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ANOVA II
ANOVA II – Dados não relacionados
Utiliza-se a ANOVA II para dados não relacionados quando se testam duas variáveis, com duas ou mais situações para cada variável, utilizando casos diferentes em cada uma das situações de teste.
ANOVA II – Exemplo
Considere-se a variável saldo médio de agências bancárias do Norte e do Sul (A1 e A2) em dois momentos diferentes do estado da economia do país: crescimento e depressão (B1 e B2).
Dezasseis casos diferentes foram distribuídos por quatro situações de teste distintas: duas situações para cada uma das variáveis.
ANOVA II
Consulte o ficheiro
ANOVA II
Fontes de variância
Neste design existem duas variáveis, A e B, cada uma delas com duas situações, mais a interacção entre elas.
Comparativamente com ANOVA I não relacionado, a variância relativa a SQbet é aqui substituída pela variância de A, B e AB.
ANOVA II – Fontes de variância
Fonte de variância SQ gl MQ Rácio F
Variável A (região) SQA glA
Variável B (economia) SQB glB
A B (interacção) SQAB glAB
Erro Sqerro glerro
Total SQtot gltot
A
A
gl
SQ
erro
erro
gl
SQ
erro
A
MQ
MQ
AB
AB
gl
SQ
erro
AB
MQ
MQ
B
B
gl
SQ
erro
B
MQ
MQ
ANOVA II – Somas de quadrados
Para calcular SQA adicionam-se os quadrados dos totais das situações para a variável A de forma a poder-se calcular a variância predita nos resultados devida à variável A.
Para calcular SQB adicionam-se os quadrados dos totais das situações para a variável B, pela mesma razão.
Para calcular SQAB subtraem-se SQA e SQB de SQbet (variância total entre situações).
ANOVA II – Somas de quadrados
Para calcular todo o SQbet tem que se elevar ao quadrado e somar os totais para todas as quatro situações. O símbolo utilizado é T2
ab. Depois, divide-se pelo número de casos em cada situação (n).
Os parâmetros SQtot e SQerro são calculados da forma usual.Para SQtot adicionam-se os quadrados de todos os resultados individuais, uma vez que estes representam a variabilidade total nos resultados. SQerro é obtido subtraindo a SQtot todas as outras SQ.
ANOVA II – Graus de liberdade
Os gl são calculados de forma semelhante:
Os gl para SQA são o número de situações para a variável A menos uma.Os gl para SQB são o número de situações para a variável B menos uma.Os gl para SQAB são os gl para SQA multiplicados pelos gl para SQB.Os gl para SQtot são o número total de resultados menos um.Os gl para SQerro são a diferença entre gltot e os outros gl.
ANOVA II – Rácios F
Os rácios F para A, B e AB representam o tamanho das variâncias devidas à variável A, variável B e interacção AB entre as variáveis, em relação à variância do erro.
Para que o valor observado de F seja significativo terá que ser igual ou superior aos valores críticos de F provenientes da tabela.
ANOVA II
T2a Soma dos quadrados dos totais para as
situações AT2
a =452+402
T2b Soma dos quadrados dos totais para as
situações BT2
b =452+402
T2ab Soma dos quadrados dos totais para as
situações AB combinadasT2
ab =302+152 +152
+252
n Número de casos em cada situação n=4
N Número total de resultados N=16
Parâmetros de cálculo
ANOVA II
a Número de situações para a variável A a=2
b Número de situações para a variável B b=2
(x)2 Total dos totais ao quadrado (x)2 = 852
(x)2/N Constante a subtrair a todos os SQ
x2 Soma dos quadrados dos resultados individuais
Parâmetros de cálculo (cont.)
ANOVA II – Passo a passo
1. Cálculo de SQA
N
x
nb
TSQ a
A
22
5625,116
85
24
4045 222
ASQ
ANOVA II – Passo a passo
2. Cálculo de SQB
N
x
na
TSQ b
B
22
5625,116
85
24
4045 222
BSQ
ANOVA II – Passo a passo
3. Cálculo de SQAB
BA
abAB SQSQ
N
x
n
TSQ 22
0625,395625,15625,116
85
4
25151530 22222
ABSQ
ANOVA II – Passo a passo
4. Cálculo de SQtot
N
xxSQtot
2
2
4375,5516
85765753
34433576892
222222
2222222222
totSQ
ANOVA II – Passo a passo
5. Cálculo de SQerro
ABBAtoterro SQSQSQSQSQ
25,130625,395625,15625,14375,55 erroSQ
ANOVA II – Passo a passo
6. Cálculo dos graus de liberdade
ABBAtoterro glglglglgl
1A situações de número Agl
1Ngltot
1211115 errogl
112 Agl
15116 totgl
1B situações de número Bgl 112 Bgl
BAAB glglgl 111 ABgl
ANOVA II – Passo a passo
7. Cálculo dos MQ
A
AA gl
SQMQ
erro
erroerro gl
SQMQ
5625,11
5625,1AMQ
104,112
25,13erroMQ
B
BB gl
SQMQ 5625,1
1
5625,1BMQ
AB
ABAB gl
SQMQ 0625,39
1
0625,39ABMQ
ANOVA II – Passo a passo
8. Cálculo dos rácios F
erro
B
MQ
MQF 12,1
erro
A
MQ
MQF 12,1 415,1
104,1
5625,112,1 F
erro
AB
MQ
MQF 12,1
415,1104,1
5625,112,1 F
38,35104,1
0625,3912,1 F
415,1104,1
5625,112,1 F
ANOVA II – Passo a passo
Fonte de variância SQ gl MQ Rácio F
Variável A (região) 1,5625 1 1,5625 1,415
Variável B (economia) 1,5625 1 1,5625 1,415
A B (interacção) 39,0625 1 39,0625 35,38
Erro 13,25 12 1,104
Total 55,4375 15
9.
ANOVA II – Passo a passo
10. Consultar os rácios F na tabela e concluir.
Uma vez que os valores calculados (1,415) para as variáveis A e B são inferiores aos valores da tabela (4,75), aceita-se a hipótese nula e conclui-se que os efeitos da região e do estado da economia não são estatisticamente significativos (a 5% de significância) nas variações encontradas nos valores dos saldos.Contudo, o valor observado (35,38) para o rácio F, para a interacção AB, é superior ao valor crítico da tabela, pelo que se rejeita a hipótese nula e se conclui que o efeito conjunto das duas variáveis influencia significativamente os valores dos saldos.
75,4%)5(12,1 F
ANOVA II – SPSS
No SPSS, os dados devem ser organizados da seguinte forma:
Nota: as variável região e economia têm que ser numéricas (nominais).
Consulte o ficheiro
ANOVA II – SPSS
No menu, seleccionar:
Analyze General Linear Model Univariate...
Colocar a variável saldo na lista de variáveis dependentes.
Utilizar as variáveis região e economia como factores.
Premir OK.
ANOVA II – SPSS
A caixa de diálogo deverá ficar com a seguinte configuração:
ANOVA II – SPSS
O resultado é o seguinte:
Para as variáveis região e economia, a significância é superior a 0,05, aceita--se a hipótese nula e conclui-se que há não há diferenças estatisticamente significativas entre os saldos médios das agências das regiões consideradas. Para a interacção região*economia conclui-se de forma contrária.
Consulte o ficheiro
Tests of Between-Subjects Effects
Dependent Variable: Saldo médio das agências
42,187a 3 14,062 12,736 ,000
451,563 1 451,563 408,962 ,000
1,563 1 1,563 1,415 ,257
1,563 1 1,563 1,415 ,257
39,063 1 39,063 35,377 ,000
13,250 12 1,104
507,000 16
55,437 15
SourceCorrected Model
Intercept
REGIAO
ECONOMIA
REGIAO * ECONOMIA
Error
Total
Corrected Total
Type III Sumof Squares df Mean Square F Sig.
R Squared = ,761 (Adjusted R Squared = ,701)a.