Matemtica I 1 IFES Instituto Federal do Esprito Santo PROF. RONALDO BARBOSA ALVIM MATEMTICA I VITRIA 2009 Matemtica I 2 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Governo Federal Ministro de Educao Fernando Haddad CEFETES Centro Federal de Educao Tecnolgica do Esprito Santo Diretor Geral Jadir Jos Pla Diretor de Ensino Dnio Rebello Arantes Coordenadora do CEAD Centro de Educao a Distncia Yvina Pavan Baldo Coordenadoras da UAB Universidade Aberta do BrasilYvina Pavan Baldo Maria das Graas Zamborlini Designer Instrucional Jonathan Toczek Souza Curso de Licenciatura em Informtica Coordenao de Curso Giovany Frossard Teixeira Professor Especialista/Autor Ronaldo Barbosa Alvim DIREITOS RESERVADOS CEFET-ES Centro Federal de Educao Tecnolgica do Esprito Santo Av. Vitria Jucutuquara Vitria ES - CEP - (27) 3331.2139 Crditos de autoria da editorao Capa: Leonardo Tavares Pereira Projeto grfico: Danielli Veiga Carneiro Iconografia: Moreno Cunha Editorao eletrnica: [Nome de quem editou ou do prprio professor] Reviso de texto:Ilioni Augusta da Costa Maria Madalena Covre da Silva COPYRIGHT proibida a reproduo, mesmo que parcial, por qualquer meio, sem autorizao escrita dos autores e do detentor dos direitos autorais. Matemtica I 3 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Ol, Aluno(a)! um prazer t-lo conosco.O Cefetes oferece a voc, em parceria com as Prefeituras e com o Governo Federal, o Curso de Licenciatura em Informtica, na modalidade distncia.Apesar de este curso ser ofertado distncia, esperamos que haja proximidade entre ns, pois, hoje, graas aos recursos da tecnologia da informao (e-mails, chat, videoconfernca, etc.), podemos manter uma comunicao efetiva. importante que voc conhea toda a equipe envolvida neste curso: coordenadores, professores especialistas, tutores distncia e tutores presenciais. Assim, quando precisar de algum tipo de ajuda, saber a quem recorrer. Na EaD - Educao a Distncia - voc o grande responsvel pelo sucesso da aprendizagem. Por isso necessrio que se organize para os estudos e para a realizao de todas as atividades, nos prazos estabelecidos, conforme orientao dos Professores Especialistas e Tutores. Fique atento s orientaes de estudo que se encontram no Manual do Aluno! AEaD, pela sua caracterstica de amplitude e pelo uso de tecnologias modernas, representauma nova forma de aprender, respeitando, sempre, o seu tempo. Desejamos a voc sucesso e dedicao! Equipe do IFES Matemtica I 4 IFES Instituto Federal do Esprito Santo ICONOGRAFIA Veja, abaixo, alguns smbolos utilizados neste material para gui-lo em seus estudos. Fala do professor. Conceitos importantes. Fique atento! Atividades que devem ser elaboradas por voc, aps a leitura dos textos. Indicao de Materiais complementares, referentes ao contedo estudado. Destaque de algo importante, referente ao contedo apresentado. Ateno! Reflexo, Curiosidade ou outros conceitos referente ao contedo apresentado. Espao reservado para as anotaes que voc julgar necessrias. Matemtica I 5 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Ol MeunomeRonaldoBarbosaAlvim,responsvelpeladisciplinaMatemticaI.Atuo comoprofessordoIFESnocampusdeCachoeirodeItapemirim.Sougraduadoem Matemtica (2000) pela UFF, Especialista em Matemtica e Estatstica (2001) pela UFLAe Mestre em Modelagem Computacional (2004) pela UERJ. Minhas reas de interesse so: ModelagemMatemtica,ClculoNumrico,ProblemasInversos,Probabilidadee Estatstica. Nesta disciplina voc conhecer a teoria dos conjuntos, que um tema central para vrios ramosdamatemticaerelacionadoaosprimrdiosdamatemtica,sendotratadaateoria dosconjuntosdemodoinformalenoaxiomtica,irestudartambmasfunesreais, sendo capaz de realizar uma primeira anlise grfica, iniciando claro seu estudo com um enfoque mais geral, ou seja, o de relaes entre conjuntos. Comentriosdenaturezahistricaestopresentesaolongodetodoomaterial,situando vocnotempoeconhecendoosgrandesmatemticosquedeixaramcontribuies marcantes em nossa evoluo. Omaterial tem o intuito de ser umguia na orientao da disciplina de Matemtica I onde podemos ressaltar os pontos mais importantes da teoria que est sendo abordada, por meio deexemplosdeaplicaesdiversastentandocontextualizaramatemticaemnossavida, pois de exemplos da vida que ela se iniciou.Um ponto importante para um bom curso de Matemticaeutilizarabibliografiaindicada,procurandomaisexemploseoutras abordagensquepoderemosdiscutirnosfruns.Quandoestudarmosfunesreaisser interessanteenecessrioousodealgumvisualizadorgrfico,nomercadoexistemvrios pacotes famosos como Maple e Matlab, mas vamos optar por utilizar um software livre, o Winplot, onde seu download estar disponvel em nosso ambiente. Cadacaptuloacompanhadodeexercciosquedevemserresolvidoseenviadospelo ambientemoodle,quandosolicitados,ondeseroavaliado,osgabaritosdetodasas atividadesencontram-senofinaldomaterial.Lembre-sequeestasatividadespossuem tempodeterminadodeentrega,levandovocsacriaremohbitodeestudocontnuo, importante em qualquer aprendizado e indispensvel no ensino a distncia.Concluo, desejando a todos muito sucesso! Prof. Ronaldo Barbosa Alvim Matemtica I 6 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Sumrio1. CONJUNTOS E SUBCONJUNTOS ........................................................................................................................... 7 1.1.NOTAO ........................................................................................................................................................ 7 1.2.CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS ........................................................................................................................ 8 1.3.IGUALDADE DE CONJUNTOS .................................................................................................................... 98 1.4.CONJUNTO NULO .......................................................................................................................................... 9 1.5.SUBCONJUNTOS ............................................................................................................................................ 9 1.6.SUBCONJUNTO PRPRIO ........................................................................................................................... 80 1.7.COMPARABILIDADE ................................................................................................................................... 80 1.8.TEOREMA DA DEMONSTRAO .............................................................................................................. 80 1.9.CONJUNTOS DE CONJUNTOS ...................................................................................................................... 8 1.10.CONJUNTO UNIVERSAL ............................................................................................................................... 8 1.11.CONJUNTO DE POTNCIA .............................................................................................................................. 81 1.12.CONJUNTOS DISJUNTOS ............................................................................................................................ 82 1.13.DIAGRAMAS DE VENN ............................................................................................................................... 82 1.14.DIAGRAMAS DE LINHA .............................................................................................................................. 83 1.15.DESENVOLVIMENTO AXIOMTICO DA TEORIA DOS CONJUNTOS ................................................. 83 CAPTULO 2 -OPERAES DE CONJUNTOS ........................................ERRO! INDICADOR NO DEFINIDO.5 2.2.UNIO DE CONJUNTOS .......................................................................... ERRO! INDICADOR NO DEFINIDO. 2.3.INTERSEO DE CONJUNTOS .................................................................................................................... 8 2.4.DIFERENA DE CONJUNTOS ....................................................................................................................... 8 2.5.COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO ....................................................................................................... 8 2.6.OPERAES EM CONJUNTOS COMPARVEIS ........................................................................................ 8 CAPTULO 3 -RELAES E FUNES ...................................................ERRO! INDICADOR NO DEFINIDO.5 2.2.UNIO DE CONJUNTOS .......................................................................... ERRO! INDICADOR NO DEFINIDO. 2.3.INTERSEO DE CONJUNTOS .................................................................................................................... 8 2.4.DIFERENA DE CONJUNTOS ....................................................................................................................... 8 2.5.COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO ....................................................................................................... 8 2.6.OPERAES EM CONJUNTOS COMPARVEIS ........................................................................................ 8 CAPTULO 4 -FUNO LINEAR ...............................................................ERRO! INDICADOR NO DEFINIDO.5 2.2.UNIO DE CONJUNTOS .......................................................................... ERRO! INDICADOR NO DEFINIDO. 2.3.INTERSEO DE CONJUNTOS .................................................................................................................... 8 2.4.DIFERENA DE CONJUNTOS ....................................................................................................................... 8 2.5.COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO ....................................................................................................... 8 2.6.OPERAES EM CONJUNTOS COMPARVEIS ........................................................................................ 8 CAPTULO 5 -FUNO QUADRTICA....................................................ERRO! INDICADOR NO DEFINIDO.5 2.2.UNIO DE CONJUNTOS .......................................................................... ERRO! INDICADOR NO DEFINIDO. 2.3.INTERSEO DE CONJUNTOS .................................................................................................................... 8 2.4.DIFERENA DE CONJUNTOS ....................................................................................................................... 8 2.5.COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO ....................................................................................................... 8 2.6.OPERAES EM CONJUNTOS COMPARVEIS ........................................................................................ 8 CAPTULO 6 -FUNO MODULAR ..........................................................ERRO! INDICADOR NO DEFINIDO.5 2.2.UNIO DE CONJUNTOS .......................................................................... ERRO! INDICADOR NO DEFINIDO. 2.3.INTERSEO DE CONJUNTOS .................................................................................................................... 8 Matemtica I 7 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 2.4.DIFERENA DE CONJUNTOS ....................................................................................................................... 8 2.5.COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO ....................................................................................................... 8 2.6.OPERAES EM CONJUNTOS COMPARVEIS ........................................................................................ 8 CAPTULO 7 -FUNO EXPONENCIAL..................................................ERRO! INDICADOR NO DEFINIDO.5 2.2.UNIO DE CONJUNTOS .......................................................................... ERRO! INDICADOR NO DEFINIDO. 2.3.INTERSEO DE CONJUNTOS .................................................................................................................... 8 2.4.DIFERENA DE CONJUNTOS ....................................................................................................................... 8 2.5.COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO ....................................................................................................... 8 2.6.OPERAES EM CONJUNTOS COMPARVEIS ........................................................................................ 8 CAPTULO 8 -FUNO LOGARTIMICA .................................................ERRO! INDICADOR NO DEFINIDO.5 2.2.UNIO DE CONJUNTOS .......................................................................... ERRO! INDICADOR NO DEFINIDO. 2.3.INTERSEO DE CONJUNTOS .................................................................................................................... 8 2.4.DIFERENA DE CONJUNTOS ....................................................................................................................... 8 2.5.COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO ....................................................................................................... 8 2.6.OPERAES EM CONJUNTOS COMPARVEIS ........................................................................................ 8 CAPTULO 9 -PROGRESSES ...................................................................ERRO! INDICADOR NO DEFINIDO.5 2.2.UNIO DE CONJUNTOS .......................................................................... ERRO! INDICADOR NO DEFINIDO. 2.3.INTERSEO DE CONJUNTOS .................................................................................................................... 8 2.4.DIFERENA DE CONJUNTOS ....................................................................................................................... 8 2.5.COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO ....................................................................................................... 8 2.6.OPERAES EM CONJUNTOS COMPARVEIS ........................................................................................ 8 GABARITOS .....................................................................................................ERRO! INDICADOR NO DEFINIDO. REFERNCIAS .................................................................................................ERRO! INDICADOR NO DEFINIDO. ANEXOS.............................................................................................................ERRO! INDICADOR NO DEFINIDO. Matemtica I 8 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 1.CONJUNTOS E SUBCONJUNTOS Prezado aluno, Comearemos nossa primeira aula estudando a fundamental teoriadosconjuntosprimeiramenteconcebidapelo matemticodosculoXIXGeorgCantor,estudoque tratavadateoriadasSriesTrigonomtricas.Seutrabalho inicialmentenofoiaceitopelacomunidadeacadmica maisinfluenciouprofundamentematemticoseestudiososdo sculo XX.Em geral, esta disciplina gera pr-requisitos, ouseja,acompreensodosconceitosestudadosemumaaula a base para o entendimento das aulas posteriores. Bom estudo! 1.1.NotaoEmgeralrepresentamosconjuntos listandoseuselementosentre chaveseo denominando por uma letra maiscula, como no exemplo abaixo: A = {a,b,c,d,e,f} Observequeseuselementossoseparadosporvrgulaeemgeral representados por letras minsculas. Quando o conjunto possui um nmeromuito grande de elementos podemos simplificarsuanotaoutilizandoreticncias...,dandoosentidode continuao.Veja sua utilizao no exemplo abaixo: B = {1,5,9,13,...,21,25,29} Esta forma de notao de conjunto chamada de forma tabular, que como vimosexibeoselementosdoconjunto.Maspodemosrepresentarum conjunto pela propriedade que seus elementos possuem em comum, evitando destamaneiraescreverporextensooselementosdoconjunto.Vejao exemplo: C={x/x consoante} que equivalente a dizer C={a,e,i,o,u} Quando um conjunto possui elementos repetidos, no necessrio represent-los mais de uma vez.Para ilustrar no exemplo abaixo, vamos representar o conjunto das letras da palavra CONTATO D={c,o,n,t,a} George Cantor(1845-1918) Matemtica I 9 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Como vimos podemos representar um conjunto por uma propriedade, mas podemos destacar uma propriedade que no caracteriza um conjunto.Um paradoxo que caracteriza atribudo ao matemtico Bertrand Russel, o famoso paradoxo do Barbeiro.Observe: Em uma aldeia onde, todos os dias, um barbeiro faz a barba de todos os homens que no barbeiam a si prpriose a mais ningum. Quem barbeia o barbeiro? Conclumos que, se o barbeiro se barbear, ento ele no barbeia a si prprio, e se ele se no se barbear, ento ele se barbeia. Perceba que o paradoxo equivalente a proposio de que existe o conjunto que contm todos os conjuntos. Relao de Pertinncia A relao entre elemento e conjunto conhecida como relao de pertinncia que simbolizamos por pertence e no pertence.Por exemplo Ma {Laranja, Melo, Ma, Uva} Carro {Cafeteira, Liquidificador, Batedeira, Forno de microondas} 1.2.Conjuntos Finitos e Infinitos Os conjuntos finitos possuem um nmero definido de elementos, ou seja, sua contagem chega a um final, o oposto o classificamos como conjunto infinito O conjunto A um conjunto infinito A={2,6,10,14,18,...} O conjunto B um conjunto finito B={x/x uma rua do Brasil} Bertrand Russel(1845-1918) Matemtica I 10 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Perceba que embora o conjunto B seja difcil de ser enumerado, mesmo assim, um conjunto finito. 1.3.Igualdade de Conjuntos Doisconjuntossoiguaisseesomentesepossuemosmesmoselementos, no necessariamente na mesma ordem, observe os exemplos: SejaA={ , , , , , },B={ , , , , }e C={ , , , , , }, logo A = C A igual a C A BA diferente de B Ouseja,cadaelementoquepertenceaA,pertencetambmaB,ecada elemento que pertence a B pertence tambm a A. 1.4.Conjunto Nulo O conjunto nulo tambm chamado de conjunto vazio, utilizamos o smbolo ou { } para simboliz-lo.O Conjunto vazio o conjunto que no possui nenhum elemento. Os conjuntos abaixo so exemplos de conjuntos nulos. A={x/x professor da Licenciatura em Informtica com mais de 150 anos} B={x/x um nmero natural menor que 30 e maior que 50} Cuidado! Vriosalunosutilizamdeformaerrnea osmbolo{}para simbolizarconjuntovazio,sendoqueosignificadodoque est escrito no passa de um simples conjunto unitrio. 1.5.Subconjuntos Asrelaesdeinclusoauxiliammuitonaintroduodoconceitode subconjunto,poisautilizamospararelaesentreconjuntosouentre subconjuntos e conjuntos.Os smbolos so l-se est contido Matemtica I 11 IFES Instituto Federal do Esprito Santo l-se no est contido l-se contm l-se no contm Seja A = {1,2,3} Ento {1,2} A ou A {1,2} Utilizando a notao acima se B subconjunto de C ento podemos registrar BC,sendoquetodoelementodoconjuntoBsejatambmelementodo conjunto C.Logo diremos que B C se B possuir algum elemento que no pertence ao conjunto C. 1.6.Subconjunto Prprio Como cada conjunto A um subconjunto de si mesmo, denominamos B de subconjuntoprpriodeA.SeprimeiramenteBforsubconjuntodeAe, segundo, no igual a A.Concluindo B A e B A Alguns autores utilizam uma notao diferenciada B A para B subconjunto de A B A para B subconjunto prprio de A 1.7.Comparabilidade Dizemosquedoisconjuntossocomparveisquandopelomenosumest contido no outro, ou seja, A B ou B A. 1.8.Demonstrao AdemonstraoemMatemticatemsidoabandonadadasaulasdeensino fundamentalemdioepraticamenteextintadegrandepartedoslivros didticos,estehbitodescaracterizacomoaMatemticatornaverdadeira suasafirmaes,assimdesestimulandooalunoaoseuaprendizado, encontrandoosconceitosresumidosafrmulasprontas,dandoaoalunoa sensao de impotncia, de ser capaz de entender como aquelas idias foram concebidas.Origordasdemonstraesmatemticasaquedistinguede outrascincias.Pensenisso,poisvocamanhserumprofessor; estamos numcursodelicenciatura,enodevemosretirardenossasaulas experincias que levem a formao de alunos crticos. Matemtica I 12 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Teorema sobre conjuntos: Se A um subconjunto de B, e se B um subconjunto de C, logo A um subconjunto de C, ou seja, A B e B C, ento A C 1.9.Conjuntos de Conjuntos Aexpressoconjuntosdeconjuntos,utilizadapararepresentarconjuntos exclusivamenteformadasporconjuntosfreqentementesubstitudapor famlia de conjuntos ou classe de conjuntos. Simbolizamos famlias de conjuntos geralmente por letras manuscritas comoA,B,... Umcasomuitoraronateoriadeconjuntossoconjuntosformadosde membros que so conjuntos e outros que no so conjuntos.Veja o exemplo A = {7,{1,2,8},{5,9},12} ObservequeoconjuntoAnoumafamliadeconjuntos,poisalgunsde seus membros so conjuntos e outros no. 1.10.Conjunto Universal Aconcepodoconjunto Universo, foi realizadapelobrilhantematemtico AugustusDeMorgan(1806-1871).Oconjuntouniversooconjuntode todos os elementos de interesse para o problema que estamos tratando. 1.11.Conjunto de Potncia possvel quantificarmos quantos subconjuntos possui um conjunto sem ser necessrioexibi-losumaum.Ofamliadetodosossubconjuntosdeum conjuntoAdenominada,conjuntodepotnciadeA,ou,conjuntodas partes do conjunto A. Por exemplo, seja A = {1,2,3} Ento 2A = {{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},}}. Algumas observaes so importantes de serem realizadas: Augustus D. Morgan (1806-1871) Matemtica I 13 IFES Instituto Federal do Esprito Santo -OconjuntovaziosubconjuntodoconjuntoA,comosubconjuntode qualquer conjunto; - O conjunto A subconjunto dele mesmo; - Se utilizarmos a expresso 2n, sendo n o nmero de elementos do conjunto inicial A, teremos o nmero de subconjuntos de A; Apossui3elementos,logo,23 =8,queonmerodesubconjuntosdo conjunto A. 1.12.Conjuntos Disjuntos Alguns conjuntos no possuem nenhum elemento em comum estes conjuntos so denominados conjuntos disjuntos. A = {r,w,t,v} e B = {,,}, so conjuntos disjuntos, pois no conseguimos encontrarnenhumelementoquepertenaaoconjuntoAetambmao conjunto B. Diferente do exemplo abaixo: C = {k,l,x,} e D = {a,f,h,}, note que C e D, logo C e D, no so conjuntos disjuntos. 1.13.Diagrama de Venn OmatemticoinglsJohnVenn(1834-1923),criouumarepresentao visual para os conjuntos, onde delimitamos os conjuntos por reas no plano onde se facilita muito o trabalho de se relacionar conjuntos. O conjunto A = {1,4,7,10} representado abaixo pelo diagrama de Venn A John Venn (1834-1923) .1.4 .7 .10 Matemtica I 14 IFES Instituto Federal do Esprito Santo A relao de incluso C D representada tambm pelo diagrama de Venn abaixo 1.14.Desenvolvimento Axiomtico da Teoria dos Conjuntos Parainiciarmosumdesenvolvimentoaxiomticoemqualquerreada Matemtica,necessitamosdetermosindefinidoserelaesindefinidas,em queseencaixaateoriadosconjuntos,poiselementoeconjuntosotermos indefinidos e elemento pertence a um conjunto uma relao indefinida. Logo: Axioma da Extenso: DoisconjuntosAeBsoiguaissecadaelementodepertencetambmaBecada elemento em B pertence a A. Axioma de Especificao: SejaP(x)umaproposioqualqueresejaAumconjuntoqualquer.Existeassimum conjunto B = {a/a A, P(a) verdadeiro} ObservequeP(x)umasentenavarivelparaaqualP(a)verdadeirooufalsopara qualquer a A. Axioma da Extenso: DoisconjuntosAeBsoiguaissecadaelementodepertencetambmaBecada elemento em B pertence a A. Axioma de Especificao: SejaP(x)umaproposioqualqueresejaAumconjuntoqualquer.Existeassimum conjunto D

C Matemtica I 15 IFES Instituto Federal do Esprito Santo B = {a/a A, P(a) verdadeiro} ObservequeP(x)umasentenavarivelparaaqualP(a)verdadeirooufalsopara qualquer a A. 1.15.Operaes com Conjuntos 1.15.1.Unio de Conjuntos SimbolizamosauniodedoisconjuntosporAB,conjuntoesteformado pelos elementos pertencentes a A ou pertencentes a B. Veja o exemplo: Sendo A = {1,2,3,5,6} e B = {5,6,7,8,9}, temos: B A= {1,2,3,5,6,7,8,9} Observequenodevemossimbolizarmaisdeumaveznaunioos elementos comuns aos dois conjuntos. A unio de conjuntos comutativa poisA B B A = { } B x ou A x x B A = / Matemtica I 16 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 1.15.2.Interseo de Conjuntos Entendemoscomointerseodeconjuntosaoperaoqueidentificaquais elementos so comuns entre os conjuntos. Veja o exemplo: Sendo A = {1,2,3,5,6} e B = {5,6,7,8,9}, temos: B A= {5,6} Comoobviodeseobservarainterseodeconjuntosumaoperao comutativa, poisB A B A = 1.15.3.Diferena de Conjuntos Umgrandeerroaoexecutaressaoperaoentend-lacomoobjetivode simplesmentemostraroquediferenteaosdoisconjuntos,sendoquea corretaleitura identificaroque exclusivodoprimeiroconjunto. Veja o exemplo: Sendo A = {1,2,3,5,6} e B = {5,6,7,8,9}, temos: A-B = {1,2,3}, ou seja, os elementos que so exclusivos do conjunto A; B-A = {7,8,9}, ou seja, os elementos que so exclusivos do conjunto B. Observe que a diferena de conjuntos no comutativa poisA B B A . Matemtica I 17 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 1.15.4.Complementar de um Conjunto DadoouniversoU={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}eoconjuntoA={1,3,5,7}, dizemos que o complementar de A em relao a U {0,2,4,6,8,9}, ou seja, o conjunto formado pelos elementos de U que no pertencem a A. Cuidado! Ocomplementardeumconjuntostemsentidoquando fixamos um conjunto universo U. De ummodo geral, dado um conjunto A de um certo universo U, chama-se complementar de A em relao a U o conjunto formado pelos elementos de U que no pertencem a A; indica-se AUCou cAouA. Logo,{ } A x e U x x Ac = / Propriedades -( ) A Acc=para todoU A (o complementar do complementar de um conjunto A o prprio conjunto A). - SeB A , ento c cA B (se um conjunto est contido em outro, seu complementar contm o complementar desse outro).Escrevendo deoutra forma: c cA B B A 1.15.5.Relao entre Unio e Interseo de Conjuntos ( ) ( ) ( ) ( ) B A n B n A n B A n + = Exemplo: NumapesquisadeopiniopblicasobredoisjornaisAeB,obtemoso seguinte resultado: - 70% dos entrevistados lem o jornal A; - 60% dos entrevistados lem o jornal B. Qualopercentualdeentrevistadoslosdoisjornais,sendoquetodos entrevistados lem pelo menos um dos jornais A e B?Matemtica I 18 IFES Instituto Federal do Esprito Santo ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) % 30% 100 % 130% 60 % 70 % 100= = + = + = B A nB A nB A nB A n B n A n B A n 1.15.6.Produto Cartesiano Dados os conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano A com B, ao conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x elemento de A e y elemento de B, ou seja( ) { } B y ou A x y x AXB = / , Exemplo Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, ter 12 pares ordenados e ser dado por: AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2) ,(d,3)} 1.16.Conjuntos Numricos Neste tpico, estudaremos os conjuntos em que seus elementos so nmeros.Porisso,denominamosconjuntosnumricos.Percebaqueemcadaum deles, os elementos tm caractersticas em comum.Faro parte deste breve estudoosconjuntosdosnmerosnaturais,dosinteiros,dosracionais,dos irracionais e, por ltimo o conjunto dos nmeros reais. 1.16.1.Conjunto dos Nmeros Naturais Deus criou os nmeros naturais.O resto obra dos homens. (Leopold Kronecker) Giuseppe Peano (1858-1932) Leopold Kronecker (1823-1891) Matemtica I 19 IFES Instituto Federal do Esprito Santo As afirmaes abaixo so conhecidas como axiomas de Peano.Tudo o que se sabe sobre os nmeros naturais pode ser demonstrado como conseqncia desses axiomas. Propriedades: - Todo nmero natural tem um nico sucessor; - Nmeros naturais diferentes tm sucessores diferentes; - Existe um nico nmero natural, chamado um e representado pelo smbolo 1, que no sucessor de nenhum outro; - Seja X um conjunto de nmeros naturais (isto ,N X ).SeX 1e se, alm disso, o sucessor de todo elemento de X ainda pertence a X,ento X = N. 1.16.2.Conjunto dos Nmeros Inteiros O conjunto dos nmeros inteiros representado por: Z = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} Destacamos os seguintes subconjuntos de Z: - N, poisZ N . -{} 0* = Z Zou *Z = {...,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,..} Observe que o smbolo (*), exclui o nmero 0 (zero). Curiosidade! O smbolo dos inteiros Z a primeira letra da palavra ZAHI, que em alemo significa nmero. Matemtica I 20 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 1.16.3.Conjunto dos Nmeros Racionais Aoincluirmosasfraesnoaparentespositivasenegativasao conjunto dos inteiros, obtemos o conjunto dos nmeros racionais que simbolizamos por Q.Veja ento exemplos de nmeros racionais: . ,43,21, 0 ,21, 2 ,43, 5 etc Lembre-sequetodoracionalpodeserescritonaforma ba,com 0 , b e Z b Z a Curiosidade! O smbolo dos racionais Q tem origem da palavra quociente. Existemtrsformasdedecimaisquesogeradosdefraes,que temos o hbito de cham-las fraes geratrizes, so eles os decimais exatos, dzimas peridicas simples, dzimas peridicas compostas. Vamos,agora,vercomopodemostransformardecimaisemsuas respectivas fraes geratrizes: Decimais Exatos Paraextrairafraogeratrizdeumdecimalexato,basta eliminarmosavrgulaedividimosonmeroencontradoporuma potncia de 10, com o nmero de zeros equivalente a quantidade de casas decimais do decimal original. Veja: 225101255 , 12 = =Dzima Peridica Simples Paraextrairafraogeratrizdeumadzimaperidicasimples, devemos dividir os nmeros aps a vrgula por um nmero formado unicamentepelo algarismo9,naquantidadedealgarismosque se repetem na dzima original. Veja: 1149936... 363636 , 097... 7777 , 0= == Vamosagoramostrarumexemploondeadzimaperidicasimples possuivaloresdiferentesdezeroaesquerdadavrgula(nmerosinteiros).Neste caso, devemos utilizar o velho conceito de nmero misto. Veja: Matemtica I 21 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 931943 ... 4444 , 3 = =Parasairmosdeumnmeromistoacimafoifeitaaoperao(3X9+4= 31) e repetimos o denominador. 9940999134 ... 131313 , 4 = =Dzima Peridica Composta Oquediferenciaumadzimaperidicasimples,deumadzimaperidica compostaofatodeadzimacompostapossuirapsavrgulaparteno peridica e peridica, diferente da simples, que aps a vrgula possui apenas parte peridica. Veja que 13 representa a parte no-peridica e 26 a parte peridica. ... 13262626 , 0Aprenderemoscomoencontrarafraogeratrizdeumadzimaperidica composta . Devemosescrevernonumeradoronmerorepresentadoatoincioda primeirarepetioeapsdevemossubtrairapartenoperidicaapsa vrgula,nodenominadordevemosescreverumalgarismo9paracada algarismoqueserepitanadzima,eumalgarismo0paracadaalgarismo quenoserepitaapsavrgula.Vejaaextraodafraogeratrizda dzima acima: 99001313990013 1326... 13262626 , 0 ==Se existir um nmero inteiro esquerda, devemos proceder da mesma forma queaprendemosnadzimaperidicasimples,ouseja,utilizandonmero misto. 990430999034949903 3524 ... 3525252 , 4 = == Matemtica I 22 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Ateno! Umaoutranotaocorretaparadzimaperidica escrevermos um trao sobre a parte peridica da dzima. 79 4 , 23 ... 47979 , 23 =(Dzima Peridica Composta) 47 , 2 ... 474747 , 2 =(Dzima Peridica Simples) 1.16.4.Conjunto dos Nmeros Irracionais Vocviunotpicoanteriorqueexistemtrstiposdedecimaisque pertencentes ao conjunto dos racionais, pois podem ser escritos na forma de umafrao.Masosdecimaisinfinitoseno-peridicosnopodemser escritos na forma de uma frao; estes so conhecidos como irracionais. Veja o exemplo: ... 7320508 , 1 3... 4142135 , 1 2== Existemdoisnmerosirracionaismuitoconhecidosnomeiocientfico.Em funo disso, receberam nomes e simbologias diferenciadas: O Nmero Pi ... 1415926535 , 3 = O Nmero de Euler ... 718 , 2 = e1.16.5.Conjunto dos Nmeros Reais Oconjuntodosnmerosreaisobtidodauniodoconjuntodosnmeros racionais e irracionais, ou seja,I Q R = . Osnmerosracionaisnososuficientesparaesgotartodosospontosda reta real.Nmeros como5no era alcanado com os nmeros racionais, masagoratemosumarelaobiunvoca,ouseja,todopontodareta representadoporumniconmeroreal,assimcomo,cadanmeroreal representa um nico ponto da reta. Leonhard Euler (1707-1783) Matemtica I 23 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Cuidado! comumescutarmosnosmeiosdecomunicao, principalmentenateleviso,pessoasutilizandoapalavra incomensurvel em frases do tipo: Existia um nmero incomensurvel de pessoas no protesto. Deviramos dizer incontvel, ficando assim: Existia um nmero incontvel de pessoas no protesto Podeaparentarseramesmacoisa,masemMatemtica incomensurvelumarelaoentreduasgrandezasde mesmaespcie,ouseja,nadaserincomensurvelseno comparadocomoutroobjeto(grandeza)desuamesma espcie. O diagrama abaixo relaciona os conjuntos numricos que estudamos at este momento: Todososnmerosnaturais,inteiros,racionaiseirracionais,sonmeros reais. Matemtica I 24 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Atividades 1. Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de trs marcas A, B e C de um determinado produto apresentou os seguintes resultados: A - 48%A e B - 18% B - 45%B e C - 25% C - 50%A e C - 15% nenhuma das 3 - 5% a)Qualaporcentagemdosentrevistadosqueconsomemastrs marcas A, B e C? b)Qualaporcentagemdosentrevistadosqueconsomemumae apenas uma das trs marcas? 2. (Universidade Federal do Paran - 97) Foirealizadaumapesquisaparaavaliaroconsumodetrsprodutos designados por A, B, C. Todas as pessoas consultadas responderam pesquisa e os resultados esto indicados no quadro a seguir: Observao:Oconsumidordedoisprodutosestincludotambm comoconsumidordecadaumdestesdoisprodutos.Combase nestes dados, calcule o nmero total de pessoas consultadas. 3. Sendo A = {2, 3, 4, 5, 9}, B = {2, 3, 7, 8, 10} e C = {2, 3, 4}, faa o diagramadasreuniesaseguir,hachurandoasregies correspondentes a) A B b) A C Matemtica I 25 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 4. Complete com os smbolos: , , , , ou no est contido as sentenas a seguir, de forma a torn-las todas verdadeiras: a) 5 _____ { 2, 3, 4, 5, 6, 7} b) {7, 9} _____ {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} c) _____ 8 d) {5, 7} _____ {5} e) 7 {5, 6, _____, 8, 9} 5. Se um conjunto Z tem apenas 32 subconjuntos, quantos elementos tem esse conjunto Z? 6.MonteumconjuntoAeumconjuntoB,sabendo-sequeAtem apenas 2 elementos, queB tem pelomenos 3 elementos e queA B H, sendo H = {1, 3, 4, 8, 16, 24, 40} 7.SeA,BeCsotrsconjuntosonden(A)=25,n(B)=18,n(C)= 27, n(A B) = 9, n(B C) = 10, n(A C) = 6 e n(A B C) = 4, (sendo n(X) o nmero de elementos do conjunto X), determine o valor de n ((A B) C). 8.Emumaturmade60alunos,21praticamnataoefutebol,39 praticam natao e 33 praticam futebol. a)Qualaporcentagemdealunosquepraticamum,esomenteum, desses esportes? b)Qualaporcentagemdealunosquenopraticamnenhumdesses esportes? 9. Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 150 pessoas utilizam pelomenosumdosprodutosBouC.Sabendoque95dessas pessoas no usam o produto C e 25 no usam o produto B, qual o nmero de pessoas que utilizam os produtos B e C? 10. Um trem viajava com 242 passageiros, dos quais: - 96 eram brasileiros, - 64 eram homens, - 47 eram fumantes, - 51 eram homens brasileiros, - 25 eram homens fumantes, - 36 eram brasileiros fumantes, - 20 eram homens brasileiros fumantes. Calcule: a) o nmero de mulheres brasileiras no fumantes; b) o nmero de homens fumantes no brasileiros; c) o nmero de mulheres no brasileiras, no fumantes. Matemtica I 26 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 11.Considereumgrupode50pessoasqueforamidentificadasem relaoaduascategorias:quantocordoscabelos,lourasou morenas; quanto cor dos olhos, azuis ou castanhos. De acordo com essa identificao, sabe-se que 14 pessoas no grupo so louras com olhosazuis,que31pessoassomorenaseque18tmolhos castanhos. Calcule,nogrupo,onmerodepessoasmorenascomolhos castanhos. 12.Emumaescola,foifeitaumapesquisaentre320alunospara verificar quantos falam ingls ou espanhol. O resultado foi o seguinte: - 45 no falam esses idiomas - 250 falam ingls - 180 falam espanhol Quantos dos alunos entrevistados falam esses dois idiomas? 13.Asmarcasdecervejamaisconsumidasemumbar,numcerto dia, foram A, B eS. Os garons constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir: a) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia? b)DentreosconsumidoresdeA,BeS,quantosbeberamapenas duas dessas marcas? c) Quantos no consumiram a cerveja S? d) Quantos no consumiram a marca B nem a marca S? 14.Dos135funcionriosdeumaempresalocalizadaemNiteri,2/3 moram na cidade do Rio de Janeiro. Dos funcionrios que moram na cidade do Rio de Janeiro, 3/5 usam nibus at a estao das barcas e,emseguida,pegamumabarcaparachegaraotrabalho.Sabe-se que24funcionriosdaempresausamexclusivamenteseusprprios Matemtica I 27 IFES Instituto Federal do Esprito Santo automveis para chegar ao trabalho, sendo que 1/3 destes no mora nacidadedoRiodeJaneiro.Osdemaisfuncionriosdaempresa usam somente nibus para chegar ao trabalho. Determine: a)onmerodefuncionriosdaempresaqueusamsomentenibus para chegar ao trabalho; b)onmerodefuncionriosdaempresaqueusamsomentenibus parachegaraotrabalhoequenomoramnacidadedoRiode Janeiro. 15.Numapesquisademercado,foramentrevistadosconsumidores sobresuasprefernciasemrelaoaosprodutosAeB.Os resultados da pesquisa indicaram que: - 310 pessoas compram o produto A; - 220 pessoas compram o produto B; - 110 pessoas compram os produtos A e B; - 510 pessoas no compram nenhum dos dois produtos. Indique o nmero de consumidores entrevistados, dividido por 10. 16.Umaamostrade100caixasdeplulasanticoncepcionais fabricadaspelaNascebemS.A.foienviadaparaafiscalizao sanitria. Notestedequalidade,60foramaprovadase40reprovadas,por conteremplulasdefarinha.Notestedequantidade,74foram aprovadase26reprovadas,porconteremumnmeromenorde plulas que o especificado. O resultado dos dois testes mostrou que 14 caixas foram reprovadas em ambos os testes. Quantas caixas foram aprovadas em ambos os testes? 17.Umclubeofereceaseusassociadosaulasdetrsmodalidades deesporte:natao,tnisefutebol.Nenhumassociadopdese inscreversimultaneamenteemtnisefutebol,pois,porproblemas administrativos, as aulas destes dois esportes sero dadas no mesmo horrio.Encerradasasinscries,verificou-seque:dos85inscritos em natao, 50 s faro natao; o total de inscritos para as aulas de tnis foi de 17 e, para futebol, de 38; o nmero de inscritos s para as aulasdefutebolexcedeem10onmerodeinscritossparaasde tnis. Quantosassociadosseinscreveramsimultaneamenteparaaulasde futebol e natao? 18.Os87alunosdo3.anodoensinomdiodeumacertaescola prestaramvestibularparatrsuniversidades:A,BeC.Todosos alunosdessaescolaforamaprovadosempelomenosumadas Matemtica I 28 IFES Instituto Federal do Esprito Santo universidades,massomenteumterodototalobteveaprovaoem todaselas.AsprovasdauniversidadeAforammaisdifceisetodos os alunos aprovados nesta foram tambm aprovados em pelo menos uma das outras duas. OstotaisdealunosaprovadosnasuniversidadesAeBforam, respectivamente, 51 e 65. Sabe-se que, dos alunos aprovados em B, 50foramtambmaprovadosemC.Sabe-setambmqueonmero de aprovados em A e em B igual ao de aprovados em A e em C. Quantos alunos foram aprovados em apenas um dos trs vestibulares prestados? Justifique. 19.UmapesquisasobreosgrupossangneosABO,naqualforam testadas 6000 pessoas de uma mesma raa, revelou que 2527 tm o antgenoA,2234oantgenoBe1846notmnenhumantgeno. Nessascondies,qualaprobabilidadedequeumadessas pessoas, escolhida aleatoriamente, tenha os dois antgenos? 20.UmgrupodealunosdeumaescoladeveriavisitaroMuseude CinciaeoMuseudeHistriadacidade.Quarentaeoitoalunos foram visitar pelomenos um desses museus. 20% dos que foramao de Cincia visitaram o de Histria e 25% dos que foram ao de Histria visitaram tambm o de Cincia. Calcule o nmero de alunos que visitaram os dois museus. 21. Dados os subconjuntos de IR calcule: (faa o grfico) A = {x IR / -2 x < 3}; B = {x IR / 1 x < 4}; C = {x IR / x < 0} a) A B b) A B c) (A C) B 22.Completeassentenasaseguircomossmbolosreferentess funescontm,nocontm,contido,nocontidodeformaatornar todas elas verdadeiras: Matemtica I 29 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 23. Classifique em V ou F: 24. Usando ou complete: 25.Obtenhaasgeratrizesdasseguintesdzimasperidicas.Useo dispositivo prtico. a) -2,0313131.... b) 5,121212.... 26.Completecomossmbolos,,,demodoatornar verdadeira cada uma das sentenas a seguir: 27.Completeassentenasaseguircomossmbolosapropriados (pertinncia,nopertinncia,continncia,nocontinncia,contidoe no contido), para torn-las todas verdadeiras. Matemtica I 30 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 28. Escreva na forma de frao m/n a soma 0, 2222... + 0, 23333.... 29.Sabe-sequeonmeroA=2.3.5.31 omnimomltiplo comum dos nmeros 2480 e 1500. Determine a soma x + y + b + t. 30.Se1/[(1/3)+(1/4)]=p/q,ondepeqsonmerosinteiros positivos relativamente primos, determine p+q. 31. SejaA/B, com Ae B inteiros primos entre si, a frao geratriz da dzima peridica 4,373737.... Indique a soma dos algarismos de A.

[1]LIPSCHUTZ, S. Teoria dos Conjuntos. Ed McGraw-Hil do Brasil, Ltda, 5. Ed, 1973. [2] FRANCO DE SOUZA, A.J. Teoria de Conjuntos Intuitiva e Axiomtica. . Ed. Livraria Escolar. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Matemtica I 31 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Matemtica I 32 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 2.RELAES E FUNES Asnecessidadesdohomem,comosmaisvariadospropsitos,fizeramdele,atravsdos tempos, um estudioso dos problemas naturais, bem como de suas causas e efeitos. Essabuscanosfezperceberquetudoetodosestorelacionadosdetalformaquenenhum efeito tem origem numa nica causa. Paraperceberessarelaovamosusarcomoexemploumaflor,queaosolhosdeum admiradorrepresentaabeleza,oamoreapazeaosolhosdeumsensvelobservador,a imagem de nosso mundo, cofatores individuais, fsicos, econmicos, humanos e sociais. Na linguagem do dia-a-dia comum ouvirmos frases como: Uma coisa depende da outra ouUmaestemfunodaoutra.Norarotambmabrirmosrevistasoujornaise encontrarmosgrficos,sobreosmaisvariadosassuntos,mostrandoadependnciaentreos fatores em estudo. A ideia de um fator variar em funo de outro e de se representar essa variao por meio de grficos,decertaforma,jsetornoufamiliaremnossosdias.Noentanto,essaformade representaonofoisempreassim.Oconceitodefunosofreuvriasinterpretaesat chegar ao modernamente utilizado. NosculoXVIII,Leibnizconsideroucomofunoasquantidadesgeomtricasvariveis, relacionadas com uma curva.Bernoulli chamou de funes as expresses analticas que envolvem apenas uma quantidade varivel. Posteriormente,Eulerenfatizoumenosarepresentaoanalticaedeixouantevercomo conceitodefunotodavarivelquedependadaoutra,ouseja,seasegundavariara primeira tambm ir variar. Jnosculo XIX,matemticoscomoDirichleteLagrangederamnovascontribuiespara os estudos das funes. Nocaptuloanterior,estudamosaspossveisrelaesquepodemseestabelecerentreos elementosqueformamumconjunto.Mascomoseestabeleceumarelaoentreos elementosdeumconjunto eoselementosde outro conjunto? A resposta aessa pergunta dadapeloestudodasrelaesentreeles.Entretanto,comoelastmumadefiniomuito ampla,sequisermosumainformaomaisprecisasobreasrelaesqueseestabelecem,teremos de impor certas condies.As relaes que se ajustarem aos critrios restritivos so as funes. Matemtica I 33 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 2.1. Relaes Reais Sejam A e B dois conjuntos.Uma relao R de A em B um subconjunto qualquer de A x B. Exemplo: Sejamosconjuntos{ } 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = A e{ } 11 , 9 , 7 , 5 , 3 = B .Queesto relacionados de acordo com a lei{ } 1 2 / + = = x y A x RObserve como ficou a relaoB A R : entre os conjuntos A e B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 11 , 5 ; 9 , 4 ; 7 , 3 ; 5 , 2 ; 3 , 1 = Rb) Representao de uma relao Podemos representar uma relao ou por um diagrama de setas ou no plano cartesiano. Veja o exemplo de uma representao de relao no plano cartesiano: O conjunto A o domnio da relao R, denotado por Dom(R) e B o contradomnio da relao, denotado por CoDom(R). Dom(R) = { x A: existe y em B tal que (x,y) R} Im(R)={y B: existe x A tal que (x,y) R} R1={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)} Veja agora exemplos de relaes representados por diagramas de setas: Matemtica I 34 IFES Instituto Federal do Esprito Santo R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)} R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)} DadososconjuntosA={-1,0,1,2,3}eB={1,0,4,5}earelaoR={ (x,y) A x B /y = x2} R={(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)},cujarepresentaopodeserpor diagramas ou no plano cartesiano. 2.2.Funes a) Definio Dadosdoisconjuntos,AeB,no-vazios,dizemosquea relao f de A em B uma funo se, e somente se, para qualquer x pertencenteaoconjuntoAexiste,emcorrespondncia,umnicoy pertencente a B tal que o par ordenado (x,y) pertena a f. Vamos mostrar agora situaes de relaes que no consistem em funes Dados os conjuntos A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relao R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) } Matemtica I 35 IFES Instituto Federal do Esprito Santo noumafunoemAxB,poisassociadosaomesmovalora existem dois valores distintos que so 1 e 3. Dados os conjuntos A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relao R5 = {(a,1), (a,3), (b,2), (c,3)} no uma funo em A x B, pois nem todos os elementos do primeiro conjunto A esto associados a elementos do segundo conjunto B. Umaboatcnica,quepodeatravsdosgrficosidentificarse uma relao ou no uma funo, consiste em traar retas paralelas ao eixo y, se alguma delas tocar o grfico em mais de um ponto, esta no ser uma funo.Veja nos exemplos abaixo Matemtica I 36 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 2.3.Qualidade de uma Funo a) Funes Injetoras UmafunoB A f : injetorasequaisquerdoiselementos distintos de A sempre possurem imagens distintas em B, isto : 2 1x x implica que( ) ( )2 1x f x f ou, de forma equivalente, ( ) ( )2 1x f x f =implica que 2 1x x = Exemplos: 1.AfunoR R f : definidapor( ) 2 3 + = x x f injetora, poissemprequetomamosdoisvaloresdiferentesparax, obtemos dois valores diferentes para f(x). 2.AfunoR R f : definidapor( ) 52+ = x x f no injetora,poisparax=1temosf(1)=6eparax=-1temosf(-1)=6. b) Funes Sobrejetoras Uma funoB A f : sobrejetora se todo elemento de B a imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que aimagemdafunodeveserexatamenteigualaBqueo contradomnio da funo, ou seja, para todo y em B existe x em A tal que( ) x f y = . Matemtica I 37 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Exemplos: i) A funoR R f :definida por f(x)=3x+2 sobrejetora, pois todo elemento de R imagem de um elemento de R pela funo. ii)Afunof:R(0,)definidaporf(x)=xsobrejetora,pois todoelementopertencentea(0,)imagemdepelomenosum elemento de R pela funo. ii)AfunoR R f : definidaporf(x)=2xnosobrejetora,poiso nmero-1elementodocontradomnioRenoimagemde qualquer elemento do domnio. c) Funes Bijetoras UmafunoB A f : bijetoraseelaaomesmotempo injetora e sobrejetora. Exemplo A funoR R f : dada por f(x)=2x bijetora, pois injetora e sobrejetora. 2.4. Funo Par e mpar a) Funo par Umafunorealfparse,paratodoxdodomniodef,tem-seque f(x)=f(-x).Umafunoparpossuiogrficosimtricoemrelaoao eixo vertical OY. ExemploAfunof(x)=xpar,poisf(-x)=x=f(x).Observeogrfico de f! Outra funo par g(x)=cos(x) pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x). a) Funo mparUmafunorealfmparse,paratodoxdodomniodef, tem-sequef(-x)=-f(x).Umafunomparpossuiogrficosimtrico em relao origem do sistema cartesiano. Matemtica I 38 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Exemplo Asfunesreaisf(x)=5xeg(x)=sen(x)sompares,pois:f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x) e g(-x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x). Veja o grfico para observar a simetria em relao origem. Atividades 1. Determine A x B e A x A, sendo: A = {1, 2, -4} e B= {2/3 , 8} 2.Examinecada relaoeescrevaseuma funodeAemBou no.Emcasoafirmativodetermineodomnio,aimagemeo contradomnio. 3. Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5, 9}, enumere os elementos da seguinte relao: R = {(x, y) A B | y = x + 1}. Matemtica I 39 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Matemtica I 40 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 3.FUNO POLINOMIAL DO PRIMEIRO GRAU OpapirodeRhind,unsdosdocumentosmaisantigoseimportantessobreMatemtica Egpcia, nos mostra que em 1700 a.C. o homem j trabalhava com problemas que envolviam quantidadesdesconhecidas.NosculoIII,omatemticogregoDiofantidaesses problemasumtratamentoespecial,iniciandoateoriadasequaes.Sapartirdosculo XVI,noentanto,comdesenvolvimentodanotaoalgbrica,queateoriadasequaes passa a ser um ramo independente da Matemtica. A linguagem algbrica tem sido extremamente importante para ampliao do conhecimento.Quantomaisadominamos,maisfacilmentepodemosexpressareresolverproblemas cientficosoucotidianos.Estudaremosnestecaptuloasequaesalgbricas.Oqueas caracteriza, de modo geral, a presena de uma varivel e o sinal de igualdade.O sinal de igual (=) tem o significado amplo em Matemtica.Nas equaes, utilizado para expresses que somente so iguais para certos valores (ou para nenhum valor) de suas variveis.Aqui,asvariveissochamadasdetermosdesconhecidosouincgnitas.Escreveressas igualdades equivale a dar as variveis a condio de igualarem duas expresses. Neste captulo, estudaremos tambm como modelar a funo do primeiro grau que passa por doispontos,paramodelarmosproblemasondeasgrandezasapresentamumarelaode proporcionalidade. 3.1.Modelo da Funo Polinomial do primeiro grau b ax y + = y varivel dependente x varivel independente a coeficiente angular b coeficiente linear 3.2.Significado dos coeficientes O coeficiente a representa a taxa de crescimento da grandeza representada noeixodasordenadasemrelaograndezarepresentadadoeixodas abscissas, ou seja, Matemtica I 41 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 00x xy ya=Nogrfico,ocoeficienteangularatangentedonguloformadapelareta, com a horizontal tg a =Quando a funo representa um crescimento, o valor do coeficiente angular positivo.Observe no grfico da funo( ) 1 2 + = x x f , onde o coeficiente angular tem valor positivo (a = 2). Quandoafunorepresentaumdecrescimento,ovalordocoeficiente angularnegativo.Observenogrficodafuno( ) 1 2 + = x x f ,ondeo coeficiente angular tem valor positivo (a = -2). Issofazmuitosentido,poisseafunocrescenteonguloformadopela reta com o horizontal agudo;logo pertencente ao primeiro quadrante, onde a tangente positiva. Quando a funo decrescente, o ngulo formado pela Matemtica I 42 IFES Instituto Federal do Esprito Santo reta e a horizontal obtuso; logo, pertencente ao segundo quadrante onde a tangente negativa. Ocoeficientelinearbrepresentaaquantidadeinicialdagrandeza representadanoeixodasordenadasy.Nogrficoopontoondeareta intercepta o eixo y. 3.3.Razes ou zeros da funo Polinomial do primeiro grau Araizouzerodafunopolinomialdoprimeirograupontoondeareta interceptao eixodasabscissas(eixo x), ouseja,ovalor de xquequando atribudo funo torna o valor de y nulo. Genericamente temos: ( ) b ax x f + =0 = +b ax , logo, abx = . Concluindo temos0 = ||

\|abfVeja no grfico a raiz da funo( ) 3 = x x f , destacada em preto Matemtica I 43 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 3.4.Construo da lei da funo do primeiro grau Vamosapresentartrsmaneirasdeconstruiraleidafunodoprimeiro grau. Naprimeiramaneira,vamosutilizaromodelodafunodoprimeirograu b ax y + = . Exemplo:EncontreaequaodaretaquepassapelospontosA(2,3)e B(5,7).Substituindo no modelo temos( )( ) b ab a+ =+ =5 72 3 Resolvendo o sistema = += +7 53 2b ab a

Multiplicando a primeira equao por (-1) e depois adicionando as equaes, encontramos 344 37 53 2=== + = aab ab a Agora,substituindoemqualquerequaodosistema,vamosescolher aleatoriamente a primeira. Matemtica I 44 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 313833 8342= == + ||

\|bbb Logo o modelo da funo 3134+ = x yNa segunda maneira, vamos usar uma condio da geometria analtica, onde odeterminanteentretrspontosdeumamesmaretasemprenulo, conhecido como condio de alinhamento de trs pontos. Os trs pontos so A(2,3) ; B(5,7) e C (x,y). Ento, temos: 01 7 51 3 21=y x Aplicando a regra de Sarrus, para extrao do determinante de ordem 3 X 3 (trslinhasXtrscolunas)devemosrepetirasduasprimeiraslinhasouas duasprimeirascolunas,multiplicarasdiagonaisprincipais(mantendoo sinal), e multiplicar as diagonais secundrias invertendo o sinal.Veja 1 3 2101 7 51 3 21y xy x= 31341 4 30 1 4 30 2 7 15 5 14 3+ =+ == = + +x yx yx yy x y x Na terceira maneira, vamos utilizar de um modelo conhecido como equao da reta: ( )0 0x x a y y = Primeiramente,vamoscalcularocoeficienteangularcomovimosnoincio da aula Matemtica I 45 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 342 53 700===ax xy ya Nosepreocupesobrequalparser( )0 0, y x ouqualser( ) y x, ,poisna verdadeissonofazdiferena.Entosubstituindoocoeficienteangular encontrado em algum dos pontos no modelo, temos: ( )313431 439 8 4338 42343+ =+=+ =+= = x yxyxyxyx y 3.5.Inequao do Primeiro grau a)Inequao do Primeiro grau com duas variveis Primeiro Passo:Substitumos a desigualdade por uma igualdade depois traamos a reta no plano cartesiano. Escolhemos um ponto auxiliar, de preferncia o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo satisfaz ou no a desigualdade inicial. SegundoPasso:Emcasopositivo,asoluodainequaocorrespondeao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar. Terceiro Passo:Em caso negativo, a soluo da inequao corresponde ao semiplano oposto quele ao qual pertence o ponto auxiliar. Exemplo: Representa graficamente a inequao4 2 + y x Tabela Matemtica I 46 IFES Instituto Federal do Esprito Santo xy(x, y) 04(0, 4) 20(2, 0)

Verificao do ponto Auxiliar: (Afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequao). Asoluodainequaocorrespondeaosemiplanoaoqualpertenceo ponto auxiliar (0,0). b)Sistema de Inequaes do primeiro grau com duas variveis Para resolver um sistema de inequaes do 1 grau graficamente, devemos traarnummesmoplanoogrficodecadainequao;determinararegio correspondente interseco dos dois semiplanos.Exemplo:Dado o sistema de inequaesMatemtica I 47 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Traando as retas -x +y = 4 e 3x + 2y = 6. Tabela 1 xy(x, y) 04(0, 4) -40(-4, 0) Tabela 2 xy(x, y) 0-1(0, -1) 10(1, 0) Matemtica I 48 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Atividades 1. Seja m 0 um nmero real e sejam f e g funes reais definidas por f(x) = x - 2|x| + 1 e g(x) = mx + 2m. a) Esboar, no plano cartesiano representado a seguir, os grficos de f e de g quando m = 1/4 e m = 1. b) Determinar as razes de f(x) = g(x) quando m = 1/2. c) Determinar, em funo de m, o nmero de razes da equao f(x) = g(x). 2.UmvendedorrecebemensalmenteumsalriofixodeR$800,00mais uma comisso de 5% sobre as vendas do ms. Emgeral,cadaduashorasemeiadetrabalho,elevendeoequivalentea R$ 500,00. a)Qualseusalriomensalemfunodonmeroxdehorastrabalhadas por ms? b)Seelecostumatrabalhar220horasporms,oqueprefervel:um aumento de 20% no salrio fixo, ou umaumento de20% (de 5% para 6%) na taxa de comisso? 3.Umgerentedeumalojadebolsasverificouquequandoseproduziam 500bolsasporms,ocustototaldaempresaeraR$25.000,00equando se produziam 700 bolsas o custo mensal era R$ 33.000,00. a)Admitindoqueogrficodocustomensal(C)emfunodonmerode bolsasproduzidasporms(x)sejaformadoporpontosdeumareta, obtenha C em funo de x. b)Seacapacidademximadeproduodaempresaforde800unidades por ms, obtenha o custo mdio de produo de uma bolsa, em funo de x e determine o custo mdio mnimo. Matemtica I 49 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 4.Areceitamensaldevendasdeumaempresa(y)relaciona-secomos gastosmensaiscompropaganda(x)pormeiodeumafunodo1.grau. Quando a empresa gasta R$ 10.000,00 por ms de propaganda, sua receita naquelemsdeR$80.000,00;seogastomensalcompropagandaforo dobro daquele, a receita mensal cresce 50% em relao quela. a)Qualareceitamensalseogastomensalcompropagandaforde R$30.000,00? b) Obtenha a expresso de y em funo de x. 5. O preo do gs natural para um consumidor residencial na cidade do Rio de Janeiro obtido a partir das informaes: Oconsumidorpagapeloquegastadeacordocomquatronveisde consumo:OsseteprimeirosmetroscbicoscustamR$2,20cada,os prximosdezesseisjcustammaiscaro,R$2,90cada.Seoconsumofor acima desses 23, mais caro fica (R$ 3,60 por cada metro cbico)... e ainda existe mais uma faixa! Por exemplo, se o consumo da sua casa for de 25 m, voc dever pagar 7 2,20 + 16 2,90 + 2 3,60 = R$ 69,00. a) Quanto pagar uma famlia cujo consumo for de 85 m? b)Escrevaumaexpressoquedovalorpagoporumaresidnciacujo consumo mensal, N, est entre 8 e 23 m/ms. Matemtica I 50 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 6. O custo de uma corrida de txi, na cidade do Rio de Janeiro, calculado da seguinte forma: -R$3,70abandeirada(valorinicialindependentedadistnciaaser percorrida) -R$0,15paracada100metrospercorridos,apartirdosprimeiros500 metros. -Otaxmetrosmudaovaloracada100metrospercorridos.Assim,por exemplo, se a viagem tiver sido de 780 metros, o passageiro pagar 3,70 + (200/100) . (0,15) = R$ 4,00 (o mesmo que numa corrida de 700 metros). a) Quanto custa uma corrida de 9,5 km? b)ConsidereNumnmeromltiplode100,maiorque500,queindica quantosmetrosopassageiropercorre.Escrevaumafrmulaqueexpresse o custo de uma corrida de N metros. 7. Em uma fbrica, o custo de produo de 500 unidades de camisetas de R$2.700,00,enquantoocustoparaproduzir1.000unidadesdeR$ 3.800,00. Sabendo que o custo das camisetas dado em funo do nmero produzidoatravsdaexpressoC(x)=qx+b,emquexaquantidade produzida e b o custo fixo, determine: a) Os valores de b e de q. b) O custo de produo de 800 camisetas. 8.Umalojaanunciouacontrataodefuncionrioseparaissofeza seleoaplicandoumtestecom40questesobjetivas.Ocritriode avaliaofoioseguinte:paracadaquestorespondidacorretamente somavam-se3,5pontosesubtraa-se1,5pontoparacadaquesto respondida erradamente ou no respondida. Quantas questes acertou um candidato que fez 95 pontos? Matemtica I 51 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 9. Observe a figura 1 que representa um leitor de udio na posio de incio de leitura. Os suportes circulares A e B tm 1cm de raio e uma fita de 90 m esttotalmenteenroladaemAformandoumacoroacirculardeespessura 1,5cm.AleituradafitafeitapelapeaCaumavelocidadeconstante. medidaqueafitapassa,nossuportesAeB,formam-seduascoroas circulares com raios maiores x e y, respectivamente, como sugere a figura a seguir. a)EsboceogrficoquemostraocomprimentodafitaenroladaemA, funo do tempo de leitura. b) Calcule y em funo de x. 10.Paracalcular3/2-12/5,Paulosubtraiuosnumeradoresedividiuo resultado por 10 obtendo: 3/2 - 12/5 = (3 - 12)/10 = - 0,9 a) Determine de forma correta o valor da expresso 3/2 - 12/5. b)ConsiderandoquePaulotenhacalculadocombasenafrmula(x/2)-(y/5)=(x-y)/10,ondexeysoreais,identifiqueolugargeomtricodos pontos (x, y) do plano cartesiano que tornam essa igualdade verdadeira. Esboce, tambm, o grfico cartesiano. Matemtica I 52 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 11.Ogrficoadianterepresenta,embilhesdedlares,aquedadas reservasinternacionaisdeumdeterminadopasnoperododejulhode 2000 a abril de 2002. Admitaque,nosdoisintervalosdoperodoconsiderado,aquedade reservas tenha sido linear. Determineototaldereservasdessepas,embilhesdedlares,emmaio de 2001. 12. Sabe-se que, nos pulmes, o ar atinge a temperatura do corpo e que, ao serexalado,temtemperaturainferiordocorpo,jqueresfriadonas paredesdonariz.Atravsdemediesrealizadasemumlaboratriofoi obtida a funo T = 8,5 + 0,75 T , 12 T 30, em que T e T representam, respectivamente, a temperatura do ar exalado e a do ambiente. Calcule: a) a temperatura do ambiente quando T = 25C; b) o maior valor que pode ser obtido para T. Matemtica I 53 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 13.Nogrficoaseguir,xrepresentaaquantidadedebatatas,em quilogramas, vendidas na barraca de seu Custdio, em um dia de feira, e y representaovalor,emreais,arrecadadocomessavenda.Apartirdas12 horas,omovimentodiminuieopreodoquilogramadebatatastambm diminui. a) Calcule a reduo percentual do preo do quilograma das batatas a partir das 12 horas. b) Se o preo no diminusse, teria sido arrecadado um valor V na venda de 80 kg. DetermineopercentualdeVquecorrespondeperdacausadapela reduo do preo. 14. Um fabricante de bons opera a um custo fixo de R$ 1.200,00 por ms (correspondenteaaluguel,seguroeprestaesdemquinas).Ocusto varivelporbondeR$2,00.Atualmentesocomercializadas1.000 unidades mensalmente, a um preo unitrio de R$ 5,00. Devido concorrncia no mercado, ser necessrio haver uma reduo de 30% no preo unitrio de venda. Paramanterseulucromensal,dequantodeverseroaumentona quantidade vendida? 15.OpreodeumacertamquinanovaR$10.000,00.Admitindo-seque elatenhasidoprojetadaparadurar8anosequesofraumadepreciao linear com o tempo, ache a frmula que d o preoP(t) da mquina aps t anos de funcionamento, 0t8, e esboce o grfico da funo P. Matemtica I 54 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 16.ACermicaMarajconcedeumagratificaomensalaseus funcionrios em funo da produtividade de cada um convertida em pontos; arelaoentreagratificaoeonmerodepontosestrepresentadano grfico a seguir. Observandoque,entre30e90pontos,avariaodagratificao proporcional variaodo nmero de pontos, determine agratificaoque um funcionrio receber no ms em que obtiver 100 pontos. 17.Umreservatrio,contendoinicialmente400litrosdegua,comeaa receberguaaumarazoconstantede3litrosporsegundo,aomesmo tempo que uma torneira deixa escoar gua desse reservatrio a uma razo, tambm constante, de 1 litro por segundo. Considerando o instante inicial (t = 0) como o instante em que o reservatrio comeou a receber gua, determine: a)ovolumedeguanoreservatriodecorridosdezsegundos(t=10)a partir do instante inicial; b)umaexpressoparaovolume(V),emlitro,deguanoreservatrioem funo do tempo decorrido (t), em segundo, a partir do instante inicial. 18.Paraorganizarumacompetioesportivatem-seumcustodeR$ 2.000,00. Se a taxa de inscrio por participante para essa competio de R$30,00determineaquantidademnimadeinscritosnessacompetio, paraqueovalorarrecadadocomataxadeinscriocubraocustodo evento. 19. Um reservatrio de gua tem a forma de um cubo de arestas 10 m. Por causadeumvazamento,acadahoraperde-se5%dovolumetotaldo reservatrio. a)Seoreservatrioestivercompletamentecheionoinciodovazamento, em quanto tempo ele estar vazio? b)Seovazamentopermanecerpor12horas,quantoslitrosdegua restaro no reservatrio? Matemtica I 55 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 20. Em um stio destinado produo de leite, o custo mensal com a mo-de-obradeR$360,00fixos,mais10%dototal,T,arrecadadocoma vendadoleite.Osdemaiscustosdeproduorepresentamjuntos45%de T. a) Expresse o lucro, obtido em um ms, em funo de T. b)SeolitrodoleitevendidoporR$0,50,qualaquantidademnimade leitequedeveserproduzidaaomsparaqueoprodutornotenha prejuzo? 21. Duas empresas financeiras, E e E, operam emprestando um capital C, a ser pago numa nica parcela aps um ms. A empresa E cobra uma taxa fixa de R$ 60,00 mais 4%de juros sobreo capital emprestado, enquanto a empresaEcobraumataxafixadeR$150,00maisjurosde3%sobreo capital emprestado. Dessa forma, a) determine as expresses que representam o valor a ser pago em funo docapitalemprestado,nasduasempresas,eesboceosrespectivos grficos; b) calcule o valor de C, de modo que o valor a ser pago seja o mesmo, nas duas empresas. 22. Sabendo que os pontos (2, -3) e (-1, 6) pertencem ao grfico da funo f: IR IR definida por f(x)=ax+b, determine o valor de b-a. 23. Um vdeo-clube prope a seus clientes trs opes de pagamento: OpoI:R$40,00detaxadeadesoanual,maisR$1,20porDVD alugado.OpoII:R$20,00detaxadeadesoanual,maisR$2,00porDVD alugado.Opo III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adeso. Um cliente escolheu a opo II e gastou R$ 56,00 no ano. Esseclienteescolheuamelhoropodepagamentoparaoseucaso? Justifique sua resposta. 24. Seja f: IR IR a funo definida por f(x) = 3x - 5. a) Esboce o grfico da funo f no plano cartesiano IRIR e marque nele os pontos (1,f(1)), (2,f(2)), (3,f(3)) e (4,f(4)). b) Calcule a soma S = f(1) + f(2) +...+ f(199) + f(200). Matemtica I 56 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 25. A academia "Fique em Forma" cobra uma taxa de inscrio de R$ 80,00 eumamensalidadedeR$50,00.Aacademia"CorpoeSade"cobrauma taxa de inscrio de R$ 60,00 e uma mensalidade de R$ 55,00. a)Determineasexpressesalgbricasdasfunesquerepresentamos gastos acumulados em relao aos meses de aulas, em cada academia. b)Qualacademiaoferecemenorcustoparaumapessoaquepretende "malhar" durante um ano? Justifique, explicitando seu raciocnio. 26.Umvendedorcomprounbolsaspordreaiscadauma.Elevendeu2 bolsas para um bazar escolar beneficente pela metade do preo de custo. O restanteelevendeuparaumalojacomumadicionalde8reaisporbolsa. Seapsasvendasparaobazareparaalojaolucrototalfoide72reais, determine o menor valor possvel para n. 27.Adistnciaentreduascidade,AeB,de156km.DeAparaB,a extenso das descidas 0,7 vezes a extenso das subidas.Um ciclista pedala a 25 km/h, nas partes planas da estrada, a 15 km/h, nas subidas,ea30km/h,nasdescidas.Adiferenaentreotempodeidaeo tempo de volta do ciclista de 48 minutos. Calcule,emquilmetros,aextensodaparteplanadotrajeto, desconsiderando a parte fracionria de seu resultado, caso exista. 28. Uma pessoa obesa,pesandonum certo momento 156 kg, recolhe-se a umSPAondeseanunciamperdasdepesodeat2,5kgporsemana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas condies: a) Encontre uma frmula que expresse o peso mnimo, P, que essa pessoa poder atingir aps n semanas. b)Calculeonmeromnimodesemanascompletasqueapessoadever permanecer no SPA para sair de l com menos de 120 kg de peso. 29. Um operrio ganha R$3,00 por hora de trabalho de sua jornada semanal regulardetrabalho,quede40horas.Eventuaishorasextrassopagas com um acrscimo de 50%. Encontre uma frmula algbrica para expressar seusalriobrutosemanal,S,paraassemanasemquetrabalharhhoras, com h40. Matemtica I 57 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 30. Apresentamos a seguir o grfico do volume do lcool em funo de sua massa, a uma temperatura fixa de 0C. Baseado nos dados do grfico, determine: a) a lei da funo apresentada no grfico; b) qual a massa (em gramas) de 30 cm de lcool. 31.Ogrficorepresentaumafunofquedescreve,aproximadamente,o movimento(emfunodotempotemsegundos)porumcertoperodo,de umgolfinhoquesaltaeretornagua,tendooeixodasabscissas coincidente com a superfcie da gua. a)Sabendoqueapartenegativadogrficodefconstitudapor segmentosderetas,determineaexpressomatemticadefnosinstantes anterioressadadogolfinhodagua.Emqueinstanteogolfinhosaiuda gua? b)Apartepositivadogrficodefformadaporpartedeumaparbola, dada por: f(t) =(- 3/4) t + 6t - 9. Determinequantossegundosogolfinhoficouforadaguaeaaltura mxima, em metros, atingida no salto. Matemtica I 58 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 32. Seja x o nmero de anos decorridos a partir de 1960 (x = 0). A funo y =f(x)=x+320fornece,aproximadamente,amdiadeconcentraode CO na atmosfera em ppm (partes por milho) em funo de x. A mdia de variao do nvel do mar, em cm, em funo de x, dada aproximadamente pela funo g(x) = (1/5) x. Seja h a funo que fornece a mdia de variao do nvel do mar em funo da concentrao de CO. No diagrama seguinte esto representadas as funes f, g e h. Determine a expresso de h em funo de y e calcule quantos centmetros o nvel do mar ter aumentado quando a concentrao de CO na atmosfera for de 400 ppm. 33.ACompanhiadeAbastecimentodeguadeumacidadecobra mensalmente,pelaguafornecidaaumaresidncia,deacordocoma seguinte tabela: Pelosprimeiros12mfornecidos,Cr$15,00porm;pelos8mseguintes, Cr$ 50,00 por m; pelos 10 m seguintes, Cr$ 90,00 por m e, pelo consumo que ultrapassar 30 m, Cr$ 100,00 o m. Calcule o montante a ser pago por um consumo de 32 m. 34.Algunsjornaiscalculamonmerodepessoaspresentesematos pblicos considerando que cada metro quadrado ocupado por 4 pessoas. Qual a estimativa do nmero de pessoas presentes numa praa de 4000m que tenha ficado lotada para um comcio, segundo essa avaliao? 35.ParatransformargrausFahrenheitemgrauscentgradosusa-sea frmula: C = 5(F - 32)/9 ondeFonmerodegrausFahrenheiteConmerodegraus centgrados. a) Transforme 35 graus centgrados em graus Fahrenheit. b)Qualatemperatura(emgrauscentgrados)emqueonmerodegraus Fahrenheit o dobro do nmero de graus centgrados? Matemtica I 59 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 36.Atroposfera,queaprimeiracamadadaatmosfera,estende-sedo nvel do mar at a altitude de 40.000 ps; nela, a temperatura diminui 2 C a cadaaumentode1.000psnaaltitude.SuponhaqueemumpontoA, situado ao nvel do mar, a temperatura seja de 20 C. Pergunta-se: a) Em que altitude, acima do ponto A, a temperatura de 0 C? b) Qual a temperatura a 35.000 ps acima do mesmo ponto A? 37.Suponhaqueumatabela(incompleta)paraoclculodoimpostode renda fosse a seguinte: OBS.Oimpostocalculadoaplicando-serendaaporcentagem correspondente e subtraindo-se desse resultado a parcela a deduzir. a)Calculeosvaloresdosimpostosaserempagospordoiscontribuintes cujas rendas so de R$ 1.000,00 e de R$ 2.000,00. b)Escrevaatabelaacimanocadernoderespostas,completando-acoma parcelaadeduzirparaafaixadeR$2.000,00aR$3.000,00ecoma alquota que corresponde faixa de renda superior a R$ 3.000,00. 38. O custo de uma corrida de txi constitudo por um valor inicial Q, fixo, maisumvalorquevariaproporcionalmentedistnciaDpercorridanessa corrida.Sabe-seque,emumacorridanaqualforampercorridos3,6km,a quantia cobrada foi de R$ 8,25, e que em outra corrida, de 2,8 km, a quantia cobrada foi de R$ 7,25. a) Calcule o valor inicial Q. b)Se,emumdiadetrabalho,umtaxistaarrecadouR$75,00em10 corridas, quantos quilmetros seu carro percorreu naquele dia? 39.Sejamdadasasfunesf(x)=pxeg(x)=2x+5,emquepum parmetro real. a) Supondo que p = - 5, determine para quais valores reais de x tem-se f(x) . g(x) < 0. b) Determine para quais valores de p temos g(x) f(x) para todo x [- 8, - 1]. Matemtica I 60 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 40. Responda s questes a seguir, tomando por base os dados fornecidos na tabela e na figura mostradas. a) Calcule a rea total do municpio de Campinas, sabendo que os distritos norte,leste,sulenoroestedacidadetm,respectivamente,175km,350 km, 120 km e 75 km. b)Suponhaque,comoumamedidadecombatedengue,omunicpiode Campinastenhadecididofazerumanebulizao(oupulverizao)de inseticida. Na fase inicial da nebulizao, ser atendido o distrito com maior nmerodecasosdedengueporkm.Reproduzaodiagramaacima.Em seudiagrama,marqueospontoscorrespondentesaoscincodistritosde Campinas.Identifiqueclaramenteodistritoassociadoacadaponto.Com base no grfico obtido, indique o distrito em que ser feita essa nebulizao inicial. Justifique sua resposta. 41. Duas locadoras de automveis oferecem planos diferentes para a diria deumveculoeconmico.AlocadoraSaturnocobraumataxafixadeR$ 30,00, alm de R$ 0,40 por quilmetro rodado. J alocadoraMercrio tem umplanomaiselaborado:elacobraumataxafixadeR$90,00comuma franquiade200km,ouseja,oclientepodepercorrer200kmsemcustos adicionais.Entretanto,paracadakmrodadoalmdos200kmincludosna franquia, o cliente deve pagar R$ 0,60. a) Para cada locadora, represente no grfico a funo que descreve o custo dirio de locao em termos da distncia percorrida no dia. b)Determineparaquaisintervaloscadalocadoratemoplanomaisbarato. SupondoquealocadoraSaturnovmanterinalteradaasuataxafixa, indique qual deve ser seu novo custo por km rodado para que ela, lucrando Matemtica I 61 IFES Instituto Federal do Esprito Santo omximopossvel,tenhaoplanomaisvantajosoparaclientesquerodam quaisquer distncias. 42.Nadcadade1960,comareduodonmerodebaleiasdegrande porte, como a baleia azul, as baleias minke antrticas passaram a ser o alvo preferencialdosnaviosbaleeirosquenavegavamnohemisfriosul.O grfico mostra o nmero acumulado aproximado de baleias minke antrticas capturadasporbarcosjaponeses,soviticos/russosebrasileiros,entreo final de 1965 e o final de 2005. a)Nogrficoacima,traceacurvaqueforneceonmeroaproximadode baleiascaadasanualmenteporbarcossoviticos/russosentreofinalde 1965 e o final de 2005. Indique tambm os valores numricos associados s letrasAeBapresentadasnogrfico,paraquesejapossvelidentificara escala adotada para o eixo vertical. b)Calculeonmeroaproximadodebaleiascaadaspelogrupodepases indicado no grfico entre o final de 1965 e o final de 1990. 43. Sejam f e g funes tais que f(x) = 5x + 2 e g(x) = -6x + 7. Determine a leiquedefineafunoafimh,sabendoqueh(-5)=1equeogrficodeh passa pelo ponto de interseco dos grficos de f com g. Matemtica I 62 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 44. Como resultado de uma pesquisa sobrea relao entreo comprimento dopdeumapessoa,emcentmetros,eonmero(tamanho)docalado brasileiro,Carlaobteveumafrmulaqued,emmdia,onmerointeiron (tamanho do calado) em funo do comprimento c, do p, em cm. Pela frmula, tem-se n = [x], onde x = (5/4) c + 7 e [x] indica o menor inteiro maior ou igual a x. Por exemplo, se c = 9 cm, ento x = 18,25 e n = [18,25] = 19. Com base nessa frmula, a)determineonmerodocaladocorrespondenteaumpcujo comprimento 22 cm. b) se o comprimento do p de uma pessoa c = 24 cm, ento ela cala 37. Sec>24cm,essapessoacala38oumais.Determineomaior comprimento possvel, em cm, que pode ter o p de uma pessoa que cala 38. 45.Chama-semargemdecontribuiounitriadiferenaentreopreo unitrio de venda e o custo unitrio de um produto. Se o preo unitrio de venda p e o custo unitrio c: a)Qualovalordepemfunodec,sabendo-sequeamargemde contribuio unitria 10% do preo de venda? b) Se a margem de contribuio unitria for 30% do preo de venda, qual a margem de contribuio unitria em porcentagem do custo unitrio? 46.UmaempresaApagaacadaumdeseusvendedoresuma remuneraomensalquefunodo1.graudesuasvendasmensais. Quando ele vende R$ 50.000,00 sua remunerao R$ 1.800,00 e quando vende R$ 80.000,00 sua remunerao R$ 2.400,00. a) Obter a remunerao R em funo das vendas (x). b)UmaoutraempresaBpagaacadaumdeseusvendedoresuma remunerao mensal R dada por: R = 1500 + 0,01x, onde x so as vendas mensais . Para que valores de x a remunerao mensal do vendedor em A superior do vendedor em B? 47. Determine o maior valor de x que satisfaz o sistema: (3x - 2)/2 5 (1 - x)/5 < (x - 1)/4 48. Resolva a inequao (2x - 3)/(x + 1) 1. 49. Resolver, em IR, a inequao 1/(x - 1) < 2/(x - 2) com x 1 e x 2. 50.Umaindstriatrabalhacomumcustofixodeproduo(semcontaros impostos)deR$200.000,00poranoetemdepagaremimpostos25%do seu faturamento bruto. Quanto deve faturar para que seu lucro no ano seja de, no mnimo, R$ 40.000,00? Matemtica I 63 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Matemtica I 64 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 4.FUNO QUADRTICA H registros de problemas envolvendo equaes quadrticas com trs termos, deixados pelos babilnioshaproximadamente4000anos.Essesestudosdemonstramumagrande flexibilidade existente na lgebra desenvolvida entre eles. Outrospovostambmcontriburamcomestapartedalgebra,atquesechegasse representao atual de uma equao quadrtica,02= + c bx axcom a no-nulo, na qual o valor de x obtido pela frmula de Bhskara: aac b b242 . Essaorganizaodesmbolos,quesimplificaoestudodasquadrticas,recentesefor comparada com a idade da lgebra.Foi no sculo XVII que Descartes utilizou as letras a, b ecpararepresentarquantidadesconhecidaseasletrasdofinaldoalfabeto,x,yez,para representar as incgnitas.Alm disso, passou a usar a representao x2em lugar de x.x e x3em lugar de x.x.x. RenDescartes(1596-1650)erafrancs,formadoemDireitoeaosvinteanossua insatisfaoolanoucomoreformuladordafilosofiaqueinfluenciavaosacadmicosda poca. 4.1.Modelo da Funo Quadrtica c bx ax y + + =2 y varivel dependente x varivel independente Osinaldocoeficienteadeterminaosentidodaconcavidadedafuno quadrtica.Quandoocoeficientepositivoaconcavidadedaparbola para cima. Veja o grfico da funo( )2x x f = Bhskara Akiria (1114-1185) Matemtica I 65 IFES Instituto Federal do Esprito Santo E quando o coeficiente a negativo temos o sentido da concavidade para baixo. Veja o grfico da funo( )2x x f = Almdainterpretaodosinaldocoeficientea,temosqueentender graficamente o efeito do valor do mdulo do coeficiente a. Observe:quantomaioromdulodocoeficienteamenoraaberturada concavidade da parbola. ( )2x x f = , grfico em azul (onde o coeficiente a, vale 1) ( )22x x g = , grfico em vermelho (onde o coeficiente a, vale 2) ( )23x x h = , grfico em verde (onde o coeficiente a, vale 3) Matemtica I 66 IFES Instituto Federal do Esprito Santo

O coeficiente c a quantidade inicial da grandeza representada no eixo das ordenadas (eixo y).No grfico o ponto que a parbola intercepta o eixo das ordenadas. A mudana de valor do coeficiente b translada a parbola sobre o eixo x. 4.2.Razes ou Zeros da Funo Quadrtica Araizouzerodafunoquadrticasoospontos(ouponto)emquea parbola intercepta o eixo x.A raiz o valor do x que quando atribudo na funo torna nulo o valor de y. Vejanogrficoabaixoasrazesdafuno( ) 6 52+ = x x x f ,destacadas de vermelho e verde. Matemtica I 67 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Deumaformagenrica,ondeafunoquadrticadadanaforma ( ) c bx ax x f + =2, fazendo( ) 0 = x f , temos as razes encontradas poraac b bx242 =Logo,0242=|||

\| aac b bf4.3.Relao entre coeficientes e razes A relao entre coeficientes e razes apenas um caso da relao de Girard a)Relao de Soma abx x = +2 1 b)Relao de Produto acx x =2 1.4.4.Nmero de razes da funo quadrtica a)0 > (Duas razes ou zeros reais distintos) A funo( ) 6 52+ = x x x f , possui1 = . por isso que observamos seu grfico interceptar o eixo das abscissas em dois pontos. Pierre Simon Girard(1765-1836) Matemtica I 68 IFES Instituto Federal do Esprito Santo b)0 = (Um zero ou raiz real dupla) A funo( ) 4 42+ = x x x f , possui0 = . por isso que observamos seu grfico interceptar o eixo das abscissas em apenas um ponto. c)0 < (No possui razes reais) Afuno, ( ) 3 32+ = x x x f possui3 = ,porissoqueobservamos seu grfico no interceptar o eixo das abscissas. Matemtica I 69 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 4.5.Inequao do 2 Grau 4.5.1.Estudo do Sinal Para resolvermos uma inequao do 2o grau, utilizamos o estudo do sinal. As inequaes so representadas pelas desigualdades: > , > , < , < . Ex: x2 3x +6 > 0Resoluo: x2 3x +6 = 0 Matemtica I 70 IFES Instituto Federal do Esprito Santo x= 1, x = 2 Comodesejamososvaloresparaosquaisafunomaiorquezero, devemosfazerumesboodogrficoeverparaquaisvaloresdexisso ocorre. Vemos, que as regies que tornam positivas a funo so: x2 Resposta: {xR| x2} 4.5.2.InequaoProdutoeInequaoQuocientedosegundo grau So as desigualdades da forma: f(x) . g(x) > 0, f(x) . g(x) < 0, f(x) .g(x) > 0 e f(x) .g(x) < 0.f(x) / g(x) > 0, f(x) / g(x) < 0, f(x) / g(x) > 0 e f(x) / g(x) < 0, respectivamente. Exemplo: ( )( ) 0 4 4 10 92 2 x x x xResoluo: Trabalhar f(x) e g(x) separadamente 0 10 92= x x(I) 0 4 42= x x(II) Determinar as razes das funes (I)x= -1, x = 10 Matemtica I 71 IFES Instituto Federal do Esprito Santo (II)x= x = 2 Fazer o estudo do sinal para cada funo. I) x10 II) x2 Calcular a soluo, que dado pelo sinal de desigualdade da funo de origem, isto : > intervalo positivo e bolinha fechada> intervalo positivo e bolinha aberta< intervalo negativo e bolinha fechada < intervalo negativo e bolinha aberta Calcular a soluo, que dado pelo sinal de desigualdade da funo de origem, isto : > intervalo positivo e bolinha fechada> intervalo positivo e bolinha aberta< intervalo negativo e bolinha fechada < intervalo negativo e bolinha abertaObservaes: Noquadroderespostas(ousolues),seosintervalosforemem:f(x) positivo e g(x)positivo o h(x) ser +. Assim, temos:Matemtica I 72 IFES Instituto Federal do Esprito Santo + = + + = + = + + = eeee Nainequaoquociente,observaraC.E(condiodeexistncia)do denominador, que influenciar o resultado nos intervalos, no que diz respeito aintervalofechadoouaberto,ouseja,osintervalosoriundosdo denominadoremhiptesealgumaserofechados.Quantoformade resolver, idntica realizada na inequao produto. Assim,asnicasregiespositivas(maioresquezero)soem1 < x e 10 > xResposta: { R x |1 < xou10 > x } 4.5.3.Inequao simultnea do segundo grau Estamosfalandoneste tpicoeminequaesque apresentamaomesmo tempo mais de uma desigualdade, como no exemplo abaixo -8 < x2 2x 8 < 0 Resoluo: Devemos separar as inequaes , obedecendo o intervalo dado.Temos: I)8 8 22 > x x e Matemtica I 73 IFES Instituto Federal do Esprito Santo II)0 8 22< x xAgora vamos determinar as razes ou zeros de cada uma das funes obtidas pela separao.I) 0 22> x xII)0 8 22< x xx = 0x= x = 1 x = 2 Determinado' xe" x , devemos fazer o estudo do sinal para cada funo. I) x< 0 ou x>2II)x diferente de 1. Calcular a soluo S, que dada pela interseo dos intervalos de S1 e S2. Obs: o quadro de resposta ser preenchido pelo intervalo achado. Resposta: {R x / x2} 4.6.Estudo do Vrtice da Parbola Opontodevrticedaparbolaumpontoextremamenteimportantepara problemasdeotimizao,ouseja,calcularpontosdemaximizaoe minimizao de um problema. Porexemplo,numproblemadegeometriaplana,calcularqualserarea mximaoumnima,ouasdimensesdoterrenoquetornamessarea mxima ou mnima. Matemtica I 74 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Numproblemadeeconomia,encontrarqualocustomnimoqueuma empresa pode ter na fabricao de um produto, ou qual o lucro mximo que esta pode obter.Ou encontrar o nmero de produtos fabricados que levam a esse lucro mximo ou custo mnimo. a)Coordenada x do vrtice abxv2 =b)Coordenada y do vrticeayv4 =Logo, o ponto de vrtice dado por ||

\| a ab4,2 Claroquequandoaparbolatemseucoeficienteangularpositivo,ouseja, concavidadecomsentidoparacima,ovrticeumpontodemnimoda funo. Vejaemdestaqueovrticedafuno( ) 6 52+ = x x x f ,queumponto de mnimo. Veja em destaque o vrtice da funo( ) x x x f 32 = , que um ponto de mnimo. Matemtica I 75 IFES Instituto Federal do Esprito Santo Atividades 1.Mostreque,dentreessesretngulos,oquetemreamximaum quadrado. TEXTO PARA AS PRXIMAS 2 QUESTES.Umretngulo,cujabasede16cm,sofrealteraoemsuasmedidasde forma que a cada reduo de x cm em sua base, sendo x 0, obtm-se um novo retngulo de rea dada por A(x) = -x + 8x + 128. 2.Determineaebemh(x)=ax+b,ondeh(x)denotaaalturadesses retngulos. 3.Quantasunidadesessaempresadeveproduzirparaobteromaiorlucro possvel? TEXTO PARA AS PRXIMAS 2 QUESTES.O lucro de uma empresa dado pela relao R = L + C, em que L o lucro, RareceitaeCocustodeproduo.Numaempresaqueproduziux unidades de um produto, verificou-se que C(x) = 2x + 2500x + 3000 e R(x) = x + 7500x + 3000. 4. Esboce o grfico da funo L. Matemtica I 76 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 5.Opreodeingressonumapeadeteatro(p)relaciona-secoma quantidade de freqentadores (x) por sesso atravs da relao; p = - 0,2x + 100 a)Qualareceitaarrecadadaporsesso,seopreodeingressoforR$ 60,00? b)Qualopreoquedevesercobradoparadaramximareceitapor sesso? Observao: receita = (preo) x (quantidade) 6. O lucro mensal de uma empresa dado por L = -x + 30x - 5, onde x a quantidade mensal vendida. a) Qual o lucro mensal mximo possvel? b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mnimo igual a 195? 7.AtabelaindicaasprojeesdoPIBdeumpas,embilhesdedlares, daqui a n anos: Admitindo que nointervalo 1 n 6 (n IR) as projees do PIB possam ser estabelecidas por um modelo quadrtico, pede-se: a) a funo que relaciona a projeo do PIB (em bilhes de dlares) com n, no intervalo 1 n 6 (n IR); b)sendoPoPIBdaquiananos,esboceogrficoquerelacionancoma diferena P - P para 1 n 5 (n IN) Matemtica I 77 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 8. No retngulo ABCD da figura a seguir, AD = 6 m e AB = 4 m, e os pontos M, N, P e Q dos lados AD, AB, CB e CD, respectivamente, so tais que AM = AN = CP = CQ. Determine o valor mximo da rea do quadriltero MNPQ. 9. Seja f(x) = ax + (1 - a) x + 1, onde a um nmero real diferente de zero. Determineosvaloresdeaparaosquaisasrazesdaequaof(x)=0so reais e o nmero x=3 pertence ao intervalo fechado compreendido entre as razes. 10. Para cada nmero real m, considere a funo quadrtica f(x) = x + mx + 2. Nessas condies: a)Determine,emfunodem,ascoordenadasdovrticedaparbolade equao y = f(x). b) Determine os valoresde m IR para osquais a imagemde f contm o conjunto {y IR : 1}. c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f igual ao conjunto {y IR : y 1} e, alm disso, f crescente no conjunto {x IR : x 0}. d)Encontre,paraafunodeterminadapelovalordemdoitemc)epara cada y 2, o nico valor de x 0 tal que f(x) = y. 11.Calculem,demodoqueafunof(x)=mx-4x+mtenhaumvalor mximo igual a 3. 12. Considere afuno quadrtica f(x) = (p - 1) x + 2 (p - 1) x + 1. Ento determine o valor de "p" que, para todo "x" real, f(x) > 0. 13. Determine o menor valor que a expresso (x + y) pode assumir, se 2 x + 3 y = 1. Matemtica I 78 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 14. Sejam f(x) = x + (5/4) e g(x) = 1 - x. Determine: a) os valores reais de x para os quais. f(x) g(x). b) os valores reais de x para os quais.f(x) g(x). 15. Qual a maior rea possvel de um terreno retangular (medindo a metros por b metros), dado que a + 2b = 120? 16.Nointeriordeumafloresta,foiencontradaumareaemformade retngulo,de2kmdelargurapor5kmdecomprimento,completamente desmatada.Osecologistascomearamimediatamenteoreplantio,como intento de restaurar toda a reaem5 anos.Aomesmo tempo,madeireiras clandestinascontinuavamodesmatamento,demodoque,acadaano,a rearetangulardesmatadaeratransformadaemoutrareatambm retangular. Veja as figuras: Alargura(h)diminuacomoreplantioeocomprimento(b)aumentava devido aos novos desmatamentos. Admita queessas modificaes foram observadase representadasatravs das funes: h(t) = -(2t/5) + 2 e b(t) = 5t + 5 (t = tempo em anos; h = largura em km e b = comprimento em km). a) Determine a expresso da rea A do retngulo desmatado, em funo do tempo t (0 t 5), e represente A(t) no plano cartesiano. b)Calculeareamximadesmatadaeotempogastoparaeste desmatamento, aps o incio do replantio. 17.Umfruticultor,noprimeirodiadacolheitadesuasafraanual,vende cada fruta por R$2,00. A partir da, o preo de cada fruta decresce R$0,02 por dia. Considerequeessefruticultorcolheu80frutasnoprimeirodiaeacolheita aumenta uma fruta por dia. a) Expresse oganhodo fruticultor com a vendadasfrutas como funo do dia de colheita. b) Determine o dia da colheita de maior ganho para o fruticultor. Matemtica I 79 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 18. Considere as seguintes funes, relativas a uma ninhada de pssaros: C=5+10n;C=customensal,emreais,paraamanutenoden pssaros. V = 5n + 100n - 320; V = valor arrecadado, em reais, com a venda de n pssaros, 4 n 16. Sabe-sequeolucromensalobtidodeterminadopeladiferenaentreos valores de venda V e custo C. a) Determine os possveis valores de n, para que haja lucro nas vendas. b) Calcule o valor de n que proporciona o maior lucro possvel e o valor, em reais, desse lucro. 19.Afotoaseguirmostraumtnelcujaentradaformaumarcoparablico com base AB = 8 m e altura central OC = 5,6 m. Observe,nafoto,umsistemadecoordenadascartesianasortogonais,cujo eixohorizontalOxtangenteaosoloeoverticalOyrepresentaoeixode simetria da parbola. Aoentrarnotnel,umcaminhocomalturaAPiguala2,45m,como ilustradoaseguir,tocasuaextremidadePemumdeterminadopontodo arco parablico. Calcule a distncia do ponto P ao eixo vertical Oy. Matemtica I 80 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 20.ObserveaparboladevrticeV,grficodafunoquadrticadefinida por y = ax+ bx + c, que corta o eixo das abscissas nos pontos A e B. Calculeovalornumricode=b-4ac,sabendoqueotringuloABV equiltero. 21. Um polinmio p, do segundo grau, tal que p(-1) = -3 p(1) = 3 p(2) = 12 Aps determinar p, encontre o valor de p(3). 22. Uma empresa de turismo promove um passeio para n pessoas, com 10 n70,noqualcadapessoapagaumataxade(100-n)reais.Nessas condies,odinheirototalarrecadadopelaempresavariaemfunodo nmero n. Qual a maior quantia que a empresa pode arrecadar? 23.Umportaldeigrejatemaformadeumarcodeparbola.Alargurade sua base AB (veja figura) 4m e sua altura 5m. Qual a largura XY de um vitral colocado a 3,2m acima da base? 24.Umcomerciantecomprapeasdiretamentedofabricanteaopreode R$720,00acaixacom12unidades.Opreoderevendasugeridopelo fabricante de R$ 160,00a unidade. Aesse preo o comerciante costuma vender 30 caixas por ms. Contudo, a experincia tem mostrado que a cada Matemtica I 81 IFES Instituto Federal do Esprito Santo R$5,00queddedescontonopreosugerido,eleconseguevender3 caixasamais.Porquantodevevendercadapeaparaqueseulucro mensal seja mximo? 25.AparbolaabaixorepresentaolucromensalL(emreais)obtidoem funo do nmero de peas vendidas de um certo produto. Determine: a) o nmero de peas que torna o lucro nulo; b) o(s) valor(es) de x que torna(m) o lucro negativo; c) o nmero de peas que devem ser vendidas para que o lucro seja de R$ 350,00. 26.Ummuro,com6metrosdecomprimento,seraproveitadocomo PARTEdeumdosladosdocercadoretangularquecertocriadorprecisa construir.Paracompletarocontornodessecercadoocriadorusar34 metros de cerca. Determine as dimenses do cercado retangular de maior rea possvel que o criador poder construir. Matemtica I 82 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 27. Um quadrado de 4cm de lado dividido em dois retngulos. Em um dos retngulos,coloca-seumcrculo,deraioR,tangenciandodoisdeseus lados opostos, conforme figura abaixo. a) Escreva uma expresso que represente a soma das reas do crculo e do retngulo, que no contm o crculo, em funo de R. b) Qual deve ser o raio do crculo,paraque areapedidanoitem anterior seja a menor possvel? 28. Considere a funo f: R R, definida por f(x) = -x - (2)x - 2, onde n umnmeroreal.Determineovalorden,demodoqueftenhavalor mximo igual a 1/4. 29. Um quadrado de 4cm de lado dividido em dois retngulos. Em um dos retngulos,coloca-seumcrculotangenciandodoisdeseusladosopostos, conforme figura a seguir. Determineoraioqueocrculodeveter,paraqueasomadasreasdo crculo e do retngulo, que no o contm, seja a menor possvel Matemtica I 83 IFES Instituto Federal do Esprito Santo 30.Umsuper