apêndice - wordpress.com · regime de juros compostos, é obtido pela expressão (4.1) do...

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................2

2. SIMBOLOGIA ADOTADA E DIAGRAMA PADRÃO ..................................2

3. RELAÇÃO ENTRE PV E FV ............................................................................2

3.1. DADO PV ACHAR FV: FATOR (FV/PV) ................................................3

3.1.1. EXEMPLOS NUMÉRICOS ...........................................................5

3.2. DADO FV ACHAR PV: FATOR (PV/FV) ...............................................6

3.2.1. EXEMPLOS NUMÉRICOS ...........................................................7

3.3. PROBLEMAS RESOLVIDOS ...................................................................9

4. RELAÇÃO ENTRE FV E PMT ......................................................................15

4.1. DADO PMT ACHAR FV: FATOR (FV/PMT) ....................................... 16

4.1.1. EXEMPLOS NUMÉRICOS ......................................................... 17

4.2. DADO FV ACHAR PMT – FATOR (PMT/FV) .................................... 19

4.2.1. EXEMPLOS NUMÉRICOS .........................................................20

4.3. PROBLEMAS RESOLVIDOS ................................................................. 21

5. RELAÇÃO ENTRE PV E PMT ......................................................................25

5.1. DADO PMT ACHAR PV: FATOR (PV/PMT) .......................................26

5.1.1. EXEMPLOS NUMÉRICOS ......................................................... 27

5.2. DADO PV ACHAR PMT: FATOR (PMT/PV) .......................................28

5.2.1. EXEMPLOS NUMÉRICOS .........................................................30

5.3. PROBLEMAS RESOLVIDOS .................................................................30

6. CONCLUSÃO .................................................................................................32

CUso de Tabelas Financeiras

Apêndice

Book Apendices.indb 1 4/18/11 12:33 PM

2 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a

1. Introdução

Os principais objetivos desse material são:

• apresentaraoleitoroUsodasTabelasFinanceiras,métodotradicionaldamate-mática financeira na solução de problemas mediante a utilização única e exclusiva de fatores prestabelecidos;

•permitirqueo leitor se familiarize comessas tabelas e aprendaa solucionarproblemasatravésdessemétodotradicional,quefoiaplicadoduranteanosequehojeaindaéutilizadoemsituaçõesemquenãoépossíveloacessoacalculadorase/ouplanilhas,comoéocasodeconcursospúblicos.

Apesardasimensasvantagensdascalculadorasfinanceirasedasplanilhaseletrônicas,quedisponibilizamtodasasinformaçõesnecessáriasparaaelaboraçãodosproblemas,éimportantequeoleitorsaibautilizarosfatores(pré-calculados)dasTabelasnasoluçãodeproblemasdematemáticafinanceira,pois,narealidade,ascalculadorasfinanceiraseasplanilhaseletrônicasnadamaisfazemdoquecalcularinstantaneamenteosfatoresdas tabelas para os parâmetros desejados.

AstabelasutilizadasaodolongotextoestãodisponíveisnoarquivoTabelasFinan-ceiras,emExcel.

2. Simbologia Adotada e Diagrama Padrão

VamosadotarasimbologiaeasconvençõesdefinidasnoDiagrama Padrão doCapí-tulo1.Parafacilitaraapresentaçãodasfórmulasedosfatores,desdobramosoDiagramaPadrãoemtrêsdiagramasquerelacionamPV com FV, PV com PMT,e FV com PMT.

3. Relação entre PV e FV

A parte do Diagrama Padrãoquerepresentaosparâmetrosdesseproblemaestáindicada a seguir:

Relação entre PV e FV

0 1 2 … n-1 n

PV

i i i i i

FV


3Apêndice C – Uso de Tabelas Financeiras

3.1. Dado PV Achar FV: Fator (FV/PV)

O valor futuro FV oumontante,resultantedaaplicaçãodeumprincipal PV, durante n períodos de capitalização, com uma taxa de juros i por período, noregimedejuroscompostos,éobtidopelaexpressão(4.1)doCapítulo4,que está indicada a seguir:

FV = PV [(1 + i)n] (C.l)

onde a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve coincidir com a unidade referencialdetempoutilizadaparadefinironúmerodeperíodosn.

O problema envolvendo o cálculo do valor futuro FV a partir do valor presente PV consistenasoluçãodaexpressãogenérica(C.1), onde a relação [(1+ i)n] precisa ser calculada para os parâmetros i e n.

A expressão [(1+ i)n] podesercalculada,paraqualquervalorde i e de n, com a utilização da calculadora HP 12 C ou da Planilha EXCEL, mediante a utilização do Esquema Padrão desenvolvido nos Apêndices A e B.

Alternativamente,essaexpressãopodeteroseuvalorpreviamentecalculadoparadiversos valores de i e de n einformadoatravésdeTabelasFinanceiras,comoasindi-cadas neste texto.

A relação (C.1) permite escrever:

[(1 + i)n] = FV/PV

Assimaexpressãogenérica[(1 + i)n] éigualaofator(FV/PV), queestátabeladonaPcolunadasTabelasFinanceiras(arquivoemExcel),paradiversosvaloresdei e de n. Arepresentaçãogenéricadessefatorestáindicadaaseguir:

(FV/PV; i %; n) = [(1 + i)” ] (C.2)

Dessaforma,arelação(C.1)passaater,então,aseguinteapresentação:

FV = PV x (FV/PV; i %; n) (C.3)

Pelaexpressão(C.3)ovalorfuturoFVé obtido pela multiplicação do valor presente PV pelofator(FV/PV;i%;n),quecorrespondeaumfatorobtidopelaavaliaçãodaexpressão (1+ i)n, a partir dos parâmetros i e n.

Podemos então elaborar uma tabela quepermite obter o valor dessa expressãoapenaspelapesquisadosparâmetrosi e n. Porexemplo,atabelade1%(arquivoemExcel) fornece na sua 1a coluna o tabelamento desse fator para diversos valores de n,conforme indicado a seguir:



Taxa por Período = 1,00 %

Períodos n Dado PVAchar FV

FV/PV

01 1,01000

02 1,02010

03 1,03030

04 1,04060

05 1,05101

06 1,06152

Assim,porexemplo,temos:

(FV/PV; 1 %; 6) = (1,06152) = (1 + 1%)6

Poressetrechodessatabelapodemosconcluirqueumprincipalde$1,00,capitali-zadocomessataxade1%porperíodo,produzosseguintesvaloresfuturos:

• $1,01000nofinalde1período(n=1);

• $1,02010nofinalde2períodos(n=2);

• $1,03030nofinalde3períodos(n=3);

• $1,06152nofinalde6períodos(n=6).

Se na relação (C.3) fizermosPV=$1,00,podemosescrever:

FV = (FV/PV; i %; n)

Dessaforma,osfatores(FV/PV) de uma determinada tabela representam os va-lores futuros FV de valores presentes unitários (PV = $1,00), ouseja,equivalemaocrescimento no tempo (n)degrandezasunitárias,comumataxadejurosiporperíodo.

AsTabelasFinanceiras,disponíveisatravésdoarquivoemExcel,foramelaboradasusandoasimbologiadesenvolvidanoCapítulo1edentrodosseguintesprincípios:

a) cadafolhadaTabelacorrespondeaumaúnicataxadejuros.Assim,todososfatores de uma mesma folha da Tabela estão calculados para uma mesma taxa de juros i;

b) cada linhadaTabelacorrespondeaumúnicovalordonúmerodeperíodos(n)e,portanto,todososfatoresdeumamesmalinhaestãocalculadosparaummesmo valor de n;

c) cadacoluna,numtotaldeseis,representaumafatore,portanto,umaexpressãoalgébricaenvolvendoi e n.Porexemplo,a1a coluna corresponde ao fator (FV/PV, i%,n), cuja fórmulae (1+ i)n,queéusadopara resolverproblemasdotipo "Dado PV Achar FV". As fórmulas das demais colunas são demonstradas posteriormente;



d) todos os seis fatores são multiplicativos. Assim,porexemplo,FV éobtidoapartirdePV,multiplicando-sePVpelofator(FV/PV;i%;n).Damesmaforma,PVéobtidoapartirdeFV,multiplicando-seFVpelofator(PV/FV;i%;n)da2a coluna;

e) astabelasnãomencionamaunidadedetempodosperíodos,nemoperíodode capitalização da taxa de juros. Elas foram elaboradas para taxas de juros por período.Dessemodo,éindispensávelqueaunidadereferencialdetempodosperíodoscoincidacomaunidadereferencialdotempodataxadejuros.Ousuáriodastabelaséquedevefixaressasunidades.Porexemplo:

• Atabelade8%podesignificar8%aosemestre,enessecasoosperíodosdevem corresponder a semestres;

• Atabelade8%tambémpodesignificar8%aoano,eagoraosperíodosdevem corresponder a anos.

3.1.1 Exemplos Numéricos

Determineovalordofator(FV/PV;1,5%;24).

Solução:

DevemosinicialmentelocalizaratabelacomaTaxaporPeríodoiguala1,5%.Nessatabeladevemosprocurarainterseçãodalinhacorrespondentean=24coma1a coluna eencontrarovalorde1,42950paraofator(FV/PV).

Omesmovalorpode,ainda,serobtidopelaexpressão(C.2), istoé:

(FV/PV ; 1,5 % , 24) = (1 + 1,5 %)24 = 1,42950

2. Determineovaloracumuladonofinalde12semestres,noregimedejuroscom-postos,comumataxaefetivade10%aoano,apartirdeuminvestimentoinicial(principal) de$1.000,00.

Solução:

n =12semestres=6anos

i =10%aoano

PV =$1.000,00

FV =?

A partir da relação (C.3.) podemos escrever:

FV=PVx(FV/PV;10%;6)

Atabelade10%fornece,nalinhacorrespondentean = 6,oseguintevalorparaofator (FV/PV):



(FV/ PV ; 10 % ; 6) = 1,77156

Assim,temos:

FV = $1.000,00 x (1,77156) = $ 1.771,56

3.2 Dado FV Achar PV: Fator (PV / FV)

Apartirdaexpressãogenérica (C.1) podemos obter a seguinte relação:

PV = FV [ 1/(1 + i)n] (C.4)

A relação (CA) permite escrever:

[1/(1 + i)n] = PV/ FV

Assim,aexpressãogenérica [1/(1 + i)n] éigualaofator(PV/FV),queestátabeladona 2acolunadasTabelasFinanceiras,paradiversosvaloresdei e de n. A representação genéricadessefatorestáindicadaaseguir:

(PV/FV, i %, n) = [1/(1 + i)n] (C.5)

A relação (CA) passaater,então,aseguinteapresentação:

PV = FV x (PV/FV, i %, n) (C.6)

Pela expressão (C.6) o valor presente PV éobtidopelamultiplicação do valor futuro FV pelofator(PV/FV;i%;n),quecorrespondeaumfatorobtidopelaavaliaçãodaexpressão[1/(1+i)n],apartirdosparâmetrosi e n.

Porexemplo,atabelade1%fornece,nasua2acoluna,otabelamentodessefatorpara diversos valores de n, conforme indicado a seguir:


Períodos n Dado FV Achar PV

PV/FV

01 0,99010

02 0,98030

03 0,97059

04 0.96098


(PV/FV ; 1 % ; 4) = (0,96098) = [1/(1 + 1 %)4]

Poressetrechodessatabela,podemosconcluirqueumvalorfuturounitário(FV = $1,00) descontadocomessataxade1%porperíodoproduzosseguintesvalorespresentes:



• $0,99010,nofinalde1períododedesconto(n=l);

• $0,98030,nofinalde2períodosdedesconto(n=2);

• $0,97059,nofinalde3períodosdedesconto(n=3);

• $0,96098,nofinalde4períodosdedesconto(n=4).

Se na relação (C.6) fizermosFV=$1,00,podemosescrever:

PV = (PV/FV; i %; n)

Dessa forma, os fatores (PV/FV), de umadeterminada tabela, representamosvalores presentes PV de valores futuros unitários (FV = $1,00), colocados no final de períodosdeordemn.

Observarpelasrelações(C.2)e(C.5)queofator(FV/PV;i%;n)éoinversodofator(PV/FV;i%;n).Ofator(FV/PV),sempre≥1,“empurra”umagrandezaunitáriaparafrente(futuro),aumentandooseuvalor,aopassoqueofator(PV/FV),sempre ≤1,“puxa“umagrandezaunitáriaparatrás(presente),diminuindooseuvalor.


1. Determine o valor do fator (PV/FV; 1 %; 18).

Solução:

Localizeatabelade1%noarquivoemExcel.Agora,localizeainterseçãodalinha18 com a 2acoluna,ovalorde0,83602paraofator(PV/FV).

Omesmovalorpode,ainda,serobtidopelaexpressão(C.S):

(PV/FV; 1 %, 18) = [1/(1 + 1 %)18] = 0,83602

2. Determine o valor do investimento inicial (principal) quedeveserrealizadonore-gimedejuroscompostos,comumataxaefetivade1%aomês,paraproduzirummontanteacumuladode$1.000,00nofinalde12meses.

Solução:

n =12meses

i =1%aomês

FV =$1.000,00

PV =?

Pela relação (C.6) podemos escrever:

PV = FV x (PV/FV; 1 %; 12)



Atabelade1%fornece,nalinhacorrespondentean=12,oseguintevalorparaofator (PV/FV):

(PV/FV; 1 %; 12) = 0,88745

Assim,temos:

PV = $1.000,00 x (0,88745) = $887,45

3. Omontantede$1.000,00,colocadonofinaldo4o mês do diagrama indicado a seguir,devesercapitalizadoedescontadocomataxade1%aomês,noregimedejuros compostos.

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

? ?$1.000,00

0 1 2 3 4 5 6 7

PV = $ 1.000,00

meses

( 2 ) ( 3 ) (nova escala) :

FV = ?

( 0 ) ( 1 )

FV / PV

Determine:

a) o valor acumulado no final do 7omês, pela capitalização domontante de$1.000,00,indicadonodiagrama;

b) ovalorquedeveserinvestidonofinaldo1o mês para se obter o montante de $1.000,00indicadonodiagrama.

Solução:

a) Montante no final do 7o mês

Asoluçãodesseproblemapodeservisualizadanodiagramaaseguir,queenquadrao problema no Diagrama Padrão desenvolvidonoCapítulo1.

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

? ?$1.000,00

0 1 2 3 4 5 6 7

PV = $ 1.000,00

meses

( 2 ) ( 3 ) (nova escala) :

FV = ?

( 0 ) ( 1 )

FV / PV



Assim,ovalorde$1.000,00ficacolocadonopontozero da nova escala de tempo e deve ser tratado como um valor presente PV, queprecisasercapitalizado3mesespara atingir o final do 7o mês. Usando a relação (C.3) obtemos:

FV = PV x (FV/PV; 1 %; 3) = $1.000,00 x (1,03030) = $1.030,30

b) Montante no final do 1o mês

Nessecaso,paraenquadramosoproblemanoDiagrama Padrão, precisamos colocar o valor PV (aserdeterminado)nopontozerodanovaescaladetempo,conformeindicado a seguir:

b) Montante no final do 1º mês Nesse caso, para enquadramos o problema no Diagrama Padrão, precisamos colocar o valor PV (a ser determinado) no ponto zero da nova escala de tempo, conforme indicado a seguir:

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

( 2 ) ( 3 )

PV = ?PV / FV

( nova escala )( 0 ) ( 1 )

Assim, o valor de $1.000,00 fica colocado no ponto três da nova escala de tempo, e deve ser tratado como um valor presente FV, que precisa ser descontado 3 meses para atingir o final do 1º mês . Usando a relação (C.6) obtemos:

PV = FV x (PV / FV ; 1 % ; 3) = $1.000,00 x (0,97059) = $970,59

3.3. PROBLEMAS RESOLVIDOS

1. Determine o valor acumulado no final de 24 meses, com juros compostos de 1 % ao mês, a partir de um investimento inicial (principal) de $2.000,00 . Solução :

n = 24 meses i = 1 % ao mês PV = $2.000,00 FV = ?

A partir da relação (C.3) podemos escrever:

FV = PV x (FV / PV ; 1 % ; 24)

A tabela de 1 % fornece na linha correspondente a n = 24 o seguinte valor para o fator (FV / PV) :

(FV / PV ; 1% ; 24) = 1,26973 Assim, temos:

FV = $2.000,00 x (1,26973) = $ 2.539,46 2. Determine o valor do investimento inicial (principal) que deve ser realizado no regime de juros compostos, com uma taxa efetiva de 12 % ao semestre, para produzir um valor acumulado de $1.000,00 no final de 4 anos. Solução :

n = 4 anos = 8 semestres i = 12 % ao semestre FV = $ 1.000,00 PV = ?

!"#$ %"#$&'( )*+,- .(/"0(1 "12%"3"%4

PV = FV x (PV / FV ; 12 % ; 8) A tabela de 12 % fornece na linha correspondente a n = 8 o seguinte valor para o fator (PV / FV):

( PV / FV ; 12 % ; 8 ) = 0,40388

9

Assim,ovalorde$1.000,00ficacolocadonopontotrêsdanovaescaladetempoe deve ser tratado como um valor presente FV, queprecisaserdescontado3mesespara atingir o final do 1o mês. Usando a relação (C.6) obtemos:

PV = FV x (PV/FV; 1 %; 3) = $1.000,00 x (0,97059) = $970,59

3.3. Problemas Resolvidos

1. Determineovaloracumuladonofinalde24meses,comjuroscompostosde1%aomês,apartirdeuminvestimentoinicial(principal) de$2.000,00.

Solução:

n =24meses

i =1%aomês

PV =$2.000,00

FV =?


FV = PV x (FV/PV; 1 %; 24)



Atabelade1%fornece,nalinhacorrespondentean=24,oseguintevalorparaofator (FV/PV):

(FV/PV; 1%; 24) = 1,26973

Assim,temos:

FV = $2.000,00 x (1,26973) = $ 2.539,46

2. Determineovalordoinvestimentoinicial(principal)quedeveserrealizadonore-gimedejuroscompostos,comumataxaefetivade12%aosemestre,paraproduzirumvaloracumuladode$1.000,00nofinalde4anos.

Solução:

n =4anos=8semestres

i =12%aosemestre

FV =$1.000,00

PV =?


PV = FV x (PV/FV; 12 %; 8)


(PV/FV; 12 %; 8) = 0,40388

Assim,temos:

PV = $1.000,00 x (0,40388) = $403,88

3. Um investimento inicial (principal) de$1.000,00produzumvaloracumuladode$1.104,62nofinalde10meses.Determineataxaderentabilidademensaldesseinvestimento,noregimedejuroscompostos.

Solução:

n =10meses

FV =$1.104,62

PV =$1.000,00

i =?(aomês)




FV = PV x (FV/PV; i %; 10)

Substituindo os valores:

$1.104,62 = $1.000,00 x (FV/PV; i %; 10)

e,portanto:

(FV/PV; i %; 10) = 1,10462

Oproblemaagoraconsisteemdeterminarqualatabelaqueforneceparan=10ofator(FV/PV)=1,10462.Apesquisaindicaqueatabelaprocuradaéade1%.Podemos,assim,afirmarquearentabilidadedoinvestimentoéde1%aomês,poisonúmerodeperíodosestámedidoemmeses.

4. Determine a rentabilidade do problema anterior se o valor acumulado no final de 10mesesforiguala$1.150,00.

Solução:

n =10meses

FV =$1.150,00

PV =$1.000,00

i =?(aomês)


FV = PV x (FV/PV; i %; 10)


$1.150,00 = $1.000,00 x (FV/PV; i %; 10)

e,portanto:

(FV/PV; i %; 10) = 1,15000

Oproblemaagoraconsisteemdeterminarqualatabelaqueforneceparan=10ofator(FV/PV)=1,15000.ApesquisaentreastabelasdisponíveisnaplanilhaExcelmostra os valores abaixo indicados:

Tabelade1,00% :(FV/PV;1,00%;10)=1,10462

Tabelade1,50% :(FV/PV;1,50%;10)=1,16054



Indicandoqueovalordataxadejurosestácompreendidoentre1,00%e1,50%.

OfatodeastabelasestaremdisponíveisemExcelpermitequeoleitorobtenhatabelascomqualquervalordetaxasdejuros,bastandoparaissosubstituirovalordataxadoperíodonaplanilha(célulacomfundoamarelo).Pelométododetentativaeerro,oleitorchegaráaovalordataxadejurosqueatendaàscondiçõesanteriormentecitadas.

Numasituaçãoemqueastabelassejamdisponibilizadasapenasdeformaimpressa,queeraasituaçãorealháalgunsanos,nãohaviaapossibilidadedeseremalteradasemfunçãodataxadejuros.Pararesolverumproblemacomoesse,eranecessáriousar a interpolação linear para encontrar a taxa de juros procurada.

Ainterpolaçãolinearentreastaxasde1,00%e1,50%podeservisualizadanográficoquesegue:

Pela semelhança de triângulos podemos escrever:

( FV / PV )

1,16054

1,10462

1,00 1,50

1,15000

c

x

exponencial(exato)

aproximação linear

b

a

a ------- b c ------- x

onde:

a=1,16054–1,10462=0,05592



b=1,50%-1,00%=0,50%

c=1,15000-1,10462=0,04538

e,portanto:

0,05592 _____ 0,50%

0,04538 _____ x

quefornecex=0,40576%e,portanto,ataxadejuros,porinterpolaçãolinear,éiguala1,40576%aomês.

Acurvaqueuneosdoispontosda tabelanãoéuma linhareta,e simumaex-ponenciallocalizadaabaixoeàdireitadaretaqueuneosdoispontos.Podemos,então,concluirqueataxadejurosexataésuperiorà1,40576%aomês,poisficaadireita do número encontrado pela interpolação linear. Isso pode ser confirmado comasoluçãoatravésdacalculadoraHP 12CoudaPlanilhaEXCEL,queproduzoresultadode1,407743%.

5. Determineonúmerodemesesnecessáriosparafazerumcapitaldobrardevalor,comataxadejurosde6,00%aoano,noregimedejuroscompostos.

Solução:

AssumindoquePV=$100,00,entãoteremosFV=$200,00,eosdadosdoproblemapassam a ser os seguintes:

i =6,00%aoano

FV =$100,00

PV =$200,00

n =?(anos)


FV = PV x (FV/PV; 6,00 %; n)


$200,00 = $100,00 x (FV/PV; 6,00 %; n)

e,portanto

(FV/PV; 6,00 %; n) = 2,00000



Atabelade6,00%forneceosseguintesfatores:

(FV/PV; 6,00 %; 11) = 1,89830

(FV/PV; 6,00 %; 12) = 2,01220

Indicandoqueonúmerodeperíodosestácompreendidoentre11e12anos.

6. Determineomontanteacumuladonofinalde38meses,comjuroscompostosde1%aomês,apartirdeuminvestimentoinicial(principal)de$1.000,00.

Solução:

n =38meses

i =1%aomês

PV =$1.000,00

FV =?


FV = PV x (FV/PV; 1 %; 38)

Adificuldadeencontradaéquenastabelasaquiapresentadasovalormaximodenéiguala24e,portanto,ofatordesejadoextrapolaoslimitesdatabelade1%aomês.

Umasoluçãoédividironúmerodeperíodosemduasparcelasquesomadassejamiguaisa38,porexemplo,24e14meses.Assim,resolvemosoproblemaemduasetapas:

•Etapano1:n=24meses

Leveoprincipalde$1.000,00paraofinaldo24omês,comaexpressão(C.3):

FVl = $1.000,00 x (FV/PV; 1 %; 24) = 1.000,00 x 1,26973 = $1.269,73

•Etapano2:n=(38–24)=14meses

Leveovalorde$1.269,73dofinaldo24o mês para o final do 38omês,comaex-pressão (C.3):

FV2 = $1.269,73 x (FV/PV; 1 %; 14) = 1.269,73 x 1,14947 = $1.459,52

7. Determine o valor do investimento inicial (principal) quedeveserrealizadonoregi-medejuroscompostos,comumataxaefetivade1,25%aomês,paraproduzirumvalorfuturode$1.000,00nofinalde24meses.



Solução:

n =24meses

i =1,25%aomês

FV =$1.000,00

PV =?


PV = FV x (PV/FV; 1,25 %; 24)

Podemos“criarumatabelade1,25%”substituindo1,25%nacélulacomfundoamarelo,emqualquerdastabelasencontradasnaplanilhaTabelasFinanceiras.Casonãotivessémosànossadisposiçãoafacilidadedaplanilhaeletrônica,teríamosquecalcularofator(PV/FV;1,25%;24)atravésdainterpolaçãolineardosfatores(PV/FV)dastabelasde1,00%e1,50%,conformeindicadoaseguir.

Tabelade1,00% :(PV/FV;1,00%;24)=0,78757

Tabelade1,50% :(FV/PV;1,50%;24)=0,69954

Indicandoqueovalorprocuradoparaofatoréum número compreendido entre os valores0,78757e0,69654.Ainterpolaçãolineardeveserfeitademaneiraanálogaàmostradaanteriormente,eoresultadoencontradoestáindicadoaseguir:

(PV/FV; 1,25 %; 24) = 0,74356

Assim,podemosescrever:

PV = FV x (PV/FV; 1,25 %; 24) = $1.000,00 x (0,74356) = $ 743,56

4. Relação Entre FV e PMT

A parte do Diagrama Padrão querepresentaosparâmetrosdesseproblemaestáindicada a seguir:



4. RELAÇÃO ENTRE FV E PMT

A parte do Diagrama Padrão que representa os parâmetros desse problema está indicada a seguir:

Relação entre FV e PMT

0 1 2 … n-1 n

FV

i i i i i

PMT

Observar que a série uniforme PMT está de acordo com o Diagrama Padrão do Cap. 1, obedecendo à convenção de final de período, sendo portanto uma série postecipada.

4.1 DADO PMT ACHAR FV : FATOR (FV / PMT)

Esse problema consiste em determinar o montante acumulado FV, no final de n períodos, a partir da capitalização das n prestações de uma série uniforme, todas com o mesmo valor igual à PMT, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros compostos. O montante FV, no final do período de ordem n, acumulado por essas prestações, corresponde à soma dos montantes individualmente calculados para cada prestação PMT até esse mesmo período, e é obtido pela expressão (6.3) , que está indicada a seguir

FV = PMT [((1 + i)n - 1) / i] (C.7)


[((1 + i)n - 1) / i] = FV / PMT Assim a expressão entre colchetes é igual ao fator (FV / PMT) , que está tabelado na 5ª coluna das Tabelas Financeiras, para diversos valores de i e de n . A expressão genérica desse fator está indicada a seguir:

(FV / PMT ; i % ; n) = [((1 + i)n -1) / i] (C.8) Dessa forma a relação (C.7) passa a ter, então, a seguinte apresentação :

FV = PMT x (FV / PMT ; i % ; n) (C.9)

Pela relação (C.9) o valor futuro FV é obtido pela multiplicação do valor de cada prestação PMT de uma Série Uniforme, pelo fator (FV / PMT ; i % ; n), que corresponde a um fator obtido pela avaliação da expressão (C.8), a partir dos parâmetros i e n.

14

ObservarqueasérieuniformePMT está de acordo com o Diagrama Padrão do Capítulo1,obedecendoàconvençãodefinaldeperíodo,sendoportantoumasérie postecipada.

4.1 Dado PMT Achar FV: Fator (FV/PMT)

Esse problema consiste em determinar o montante acumulado FV, no final de n períodos,apartirdacapitalizaçãodasnprestaçõesdeumasérieuniforme,todascomomesmovalorigualàPMT, com uma taxa de juros iporperíodo,noregimedejuroscompostos.

O montante FV, nofinaldoperíododeordemn, acumulado por essas pres-tações,correspondeàsomadosmontantesindividualmentecalculadosparacadaprestação PMT atéessemesmoperíodo,eéobtidopelaexpressão(6.3),queestáindicada a seguir

FV = PMT [(1 + i)n - 1)/i] (C.7)


[(1 + i)n – 1)/i] = FV/PMT

Assim,aexpressãoentrecolcheteséigualaofator(FV/PMT),queestátabeladona5acolunadasTabelasFinanceiras,paradiversosvaloresdei e de n.Aexpressãogenéricadesse fator está indicada a seguir:

(FV/PMT; i %; n) = [(1 + i)n –1)/i] (C.8)


FV = PMT x (FV/PMT; i %; n) (C.9)

Pela relação (C.9) o valor futuro FV é obtido pela multiplicação do valor de cada prestação PMT deumaSérieUniforme,pelofator(FV/PMT;i%;n),quecorrespondeaumfatorobtidopelaavaliaçãodaexpressão(C.8),apartirdosparâmetrosi e n.

Porexemplo,aTabelade1%fornecenasua5a coluna o tabelamento desse fator para diversos valores de n, conforme indicado a seguir:



Taxa por Período = 1%

Periodos n Dado PMT Achar FV FV/PMT

01 1,00000

02 2,01000

03 3,03010

04 4,06040


(FV/PMT; 1 %; 4) = (4,06040)

Se na relação (C.9) fizermosPMT=$1,00,obtemos:

FV = (FV/PMT; i %; n)

Dessaforma,osfatores(FV/PMT) de uma determinada tabela representam os valo-res futuros FV de nprestaçõesunitárias(PMT = $1,00), na taxa de juros dessa tabela.

Assim,poressetrechodatabela,podemosconcluirque,paraumataxade1%,temos:

• n=2:2prestaçõesde$1,00produzemumvalorfuturode$2,01000;




Determineovalordofator(FV/PMT;1,5%;12).

Solução:

Natabelade1,5%devemoslocalizarnainterseçãodalinha12coma5a coluna o valorde13,04121paraofator(FV/PMT).

Issosignificaque12prestaçõesunitárias,quandocapitalizadascomataxade1,5%porperíodo,produzemummontantede$13,04121nofinalde12períodosde capitalização.

2. Determine o valor do montante FV dofluxodecaixaquesegue,comumataxade10%aoano,noregimedejuroscompostos.

Solução:

n =5anos

i =10%aoano



PMT =$1.000,00

FV =?


FV = PMT x (FV/PMT; 10 %; 5)

Atabelade10%fornece,nalinhacorrespondentean=5,oseguintevalorparaofator (FV/PMT):

(FV/PMT; 10 %; 5) = 6,10510

Assim,temos:

FV = $1.000,00 x (6,10510) = $6.105,10

Édeseressaltarqueessesaldode$6.105,10sóseráalcançadonofinaldo5oano,imediatamente após a efetivação do último depósito.

3. Uminvestidorefetuaosquatrodepósitosanuaisde$5.000,00indicadosnofluxodecaixaaseguir.Sabendo-sequeessesdepósitossãoremuneradoscomumataxaefetivade8%aoano,noregimedejuroscompostos,determineovaloracumuladoporesseinvestidornofinaldoquartoano,nasseguintessituações:

3. Um investidor efetua os quatro depósitos anuais de $ 5.000,00 indicados no fluxo de caixa a seguir. Sabendo-se que esses depósitos são remunerados com uma taxa efetiva de 8 % ao ano, no regime de juros compostos, Determine o valor acumulado por esse investidor no final do quarto ano, nas seguintes situações :

0 1 2 3 4 anos

PMT = $5.000,00i = 8 % a.a.

a) imediatamente após a realização do quarto depósito; b) imediatamente antes da realização do quarto depósito;

Solução : Saldo imediatamente após o 4º depósito

n = 4 anos

i = 8 % ao ano

PMT = $5.000,00

FV =? A partir da relação (C.9) podemos escrever:

FV = PMT x (FV / PMT; 8 %; 4) A tabela de 8 % fornece na linha correspondente a n = 4 o seguinte valor para o fator (FV / PMT) :

(FV / PMT ; 8 % ; 4) = 4,50611 Assim, temos:

FV = $5.000,00 x (4,50611) = $22.530,55

a) Saldo imediatamente antes do 4º depósito O saldo acumulado, imediatamente antes da realização do 4º depósito, é obtido subtraindo do saldo calculado no item (a) o valor do último depósito, isto é :

$22.530,55 - $5.000,00 = $17.530,55

4.2 DADO FV ACHAR PMT - FATOR (PMT / FV)

A relação (C.7) fornece :

FV = PMT x [((1 + i)n - 1) / i] Assim, o cálculo de PMT a partir de FV é obtido pela relação inversa, isto é :

PMT = FV x [i / ((1 + i)n - 1)] (C.10)


[i / ((1 + i)n - 1)] = PMT / PV Assim a expressão entre colchetes é igual ao fator (PMT / FV), que está tabelado na 6ª coluna das Tabelas Financeira, para diversos valores de i e de n . A expressão genérica desse fator está indicada a seguir:

16

a) imediatamenteapósarealizaçãodoquartodepósito;

b) imediatamenteantesdarealizaçãodoquartodepósito;

Solução:

Saldo imediatamente apos o 4o depósito

n =4anos

i =8%aoano

PMT =$5.000,00

FV =?




FV = PMTx (FV/PMT; 8 %; 4)

Atabelade8%fornece,nalinhacorrespondentean=4,oseguintevalorparaofator (FV/PMT):

(FV/PMT; 8 %; 4) = 4,50611

Assim,temos:

FV = $5.000,00 x (4,50611) = $22.530,55

a) Saldo imediatamente antes do 4o depósito

Osaldoacumulado,imediatamenteantesdarealizacãodo4odepósito,éobtidosubtraindodosaldocalculadonoitem(a)ovalordoúltimodepósito,istoé:

$22.530,55 – $5.000,00 = $17.530,55

4.2 Dado FV Achar PMT – Fator (PMT/FV)

A relação (C.7) fornece:

FV = PMT x [(1 + i)n – 1)/i]

Assim,ocálculodePMT a partir de FV éobtidopelarelaçãoinversa,istoé:

PMT = FV x [i/(1 + i)n – 1)] (C.l0)


[i/(1 + i)n– 1)] = PMT/PV

Assim,aexpressãoentrecolcheteséigualaofator(PMT/FV), queestátabeladona6acolunadasTabelasFinanceiras,paradiversosvaloresdei e de n.Aexpressãogenéricadesse fator está indicada a seguir:

PMT/FV; i %; n) = [i/(1 + i)n – 1)] (C.11)


PMT = FV x (PMT/FV; i %; n) (C.12)

Pela relação (C.12) o valor PMT decadaprestaçãoéobtidopelamultiplicação do valor futuro FV,pelofator(PMT/FV;i%;n),quecorrespondeaumfatorobtidopelaavaliaçãodaexpressão(C.11),apartirdosparâmetrosi e n.

Porexemplo,aTabelade1%fornece,nasua6acoluna,otabelamentodessefatorpara diversos valores de n, conforme indicado a seguir:



Taxa por Período = 1,00 0/0

Períodos n Dado FV

Achar PMT PMT/FV

01 1,00000

02 0,49751

03 0,33002

04 0,24628


(PMT/FV;1%;4)=(0,24628)

Senarelação(C.12)fizermosFV=$1,00,obtemos:

PMT=(PMT/FV;i%;n)

Dessa forma, os fatores (PMT/FV) de uma determinada tabela representam os valores de cada prestação PMT, queproduzemumvalorfuturounitário(FV = $1,00),na taxa de juros dessa tabela.




• n=4:4prestaçõesde$0,24628produzemumvalorfuturode$1,00.


1. Determineovalordofator(PMT/FV;1,5%;12).

Solução:

Natabelade1,5%devemoslocalizarnainterseçãodalinha12coma6a coluna o valorde0,07668paraofator(PMT/FV).

Issosignificaqueumvalorde12prestaçõesiguaisa$0,07668,quandocapitalizadascomataxade1,5%porperíodo,produzumvalorfuturounitárionofinalde12períodosdecapitalização.

2. Determineovalordosquatrodepósitostrimestraisdofluxodecaixaquesegue,capazesdeproduziromontantede$10.000,00nofinaldo4otrimestre,comumataxaefetivade3%aotrimestre,noregimedejuroscompostos.



2. Determine o valor dos quatro depósitos trimestrais do fluxo de caixa que segue, capazes de produzir o montante de $ 10.000,00 no final do 4º trimestre, com uma taxa efetiva de 3 % ao trimestre, no regime de juros compostos.

0 1 2 3 4 trim.

FV = $10.000,00

PMT = ?

Solução:

18

tre

0,00

PMT =?

partir da relação (C.12) podemos escrever:

PMT = FV x (PMT / FV; 3%; 4)

tabela de 3 % fornece na linha correspondente a n = 4 o seguinte valor para o fator (PMT / FV) :

(PMT / FV ; 3 % ; 4) = 0,23903

ssim, temos:

FV = $10.000,00 x (0,23903) = $2.390,30

4.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS

do mês de Julho. Determine os valores dos saldos acumulados nas seguintes datas do mesmo ano:

b) Final de Julho, após o depósito do mês;

c) Final de Setembro ;

olução :

diagrama a seguir ilustra o problema :

n = 4 trimestres

i = 3 % ao trimes

FV = $ 10.00

A

A

A

1. Uma instituição financeira remunera seus depósitos na base de 1,5 % ao mês, no regime de juros compostos, e realiza os seus cálculos assumindo os meses com 30 dias. Um investidor efetua nessa instituição seis depósitos mensais e iguais a $800,00, ocorrendo o 1º depósito no final do mês de Janeiro e o último no final

S O

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9meses

PMT = $800,00

FV1 = ? FV2 = ?

Jan SetJul

Solução:

n =4trimestres

i =3%aotrimestre

FV =$10.000,00

PMT =?


PMT = FV x (PMT/FV; 3%; 4)

Atabelade3%fornece,nalinhacorrespondentean=4,oseguintevalorparaofator (PMT/FV):

(PMT/FV; 3 %; 4) = 0,23903

Assim,temos:

FV = $10.000,00 x (0,23903) = $2.390,30

4.3 Problemas Resolvidos

1. Umainstituiçãofinanceiraremuneraseusdepósitosnabasede1,5%aomês,noregimedejuroscompostos,erealizaosseuscálculosassumindoosmesescom30dias.Uminvestidorefetuanessainstituiçãoseisdepósitosmensaiseiguaisa$800,00,ocorrendoo1o depósito no final do mês de janeiro e o último no final do mês de julho. Determine os valores dos saldos acumulados nas seguintes datas do mesmo ano:

a) Finaldejulho,apósodepósitodomês;

b) Final de setembro.



Solução:

O diagrama a seguir ilustra o problema:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9meses

PMT = $800,00

FV1 = ? FV2 = ?

jan setjul

a) Saldo no final de julho

De acordo com o diagrama anterior os dados do problema são os seguintes:

n =6meses

i =1,5%aomês

PMT =$800,00

FV =?

A partir da relação (C. 9) podemos escrever:

FV1 = PMT x (FV/PMT; 1, 5 %; 6)

Atabelade1,5%fornece,nalinhacorrespondentean=6,oseguintevalorparao fator (FV/PMT):

(FV/PMT; 1,5 %; 6) = 6,22955

Assim,temos:

FV = $800,00 x (6,22955) = $4.983,64

b) Saldo no final de setembro

Agoraprecisamoscapitalizarosaldodejulhopormais3meses,paraobterosaldono final de setembro:


FV = PV x (FV/PV; 1,5 %; 3)



Atabelade1,5%fornece,nalinhacorrespondentean=3,oseguintevalorparao fator (FV/PV):

(FV/PV; 1,5 %; 3) = 1,04568

Assim,temos:

FV2 = $4.983,64 x (1,04568) = $5.211,29

2. Uma Caderneta de Poupança oferece uma taxa efetiva de rentabilidade de 1% ao mês,noregimedejuroscompostos.Determineovalordodepósitomensalnecessárioparaacumularummontantede$10.000,00nofinaldeumano,imediatamenteapós o 12o depósito mensal.

Solução:

Os dados do problema são os seguintes:

n =1ano=12meses

i =1%aomês

FV =$10.000,00

PMT =?


PMT = FV x (PMT/FV; 1 %; 12)

Atabelade1%fornece,nalinhacorrespondentean = 12,o seguinte valor para o fator (PMT/FV):

(PMT/FV; 1 %; 12) = 0,07885

Assim,temos:

FV = $10.000,00 x (0,07885) = $788,50

3. UmBancoComercialremuneraseusdepósitosnabasede1%aomês,noregimedejuroscompostos,eassumeosmesescom30diasnoscálculosdassuasoperações.Uminvestidorefetua,nesseBanco,seisdepósitosmensaiseiguais,ocorrendoo1o depósito no final do mês de janeiro e o último no final do mês de junho.

Determineovalordodepósitomensalnecessárioparaproduzirsaldode$5.000,00,no final de dezembro:



Solução:

a) Saldo no final de junho

Devemos,inicialmente,acharovalorpresentedosaldode$5.000,00,nofinaldejunho,poisesteéomêsquandoocorreuoúltimodepósito.Assim,temos:

n =6meses

i =1%aomês

FV =$5.000,00

PV =?


PV = FV x (PV/FV; 1 %; 6)


(PV/FV; 1%; 6) = 0,94205

Assim,temos:

FV = $5.000,00 x (0,94205) = $4.710,25

b) Valor do depósito mensal

Agora os dados do problema passam a ser os indicados a seguir:

n =6meses

i =1%aomês

FV =$4,710,23

PMT =?


PMT = FV x (PMT/FV; 1%; 6)

Atabelade1%fornece,nalinhacorrespondentean = 6,oseguintevalorparaofator (PMT/FV):

(PMT/FV; 1 %; 6) = 0,16255



Assim,temos:

FV = $4.710,23 x (0,16255) = $765,65

4. Uminvestidorefetuouquatrodepósitosconsecutivosde$5.000,00numaCadernetadePoupança,nofinaldecadatrimestre.DeterminearentabilidadeefetivatrimestraldessaCadernetadePoupança,sabendo-sequeosaldoacumuladoporesseinvestidor,imediatamenteapósaefetivaçãodoúltimodepósitotrimestral,éde$21.000,00.

Solução:

n =4trimestres

FV =$21.000,00

PMT =$5.000,00

i =?(%aotrimestre)


FV = PMT x (FV/PMT; i %; 4)


$21.000,00 = $5.000,00 x (FV/PMT; i %; 4)

quefornece(FV/PMT; i %; 4) = 4,20000.

Apesquisadastabelasforneceosseguintesvalores:

Tabela de 3,00 % : (FV/PMT; 3,00 %; 4) = 4,18363

Tabela de 3,50 % : (FV/PMT; 3,50 %; 4) = 4,21494

Indicandoqueovalorprocuradoparaataxadejurosestácompreendidoentre3,00%e3,50%aomês.Ataxadejurosentreessesdoisvaloresqueatendeaosdadosacimaéde3,26142 %aotrimestre.Paraencontrá-la,podemosusarométododetentativaeerroatravésdesubstituiçãonaplanilhaemExceloudeinterpolaçãolinear,conformeexplicadoanteriormente.

5. Relação Entre PV e PMT

A parte do Diagrama Padrão querepresentaosparâmetrosdesseproblemaestáindicada a seguir:



5. RELAÇÃO ENTRE PV E PMT

A parte do Diagrama Padrão que representa os parâmetros desse problema está indicada a seguir:

Relação entre PV e PMT

0 1 2 … n-1 n

PV

i i i i i

PMT

Observe que a série uniforme PMT está de acordo com o Diagrama Padrão do Cap. 1, obedecendo à convenção de final de período, sendo portanto uma série postecipada.

5.1 DADO PMT ACHAR PV : FATOR (PV / PMT)

O valor presente PV (principal), a partir do desconto das n prestações de uma série uniforme, todas com o mesmo valor igual à PMT, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros compostos, é obtido pela expressão (6,5), que está indicada a seguir:

PV = PMT [((1 + i)n - 1) / i (1 + i)n] (C.13)


[((1 + i)n - 1) / i (1 + i)n] = PV / PMT Assim a expressão entre colchetes é igual ao fator (PV / PMT) , que está tabelado na 4ª coluna das Tabelas Financeiras, para diversos valores de i e de n . A expressão genérica desse fator está indicada a seguir:

(PV / PMT ; i % ; n) = [((1 + i)n - 1) / i (1 + i)n ] (C.14)

Dessa forma a relação (C.13) passa a ter, então, a seguinte apresentação :

PV = PMT x (PV / PMT ; i % ; n) (C.15)

Pela relação (C.13) o valor presente PV é obtido pela multiplicação do valor de cada prestação PMT de uma Série Uniforme, pelo fator (PV / PMT ; i % ; n), que corresponde a um número obtido pela avaliação da expressão (C.12), a partir dos parâmetros i e n.

22

ObservequeasérieuniformePMT está de acordo com o Diagrama Padrão doCapítulo1,obedecendoàconvençãodefinaldeperíodo,sendo,portanto,uma série postecipada.

5.1 Dado PMT Achar PV: Fator (PV/PMT)

O valor presente PV (principal), a partir do desconto das nprestaçõesdeumasérieuniforme,todascomomesmovalorigualaPMT, com uma taxa de juros iporperío-do,noregimedejuroscompostos,éobtidopelaexpressãoqueestáindicadaaseguir:

PV = PMT [(1 + i)n - 1)/i (1 + i)n] (C.13)


[(1 + i)n– 1)/i (1 + i)n] = PV/PMT

Assim,aexpressãoentrecolcheteséigualaofator(PV/PMT),queestátabeladona4acolunadasTabelasFinanceiras,paradiversosvaloresdei e de n.Aexpressãogenéricadesse fator está indicada a seguir:

(PV/PMT; i %; n) = [(1 + i)n - 1)/i (1 + i)n ] (C.14)


PV = PMT x (PV/PMT; i %; n) (C.15)

Pela relação (C.13) o valor presente PV éobtidopelamultiplicação do valor de cada prestação PMT deumaSérieUniforme,pelo fator (PV/PMT; i%;n),quecorresponde a um número obtido pela avaliação da expressão (C.12), a partir dos parâmetros i e n.

Porexemplo,aTabelade1%fornecenasua4a coluna o tabelamento desse fator para diversos valores de n, conforme indicado a seguir:




Períodos n Dado PMT Achar PV PV/PMT

01 0,99010

02 1,97040

03 2,94099

04 3,90197


(PV/PMT; 1 %; 4) = (3,90197)

Senarelação(C.15)fizermosPMT=$1,00,obtemos:

PV= (PV/PMT; i %; n)

Dessaforma,osfatores(PV/PMT)deumadeterminadatabelarepresentamosvalo-respresentesPVdenprestaçõesunitárias(PMT=$1,00),nataxadejurosdessatabela.


• n=2:2prestaçõesde$1,00produzemumvalorpresentede$1,97040;




1. Determineovalordofator(PV/PMT;1,5%;10).

Solução:

Natabelade1,5%,devemoslocalizarnainterseçãodalinha10coma4a coluna o valorde9,22218paraofator(PV/PMT).

Issosignificaque10prestaçõesdevalorunitário,quandodescontadascomataxade1,5%porperíodo,produzemumvalorpresente(principal) iguala$9,22218.

2. Determine o valor do principal de um financiamento realizado com uma taxa efetiva de1%aomês,noregimedejuroscompostos,equedeveserliquidadoemdozeprestaçõesmensais,sucessivaseiguaisa$1.000,00.

Solução:

n =12meses i =1%aomês



PMT =$1.000,00

PV =?


PV = PMT x (PV/PMT; 1%; 12)

Atabelade1%fornece,nalinhacorrespondentean=12,oseguintevalorparaofator (PV/PMT):

(PV/PMT; 1%; 12) = 11,25508

Assim,temos:

FV = $1.000,00 x (11,25508) = $11.255,08

3. Determine o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de $10.000,00nofinaldecadaumdospróximos8anos,sabendo-sequeesseinvestimentoéremuneradocomumataxaefetivade10%aoano,noregimedejuroscompostos.

Solução:

n =8anos

i =10%aoano

PMT =$10.000,00

PV =?


PV = PMT x (PV/PMT; 10%; 8)

Atabelade10%fornece,nalinhacorrespondentean=8,oseguintevalorparaofator (PV/PMT):

(PV/PMT; 10%; 8) = 5,33493

Assim,temos:

FV = $10.000,00 x (5,33493) = $53.349,30

5.2 Dado PV Achar PMT: Fator (PMT/PV)

A relação (C.13) fornece:

PV=PMTx[((1+i)n..1)/i(1+i)n]



Assim,ocálculodePMT a partir de PV éobtidopelarelaçãoinversa,istoé:

PMT = PV x [i (1 + i)n/(1 + i)n – 1)] (C.16)


[i (1 + i)n/(1 + i)n– 1)] = PMT/PV

Assim,aexpressãoentrecolcheteséigualaofator(PMT/PV),queestátabeladona3acolunadasTabelasFinanceiras,paradiversosvaloresdei e de n.Aexpressãogenéricadesse fator está indicada a seguir:

(PMT/PV; i %; n) = [i (1 + i)n/(1 + i)n – 1)] (C.17)

Dessaforma,arelação(A.14)passaater,então,aseguinteapresentação:

PMT = PV x (PMT/PV; i %; n) (C.18)

Pela relação (C.18) o valor PMT decadaprestaçãoéobtidopelamultiplicação do valor presente PV (principal), pelofator(PMT/PV;i%;n),quecorrespondeaumfatorobtidopelaavaliaçãodaexpressão(C.17),apartirdosparâmetrosien.

Porexemplo,aTabelade1%fornece,nasua3acoluna,otabelamentodessefatorpara diversos valores de n, conforme indicado a seguir:


Períodos n Dado PV

Achar PMT PMT/PV

01 1,010000

02 0,50751

03 0,34002

04 0,25628


(PMT/PV; 1 %; 4) = (0,25628)

Senarelação(C.18)fizermosPV=$1,00,obtemos:

PMT = (PMT/PV; i %; n)

Dessaforma,osfatores(PMT/PV) de uma determinada tabela representam os va-lores de cada prestação PMT, queproduzemumvalorpresenteunitário(PV=$1,00),na taxa de juros dessa tabela.








1. Determineovalordofator(PMT/PV;1,5%;8)

Solução:

Natabelade1,5%,devemoslocalizarnainterseçãodalinha8coma3a coluna o valorde0,13358paraofator(PMT/PV).

Issosignificaqueumvalorde8prestaçõesiguaisa$0,13358,quandodescontadascomataxade1,5%porperíodo,produzumvalorpresente(principal) unitário.

2. Determineovalordasprestaçõesanuaisdeumfinanciamentorealizadocomataxaefetivade8%aoano,noregimedejuroscompostos,sabendo-sequeovalordoprincipal éiguala$1.000,00equeoprazodaoperaçãoéde4anos.

Solução:

n =4anos

i =8%aoano

PV =$1.000,00

PMT =?


PMT = PV x (PMT/PV; 8%; 4)

Atabelade8%fornece,nalinhacorrespondentean = 4,oseguintevalorparaofator (PMT/PV):

(PMT/PV; 8%; 4) = 0,30192

Assim,temos:

PMT = $1.000,00 x (0,30192) = $301,92

5.3. Problemas Resolvidos

1. UmBancode Investimentos financia a vendade equipamentosnumprazode24meses,comumataxaefetivade1,5%aomês,noregimedejuroscompostos.Determineovalordaprestaçãomensaldeumequipamentocujovaloràvistaéde$20.000,00.



Solução:

n =24meses

i =1,5%aomês

PV =$20.000,00

PMT =?


PMT = PV x (PMT/PV; 1,5 %; 24)

Atabelade1,5%fornece,nalinhacorrespondentean = 24 o seguinte valor para o fator (PMT/PV):

(PMT/PV; 1,5 %; 24) = 0,04992

Assim,temos:

FV = 20.000,00 x (0,04992) = $998,40

2. Acompradeautomóveisestasendofinanciadaem12prestaçõesmensaisde$91,68paracada$1.000,00deprincipal. Determine a taxa efetiva mensal cobrada nesse financiamento,noregimedejuroscompostos.

Solução:

n =12meses

PV =$1.000,00

PMT =$91,68

i =?(%aomês)


PMT = PV x (PMT/PV; i %; 12)

Substituindo valores:

$91,68 = $1.000,00 x (PMT/PV; i %; 12), que fornece (PMT/PV; i %; 12) = 0,09168.

ApesquisadasTabelasindicaqueatabelade1,5%fornece,nalinhan =12 e na 3a coluna,exatamenteessevalorparaofator(PMT/PV).Assim,ataxaefetivacobradanessefinanciamentoéde1,5%aomês.



3. Opreçoàvistadeumequipamentoéiguala$5.400,00.Umalojaoestáanunciandopor$1.400,00deentradaemais6prestaçõesmensaisde$700,00.Determineataxaefetiva mensal de juros cobrada na parte financiada.

Solução:

n =6meses

PV =$5.400,00–$1.400,00=$4.000,00

PMT =$700,00

i =?(%aomês)


PMT = PV x (PMT/PV; i %; 12)


$700,00 = $4.000,00 x (PMT/PV; i %; 6), que fornece (PMT/PV; i %; 6) = 0,17500.

ApesquisadasTabelasforneceosseguintesvalores:

Tabela de 1,00 % : (PMT/PV; 1,00 %; 6) = 0,17255

Tabela de 1,50 % : (PMT/PV; 1,50 %; 6) = 0,17553

Issoindicaqueovalorprocuradoparaataxadejurosestácompreendidoentre1,00%e1,50%aomês.Ataxadejurosqueatendeaosdadosacimaéde1,41107%aomês.Paraencontrá-la,podemosusarometododetentativaeerroatravésdaplanilhaemExceloudeinterpolaçãolinear,conformeexplicadoanteriormente.

6. Conclusão

Este material teve como finalidade mostrar o uso de Tabelas Financeiras na solução de problemas de Matemática Financeira.

Hojeexisteafacilidadededisponibilizá-lasemplanilhaeletrônica,oquepermiteocálculodeTabelasdequalquervalordetaxadejuros.Porém,essanãoeraarealidadedopassado.Asplanilhaseletrônicaseramdisponibilizadasdeformaimpressa.Assim,aslimitaçõesnousadastabelaseramevidentes,namedidaemqueerapraticamenteimpos-sívelelaborarumconjuntodetabelasqueatendessematodasassituaçõesdomercado.

Consequentemente, tornava-seconstanteanecessidadedeserealizar interpo-laçõeslinearesparaseobterosvaloresquenãoconstavamdastabelas,alémdea



aproximação linear proporcionar valores inexatos que poderiamnão atender àsnecessidadesdasoperações.

Hojeemdia,comafacilidadedosrecursosexistentes,sabemosqueastabelasfinan-ceirasestãonocaminhodaextinção,principalmentepelobaixocustodascalculadorasfinanceirasedasplanilhaseletrônicasepelaaltaprecisãodeseusresultados,inclusivecomrelaçãoaonúmerodecasasdecimais.Porém,emalgumassituações,as tabelasaindasãonecessárias,como,porexemplo,nocasodeprovasdeconcursospúblicos.Oleitorpode,nessecaso,precisarestarpreparadoparautilizá-las,deformaasolucionaros problemas propostos.

Relacionamos,a seguir, as fórmulasdos seis fatoresdas tabelasapresentadasaolongo do texto:

Dado Achar Fórmula Fator

PV FV FV = PV (1 + i) n (FV/PV, i %, n)

FV PV PV = FV [ 1/(1+ i)n ] (PV/FV, i %, n)

PV PMT PMT = PV [i (1 + i)”/«1+ i)n - 1)] (PMT/PV, i %, n)

PMT PV PV = PMT [(1 + i)n - 1)/i (1 + i)n] (PV/PMT, i %, n)

PMT FV FV = PMT [((1 + i)n - 1)/i] (FV/PMT, i %, n)

FV PMT PMT = FV [i/((1+ i)n - 1)] (PMT/FV, i %, n)

Comreferênciaàstabelasfinanceiraslembramos,ainda,que:

• OsseisfatoresdasTabelasFinanceirassãoadimensionaisemultiplicativos,sendoque:

• asduasprimeirascolunasdasTabelasrelacionamasgrandezasPVeFV;

• asduascolunasdocentrodasTabelasrelacionamasgrandezasPVePMT;

• asduasúltimascolunasdasTabelasrelacionamasgrandezasPMTeFV;

• Aunidadereferencialdetempodataxadejuros(i%)devesemprecoincidircomaunidadereferencialdetempodonúmerodeperíodos(n);

• ASérieUniformePMTobedeceàconvençãodefinaldeperíodo(SériePostecipada).


apêndice - wordpress.com · regime de juros compostos, é obtido pela expressão (4.1) do...

Documents