UNIVERSIDADE ESTADUAL DO RIO GRANDE DO SULUNIDADE NOVO HAMBURGO

Prof. Dr. der Julio Kinast

Anlise de Varincia para um fator de classificao (ANOVA One Way)

A anlise de varincia um teste estatstico amplamente difundido entre os analistas e visafundamentalmente verificar se existe diferena significativa entre as mdias de mais de duaspopulaes. A principal aplicao da ANOVA (Analyse of Variance) a comparao de mdiasoriundas de grupos diferentes, tambm chamados tratamentos, como por exemplo as mdiashistricas de questes de satisfao, empresas que operam simultaneamente com diferentesrendimentos, entre muitas outras aplicaes.

Em uma ANOVA, calcula-se dois componentes: a varincia das mdias amostrais (variaodevida ao tratamento) e a varincia dentro das amostras ou grupos (variao devida ao erro).

Exemplo 01. Suponha que queiramos comparar a eficcia de trs detergentes, com basenos seguintes graus de branqueamento em 15 pedaos de tecido de algodo branco, embebidosem leo de automvel e lavados em seguida em uma mquina de lavar:

Detergente A Detergente B Detergente C

77 72 7681 58 8571 74 8276 66 8080 70 77

xA = 77 xB = 68 xC = 80s2A = 15.5 s

2

B = 40.0 s2

C = 13.5sA = 3.937 sB = 6.325 sC = 3.674

Como a mdias dessas trs amostras so diferentes, interessa-nos saber se as diferenasentre elas so significativas ou se podem ser atribudas ao acaso. Assim, formula-se as seguinteshipteses:

H0 : 1 = 2 = . . . = K

H1 : pelo menos uma mdia populacional diferente.

H trs suposies bsicas que devem ser satisfeitas para que se possa aplicar a anlise devarincia.

1. As amostras devem ser aleatrias e independentes;

2. As amostras devem ser extradas de populaes normais;

3. As populaes devem ter varincias iguais.

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Mtodo Clssico de Anlise de Varincia (ANOVA)

O Mdodo Clssico de ANOVA consiste em montar uma tabela contendo vrias informaespara o clculo final do parmetro Fteste. Existe duas possibilidades de anlise:

1. experimentos com UM fator de classificao (ANOVA One Way);2. experimentos com k tratamentos e r blocos (ANOVA Two Way).

Experimento inteiramente ao acaso com apenas um fator de classificao

Os dados deste tipo de anlise podem ser arranjados conforme a tabela abaixo:

Tratamento 1 2 3 k

y11 y21 y31 yk1y12 y22 y32 yk2y13 y23 y33 yk3...

......

...y1r y2r y3r ykr

Total T1 T2 T3 Tk

T =y

No de repeties r r r r n = k r

Mdia y1

y2

y3

yk

Os seguintes fatores so necessrios para essa anlise:

a. Graus de liberdade

- de tratamentos Tr = k 1

- do total T = n 1 onde n = k r

- do resduo R = (n 1) (k 1) = n k

b. Fator de correo C =(

y)2

n

c. Soma dos quadrados total SQT =

y2 C

d. Soma dos quadrados dos tratamentos SQTr = T 2

r C

e. Soma dos quadrados dos resduos SQR = SQT SQTr

f. Quadrado mdio do tratamento QMTr =SQTr

k 1

g. Quadrado mdio dos resduos QMR =SQR

n k

h. Fator Fteste =QMTr

QMR

2

Com os fatores acima monta-se a tabela a seguir.

Tabela ANOVA I

Causas de Variao Graus de Liberdade Somas dos Quadrados Quadrados Mdios Fator FTratamentos k 1 SQTr QMTr Fteste

Resduos n k SQR QMRTotal n 1 SQT

O fator Fteste deve ser comparado com o fator correspondente da distribuio F,k1,nk deFisher, que leva em conta os nmeros de graus de liberdade e a confiana requerida.

HipteseCritrio pararejeitar H0

H0 : 1 = 2 = . . . = KH1 : pelo menos uma mdia populacional diferente.

Fteste > F,k1,nk

Exemplo 01 (continuao). Testar ao nvel de 5%, se existem diferenas significativasentre os grupos de detergentes do incio do texto.

Exemplo 02. Um pesquisador realizou um estudo para verificar qual posto de trabalhogerava mais satisfao para o funcionrio. Para isso, durante um ms, 10 funcionrios foramentrevistados. Ao final de um ms os funcionrios responderam um questionrio gerando umanota para o bem estar do funcionrio. Testar ao nvel de 5%, se existem diferenas significativasentre os grupos.

Funcionrio Varredor Balconista Gerente1 5 7 82 6 8 93 7 7 84 6 8 95 5 9 86 6 7 87 7 8 98 5 6 109 6 7 8

10 6 6 9

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Comparao entre as Mdias de uma ANOVA

Quando a anlise de varincia mostra que as mdias dos tratamentos no so iguais, lgico perguntar quais as mdias que diferem entre si. Para fazer a comparao das mdiasduas a duas, mantendo um nvel de significncia, calcula-se uma Diferena Mnima Significativa(DMS) da seguinte forma:

DMS = t/2,R

QMR

(1

r1+1

r2+

)Qualquer diferena (em mdulo) entre duas mdias maior que o DMS calculado, consi-

derada estatisticamente significativa ao nvel especificado.

Exemplo 03. Testar ao nvel de 5% as diferenas entre as mdias do Exemplo 01 (dosdiferentes tipos de detergente).

Exemplo 04. Testar ao nvel de 5% as diferenas entre as mdias do Exemplo 02 (avaliaodos funcionrios em diferentes cargos).

Grupos Significativamente Diferentes

Aps a realizao da anlise ANOVA e da Diferena Mnima Significativa, faz-se o cruza-mento dos dados para determinar os grupos significativamente diferentes de mdias.

Para isto, conveniente ordenar os conjuntos de dados em ordem crescente da mdia obtida.

Exemplo 05. Montar os grupos estatsticos do Exemplo 01 (dos diferentes tipos de deter-gente).

Exemplo 06. Montar os grupos estatsticos do Exemplo 02 (avaliao dos funcionrios emdiferentes cargos).

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