apostila 01 erros i

7/21/2019 Apostila 01 Erros I

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Sumrio

1.1 INTRODUO..............................................................................................................................11.2 ERROS...........................................................................................................................................1

1.2.1 Erros sistemticos...................................................................................................................21.2.2 Erros acidentais ou aleatrios.................................................................................................2

1.3 DESIOS.......................................................................................................................................31.3.1 Des!io "#dio..........................................................................................................................31.3.2 Des!io Relati!o.......................................................................................................................$1.3.3 ari%ncia.................................................................................................................................$1.3.$ Des!io &adr'o e Des!io &adr'o da "#dia..............................................................................$1.3.( )s "edidas.............................................................................................................................(

1.3.(.1 Nota*'o +ient,-ica...........................................................................................................1.3.(.2 )l/arismos Si/ni-icati!os...............................................................................................01.3.(.3 Escre!endo o !alor de uma /randea..............................................................................1.3.(.$ randeas com4ostas....................................................................................................11

1.$ &ro5lemas e e6erc,cios.................................................................................................................127i5lio/ra-ia e 8eitura su/erida9..........................................................................................................1$

APOSTILA 01: ERROS E MEDIDAS

1.1 INTRODUO

) :,sica costuma ser considerada a ;ci esta de-ini*'o n'o est de

todo correta> 4ois di!ersas outras reas do con?ecimento necessitam e-etuar ou lidar com medidas.

)ssim> medidas 5em realiadas e a com4reens'o de seu si/ni-icado no esco4o terico@e64erimentals'o im4ortantes 4ara o tra5al?o t#cnico@cient,-ico. No caso da :,sica> as medidas indicar'o !alores

4ara o Aue c?amamos /randeas -,sicas> as Auais 4oder'o ser ent'o !aloradas 4or medidas diretas ou

4or um conBunto de medidas.

1.2 ERROS

)o e-etuarmos as medidas> os !alores o5tidos 4oder'o de4ender de al/uns -atores> al#m do

1


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4r4rio o5Beto de medida. S'o eles9 o a4arel?o de medida> a t#cnica utiliada na medida e a

?a5ilidade de Auem e-etua a medida.

Desta -orma> toda medida Creal a4resentar !alores Aue n'o corres4onder'o e6atamente aos

!alores 4reditos 4ela teoria ou ao !alor !erdadeiroCreal da /randea em Auest'o. Isto ocorre 4orAue

durante o 4rocesso de medida> estaremos suBeitos a erros> cuBa ori/em s'o os -atores citados no

4ar/ra-o anterior. Um a4arel?o de medida est suBeito a uma 4recis'o> 4ois sua 4r4ria conce4*'o

e constru*'o est'o suBeitas tam5#m a errosincerteas.

O erro Ce ent'o 4oderia ser de-inido como sendo a di-eren*a entre o !alor medido C6 de

uma /randea e o seu !alor !erdadeiro Creal CF. "atematicamente>

e=xX

)ssim> 4odemos classi-icar estes erros em duas cate/orias 4rinci4ais9 erros sistemticos e

erros acidentais ou aleatrios.

1.2.1 Erros sistemticos

Os erros sistemticos s'o aAueles Aue 4ossuem am4litudes 5asicamente constantes> ou seBa>

a-etam 4raticamente sem4re da mesma -orma a medida. Estes erros /eralmente tem ori/em nos

a4arel?os ou t#cnicas de medida> 4or e6em4lo9a na cali5ra*'o e escalas do a4arel?oG

5 na 4recis'o ou Aualidade do eAui4amento de medida> etcG

Estes erros 4odem ser minimiados ao se utiliar eAui4amentos mais 4recisos ou do

treinamento dos o4eradores.

1.2.2 Erros acidentais ou aleatrios

Estes erros s'o decorrentes de -atores n'o constantes e 4or isso a-etam os !alores dasmedidas de -orma di-erente cada !e Aue s'o realiadas. Suas ori/ens normalmente est'o

relacionadas H 4essoa Aue e-etua a medida Co4erador e 4odem incluir9

a Cina?a5ilidade do o4eradorG

5 4arala6e ao se medir em escalas anal/icas> etc.

Os erros acidentais tam5#m 4odem ocorrer de!ido a !aria*es am5ientais ocorridas durante

as medi*es> ou seBa> 4odem de4ender da !aria*'o de -atores como tem4eratura> umidade>

!i5ra*es> dentre outros> e s'o minimiados> no!amente> atra!#s do treinamento dos o4eradores e

na manuten*'o das condi*es em Aue as medidas s'o e-etuadas.

2


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1.3 DESVIOS

Juando realiamos medidas de uma determinada /randea> nem sem4re con?ecemos Cou

4odemos con?ecer o !alor real de tal /randea. 8o/o> de!emos tra5al?ar com o seu !alor mais4ro!!el. Neste caso> de!emos realiar o maior nKmero de medidas 4oss,!el da /randea ou as

;mel?ores= medidas 4oss,!eis. Ent'o> o !alor mais 4ro!!el C X de uma /randea ser o !alor

m#dio destas medidas9

X=i=1

n

xi

n i=1,2,3,4,...,n

+ontudo> como !imos anteriormente> as medidas est'o acom4an?adas 4or erros.

Normalmente> no caso de n'o con?ecermos o !alor real> mas sim o !alor mais 4ro!!el> estes erross'o c?amados de des!ios. )ssim> o des!io # a di-eren*a entre o !alor de uma medida e o !alor mais

4ro!!el da /randea Aue se est medindo. "atematicamente> o des!io da medida de nKmero i#

dado 4or9

di=x iX

O estudo dos des!ios de todas as medidas nos 4ermite in-erir so5re a dis4ers'o dos !alores

encontrados em torno do !alor mais 4ro!!el.

Fig. 1: ! " #r$%i&'o " $()i*'o+ ,! - #r$%i&'o " $()i*'o+ %! " #r$%i&'o - $()i*'o+ *! - $()i*'o - #r$%i&'o

1.3.1 Desvio Mdio

O des!io m#dio # a m#dia dos mdulos dos des!ios Ca5solutos das nmedidas e-etuadas9

=i din

i=1,2,3,4,...,n

3


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=

ixiX

n i=1,2,3,4,...,n

1.3.2 Desvio Relativo

L a ra'o entre o des!io m#dio e o !alor Cmais 4ro!!el m#dio da /randea> ou seBa> # um

nKmero adimensional C4odendo ser e64resso em 4orcenta/em9

dr=

X

dr=

ix iX

n

X i=1,2,3,4,...,n

1.3.3 Varincia

) !ari%ncia # m#dia aritm#tica da soma dos Auadrados dos des!ios a5solutos9

s=i

n

(x iX)2

n1i=1,2,3,4,...,n

1.3.4 Desvio Padro e Desvio Padro da Mdia

O des!io 4adr'o Cou des!io Auadrtico m#dio # dado 4ela rai Auadrada da !ari%ncia9

=s

=

i

n

(x iX)2

n1

12

e nos -ornece uma estimati!a da dis4ers'o das medidas> mostrando Aue no inter!alo a

medida tem M de c?ance de estar em torno do /or m*ioda /randea.

o des!io 4adr'o da m#dia ser dado 4or9

m=s

n=

n

m=

i

n

(xiX)2

(n1)n

12

e nos mostra Aue no inter!alo m

o !alor m#dio tem M de c?ance de estar em torno do /or

$r**$iroda /randea.

$


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1.3. !s Medidas

Juando e-etuamos medidas> estamos suBeitos H 4recis'o de nossos instrumentosa4arel?os

de medida. &or e6em4lo> ao medirmos um com4rimento com uma r#/ua Ccomum escolar> a menor

di!is'o a4resentada # o mil,metro Cmm. &ortanto> medidas e6atas in-eriores a 1mm Cum mil,metro>

n'o s'o 4oss,!eis com este ti4o de instrumento. Tais medidas 4oderiam ser e-etuadas mediante o

uso de um 4aAu,metro ou um micrPmetro.

Fig. 02: E($m#/o *$ rgu $&%o/r.

Fig. 03: E($m#/o& *$ #um$)ro& /4gi%o $ *igi)/5 r$$%)im$)$.

Fig. 06: E($m#/o& *$ mi%r7m$)ro& /4gi%o $ *igi)/5 r$$%)im$)$.

"as> ainda assim> 4odemos escre!er as medidas com a -ra*'o do mil,metro usando uma

r#/ua escolarQ &or Au 4odemos !eri-icar Aue as e6tremidades est'o

(


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entre duas marca*es Cde mil,metros. )ssim> 4odemos indicar um 4oss,!el !alor 4ara esta 4osi*'o.

&or e6em4lo> !eBa a -i/ura a se/uir9

Fig. 08: E($m#/o *$ m$*i* %om rgu $&%o/r.

&oder,amos su/erir Aue a medida desta c?a!e # de (>11 cm Ccinco cent,metros e one

mil,metros... ou (>13 cm e at# mesmo (>1( cm. "as di-icilmente dir,amos Aue ela mede (>2 cm. O-ato da 4onta da c?a!e 4assar um 4ouco da marca*'o de (>1 cm> 4ermite@nos escre!er sua medida

com al/uma incertea. Normalmente> em um instrumento como este> 4odemos atri5uir uma

incertea Aue corres4onde H metade da menor di!is'o> ou seBa> uma incertea de >( cm Cou >(

mm. +ontudo> nada im4ede Aue escre!amos o !alor como no in,cio do 4ar/ra-o.

1.3..1 "ota#o $ient%&ica

) nota*'o mais usual 4ara nossas medidas corres4onde H c?amada nota*'o cient,-ica. Nesta>

con!enciona@se /ra-ar as medidas e !alores utiliando@se a 5ase 1 da se/uinte -orma9

a 4rimeiro escre!emos o !alor de nossa medida na unidade Aue nos # con!enienteG !amos

su4or Aue ten?amos medido nossa c?a!e em mil,metros> ou seBa> ten?amos o5tido o !alor 9 8152

mmQ

5 alteramos a 4osi*'o da !,r/ula de -orma a termos a4enas um al/arismo CnKmero

di-erente de ero H sua esAuerda> ou seBa9 8512 mmGc contamos Auantas casas Cal/arismosnKmeros a !,r/ula 4recisou se mo!imentarG no

nosso e6em4lo9 uma casa. Escre!emos o nKmero o5tido no item 5 e o multi4licamos 4or 1 ele!ado

ao e64oente corres4ondente ao nKmero de casas> sendo Aue se a !,r/ula se mo!eu 4ara a esAuerda> o

e64oente ser 4ositi!o e !ice@!ersa. 8o/o> -icamos com o !alor9 8512.101mm.

&erce5a Aue continuamos com o mesmo !alor> apenas sua /ra-ia se modi-icou. Outros

e6em4los9i (.M0.M0>3 (>M0M03.1 ii >$(0 $>(0.1V(


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iii 123M$> 1>23M$.1$ i! >112$ 1>12$.1V0

1.3..2 !l'arismos (i'ni&icativos

Ent'o> nossas medidas ser'o escritas da se/uinte -orma9 colocaremos todos os al/arismos

CnKmeros dos Auais temos ;certea=> ou seBa> aAueles Aue 4odem ser !isualiados -acilmente nos

instrumentos anal/icos Auando e-etuamos as medidas com cuidado e aten*'o> mais o al/arismo

re-erente H nossa incertea9

No nosso caso> em rela*'o HAuela Knica medida> ter,amos o se/uinte nKmero9

Os tr 1 e 2 re4resentam o Aue c?amamos de al/arismos si/ni-icati!os>

sendo Aue os 4rimeiros s'o c?amados de al/arismos certos e o Kltimo # con?ecido como al/arismo

du!idoso.

L im4ortante sa5ermos tam5#m Aue9

@ na nota*'o cient,-ica> a 5ase 1 n'o conta como al/arismo si/ni-icati!oQ

@ os eros H esAuerda do 4rimeiro al/arismo Cleitura da esAuerda 4ara a direita n'o s'o

considerados al/arismos si/ni-icati!os. &or e6em4lo> o !alor >3$3 a4resenta )r9&al/arismos

si/ni-icati!os e n'o oitoQ +ontudo> >3$3 4ossui u)roal/arismos si/ni-icati!osQ O ero H

direita contaQQ

Outros e6em4los9

V/or Nm$ro *$ /gri&mo&

&igi;i%)io&

V/or Nm$ro *$

/gri&mo&&igi;i%)io&

>M 2 >1 1

0(> ( 1>

1>2$M$ ( 1>M.13 3

1M> $ > 3

Os clculos com al/arismos si/ni-icati!os de!em le!ar em considera*'o o ti4o de o4era*'o

matemtica> mas 4rinci4almente o nKmero de al/arismos si/ni-icati!os. Nestas o4era*es> os

0


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resultados tam5#m le!ar'o em conta a Auest'o do c?amado arredondamento. Ent'o> iniciaremos 4or

este Kltimo9

)@ )rredondamento9

&ara o arredondamento> teremos de o5ser!ar o !alor do 4rimeiro al/arismo Cos demais

al/arismos s'o descartados a4s o Kltimo al/arismo si/ni-icati!o e se/uiremos as se/uintes re/ras9

i! &$ o /or ;or m$or u$ 8: m)m(213 3>(

caso ii 2>0M83 2>0M

1>(83 1>

caso iii >M0=2( >MM

7 V Soma e Su5tra*'o

Neste caso> mantemos o menor nKmero de al/arismos si/ni-icati!os 4resentes em um dos

termos utiliados9

i (>00 V 3>1 2>> ? 2>0

ii $M> W 23$>($ $333>(($ $333> $>333.1X Cem nota*'o cient,-ica

iii e6ce*'o9 M W 23>3$ 13>3$ >13.1X caso o 4rimeiro termo seBa umaconstanteQ

M W 23>3$ 13 >1.1Y caso o 4rimeiro termo n'o seBa uma

constante> termine em ero e n'o casa decimal> n'o 4odemos ter certea se o Kltimo ero # um

al/arismo si/ni-icati!o. 8o/o> consideramos a4enas o > o 4rimeiro e o M como tal> ou seBa> temos

a4enas tr


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al/arismos si/ni-icati!os9

i (>00 6 3>1 10>@000 10>1

ii (>003>1 1>MM=... 1>M

iii e6ce*'o9 3$(>2(2 102>2( 1>02=2(.1Z 1>03.1Z Csendo 2 uma constante

3$(>2(2 102>2( 1>>22(.1Z 2.1Z Cn'o sendo 2 uma constante

1.3..3 Escrevendo o valor de uma 'rande)a

)4s estes estudos> es4ecialmente so5re a da incertea em uma medida> 4erce5emos Aue #

interessante Aue -a*amos !rias outras medidas e nos utiliemos dos con?ecimentos Aue adAuirimosso5re des!ios> 4ara 4odermos escre!er o !alor mais 4ro!!el 4ara uma /randea. Desta -orma>

4oderemos escre!er este !alor da se/uinte -orma9

x=Xm

ou seBa> o !alor mais 4ro!!el da /randeax# o !alor m#dio C X Aue encontramos atra!#s das

medidas mais o inter!alo m -ornecido 4elo des!io 4adr'o da m#dia.

&or#m> escre!er o !alor da /randea da -orma e64osta no 4ar/ra-o anterior ainda n'o # o

su-iciente. Isto ocorre 4orAue n'o le!amos em considera*'o o erro 4ro!eniente do 4r4rio

instrumento de medida. +omo dissemos no in,cio da se*'o so5re medidas> normalmente utiliamos

como erro do instrumento C i > 4rinci4almente os anal/icos> a metade do !alor da menor

di!is'o deste. &or e6em4lo> no caso da r#/ua escolar /raduada em mil,metros> t,n?amos um erro de

>( mm. Os instrumentos di/itais normalmente indicam Aual seu erro no manual ou no cor4o do4r4rio a4arel?o.

Ent'o> 4ara Aue 4ossamos escre!er corretamente o !alor da /randea> calculamos o *$&io

#*r'o ;i/9

f=m2 + i

2

8o/o>


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x=X f

&oder,amos ainda> e64ressar os !alores do des!io 4ara /randeas calculadas a 4artir de

outras Aue 4odem ser medidas> como o !olume de um cu5o sendo calculado a 4artir da medida de

sua aresta. Neste caso> o des!io de!e ser calculado da se/uinte -orma9

+omo e6em4lo> !amos su4or Aue e-etuamos !rias medidas 4ara a c?a!e a4resentada

anteriormente e encontramos os se/uintes !alores9

M$*i* i! V/or *i! $m %m! M$*i* i! V/or *i! $m %m!

1 (>12 11 (>12

2 (>1( 12 (>0

3 (>13 13 (>M

$ (>1 1$ (>11

( $>M 1( (>1(

(>11 1 (>13

0 (>M 10 (>1

M (>1$ 1M (>12

(> 1 (>0

1 (>M 2 (>

&odemos ent'o calcular9

a a m#dia9 X=x in =

12>12

(>11 (>1 cm

5 os des!ios9

M$*i* i! x iX |x i X|2 M$*i*

i!x iX |x i X|

2

1 >2 >$ 11 >2 >$

2 >( >2( 12 @>3 >3 >3 > 13 >M >$

$ > > 1$ >1 >1

( @>12 >1$$ 1( >( >2(

>1 >1 1 >3 >

0 @>2 >$ 10 > >

M >$ >1 1M >2 >$

@>1 >1 1 @>3 >

1 @>2 >$ 2 @>1 >1

1


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8o/o> o des!io 4adr'o ser9

=

i

n

(xiX)2

n1

12

=(>33$1 )12=>10(0M$0

12=>$1202((3>$ cm

e o des!io 4adr'o da m#dia ser9

m=n

=S>S$

2S=S>SSM$$201S>S1 cm

Se o erro da r#/ua -or estimado como sendo metade da menor di!is'o9

i=S>S( cm >

o !alor do des!io 4adr'o -inal ser9

f=m2 + i

2=>12+>(2=>(1(1=>( cm

E> 4ortanto> a medida do com4rimento da r#/ua 4oder ser escrita como9L=((>1>()cm

1.3..4 +rande)as com,ostas

Su4on?amos Aue a /randea a ser calculada seBa re4resentada 4ela letra -e esta de4enda

das /randeas*>e) C4odendo ?a!er mais /randeas en!ol!idasQ9

TT(x , z , z)

+ada /randea Aue 4ode ser medida a4resenta seu des!io Cou somente do instrumento ou>mel?or ainda> o des!io 4adr'o -inal9

T(x , y , z)T xx y y zz

Ent'o> o des!io da /randea com4osta ser dado 4or9

T2=Tx

2

x2+Ty

2

y2+Tz

2

z2

sendo Aue Tx indica o mdulo da deri!ada 4arcial de Tem -un*'o da !ari!elx> e assim 4ordiante. )s deri!adas mostram as ta6as de !aria*'o de uma /randea em -un*'o de outra e nos

nossos casos> as deri!adas normalmente ser'o aAuelas de monPmios9

F(x)=a.xn dF

dx=

d

dxa.x

n=n.a.xn1

&ortanto> a /randea Tseria escrita como sendo TT .

&or e6em4lo> !amos su4or Aue medimos os lados> a e b> de um ret%n/ulo de 4a4el e

encontramos as se/uintes medidas9

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a C(> [ >3 cm e 5 CM>2 [ > cm

+omo a rea ser dada 4or

A = a.b (>6M>2 $1 cmZ

A2=Aa

2

a2+A b

2

b2=b2.a

2+a2.b2=M>22.>32+(>2 .>2=1(>(1

A=3>M0=$ cm2

)ssim> escre!eremos o !alor da rea como

!? 61 B 6! %mC.

1.6 Pro,/$m& $ $($r%%io&

1 Escre!a os nKmeros a se/uir em nota*'o cient,-ica9

a >$( / M.$>$.1V

5 3.M>M0 ? >(0.13c 2.3.(.$(> i >02$.1V3

d >12 B 2>3.1X

e 3($>$(.1 \ 1M>.1Z

- >10$(.1V$

2 Reescre!a os !alores a se/uir de acordo com o nKmero de al/arismos si/ni-icati!os

solicitados9

V/or N *$ /gri&mo&&igi;i%)io&

V/or N *$ /gri&mo&&igi;i%)io&

a 3$3(>M12 ? >(( 1

5 3$3(>M12 ( B >(( 2

c 2>M$2 ( \ M>(1$(

d 2>M$2 2 l M>(1$( $

e 2>M$2 1 m M>(1$( 2

- 1>2(.1X $ n 13.M22>M

/ 1>2(.1X 1 n 13.M22>M 2

12


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3 Usando o Aue !imos so5re nKmeros si/ni-icati!os> calcule9

a >362>3$M 5 12$(6>$

c $(0M> >12323M d M0>0 W 2(>2

e 3>3 V 2>M - >3 V 1>3$(

/ 1>1 V 3$(

$ Reescre!a os resultados do e6erc,cio anterior usando nota*'o cient,-ica.

( Uma r#/ua /raduada em cent,metros -oi utiliada 4ara medir o com4rimento de uma

sala> tendo@se o5tido os !alores a4resentados na ta5ela a se/uir. Escre!a o !alor m#dio mais

4ro!!el do com4rimento desta sala> acom4an?ado do res4ecti!o des!io 4adr'o -inal.

M$*i* i! V/or *i! $m m! M$*i* i! V/or *i! $m m!

1 >1M 11 >10

2 >2 12 >23

3 >1 13 >22

$ >22 1$ >2

( >2( 1( >21 >2 1 >1M

0 >10 10 >21

M >2 1M >1

>21 1 >1M

1 >2( 2 >23

Utiliando uma r#/ua escolar> realie 3 Ctrinta medidas de uma das dimensesCcom4rimento> lar/ura ou alturaG di%metro> raio> etc de um o5Beto AualAuer e escre!a o !alor m#dio

mais 4ro!!el desta dimens'o> acom4an?ado do res4ecti!o des!io 4adr'o -inal. Na resolu*'o do

4ro5lema> inclua os clculos e uma -oto/ra-ia do o5Beto sendo medido> de -orma a 4ermitir a

!isualia*'o da escala da r#/ua utiliada Ccomo o Aue ocorreu na :i/. (Q. N'o # necessrio editar

a ima/em.

0 Escre!a em nota*'o cient,-ica as se/uintes medidas> utiliando@se de a4enas 3al/arismos si/ni-icati!os9

13


14/14

a >13M0 e 30$>.1V1

5 13>0 - >1(00.1

c 3.(.$(> / >0M2$.1VM

d >112

i,/iogr;i $ L$i)ur &ug$ri*:

DUR]N> .E.R. io;&i%: ;u*m$)o& $ #/i%G$&. S'o &aulo9 &earson> 23.

)UDIO> ).+. T$ori *o& Erro&. Em9 4ro-anderson.net-ilesdisci4linasTeoria^deêrros.4d-IT). T$ori *o& Erro&. Em9 ?tt49___.-is.ita.5rla5-is2$erroserroste6tosteorêrros1.?tm

U:7). T$ori *o& Erro&. Em9 ___.-is.u-5a.5rd-es-is3Teoria^dosÊrros.4d-

1$
http://www.fis.ita.br/labfis24/erros/errostextos/teor_erros1.htmhttp://www.fis.ufba.br/dfes/fis3/Teoria_dos_Erros.pdfhttp://www.fis.ita.br/labfis24/erros/errostextos/teor_erros1.htmhttp://www.fis.ufba.br/dfes/fis3/Teoria_dos_Erros.pdf

apostila 01 erros i

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