anova 2 fatores prof. ivan

8/3/2019 ANOVA 2 Fatores Prof. Ivan

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ANOVA 2 fatores (two-way)

Introduo

Em muitos trabalhos, que envolvem a realizao de experimentos, comum os

pesquisadores se depararem com a questo: como avaliar se os resultados obtidos so

confiveis? Sabemos que qualquer medida realizada sempre afetada por erros. Erros muito

pequenos no traro grandes implicaes. Contudo, se forem significativos, podero prejudicar

seriamente os resultados levando a falsas concluses. Portanto conhecer a natureza dos erros e

preparar planejamentos que possam minimiz-los uma estratgia que deve estar presente no

dia-a-dia de todo pesquisador.

Existem dois tipos de erros, o erro sistemtico e o erro aleatrio. O primeiro tem como

caracterstica afetar os resultados dos experimentos sempre na mesma direo, seja para mais

ou para menos. Um exemplo simples deste tipo de situao o caso de uma balana

descalibrada que pode indicar sempre massas maiores que as reais. Mas vale notar que os erros

sistemticos podem ser identificados e, portanto, evitados. Por outro lado, h um tipo de erro

que afeta as medidas sem nenhuma tendncia clara. As medidas podem oscilar, ora para mais,

ora para menos. Este tipo e erro chamado de erro aleatrio e, infelizmente, sempre estar

presente em maior ou menor grau.Ao fazer um estudo sempre interessante fazer replicatas, repeties, pois permite que o

erro presente nas medidas seja investigado. Alm disso, com a realizao de vrias replicatas

aumentam as chances de se aproximar mais do valor exato. Isto evidenciado por um

importante princpio da estatstica: o teorema do limite central, que comprova que o erro no

valor mdio menor que o erro de uma observao individual (referncia: Barros Neto, B,

Scarminio, I.S., Bruns, R.E. Como fazer experimentos: pesquisa e desenvolvimento na cincia e na indstria.

Ed. da Unicamp; Campinas, 2001).

Muitas vezes as caractersticas do procedimento experimental dificultam muito a

execuo de replicatas autnticas. No correto simplesmente realizar duas medidas do

mesmo experimento de forma seqencial, pois um erro que afetar a primeira medida

certamente ir, de forma sistemtica, afetar a seguinte.

nessa introduo as idias expostas foram copiadas do artigo: Conseqncias da anlise incorreta de experimentos

blocados, sob autoria de Joo Alexandre Bortoloti e Roy Edward Bruns. Artigo publicado na revista Qumica Nova, vol.30, n 2, pgs. 436-440, 2007.


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No so raros os casos em que o ajuste das condies experimentais extremamente

trabalhoso ou lento. Portanto, parece haver um dilema, realizar medidas com duplicatas e arcar

com o custo do trabalho envolvido, mas garantir a qualidade das medidas, ou evitar um grande

esforo no laboratrio, mas correr o risco de ter todo o seu trabalho prejudicado. nestecontexto que surge uma interessante possibilidade, a blocagem dos experimentos.

continuao da aula sobre Anova 1 fator

Ao analisar os dados classificados em dupla-entrada, temos de aplicar o mtodo da

classificao 1 fator duas vezes: - uma vez para cada sistema de classificao. Em resumo, a

anova 1 fator duas vezes (uma vez para o fator na coluna e uma vez para o fator na linha).

Veremos a aplicao desse mtodo (anova 2 fatores) em dois tipos de delineamentos:CRD e CRBD sob presena ou ausncia de repeties, replicatas. Por repetio (replicata) se

entende um teste completo de todos os tratamentos no experimento (a replication is a

complete run for all treatments to be tested in theexperiment).

1) experimento inteiramente ao acaso (completely randomized design, CRD) sem

repeties;

2) experimento em blocos ao acaso (randomized complete block design (CRBD) sem

repeties;

3) experimento em blocos ao acaso (CRBD) com repeties;

4) experimento inteiramente casualizado (CRD) com repeties.

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1) CRD. Experimento inteiramente ao acaso , sem repeties.

Exemplo 1.

Por exemplo, 12 jovens foram classificados em trs grupos de acordo com a idade deles.

Ao mesmo tempo eles foram classificados de acordo com o sexo em dois grupos: masculino efeminino. Assim, cada jovem esteve sujeito a dois sistemas de classificao simultaneamente,

Tabela 1.

Tabela 1. Dados obtidos no experimento tipo CRD.

colunas

linhas

1 2 3 4 total

linha

mdia

linha

efeito

linha

1 6 2 9 3 20 5 -2

2 8 9 11 12 40 10 +3

3 4 4 10 6 24 6 -1total coluna 18 15 30 21 84

mdia coluna 6 5 10 7 7efeito coluna -1

-2 +3 0 0

(-1) = efeito coluna = mdia coluna 1(=6) mdia geral (=7)

(+3)= efeito linha = mdia linha 2(=10) mdia geral (=7)

Anlise dos dados segundo a classificao do fator linha.anova 1 fator.SQ linha = 4{(-2)2 + (3)2+ (-1)2} = 56

Anlise dos dados segundo a classificao do fator coluna.anova 1 fator.

SQ coluna = 3{(-1)2 + (-2)2+ (3)2+(0)2} = 42

Clculo da Soma de Quadrados TotalSQ Total*= x2 (X)2 / n =

* deduo dessa frmula = SQ = (x-)2 = (x2-2x +2) = (x2)-2x +(2)= x2-22n +n 2 =x2- n2 =

x2- n(x)2/ n2 = x2 (x)2 / n que a forma usual do clculo da soma de quadrados total.

{(52+22+92+32+82+92+112+122+42+42+102+62)-(5+2+9+3+8+9+11+12+4+4+10+6)2 / 12 }=SQTotal = 120

Clculo da Soma de Quadrados Resduo (h dois mtodos)a) por meio da diferena (mtodo mais fcil)

Denomina-se experimento inteiramente ao acaso quando os tratamentos (fatores) so designados s unidades

experimentais sem qualquer restrio. Esse tipo de delineamento s pode ser conduzido quando as unidades experimentais(corpos-de-prova, pessoas, etc...) so similares. Por similares deve-se entender: no no sentido de igualdade, mas nosentido de que essas unidades respondem ao tratamento da mesma forma.

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SQ Total = SQ LINHA + SQ COLUNA + SQ RESDUO

assim, SQ RESDUO = SQ Total (SQ LINHA + SQ COLUNA)

SQ RESDUO = 120 (56+42) = 120 98 = 22

b) por meio do clculo direto (mtodo mais trabalhoso)

22+(-1) 2+12+(-2)2+(-1)2+12+(-2)2+22+(-1)2+02+12+02 = 4+1+1+4+1+1+4+4+1+0+1+0 = 22

Clculo dos Graus de Liberdade (gl)

Fator Linha = Blocos = b-1 e no nosso exemplo 3 1 = 2

Fator Coluna = G-1 e no nosso exemplo 4 1 = 3

Total N-1 e no nosso exemplo 12 1 = 11

Resduo ( N-1 ) - [ (B-1) +(G-1) ] = ( BK-1 ) - [ (B-1) +(G-1) ] = (B-1)(G-1)e no nosso exemplo o gl resduo igual a 11-(2+3) = 6 = (3-1)(4-1) = (2)(3)

Tabela 2. ANOVA 2 fatores para os dados da Tabela 1.

Efeito(ou fonte de

variao)

gl SQ QM razo F p-valor

Linhas 3-1= 2 56 56/2= 28 28/3,67= 7,64 0,0224150*

Colunas 4-1=3 42 42/3= 14 14/3,67= 3,82 0,0764059

Resduo 6 22 22/6= 3,67Total 12-1= 11 120

*p


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2) CBRD. Experimento em blocos ao acaso, sem repeties.

Vamos considerar, agora, os experimentos casualizados. Nesse delineamento os

tratamentos so designados s unidades experimentais com certa restrio: so sorteados

dentro de cada bloco.Neste item ao considerar os CBRD vamos estudar os casos sem repetio, ou seja, com

apenas uma aplicao dos tratamentos s unidades experimentais.

Para a anlise dos dados em planejamentos desse tipo, convm recordar o que foi dito

anteriormente: ao analisar os dados classificados em dupla-entrada, temos de aplicar o

mtodo da classificao 1 fator duas vezes: - uma vez para cada sistema de classificao. Em

resumo, a anova 1 fator duas vezes (uma vez para o fator na coluna e uma vez para o fator na

linha).

Quando as unidades experimentais no so similares, devia ser intuitivamente claro que

as variaes nas unidades por si mesmas poderiam ofuscar (obscurecer) os verdadeiros efeitos

do tratamento. O mtodo de blocagem considera forma de avaliar as unidades heterogneas

em todos os tipos de experimentao.

O CBRD um delineamento no qual as unidades - s quais os tratamentos so aplicados - so subdivididas em grupos

homogneos (chamados de blocos), de modo que o nmero de unidades em um bloco seja igual ao nmero (ou algummltiplo do nmero) de tratamentos que esteja sendo estudado. Os tratamentos so ento designados ao acaso s unidadesexperimentais dentro de cada bloco. Deve-se enfatizar que cada tratamento aparece em cada um dos blocos, e cada blocorecebe cada um dos tratamentos em estudo. Assim, cada um dos blocos inclui todos os tratamentos. Dentro de cada blocoos tratamentos so atribudos s parcelas inteiramente ao acaso. Para que o experimento seja eficiente (aumente empreciso, diminuio da varincia erro ou resduo), dever cada bloco ser to uniforme quanto possvel, mas os blocospodero diferir bastante uns dos outros.O pesquisador s deve optar por experimento tipo CRD quando dispe de nmero suficientemente grande de unidadesexperimentais similares. Como isso nem sempre acontece na prtica, preciso um delineamento que permita compararadequadamente os tratamentos, mesmo que as unidades apresentem certa heterogeneidade. Unidades similares soagrupadas (d-se o nome de blocos a esse conjunto de unidades similares). Os experimentos em blocos ao acaso surgiramna rea agrcola. O campo era dividido em blocos e os blocos eram divididos em parcelas que recebiam os tratamentos(adubo, por exemplo) em investigao. Ento o termo bloco designava originalmente, uma faixa de terra de mesma

fertilidade. Esse tipo de delineamento surgiu em 1925 na Inglaterra por R. A. Fisher que foi, tambm, o idealizador domtodo ANOVA.O bloco pode ser uma faixa de terra, uma ala de estufa, um perodo de tempo, uma ninhada, uma partida de produtosindustriais, uma faixa de idade tudo depende do que est em experimentao. O CBRD pode ser empregado de formamuito eficiente quando um experimento deve ser efetuado em mais de um laboratrio (blocos) ou quando vrios dias(blocos) so necessrios para a sua realizao.O essencial que os blocos renem unidades similares e que haja variabilidade entre blocos. No teria sentido organizaresses blocos se no houvesse variabilidade entre eles. Quem vai decidir se a variabilidade entre as unidades justifica ou noa formao de blocos o pesquisador, no o estatstico. Embora o bloco deva reunir unidades similares, isso no significaque essa reunio deva ser fsica. Por exemplo, se um mdico pretende comparar duas drogas hipotensoras, A e B, econsiderar que a presso arterial do paciente, no incio do tratamento, importante na resposta do paciente droga, deveorganizar blocos. Cada bloco ser formado por um par de pacientes com presses arteriais similares, mas, para formar osblocos, o mdico no precisa colocar seus pacientes em fila, nem junt-los aos pares. Basta reunir os dados numricos.

Dois pacientes do mesmo bloco no precisam nem mesmo se conhecer.O objetivo do CBRD isolar e remover do termo resduo (erro) a variao atribuvel aos blocos, aumentando assim apreciso do experimento sem aumentar o nmero de unidades experimentais.

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Historicamente, os blocos casualizados o primeiro delineamento vlido para estimar o

erro experimental e testar a significncia dos efeitos de tratamento apesar da heterogeneidade

das unidades experimentais sobre as quais as observaes so realizadas. Esse delineamento

revolucionou os experimentos na agricultura no mundo todo. No seria um exagero afirmarque ele ainda a espinha dorsal do delineamento da cincia experimental. Porm, nenhum

delineamento torna-se popular e aceito para uso geral, no importa quo bem fundamentado do

ponto de vista estatstico que ele seja, se for complicado e difcil de empreend-lo. A beleza

desse planejamento em blocos a feliz combinao de validade, simplicidade e flexibilidade.

O planejamento em blocos consiste de duas etapas. A primeira a de coletar, reunir, as

unidades afins, similares para juntas formarem um grupo homogneo; esse grupo formado

chamado de bloco. Essa operao conhecida como blocagem. A segunda etapa a de

designar os vrios tratamentos ao acaso s unidades dentro de cada bloco. Essa a principal

diferena entre o delineamento em blocos e o delineamento inteiramente casualizado. Em

termos de casualizao pode-se considerar que, em blocos, h uma restrio.

Veremos, a seguir, a aplicao desse mtodo para um experimento onde a unidade

experimental a pessoa que vira bloco. Ela recebe, sob aplicao aleatria, dois tratamentos

A e B. Convm recordar que, experimentos desse tipo, onde a unidade experimental a pessoa

que recebe todos os tratamentos em comparao, um caso especial de experimento em blocos

casualizados. Toda vez que a pessoa que participa do experimento recebe todos os

tratamentos em comparao, essa pessoa um bloco no uma unidade. Esse tipo de

experimento muito criticado. Por exemplo, a diferena que se mede na pessoa, antes e depois

de uma srie de exerccios fsicos, s seria explicada pelos prprios exerccios fsicos? De

qualquer forma, so feitos experimentos em que cada pessoa um bloco. O pesquisador

precisa apenas estar alerta para o fato que possvel de a pessoa se modificar por qualqueroutro motivo, que no o tratamento. Embora os experimentos em que se toma cada indivduo

como bloco sejam bastante comuns preciso muito senso crtico para planej-los. Muitas

vezes esses experimentos no tm qualquer validade.

O pesquisador planeja um experimento em blocos ao acaso quando pretende eliminar

uma causa de variao. Por exemplo, para testar o efeito de um hormnio sobre o crescimento

Muitas idias aqui apresentadas foram selecionadas do livro: Estatstica Experimental. Autores: S. Vieira & R.Hoffmann. Ed. Atlas. Ano 1989.

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de ratos se os ratos disponveis so de diferentes idades o pesquisador deve organizar

blocos que correspondam s idades.

Os blocos tambm ampliam a validade da concluso. Por exemplo, se um entomologista

quer comparar a eficincia de diversos inseticidas, tanto pode usar insetos de uma nicaespcie como fazer a comparao usando insetos de vrias espcies. O experimento seria em

blocos ap acaso se cada espcie fosse um bloco. Os blocos teriam a vantagem de ampliar a

validade da concluso. Isto porque o entomologista poderia, com base em um s experimento,

estabelecer concluses para vrias espcies.

Em termos de eficincia, ou seja, de uma comparao de tratamentos qual seria o melhor

delineamento: CRD ou CBRD? Qual seria a conseqncia de uma m escolha? Para responder

temos de considerar o nmero de graus de liberdade do resduo. Vamos, ento, realizar uma

comparao entre o nmero de graus de liberdade do resduo de um experimento CRD frente a

um experimento tipo CRBD. Na tabela ANOVA obtm-se um valor igual a (k-1)(r-1) para um

experimento em blocos; enquanto, para um experimento CRD, o gl do resduo ser igual a k(r-

1), onde r o nmero de rplicas (ou repeties). Se k for igual a 3 e r = 20, ento, o gl de

resduo do CBRD seria igual a (3-1)(20-1) = 2 x 19 = 38 e o gl do CRD seria igual a 3(20-1) =

3 x 19 = 57. Essa diferena de 57 38 = 19 representa r-1 graus de liberdade, em geral.

Em termos de notao, temos inicialmente no CRD k(r-1) e depois no CBRD (k-1)(r-1),

isto ,

k(r-1) (k-1)(r-1) = r-1 graus de liberdade a menos sob a escolha de um possvel mau

delineamento. Como o valor de F na tabela (F, de valores crticos) aumenta quando diminui o

nmero de graus de liberdade de resduo, fcil entender que o uso indevido de blocos torna o

teste menos sensvel.

Fcalculado = QM Trat / QM resduo ; assim, quanto menorFcalc e maior o F tabela mais difcil paraque se estabelea a condio de rejeitar Ho, ou seja, de que Fcalc > F tabelado .

QM resduo = SQ res / gl res ; assim, quanto menorgl res implicaaumento deQM resduo que

traz como conseqncia uma diminuio de Fcalc.

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Exemplo 1. Experimento em blocos (CBRD), sem repeties.

Numa pesquisa sobre o efeito do leo de milho no teor de colesterol do sangue, o mdico

Dr. Bem Hur obteve os seguintes dados, de 7 pacientes, Tabela 3.

Tabela 3. Teor de colesterol no sangue, em mg por 100g, de sete pacientes.

Pacientes

Tratamentos (dois tipos de dietas) Totais dos blocos Mdias dosblocosA B

1 270 175 445 222,52 410 308 718 359,03 350 248 598 299,04 360 231 591 295,5

5 350 196546 273,0

6 430 190 620 310,07 268 252 520 260,0

Totais de Tratamentos 2438 1600Mdias de Tratamentos 348,286 228,571

A anlise feita tomando-se os pacientes como blocos. Para casos desse tipo, pode-se

dizer em termos gerais, que a mesma anlise dos delineamentos tipo ANOVA de medidas

repetidas e, nesse especial caso, a mesma anlise que se obtm com o teste t- Student de

amostras pareadas (estatstica t = 4,66; vale a relao estatstica F da anova igual ao valor da

estatstica t-Studentao quadrado, ou seja, F = t2 = 4,662 = 21,71).

Pelo mesmo procedimento do caso anterior obtm-se o seguinte resultado do teste

ANOVA 2 fatores, Tabela 4.

Tabela 4. ANOVA 2 fatores pata os dados da Tabela 3.

Efeito(ou fonte de

variao)

gl SQ QM razo F p-valor

Blocos 7-1= 6 22000,40 22000,40/6= 3666,70Tratamentos 2-1=1 50160,30 50160,30/1= 50160,30 50160,30/2310,

50= 21,710,003*

Resduo 6 13862,70 13862,70/6= 2310,50Total 14-1= 13 86023,40

*p


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clculo de F para blocos desnecessrio. Os experimentos tipo CRBD so feitos, essencialmente, para

comparar tratamentos a comparao de blocos secundria.

Exemplo 2. Experimento em blocos (CBRD), sem repeties.Um experimento foi delineado para estudar o desempenho de quatro diferentes

detergentes de tecidos de roupas. Os seguintes ndices de limpeza, Tabela 5, foram obtidos

(maior o ndice maior a limpeza) por meio de um instrumento especial para trs diferentes

tipos comuns de manchas. A hiptese da pesquisa saber se h diferena entre os detergentes?

Tabela 5. ndice de limpeza de 12 tecidos manchados segundo tipo de detergente e tipode mancha.

Manchas Detergentes Total (mdia: x )1 2 3 4

1 45 47 48 42 182 (45,50)2 43 46 50 37 176 (44,00)3 51 52 55 49 207 (51,75)

Total

(mdia: x )

139 145 153 128 565

46,333 48,333 51,000 42,667 mdia geral:565/12 = 47,083

ResoluoVamos aplicar a mesma frmula, porm, com outra forma

, mais direta, para se obter

as somas de quadrados entre grupos (referente s colunas e/ou s linhas).

SQE = (T2/n) - (FC); onde T... o total da coluna (ou linha); n ... o tamanho daamostra e FC o chamado fator de correo dado pela soma dos valores ao quadradodividido pelo tamanho amostral total, ou seja, FC = (x)2 / N.

Anlise dos dados segundo a classificao do fator Detergente coluna.anova 1 fator.

SQ coluna = [ (1392/3) + (1452/3) +(1532/3)+(1282/3) ] (182+176+207)2/12 =SQ coluna = 26713,000 26602,083 = 110,917

Anlise dos dados segundo a classificao do fator Mancha linha (blocos).anova 1 fator.

SQ linha = 1822/4 + 1762/4 +2072/4 (182+176+207)2/12 = 135,167

Clculo da Soma de Quadrados TotalSQ Total = x2 FC = x2 (x)2 / n

SQ = (x-)

2

= (x2

-2x +2

) = (x2

)-2x +(2

)= x2

-22

n +n 2

=x2

- n2

= x2

- n(x)2

/ n2

= x2

(x)2 / n que a forma usual do clculo da soma de quadrados total. Dessa forma usual vemSQfator coluna = n(x -)2 = nx 2 (x)2 / n = n(x)2/n2 (x)2 / n = (Total)2/n (x)2 / n = (T2 /n) FC.

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SQ Total = (452+432+512+472+462+522+482+502+552+422+372+492 ) (565)2/12 = 264,917SQ Total = 26867,000 26602,083 = 264,917

SQ Total = SQ LINHA + SQ COLUNA + SQ RESDUOassim, SQ RESDUO = SQ Total (SQ LINHA + SQ COLUNA)

SQ RESDUO = 264,917 (135,167+110,917) = 264,917 246,084 = 18,833

Tabela 6. ANOVA 2 fatores para os dados da Tabela 5.Efeito gl SQ QM F P

Detergente 3 110,917 36,972 11,78 0,006*

Manchas 2 135,167 67,583

Erro 6 18,833 3,139

Total 11 264,917

*p


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* mdias seguidas de letras diferentes diferem estatisticamente

Alfa (nvel de significncia) 0,05 Valor Crtico Q 4,897Valor Crtico para Comparao = dms = HSD = 5,0095Graus de liberdade do termo Erro (resduo) = 6

Concluso:Grupos 1 e 4 (letra A e AB) no diferem entre si (letra B comum).Grupo 4 (letra B) difere dos grupos 2 e 3 (letra A).Grupo 1 (letra AB) no difere do grupo 4 e, tambm, no difere dos grupos 2 e 3, ou seja,

o detergente 1 ocupa um comportamento intermedirio em relao aos outros trs detergentes.

Quanto limpeza o pior detergente o tipo 4.Os detergentes tipo 1, 2 e 3 no apresentaram diferena do ponto de vista estatstico.

........................................................................................................................................................

Exemplo 3. Experimento em blocos (CBRD), sem repeties.

Supe-se que a impureza de um produto qumico afetada pela presso. Optou-se por utilizar a

temperatura como fator de blocagem. Os dados so apresentados na Tabela 7 mostrada a seguir.

Tabela 7. Quinze valores de impureza, sob condies de temperatura (C) e presso (mmHg),

obtidos num experimento em blocos ao acaso.Temperatura Presso Total Mdia x

25 30 35 40 45

100 5 4 6 3 5 23 4,60125 3 1 4 2 3 13 2,60150 1 1 3 1 2 8 1,60Total 9 6 13 6 10 44 geral: 2,93

Mdia x 3,00 2,00 4,33 2,00 3,33

Resoluo

FC = fator de correo da soma de quadrados = (44)2/15 = 129,067SQ Total = SQ Total = x2 (X)2 / n = 166 (44)2/15= 166 129,067 = 36,933SQ linha = SQ temperatura = SQ blocos = (232+132+82) / 5 FC = 152,400-129,067 = 23,333

SQ coluna = SQ presso = (92+62+132+62+102) / 3 FC = 140,667-129,067 = 11,600

SQ Total = SQ LINHA + SQ COLUNA + SQ RESDUOassim, SQ RESDUO = SQ Total (SQ LINHA + SQ COLUNA)

SQ RESDUO = 36,933 (23,333+11,600) = 36,933 34,933 = 2,000


Fator Linha = Blocos = b-1 e no nosso exemplo 3 1 = 2

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Fator Coluna = Presso = G-1 e no nosso exemplo 5 1 = 4

Total N-1 e no nosso exemplo 15 1 = 14

Resduo ( N-1 ) - [ (B-1) +(G-1) ] = ( BG-1 ) - [ (B-1) +(G-1) ] = (B-1)(G-1)

e no nosso exemplo gl resduo = 14-(2+4) = 8 = (3-1)(5-1) = (2)(4)

Clculo da estatstica F

Varincia Efeito Coluna (presso) = QM colunas / gl colunas = (11,600/4) = 2,900

Varincia Resduo = QM resduo / gl resduo = (2,00/8) = 0,250

F calculado = Var Coluna / Var resduo = Var Presso/ Var resduo = 2,900/0,25 = 11,60

Comando no Minitabpara se obter o p-valor associado ao F calculado

aps Edit >> Command Line Editor (ou Ctrl+L) digitamoscdf 11.60 k1;

F 4 8.let k2 = 1-k1

print k2K2 0.00206337

clicar no (X) Submit Commands

Tabela 8. ANOVA 2 fatores para os dados da Tabela 7.Efeito gl SQ QM F P

Presso 4 11,600 2,900 11,60 0,002*

Temperatura 2 23,333 11,667

Erro 8 2,000 0,250

Total 14 36,933

*p


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3) experimento em blocos ao acaso (CRBD) com repeties

Nesse item vamos considerar trs situaes. A primeira com os blocos apresentando o

mesmo valor mdio em cada tratamento; na segunda situao, temos uma diferena constante

entre os valores mdios de cada bloco; e na terceira valores desiguais entre os valores mdios

dos blocos em cada tratamento. Entende-se melhor o que queremos explicar por meio dos

exemplos.

Primeira situao. Valores mdios iguais dos blocos.

Exemplo 1. Dados de um experimento em blocos ao acaso com repeties.

Blocos

Tratamentos Total daslinhas

Mdia dosblocosA B C D

I

22 31 30 39

408 3426 38 31 42

30 36 38 45

Mdias dosblocos

26 e 26 35 e 35 33 e 33 42 e 42

II

25 34 32 41

408 3426 35 33 42

27 36 34 43

Total 156 210 198 252 Total geral:816

Mdiageral: 34

Resoluo.

Segue-se o mesmo procedimento dos casos anteriores, ou seja, clculo do fator de

correo; clculo da soma de quadrados total; clculo da soma de quadrados devido ao fator

coluna (tratamentos); clculo da soma de quadrados do fator linha (blocos) e, enfim, onde est

a novidade. A resposta, para essa justificada pergunta, a relao:

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SQ Total = SQ COLUNA + SQ LINHA + SQ RESDUO.

Clculo da Soma de Quadrados dos Tratamentos

SQ trat = {1562

+2102

+1982

+2522

)/6} (816)2

/24 = 780,00Clculo da Soma de Quadrados dos Blocos

SQ blocos = {4082+4082)/12} (816)2/24 = 27744-27744 = 0

Clculo da Soma de Quadrados dos Resduos

SQ resduo= (x - x )2 onde x o valor de cada clula (casela) e x a mdia de cada caselaSQ resduo = {42+02+42}+{42+32+12}+{32+22+52}+{32+02+32} referente ao bloco I

+{12+02+12}+{12+02+12}+{12+02+12}+{12+02+12} referente ao bloco II=

= {32+26+38+18}+{2+2+2+2} = 114 + 8 = 122Nesse nosso exemplo os nmeros calculados indicam:

902,00 = 780,00 + 0 + 122

902,00 = 902,00 relao de igualdade.

Concluso: valeu nesse caso a relao:


Ser que essa relao, na presena de repeties, sempre vlida?

Segunda situao. Valores mdios dos blocos diferem de uma constante.


Blocos


Mdia dosblocosA B C D

22 31 30 39

14


15/27

I 408 3426 38 31 42

30 36 38 45Mdias dos

blocos

26 e 30 35 e 39 33 e 37 42 e 46

II

29 38 36 45

456 3830 39 37 46

31 40 38 47

Total 168 222 210 264 Total geral:864

Mdiageral: 36

Tratamentos N Mdia DP

1 6 28,00 3,41

2 6 37,00 3,223 6 35,00 3,58

4 6 44,00 2,97

Nesse caso, tambm, vale a relao:


998,00 = 780,00 + 96 + 122

Terceira situao. Vai aparecer o fator interao!Valores desiguais entre os valores mdios dos blocos em cada tratamento


Blocos


Mdia dos

blocosA B C D

I

22 31 30 39

408 3426 38 31 42

30 36 38 45Mdias dos

blocos26 e 32

difere de 635 e 51

difere de 1633 e 45

difere de 1242 e 48

difere de 6

15


16/27

II

27 47 42 44

528 4434 50 45 47

35 56 48 53

Total dascolunas

174 258 234 270 Total geral:936 Mdiageral: 39


A 6 29,00 4,98

B 6 43,00 9,51

C 6 39,00 7,38

D 6 45,00 4,77

Nesse caso, tambm, vale ainda a relao:

SQ Total = SQ COLUNA + SQ LINHA + SQ RESDUO.1874,00 = 912,00 + 600,00 + 254,00 ?? no (esse caso difere dos outros dois)

1874,00 = 1766,00 ?? Para que seja vlida essa relao de igualdade temos de acrescentar o

valor diferena = 1874,00 1766,00 = 108

Esse valor acrescentado ser denominado de SQ interao : soma de quadrados do fator interao

que aparece devido presena de repeties e da diferena entre os valores mdios dos blocos nos

tratamentos.

O grfico de mdias ajuda-nos a observar (e a verificar) a existncia do efeito interao.

16


17/27

Grupos

mdias

DCBA

50

45

40

35

30

25

Blocos

1

2

6

16

12

6

Figura 1. Grfico de mdias referente s seis condies experimentais.Ilustrao do efeito interao entre as duas variveis em estudo.

Para avaliar se essa diferena, entre os quatro valores diferenas, difere estatisticamente temos de

aplicar verificar se a razo F do efeito interao estatisticamente significante. Em um experimento

em blocos o efeito interao, em geral, no um efeito interessante, ou seja, avaliado. H uma

suposio inicial da inexistncia desse efeito interao.

Tabela W. ANOVA dois fatores para os dados do exemplo 3, terceira situao.Efeito gl SQ QM F P

Blocos 1 600,00 600,00 37,80 0,001

Tratam 3 912,00 304,00 19,15 0,001

Interao 3 108,00 36,00 2,27 0,120

Erro 16 254,00 15,88

Total 23 1874,00

Por meio do resultado do teste ANOVA 2 fatores, Tabela W, pde-se verificar que o efeitointerao estatisticamente no significante (p = 0,120 >0,05). Ento, podemos desconsiderar o valor

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18/27

Soma da Soma de Quadrados correspondente ao efeito interao (no caso foi de 108) e, assim,obtemos uma outra tabela ANOVA, a usual em experimento em blocos ao acaso, que desconsidera oefeito interao, Tabela Z mostrada a seguir.

Tabela Z. ANOVA dois fatores para os dados do exemplo 3, terceira situao.

Efeito gl SQ QM F PBLOCOS 1 600,00 600,000

TRATAM 3 912,00 304,000 15,96 0,0001

Erro 19 362,00 19,053

Total 23 1874,00

18


19/27

4) experimento inteiramente casualizado (CRD) com repeties.

Nesse item vamos considerar os experimentos que seguem um delineamento fatorial. No vamos

considerar fatores como blocos. Blocagem, agora, no nos interessa por um motivo de didtica,apenas.

Vamos considerar dois fatores, duas variveis experimentais, cujos efeitos sobre a unidade

experimental so avaliados pela varivel resposta. Esses efeitos, dessas duas variveis, nos interessam.

Queremos avali-los isoladamente, efeitos principais e, tambm, se houver repeties (caso mais

freqente, comum) vamos ter de nos enfrentar com o efeito interao. Que significa saber se h ou no

diferena entre as diferenas. O termo interao no apresenta, no jargo da estatstica, o mesmo

significado quando empregado na cincia biolgica. A Farmacologia, por exemplo, que considera a

interao entre as drogas, o efeito da mistura, da ao conjunta entre vrios medicamentos sobre a

pessoa em comparao com a ao individual desses medicamentos sobre a pessoa.

Considera-se, agora, como exemplo de um delineamento fatorial o mesmo exemplo anterior, mas

com uma alterao apenas. Dessa vez, no houve blocagem. No h o fator blocos. A casualizao dos

tratamentos no foi restrita aos blocos. No houve restrio alguma quanto ao sorteio dos tratamentos

s unidades experimentais. Porm, a forma de anlise dos dados anloga, ou seja, o mesmo

procedimento. O novo fator ser denominado de Termociclagem Mecnica, por exemplo, indicado por

TCM que apresentar dois nveis. O nvel I como ausncia e o nvel II como presena de TCM.

O outro fator, tratamentos, pode ser considerado como Tratamentos Superficiais apresentando

quatro diferentes nveis: Controle, Alumina, Rocatec e New.

A varivel resposta o resultado do teste de trao (em megapascal, MPa) obtido numa mquina

de ensaio universal.

A unidade experimental o corpo de prova em forma de cilindro.

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20/27

Exemplo 1. Dados de resistncia a trao (MPa) de um experimento fatorial (tipo 4 x 2)com trs repeties.

TCM

Tratamentos Superficiais Total daslinhas

Mdia dosnveis do

fator TCMA: controle B: alumina C: rocatec D: new

I: ausncia

22 31 30 39

408 3426 38 31 42

30 36 38 45mdias dos

nveis26 e 32

difere de 6

35 e 51difere de 16

33 e 45difere de 12

42 e 48difere de 6

II: presena

27 47 42 44

528 4434 50 45 4735 56 48 53

Total das

colunas

174 258 234 270Total geral:

936Mdia

geral: 39


A 6 29.00 4.98

B 6 43.00 9.51

C 6 39.00 7.38

D 6 45.00 4.77

Nesse caso, com repeties, vlida a seguinte relao entre as somas de quadrados:SQ Total = SQ COLUNA + SQ LINHA + SQ Interao + SQ RESDUO.1874,00 = 912,00 + 600,00 + 254,00 + SQ Interao

Assim SQ interao = 108.

Com o mesmo procedimento dos casos anteriores obtm-se a Tabela Y referente ao teste

ANOVA (2 fatores) dos dados.


Fator Linha = TCM = L-1 e no nosso exemplo 2 1 = 1

Fator Coluna = Tratamentos = G-1 e no nosso exemplo 4 1 = 3

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21/27

Total N-1 e no nosso exemplo 24 1 = 23 = (LCR) 1

onde R o nmero de repeties

Fator Interao determinado pelo produto dos graus de liberdade do fator na linha

pelo fator coluna = (L-1)(G-1) = (2-1)(4-1) = 3.O gl resduo dado pela diferena entre o gl do total em relao aos outros fatores, ou

seja, (24-1)-{(2-1)+(4-1)+(2-1)(4-1)) = 23- (1+3+3) = 23-7 = 16.

Ou o gl resduo dado pela frmula gl resduo = (LC)(R 1) onde R o nmero de

repeties; assim gl resduo = (2 x 4)(3-1) = 8 (2) = 16.

Tabela Y. ANOVA (2 fatores) dos dados de resistncia a trao (MPa) de um experimentofatorial (tipo 4 x 2) com trs repeties.

Efeito gl SQ QM F P

Tratamento 3 912,00 304,000 19,15 0,0001*TCM 1 600,00 600,000 37,80 0,0001*

Interao 3 108,00 36,000 2,27 0,1198

Erro 16 254,00 15,875

Total 23 1874,00

* p


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O efeito interao estatisticamente no significante. Assim, o relacionamento entre os nveis

do fator Termociclagem expressa mediante a perda de resistncia (diferena entre presena menos

ausncia) obtido no grupo controle praticamente a mesma perda de resistncia obtida nos demais

tipos de tratamentos superficiais, Figura Z.

Tratamentos Superficiais

M

Pa

DCBA

50

45

40

35

30

25

TCM

ausncia

presena

Figura Z. Grfico de mdias referente s seis condies experimentais. Perda de resistncia(indicada pela seta) devido ao da Termociclagem mecnica, TCM, em cada tipode tratamento.

Pode-se concluir mediante o resultado do teste ANOVA, Tabela Y, que h diferena

estatisticamente significante entre os quatro Tratamentos.

Para o fator Tratamentos, a hiptese H0(1 = 2 = 3 = 4 ) rejeitada.

Os valores mdios diferem!

Teste de comparao mltipla de Tukey (5%) para o efeito Tratamento Superficial

Por meio do Teste de Tukey (5%) obtm-se o valor HSD

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23/27

MSW = QM resduo = 15,875 ; n = 6; q crtico = 4,047; HSD = 6,5824

valores das diferenas a serem comparadas com o valor HSD ou dms.(=6,5824)Tratamentos Mdia A B C

A 29,000 ----B 43,000 14,000* ----

C 39,000 10,000* 4,000 ----

D 45,000 16,000* 2,000 6,000

Alfa (nvel de significncia) 0,05Valor Crtico Q 4,047Valor Crtico para Comparao = 6,5824Graus de liberdade do termo Erro (resduo) = 16

Formao de grupos homogneos aps a aplicao do teste de Tukey(5%)Tratamentos Mdia Grupos Homogneos*

D 45,000 AB 43,000 A

C 39,000 A

A 29,000 B

* mdias seguidas de letras diferentes diferem estatisticamente

Pode-se concluir, ainda, mediante o resultado do teste ANOVA, Tabela Y, que h diferena

estatisticamente significante entre os dois nveis entre o fator Termociclagem mecnica (TCM).

Assim, como so apenas dois nveis desse fator, no h necessidade de se efetuar um teste de

comparao mltipla como o teste de Tukey. Se os dois nveis diferem pode-se estabelecer que acondio de ausncia de Termociclagem menos resistente (34,006,77MPa) que a condio de

presena de Termociclagem (44,008,37MPa).

Quando se comparam as seis condies experimentais entre si, pelo teste de Tukey, obtm-se,

por exemplo, que a condio Tratamento A(controle) sem TCM a menos resistente (mdia igual a

26MPa) enquanto as mais resistentes so as condies Tratamentos B (alumina) e D(new) com TCM.

Outras consideraes podem ser ainda obtidas.

Trata TCM Mdia Grupos Homogneos*B 2 51 A

23


24/27

D 2 48 A

C 2 45 AB

D 1 42 ABC

B 1 35 BCD

C 1 33 CD

A 2 32 CDA 1 26 D

* mdias seguidas de letras diferentes diferem estatisticamenteAlfa (nvel de significncia) 0,05Valor Crtico Q 4,903Valor Crtico para Comparao = 11,278Graus de liberdade do termo Erro (resduo) = 16

...............................................................................................................

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Apndice

Clculo direto da Soma de Quadrados do Fator InteraoExperimento inteiramente casualizado. Planejamento fatorial (com repeties).

Experimento inteiramente casualizado. Planejamento fatorial.Mdicos psiquiatras de um centro de Trauma desenvolveram um programa para ajudar as

vtimas de danos cerebrais a conseguirem alcanar certo nvel aceitvel de independncia.No experimento participaram 27 pessoas com o mesmo grau de dano cerebral.O objetivo foi comparar diferentes combinaes de tratamentos psiquitricos e de

fisioterapias.Para cada pessoa foi designada uma das 9 diferentes combinaes de trs tratamentos

psiquitricos e de trs programas de fisioterapias. Houve trs sujeitos para cada combinao.A varivel resposta o nmero de meses de durao entre o indivduo da terapia e o tempo

no qual o paciente foi capaz de voltar a agir com independncia. Os resultados foram apresentados naforma de tabela mostrada a seguir.

Valores obtidos por 27 pessoas submetidas ao teste psiquitrico e ao programa de fisioterapia.

Programa defisioterapia

Tratamento psiquitrico

A B C

1 9 10 11 10 11 12 13 11 132 10 11 12 11 12 15 15 12 153 10 12 15 12 14 16 13 15 17

soma 100 113 124mdia 11,11 12,55 13,78

Soma geral = 337 ; Mdia geral = 12,48

vamos dispor os dados de uma forma conveniente para o clculo da SQ interaoPrograma

Fisioterapia

= Fator B

Tratamento Psiquitrico = fator ATotal

1 2 3

19

1011

101112

131113

100

total a1b1: 30 total a2b1: 33 total a3b1: 37

2

10 11 1511311 12 12

12 15 15total a1b2: 33 total a2b2: 38 total a3b2: 42

3

10 12 1312412 14 15

15 16 17total a1b3: 37 total a2b3: 42 total a3 b3: 45

100 113 124 337

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26/27

J sabemos - procedimento visto anteriormente -, como efetuar o clculo da SQ das linhas edas colunas. Ou seja, somo o total da coluna (ou da linha) e elevo ao quadrado e esse valor deve ser

dividido pelo nmero de elementos (tamanho da amostra, nmero de repeties) e, dessa soma geralsubtramos o fator de correo, FC = (X)2 / N).Agora, o procedimento bem parecido para se obter a SQ do fator interao.

O procedimento o seguinte:

1) Clculo da SQ AB ou SQ Tratamentos AB

as 9 condies experimentais (os 9 tratamentos: 3 x 3)

a1b1 a2b1 a3b1 a1b2 a2b2 a3b2 a1b3 a2b3 a3b3N 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Total: T 30 33 37 33 38 42 37 42 45T2 900 1089 1369 1089 144 1764 1369 1764 2025

T2 = 12813,00(12813,00) / 3 = 4271,00FC = (X)2 / N) = (337)2/27 = 4206,2593

SQ tratam AB = 4271,00 - (337)2/27 = 4271,00 4206,2593 = 64,7407

2) Clculo da SQ A. Clculo da SQ B.

Temos de obter essas somas porque a SQ interao obtida pela diferena entre o valorcalculado antes (SQ tratam AB) e a soma (SQA+SQB).SQ A ={(1002+1132+1242) / 9 FC} = (38145,00/9) 4206,2593 =4238,3333 - 4206,2593 = 32,0740

SQ B = {(1002+1132+1242) / 9 FC} = (38145,00/9) 4206,2593 =4238,3333 - 4206,2593 = 32,0740

3) Clculo da SQ interaoSQ trata AB = SQ A + SQ B + SQ interao SQ interao = SQ trata AB { SQ A + SQ B}

SQ interao = 64,7407 - {32,074 + 32,074} = 64,7407 - 64,148 = 0,593aprox.

SQ interao = 0,593Varincia do fator interao = { SQ interao = 0,593} / gl interao

O nmero de graus de liberdade (gl) do fator interao dado pelo produto (a-1)(b-1)no nosso exemplo, gl inter = (3-1)(3-1) = 4Portanto Varincia do fator interao = 0,593/4 = QM inter = 0,1481

Frmula do nmero de graus de liberdade (gl) na ANOVA 2 fatores de um experimento fatorial

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Efeito gl no nosso exemplo

A: a-1 3 -1 = 2

B: b-1 3 -1 = 2

Interao (A x B): (a-1)(b-1) (3-1)(3-1) = 2 x 2 = 4

Erro ab(r -1) (3)(3)[3-1] = 9 x 2 = 18

Total: N-1= abr-1 27-1 = 3(3)(3) 1 = 26r... corresponde ao nmero de repeties (no nosso exemplo 3)

27

anova 2 fatores prof. ivan

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