apostila de laboratorio
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LABORATÓRIO
DE
CÁLCULO NUMÉRICO
Prof. Dimas Felipe de Miranda
2
CÁLCULO NUMÉRICO - LABORATÓRIO - ATIVIDADE 1
Objetivos:
a) Colocar o aluno em contato com o ambiente computacional que será usado durante o
semestre, informar sobre as ferramentas: MATLAB , VCN
b) Apresentar uma introdução sobre erros de arredondamento e truncamento
1a Parte : informações gerais
Algumas expressões matemáticas. Como codificá-las
MATEMÁTICA DELPHI MATLAB
xe exp(x) exp(x)
ln x ln(x) log(x)
ablog ln(a)/ln(b) Log(a)/log(b)
sen x sin(x) sin(x)
cos x cos(x) cos(x)
tg x tan(x) tan(x)
arctg x arctan(x) arctan(x)
xy y^x y^x
2x sqr(x) ou x^2 sqr(x) ou x^2
n x x^(1/n) x^(1/n)
x abs(x) abs(x)
x! x! Prod(1:x)
Nota: expressões com operações no numerador e / ou denominador devem ser escritas com
auxílio de parênteses: ab
ba + deve ser codificada (a+b)/(a*b).
3
2a Parte: Erros de Arredondamento e truncamento.
Erro de Arredondamento: aε
Ocorre sempre que se despreza parte decimal de um número e isso sempre se dá ao
operar com números irracionais ou dizimas periódicas.
Exemplo 1: Ao escrever o número π como sendo 3,1 ou 3,14 ou 3,1415, cometem-se erros de
arredondamento de ordem -4-21 10 e 10 , 10− respectivamente, ou menor.
Erro de Truncamento: Tε
Ocorre quando se desprezam termos de uma série numérica e isso se dá com freqüência na
obtenção dos métodos numéricos.
Exemplo 2: A série de Maclaurin para a função eexf =)( é:
...!
...!3!2
132
n
xxxxe
nx ++++=
Para calcular o valor do número 1e com a série interrompida no 7o termo, mesmo usando um
erro de arredondamento da ordem de 910− em todas as operações, obtem-se
71805556,2720
1
120
1
24
1
6
1
2
111 =++++++=e
O resultado obtido só está correto até a 3a casa decimal, devido ao erro de truncamento na série.
Atividade:
1 – a) O MatLab, na versão Estudante, usa um formato de saída de números com 5 dígitos.
Para se obter um maior número de casas decimais deve-se colocar o formato dos números
em longo. Siga os passos:
� entre no Matlab
� files
� preference
� number format ok
b) Na HP48, pode-se fixar o número de casas decimais com o procedimento
� pressione a tecla MODES e aparece uma tela especial
� desloque o cursor para Number Format
� escolha a opção Fixed
long
4� digite 5 e pressione OK e OK novamente para sair da tela especial
� digite 2 e pressione a tecla e aparecerá a respota: 1.41421
2) Use o Matlab ou a HP48 para efetuar os cálculos abaixo, dando a resposta com o erro de
arredondamento indicado
a) 4a 10 ,
3541,0
35 −≤+
ε Resposta: …………………
b) 6a
3
10 , )5,0(3sen
)5ln( −≤+
+ε
tg
e Resposta: ……………….
c) 2a3 10 , 5log −≤ε Resposta: ……………………
d) 5a
5 10 , 16,3 −≤ε
e) dígitos) 15 (com 33
53
Resposta: ………………………
3) Calcule 34
3
1331
197
−
+ das seguintes formas:
a) Calcule, inicialmente, cada radical e anote com 5 casas decimais. Efetue numerador,
denominador e a divisão. Resposta: ...................................
b) Use todo o potencial da calculadora: entre na "equation" , edite a fórmula, passe-a para
pilha, efetue. ( ou use o Matlab) Resposta: .............................
c) Compare os resultados obtidos. (Nota: o 2o resultado estará certo até a última casa
decimal)
4 – Para visualizar o erro de truncamento podem-se calcular valores de uma função por meio da
série de Maclaurin. Tomando-se alguns termos da série é obtida uma fórmula aproximada.
Como exemplo, será usada a função xseny =
a) Veja como obter a fórmula:
1o) Calculam-se as derivadas sucessivas de sen(x) para x = 0 , ou seja:
f(x) = senx ............................f(0) = 0
f ´(x) = cosx ............................f ´(0) = 1
f ´´(x) = -senx ............................f ´´(0) = 0
f ´´´(x) = -cosx ............................f ´´´(0) = -1
f(4)(x) = sen(x) ………………….f(4) (0) = 0
f(5)(x) = sen(x) ………………….f(5) (0) = 1
e já está repetindo
52o) Substituem-se os valores na fórmula de Maclaurin
)...0(!
...)0´´´(!3
)0´´(!2
)0´(!1
)0()( )(321
nn
fn
xf
xf
xf
xfxf ++++= e efetuam-se as
simplificações.
Fórmula: !n
x(-1) . . .
!11
x-
!9
x
!7
x
!5
x
!3
xxxsen
n2
1-n119753
++−+−=
b) Calcule 2sen usando os 6 primeiros termos da fórmula obtida e deixando o resultado
com todas as casas decimais. Resposta:.........................................
c) Calcule 2sen direto no Matlab ou calculadora. Resposta:.........................................
d) Compare os resultados obtidos. (o 2o resultado estará certo até a última casa decimal e a
casa decimal diferente indica a ordem decimal do erro de truncamento).
Resposta: ordem do Tε é ..........................................
5 - Use o programa VCN
A função 3 xy = pode ser aproximada pela fórmula:
5432 )1x(729
22)1x(
243
10)1x(
81
5)1x(
9
1
3
x
3
2)x(f −+−−−+−−+= .
A fórmula foi obtida do polinômio de Taylor cuja forma geral é:
)...a(f!n
)ax(...)a´´´(f
!3
)ax()a´´(f
!2
)ax()a´(f
!1
)ax()a(f)x(f )n(
n321 −+
−+
−+
−+=
Para obter a fórmula foi considerado a = 1 , calculadas as derivadas sucessivas no ponto 1 ,
substituídas no polinômio de Taylor e foram feitas algumas simplificações.
Para verificar a presença do erro de truncamento preencha a tabela, anotando os valores
com 610−≤aε .
x 3 xy = ...33
2)( ++=
xxf )(xfy −
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
Parece uma boa aproximação.
66 - Repita novamente o exercício 5 , agora com novo intervalo para x .
x 3 xy = ...33
2)( ++=
xxf y-f(x)
10,3
10,8
11,3
Veja como a aproximação piorou.
Respostas: Confira as suas respostas
2)a)14,7870 b)31,559885 c)1,46 d) 1,25874 e) 1,155...772
3)a)757,46739 b)757,79926 c) erro na ordem 10-1
4)a)0,909296135963 b)0,909297426826 c)ordem do Tε é 10-3
5)y(0,8) - f(0,8) = 0,000002 (erro pequeño); 6)y(11,3) – f(11,3) = 3093,2766...
(erro enorme)
7Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa 1
Nome:___________________________________Turma:______________
1 – Use o VCN para efetuar as operações indicadas e dê a resposta com o erro indicado.
a) 4a 10 ,
)25,3(3541,0
35 −≤+
εsen
Resposta:_______________
b) 6a
5,3
10 , )5,0(3cos
)5,1ln( −≤+
−ε
tg
e Resposta:_______________
c) 2a3 10 , 5log82,71 −≤− ε Resposta:_______________
d) 5a
5 10 , 28,4/16,3/71,2 −≤ε Resposta:_______________
2 – a) Escreva os 4 primeiros termos , não nulos, da série de Maclaurim para a função y = cosx
Resposta:......................................................
b) Use o VCN para fazer a tabela da função y = cosx , no intervalo indicado, copiando os
valores com 8 casas decimais.
Resposta: x 0,5 1,0 1,5 2,0
Y ......................... .......................... .......................... ..........................
c) Faça a tabela da função obtida no item a) , com 8 casas decimais.
Resposta: x 0,5 1,0 1,5 2,0 f(x) .......................... .......................... .......................... .......................... d) Compare as duas tabelas e indique a ordem do erro de truncamento em cada caso
Resposta: ordem ................. .................. .................. .................... ..................
Respostas Tarefa 01:
1-a) –136,6695 b) -74,722613 c) 10,46 d) 0,22658
2-a) 720
x
24
x
2
x1
642
−+−
b) x 0,5 1,0 1,5 2,0
y 0,87758256 0,54030231 0,07073720 -0,41614684
c) x 0,5 1,0 1,5 2,0
f(x) 0,87758247 054027778 0,07011719 -0,42222222
d) ordem ≤ 10-7 ≤ 10-4 ≤ 10-4 ≤ 10-2
8 CÁLCULO NUMÉRICO – LABORATÓRIO – ATIVIDADE 2
Objetivos: a) Utilizar o método de Gauss, com pivotação parcial e pivotação completa para
resolver sistemas lineares.
b) utilizar o método de Jordan para resolver sitemas lineares, calcular matriz
inversa e calcular determinante de uma matriz
c) Usar os recursos computacionais do software VCN , do Matlab V e da
calculadora HP48 para resolver sistemas lineares, calcular determinante e
calcular matriz inversa.
Atividade:
Problema 1:
Resolva o sistema
−=−+
−=−
−=−
1835
4126
12
zxy
zyx
xyz
a) Veja como funciona um dos métodos: por exemplo, GAUSS com pivotação parcial
Siga os passos:
1o) Organize o sistema, colocando cada variável numa mesma coluna e o termo
independente no segundo membro.
−=−+
=+−
=+−
1853
1426
12
zyx
zyx
zyx
2o) Escreva o sistema na forma matricial Ax=B. O processo computacional requer o sistema
na forma matricial.
−
+
=
−
−
−
1
1
1
853
426
211
z
y
x
3o) O método de Gauss, com pivotação parcial escalona o sistema usando as seguintes
regras:
→ pivô é o elemento de maior módulo da coluna a ser processada
→ multiplicador = pivô
elemento−
→ nova linha = multiplicador x linha pivô + linha
9
4o) Existe um dispositivo prático para mostrar as etapas do escalonamento:
Multiplicador Coeficiente T.independente Transformação
6
11 −=m
2
1
6
32 −=
−=m
1 -1 2
6 -2 4
3 5 -8
1
1
-1
1L
2L
3L
9
1
63
2
3 =
−
−=m 0
3
2−
3
4
0 6 -10
6
5
-2
3
121 6
1LLL +−=
323 2
1LLL +−=
0 0
9
2
3
2 131 9
1LLL +=
5o) O sistema escalonado é formado pelas linhas dos pivôs. Na forma matricial tem-se:
−=
−
−
3
2
2
3
1
9
200
1060
426
z
y
x
6o) O sistema escalonado é resolvido por substituição. Assim,:
39
2:
3
2==z
4
19
6
3.102
3
=+−
=y
−
=
3
4
19
4
1
X ou
−
=
00,3
75,4
25,0
X
4
1
64
19.23.41
−=+−
=x
b) No VCN
1o) Entrar em: Diretos
Métodos
LinearesSistemas
•
•
102o) Existem opções para 4 métodos:
Jordan, Gauss , Guss com pivotação parcial e Gauss com pivotação completa.
Basta selecionar o método escolhido.
NOTA. Os 4 métodos usam a técnica de escalonamento, mas cada um tem procedimentos
diferentes, principalmente na escolha dos pivôs.
3o) Selecionar o método de JORDAN. Esse método transforma o sistema num sistema
diagonal, ou seja, faz um duplo escalonamento. Digite a matriz A e a matriz B. Coloque
resolução passo a passo e vá apertando a tecla calcula.
O sistema diagonal obtido é:
−
6
19
25,0
200
040
001
z
y
x
cuja solução é
−
=
00,3
75,4
25,0
X
4o) Use a tecla REINICIA e agora selecione o método de GAUSS
Esse método usa como pivô sempre o elemento da diagonal principal.
O sistema escalonado pelo método de Gauss é:
−
−
−
6
5
1
200
840
211
z
y
x
e resolvido por substituição produz a mesma resposta.
5o) Use a tecla REINICIA e agora selecione Gauss, com Pivotação Parcial (Esse método
foi descrito com detalhes no item a) )
O sistema escalonado obtido é:
−
−
−
...666,0
5,1
1
...222,000
1060
426
z
y
x
6o) Use a tecla REINICIA e agora selecione o método de Gauss com Pivotação Completa.
Este método usa como pivô o elemento de maior módulo da matriz. Assim, o primeiro
pivô será –8.
O sistema escalonado obtido é:
−
1
5,0
...633,0
8-53
00,57,5
00,333...0
z
y
x
ou
=
=+
−=++−
6333,01333,0
5,05,05,7
1538
y
yx
yxz
e a solução é a mesma:
−
=
00,3
75,4
25,0
X
11
b) No Matlab
→ entre com a matriz A : a = [ 1,-1,2;6,-2,4;3,5,-8 ]
→ entre com a matriz B : b = [ 1;1;-1 ]
→ use a divisão à esquerda a\b
Resposta: x= ..................... y = ....................... z = .......................
d) Na HP48
→ entre com matriz B : matrix . . . digitar matriz e ENTER
→ entre com matriz A : matrix . . . digitar matriz e ENTER
→ divida: prissione a tecla da divisão
Resposta: x= ............... y= ........................ z = .......................
Problema 2:
sendo
−
−
=
112
513
011
A calcule det A e A-1.
Nota: use o método de Jordan
12a) Veja como é o procedimento:
Solução:
1 -1 0 1 0 0 L1
3 1 5 0 1 0 L2
2 -1 1 0 0 1 L3
1 -1 0 1 0 0 L1
0 4 5 -3 1 0 L2 = -3L1 + L2
0 1 1 -2 0 1 L3 = -2L1 + L3
4 0 5 1 1 0 L1 = 4L1 + L2
* 0 4 5 -3 1 0 L2
0 0 1 5 1 -4 L3 = -4L3 + L2
4 0 0 -24 4 20 L1 = -5L3 + L1
0 4 0 -28 -4 20 L2 = -5L3 + L2
0 0 1 5 1 -4 L3
1 0 0 -6 -1 5 L1 = L1 / 4
0 1 0 -7 -1 5 L2 = L2 / 4
0 0 1 5 1 -4 L
A− =
− −
− −
−
1
6 1 5
7 1 5
5 1 4
para calcular o determinante, usa-se a matriz triangular indicada pelo *
considerando as alterações introduzidas.
det. ( )
(A) =4.4.1
4 41
−= −
13b) No VCN
→ sistemas lineares, método direto, Jordan matriz inversa
→ entre com a matriz A
→ pressione a opção calcula até a matriz inversa e o det A serem calculados.
Resposta:
=−1A
det A = ………………
c) No Matlab
→ entre com a matriz A : a = [2, 3, -1 ; 0, 5, 4 ; 1, -1, 3]
→ det(a) , inv(a)
Resposta: a mesma do item b)
d) Na HP48
→ pressione matrix e aparece um ambiente próprio para digitar a matriz
→ digite cada elemento e pressione enter … após o último elemento pressione enter
novamente para sair do matrix
→ armazena a matriz na variável A ... digite ´A´ e pressione a tecla STO
→ para recuperar a matriz pressione VAR e aparecerá o menu das variáveis – a seguir,
pressione a tecla abaixo da letra A do menu.
→ recupere A e pressione x
1 para a matriz inversa
→ recupere A e digite DET (ou siga os passos: Mth . . . matr . . . norm . . . (next) . . . det)
para calcular o determinante. {confira a resposta com as anteriores}
14Tarefa : 2
1 – Resolva o sistema linear
=+
−=−
53
32
yx
yx
Resposta: x = ……………… y= ………………..
2 – Resolva o sistema linear pelo método de Gauss, com pivotação parcial
−=+−
=−+
=−+
132
3344
532
zyx
zyx
zyx
Resposta: a) sistema escalonado
b) x= ..........., y= .........., z= ..............
3-Seja o diagrama do circuito
A soma das correntes que chegam a cada nó é nula (LEI DE KIRCHOFF); assim, as equações que relacionam as voltagens podem ser obtidas.
No nó 1, tem-se a equação I I IA1 21 41 0+ + = , ou seja,
100
2 1 201 2 1 4 1−
+−
+−
=V V V V V
ou − + + = −4 2 1001 2 4V V V
a)Obter as equações dos nós 2, 3 e 4. b)Resolver, por qualquer método, o sistema linear formado pelas equações
dos nós 1, 2, 3 e 4, a fim de obter as voltagens em cada nó do circuito. Resposta:
a) sistema obtido:
=
V1= V2= V3= V4
155) Uma companhia mista consta de turcos, gregos, brasileiros, alemães e italianos. O
número de brasileiros é igual à terça parte do número de alemães menos um, e é igual,
também, à metade do número de italianos menos 3.
Os turcos e os alemães ultrapassam o número de gregos e de italianos de 3; os gregos e os
alemães formam a metade menos um da companhia; enquanto que os italianos e os gregos
constituem 16
7 da companhia toda.
Calcule o número de membros de cada nacionalidade.
→ Escreva as equações e ordene as variáveis
a) Escreva o sistema na forma matricial
b) Use o método de Gauss, com pivotação parcial
6) Calcule A -1 e det (A) sendo:
−=
31
12)Aa
−−
−
=
321
1 13
112
) Ab
−−
−
−
=
211 2
3 011
1 12 3
105 1
)Ac
Respostas:
5) a)
−
−
=
−−
−−−
−−
−
−
0
2
3
6
3
79977
11111
11101
01020
00031
T
I
G
B
A
b) A = 24 B = 7 G = 15 I = 20 T = 14 6)a) A-1(1,1) = 0,4286 e detA = -7
b) A-1(1,1) = 0,5560 e detA = 9 c)A-1(1,1) = -0,1250 e detA = -48
16CÁLCULO NUMÉRICO – LABORATÓRIO - ATIVIDADE 3
Objetivos: a)Resolver sistemas lineares empregando os métodos iterativos de Jacobi e
Gauss-Seidel ; b)Resolver sistemas complexos
ATIVIDADES
1) Resolva o sistema pelos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel
−=+
=−+
+=−
26
25
172
yzx
zxy
zyx
com 410−≤aε .
a) Para se fazer na “mão”, siga os passos indicados:
� Ordene as equações de modo que os maiores valores, em módulo, fiquem na diagonal
principal para tentar garantir a convergência do método.
O sistema passa a ser escrito assim:
=−−
=−+
−=+−
172
25
26
zyx
zyx
zyx
� Explicite x na primeira equação, y na segunda equação, e assim por diante...
( )6
32 −+−=
yx ,
( )6
2 xzy
−+= e
( )7
12 −−=
yxz
� Preencha a tabela com as iterações, começando por substituir x=0 e y = 0 no lado
direito das equações acima e anotando o resultado, lado esquerdo
Nota: Para se obter os novos valores:
a) Jacobi usa sempre os valores da linha anterior
b) Gauss-Seidel usa sempre os últimos valores calculados
Jacobi Gauss-Seidel
0 0 0 0 0 0 0 0
1 - 0,3333 0,4000 -0,1429 1 -0,3333 0,44667 -0,3238
2 -0,2429 0,4381 -0,3048 2 -0,2016 0,3756 -0,2790
3 -0,2095 0,3876 -0,3027 3 -0,2242 0,3891 -0,2861
4 -0,2183 0,3814 -0,2835 4 -0,2208 0,3870 -0,2850
5 -0,2225 0,3869 -0,2830 5 -0,2213 0,3873 -0,2851
6 -0,2217 0,3879 -0,2852 6 -0,2213 0,3872 -0,2851
7 -0,2211 0,3873 -0,2853
8 -0,2212 0,3872 -0,2851
9 -0,2213 0,3872 -0,2851
17 Resposta: x = -0,2213 y = 0,3872 z = -0,2851 ( o método de Gauss-Seidel converge
mais rapidamente)
b) No VCN
→ Sistemas Lineares
→ Métodos Iterativos
→ Escreva os coeficientes e os termos independentes do sistema na forma organizada.
=
−−
−
−
1
2
2
z
y
x
721
151
116
→ selecione resolução passo à passo.
→ selecione o método de JACOBI
→ pressione a tecla REINICIAR , selecione o método GAUSS-SEIDEL.
Nota: como visto em a) a resposta final é a mesma – confira.
2) Sistemas complexos ( como obter a fórmula de transformação )
Para transformar o sistema Ax = B num sistema real correspondente, considere:
A = M + Ni ; B = C + Di; X = R + Si
Ax = B
↓
( M+Ni) (R+Si ) = C + Di
MR + MSi + NRi - NS = C + Di
=+
=−
DMSNR
CNSMR ou
D
C =
S
R
M N
N- M
que é o sistema real correspondente, onde R contém a parte real e S a parte
imaginária da solução.
18
a) Resolva o sistema com aε ≤ = 10-2
+=−++
+=−−
iyixi
iyix
79)9()1(
3)32(10
Solução no VCN: Fórmula
D
C =
S
R
M N
N- M
tem-se M =
−
9
3=C
91
210
N =
− 7
1=D
11
30 e faça R =
4
3
2
1
x
x=S e
x
x
O sistema real correspondente será:
−
−
−
−−
7
1
9
3
=
x
x
x
x
9111
21030
1191
30210
4
3
2
1
Resolvendo o sistema real pelo método de Gauss, com pivotação parcial, obtemos:
x1 = 0,70 x2 = 0,83 x3 = 0,01 x4 = 0,79
Para voltar ao sistema complexo, usa-se a expressão: X = R + Si
Então, a resposta do sistema complexo é: x = 0,70 + 0,01i
y = 0,83 + 0,79i
19Cálculo Numérico – Laboratório -- Tarefa 3
Nome: _________________________________________________ Curso________
1) Resolva o sistema pelos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel, com ε ≤ 10-3
−=−−++−
−=−+++−
=−++−
−=++−+
=−−++−
13517232
14318
131523
826
14210
zwtxy
wtzyx
wtxyz
yzxtw
twzyx
a) Sistema organizado:
−=−+−−
=−++−
−=−+++−
=−−++−
−=++++−
13172523
131532
14318
14210
826
wtzyx
wtzyx
wtzyx
wtzyx
wtzyx
b) x = 0,436 y = 1,645 z = -0,111 t = 0,994 w = 0,798
c) Números de iterações necessárias: Jacobi: 6 ; Gauss-Seidel: 5
2) Resolva o sistema complexo, usando o método de Gauss, com pivotação parcial,
para resolver o sistema real correspondente. ε ≤ 10-4
+−=++−
+−=−−−
−=−+−
iziyix
iziiyx
iizyxi
5)5(2
21)2(122
637)82(
Resposta
a) Sistema real correspondente
=
−
−−
−−
−−−
1
2
1
5-
1-
6-
x
520101
2021120
072308
101520
1120202
308072
6
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
b) Solução do sistema real:
x1 = 0,1380 x2 = -0,1389 x3 = -0,1358 x4 = -0,8200 x5 = 0,0481 x6= 0,4188
c) Solução do sistema complexo: x = 0,1380 – 0,8200i
y = -0,1389 + 0,0481i
z = -1,1358 + 0,4188i
20
CÁLCULO NUMÉRICO LABORATÓRIO - ATIVIDADE 4
Objetivos: Tabelar uma função num intervalo dado. Calcular somas e produtos.
Atividade
Problema 1: Dada a função 0,1x , 2x1 , )3/()1(sen2 =∆≤≤++= xxy , tabele a função
com espaçamentos iguais e 410−≤aε .
a) Usando o "software" MatLab
� entre no Matlab
� crie o vetor x ...... x = [1 : 0.1 : 2]
� crie vetor y com as imagens da função ...... y = (sin(x).^2 + 1). / (x + 3)
� escreva a tabela usando os vetores x e y
O valor encontrado para y(1,4) é : 0,4480
b) Usando a HP48
� ligue a calculadora
� pressione a tecla MODES , coloque a calculadora para trabalhar em radianos e
fixe a saída em 4 casas decimais.
� gere uma lista(sequência) com as imagens, seguindo os passos:
Função '(sin(x)^2 + 1) / (x+3)' ENTER
Variável 'x' ENTER
Valor inicial 1 ENTER
Valor final 2 ENTER
Passo 0.1 ENTER
PRG LIST PROC(next) SEQ aparecerá a lista das imagens
� confira o valor y(1,4) = 0,4480
c) Usando o VCN(cálculo numérico)
� entre no VCN e vá para o menu utilitários - procure ''tabelar função''
� entre com: valor inicial, valor final, passo ou número de pontos
� entre com a função e mande ''calcular'' - - - aparecerá a tabela da função e a soma e o
produto das imagens.
� confira o valor y(1,4) = 0,4480
21Problema 2: Tabele 150 pontos da função y = (xcosx + lnx). /(x -1) no intervalo
4a 10 com 75,1132,1 −≤≤≤ εx .
Nota: neste caso não foi fornecido o x∆ , mas poderá ser calculado pela fórmula:
Xfinal = Xinicial + (n - 1)h , onde n é o número de pontos e h é o x∆ constante.
Valor de x∆ encontrado: h = ( 11,75 – 1,32 ) / 149 = 0,07
a) Usando o ''software'' Matlab
� gere o vetor x .... x = [ xinicial: passo: xfinal ]
� gere o vetor y..... y = (x.*cos(x) + log(x)). / (x - 1)
� O valor obtido para y(4,68) é : 0,3781
b) Usando a HP48 (fixe a calculadora em quatro casas decimais)
� gere uma lista(sequência) com as imagens, seguindo os passos
função ' (x*cos(x) + ln(x)) / (x - 1) ' ENTER
Variável 'x ' ENTER
Valor inicial 1.32 ENTER
Valor final 11,75 ENTER
Passo 0.07 ENTER
PRG LIST PROC (next) SEQ aparecerá a lista das imagens.
� Veja se consegue a imagem em x= 4,68 para conferir: ............
c) Usando o VCN(cálculo numérico) Basta proceder como no problema 1
Veja como é fácil ler a imagem y (4,68) = 0,3781
Problema 3: Calcule ∑= +
+10
1
3
1
2sen
i i
ii
Nota: quando não houver menção em contrário o passo é 1
a) No “Software” Matlab
� que os valores de x: x = [1:1:10]
� que os valores de y: )1/().3.^)*2(( ++= xxxsiny
� some os y: sum(y)
Resultado: 338,2429
b) Na HP48
� que uma lista com as imagens
)1/())*2(( 3 ++ xxxsin ENTER
‘x’ ENTER
1 ENTER
2210 ENTER
1 ENTER
PRG LIST PROC SEQ
NXT
� some os elementos da lista
MTH . . . LIST . . . ∑ LIST
Resultado: 228,2429
c) No VCN
� Utilitário
� Tabelar uma função
� Entre com: valor inicial 1 , valor final 10 , passo 1 .
� Entre com a função )1/()3^)*2(( ++ xxxsin
� Mande calcular e aparecerá a tabela e ao lado a soma e o produto das imagens
∑ =)(xf 338,2429
23Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa 4
Nome: ___________________________________________Curso:______________
1 - Calcule 8 pontos da função 1
sen2
+
+=
x
xxy , no intervalo [1 , 2] , 410−≤aε .
Resposta: O terceiro y da tabela é : 1,1431
2 - Calcule: a) 5a
10
1
10 , 12
)3sen( −
=
≤+
−+∑ εi
i
ii b) 5
10
1
3
103
−
=
≤ε+
+∏ a
ij
, ei
iisen
cos
Respostas: a) –2,06735 b) 1110...62804,2 −x = 0,00000
3) a) Tabele 200 valores de cada função abaixo
0,1h e 1 x, 53
sen1
2
==+
=x
xy ; 410−≤aε Resposta: y( 3,7) = 0,0174
b) Calcule a soma de todas as imagens de índice par. Resposta:1,9458
c) Calcule a soma das imagens entre a vigésima e a septuagésima. Resposta = 1,1561
4) - Faça as tabelas
a) )(
)sen(
22 +=
x
xy ; x(inicial) = 1 ; h = 0,1 ; 10 pontos, 210−≤aε
Resposta: y(1,6) = 0,22
b) 653 2 −+= ttw ; t(final) = 2,09 ; h = 0,01 ; 10 pontos e 410−≤aε
Resposta: w(2,09) = 17,5543
c) 3a2
10 e pontos 12 ; 2,1y1 ; 5,3
))sen(cos( −≤≤≤−
= εyye
yz
Resposta: o sexto valor de z é igual a –0,002
d) 3
log4
+=
xx
xy ; 5
a 10 ; 0,1h ; 2,41,3 −≤=≤≤ εx Resposta: y(3,7)= 0,08291
e) φ4 3
2
+
+=
xx
xx )log(ln ; 710 ; 0,05x ; 25,28,1 −≤=∆≤≤ ax ε
Resposta: φ(1.95)= 0,4328159
f) 232
2 2
2
4
x
x
ex
xxf
+
−=)( com =95x 21,1 ; h = 0,2 , 10 pontos , 1010−≤aε
Resposta: o valor da última imagem é 2210...176,2 −x = 0,0000000000
g) 5,1 x, ln 1 =+= xeyx e h = 0,2 ; 210−≤εa , 7 pontos. Resposta: y(1,7)= 2,45
24CÁLCULO NUMÉRICO LABORATÓRIO - ATIVIDADE 5
Objetivo: usar as ferramentas Matlab, HP48 e VCN para fazer tabelas dos operadores diferença
finita e interpolação pelos métodos de Gregory-Newton e Lagrange.
Atividade
Problema 1: (Função tabelada)
Faça a tabela das potências de ∆ para a função:
x 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 y 1,234 2,597 3,016 5,214 7,956 10,842
a) No Matlab
→ armazene as imagens num vetor de nome y
y = [1.234,2.597,3.016,5.214,7.956,10.842]
→ execute o comando abaixo (cada linha do resultado será uma potência)
digite for i = 1 : length(y) - 1 , y = diff(y) , end pressione ENTER
→ anote ∆3y2 = ................... (para conferir)
b) Na HP48
→ armazene as imagens numa lista diretamente na pilha:
{1.234 2.597 3.016 5.214 7.956 10.842} ENTER
→ pressione MTH LIST e aparecerá um menu onde o primeiro item é ∆LIST
→ vá pressionando ∆LIST e cada vez aparecerá uma potência
→ anote ∆3y2 = ......................... (confira com o anterior)
c) No programa VCN (Cálculo Numérico)
(aqui são encontradas opções para todas as tabelas)
→ Operadores
→ entre com os limites, número de pontos, passo e as imagens
→ marque a opção ∆ (delta) e pressione "calcular"
� confira ∆3y2 = -1,235
Problema 2: (Função dada por uma equação)
Faça a tabela das potências de ∆ para a função y = cos x ; 1,3≤x≤5,5 ; h = 0,2 ;
410−≤aε .
a) No Matlab
25 → gere os vetores x e y:
x = [1.3:0.2:5.5]
y = cos(x)
→ use o mesmo comando do problema 1
→ anote ∆4y3 = ............... (para conferir)
b) Na HP48 (Coloque em modo RADIANO e FIX 4)
→ gere uma sequência ( SEQ ) com as imagens.
'cos(x)' ENTER
'x ' ENTER
1.3 ENTER
5.5 ENTER
0.2 ENTER
→ proceda agora como no exemplo anterior
MTH LIST ∆LIST
→ anote ∆4y3 =…………………
c) No VCN (Cálculo Numérico)
Aqui tem-se também a facilidade de obter todas as tabelas:
→ Operadores
→ entre com os limites, o passo e a função.
→ escolha a opção e leia a tabela.
→ anote ∆4y3 =
Problema 3:
Notas:
a)A notação w(y) informa que y é a variável independente (domínio) e que w é avariável
dependente (imagem).
b)Verifica-se que o passo ∆y é constante e igual a 0,31. (confira).
Dada função w(y) tabelada, calcule a imagem em 1,37
w -0,36 0,86 1,37 3,16 4,81
y 1,27 1,58 1,89 2,20 2,51
26a) Usando o Matlab
→ defina vetor x : x = [1.27 , 1.58 , 1.89 , 2.20 , 2.51]
→ defina vetor y : y = [-0.36 , 0.86 , 1.37 , 3.16 , 4.81]
→ gere o polinômio interpolador: z = polyfit(x,y,4)
(4 é o grau máximo do polinômio interpolador e deve ser o número de pontos menos 1)
→ calclule a imagem procurada: polyval(z, 1.37) Resposta : ..........................
b) Usando o VCN
→ entre em Interpolação
→ selecione Gregory-Newton, pois o passo é constante
→ entre com os dados e o valor a ser interpolado.
→ leia o valor interpolado w(1,37) = 0,3721
Problema 4:
Complete a tabela
A 1,3276 1,4958 ? 2,1744 B 0,83 2,75 5,45 7,18
Nota: a) o que se quer achar é a imagem em 5,45 logo os valores de B são do domínio
x e os de A são as imagens (y).
b) ∆x é variável, deve-se usar o polinômio de Lagrange. O número de pontos é 3.
→ entre com os pares (0,83 ; 1,3276) , (2,75 ; 1,4958) , (7,18 ; 2,1744)
→ entre com a abscissa 5.45 e leia a imagem
→ o valor procurado é A(5,45) = 1,8612
Nota: Os três pontos da tabela geram um polinômio interpolador de grau máximo 2. No rodapé
da página de utilização do polinômio de Lagrange aparece a equação completa do polinômio.
Copie o polinômio aqui: ................................................................................................. -
Problema 5: A temperatura de uma chapa metálica varia conforme a tabela:
Temperatura (oC) 3,8 4,1 5,2 6,1 7,2
Tempo(s) 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Calcule a temperatura no tempo 1,52
→ Resposta:.....................
27Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa 5
Nome: __________________________________________Curso_____________
1 - Calcule a potência 3 do operador diferença finita ascendente em x =
0,8 sendo dada a função tabelada
x 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
y 0,345 1,279 2,516 4,671 7,154 8,054 10,172
Resposta:
2 - Dado função da pontos 15 o tabeland; 0,1h ; 2) x(inicial; ln53sen)( ==+= xxxf
410−≤aε calcule =∆ 23 y 4,609x10-5
3 - Sendo 4a
3
10 ; 0,1h ; 3x2 ; 1cosh
sen −≤=≤≤++
+= εx
ex
xxy ; ∆3y(2,6)= 0,0158
4 – Calcule =∆ )3,2(c) 5 f 1,413
x 2,3 3,4 4,5 5,6 6,7 7,8 8,9 f(x) 0,345 0,578 0,912 1,547 1,988 2,458 3,851
5) Dada a função x(w) calcule as imagens em a) 1,28 b) 1,96 c) 2,15
x -1,47 0,36 1,28 1,96 2,45 4,07
w 1,24 1,46 1,68 1,90 2,12 2,34
Resposta: a) –0,87 b) 2,07 c)..............................
6 - Usando apenas os pontos fornecidos, complete a tabela:
A 1,23 1,47 2,75 3,28 ?
B 3,16 5,41 ? 6,38 6,07
Resposta: 2,59 e 9,02
7 - Obtenha o polinômio interpolador de maior grau para a tabela.
(1,2; 2,161), (1,3; 3,912), (1,4; 4,871) Resposta: 62,8051,1166,39 2 −+− xx
8- Sendo a temperatura T de uma partícula dada em função do tempo t , determine a
temperatura para a) t = 0,60 b) t = 0,18 c) t = 1,55
T 250 380 472 689 927 1038 1326 t 0,10 0,23 0,57 0,68 0,97 1,31 1,72
Respostas: a) 530 b) 398 c) 1922
289 – A tabela abaixo relaciona a quantidade ideal de calorias, em função da idade e do peso
para homens e mulheres que possuem atividade física moderada e vivem a uma temperatura
ambiente média de 20 oC.
Determinar a cota aproximada de calorias para:
a) Um homem de 30 anos que pesa 70 quilos
b) Um homem de 45 anos que pesa 65 quilos
c) Um homem de 50 anos que pesa 78 quilos
d) Uma mulher de 25 anos e 46 quilos
e) Uma mulher de 30 anos e 50 quilos
f) Uma mulher de 52 anos e 62 quilos
Peso
(kg)
Cota de calorias ( em kcal )
Idade (em anos) Homens Idade (em anos) Mulheres
25 45 65 25 45 65
40 - - - 1750 1650 1400
50 2500 2350 1950 2050 1950 1600
60 2850 2700 2250 2350 2200 1850
70 3200 3000 2550 2600 2450 2050
80 3550 3350 2800 - - -
Respostas:
1 -
2 – 4,609x10-5
3 – 0,0158
4 –
5 – a) –0,87 b) 2,07 c)
6 – 2,59 e 9,02
7 - -39,6x2 + 116,51x – 80,62
8 – a) b) c)
9 – a) 3173,4 b) 2760,8 c) 3171,19 d) 1927,20
e) 2048,44 f) 2147,55
29CÁLCULO NUMÉRICO – LABORATÓRIO – ATIVIDADE 6 Objetivo: Usar o Matlab , a HP48 e o VCN para processar os métodos de integração:
Regra dos Trapézios, 1a e 2a Regras de Simpson.
Formulário básico: ∫= nx
xydxI
1
onde y está tabelado com h constante.
a)Regra dos Trapézios
+++++=
2
yy...yy
2
y n1-n32
1hI
b)1a Regra de Simpson
( )nn yyyyyyyh
I +++++++= −154321 4...24243
c)2a Regra de Simpson
( )nnn yyyyyyyyyh
I +++++++++= −− 12654321 33...332338
3
Problema 1 :
Calcule ∫6,0
2,0ydx sendo
x 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
y 1,27 3,21 4,59 6,18 8,86
a) – No VCN
→ entrar em INTEGRAL SIMPLES , FUNÇÃO TABELADA
→ entrar com valor inicial de x , valor final, número de pontos, espaçamento
→ entrar com os valores de y e clicar em Calcular
→ o programa escolhe o método, dá a resposta e o nome do método usado:
Resposta: Regra usada:1a. R.Simpson - ordem do Tε é 4
h
Valor da integral.: 1,90 Nota: max{ } 210, −=aT εε
b) – Na HP48 e no Matlab V não há fórmula pronta, mas é fácil editar diretamente a 1a Regra
de Simpson :
No Matlab tem-se:
i = 0.1*(1.27+4*3.21+2*4.59+4*6.18+8.86)/3
Resposta: 1,90
30Problema 2 :
Calcule dxx
x∫
2
1
sen , com h = 0,1.
1 – No VCN
→ menu INTEGRAL, integral simples dada a função.
→ entre com valor inicial de x, valor final, número de pontos e espaçamento
→ digite a função no local indicado e clicar em Calcular
O programa escolhe o método. Nota : como h = 0,1 e o no de subdivisões é 10 , será
usada a 1a Regra de Simpson e 410−≤Tε .
Resposta: 0,6593 (com 4 casas decimais)
2 – Na HP48 : Não é possível usar h = 0,1 diretamente, mas como 410−≤Tε pode-se fixar a
precisão em 4 casas decimais.
→ symbolic ; Integrate ; Result: numeric, number format: 4 (precisão de 4 decimais)
Problema 3 :
Calcule a integral da função tabelada
(1,2; 3,743) , (1,5; 7,418), (1,1; 1,089), (1,3; 4,621), ((1,7; 9,333)
Nota: Inicialmente, a tabela deve ser organizada de modo que os valores de x fiquem em ordem
crescente.
x 1,1 1,2 1,3 1,5 1,7
y 1,089 3,743 4,621 7,418 9,333
Nota-se agora que a tabela tem espaçamento variável, portanto, deve ser quebrada a integral,
pois as fórmulas apresentadas só podem ser usadas em tabelas com espaçamento constante.
Assim: ∫ ∫ ∫+=7,1
1,1
3,1
1,1
7,1
,13ydxydxydx
→ no VCN – Integração – integral simples dada a tabela
→ repita, para cada integral, o procedimento explicado no exemplo 1
→ anote os resultados e as regras usadas
→ some os resultados e arredonde o resultado final para 3 casas decimais:
Resposta: ......0,6894 + 2,9084 = 3,598
31Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa 6
Nome: ________________________________________Curso:____________________ 1 – Calcule a integral da função no intervalo tabelado
a)
x 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 y 0,37845 0,99741 2,03781 3,89722 5,16169 7,53910 9,19045 10,67432
Resposta: ...................................
b) Calcule a integral anterior sem usar Regra dos Trapézios(sugestão: dividir a integral)
Resposta:..................................+...................................=.................................
c) (1,4 ; -5,759) , (1,2 ; 0,371) , (1,6 ; -0,419) , (1,3 ; -0,894) , (1,5 ; -2,162)
Resposta:..................................
d) x 3,16 3,28 3,40 3,52 3,63 3,74
y 8,71 6,29 5,41 2,34 1,97 0,33
Resposta:................................
2 – Calcule , ln
cossen
83,3
71,2
222
dxxx
exx∫ +
++ tabelando apenas 8 pontos da função, com h
constante. Resposta: ..........................................
3 – Calcule ∫ =+
2
0
-cosx
0,2 h com , 42x
e dx
Resposta: ..........................................
4 – Calcule ∫ ∫ ∫++−
1
0
5
1
2
044xsen(senx)d dxlogx
2x
1 dx com erro inferior a 0,001
Resposta: ..........................+..............................+.............................=................................
32
5 – Calcule a integral ∫48,1
37,0ydx sendo dada a função tabelada:
a) x 0,37 0,53 0,69 0,85 1,06 1,27 1,48 y 0,370 0,555 0,740 0,920 1,110 1,295 1,480
b) (0,370 ; 1,46) ; (1,110 ; 5,05) ; (0,740 ; 2,69) ; (0,555 ; 1,53) ; (1,480 ; 8,73) ; (0,925 ;
3,85) ; (1,295 ; 7,05)
Resposta:
6 – Calcule a integral da função 5x1 , 1
3sen2
2
≤≤+
+=
x
xy , tabelando apenas 1000 pontos da
função no intervalo, com x∆ constante. Resposta: 7 – Calcule as integrais:
a) ∫ +
+25,4
53,1
2
3log
1)sen(x
xdx tabelando apenas 11 pontos da função.
Resposta:
b) ∫ +
76,2
68,0 2
x
2
2
1
e dx
e x com h = 0,16 , sem usar Regra dos Trapézios.
Respostas: 0,17147 + 0,08712 =
c) ∫ +
−+3
1
2
5cos
lnx
x
xedx , e dê o resultado com 15 dígitos.
Resposta:
d) dx x 2
2
3∫− , com h = 0,1
Respsota:
e) ∫−31,1
37,0 2x
dx , com h = 0,21
Resposta:
33 Respostas: 1) a) 6,87 b) 6,807 c) –0,793 d) 2,46 2) 2,80 3) 0,558 4) 2,94141854 5) a) 1,068 b) 4,65 6) 2,16953 7) a) 0,712
b) 0,17147+0,08712 = 0,258 c) 2,296 . . . d) 0,0000
e) (73,279 não é a resposta. A integral não existe)
34CÁLCULO NUMÉRICO - LABORATÓRIO - ATIVIDADE 7
Objetivo: Usar o VCN , Matlab e HP48 nas aplicações da integral definida Problema 1:
Calcule a área limitada pelas curvas
0,1.h com , 3x1 , x
1y e sen3 2 =≤≤== xy
Nota: Área = | f(x) - g(x) | dxb
a∫
Escreve-se a integral correspondente à área, conforme nota acima
Modelagem: . 3 2
1 | 3senx - 1/x | dx∫
→ no VCN – entre em Integração – Integral simples dada a função
→ digite a função { Nota: | x | é representado por abs(x) }
Resposta: 3,7987
Problema 2:
Considere a função y = xe2x definida no intervalo [ 0, 1] . Calcule o
comprimento do arco no intervalo com h = 0,01
Nota: [ ]∫ +=b
adxxfL
2)('1
a) Modelagem [ ]∫ ++=1
0
222 )21 dxxeeLxx …. Use integral simples dada função
b) Resposta: .........................
Problema 3:
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por
y = ln x e o eixo x , no intervalo [ 1 , 5 ] , em torno do eixo x.
Nota: [ ] dxxfvb
a
2)( ∫= π
a) Modelagem : ( ) dxxv25
1 ln ∫= π
b) Resposta:
35
Problema 4 :
B
A curva da figura gira em torno da reta AB .
Calcule o volume do sólido gerado.
x = 0,12
A b = 1,57
c = 1,81
d = 1,48
a) Modelagem: Colocando-se um sistema de eixos adequado, obtem-se a tabela
x 0 0,12 0,24 0,36 0,48 f(x) 0,80 1,57 1,81 1,48 0
Calcula-se o quadrado de f(x)
x 0 0,12 0,24 0,36 0,48
[ ]2)(xf (0,80)2 (1,57)2 (1,81)2 (1,48)2 (0)2
[ ]∫=b
adxV
2f(x) π
→ usar INTEGRAÇÃO DADA A TABELA e multiplicar o resultado por π b) Resposta:
•
a
b
c d
x x
x x
36Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa 7
Nome: _________________________________________Curso:_________________
1) Calcule a área limitada pelas curvas. Nota: Área = | f(x) - g(x) | dxb
a∫
3 2 x-23 sen e y , 1 x 3 , com h 0,05.
xy x x= = ≤ ≤ =
a) Modelagem: .................................................................b) Resposta: .......................
2) Calcule o comprimento do arco da curva senx , 3 5 , com h 0,1.xy xe x= ≤ ≤ =
Nota: [ ]∫ +=b
adxxfL
2)('1
a) Modelagem: ...............................................................b) Resposta: ..........................
3) Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da curva y = senx/x , em torno do eixo-x , no intervalo [1,3] , com h= 0,2
Nota: Volume = 2[ ( )]
b
af x dxπ ∫
a) Modelagem: .............................................................b) vResposta: ......................
4) De um velocímetro de um automóvel foram obtidas as seguintes leituras de velocidade
instantânea:
T(min) V(km/h) 0 23 5 25 10 28 15 35 20 40 25 45 30 47 35 52 40 60 45 61 50 60 55 54 60 60
Calcule a distância em quilômetros percorrida pelo automóvel. Resposta:
375) Calcule a área limitada pelas curvas ,3xxsenx y e ln == xy para x no intervalo
[2,3] , com h = 0,1
Resposta:
6) Uma linha reta foi traçada de modo a tangenciar as margens de um rio nos pontos A e B . Para medir a área do trecho entre o rio e a reta AB foram traçadas perpendiculares em relação à AB com um intervalo de 0,05 km. Qual é esta área?
Perpendiculares Comprimento (km)
A 3,28 B 4,02 C 4,64 D 5,26 E 4,98 F 3,62 G 3,82 H 4,68 I 5,26 J 3,82 K 3,24
7) A figura a seguir representa a fotografia aérea de um lago, com as medidas em km. Calcule a área do lago.
2km
4km
0,6 1,2
4km 7km
10km 9km 8km
6km
(km) 1,8 2,4 3,0 3,6 4,2 0,8 1,6 2,2 3,2 4,0 4,8
5km
9km 8km
7km
0
38 Respostas:
1- a) dxx
xx∫
−−
3
1
23 23xsen b) 6,031130
2 – a) ( ) dxxxexxexexxx 2 5
3sencossen1 +++∫ b) 720,0907
3 – a) ∫
3
1
2
x
senx dxπ b) 1,636
4 – 46 km 5 – 3,1990 6 – 7 -
39CÁLCULO NUMÉRICO - LABORATÓRIO - ATIVIDADE 8
Objetivo: Usar o VCN , Matlab e HP48 no cálculo de integral dupla e aplicações. Problema 1:
Calcule ∫ ∫ +
++2
1
4
3
2xy)sen(x dydx
yx com hx = 0,2 e hy = 0,1
No VCN : integral
→ integral dupla dada a função
→ entre com limites de x e hx
→ entre com limites de y e hy
→ entre com a função.
→ pressione Calcular.
Nota: o programa informa que foi usada regra dos Trapézios em x e 1a Regra de Simpson em
y. O maior erro de truncamento é da ordem de (hx)2 = (0,2)2 = 0,04 , .10 2−≤Tε
Por isso a resposta deve ser dada com apenas duas casas decimais
Resposta: 0,28.
Problema 2:
Calcule a integral dupla da função z = f(x , y) na região tabelada.
y x
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8
0,1 0,352 0,489 0,750 0,981 1,234 0,887 0,451 0,2 0,465 0,888 0,978 1,223 2,451 1,789 0,805 0,3 0,897 1,238 2,899 3,005 2,876 1,555 0,989 0,4 0,468 0,667 1,290 0,997 0,651 0,321 0,219
→ verifica-se, inicialmente, que a tabela tem espaçamentos iguais no x e no y → No VCN, entre em Integral – dupla – dada a tabela → entre com os valores iniciais , finais e espaçamento do x e do y → entre com as imagens da tabela e pressionar Calcula O programa informa que foi usada 2a. Regra de Simpson em y e 2a. Regra de Simpson em x
Resposta : ( copiar o valor da integral com 3 casas decimais – número de
casas decimais da tabela)
40Problema 3:
Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies:
);sen(ez ; 0,6 x; 3,4y ; 1,2 x; 1 yx2 xyxz −====−= +
0,1hy e 0,1hx com 4,5 ===y
→ Faça a modelagem
∫ ∫ −=2
1
2
1
x
x y 21z y
dydxzV
Obtendo:
∫ ∫ +−= +2,1
0,6
5,3
3,4
2 )sen(x-1 dydxxyeVyx
→ Proceda como no problema 1
Resposta:
Escreve-se a integral correspondente à área, conforme nota acima
Modelagem: . 3 2
1 | 3senx - 1/x | dx∫
� no VCN – entre em Integração – Integral simples dada a função
� digite a função { Nota: | x | é representado por abs(x) }
Resposta: 3,7987
Exemplo 4
Considere a função y = xe2x definida no intervalo [ 0, 1] com h = 0,01 . Calcule:
a) o comprimento do arco no intervalo
b) o volume do sólido gerado pela rotação da curva em torno do eixo x
Nota: [ ]∫ +=b
adxxfL
2)('1 e V = ∫b
adxxf
2)]([π
c) Modelagem [ ]∫ ++=1
0
222 )21 dxxeeLxx …. Use integral simples dada função
Resposta:
d) Modelagem ∫ ∫==1
0
1
0
4222 ][ dxexdxxeVxxπ … Use integral simples dada função
Resposta: ..................
41
CÁLCULO NUMÉRICO – LABORATÓRIO – ATIVIDADE 9
Objetivo: Usar o Matlab , VCN e a HP48 para resolver equações diferenciais do tipo
11)y(x ; ),(' yyxfy == , pelos métodos de Taylor e de Runge-Kutta.
Problema 1:
Resolva o PVI (problema de valor inicial)
0,371y(1,4) , 3)sen(' =+−=− yxxyy , 6,13,1 ≤≤ x , com h = 0,1 .
a)No VCN
→ Menu : equação diferencial, RungeKutta
→ entre com : x(inicial) = 1,4 ; y(inicial) = 0.371 ; no de pontos = 2 ; passo = 0,1
→ entre com f(x,y):(explicite 'y e escreva o lado direito da equação) sen(x*y)–y + x + 3.
→ calcule: (só aparecem as imagens em 1,5 e 1,6 ). Anote-as : y(1,5) = y(1,6) =
(anote com apenas 3 casas decimais que corresponde ao erro do y(inicial).
Nota: 1) para calcular a imagem em 1,3 , anterior à condição inicial, deve-se repetir o processo
mas com h negativo , h = -0,1 ...
y(1,3) = (anote)
2) A resposta é uma tabela com os valores anotados, arredondados para o mesmo número
de casas decimais da imagem na condição inicial
Resposta:
x 1,3 1,4 1,5 1,6
y -0,069 0,371 0,831 1,277
b)Na HP48
→ coloque a calculadora para operar em Radiano
→ selecione SOLVE , EQ.DIFERENCIAL
→ use EDIT para colocar f(x,y) (lado direito da equação na forma explícita)
→ coloque x(inicial) e y(inicial) (use as setas para mover de um campo para outro)
→ coloque x(final) = 1.5 e pressione solve para obter a imagem y(1,5)
→ coloque x(final) = 1.6 e pressione solve solve para obter a imagem y(1,6)
→ coloque x(final) = 1.3 e pressione solve para obter a imagem y(1,3)
42(compare com os resultados obtidos em a)... a calculadora usa método de Runge-
Kutta).
Problema 2:
Resolva o PVI, usando o método da fórmula de Taylor de grau 5:
y ' – x3 + y – senx + 2,4 = 0 ; y(1,7) = 1,305 ; 1,23,1 ≤≤ x ; h = 0,2
a) explicita-se y ‘ na equação: y ‘ = x3 - y + senx - 2,4
b) calculam-se as derivadas até à quinta ordem e substitui-se o ponto inicial P(1,7 ; 1,305)
y ‘ = x3 - y + senx - 2,4 → y’(P) = 1,73 – 1,305 + sen(1,7) – 2,4 =
y’’ = 3x2 – y’ + cosx → y’’(P) = 3(1,7)2 – (..................) + cos(1,7) =
y’’’ = 6x – y’’ – senx → y’’’(P) = 6.1,7 - ( .................) – sen(1,7) =
y(4) = 6 – y’’’ – cosx → y(4)(P) = 6 – ( .............) – cos(1,7) =
y(5) = - y(4) +senx → y(5)(P) = - ( ..............) + sen(1,7) =
c) Escreve-se o polinômio de Taylor usando os valores obtidos
P(x) = 120/)(24/)(6/''')(2/'')(')( )5(51
)4(41
31
2111 yxxyxxyxxyxxyxxy −+−+−+−+−+
Substituindo x1 por 1,7 ; y1 por 1,305 e os demais valores das derivadas já calculadas, tem-se y
= 1,305 + ( x – 1,7). +
120/)7,1(24/)7,1(6/''')7,1(2/'')7,1(')7,1(305,1 )5(5)4(431
2111 yxyxyxyxyx −+−+−+−+−+
d) Usa-se o VCN – Utilitários – Tabelar função, para obter a tabela desejada:
Resposta:
x 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1
y 1,305
43Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa 9
Nome: _________________________________Curso:_______________
1)Resolva o PVI, usando o método de Runge-Kutta de 4a. ordem
1,6x0,4 ; 0,3=h , 2,176=y(1,3) ; 1
3sen'
2
2
≤≤+
−=
x
xxyy
Resposta: x 0,4 0,7 1,0 1,3 1,6
y 2,176
2) Resolva o PVI usando o polinômio de Taylor de grau 5
1
' ; y(1)=0,000 , h=0,1 ; 0,8 x 1,4yx
= ≤ ≤
a) Escreva o polinômio obtido:
P(x) = .........................................................................................................................
……………………………………………………………………………….
b) Use o VCN(tabelar uma função) para calcular os valores procurados.
x 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 y 0,000
3 – Uma quantidade de 10 kg de material é lançada em um recipiente contendo 60 kg de água.
A concentração da solução, c , em percentagem, a qualquer instante t é expressa como:
( ) )4100)(14200(3
.1212,160 cck
dt
dcc −−
=− sendo k o coeficiente de transferência de
massa, igual a 0,0589 e com a condição inicial t = 0 e c = 0. Calcule a concentração em
a)t = 1,2; b) t= 1,4 c) t=1,6 com h = 0,10 . Resposta: a)................... b) ............... c)
................
4 – A corrente i num circuito LR num instante t qualquer depois que a chave é ligada em t
= 0 pode ser expressa pela equação: LRiwtEdt
di/))sen(( −=
Onde E = 50 volts, L = 1 henry , w = 300 , R = 50 ohms e a condição inicial é i = 0 para t
= 0 . complete a tabela
i 0
t 0 0,2 0,4 0,6
445 – Seja y o número de bactérias de uma colônia. Sabendo-se que a taxa de crescimento da
população é proporcional ao número de bactérias e no instante T = 0 há 2000 bactérias na colônia, calcular o número de bactérias quando T = 2. Dados:
0,1.h e 2000y(0) ; ' === yy 6 – Resolver os PVI com h = 0,1 e 15 pontos a partir das condições iniciais:
1,28495.y(0,7) );2sen()(') ==+ xxytgya
2,378.y(1,5) ; 01')1)( 2 ==+++ yxb Respostas:
1) x 0,4 0,7 1,0 1,3 1,6
y 1,125 1,356 1,667 2,176 2,919
2) a) 5
)1(
4
)1(
3
)1(
2
)1()1()(
5432 −+
−−
−+
−−−=
xxxxxxP
b) x 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 y -0,223 -0,105 0,000 0,085 0,182 0,262 0,337 3) a) 5,704 b) 6,351 c) 6,937 4)
i 0 -56 -16.282 -4.738.501
t 0 0,2 0,4 0,6
5) 6)
45 CÁLCULO NUMÉRICO – LABORATÓRIO – ATIVIDADE 10
Objetivo: Usar VCN , Matlab e HP48 para resolver equações algébricas e transcendentes.
Problema 1:
Obtenha a raiz da equação 035sen 12
=−+ +xex no intervalo (0 ; 0,3) com
.10 6−≤aε
Solução:
a) No Matlab { só funciona se o Matlab estiver carregado com o toolbox symbolic}
→ digits(6)
→ syms x
→ a = solve(sin(5.*x)+exp(x.^2+1)-3)
→ ans: a = 0,055379
b) Na HP 48
→ → solve , solve equation
→ entre com a equação
→ pressione solve:
Resp: 0,055379
c) No VCN ( use os três métodos: Bisseção, Cordas e Newton )
→ zero de função
→ ou bisseção ou cordas ou newton
→ entre com equação , valor inicial e final do intervalo e a precisão(0,000001)
→ para usar o método de Newton, entre com a derivada da função no espaço indicado
A resposta é a mesma nos três casos, só muda o número de iterações
Resp: 0,055379
Número de interações: Bisseção = Cordas = Newton =
46Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa – 10
Nome:__________________________________Curso:_______________ 1 – Calcule a raiz da equação, com precisão de 0,00001 , no intervalo (3,5) , usando método das
cordas 002877,1082513,827487,6 23 =−−+ xxx
Resposta: valor de x na 3a iteração: ........................ ; raiz procurada:..........................
2 – Determine raiz da equação, no intervalo (-1 ; -0,5), pelo método da Bisseção, 310 −≤ε
023
22 =−−− xx . Valor de x na 4a iteração:................. ; raiz procurada:....................
3 – Calcule a raiz positiva da equação, com 0001,0≤ε , usando método de Newton:
022 =−−− senxxx , use como ponto inicial x = 1,5
Resposta: fórmula iterativa do método de Newton:.......................................................
Valor de x na 3a iteração:............................ ; raiz procurada:.............................
4 – Resolver a equação 033cos =−+ xex , (1 , 2) , com precisão de 0,000001.
Resposta:...................................
5 - Resolver a equação algébrica no intervalo (3 , 4) com 310−≤ε
015,2406,1530062,0 23 =−+− xxx , usando método da Bisseção e Cordas.
Resposta: número de iterações Bisseção:.................... Cordas:.............................
Raiz procurada:....................
6 – Resolver, pelo método das Cordas, com precisão de 0,00001:
021218,1 =−+ xx , (0 , 10) Resposta:...........................
7 – A Tabela Price trata-se de um sistema de pagamento de dívida onde as prestações tem o
mesmo valor, ou seja, o somatório de amortização mensal do capital mais juros mensais é
constante (igual) ao longo do período do contrato. Tem como fórmula básica:
1%)1(
%%)1(
−+
+=
n
n
i
iiPVPMT , onde PMT = valor da prestação periódica, pv = valor do capital
financeiro, i = taxa de juros contratada (ao período), n = prazo (no de períodos). Calcular o
juro (i), de um empréstimo de R$100.000,00 com parcelas de R$12.950,46 em 10 meses.
(Sugestão: juros entre 0,01 e 10,00).
Resposta: Método escolhido:................................ ; juros:......................
47Respostas:
1) valor de x na 3a iteração: 3,68214 ; raiz procurada: 3,72513
2) Valor de x na 4a iteração: -0,688 ; raiz procurada: -0,648
3) fórmula iterativa do método de Newton: kk
kkkkk
xx
xxxxx
cos12
2sen2
1 −−
−−−−=+
Valor de x na 3a iteração: 2,2859 ; raiz procurada: 2,2416
4) 1,140060 5) número de iterações Bisseção: 10 Cordas: 4
Raiz procurada: 3,300
6) 8,46890
7) Método escolhido: cordas ; juros: 0,05 %
8) 0,15645
9) ± 0,82415