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5/14/2018 Apostila CEP - slidepdf.com

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CONTROLE ESTATÍSTICO DEPROCESSOS - CEP

John Soprana



Controle Estatístico de Processos John Soprana

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Índice

1. CONCEITOS BÁSICOS 3

1.1. INTRODUÇÃO 3 1.1.1. COMO CONSTRUIR UM HISTOGRAMA 3 1.1.2. MEDIDAS DE LOCAÇÃO E DE VARIABILIDADE 5 1.2. DISTRIBUIÇÃO NORMAL 6 1.2.1. PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 7 1.2.2. CÁLCULO DE PROBABILIDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 8 1.3. DISTRIBUIÇÃO DA MÉDIA AMOSTRAL X 9 1.4. TEOREMA CENTRAL DO LIMITE 10 1.5. GRÁFICO DE PROBABILIDADE NORMAL 11 1.5.1. CÁLCULO DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR 11

2. GRÁFICOS DE CONTROLE 13

2.1. INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS DE CONTROLE 13 2.1.1. PONTOS FORA DOS LIMITES DE CONTROLE 13 2.1.2. PERIODICIDADE 13 2.1.3. SEQÜÊNCIA 13 2.1.4. TENDÊNCIA 14 2.1.5. APROXIMAÇÃO DOS LIMITES DE CONTROLE 14 2.1.6. APROXIMAÇÃO DA LINHA MÉDIA 14 2.2. CONSTANTES PARA A CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS DE CONTROLE 16 2.3. GRÁFICOS DE CONTROLE X E R 16

2.4. SUBGRUPOS RACIONAIS 18 2.5. SUPOSIÇÃO DA NORMALIDADE 19 2.6. GRÁFICOS X E S 19 2.7. GRÁFICOS DE CONTROLE PARA MEDIDAS INDIVIDUAIS (GRÁFICOS X E AM) 20 2.7.1. CONSTRUÇÃO DOS GRÁFICOS X E AM 20 2.8. GRÁFICO DA PROPORÇÃO DE ITENS DEFEITUOSOS – GRÁFICO P 21 2.8.1. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 21 2.8.2. CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DE CONTROLE P 22 2.9. GRÁFICO DO NÚMERO TOTAL DE DEFEITOS – GRÁFICO C 23 2.9.1. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 23 2.9.2. CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO C 24 2.10. DETERMINAÇÃO DO TIPO DE GRÁFICO DE CONTROLE 25 2.10.1. FÓRMULAS PARA LIMITES DE CONTROLE 25

3. CAPACIDADE DE PROCESSOS 26

3.1. ÍNDICE CP 26 3.2. ÍNDICE CPK 27 3.3. RELAÇÃO ENTRE CP E CPK 28 3.4. CLASSIFICAÇÃO DE PROCESSOS 28 3.5. ÍNDICES DE CAPACIDADE PARA UM ÚNICO LIMITE DE ESPECIFICAÇÃO 28




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1. Conceitos Básicos

1.1. Introdução

Um processo sempre apresenta variabilidade.Os produtos defeituosos são produzidos devido a presença da

variabilidade.Os gráficos (cartas) de controle são ferramentas para o monitoramento

da variabilidade e para a avaliação da estabilidade de um processo.Existem dois tipos de causas para a variação na qualidade dos produtos

resultantes de um processo: Causas Comuns ou Aleatórias Causas Especiais ou AssinaláveisA redução da variabilidade dos processos implica em uma diminuição do

número de produtos defeituosos fabricados. Esta redução deve-se dar pela: Eliminação das causas especiais de variação ou anomalias. Redução das causas comuns de variação.Quando somente causas comuns estão atuando em um processo, a

quantidade de variabilidade se mantém em uma faixa estável, conhecida comofaixa característica do processo.

Neste caso diz-se que o processo está sob controle estatístico. Paraque um processo seja previsível é necessário que ele esteja sob controleestatístico.

Quando um processo está operando sob a atuação de causas especiaisde variação diz-se que ele está fora de controle estatístico.

Um gráfico de controle permite a distinção entre os dois tipos de causasde variação, ou seja, ele nos informa se o processo está ou não sob controleestatístico.

Basicamente, um gráfico de controle é uma representação visual de umacaracterística da qualidade medida ou calculada para uma amostra de itens,grafada em função do número da amostra ou de alguma variável indicadora dotempo (ordem cronológica).

Um gráfico de controle consiste de: Uma linha média(LM). Um par de limites de controle, representados um abaixo (Limite

Inferior de Controle- LIC) e outro acima (Limite Superior de Controle-

LSC) da linha média. Valores da característica da qualidade traçados no gráfico.

1.1.1. Como Construir um HistogramaO histograma é um gráfico de barras no qual o eixo horizontal,

subdividido em vários pequenos intervalos, apresenta valores assumidos poruma variável de interesse. Para cada um destes intervalos é construída umabarra vertical, cuja área deve ser proporcional ao número de observações naamostra, cujos valores pertencem ao intervalo correspondente.

O histograma dispões as informações de modo que seja possível avisualização da forma da distribuição de um conjunto de dados e também dapercepção da localização do valor central e da dispersão dos dados em tornodeste valor central.




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Procedimento para construção de um Histograma:1. Coletar n dados referentes a variável cuja distribuição será analisada.

É aconselhável que n seja superior a 50 para que possa ser obtidoum padrão representativo da distribuição.

2. Escolher o número de intervalos de classes (k ).

Tamanho da Amostra (n ) Número de Intervalos (k )<50 5-750-100 6-10

100-250 7-12>250 10-20

3. Identificar o menor valor (MIN ) e o maior valor (MAX ) da amostra.4. Calcular a amplitude total dos dados (R )

R =MAX -MIN 5. Calcular o comprimento de cada intervalo (h ):

h = R / k h é denominado de amplitude de classe.

6. Arredondar o valor de h de forma que seja obtido um númeroconveniente. Este número deve ser um múltiplo inteiro da unidade demedida dos dados da amostra.

7. Calcular os limites de cada intervalo. Primeiro Intervalo:

Limite inferior: LI 1=MIN -h /2Limite superior: LS 1= LI 1+h

Segundo Intervalo:Limite inferior: LI 2= LS 1 Limite superior: LS 2= LI 2+h

i -ésimo Intervalo:Limite inferior: LI i= LS i-1 Limite superior: LS i= LI i+h

Continuar estes cálculos até que seja obtido um intervalo quecontenha o maior valor da amostra (MAX ) entre seus limites.Observe-se que, seguindo este procedimento, o número final deintervalos será k +1.

8. Construir uma tabela de distribuição de freqüências, constituída pelasseguintes colunas: Número de ordem de cada intervalo (i ). Limites de cada intervalo.

Os intervalos são fechados a esquerda e abertos a direita: asobservações iguais ao limite superior do intervalo i -1, o qual éigual ao limite inferior do intervalo i , pertencem ao intervalo i .Notação:

Ponto médio x i do i -ésimo intervalo: ( ) x LI LSi i i= + 2 . Tabulação: contagem dos dados pertencentes a cada intervalo. Freqüência (f i ) do i -ésimo intervalo.

Observe-se que a soma de todos os valores f i deve ser igual aotamanho da amostra (n ).

Freqüência relativa (f i / n ) do i -ésimo intervalo.

9. Desenhar o histograma:




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Construir uma escala no eixo horizontal para representar oslimites dos intervalos.

Construir uma escala no eixo vertical para representar asfreqüências dos intervalos.

Desenhar um retângulo em cada intervalo, com base igual ao

comprimento (h ) e altura igual à freqüência (f i ) do intervalo.10. Registrar as informações importantes que devem constar no gráfico. Título. Período de coleta dos dados. Tamanho da amostra.

O procedimento acima e normalmente aplicado a variáveis contínuas.Quando a variável de interesse é discreta, assumindo apenas valores

inteiros, é mais apropriado construir uma escala no eixo horizontal pararepresentar as observações da amostra e uma escala no eixo vertical pararepresentar as freqüências destas observações. A seguir traça-se uma linha

vertical para cada observação, cuja altura deve ser igual à freqüênciacorrespondente verificada na amostra.

Sempre se deve traçar no histograma as linhas correspondentes aoslimites de especificação (LIE e LSE ).

1.1.2. Medidas de Locação e de VariabilidadeProcedimentos para o cálculo de medidas de locação e de variabilidade:

I - Medidas de Locação1 – Média

xx x x

n n xn

i

i

n

=+ + +

==

∑1 2

1

1...

Se os dados estão agrupados em uma tabela de distribuição de freqüênciascom k intervalos, a média é calculada por:

xx f x f x f

n n x f k k

i i

i

k

=+ + +

==

∑1 1 2 2

1

1...

onde:f i = freqüência do i -ésimo intervalo.x i = ponto médio do i -ésimo intervalo.2 – MedianaQuando n é ímpar:

~ x = Valor central quando os dados estão dispostos em ordem crescente, ou,em notação matemática:

[ ]( )~ x x

n= +1 2

Quando n é par:~ x = Média aritmética simples dos dois valores centrais quando os dados estãodispostos em ordem crescente, ou, em notação matemática:

( ) [ ]( )~ x x x

n n=

+ +2 2 1

2




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3 – QuartisDa mesma forma que a mediana , que divide o conjunto de dados em duasmetades, os quartis dividem este conjunto em quartos, representados por Q 1,. Q 2, Q 3 e Q 4:Q 1(primeiro quartil) deixa abaixo dele aproximadamente um quarto das

medidas e cerca de três quartos acima dele.Q 2(segundo quartil) é a mediana.Q 3(terceiro quartil) deixa abaixo dele aproximadamente três quartos dasmedidas e cerca de um quarto acima dele.Para o cálculo dos quartis os dados devem estar em ordem crescente.Seja [ ]w n= + 1 4 . Se w é um inteiro, então:

( )Q x w1 = e ( )Q x w3 3=

Se w não é um inteiro, uma alternativa para o cálculo dos quartis é utilizar ainterpolação linear.

II – Medidas de Variabilidade1 – AmplitudeR = maior valor da amostra – menor valor da amostra 2 – Desvio Padrão

( ) ( )sn

x xn

x n xi

i

n

i

i

n

=−

− =−

−

= =∑ ∑

1

1

1

12

1

2 2

1

Se os dados estão agrupados em uma tabela de distribuição de freqüênciascom k intervalos, o desvio padrão é calculada por:

( ) ( )s n x x f n x f n xi ii

k

i ii

k

= − − = − −

= =∑ ∑

1

1

1

1

2

1

2 2

1 3 – VariânciaA variância (s 2) é igual ao quadrado do desvio padrão. A desvantagem do seuestá no fato de que suas unidades são iguais ao quadrado das unidades dosdados originais.4 – Coeficiente de VariaçãoO coeficiente de variação é uma medida relativa que compara o desvio padrãocom a média:

CV s

x=

Como CV é adimensional, permitindo a comparação de variabilidades dediferentes conjuntos de dados. Pode ser expressa em percentual quandomultiplicado por 100.5 – Faixa InterquartílicaA faixa interquartílica é igual a diferença entre o terceiro e o primeiro quartis: H Q Q= −3 1

1.2. Distribuição Normal A distribuição normal é um modelo estatístico que fornece uma base

teórica para o estudo do padrão de ocorrência dos elementos de várias

populações de interesse.




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Histograma e Distribuição de Probabilidade de Uma População

1.2.1. Propriedades da Distribuição NormalA distribuição normal pode ser expressa matematicamente através da

equação:( )

f x e

x

( ) =−

−

1

2

2

22

πσ

µσ

onde µ e σ são os parâmetros da distribuição.Os parâmetros µ e σ têm a seguinte interpretação: µ é a média da distribuição, ou seja, representa o centro da

distribuição normal. σ é o desvio padrão da distribuição, ou seja, representa a dispersão

da distribuição normal. Graficamente, σ é a distância da média µ atéo ponto de inflexão da curva normal (ponto que o gráfico muda decurvatura).




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f(x)

x

Curva da Distribuição Normal e Seus Parâmetros

µµµµ µ+σµ+σµ+σµ+σµ−σµ−σµ−σµ−σ

σσσσ

Uma distribuição normal com média µ e desvio padrão σ é identificada

pela notação N(µ,σ).Probabilidade de que uma variável x ~ N(µ,σ) assuma valores em um intervaloda forma µ ± c σ, onde c = 1, 2 e 3.

PROBABILIDADEINTERVALO

INTERNA EXTERNA(µ ± 1σ) 68,26% 31,74%(µ ± 2σ) 95,46% 4,54%(µ ± 3σ) 99,73% 0,27%

1.2.2. Cálculo de Probabilidades da Distribuição Normal

Para calcular probabilidades associadas a uma variável x ~ N(µ,σ), deveser utilizada a variável normal padronizada (ou reduzida) z definida por:

zx

=− µσ

A média de z é zero e seu desvio padrão é 1: z ~ N(0,1).A tabela de valores da distribuição normal padronizada fornece aprobabilidade de z assumir valores não superiores a um número especificado:

Área sob a curva à esquerda de [ ] z P z z0 0= ≤ , que é normalmenterepresentada pelo símbolo Φ( ) z0 .




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Transformação da variável normal x para a variável normal padronizada z :x z

(µ - 3σ) -3(µ - 2σ) -2(µ - 1σ) -2

(µ) 0(µ + 1σ) +1(µ + 2σ) +2(µ ± 3σ) +3

1.3. Distribuição da Média Amostral x

A distribuição da média amostral x , de uma amostra aleatória detamanho n extraída de uma população que tem média µ e desvio padrão σ,tem as seguintes características:

Média:

E x x

( )_

_= = µ µ

Variância:

VAR xn x

( )_

_= =σ σ 2

2

Desvio Padrão:

DP xn x

( )_

_= =σ σ

Portanto:

• A distribuição amostral de x está centrada na média populacional µ.• O desvio padrão da distribuição de x é igual a 1 / n vezes o desviopadrão σ da população.

• Variabilidade Elevada da População: Logo a variabilidade de x também será elevada, prejudicando a informação que x fornece deµ.

• Minimização do problema de variabilidade elevada: aumentar otamanho da amostra.

• Com o aumento de n, o quociente σ n diminui, e a dispersão dadistribuição de x fica mais concentrada em torno da média

populacional µ.• Logo, a precisão da média amostral x , como estimativa da médiapopulacional µ, fica mais elevada a medida que se aumenta otamanho da amostra.

As conclusões acima podem ser melhor visualizadas no gráfico a seguir.




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[ ( )]_

DP xn

33

=σ

[ ( )]_

DP xn

11

=σ

[ ( )]_

DP xn

22

= σ

n1 < n2 < n3

[DP( x)]1 > [DP( x)]2 > [DP( x)]3

[E( x)]1 = [E( x)]2 = [E( x)]3 = µµµµ

( x)

1 2 3

Exercício: Para que se possa comprovar que as igualdades E x( ) = µ e

DP x n( ) = σ são de fato verdadeiras, utilize os dados do exemplo dapopulação de 1 dado e da distribuição da média de dois dados, através dasequações:

Para uma população finita, com elementos x1, x2, ..., xn: E x

N xi

i

N

( ) = ==

∑ µ 1

1

DP x N

xi

i

N

( ) ( )= = −=

∑σ µ 1 2

1

Para uma distribuição das médias:

E x N

x x i

i

N

( ) = ==

∑ µ 1

1

DP x N

xn x i xi

N

( ) ( )= = − ==∑

σ µ σ 1 2

1

“A distribuição da média amostral x, de uma amostra aleatória detamanho n extraída de uma população normal que tem média µ e desviopadrão σ é NORMAL com média µ e desvio padrão σ n ”.

1.4. Teorema Central do Limite

“A distribuição da média amostral x, de uma amostra aleatória detamanho n extraída de uma população não normal, com média µ e desviopadrão σ, é APROXIMADAMENTE NORMAL com média µ e desvio padrão

σ n ”.




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Este resultado significa que:

zx

n=

− µ

σ é aproximadamente N(0,1)

Para utilização do Teorema Central do Limite, é usual considerar que otamanho n da amostra é suficientemente grande quando n é superior a 30.

No entanto, em várias situações, dependendo da forma da distribuiçãoda população, amostras com tamanho inferior a 30 já são suficientes paragarantir a validade do teorema.

1.5. Gráfico de Probabilidade Normal A validade da suposição de normalidade pode ser verificada por meio do

Gráfico de Probabilidade Normal.Procedimento para a construção de um gráfico de Probabilidade Normal:1. Arranjar as n observações da amostra em ordem crescente:

(x (1), x (2), ..., x (n))2. Para cada observação x (j), calcular o escore normal padronizado z j. O escore normal padronizado z j deve satisfazer a expressão:( ) j n P z z z j j− = ≤ =0 5, ( ) ( )Φ

Por exemplo se ( ) j n P z z z j j− = ≤ = =0 5 0 10, ( ) ( ) ,Φ , então z j = -1.28

3. Construir o gráfico de probabilidade normal, representando no eixohorizontal os valores x (j), e no eixo vertical os valores z j.Se os pontos do gráfico estiverem localizados, aproximadamente aolongo de uma linha reta, considerar que a suposição de normalidadeé válida.

Na visualização da linha reta, enfatizar os valores centrais do gráficoe não os extremos.4. Calcular o coeficiente de correlação linear r entre os valores x (j), e z j.

Como a visualização da aproximação dos pontos por uma linha reta ésubjetiva, é importante calcular o valor de r .Se for obtido um valor próximo de 1 para o coeficiente de correlaçãolinear (em geral utiliza-se r ≥ 0,95), considerar que a suposição denormalidade é válida.

5. Registrar as informações importantes que devem constar no gráfico.

1.5.1. Cálculo do Coeficiente de Correlação Linear

O coeficiente de correlação linear r mede a intensidade da relação linearde duas variáveis em termos quantitativos.

Cálculo do coeficiente de correlação linear r :1. Coletar pelo menos 30 pares de observações (x, y ) das variáveis cujo

tipo de relacionamento será estudado.2. Registrar os dados coletados em uma tabela.3. Calcular:

( )S x x xn

x xx i

i

n

i i

i

n

i

n

= − = −

= ==∑ ∑∑

2

1

2

1

2

1

1




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4. Calcular:

( )S y y yn

y yy i

i

n

i i

i

n

i

n

= − = −

= ==∑ ∑∑

2

1

2

1

2

1

1

5. Calcular:

( )( )S x x y y x yn

x y xy i i

i

n

i y i

i

n

i

i

n

i

n= − − = −

= = ==∑ ∑ ∑∑

1 1 11

1

6. Calcular o coeficiente de correlação linear r :

r S

S S

xy

xx yy

=×

O valor de r deve pertencer ao intervalo -1≤ r ≤1.7. Interpretar o valor de r :

Valores de r próximos de 1 indicam forte correlação linear positivaentre x e y .

Valores de r próximos de -1 indicam forte correlação linear negativaentre x e y .Valores de r próximos de 0 indicam fraca correlação linear entre x e y .Quando r = 1, os pontos estarão sobre a linha reta.Em geral uma relação linear é aceita quando r ≥ 0.95




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2. Gráficos de Controle

2.1. Interpretação de Gráficos de Controle

São critérios indicativos da falta de controle de um processo:1. Pontos Fora dos Limites de Controle2. Periodicidade3. Seqüência4. Tendência5. Aproximação dos Limites de Controle6. Aproximação da Linha Média

2.1.1. Pontos Fora dos Limites de Controle

É a indicação mais evidente da falta de controle de um processo, a qualexige uma investigação imediata da causa de variação assinalável responsávelpela sua ocorrência. Estas causas podem ser:

Erros de registros de dados, de cálculo ou de medição. Uso de instrumento descalibrado. Ação incorreta de um operador. Defeitos nos equipamentos.

2.1.2. PeriodicidadeA periodicidade está presente quando a curva traçada no gráfico de

controle apresenta repetidamente uma tendência para cima e para baixo, em

intervalos de tempo de, aproximadamente, mesma amplitude. Causas deperiodicidade podem ser: Mudanças sistemáticas de condições ambientais. Cansaço do operador. Rotatividade regular de operadores ou máquinas. Flutuação de voltagem, pressão ou alguma variável que afeta

significativamente o processo. Alterações sazonais da matéria-prima.

2.1.3. SeqüênciaUma seqüência é uma configuração em que vários pontos consecutivos

do gráfico aparecem em apenas um dos lados da linha média. O número depontos nesta situação é denominado comprimento da seqüência . Seqüênciasanormais são:

Uma seqüência de sete ou mais pontos. Uma seqüência com menos de sete pontos em que:

• Pelo menos 10 de 11 pontos consecutivos aparecem em ummesmo lado da linha média.

• Pelo menos 12 de 14 pontos consecutivos aparecem em ummesmo lado da linha média.

• Pelo menos 16 de 20 pontos aparecem em um mesmo lado da

linha média




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Uma seqüência indica uma mudança no nível do processo. Estasmudanças podem resultar, por exemplo, de:

Introdução de novos operadores, matérias-primas ou máquinas. Alterações do método de inspeção ou ensaios. Alterações de padrões operacionais.

Mudanças na habilidade, atenção ou motivação dos operadores.

2.1.4. TendênciaUma tendência consiste em um movimento contínuo dos pontos do

gráfico de controle em uma direção (ascendente ou descendente). Umatendência constituída por sete ou mais pontos consecutivos é uma indicação dafalta de controle de um processo. Causas de tendências podem ser:

Desgaste ou deterioração graduais de ferramentas ou deequipamentos.

Cansaço do operador ou presença de supervisores. Mudanças graduais nas condições ambientais (temperatura, pressão,

umidade) Em processos químicos, pode ser resultado da sedimentação ou

separação dos componentes de uma mistura.

2.1.5. Aproximação dos Limites de ControleA aproximação dos limites de controle corresponde à ocorrência de dois

de três pontos consecutivos fora dos limites ± 2σ, apesar destes pontosestarem dentro da faixa dos limites de controle (± 3σ).

Também, quando os pontos grafados tendem a cair próximos ou mesmolevemente fora dos limites de controle, com relativamente poucos pontos

próximos da linha média, podem existir duas diferentes distribuiçõessobrepostas gerando o resultado do processo (duas máquinas que trabalhamde maneira diferente, por exemplo).

Algumas vezes, este tipo de configuração pode resultar do excesso decontrole (super ajuste), quando os operadores fazem reajustes no processomuito freqüentemente, respondendo às variações no resultado do processoque são provocadas por causas aleatórias, em lugar de responder apenas àsvariações resultantes da atuação de causas especiais.

2.1.6. Aproximação da Linha MédiaQuando a maioria dos pontos grafados está muito próximo da linha

média, dentro das linhas centrais ± 1,5σ e, portanto, apresenta umavariabilidade menor do que a esperada, isto pode ser causado por:

Erros nos cálculos dos limites de controle. As amostras (subgrupos racionais) foram formados de maneira

inadequada.Portanto, a aproximação da linha média não significa um estado de

controle estatístico, mas pode estar indicando a mistura de dados provenientesde populações distintas em um mesmo subgrupo, o que aumenta muito alargura dos limites de controle, sendo necessário mudar o mode de formaçãodos subgrupos.




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Interpretação de Gráficos de Controle

LSC

LM

LIC

LSC

LM

LIC

LSC

LM

LIC

LSC

LM

LIC

LSC

LM

LIC

+2σ+2σ+2σ+2σ

−2σ−2σ−2σ−2σ

LSC

LM

+2σ+2σ+2σ+2σ

−2σ−2σ−2σ−2σ

LSC

LM

+1,5σ+1,5σ+1,5σ+1,5σ

LIC

LIC

−1,5σ−1,5σ−1,5σ−1,5σ

1.Pontos fora

dos limites decontrole.

2.Periodici-dade

3.Seqüência

4.Tendência

5a.Aproxima-ção dos limitesde controle.

5b.Aproxima-

ção dos limitesde controle.(Duas distri-buições)

6.Aproxima-ção da linhamédia.




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2.2. Constantes para a Construção de Gráficos de Controle Gráficos para Médias Gráficos para o Desvio Padrão Gráficos para Amplitudes

Fatores para os Limitesde Controle

Fatores para aLinha Média

Fatores para os Limites deControle

Fatores para a LinhaMédia Fatores para Limites de Controle

Obser-vaçõesnaamostra

n A A2 A3 c 4 1/c 4 B 3 B 4 B 5 B 6 d 2 1/d 2 d 3 D 1 D 2 D 3 D 4 2 2.121 1.880 2.659 0.7979 1.2533 0 3.267 0 2.606 1.128 0.8865 0.853 0 3.686 0 3.2673 1.732 1.023 1.954 0.8862 1.1284 0 2.568 0 2.276 1.693 0.5907 0.888 0 4.358 0 2.5754 1.500 0.729 1.628 0.9213 1.0854 0 2.266 0 2.088 2.059 0.4857 0.880 0 4.698 0 2.2825 1.342 0.577 1.427 0.9400 1.0638 0 2.089 0 1.964 2.326 0.4299 0.864 0 4.918 0 2.1156 1.225 0.483 1.287 0.9515 1.0510 0.030 1.970 0.029 1.874 2.534 0.3946 0.848 0 5.078 0 2.0047 1.134 0.419 1.182 0.9594 1.0423 0.118 1.882 0.113 1.806 2.704 0.3698 0.833 0.204 5 .204 0.076 1.9248 1.061 0.373 1.099 0.9650 1.0363 0.185 1.815 0.179 1.751 2.847 0.3512 0.820 0.388 5 .306 0.136 1.8649 1.000 0.337 1.032 0.9693 1.0317 0.239 1.761 0.232 1.707 2.970 0.3367 0.808 0.547 5 .393 0.184 1.816

10 0.949 0.308 0.975 0.9727 1.0281 0.284 1.716 0.276 1.669 3.078 0.3249 0.797 0.687 5.469 0.223 1.77711 0.905 0.285 0.927 0.9754 1.0252 0.321 1.679 0.313 1.637 3.173 0.3152 0.787 0.811 5.535 0.256 1.74412 0.866 0.266 0.886 0.9776 1.0229 0.354 1.646 0.346 1.610 3.258 0.3069 0.778 0.922 5.594 0.283 1.71713 0.832 0.249 0.850 0.9794 1.0210 0.382 1.618 0.374 1.585 3.336 0.2998 0.770 1.025 5.647 0.307 1.69314 0.802 0.235 0.817 0.9810 1.0194 0.406 1.594 0.399 1.563 3.407 0.2935 0.763 1.118 5.696 0.328 1.67215 0.775 0.223 0.789 0.9823 1.0180 0.428 1.572 0.421 1.544 3.472 0.2880 0.756 1.203 5.741 0.347 1.65316 0.750 0.212 0.763 0.9835 1.0168 0.448 1.552 0.440 1.526 3.532 0.2831 0.750 1.282 5.782 0.363 1.63717 0.728 0.203 0.739 0.9845 1.0157 0.466 1.534 0.458 1.511 3.588 0.2787 0.744 1.356 5.820 0.378 1.62218 0.707 0.194 0.718 0.9854 1.0148 0.482 1.518 0.475 1.496 3.640 0.2747 0.739 1.424 5.856 0.391 1.60819 0.688 0.187 0.698 0.9862 1.0140 0.497 1.503 0.490 1.843 3.689 0.2711 0.734 1.487 5.891 0.403 1.59720 0.671 0.180 0.680 0.9869 1.0133 0.510 1.490 0.504 1.470 3.735 0.2677 0.729 1.549 5.921 0.415 1.58521 0.655 0.173 0.663 0.9876 1.0126 0.523 1.477 0.516 1.459 3.778 0.2647 0.724 1.605 5.951 0.425 1.57522 0.640 0.167 0.647 0.9882 1.0119 0.534 1.466 0.528 1.448 3.819 0.2618 0.720 1.659 5.979 0.434 1.56623 0.626 0.162 0.633 0.9887 1.0114 0.545 1.455 0.539 1.438 3.858 0.2592 0.716 1.710 6.006 0.443 1.55724 0.612 0.157 0.619 0.9892 1.0109 0.555 1.445 0.549 1.429 3.895 0.2567 0.712 1.759 6.031 0.451 1.54825 0.600 0.153 0.606 0.9896 1.0105 0.565 1.435 0.559 1.420 3.931 0.2544 0.708 1.806 6.056 0.459 1.541

Para n > 25

An

=3

Ac n

34

3= c

n

n4

4 1

4 3≅

−−

( ) B

c n3

4

13

2 1= −

−( )

Bc n

44

13

2 1= +

−( )

B cn

5 43

2 1= −

−( )

B c

n3 4

3

2 1= +

−( )

2.3. Gráficos de Controle x e R Etapas para a construção e utilização dos gráficos de controle x e R :1. Escolher a característica da qualidade a ser controlada.2. Coletar dados.

Coletar m amostras (subgrupos racionais), cada uma contendo n

observações da característica da qualidade de interesse.Em geral, m = 20 ou 25, pelo menos, e n = 4, 5 ou 6.Coletar as amostras em intervalos sucessivos e registrar asobservações na ordem em que foram obtidas.

3. Calcular a média x i de cada amostra.

xx x x

ni

i i in=+ + +1 2 ...

, sendo i = 1, 2, ..., m .

Calcular o resultado com uma casa decimal a mais que os dadosoriginais.

4. Calcular a média global x (média das médias):

x x x xm

m= + + +1 2 ...

Calcular o resultado com duas casas decimais a mais do que osdados originais.

5. Calcular a amplitude R i de cada amostra.R i = maior valor da amostra – menor valor da amostrasendo i = 1, 2, ..., m .




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6. Calcular a amplitude média R .

RR R R

m

m=+ + +1 2 ...

Calcular o resultado com duas casas decimais a mais do que osdados originais.

7. Calcular os limites de controle para os gráficos:- Gráfico x : LSC x A R

LM x

LIC x A R

= +

=

= −

2

2

- Gráfico R : LSC D R

LM R

LIC D R

=

=

=

4

3

O LIC não é considerado quando n é inferior a 6.A2, D 4 e D 3 são constantes tabeladas em função de n.

8. Traçar os limites de controle.Marcar o eixo vertical do lado esquerdo com os valores de x e R e oeixo horizontal com os números das amostras.Traçar linhas cheias para representar LSC , LM , LIC .

9. Marcar os pontos nos gráficos.Representar nos gráficos correspondentes os m valores de x i e os m valores de R i.Circular todos os pontos que estejam fora dos limites de controle.

10. Registrar as informações importantes que devem constar nosgráficos.- Título- Tamanho das Amostras (n )- Período da coleta dos dados.- Nome do processo e do produto.- Método de medição.- Identificação do responsável pela construção dos gráficos.

11. Interpretar os gráficos construídos.Analisar o comportamento dos pontos nos gráficos x e R e verificarse o processo está sob controle estatístico.Caso seja necessário, recalcular os limites dos gráficos após oabandono de pontos fora de controle. Em alguns casos será precisocoletar novas amostras.Repetir este procedimento até que o estado de controle seja atingido.

12. Verificar se o estado de controle alcançado é adequado ao processo,tendo em vista considerações técnicas e econômicas.Em caso afirmativo, adotar os gráficos para o controle atual e futurodo processo.Em caso negativo, conduzir ações de melhoria até que seja atingidoo nível de qualidade desejado para o processo.

13. Rever periodicamente os valores dos limites de controle.




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Calcular xi e Ri

Calcular os Limites de Controle Experimentais.

Grafar xi e Ri nos Gráficos x e R .

HáPontos Fora de

Controle?

Adotar osLimites para

ControleAtual eFuturo.

Procurar as causas assinaláveis.

As causasforam

encontradas?

Abandonar os pontos fora de controle.

ou

Construção e Utilização de Gráficos de Controle x e R

SIM

SIM

NÃO

NÃO

2.4. Subgrupos Racionais A formação adequada dos subgrupos racionais é fundamental para que

seja construído um gráfico de controle realmente útil.Um dos princípios básicos que rege a construção de gráficos de controleestabelece que as amostras utilizadas devem constituir subgrupos tão




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homogêneos quanto possível da produção do processo considerado. Estessubgrupos são os subgrupos racionais .

Dentro de cada subgrupo racional as variações devem ser provocadasapenas por causas aleatórias.

2.5. Suposição da Normalidade Os limites de controle são pouco afetados pela violação da suposição denormalidade e podem ser empregados a não ser que a população sejaextremamente diferente da normal.

Na maioria dos casos, subgrupos racionais de tamanhos 4 ou 5 já sãosuficientes para garantir que a distribuição amostral de x possa ser bemaproximada por uma distribuição normal, para efeito da construção de gráficosde controle.

2.6. Gráficos x e s

Etapas para a construção e utilização dos gráficos de controle x e s :1. Escolher a característica da qualidade a ser controlada.2. Coletar dados.

Coletar m amostras (subgrupos racionais), cada uma contendo n observações da característica da qualidade de interesse. Em geral,m =20 ou 25 e n =4, pelo menos. Coletar as amostras em intervalossucessivos e registrar as observações na ordem em que foram obtidas.

3. Calcular a média x i de cada amostra.

xx x x

ni

i i in=+ + +1 2 ...

, sendo i = 1, 2, ..., m .

Calcular o resultado com uma casa decimal a mais que os dados

originais.4. Calcular a média global x (média das médias):

xx x x

m

m=+ + +1 2 ...

Calcular o resultado com duas casas decimais a mais do que os dadosoriginais.

5. Calcular o desvio padrão s i de cada amostra.

( )sn

x xi ij i

j

n

=−

−=

∑1

1

2

1

6. Calcular o desvio padrão médio s .s

s s s

m

m=+ + +1 2 ...

Calcular o resultado com duas casas decimais a mais do que os dadosoriginais.

7. Calcular os limites de controle.- Gráfico x : LSC x A s

LM x

LIC x A s

= +

=

= −

3

3




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- Gráfico s : LSC B s

LM s

LIC B s

===

4

3

O LIC não é considerado quando n é inferior a 5.A3, B 4 e B 3 são constantes tabeladas em função de n .8. Traçar os limites de controle.

Marcar o eixo vertical do lado esquerdo com uma escala pararepresentar os valores de x e s e o eixo horizontal com os números dasamostras.Traçar linhas cheias para representar LSC, LM e LIC .

9. Marcar os pontos nos gráficos.Representar nos gráficos os m valores x i e s i.Circular todos os pontos que estejam fora dos limites de controle.

10. Registrar as informações importantes que devem constar nos gráficos.

- Título- Tamanho das Amostras (n ).- Período de coleta dos dado.- Nome do processo e do produto.- Método de medição.- Identificação do responsável pela construção dos gráficos.

11. Interpretar os gráficos construídos.Analisar o comportamento dos pontos nos gráficos x e s e verificar se oprocesso está sob controle estatístico.Caso seja necessário, recalcular os limites dos gráficos após oabandono de pontos fora de controle. Em alguns casos, é preciso coletarnovas amostras.Repetir este procedimento até que o estado de controle estatístico sejaatingido.

12. Verificar se o estado de controle alcançado é adequado ao processo,tendo em vista considerações técnicas e econômicas.- Em caso afirmativo, adotar os gráficos para o controle atual e futuro doprocesso.- Em caso negativo, conduzir ações de melhoria até que seja atingido onível de qualidade desejado para o processo.


2.7. Gráficos de Controle para Medidas Individuais (Gráficos x e AM)

2.7.1. Construção dos gráficos x e AM Muitas vezes, as amostras utilizadas na construção dos gráficos de

controle têm tamanho unitário, isto é, n =1. Isto é possível nos seguintes casos,por exemplo:

Inspeção automatizada, onde toda unidade produzida é avaliada. Processos químicos em batelada (sistemas homogêneos). Processos para os quais a taxa de produção é baixa, não permitindo

acumular valores de tamanhos de amostra superiores a um.




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Os gráficos de controle para medidas individuais (n =1) são construídosda mesma forma que o exposto para o gráfico x e R , com as seguintesalterações:

Fazer n =1. Considerar x em lugar de x .

Utilizar a Amplitude Móvel (AM i) de duas observações sucessivaspara estimar a variabilidade do processo:

AM x xi i i

= − −1 A expressões de cálculo dos limites de controle são: Gráfico x

LSC xd

AM

LM x

LIC x

d

AM

= +

=

= −

3

3

2

2

onde AM é a amplitude móvel média e d 2 e uma constante tabeladapara n=2 , já que o gráfico da amplitude móvel é baseado em n =2observações.

Gráfico AM LSC D A M

LM AM

LIC D A M

=

=

=

4

3

onde D 3 e D 4 são constantes tabeladas para n =2, pelo motivomencionado anteriormente.

Os limites de controle dos gráficos x e AM são bastante sensíveis àviolação da suposição de normalidade da variável de interesse. Quando háevidências de que a variável não segue uma distribuição normal pode-se:

Determinar os limites de controle dos gráficos x e AM com base naverdadeira distribuição dos dados. Os percentuais desta distribuiçãopode ser obtidos:- a partir de um histograma, se estiver disponível uma amostra detamanho grande (n >100); ou- por meio do ajuste de uma distribuição de probabilidade de dados.

Transformar a variável original em uma nova variável que sejaaproximadamente normal e, então, construir os gráficos de controlepara esta nova variável.

2.8. Gráfico da Proporção de Itens Defeituosos – Gráfico p O gráfico p é utilizado quando a característica da qualidade de interesse

é representada pela proporção de itens defeituosos produzidos pelo processoconsiderado.

2.8.1. Distribuição Binomial

A distribuição binomial é apropriada para descrever o padrão deocorrência dos valores de uma população, quando cada elemento desta




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população pode ser classificado com atributos tais como sucesso ou falha, bomou ruim, defeituoso e não-defeituoso.

Para uma amostra de tamanho n , p é a probabilidade (ou proporção) deocorrência de sucesso (presença do atributo de interesse).

Para a validade da distribuição binomial, é necessário que p permaneça

constante durante a coleta da amostra e que os resultados sejamindependentes, ou seja, o conhecimento da probabilidade de ocorrência desucesso (ou falha) de um resultado não modifica a probabilidade de ocorrênciade sucesso (ou falha) dos resultados subseqüentes.

Se x é uma variável com distribuição binomial de parâmetros n e p , aprobabilidade de x assumir o valor particular k é dada por:

( )P x k n

k p pk n k

[ ]= =

− −

1 , k = 0, 1, 2, ..., n

Onde p é a probabilidade de sucesso e 1-p é a probabilidade de falha. Média da Distribuição Binomial:

E x np( ) = Variância da Distribuição Binomial:

VAR x np p( ) ( )= −1

2.8.2. Construção do Gráfico de Controle p Etapas para construção e utilização do gráfico de controle p :1. Coletar dados.

Coletar m amostras (subgrupos racionais), de tamanho n. Em geral,m =20 ou 25, pelo menos, e n deve ser tal que existam, em média,entre 1 e 5 itens defeituosos por amostra. Coletar as amostras emintervalos sucessivos e registrar as observações na ordem em queforam obtidas.

2. Calcular a proporção média de itens defeituosos p .

pmn

xi

i

m

==

∑1

1

onde x i é o número de itens defeituosos na i-ésima amostra.3. Calcular os Limites de Controle.

( )

( )

LSC p p p

n

LM p

LIC p p p

n

= +−

=

= −−

31

31

O LIC não é considerado quando seu valor é negativo.4. Traçar os limites de controle.

Marcar o eixo vertical do lado esquerdo com a escala para $ pi e oeixo horizontal com os números das amostras. Traçar linhas cheiaspara representar LSC , LM e LIC .

5. Marcar os pontos nos gráficos.Representar nos gráficos os m valores de $ pi .Circular todos os pontos que estejam fora dos limites de controle.




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6. Registrar as informações importantes que devem constar no gráfico.- Título.- Tamanho das amostras (n ).- Período de coleta dos dados.- Nome do processo e do produto.

- Método de Inspeção- Identificação do responsável pela construção do gráfico.7. Interpretar os gráficos construídos.

Analisar o comportamento dos pontos no gráfico p e verificar se oprocesso está sob controle estatístico.Caso seja necessário, recalcular os limites dos gráficos após oabandono de pontos fora de controle. Em alguns casos, é preciso coletarnovas amostras.Repetir este procedimento até que o estado de controle estatístico sejaatingido.

8. Verificar se o estado de controle alcançado é adequado ao processo,

tendo em vista considerações técnicas e econômicas.- Em caso afirmativo, adotar os gráficos para o controle atual e futuro doprocesso.- Em caso negativo, conduzir ações de melhoria até que seja atingido onível de qualidade desejado para o processo.


2.9. Gráfico do Número Total de Defeitos – Gráfico c O gráfico c é utilizado nas situações onde é necessário controlar o

número total de defeitos em uma unidade do produto.2.9.1. Distribuição de PoissonA distribuição de Poisson é apropriada para decsrever o padrão de

ocorrência de eventos em um intervalo de tempo ou em uma unidade deespaço (comprimento, área ou volume).

Na prática, fixa-se o valor de tempo ou espaço e conta-se o número deocorrências do evento nesta unidade, por exemplo:

Número de quebras de uma ferramenta durante um mês de trabalho. Número de riscos em uma chapa metálica. Número de soldas defeituosas em um aparelho de rádio.

Número de defeitos em 100 metros de tubulação.

Uma variável x com distribuição de Poisson assume apenas valoresinteiros (0, 1, 2, ...) e tem apenas um parâmetro λ, o qual determina a forma dadistribuição e é estimado pelo número médio de ocorrências do evento deinteresse.

Se x é uma variável com distribuição de Poisson de parâmetro λ, aprobabilidade de x assumir um valor particular k é dada por:

P x k e k

k [ ]

!= =

−λ λ, onde k = 0, 1, 2, ...

Média da Distribuição de Poisson: E x( ) = λ




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Variância da Distribuição de Poisson:VAR x( ) = λ

2.9.2. Construção do Gráfico c Etapas para construção e utilização do gráfico de controle c:

1. Coletar dados.Coletar k amostras, cada uma consistindo de uma ou n unidades deinspeção.

2. Determinar o número c i de defeitos na i -ésima amostra.3. Calcular o número médio de defeitos c :

ck

ci

i

k

==

∑1

1

4. Calcular os Limites de Controle. LSC c c

LM c

LIC c c

= +=

= −

3

3

O LIC não é considerado quando seu valor é negativo.5. Traçar os limites de controle.

Marcar o eixo vertical do lado esquerdo com a escala para c i e o eixohorizontal com os números das amostras. Traçar linhas cheias pararepresentar LSC , LM e LIC .

6. Marcar os pontos nos gráficos.Representar nos gráficos os k valores de c i.Circular todos os pontos que estejam fora dos limites de controle.

7. Registrar as informações importantes que devem constar no gráfico.- Título.- Unidades de inspeção- Número de unidades de inspeção (n ).- Período de coleta dos dados.- Nome do processo e do produto.- Método de Inspeção- Identificação do responsável pela construção do gráfico.

8. Interpretar os gráficos construídos.Analisar o comportamento dos pontos no gráfico c e verificar se oprocesso está sob controle estatístico.

Caso seja necessário, recalcular os limites dos gráficos após oabandono de pontos fora de controle. Em alguns casos, é precisocoletar novas amostras.Repetir este procedimento até que o estado de controle estatísticoseja atingido.

9. Verificar se o estado de controle alcançado é adequado ao processo,tendo em vista considerações técnicas e econômicas.- Em caso afirmativo, adotar os gráficos para o controle atual e futurodo processo.- Em caso negativo, conduzir ações de melhoria até que seja atingidoo nível de qualidade desejado para o processo.





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2.10. Determinação do Tipo de Gráfico de Controle

Necessidade deconstruir um

gráfico de controle

Tipo de dado?

Monitorardefeitos ou

defeituosos?

O subgrupo émaior que 1?

Cada subgrupoé maior que 10?

Os subgrupossão de tamanhoigual? Os subgrupos

são de tamanhoigual?

Contínuo Discreto

Defeitos Defeituosos

Gráfico x e AM

Gráfico x e s

Não

Sim

Sim

Não

Gráfico x e sou

Gráfico x e R

Gráfico u ou c

Sim

Não

Gráfico u

Gráfico np ou p

Sim

Não

Gráfico p

2.10.1. Fórmulas para Limites de ControlePadrões Conhecidos Padrões DesconhecidosGráfico de

controle Linha Central Limites de Controle Linha Central Limites de Controle x s− µ µ ± Aσ x x A s± 3

x R− - - x x A R± 2 ~ x R− - - ~ x ~ x A R± 6

ValoresIndividuais µ µ ± 3σ x x AM ± 2 66,

AmplitudeMóvel

d 2σ D D1 2σ σ; AM D R D R3 4;

Desvio Padrão c2σ B B1 2σ σ; s B s B s3 4;

Amplitude d 2σ D D1 2σ σ; R D R D R3 4

;

Fração não-conforme

p * pp p

n±

−3

1( )* p p

p p

n±

−3

1( )

Número deunidades não-

conformesnp * np np p± −3 1( ) * np np np p± −3 1( )

N.º de não-conformidades c * c c±3 * c c c±3

N.º de não-conformidades

por unidadeu * u

u

n±3 * u u

u

n±3

Todos os parâmetros com o símbolo “*” são obtidos de dados históricos (pelos gráficos de controle).




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3. Capacidade de ProcessosA avaliação da capacidade de processos inclui a necessidade do

estabelecimento de limites de especificação, os quais nos permitem avaliar seo processo produz ou não itens defeituosos.

Somente processos estáveis podem ter a sua capacidade avaliada.Um processo pode não ser capaz por apresentar: Elevada variabilidade. Média deslocada em relação ao ponto médio dos limites de

especificação (valor nominal).Limites de um Processo

LM LSC LSE LIC LIE

Índices de Capacidade são números adimensionais que permitem a

quantificação do desempenho dos processos.Os índices de capacidade processam as informações de forma que seja

possível avaliar se um processo é capaz de gerar produtos que atendam asespecificações provenientes dos clientes internos e externos.

Para utilizar os índices de capacidade é necessário que: O processo esteja sob controle estatístico. A variável de interesse tenha distribuição próxima da normal.

3.1. Índice C p Se a variável de interesse tem especificação bilateral, o índice C p é

definido por:

C LSE LIE

p=

−6σ

Para o uso de C p é necessário que a média µ esteja centrada no valornominal.




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Normalmente para o cálculo de uma estimativa $C p de C p é necessário

usar uma estimativa $σ de σ (pode ser s , R d 2 ou s c4 ). Logo:

$

$

C LSE LIE

p =−

6σ

3.2. Índice C pk O índice C pk permite avaliar se o processo está sendo capaz de atingir o

valor nominal da especificação, pois leva em consideração a média doprocesso. C pk pode ser interpretado como uma medida da capacidade real doprocesso.

C MIN LSE LIE

pk =− −

µ

σµ

σ3 3,

Quando a média do processo coincide com o valor nominal daespecificação, então C pk = Cp

LM LSC LSE LIC LIE

Índices de CapacidadeCp=A/6σσσσ e Cpk=B/3σσσσ, onde B=menor valor entre Bi e Bs.

A=LSE-LIE

−1σ−1σ−1σ−1σ +1σ+1σ+1σ+1σ−2σ−2σ−2σ−2σ +2σ+2σ+2σ+2σ

Bi=LM-LIE Bs=LSE-LM

sapienceConsultor ia e desenvolvimento Ltda

+3σ+3σ+3σ+3σ−3σ−3σ−3σ−3σ Para o cálculo de C pk utilizam-se estimativas de σ e µ, logo a estimativa

de $C pk

é calculada por:

$

$

,$

C MIN LSE x x LIE

pk =

− −

3 3σ σ




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3.3. Relação Entre C p e C pk Cpk

Baixo Alto

A l t o

LSE LIE

Deslocar a média do processo.

LSE LIE

Situação ideal - Manter.

C p

B a

i x o

LSE LIE

Reduzir a variabilidade do processo.

IMPOSSÍVEL !

3.4. Classificação de Processos CLASSIFICAÇÃO DOPROCESSO

VALOR DE C p OU C pk PROPORÇÃO DEDEFEITUOSOS (p )

CAPAZ OU ADEQUADO Cp ou Cpk ≥ 1,33 p ≤ 64 ppm

ACEITÁVEL 1 ≤ Cp ou Cpk ≤ 1,33 64 ppm ≤ p ≤ 0,27%INCAPAZ OU

INADEQUADO Cp ou Cpk ≤ 1 p > 0,27%

3.5. Índices de Capacidade para um Único Limite de Especificação Quando existe apenas o Limite Inferior de Especificação:

C LIE

pi=

−µσ3

Quando existe apenas o Limite Superior de Especificação:

C LSE

ps =− µ

σ3

apostila cep

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