APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I 141

15

FORÇA DE ORIGEM MAGNÉTICA NO ENTREFERRO

Em um circuito magnético o fluxo produzido pelo seu campo deve percorrer um caminho fechado. Se este circuito tiver entreferros, neles aparecerão dipolos magnéticos, fazendo com que cada lado de um entreferro fique sujeito a uma força de atração. Verificamos então que a presença do campo magnético neste circuito com entreferros irá desenvolver uma tendência de fechar esses entreferros, justificando então o efeito da ação destas forças de atração mútua. Forças originadas a partir de campos magnéticos são de grande aplicação em numerosos dispositivos eletromagnéticos, tais como, relés, eletroímãs, instrumentos de medida, motores e geradores elétricos, etc. A densidade de energia armazenada num campo magnético é dada por:

)/( 3

22

m mJB21H

21HB

21w

μ=μ=•=

rr (15.1)

Esta expressão é análoga àquela da energia armazenada no campo elétrico, dada pela metade do produto escalar entre os vetores da densidade de fluxo e a correspondente intensidade de campo. Já vimos em aplicações anteriores que a relutância do circuito magnético é em geral muito menor que a relutância do entreferro. Podemos considerar então que quase toda a Fmm produzida é utilizada para vencer o entreferro armazenando nele praticamente toda a energia magnética. Em vista da distância do entreferro ser muito pequena em relação ao comprimento (médio) do circuito magnético, podemos admitir o campo magnético no entreferro como sendo uniforme. Com isto, a energia magnética armazenada no entreferro vale:

)(l... JS

B21VwW gg

0

2g

gmm μ== (15.2)

onde:

gV = Volume do entreferro

gS = Seção transversal do entreferro

gl = comprimento do entreferro. Suponhamos agora que este entreferro seja mantido aberto mediante a aplicação de uma força externa de módulo F. Se esta força varia e aumenta a distância lg entre os lados do entreferro de um incremento d lg, então um ligeiro acréscimo na corrente será observado para que B se mantenha constante e um acréscimo de energia armazenada dWm será dado por:

gg

0

2g

m dS2B

dW lμ

= (15.3)

Este acréscimo de energia armazenada implicará num incremento de trabalho externo realizado que, desenvolvido no entreferro, pode assim ser escrito:

)(l JdFdW g= (15.4)

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O trabalho incremental realizado pela força externa F corresponde ao acréscimo de energia armazenada no campo magnético. Pela igualdade entre as expressões (15.4) e (15.3) teremos a intensidade da força exercida no entreferro dada por:

g

0

2g S

2B

Fμ

= (15.5)

Exemplo 15.1 Um eletromagneto em forma de U, segundo a figura 15.1 abaixo, sustenta uma barra de ferro. O comprimento médio do eletromagneto adicionado ao da barra perfaz 1 m e o contato ferro-ferro entre eles é estabelecido por lâminas de cobre de 1 mm de espessura. A área de contato é a de um círculo com 0,1 m2. Se a permeabilidade relativa do material utilizado é 1800 e o número de ampères-espiras é 1 kA, qual é o peso da barra sustentada? Solução:

Fig. 15.1 – estrutura magnética do eletro-ímã. Forças que atuam na barra em equilíbrio:

mF2P=

Área efetiva no entreferro de cobre (material não magnético), considerando o espraiamento das linhas de campo

22

n Rm10S π== ,

m1780R ,=

( ) 22g m1006000101780S ,,, =+π=

Pela análise do circuito magnético temos:

nngg HH2IN ll +=

ou

1 kA Espaçador de cobre

P

n0r

ng

0

g BB2IN ll

μμ+

μ=

Pela condição de fluxo comum estabelecido no circuito

gn

gnnngg B

SS

BSBSB =⇒==φ

Daí

⇒μμ

+μ

= nn

g

0r

gg

0

g

SSBB

2IN ll

P

Fm Fm ( )

10060x110x0010x1800x21000x10x10x4x1800B

SS2BINS7

g

gnngrgn0r

,,,,

ll

+π

=

⇒+μ=μμ−

T4910Bg ,=

A força que equilibra a barra e compensa o seu peso realiza um trabalho no campo magnético, sendo dada por:

N965010x4x210060x4910

2SB

F 7

2

0

g2g

m =π

=μ

=−

,,

E o peso da barra é então

ouN3001965092P .. =×=

tf931P ,=

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APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I 143

Exemplo 15.2 Determinar o número de ampères-espiras necessários para gerar uma força magneto motriz de modo a manter um entreferro de 1 mm na estrutura ferromagnética da figura 15.2, contra a ação de uma mola cuja constante elástica K = 5 × 102 N/m. Nesta situação, sabe-se que a distensão da mola é de 2 cm. Desprezar o espraiamento e a relutância do ferro. Solução:

1 mm

1 cm

2 cm

espessura = 2 cm

Fig. 15.2 - estrutura ferromagnética do exemplo 16.2

Forças agentes na parte móvel:

A condição de equilíbrio impõe que

2F

F molamag =

onde

xKFmola =

N10102105F 22

mola =×××= −

N5SH21F 2

g0mag =μ=

Fmola

Fmag

Fmag SF2

H0

magg μ

×=

( ) mespA199471020010

52H0

g /.,,

=×μ

×=

Considerando apenas a presença dos dois entreferros

ggmm H2F l= =2 x 199471 x 0,001

espirasampères399Fmm −=

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APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I 144

EXERCÍCIOS 1) - O eletromagneto mostrado na figura abaixo é projetado para suportar uma força que tende a

fechar o entreferro, equivalente ao peso de uma massa de 10 toneladas. Qual é a máxima corrente permitida para a qual a força não exceda esse valor? O enrolamento possui 10000 espiras, e a permeabilidade relativa do material do núcleo magnético é 400.

seção transversal =

0,4×0,25 m

diâmetro = 0,4 m

entreferro = 0,01 m 2 m 2 m

Fig. 1 - Fig. do problema 1

2)- O Objetivo deste problema é demonstrar a importância de um bom projeto do circuito magnético em um dispositivo eletromagnético. Um eletroímã é construído com chapas de aço silício. O número de espiras no enrolamento é 1000. Dois circuitos magnéticos são propostos (figuras 2 e 3). Em cada proposta, calcular a corrente que deve circular no enrolamento para se levantar os seguintes pesos: P = 1 tf, P = 2 tf, P = 5 tf. Desprezar o espraiamento. Preencha os valores da tabela I, e calcule o volume de material magnético gasto em cada caso. Tire as suas conclusões.

Fig. 2 - circuito 1 p/ p problema 2 Fig. 3 - circuito 2 p/ o problema 2

Tabela I - preencha com os valores obtidos de corrente

Peso corrente (A) (T) circuito 1 circuito 2 1 2 5

20 20 20 15 30 15

40

10

10 15

40

1 mm 10

1 mm

P P

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APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I 145

3) Calcular a corrente que deve circular na bobina de 100 espiras da suspensão magnética da figura abaixo, de forma a levantar um peso de 800 N. O ímã permanente possui 2 cm de comprimento, área S = 30 cm2, e característica de magnetização mostrada na outra figura. A orientação do ímã é tal que seu fluxo se adiciona ao da bobina. O entreferro é de 2 mm, e a área s dos dentes é 10 cm2. Desprezar o espraiamento e a relutância do ferro.

ímã

bobina Área s

Parte móvel

Suspensão magnética do problema 3

B

Bi = μ0Hi + Br

Br = 0,8

Característica de desmagnetização do ímã do problema 3.

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