoramento feito por coleta de dados em cartas de controle. As cartas de controle so eficientes ferramentas para a verificao das condies de qualquer processo, atravs da visualizao dos dados e da sua variao em relao a um valor mdio possvel saber se o processo esta sob controle ou no. Os parmetros de controle para uma carta so baseados nas tolerncias que os produtos possuem. Essa tolerncia o intervalo entre o Limite superior de engenharia (LSE) e o limite inferior de engenharia (LIE). A Fig. 3.8 mostra esquematicamente esses limites num grfico de controle.

Figura 3.8: Grfico de uma carta de controle.

A variao dos pontos dentro dos limites de controle resulta a variao intrnseca ao processo. Isso ocorre devido s causas comuns dentro do sistema. Eventualmente pontos caem fora dos limites de controle e refletem causas especiais (erro humano, acidentes, etc.) que no so ocorrncias originais do processo. Estar sob controle no significa necessariamente que o produto ou servio atender suas expectativas. Significa apenas que o processo consistente. Um processo pode ser controlado por variveis ou por atributos, logo, existem vrios tipos de cartas de controle. As cartas so definidas de acordo com o Qd. 3.2.

19

Quadro 3.2: Tipos de carta de controle.

Para a aplicao dos tipos de carta necessrio se calcular os limites de controle. Na sua grande maioria os limites iniciais so calculados baseados em coletas de dados durante um determinado perodo no processo. As cartas mdia/amplitude tambm podem ter os limites estimados baseados na tolerncia de engenharia sem comprometer significantemente. A Tab. 3.1 mostra os fatores utilizados para se estimar os limites de controle dos tipos de carta que foram aqui discriminados.Tabela 3.1; Fatores para clculo dos limites de controle. n 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A21,880 1,023 0,729 0,577 0,483 0,419 0,373 0,337 0,308

21,880 1,187 0,796 0,691 0,548 0,508 0,433 0,412 0,362

A32,659 1,954 1,628 1,427 1,287 1,182 1,099 1,032 0,975

B30 0 0 0 0,030 0,118 0,185 0,239 0,284

B43,267 2,568 2,266 2,089 1,970 1,882 1,815 1,761 1,716

D21,128 1,693 2,059 2,326

D30 0 0 0 0,076 0,136 0,184 0,223 0,256

D43,267 2,574 2,282 2,114 2,004 1,924 1,864 1,816 1,777

E22,660 1,772 1,457 1,290 1,184 1,109 1,054 1,010 0,975

Um mtodo prtico para se estimar a amplitude mdia de controle R utilizar a Eq. 3.3.R= Tol. (D2 ) 6 1,5

(3.3)

Onde, R a amplitude mdia, Tol a tolerncia de engenharia e D2 o estimador tabelado podendo variar de 2 a 10 amostras. Neste caso a amplitude R estimada com 4 desvios padro ou 95,45% de probabilidade enquadramento. Em alguns casos necessrio se trabalhar com os limites naturais e estes remetem a Eq. 3.4 para encontrar a amplitude mdia.

20

R=

Tol. (D2 ) 6 2

(3.4)

Para limites naturais de controle so utilizados 6 desvios padro ou 99,73% de probabilidade de enquadramento. Um caso tpico para cartas de controle que utilizam os limites naturais de controle de ferramentas que se desgastam durante o uso, por exemplo, brochas de desbaste. Essas ferramentas so adquiridas no limite superior de engenharia e medida que vo sendo reafiadas tendem a diminuir suas dimenses, at chegar ao limite inferior de engenharia, para ai serem descartadas. As equaes utilizadas para calcular os limites de controle das cartas por variveis so dadas no Tab. 3.2 a seguir. Tabela 3.2: Equaes para encontrar limites de controle por variveis.Carta Limites de controle Amplitude mxima Amplitude minima

X /R X /S ~ X /RX /R

LSC , LIC = X A2 . R

LSC = D4 . R

LIC = D3 . R LIC = B3 . S LIC = D3 . R LIC = D3 . R

LSC, LIC = X A3 . S ~ LSC, LIC = X . R LSC , LIC = X E2 . R

LSC = B4 . SLSC = D4 . R

LIC = D3 . R

As equaes utilizadas para calcular os limites das cartas por atributos so dadas no Tab. 3.3.Tabela 3.3: Equaes e aplicaes para limites de controle por atributos. Carta p np c u Limites de controle Aplicao

LSC, LIC = p 3 p (1 p ) / p

(

)

LSC, LIC = np 3 np (1 np / n )LSC , LIC = c 3 c LSC , LIC = u 3 u / n

Para a porcentagem de unidades no conforme relativa a amostras de tamanho no necessariamente constante. Para o nmero de unidades no conforme relativa a amostras de tamanho constantes Para o numero de no conformidade relativa a amostras de tamanho constante. Para o nmero de no conformidade por unidade relativa a amostras de tamanho no necessariamente constante.

Para a implantao de monitoramento de processos por cartas de controle o fluxograma da Fig. 3.9 deve ser observado.

21

Figura 3.9: Fluxograma de implantao de controle estatstico.

O processo e qualificado como sob controle e fora de controle de acordo com os Quadros 3.3 e 3.4.Quadro 3.3: Processo sob controle. Processo sob controle

Quando 2/3 dos pontos estiverem contidos em 1/3 central, situado entre os limites de controle.

22

Quadro 3.4 processo fora de controle. Processo esta fora de controle quando:

Possuir pontos fora dos limites de controle

Houver sete pontos consecutivos acima ou abaixo da linha mdia.

Houver sete pontos ascendentes ou descendestes em torno do valor mdio

Quando 2/3 dos pontos no estiverem contidos em 1/3 central, situado entre os limites de controle.

Para se estimar o desvio padro de uma carta de controle utiliza-se a relao dada pela Eq. 3.5.S est = R D2

(3.5)

23

Onde, Sest o desvio padro estimado, R a amplitude mdia calculada e D2 o fator tabelado. Para se encontrar os limites naturais de um controle estatstico utiliza-se a Eq. 3.6.LN = X 3S

(3.6)

Onde, LN representa os limites naturais, X a mdia e S o desvio padro.

3.2.1 ndices de capacidade de processo (Cp/ Cpk)

Um processo considerado capaz e centrado quando produz com uma confiabilidade de 99,73% de peas conforme ou mais ou menos trs desvios padro. O ndice Cp ou Cm representa capacidade do processo, j Cpk ou Cmk representa a centragem dos valores medidos em relao a um valor mdio ou esperado. O Cpk pode ter no mximo o valor igual ao Cp nunca maior (Cpk Cp). Para os processos que esto sob controle, seu monitoramento feito a partir de 6 desvios e eles tem o Cp ou Cm calculado de acordo com a Eq. 3.7. Cp, Cm = Tol 1 6 (3.7)

Onde, o desvio padro do processo. Para encontrar o ndice de centragem Cpk ou Cmk utilizam-se as Equaes 3.8 e 3.9. Zu = LSE x 3 x LIE 3 (3.8)

Zl =

(3.9)

A mdia encontrada vai determinar qual equao ser utilizada. Se a mdia encontrada for maior que a esperada usa-se Zu, Caso seja menor, usa-se Zl. O resultado encontrado igual ao Cpk ou Cmk. Em casos de caractersticas unilaterais que possuem apenas valor mximo admissvel como erro de forma, utiliza-se a Eq. 3.8. Em casos de caractersticas unilaterais que possuem apenas valor mnimo admissvel como dureza mnima, bombatura (fecha mxima em um segmento compreendido entre dois pontos), utiliza-se a Eq. 3.9.

24

H outras interpretaes para a centragem de um processo ou mesmo de um produto em alguns casos parte-se das tolerncias de ajustes como furos e eixos para estipular o ndice de centragem ou mesmo os ndices, neste caso o Cpk1 e Cpk2. As Equaes 3.10 e 3.11 representam estes ndices.Cpk1 = Dmin ( d min ) x 3x Dmin ( d min ) 3

(3.10)

Cpk 2 =

(3.11)

Estes ndices representam a capabilidade do processo, um processo e considerado bom, quando o menor valor calculado pelas Equaes 3.10 e 3.11 superior h 1,33 e considerado em torno da mdia quando os valores calculados pelas duas equaes so iguais. Segundo Novaski 1994, para se avaliar um processo, deve-se comparar a capacidade do processo com as especificaes ou padres do produto. Assim convencionou-se que um processo capaz quando seu desvio padro for igual ou menor que um oitavo da tolerncia especificada, ou seja, a tolerncia deve abranger oito ou mais desvios padres. Nessas condies o processo ser capaz de produzir 99,99% das peas dentro das especificaes. Utilizando-se deste principio, este critrio permite uma folga operacional mnima de 2 desvios padro entre a capacidade do processo (6) e a especificao (8) possibilitando uma margem para possveis ajustes sem se produzir peas no conformes. A indstria adota o ndice de 1,33 como valor base para o Cp/ Cm de um processo, este valor definido pela Eq. 3.12.=Tol Tol = 8 8

(3.12)

Substituindo a Eq. 3.12 na Eq. 3.7 tm-se:Cp, Cm = Tol 8 Cp, Cm = = 1,33 6 6

(3.11)

Segundo Bassad (1991) A verdadeira melhoria no processo obtida atravs do equilbrio entre repetibilidade, consistncia e capacidade de atender as especificaes de projeto. A Fig.3.9 mostra como se d distribuio dos valores encontrados em funo da capacidade.

25

A variabilidade do processo excede a especificao, existe a ocorrncia de defeitos.

O processo atende exatamente a especificao. Um mnimo de 3% de defeitos e esperado ou mais, se o processo no estiver centrado.

A variao do processo menor do que a especificao, eventualmente pode aparecer defeitos se o processo no estiver centrado corretamente.

Figura 3.9: Capacidade de um processo.

Os processos podem apresentar altos valores para Cp ou Cm e at valores muito baixos para Cpk ou Cmk. Quando isso ocorrer e que o processo possui alta capacidade de produzir com qualidade e pouca disperso entre os valores, porm se encontra deslocado do valor mdio ou valor de referncia. Segundo Bassad (1991), algumas empresas estabelecem metas especificas para a capacidade do processo, mais normalmente com um valor de Cpk ou Cmk acima de 1,33. Isso remete a probabilidade de encontrar uma pea defeituosa a cada 10.000 fabricadas.

26

CAPTULO 4 - INCERTEZA DE MEDIO

4.1 Introduo

A definio de incerteza abaixo foi retirada da portaria do INMETRO n. 29 de 10 de maro de 1995 do vocabulrio de metrologia. Incerteza o parmetro associado ao resultado de uma medio, que caracteriza a disperso dos valores que podem ser fundamentalmente atribudos a um mensurando. Ainda segundo o ISO GUM (1997): 1. A incerteza pode ser, por exemplo, um desvio padro (ou mltiplo dele), ou a metade de um intervalo correspondente a um nvel de confiana estabelecido. 2. A incerteza de medio compreende em geral a muitos componentes. Alguns podem ser estimados com base na distribuio estatstica dos resultados de medies e podem ser caracterizados por desvios padro experimentais. 3. Entende-se que o resultado da medio a melhor estimativa do valor do mensurando, e que todos os componentes da incerteza incluindo aqueles resultantes dos efeitos sistemticos, como os componentes associados correes de padres de referncia, contribuem para a disperso. Esta definio foi extrada do Guia para a Expresso de Incerteza de Medio, no qual sua fundamentao detalhada (ver particular, 2.2.3). No existe resultado de medio consistente que no possua incerteza, para um resultado ser consistente ele deve ser feito com um equipamento calibrado e o resultado deve vir contemplado com o valor de incerteza. Quando no houver nenhuma referncia ao valor da incerteza, deve-se considerar a resoluo do equipamento utilizado para expressar tal dvida no resultado. A Fig. 4.1 mostra diferentes resolues para uma escala, logo se no houver uma incerteza declarada, a resoluo das escalas assumida como incerteza na expresso do resultado.

27

Figura 4.1: Diferentes resolues para uma escala.

O resultado de uma medio junto com sua incerteza e dada pela Eq. 4.1.Rm = Id (Td ) I

(4.1)

Onde, Rm o resultado de medio, Id a indicao, Td a tendncia e I a incerteza que tambm pode aparecer como U (uncertainty).

4.2 Fontes de incerteza

A incerteza presente em um resultado de medio possui outros componentes, existem aquelas fontes oriundas do prprio sistema medio (incerteza Tipo A), e aquelas herdadas de outras fontes como: variao da temperatura, umidade, incerteza herdada de padres, etc. (incerteza Tipo B). Todas as variveis que podem influenciar um resultado de medio, ou calibrao so chamadas de grandezas de influencias.

4.2.1 Incerteza do Tipo A

Este tipo de incerteza originado pelo prprio sistema de medio e dada pela variao dos valores de uma mesma medio que replicada n vezes. Esta avaliao feita atravs de processo estatstico, onde, o desvio padro das amostras dividido pela raiz quadrada das n medies efetuadas. Esta relao dada pela Eq. 4.2.

(xi =1

n

i

x)

2

Ua =

n 1 n

=

S n

(4.2)

28

Onde, Ua a incerteza Tipo A, S o desvio padro amostral e n medies.

n a raiz quadrada das

Para que o valor de S(x) seja confivel necessrio que seja realizado um nmero suficientemente grande de medies, geralmente n 10. Utilizando o valor mdio de vrias indicaes, obtido a partir da mdia de um conjunto de "n" indicaes de x, o desvio padro experimental da mdia de x estimado pela Eq. 4.3.

S (x ) =

S (x ) n

(4.3)

A incerteza padro associada varivel mensurada representada por U(x), e o prprio desvio padro das medies efetuadas e dado pela Eq. 4.4.U (x ) = S (x )

(4.4)

Onde, S (x ) o desvio padro mdio das medies da varivel em observao. O nmero de graus de liberdade envolvido V na determinao de U(x) o nmero de medies independentes efetuadas menos uma, e dada pela Eq. 4.5.

= n 1

(4.5)

A incerteza Tipo A engloba todos os desvios inerentes ao processo de medir e comparar um determinado valor

4.2.2 Incerteza do Tipo B

Na determinao das incertezas Tipo B usa-se procedimentos no estatsticos. Estas estimativas dependem da experincia prtica do experimentalista e podem ser to confiveis quanto s avaliaes do Tipo A. As estimativas podem ser baseadas em avaliaes anteriores, onde levantamentos fornecem dados quantitativos confiveis sobre a influncia da fonte de erro considerada. Elas podem ser: Certificados de calibrao; Registros histricos das caractersticas metrolgicas do SM;

29

Dados de medies anteriores; Especificao do fabricante. Tudo que pode influenciar de maneira externa uma medio ou calibrao uma fonte

de incerteza do Tipo B.

4.3 Clculo de incerteza

Ao se conhecer todas as fontes ou componentes de incerteza de um sistema de medio necessrio combin-las para assim expressar um valor nico que englobe dentro de uma probabilidade estatstica o resultado que possa descrever o quanto aquele resultado no exato. As etapas envolvidas para se expressar um resultado de incerteza esto combinao das grandezas de influencia (incerteza combinada) e a expanso do resultado (incerteza expandida).

4.3.1 Incerteza combinada (Uc)

A incerteza combinada (Uc) engloba todas as grandezas envolvidas dentro de uma confiabilidade de 68,27% (). A incerteza combinada a mdia geomtrica de todas as fontes de incerteza, ou seja, a raiz quadrada da soma quadrtica de todas as fontes de incerteza. Todas as incertezas Tipo A e B so combinadas de acordo com a Eq. 4.6. UC =

(U a ) 2 + (U b

1

) + (U ) + ... + (U )2 2 b2 bn

2

(4.6)

Onde, Uc a incerteza combinada, Ua a incerteza do Tipo A avaliada estatisticamente e U b n so as incertezas do Tipo B. Deve-se observar que a incerteza herdada um valor declarado em um certificado j expandido. Para saber qual seu valor antes da expanso, deve-se dividir o valor declarado no certificado do equipamento ou padro pelo fator k declarado (normalmente um valor

30

prximo de 2). Durante os procedimentos de aferio/calibrao, corre-se o risco de expandir o mesmo valor de incerteza duas vezes, caso na se observe essa possibilidade.

4.3.2 Incerteza expandida

A incerteza expandida o resultado final da expresso do resultado de incerteza, por este procedimento so consideradas todas as grandezas de influncia sobre o resultado. A janela de probabilidade onde a incerteza no resultado pode se situar varivel, e depende do fator k empregado. Este fator k um valor determinado a partir da distribuio t de Student com graus efetivos de liberdade (n -1), para um nvel p de confiana.

4.3.3 Determinao do fator k

Este valor calculado por meio de aproximao dada pela Eq. 4.7. Esta equao conhecida como aproximao de Welch-Satterwaite.

ef =

i =1

(U C )4 n (U i )4i

(4.7)

Onde, ef o grau de liberdade efetivo. Na prtica os experimentalistas multiplicam o valor da incerteza combina por 2 para uma confiabilidade de 95,45%. Mais se deve observar que a rigor o valor 2 utilizado apenas quando o valor encontrado pela equao for maior que 100. A metrologia trabalha com resultados de incerteza que vo de 95% at acima de 99% de confiabilidade. Os valores para fator de abrangncia k para o nvel de confiana em funo do nmero de graus de liberdade efetivos (Vef) so dados pela Tab. 4.1.

31

Tabela 4.1: Graus de liberdade para o fator de expanso.

ef (n-1)1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 16 18 20 25 30 35 40 45 50 60 80 100

Probabilidade (P)/ nvel de confiana 95% 12,71 4,300 3,180 2,780 2,570 2,450 2,360 2,310 2,230 2,180 2,140 2,120 2,100 2,090 2,060 2,040 2,030 2,020 2,010 2,010 2,007 2,002 1,984 1,960 95,45% 13,97 4,530 3,310 2,870 2,650 2,520 2,430 2,370 2,280 2,230 2,230 2,170 2,150 2,130 2,110 2,090 2,070 2,060 2,060 2,050 2,040 2,030 2,025 2,000 99% 63,66 9,920 5,840 4,600 4,030 3,710 3,500 3,360 3,170 3,050 2,980 2,920 2,880 2,850 2,790 2,750 2,720 2,700 2,690 2,690 2,670 2,652 2,626 2,576 99,45% 235,8 19,21 9,220 6,620 5,510 4,900 4,530 4,280 3,960 3,760 3,640 3,540 3,480 3,420 3,330 3,270 3,230 3,200 3,180 3,160 3,130 3,098 3,077 3,000

4.3.4 Caso especial da incerteza Tipo A

Este caso e dado pela seguinte condio: Existir apenas uma componente de incerteza Tipo A; Nmero de medies (n) pequeno; Nmero de medies (n) maior que dois; U a > (U c / 2) . Quando a condio acima for atendida, deve ser calculado um novo k. Este novo k retirado da tabela de distribuio de Student (95%) entrando-se com o grau de liberdade efetivo calculado vef.da Eq. 4.7. Para incertezas Tipo B, considerar i = e por tanto, o denominador da equao acima ter somente as componentes Tipo A, j que as do Tipo B sero iguais zero.

Incerteza padronizada Tipo A maior que a metade da incerteza combinada:

32

4.3.5 Calibrao de instrumentos por faixas de indicao

A grande maioria dos equipamentos tem uma faixa de utilizao e ao longo desta faixa podem-se ter erros localizados uma forma de atenuar o erro localizado combinando todas as varincias ao longo das faixas de calibrao. Este mtodo muito prtico, pois, atravs de sua aplicao possvel estimar uma varincia melhor distribuda entre todas as indicaes de um conjunto de medies. Para se combinar a varincia de vrias faixas de indicao utilizada a Eq. 4.8.

( SC ) 2 =

.S

(4.8)

Onde, o grau de liberdade referente ao numero de medies na faixa e S o desvio padro do total de medies por faixa de indicao.

4.3.6 Comparao da tolerncia de fabricao com a incerteza de medio

Tolerncia de Fabricao (IT): faixa de valores aceitveis para uma dimenso. Por exemplo, um dimetro com 60 milmetros e uma tolerncia de 4 milmetros (d = 60 2 mm).

Incerteza de Medio: faixa de valores que exprime a dvida do processo de medio. provocada por vrias fontes de erros. Deve-se realizar uma medio para determinar se o dimetro efetivo est entre os limites aceitveis. Deve-se obedecer a seguinte regra: U IT / 10 .

Para o dimetro acima, o processo de medio tem de apresentar U 2 / 10 = 0,20 mm .

Exemplos resolvidos

A massa de um anel foi determinada em uma balana eletrnica. Foram realizadas 12 medies, obtendo-se os seguintes valores ta Tab. 4.2 a seguir:Tabela 4.2: Medies da massa de um anel padro (g). 19,85 19,90 20,00 20,05 20,05 19,95 19,95 19,85 20,00 19,90 19,85 20,05

33

A balana tem um certificado de calibrao com os seguintes dados descritos no Qd. 4.1 a seguir:Quadro 4.1: Dados de calibrao de uma balana eletrnica. Temperatura de calibrao 20 C Indicao (g) 0 5,00 ---20,00 Resoluo 0,05 g Estabilidade trmica 0,025 g/ C Correo (g) 0 -0,05 ----0,15 Temperatura de medio 24,0 T 26,0 C Estabilidade temporal 0,02 g/ ms U (K = 2) 0,05 0,06 --- 0,08 Ultima calibrao 5 meses

Soluo:

I. Clculo das incertezas padro: Fonte de incerteza: Repetitividade da indicao (Tipo A)n 12

11

x19,950 g

Sx0,080 g

Sx0,023 g

u ( x ) = urepet 0,023 g

a) Fonte de Incerteza: No linearidade da balana (Tipo B). Baseada nos dados existentes. A calibrao indica correo para vrios pontos na faixa de medio: x = 19,95 g ; Ser utilizado um valor aproximado de x 20 g . O certificado de Calibrao determina uma correo de - 0,15 g. Assim: Cnl = 0,15 g A Calibrao indica a incerteza expandida para vrios pontos na faixa de medio. Parax 20 g , tem-se: U = 0,08 g . Indicou-se k = 2 . Assim, A incerteza padro fica: unl

=0,08/2 unl = 0,04 g Para o valor de x 20 g tinha-se uma incerteza expandida U = 0,08 g . (Para calcular este valor de U foi necessrio um procedimento igual ao deste exemplo, ou seja, clculo das incertezas padro, combinada e expandida). A determinao da incerteza padro desta fonte de incerteza foi realizada atravs da diviso do valor de U pelo fator k = 2.

34

b) Fonte de Incerteza: Resoluo Limitada (Tipo B) Resoluo (R): 0,05 g. (Erro de truncamento: Etr. mx = R / 2 = 0,025 g ) Admitindo uma distribuio retangular centrada no zero com Limite superior (Ls) = 0,025 g e Limite inferior (Li) = -0,025 g, calcula-se a = 0,025 e a incerteza.

uresol =

0,025 a = = 0,014 g uresol = 0,014 g 3 3

c) Fonte de Incerteza: Estabilidade temporal (Tipo B) Perodo da ultima calibrao: 5 meses com o acrscimo de 0,02 g/ ms, logo o erro total = 0,10 g. Admitindo uma distribuio retangular centrada no zero, onde: (Ls = 0,10 g) e (Li = -0,10 g), calcula-se a = 0,10 e a incerteza.

uE . temp. =

0,01 a = = 0,06 g uE . temp. = 0,06 g 3 3

d) Fonte de Incerteza: Estabilidade Trmica (Tipo B) Tcalib. = 20 C 0,025 g / C ;TMx = 26 C ; TMn = 24 C

Erro mximo (Emx): (26 20 ). 0,025 = 0,15 g Erro mnimo (Emn): (24 20). 0,025 = 0,10 g Erro total (Et): Es + Ea Erro sistemtico (Es): (0,10 + 0,15) / 2 = 0,125 g Cest . trm = 0,125 g Admitindo uma distribuio retangular para a componente aleatria com (Ls = 0,15 g) e (Li = 0,10 g) calcula-se a = 0,025. Isto significa que o Ea = 0,025 g . A incerteza fica:

uEst. trm. =

0,025 a = = 0,014 g uEst . trm. = 0,014 g 3 3

Obs.: Es = 0,125 g; Ea = 0,025 g; Etot = Es +Ea = (0,125 0,025) g Emx = (0,125 + 0,025) g = 0,150 g Emn = (0,125 + 0,025) g = 0,100 g

35

II. Clculo da incerteza combinada Aplicando a Eq. 4.6:

uc =uc =

(u ) + (u ) + (u ) + (u2 2 2 rep nl resol

est . temp

) + (u2

est . trm

)

2

(0,023)2 + (0,04 )2 + (0,014 )2 + (0,06)2 + (0,014 )2

uc = 0,0782 gO valor de uc reflete a ao combinadas de todas as 5 fones de incerteza anteriores sobre o resultado da medio, com uma probabilidade de enquadramento de 68,27%.

Parcela SistemticaO erro sistemtico foi calculado em duas fontes de incertezas. Calculou-se ento a correo C:

Cnl = -0,15 g; Cest. trm = -0,125 gCorreo combinada: Cc = -0,15 + (-0,125) Cc = -0,275 g

III. Clculo da incerteza expandidaCalcula-se o nmero de graus de liberdade efetivo atravs da equao de Welch-Satterwaite.

ef =

i =1

(U C )4 n (U i )4i

=

(0,078)4 = 1455 (0,023)4 + (0,04 )4 + ...11

Da Tab. 4.1 com ef = 1455 e P = 95,45% k = 2. Logo, U = 0,078 . 2 = 0,156 g . Arredondando-se:U = 0,16 g

O valor de U reflete a ao combinadas de todas as cinco fontes de incerteza anteriores sobre o resultado da medio, com uma probabilidade de enquadramento de 95,45%.

IV. Resultado da medio RM = 19,950 - 0,275 0,16 g RM = 19,68 0,16 gRM = 19,68 0,16 g

36

Este procedimento acima descrito pode ser exemplificado no Qd. 4.1 a seguir:Tabela 4.2: Resumo do calculo de incerteza para balana. Fonte de erro Descrio Repetitividade(Rep) No linear. Balana (Nl) Resol. da indicao (Resol) Estab. temporal (Est. Temp) Estab. trmica (Est. Trm) Correo comb. (Cc) Incert. Combinada (uc) Incert. expandida (U) Unid g g g g g g g g Efeitos sistemticos V. bruto 0 0,15 0 0 5 ---correo 0 -0,15 0 0 -0,125 -0,275 Norm. Norm. 0,078 0,156 V. bruto 0,023 0,08 0,025 0,10 0,025 Efeitos aleatrios Distrib. Norm. Norm. Retang. Retang. Retang. Divisor 1 1 3 3 3 u 0,023 0,040 0,014 0,060 0,015 11 1455

Calibrao por faixasA seguir dado o exemplo de um voltmetro digital:

Resoluo: 0,1 mv Faixa de indicao: 0 a 200 mv Padro de referncia: multmetro digital HP-3458A; resoluo: 0,001 mv; U = 0,001 % (k=2); Drift (estabilidade) = 0,002 mv Temperatura durante a calibrao: 23 1C. Os valores medidos se encontram na Tab. 4.3.Tabela 4.3: Medies de um voltmetro (mv).

Faixa indicao 40,0 80,0 120,0 160,0 200,0

1 40,11 80,12 120,08 160,22 200,21

2 40,15 80,16 120,12 160,18 200,23

3 40,16 80,14 120,14 160,17 200,26

4 40,12 80,13 120,10 160,18 200,27

5 40,11 80,10 120,13 160,15 200,18

x40,130 80,130 120,114 160,180 200,23

S2 0,00055 0,00050 0,00058 0,00065 0,00014

Aplicando a Eq. 4.8.SC =2

4.0,00055 + 4.0,00050 + 4.0,00058 + 4.0,00065 + 4.0,00014 = 0,000484 4+4+4+4+4

37

SC = 0,000484 SC = 0,022O grau de liberdade (Gl) de todas as medies das faixas dado pela soma de todas as medies executadas em todas as faixas, logo: 201 = 19. O desvio padro a ser considerado ao longo da faixa de indicao do instrumento 0,022 mv. O resumo de todos os procedimentos estabelecidos dado no quadro 4.2. Quadro 4.2: Clculo de incerteza de um multmetro.Fontes de erro Smbolo Descrio Desvio padro Resoluo / 2 Incert. herdada Drift do multmetro Valor 0,022 mv 0,005 mv 0,001 % 0,002 mv Efeitos sistemticos Tipo Normal Retangular Normal Retangular Divisor5 3

2

Efeitos aleatrios Fator de Valor converso convertido

19

ua ures uherd udrift uc

(1 200).100 (1 200).1001

0,00492 0,00144 0,00050 0,00058

23

(1 200).100

Inc. combinada Inc. expandida

0,00518 0,0109

23,4 K = 2,11

U

A incerteza de medio para este voltmetro de 0,011 %.

Exerccios a) Calibrao de um micrometro

Um micrmetro analgico de capacidade de leitura entre 25 a 50 mm, foi calibrado ao longo de toda sua faixa de uso. Os valores obtidos esto dispostos no Qd. 4.3 Quadro 4.3: Valores de medio de do micrometro analgico de 25 a 50 mm.Faixas (mm) 25,00 25,01 25,01 25,00 25,00 25,00 27,35 27,35 27,35 27,35 27,35 27,34 33,50 33,49 33,49 33,49 33,49 33,50 43,10 43,11 43,11 43,10 43,10 43,10 50,00 50,00 50,00 50,01 50,01 50,00

Medies

O instrumento possui resoluo de 0,01 mm, e para cada faixa de calibrao foram definidas as incertezas herdadas relativas as montagem dos padres utilizados, elas se encontram no Qd. 4.4.

38

Quadro 4.4: Incertezas dos padres utilizados na calibrao do micrometro de 25 a 50 mm. Faixas (mm) Incerteza U Fator k 25,00 4 m 2 27,35 4 m 2,04 33,50 7 m 2,02 43,10 5 m 2 50,00 4 m 2

A temperatura de referncia para calibrao de 20 C, Porm, houve uma variao de 1,3 C durante o processo de calibrao. Existe um erro de paralelismo de 0,6 m entre as pontas do instrumento. Descreva: i. ii. iii. A curva de erros deste equipamento; A incerteza combinada; A incerteza expandida;

b) Calibrao de um banco micromtrico

Dado o grupo de medies do Qd. 4.5.Quadro 4.5: Grupo de medies das faixas de um banco micromtrico. Medio 1 2 3 0 -0,0003 -0,0001 -0,0001 5,500 5,5008 5,5007 5,5004 35,150 35,1501 35,1500 35,1501 99,950 99,9505 99,9502 99,9507 200,000 199,9998 199,9999 199,999 315,000 315,0009 315,0005 315,0005

Os dados acima so referentes a um banco micromtrico com a capacidade de efetuar medies at 315 mm de comprimento. Este equipamento possui resoluo de 0,1 m com indicao digital. As montagens dos blocos padres usados na calibrao contribuem com as seguintes incertezas herdadas conforme Qd. 4.6.Quadro 4.6: Dados dos blocos padres utilizados na calibrao Faixa I. Herdada k 5,500 0,3 2,02 35,150 0,5 2,01 99,950 0,9 2 200,000 0,6 2 315,000 1,1 2,06

A temperatura influenciou em 0,8C em cada comprimento dimensionado. Encontre: (a) Tendncia; (b) Repetitividade; (c) A curva de erros do sistema e (e) a incerteza mdia com base na varincia combinada.

39

c) Calibrao de um termmetro digital

Utiliza-se um termmetro eletrnico com indicao digital para medir temperatura de blocos padro, que devem estar numa temperatura prxima a 20 C. A incerteza deste termmetro (SMC) obtida atravs da calibrao efetuada usando-se como padro um outro termmetro (SMP). A leitura feita somente aps a estabilizao em uma cmara climatizada.

Caractersticas do SMC: Faixa de Temperatura de interesse: 19 a 21 C. Resoluo da indicao: 0,01 C.

Caractersticas do SMP: Faixa de Medio: 19 a 21 C. Valor de uma diviso: 0,01 C. Resoluo: 0,005 C. Incerteza: U95 = 0,005 C.

Homogeneizao:Incerteza U95 = 0,01 C (Assumir distribuio retangular).

Procedimento adotado:Realizaram-se trs medies em cada nvel - conforme Qd. 4.7.Quadro 4.7: Medies efetuadas pelo termmetro Medida 1 2 3 19 19,110 19,110 19,110 Faixa (C) 20 20,130 20,120 20,123 21 21,140 21,140 21,138

Fazer uma anlise Completa das Incertezas envolvidas para cada uma das trs indicaes do SMC. Obteve-se uma medida I = 20,01 C. Qual o resultado da medio?

40

d) Calibrao de um paqumetro

Efetuou-se a medio do comprimento de uma barra de alumnio (Al). A barra estava em uma fbrica, cuja temperatura ambiente era de 45 C. O paqumetro tambm estava na fbrica h mais de trs dias sob a mesma temperatura. Sabe-se ainda que: Al = 24 .10 6 m / C 1Coef. Dilatao alumnio

Fe = 11.10 6 m / C 1Coef. Dilatao ligas ferrosas

Temperatura referncia 20 C

Foram realizadas trs medies com as seguintes indicaes:Indicao 1: 1000,58 mm Indicao 2: 1000,54 mm Indicao 3: 1000,56 mm

Faa uma avaliao das incertezas e determine a incerteza expandida com probabilidade de 95%, para a barra de Alumnio, considerando-se as informaes adicionais:

Pode existir uma diferena de temperatura entre a barra e o paqumetro de at 2 C; O paqumetro feito de ao inoxidvel e possui uma incerteza U 95 = 150 m . Foi usado um termmetro digital para medir a temperatura da fbrica (T = 45 C). Este possui incerteza de U 95 = 0,3 C .

e) Calibrao de uma mquina universal de medidas

Devem-se aplicar blocos padres de diversos tamanhos ao longo da faixa de medio da mquina. Tem-se um bloco padro com L = 50,000 mm. Sabe-se que:

Incerteza do padro U95 = 0,085 m; Resoluo da Mquina Universal (R): 0,5 m; Temp. referncia na qual se deseja conhecer o resultado: TREF = 20 C; Temperatura de medio TMED = 20 a 24 C. Difer. Temp. entre o bloco padro e a indicao da mquina: TRe f 0,2 C ; Bloco padro e o medidor da mquina so de ao ( 11.10 6 m / C 1 ).

Faa uma anlise de incertezas da calibrao para esta dimenso do bloco padro.