aplicação do metódo de diferenças finitas em um domínio...

Rosângela dos Santos Oliveira

Aplicação do Metódo de Diferenças Finitas Em

Um Domínio Retangular

Sinop-MT, Brasil

2014


Aplicação do Metódo de Diferenças Finitas Em Um

Domínio Retangular

Trabalho de Conclusão de Curso apresentadoà Banca Examinadora do Departamento deMatemática - UNEMAT, Campus Universi-tário de Sinop, como requisito parcial paraa obtenção do título de Licenciado em Mate-mática.

Universidade do Estado de Mato Grosso – Unemat

Faculdade de Ciências Exatas

Programa de Graduação

Orientador: Miguel Tadayuki Koga

Sinop-MT, Brasil

2014


Aplicação do Metódo de Diferenças Finitas Em UmDomínio Retangular

Trabalho de Conclusão de Curso apresentadoà Banca Examinadora do Departamento deMatemática - UNEMAT, Campus Universi-tário de Sinop, como requisito parcial paraa obtenção do título de Licenciado em Mate-mática.

Trabalho aprovado. Sinop-MT, Brasil, 19 de novembro de 2014.

Miguel Tadayuki KogaOrientador

UNEMAT - Campus Universitário de Sinop

Raul Abreu de AssisProfessor Avaliador


Rodrigo Bruno ZaninProfessor Avaliador


Odacir Elias Vieira MarquesProfessor Presidente da Banca


A "toda"minha família, ao meu Amor Rodrigo incluindo sua família e aos amigos.

Agradecimentos

Agradeço a todos os professores do curso de Licenciatura em Matemática, que me

auxiliarão aos momentos de dúvidas, proporcionado experiências que contribuirão para a

minha formação intelectual, acadêmica, profissional e pessoal.

Agradeço aos professores que tive aula Celma, Dacir, Daniel, Denizalde, Falchetti,

Graci, Jean, Luciene, Marion, Nadisson, Odair que me auxiliou em algumas dúvidas sobre

o latex, Milton, Rosa Caroline, Thiélide, Vera e também aqueles que não citei os nomes.

Agradeco a Professora Luciana, por todo apoio e auxilio nas disciplinas e também sobre

uma frase que ela disse, que eu sempre lembrava em todos os momento difíceis, que no

fim das situações com esforço, dedicação e disciplina sempre da certo e ao Professor Raul

por auxiliar para os esclarecimentos das dúvidas em relação aos cálculos do método de

Crank-Nicolson.

Agradeço ao meu orientador Miguel Tadayuki Koga, por todo o auxilio, compreen-

são e esclarecimentos para construção do nosso trabalho, pois graças a ele pude conhecer

um pouco de Biomatemática. E por mostrar que é necessário ter vontade de aprender

sempre e correr atrás dos objetivos que sonhamos.

Agradeço aos professores que trabalhei no projeto Olimpíada de Matemática

da UNEMAT-Campus de Sinop, sendo eles, Chiara, Emivam, João, Galois, Miguel meu

orientador e Polyanna, por que eles me mostraram através da convivência do dia a dia,

um pouco de como é a vida de um professor os lados positivos e negativos, e também o

quanto é importante ser dedicado, ter disciplina, ter foco, força de vontade para conseguir

realizar as metas que almejamos de modo geral em nossa vida.

Agradeço a todos os amigos de longa datas que contribuíram direto e indiretamente

para a minha formação, e os colegas que convivi esses anos no curso de graduação, pelas

horas de estudos, pela ajuda mutua nos momentos de dificuldade das matérias, pelo apoio e

incentivo. Sendo eles, Alini, Amilto, Ana Caroline, Andre, Daisa e filhos, Andrei, Andressa,

Anna, Antônio Cesar, Cicero Junior, Elisângela, Fernanda, Gisele, Harry, Janaina, Jeniffer,

Joice, Karime, Karine, Kelly, Leonice, Luciana, Mayele, Maiara, Marlini, Marissa, Maxsuel,

Rafaella, Rosanise, Silvani, Tatiele Caroline, Thiago Walter e Vanessa, pois desde que

alguns deles começaram o curso os acompanhei e alguns tomaram se meus amigos.

Agradeço a toda minha "família", meu pai Clovis, minha mãe Ivone e meu Irmão

Michael e aos outros irmãos não citarei nome para que nenhum fique chateado, incluindo a

"família"do Rodrigo que é o amor da minha vida, ele uma é das pessoas mais importantes

da minha vida, e um dos motivos, e uma das razões por eu querer viver, me dedicar e

crescer a todo novo dia de forma intelectual, profissional e pessoal, enfim de maneira geral,

portanto agradeço a todos eles da minha família que amo muito por todo apoio, incentivo

auxilio em todos esses anos, por que graças a eles que me motivam e incentivavam a me

dedicar sempre aos estudos e por eles me aguentar em todas as provas e os fins de semestres

da faculdade.

"Saber muito não lhe torna inteligente. A inteligência se traduz na forma que você recolhe,

julga, maneja e, sobretudo, onde e como aplica esta informação."

(Carl Sagan)

ResumoEste trabalho visa apresentar alguns estudos desenvolvidos na área da Biomatemática

que vem sendo discutido pelo grupo de pesquisa da UNICAMP-Universidade Estadual

de Campinas. Nestas pesquisas são apresentados modelos matemáticos que simulam o

processo de degradação ambiental, que são estruturados através da equação de difusão-

advecção, nos quais buscam representar a dispersão de poluentes em diferentes ambientes

aquáticos regulares ou irregulares. Para o tratamento matemático utilizam do método das

diferenças finitas ou o método de elementos finitos. Neste sentido, traremos estudos, algumas

informações sobre a equação de difusão-advecção, com a intenção de construir um modelo

matemático teórico no domínio retangular. O tratamento numérico será realizado pelo

método das diferenças finitas para a discretização da equação, o método de Crank-Nicolson

para a parte das variáveis temporais, com objetivo de mostrar simulações computacionais

em ambiente Matlab da dispersão de poluentes em um ambiente aquático, baseados

no modelo matemático de Prestes (2011), fazendo apenas alterações nos parâmetro do

problema e preservando as mesmas condições de contorno, sendo elas, Robin Homogêneo e

Von Neumann.

AbstractThis paper presents some studies developed in the area of Biomathematics that has been

discussed by the research group of the UNICAMP-Universidade Estadual de Campinas.

These surveys are presented mathematical models that simulate the process of environ-

mental degradation, which are structured by diffusion-advection equation, in which seek to

represent the dispersion of pollutants in different regular or irregular aquatic environments.

For the mathematical treatment using the finite difference method or the finite element

method. In this sense, we will bring studies, some information on the diffusion-advection

equation, with the intention of building a theoretical mathematical model in rectangular

domain. The numerical treatment will be carried out by the finite difference method

for the discretization of the equation, the Crank-Nicolson method for the part of the

temporal variables, in order to show computer simulations in Matlab environment of

pollutant dispersion in an aquatic environment, based on the template mathematician

about citeonline, making only changes in the problem of parameter and preserving the

same boundary conditions, which were, Robin Homogeneous and Von Neumann.

Key-words: Diffusion, Advection, Dispersion, Pollutants, Matlab

Lista de ilustrações

Figura 1 – Gráfico de operadores de diferenças da série de Taylor. . . . . . . . . . 22

Figura 2 – John Crank. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Figura 3 – Phyllis Nicolson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Figura 4 – O domínio retangular, da área que trabalhamos. . . . . . . . . . . . . . 25

Figura 5 – Sequência sucessiva de intervalos (malha). . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Figura 6 – Pontos interiores da malha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Figura 7 – Dispersão de poluente, sem influências do termo advectivo com u = 0 e

v = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Figura 8 – Dispersão de poluentes, com influências do termo advectivo com u > 0

e v = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Figura 9 – Dispersão de poluentes, com influências do termo advectivo com u < 0

e v = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Figura 10 – Dispersão de poluentes, com influências do termo advectivo com u = 0

e v > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Figura 11 – Dispersão de poluentes, com influências do termo advectivo com u = 0

e v < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Figura 12 – Dispersão de poluente, com influências do termo advectivo com u = v. 34

Figura 13 – Dispersão de poluente, com influências do termo advectivo com u > v. 35

Figura 14 – Dispersão de poluente, com influências do termo advectivo com u < v. 35

Figura 15 – Dispersão de poluente, com influências do termo advectivo com u < 0 e

v > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Figura 16 – Dispersão de poluente, com influências do termo advectivo com u > 0 e

v < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Figura 17 – Dispersão de poluente, com influências do termo advectivo com u < v. 37

Figura 18 – Dispersão de poluente, com influências do termo advectivo com u > v. 37

Sumário

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1 CONHECENDO A BIOMATEMÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1 Difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Equação de Difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Métodos de Diferenças Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Método de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS E DISCUSSÕES . . . . . . . . 31

Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

APÊNDICES 44

APÊNDICE A – CÓDIGO MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

ANEXOS 48

ANEXO A – CÓDIGO MATLAB USADO COMO MODELO DO

PRESTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Introdução

A terminologia "difusão"é utilizada em várias áreas do conhecimento: na sociologia,

economia e finanças, no crescimento populacional, opiniões, estimação de valores. Nas áreas

de exatas a equação de difusão é utilizada em pesquisas e estudos de áreas como física,

química, biologia, na engenharia mecânica, engenharia química, na engenharia elétrica e

outras.

De acordo com Pedron (2003) a difusão, de maneira geral, descreve o fenômeno de

um conjunto de partículas presentes em um sistema quando encaminha-se para o estado

de equilíbrio. Também pode ser descrita do ponto de vista físico como o “movimento

Browniano, definindo-se como movimento aleatório de partículas microscópicas imersas em

um fluido” (IFUSP, 2011, p. 2). Esse movimento irregular, de partículas macroscopicamente

pequenas (microscópicas) chamadas de moléculas ativas por Robert Brown, no entanto

maiores que as moléculas do fluido, está relacionada a fenômenos de transportes difusivos

em grande escala Michels (2014). Além disso, do ponto de vista da química, sua utilização

é de grande importância, quando trata-se no transporte de matéria através de propagação

no meio, devido ao movimento das partículas.

A dispersão das partículas em um dado sistema, é tido como difusão anômala,

sendo que a movimentação dessas partículas são aleatórias, permitindo que os fenômenos

de transporte sejam descritos através da equação de difusão.

A equação de difusão descreve o desenvolvimento de fenômenos físicos, biológicos,

químicos e outros que frequentemente ocorre na natureza. Ao observar esses fenômenos

podemos construir modelos matemáticos através de equações diferenciais parciais, também

aplicado na equação de difusão-advecção com o objetivo de representar esses fenômenos.

Dependendo da estrutura e construção do modelo para encontrar as soluções

dessa equação, podemos obter através das soluções analíticas ou encontrar por meio de

aproximações numéricas.

Assim, este trabalho foi estruturado de acordo com artigos, monografias, dis-

sertações e teses que se preocupam com a questão ambiental. Dentre esses trabalhos a

grande maioria vem sendo desenvolvido pelo grupo de pesquisa da UNICAMP. Estas

Introdução 12

pesquisas utilizam algumas ferramentas matemáticas, tais como o método das Diferenças

Finitas ou Elemento Finitos, a série de Taylor, o método de Crank-Nicolson e para as

aproximações numéricas usam o auxílio de programas computacionais que possibilita

apresentar simulações em ambiente Matlab de cenários que se degradam com o decorrer

do tempo, aplicam a equação de difusão-advecção para mostrar essa situação.

Por isso, nossa intenção foi desenvolver um estudo para conhecer estas pesquisas

relacionada a Biomatemática em especial, com a finalidade de construir de um modelo

teórico matemático que visa mostrar como a ocorre a dispersão de poluentes em um

ambiente aquático no domínio retangular.

No primeiro capitulo abordamos um pouco sobre o conceito de difusão o qual

usamos como referência Atkins e Jones (2006), Pedron (2003), em seguida a estrutura teórica

da equação de difusão-advecção posteriormente mostramos as ferramentas matemáticas

que escolhemos para o tratamento do modelo teórico, como o método das Diferenças

Finitas estruturada na série de Taylor e o método de Crank-Nicolson também usamos como

referência Ruggiero e Lopes (1996), Kaplan (1972), onde utilizamos como base os trabalhos

desenvolvidos pelo grupo de pesquisa da UNICAMP. No segundo capitulo apresentamos

algumas simulações computacionais do nosso modelo que usamos como apoio o trabalho

de Prestes (2011) para os estudos.

Afinal, apresentamos a conclusão, onde ressaltamos a importância deste trabalho

para minha formação.

1 Conhecendo a Biomatemática

O presente trabalho tem sua construção baseando-se em referências como artigos,

monografias, teses e dissertações como por exemplo Vanderlinde (2010), Melo (2011),

Pedron (2003), Israel (2011), Kirndges e Meyer (2011), Koga, Meyer e Tabares (2011),

Prestes (2011), Almeida (2010), Abreu (2009), Poletti (2009), Missio (2008), Wolmuth

(2009), onde alguns desses trabalhos realizados pelo grupo de pesquisa em Biomatemática

da UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas. Este grupo desenvolve pesquisas

voltadas ao meio ambiente usando a modelagem matemática e simulações computacionais

em ambiente MATLAB, alguns desses estudos levam em consideração a influência do vento

no transportes da poluição, o efeito advectivo da equação de difusão-advecção, no domínio

bidimensional ou tridimensional sempre analisando cada caso, bem como a dispersão

de poluentes em meios aquáticos, que é um ramo de questão ambiental crescente em

discussões em nosso país. Esses modelos matemáticos visam principalmente representar

ações de recuperação dos cenários reais, através de cenários artificiais contribuindo para

um desenvolvimento sustentável do meio ambiente.

1.1 Difusão

As primeiras pesquisas experimentais, sobre a difusão foi realizada por Thomas

Graham, um químico escocês do século XIX que fez uma série de experiências sobre a

velocidade de efusão de gases. Descobriu-se também, que da mesma maneira, a difusão de

um gás varia aproximadamente com o inverso da raiz quadrada, Atkins e Jones (2006).

Décadas depois Adolf Fick (1855), usando as pesquisas de Graham, desenvolveu as leis

de difusão, observando a semelhança entre a difusão e a condução de calor de Fourier

em (1822) e a condução de eletricidade elétrica de Ohm em (1827) de acordo com Roque

(2014).

A difusão pode ser descrita pelo ponto de vista fenomenológico, referindo-se as

leis de Fick, definindo que as partículas transportam-se de áreas de maior concentração

para as áreas de menor concentração, que busca enfraquecer o gradiente de concentração

das partículas no ambiente Roque (2014).

Capítulo 1. Conhecendo a Biomatemática 14

Além disso, outra maneira descrever a difusão é abordado no ponto de vista

físico, atomística sobre o movimento Browniano e que foi mostrado bem antigamente, pela

primeira vez, com ênfase experimentalmente em:

Observe o que acontece quando os raios solares são admitidos em umprédio e lançam a luz sobre os lugares... Você verá uma infinidade depequenas partículas (grãos de poeira) se misturando em uma infinidadede maneiras... A dança destas partículas é uma indicação do movimentoda matéria que está escondida de nossa visão... Ele (o movimento) seoriginou com os próprios átomos [isto é, espontaneamente]. Então aquelespequenos corpos são colocados em movimento, removendo o ímpeto dosátomos. E, portanto, são postos em movimento pelo impacto de seusgolpes invisíveis (dos átomos nos grãos de poeira). Por sua vez, canhãocontra corpos um pouco maiores e assim por diante o movimento émontado a partir dos átomos e emerge gradualmente ao nível dos nossossentidos. Eu sei que os corpos estão em movimento. (Lucrécio, 60 a.capud IFUSP, 2011, p.2)

A descoberta do fenômeno Bowniano foi atribuída ao britânico escocês Robert

Brown (1773-1858), pois ele publicou o estudo em 1827. No entanto, segundo IFUSP

(2011), Brown não conseguiu descrever matematicamente esse fenômeno, só então em 1905

Albert Einstein explica a maneira certa de demostrar que o átomo existe.

Em suma, o nosso trabalho, utilizou os seguintes termos, sendo eles advecção

e dispersão. A advecção pode ser definida como transporte de matéria por um fluido,

onde pode haver movimentação do fluido. E a dispersão pode ser definida como a difusão

adicionada com dispersão hidrodinâmica, servindo no transporte de matéria no fluido de

forma mecânica de acordo com Dyminski (2006).

1.2 Equação de Difusão

A equação de difusão é formada por operações matemáticas definidas por equações

diferenciais parciais, a qual pode ser descrita por modelos matemáticos estruturados por

leis. Desse modo nos utilizamos as leis de Adolf Fick, onde usa o coeficiente de difusão,

para determinarmos a equação de difusão-advecção de acordo com Pedron (2003).

Observamos que alguns fenômenos de difusão segue a lei linear proposta por Fick,

assim temos:

J = −D∇ρ

• J representa a densidade de corrente;


• ∇ representa o vetor operador diferencial;

• D representa o coeficiente de difusão ou difusividade;

• ρ representa a densidade de elemento que se difundi.

Segue a demonstração de como determinar a equação de difusão, a partir das leis

de fick baseada na referência Pedron (2003).

Consideramos que a substância difundida não é nem absorvida nem emitida pelo

meio. Então a lei de conservação para esta substância implica uma equação de continuidade:

∂ρ

∂t+∇.J = 0

Combinando essas duas equações, chegamos à equação de difusão:

∂ρ

∂t= D∇2ρ

Se o sistema estiver sob a ação de uma força externa, ou arraste, a densidade de

corrente é:

J = −D∇ρ+ µFρ,

com µ representando a mobilidade. A equação de difusão com arraste é então

escrita como:

∂ρ

∂t= D∇2ρ− µ∇(Fρ)

A equação de difusão também é modificada se for possível a substância ser criada

(emitida) ou destruída (absorvida). Neste caso, a equação de continuidade é:

∂ρ

∂t+∇.J = δ,

na qual δ é a densidade da fonte, onde δ > 0 e δ < 0 estão associados à criação e

absorção de substância, respectivamente. Portanto, a correspondente equação de difusão,

não-homogênea, é dada por:


∂ρ

∂t= D∇2ρ+ δ.

Evidentemente, podemos ter os diversos fenômenos ocorrendo simultaneamente,

sendo descritos pela equação:

∂ρ

∂t= D∇2ρ− µ∇(Fρ) + δ.

Essa é a equação geral de difusão-advecção que é muito utilizada. Nos últimos

anos a equação de difusão vem contribuído em relação a transportes, onde usa a difusão

anômala em várias aplicações de modo geral, bem como, o transporte de fluidos em meios

porosos Ott et al. (1990), em análise batidas do coração em indivíduos saudáveis Peng et

al. (1993) estas são apenas dois exemplos mas ela pode ser usada em outras aplicações.

Atualmente há grande valorização sobre o desenvolvimento sustentável, por causa

da degradação do meio ambiente através de alguns fatores sendo eles, o crescente aumento

do desmatamento, a liberação de dióxido de carbono, a poluição do ar que é gerado

por queima de combustíveis fósseis como gasolina, diesel e carvão mineral, a poluição de

rios, lagos, mares e oceanos que são gerados por despejos de esgoto e acidente ambiental,

por exemplo, vazamento de petróleo, diesel e outros, como descreve o efeito estufa e

aquecimento global com isso tendo a possibilidade de alterações climáticas e entre outras

situações alterando o equilíbrio natural do ambiente.

Devido a esses fatores está sendo discutida em conferências por todo mundo e entre

países essas situações, uma reunião que ficou marcada e teve grande relevância nos últimos

anos foi a Conferência das Nações Unidas sobre o Meio Ambiente e Desenvolvimento

Sustentável(CNUDS) a mais conhecida como Rio+20 que aconteceu no Brasil em 2012,

foi realizada na cidade do Rio de Janeiro entre os dias 13 a 22 de junho, deixou para o

nosso país vários compromissos de desenvolvimento sustentável para os próximos anos, de

acordo com Brasil (2012).

Além dessas discussões, existe vários estudos voltados a preservar e diminuir esses

impactos, como é realizado pelo grupo de pesquisa em Biomatemática da UNICAMP, que

utilizam de ferramentas matemáticas como apresentadas anteriormente para descrever

esses processos principalmente em relação a degradação de ambientes aquáticos.


Por meio da construção do nosso trabalho, buscamos entender algumas ferramentas

matemáticas como o método de Diferenças Finitas, a Série de Taylor, o método de Crank-

Nicolson com o intuito de aplicá-las na equação de difusão-advecção, temos como objetivo

simular a dispersão de poluentes em um ambiente aquático, no caso de nosso modelo

teórico um domínio retangular.

Assim para apresentar esses procedimentos de dispersão de poluentes, usamos a

equação de difusão-advecção que foi aperfeiçoada através de uns modelos, tais como Okubo

e Levin (1980) para o coeficiente de difusão efetiva, como Edelstein-Keshet (1988) para

o decaimento, também conhecida como degradação o fenômeno chamado de fração das

partículas que sobre influências com meio externo de acordo com Prestes (2011), Marchuck

(1986) para o transporte advectivo u e v são vetores que são influenciados por fatores

externos principalmente ventos ou movimento aleatórios segundo Poletti (2009).

Indicamos a concentração de material impactante por C(x, y, t), sendo colocada

em determinada região num plano bidimensional (x, y, ) ∈ Ω ⊂ R2 verificada num instante

t ∈ (0, T ), assim reescrevemos a equação de difusão-advecção, como sendo:

∂C

∂t= div(α∇C)︸︷︷︸

Difusão

− div(CV)︸︷︷︸T ransporte

− σC︸︷︷︸Decaimento

+ f︸︷︷︸F onteP oluição

(1.1)

• C representa a concentração de material impactante;

• divα∇C representa a difusão efetiva;

• V = (u, v) representa as velocidades (advecção);

• σC representa a degradação (também conhecida como decaimento);

• f representa a fonte de poluição.

Essa é a equação que será utilizada para o desenvolvimento deste trabalho será

aplicado a métodos numéricos para a modelagem matemática e para as discretização das

equações, do domínio e para as variáveis temporais.


1.3 Métodos de Diferenças Finitas

Os problemas citados anteriormente, utilizam a equação de difusão-advecção, onde

muitas vezes caem equações diferenciais parciais não lineares que algumas apresentam

soluções e outras não apresentam uma solução analítica, o que necessita de um tratamento

diferenciado.

Assim percebemos que este trabalho vislumbra a simulação de um problema em

ambiental computacional, onde é utilizado o método das diferenças finitas que é conhecido

por simples aplicação na resolução de problemas de valor inicial ou de valor contorno,

podendo ser utilizado nas equações ordinárias ou em equações parciais.

O Método de Diferenças Finitas visa "transformar problemas formados por equa-

ções diferenciais em problemas envolvendo sistemas de equações algébricas, usando para

isto aproximações das derivadas que aparecem na equação, por diferenças finitas"conforme

Ruggiero e Lopes (1996). O método das diferenças finitas consiste na discretização de

derivadas, existentes na equação diferencial, onde essas derivadas são aproximadas pelas

diferenças finitas entre os valores da discretização.

De acordo com Ferreira; Ferreira, Kaibara e Navarro (2005) geralmente, a discre-

tização acontecesse em duas fases a primeira a discretização do domínio e a segunda a

discretização das equações.

Nesta primeira fase acontece a descrição numérica do domínio, contendo as posições

dos pontos da malha computacional onde buscamos encontrar a possível solução. Com isso,

consiste em dividir o domínio, formando vários subdomínio finitos, eles podem ser iguais

a uma malha uniforme, ou ser de tamanhos diferentes sendo uma malha não-uniforme.

Mas na maioria dos problemas usa-se a malha uniforme, em alguns casos, nos conceitos de

análise numérica possuem várias vantagens numéricas a utilização da malha não-uniforme.

Na segunda fase, é realizada a discretização das equações fornecendo as equações

de diferenças, com o objetivo de relacionar as variáveis dependentes nos pontos do domínio

discretizado.

Para construir as aproximações nas derivadas existentes na equação, do nosso

problema é necessário, usar os Operadores de Diferenças Finitas (ODF) que podem ser

encontrados pela expansão em Série de Taylor ou por interpolação polinomial. É possível


pela expansão em Série de Taylor obter os Operadores de Diferenças Atrasada, Operadores

de Diferenças Centrada e Operadores de Diferenças Adiantada.

Com isso os operadores de diferenças finitas faz a substituição da derivadas na

equação, dessa forma construindo um sistema de equações algébricas tornando os cálculos

simples para encontrar a solução e aplicá-lo na malha.

Neste trabalho usamos as aproximações nas derivadas de primeira e segunda

ordem. E a ferramenta matemática que utilizamos para encontrar essas aproximações das

derivadas será através da fórmula baseada na Série de Taylor.

1.4 Série de Taylor

Entende-se por série de Taylor, como sendo a expansão de séries de potências, que

possui uma função de derivadas que pode ser de qualquer ordem. De acordo com Kaplan

(1972). Seja f(h) a soma de uma série de potências cujo o intervalo de convergência é

a− r∗ < h < a+ r∗(r∗ > 0):

f(h) =∞∑

n=0Cn(h− a)n, a− r∗ < h < a+ r∗ (1.2)

Essa série denomina-se a série de Taylor de f(h) se os coeficientes Cn forem dados

pela regra:

C0 = f(a), C1 = f ′(a)1! , C2 = f ′′(a)

2! , Cn = f(n)n!

Temos então:

f(h) = f(a) + f ′(a)(h− a)1! + · · ·+ fn(n)(h− a)n

n! + · · ·

Kaplan (1972) apresenta o seguinte teorema, "toda série de potência com raio de

convergência não-nulo é a série de Taylor de sua soma". Demonstração: Seja f(h) dada por

Equação 1.2. Então por derivação pelo teorema descrito por Kaplan (1972), mostra que

pode-se derivar uma série de potência termo a termo dentro do intervalo de convergência,

se temos:

f(h) = C0 + C1(h− a) + C2(h− a)2 + · · ·+ Cn(h− a)n + · · ·


f ′(h) = C1 + 2C2(h− a) + · · ·+ nCn(h− a)n−1 + · · ·

f ′′(h) = 2C2 + 6C3(h− a) + · · ·+ n(n− 1)Cn(h− a)n−2 + · · · ...

fn(h) = n(n− 1) · · · 2Cn(n+ 1)n · · · 2Cn+1(h− a) + · · ·

Todas essas séries convergem em a − r∗ < h < a + r∗(r∗ > 0). Tomando agora

(h = a) obtemos:

f(a) = C0, f′(a) = C1, f

′′(a) = C2, · · · , fn(n) =n!Cn · · · ,

donde resulta que:

C0 = f(a) e Cn = fn(a)n! , n = 1, 2, · · · ,

Dessa forma, a série de Taylor pode ser escrita:

f(h) 6=+∞∑n=0

fn(a)n! (h− a)n = f(a) +f ′(a)(h−a) + f ′′(a)(h− a)2

2! + · · ·+ fn(a)n! (h−a) + · · ·

(1.3)

Com isso teremos as seguintes expressões, fazendo a substituição de (h = x−∆x)

e (h = x+ ∆x).

Para encontrar as aproximações das derivadas de primeira e segunda ordem,

a partir da série de Taylor utiliza-se o raio de convergência de ∆x, a função y será

infinitamente derivável como sendo variações de ”x” e a = x na equação 1.3.

Inicialmente iremos fazer a substituição e expandindo em y, substituindo (h =

x−∆x) temos:

f(h) = y(x−∆x) = y(x)+y′(x)(x−∆x−x)+y′′(x)2! (x−∆x−x)2−y

′′′(x)3! (x−∆x−x)3+· · ·+

(1.4)

Resolvendo:

y(x−∆x) = y(x)− y′(x)∆x+ y′′(x)2! ∆x2 − y′′′(x)

3! (∆x)3 + · · ·+ (1.5)

E de maneira análoga fazendo a substituição e expandindo em y, quando h =

x+ ∆x, teremos que:

f(h) = y(x+ ∆x) = y(x) + y′(x)(x+ ∆x− x) + y′′(x)2! (x−∆x− x)2 + y′′′(x)

3! (∆x)3 + · · ·+


Resolvendo:

y(x+ ∆x) = y(x) + y′(x)∆x+ y′′(x)2! ∆x2 − y′′′(x)

3! (∆x)3 · · ·+ (1.6)

Para encontrarmos a aproximação na ordem de ∆x3 para a primeira derivada

realizamos a subtração das equações 1.5 e 1.6, assim obtemos:

y(x−∆x) = y(x)− y′(x)∆x+ y′′(x)2! ∆x2 − y′′′(x)

3! (∆x)3 · · ·+

−

y(x+ ∆x) = y(x) + y′(x)∆x+ y′′(x)2! ∆x2 + y′′′(x)

3! (∆x)3 · · ·+

Resolvendo:

y(x−∆x)− y(x+ ∆x) = −2y′(x)∆x+ θ∆x3

⇒ y′(x) = y(x−∆x)− y(x+ ∆x)2∆x + θ∆x3

Da mesma maneira para determinar as aproximações na ordem de ∆x3 para a

segunda derivada, basta somar as equações 1.5 e 1.6, dessa forma termos que:

y(x−∆x) = y(x)− y′(x)∆x+ y′′(x)2! ∆x2 − y′′′(x)

3! + (∆x)3θ1∆x4 + · · ·+

+

y(x+ ∆x) = y(x) + y′(x)∆x+ y′′(x)2! ∆x2 + y′′′(x)

3! (∆x)3 + θ2∆x4 + · · ·+

Onde: θ3 = θ1 + θ2, resolvendo:

y(x−∆x) + y(x+ ∆x) = 2y(x) + 2y′′(x)2! + θ3∆x4

⇒ y(x−∆x) + y(x+ ∆x) = 2y(x) + y′′(x)∆x2 + θ3∆x4

⇒ −y(x−∆x)− 2y(x) + y(x+ ∆x)∆x2 θ3∆x4 = −y′′(x)(∆x2)


⇒ y(x−∆x)− 2y(x) + y(x+ ∆x)∆x2 + θ3∆x3∆x4 = y′′(x)

Dessa forma, podemos representar geometricamente a expansão da série de Taylor,

como determinamos nos cálculos acima os operadores da diferença atrasada e diferença

centrada, que também pode ser usada para determinar o operador de diferença adiantada,

como observamos na Figura 1.

Figura 1 – Gráfico de operadores de diferenças da série de Taylor.

1.5 Método de Crank-Nicolson

O método de Crank-Nicolson que utilizamos em nosso trabalho, foi desenvolvido

por dois físicos, sendo eles: John Crank e Phyllis Nicolson.

John Crank (1916-2006), recebeu o título de Bacharel e Mestre depois de Doutor

em 1953, posteriormente trabalhou na guerra balística como físico matemático em Cour-

taulds no Laboratório de Pesquisa Fundamental em (1945-1957), também foi professor

de matemática na Universidade de Brunel inicialmente na Brunel College, em Acton de

(1957-1981) Mathematics; Andrews (2000a).

Phyllis Nicolson é uma física que colaborou no desenvolvimento do método, o qual

trabalhamos. Estudou em Stockport High School recebendo o grau de Bacharel(1938),

Mestre (1939) e Doutorado em Física (1946) pela Universidade de Manchester e foi também


uma estudante de pesquisa (1945-1946) e bolsista de investigação (1946-1949) no Girton

College, Cambridge Mathematics; Andrews (2000a),

Figura 2 – John Crank.

fonte: Mathematics e Andrews (2000a)

Figura 3 – Phyllis Nicolson.

fonte: Mathematics e Andrews (2000b)

Enfim, ambos os pesquisadores John Crank e Phyllis Nicolson, tiveram em comum

grande reconhecimento de principal trabalho em analise numérica, em especial a solução

de problemas que envolve a equação do calor e as equações diferenciais parciais.

As fórmulas apresentadas anteriormente, da mesma maneira que usamos a expansão

em série de Taylor para obter os operadores de diferenças. Vamos determina a partir da

derivada de primeira ordem na variável t, buscando encontrar as aproximações para ∂C∂t,

com o erro na ordem de θ(∆t)2.

De acordo com Prestes (2011), aplicaremos as derivadas parciais em C(x, y, t) que

serão aproximadas em um mesmo instante, obtendo a discretização temporal em duas

etapas:

A primeira etapa será dividido um intervalo (0, T ] ⊂ R em nt subintervalos

[tn, tn+1] e ∆t = (T/nt).

Na segunda etapa, iremos considerar o método de Crank–Nicolson, que será


aplicado na equação diferencial através de derivadas parciais no ponto intermediário, na ∂C∂t

nos pontos t(n+∆t/2), e representamos por C(xi, yi, tn) sendo Cni e C(xi, yi, tn+∆t/2) sendo

C(n+1/2)i .

Para desenvolver o método, utilizaremos os cálculos auxiliares abaixo, são eles:

C(n)i = C

(n+1/2)i − ∆t

2∂C

∂t+ (−∆t)2

2∂C2

∂t2+ θ1(−∆t)3 (1.7)

C(n+1)i = C

(n+1/2)i + ∆t

2∂C

∂t+ (∆t)2

2∂C2

∂t2+ θ2(∆t)3 (1.8)

Realizando a operação de subtração das equações 1.7 e da 1.8:

C(n)i = C

(n+1/2)i − ∆t

2∂C

∂t+ (−∆t)2

2∂C2

∂t2+ θ1(−∆t)3

−

C(n+1)i = C

(n+1/2)i + ∆t

2∂C

∂t+ (∆t)2

2∂C2

∂t2+ θ2(∆t)33

Resolvendo:

C(n)i − C(n+1)

i = −∆t∂C∂t

+ θ3(∆t)2

⇒ ∂C

∂t= C

(n+1)i − C(n)

i

∆t θ3(∆t)2

Somando as equações 1.7 e da 1.8, no instante t = t(n+1/2), temos que:

C(n)i = C

(n+1/2)i − ∆t

2∂C

∂t+ (−∆t)2

2∂C2

∂t2+ θ2(−∆t)3

+

C(n+1)i = C

(n+1/2)i + ∆t

2∂C

∂t+ (∆t)2

2∂C2

∂t2+ θ2(∆t)3

Resolvendo:

C(n)i + C

(n+1)i = 2C(n+1/2)

i + θ3(∆t)2

⇒ C(n+1/2)i = C

(n)i + C

(n+1)i

2 + θ3(∆t)2

Com estas equações realizamos a discretização temporal, utilizando as derivadas

parciais em relação x e y que serão aproximadas, com os resultados encontrados, ou

seja, trabalhamos com um método estável e vantajoso para aproximações numéricas na

utilização computacional de acordo com Carnahan, Luther e Wilkes (1969) apud Prestes

(2011).


O modelo matemático que apresentamos estará utilizando a equação de difusão-

advecção apresentada anteriormente, o qual estaremos discretizando pelo método das

diferenças finitas e Crank-Nicolson na parte temporal.

A região do domínio (Ω), será uma área retangular de comprimento c e largura r,

em relação as bordas usamos as condições de contorno baseadas no trabalho de Prestes

(2011), sendo elas Robin Homogêneo e Von Neumann.

Figura 4 – O domínio retangular, da área que trabalhamos.

Onde será, divido o eixo das abscissas em subintervalos [0, c] em nx vários subin-

tervalos, assim ∆x = cnx, da mesma forma dividimos o eixo das ordenadas [0, r] em ny

subintervalos, temos que ∆y = rny.

Construindo a malha na região r, considerando ny a quantidade de divisores de

"r"e nx a quantidade de divisores em "c", temos:


Figura 5 – Sequência sucessiva de intervalos (malha).

Considerando as condições iniciais do problema iremos manter as bordas como

referência de Prestes (2011), logo a quantidade de pontos na malha será de nny = ny + 1

pontos por colunas e nnx = nx + 1 pontos por linha, totalizando (tp = (nny ∗ nnx)).

Apresentado um ponto arbitrário Ci, mostrarmos a segui na malha os pontos interiores de

um determinado domínio, Figura 6, que em nosso caso é uma situação retangular:

Figura 6 – Pontos interiores da malha.

Determinados os pontos interiores na malha, utilizaremos a Equação 1.1, reescrevendo-

a de forma que obteremos as derivadas de segunda ordem em relação a x e a y, tendo que

o V vetor é constante, onde por u é a direção em relação ao eixo x e v é a direção ao eixo


y, assim teremos que a Equação 1.1 ficará:

∂C

∂t= α

(∂2c

∂x2 + ∂2C

∂y2

)︸︷︷︸

Difusão

−u(∂C

∂x

)− v

(∂C

∂y

)︸︷︷︸

T ransporte

− σC︸︷︷︸Decaimento

+ f︸︷︷︸F onteP luição

(1.9)

Com isso, desenvolvemos o método de Crank–Nicolson, usando os cálculos auxilia-

res, e as equações parciais de primeira e segunda ordem que demostramos anteriormente

pela série de Taylor, aplicado na malha de nós em f(xi, yi, t(n+∆t/2)), é indicado por

f (n+1/2) para encontrar a solução aproximada, de acordo com os cálculos das equações

vistas anteriormente estabelecemos:

∂C

∂t(ti, t(n+∆/2)) = C

(n+1)i − C(n)

i

∆t∂2C

∂x2 (xi, t(n+∆t/2)) ∼=C

(n+1/2)i+nny − 2C(n+1/2)

i + C(n+1/2)i−nny

∆x2 ∗

∂2C

∂y2 (yi, t(n+∆/2)) ∼=C

(n+1/2)i+1 − 2C(n+1/2)

i + C(n+1/2)i−1

∆y2

∂C

∂x(xi, t(n+∆/2)) ∼=

C(n+1/2)i+nny − C

(n+1/2)i−nny

2∆x ∗

∂C

∂y(yi, t(n+∆/2)) ∼=

C(n+1/2)i+1 − C(n+1/2)

i−12∆y

Observação: Temos que (∗) são as derivadas parciais, em relação a ”x” e de acordo

com a Figura 6. O elemento anterior ”ai” será i− nny e posterior i+ nny

C(n+1)i − Cn

i

∆t∼=

α

C(n+1/2)i+nny − 2C(n+1/2)

i + C(n+1/2)i−nny

∆x2

+C(n+1/2)

i+1 − 2C(n+1/2)i + C

(n+1/2)i−1

∆y2

−u

C(n+1/2)i+nny − C

(n+1/2)i−nny

2∆x

− vC(n+1/2)

i+1 − C(n+1/2)i−1

2∆y

− σC(n+1/2)i + f (n+1/2)

Usando a equação acima, vamos trabalhar com a Equação 1.9 na aplicação do

Método de Crank-Nicolson, fazendo as devidas substituições:

C(n+1)i − C(n)

i

∆t∼= α

C

(n+1)i+nny + C

(n)i+nny

2 − 2C(n+1)i + 2C(n)

i

2 +C

(n+1)i−nny + C

(n)i−nny

2∆x2

+


α

C

(n+1)i+1 + C

(n)i+1

2 − 2C(n+1)i + 2C(n)

i

2 + C(n+1)i−1 + C

(n)i−1

2∆y2

−

u

(C(n+nny)1+nny + C

(n)i+1)− (C(n+1)

i−nny + C(n)i−nny)

4∆x

− v(C(n+1)

i+1 + C(n+1)i+1 )− (C(n+1)

i−1 + C(n)i−1)

4∆y

−

σ

(C(n+1)i + C

(n)i )

2

+ fn+1/2

Na equação a seguir, à variável ∆t irá multiplicar os termos do lado direito da

equação, na mesma oportunidade vamos resolver algumas frações dos termos na equação,

dessa forma obtemos:

C(n+1)i − C(n)

i∼= α∆t

C(n+1)i+nny + C

(n)i+nny − (2C(n+1)

i + 2C(n)i ) + (C(n+1)


2∆x2

+

α∆tC(n+1)

i+1 + C(n)i+1 − (2C(n+1)

i + 2C(n)i ) + (C(n+1)

i−1 + C(n)i−1)

2∆y2

+

u∆t(C(n+1)

i+nny + C(n)i+nny)− (C(n+1)


4∆x

−

v∆t(C(n+1)

i+1 + C(n)i+1)− (C(n+1)

i−1 + C(n)i−1)

4∆y

−

σ∆tC(n+1)

i + C(n)i

2

+

∆tf (n+1/2)

Com isso, agrupamos os termos semelhantes da equação acima em relação a n+ 1

e n, assim:

C(n+1)i −C(n)

i∼= α∆t

C(n+1)i+nny − 2C(n+1)

i + C(n+1)i−nny

2∆x2

+α∆tC(n+1)

i+1 − 2C(n+1)i + C

(n+1)i−1

2∆y2

+

α∆tC(n)

i+nny − 2C(n)i + C

(n)i−nny

2∆x2

+ α∆tC(n)

i+1 − 2C(n)i + C

(n)i−1

2∆y2

−


u∆tC(n+1)

i+nny − C(n+1)i−nny

4∆x

− v∆tC(n+1)

i+1 − C(n+1)i−1

4∆y

−

u∆tC(n)

i+nny − C(n)i−nny

4∆x

− v∆tC(n)

n+1 − C(n)i−1

4∆y

−

σ∆tC(n+1)

i

2

− σ∆tC(n)

i

2

+

∆tf (n+1/2)

A equação anterior fizemos manipulações algébricas, assim a equação ficará:

C(n+1)i − α∆t

C(n+1)i+nny − 2C(n+1)

i + C(n+1)i−nny

2∆x2

α∆tC(n+1)

i+1 − 2C(n+1)i + C

(n+1)i−1

2∆y2

+

u∆tC(n+1)

i+nny − C(n+1)i−nny

4∆x

+ v∆tC(n+1)

i+1 − C(n+1)i−1

4∆y

+ σ∆tC(n+1)

i

2

=

C(n)i + α∆t

C(n)n+nny − 2C(n)

i + C(n)i−nny

2∆x2

α∆tC(n)

i+1 − 2C(n)i + C

(n)i−1

2∆y2

−

u∆tC(n)

i+nny − C(n)i−nny

4∆x

− v∆tC(n)

i+1 − C(n)i−1

4∆y

−

σ∆tC(n)

i

2

+ f (n+1/2)∆t

Dessa forma, para resolver a equação acima simplificamos os termos semelhantes,

com o intuito de deixar em evidência os termos em relação a n+ 1 e n, com isso temos:

(− α∆t

2∆x2 −u∆t4∆x

)C

(n+1)i−nny +

(− α∆t

2∆x2 + v∆t4∆y

)C

(n+1)i−1 +

(1 + α∆t

∆x2 + α∆t∆y2 + σ∆t

2

)C

(n+1)i +

(− α∆t

2∆y2 + v∆t4∆y

)C

(n+1)i+1 +

(− α∆t

2∆x2 + u∆t4∆x

)C

(n+1)i+nny =

(α∆t2∆x2 + u∆t

4∆x

)C

(n)i−nny +

(α∆t2∆y2 + v∆t

4∆y

)C

(n)i−1 +

(1− α∆t

∆x2 −α∆t∆y2 −

σ∆t2

)C

(n)i +


(α∆t2∆y2 −

v∆t4∆y

)C

(n)i+1 +

(α∆t2∆x2 −

u∆t4∆x

)C

(n)i+nny+

f (n+1/2)∆t

A partir da equação acima podemos estruturar um sistema linear formado por

equações e incógnitas relacionando certos nós de uma malha, de acordo com Prestes (2011),

de uma região regular ou irregular.

Respeitando a malha, Prestes (2011) construiu um programa em ambiente Matlab,

com o intuito de representar como a poluição se dispersa em uma região por meio

de simulações computacionais. Para realizar essas representações através de simulações

computacionais, deve-se estabelecer algumas condições de contorno tais como Dirichlet,

Neumann e Robin podendo aplicar nas bordas das regiões estudas.

Para apresentar as simulações nesde trabalho, não analisaremos as condições de

contorno do problema, simplesmente estaremos assumindo as mesmas condições apresenta-

das por Prestes (2011).

2 Simulações Computacionais e Discussões

Como o presente trabalho foi baseado em outros estudos que trazem contribuições

importantes para a questão ambiental, um deles usamos como modelo matemático a

referencia de Prestes (2011), assim como também o programa em ambiente Matlab que

utilizou em sua dissertação.

Realizamos simulações no programa apresentado por Prestes (2011) em ambiente

Matlab, fazendo modificações nos parâmetros do programa, utilizamos as mesmas condições

de contorno, sendo elas, Robin homogêneo e Von Neumann para apresentar como uma

fonte poluição se dispersa em uma região retangular.

A fonte de poluição que utilizamos em nossos estudos, foi empregada por exemplo

um cano de esgoto que estourou sobre uma região, dessa forma a poluição é libera de

forma continua sobre um o ambiente aquático.

De acordo com a equação de difusão-advecção com região Ω, apresentaremos assim

os gráficos abaixo que representam o processo de dispersão de poluentes, com 168 iterações,

sendo uma fonte poluente pontual localizada no centro da região estuda, consideramos essa

região retangular como por exemplo um plano cartesiano assim determinarmos a direção

da dispersão de poluentes.

Primeiramente considerando o vetor advectivo ~V = (u, v) como elemento nulo.

Nestas condições, a poluição se dispersão se espalha, sem influência de velocidades ou

qualquer corrente.

Capítulo 2. Simulações Computacionais e Discussões 32

Figura 7 – Dispersão de poluente, sem influências do termo advectivo com u = 0 e v = 0.

Observamos que o movimento apresentado na acima não é circular, isto ocorrem

devido as condições de contorno apresentado por Prestes (2011).

As figuras 8 e 9 a seguir, iremos considerar os vetores u > 0 e v = 0, depois

u < 0 e v = 0, assim percebermos que quando u representa a valores maiores ou menores

que zero e v = 0, a poluição sofre influências de vento, ou fluxo de água entre outras

influências, ocorrendo dispersão direcionada no sentido relacionado ao eixo x para direita

e para esquerda.

Figura 8 – Dispersão de poluentes, com influências do termo advectivo com u > 0 e v = 0.


Figura 9 – Dispersão de poluentes, com influências do termo advectivo com u < 0 e v = 0.

O processo de dispersão das figuras 8 e 9 deveria seguir para direita ou para

esquerda tal mudança se dá pelas condições de contorno.

Situação semelhante acontece nas figuras 10 e 11 seguintes onde u = 0 e v > 0,

logo após u = 0 e v < 0 nessas condições onde v assume valores maiores ou menores que

zero e u = 0 a poluição se dispersa, com influências externas do meio onde se localiza a

poluição como por exemplo correntezas, em relação ao eixo y positivo e negativo.

Figura 10 – Dispersão de poluentes, com influências do termo advectivo com u = 0 e

v > 0.


Figura 11 – Dispersão de poluentes, com influências do termo advectivo com u = 0 e

v < 0.

Nas figuras 12, 13 e 14 seguintes podemos observar que os valores de u e v são

negativos, porém na Figura 12 u e v são valores iguais, também negativos. Podemos

concluir que sendo ambos valores diferentes negativos, nas três figuras a seguir ocorre se

dispersão de poluentes com influências externas do meio para o mesmo sentido, podendo

ser por exemplos chuvas, observamos o que modifica são as velocidades, pois a cada figura

diminui a dispersão de poluente de forma direcionada para o eixo y positivo:

Figura 12 – Dispersão de poluente, com influências do termo advectivo com u = v.


Figura 13 – Dispersão de poluente, com influências do termo advectivo com u > v.

Figura 14 – Dispersão de poluente, com influências do termo advectivo com u < v.

Nas próximas figuras15 e 16 temos que u > 0 e v < 0, e em situação contraria que

seria u < 0 e v > 0, assim verificamos a dispersão de poluente ocorre em sentidos opostos

em relação ao eixo y, mostrando como a poluição se espalha com a influência do meio

externo, como ventos, chuva e entre outros.


Figura 15 – Dispersão de poluente, com influências do termo advectivo com u < 0 e v > 0.

Figura 16 – Dispersão de poluente, com influências do termo advectivo com u > 0 e v < 0.

As últimas duas figuras 17 e 18 possuem a mesma características da figura anterior

pois u e v são maiores que zero e positivos, porém possuem valores diferentes, semelhante

as figuras anteriores, elas mostram a dispersão do poluente para o mesmo sentido, no

entanto a cada figura a dispersão aumenta em relação ao eixo y. Com influências do meio,

como por exemplo ventos ou movimento ondulatórios, observe:


Figura 17 – Dispersão de poluente, com influências do termo advectivo com u < v.

Figura 18 – Dispersão de poluente, com influências do termo advectivo com u > v.

Observamos em todas as figuras 2 até 18, quando v 6= 0 o direcionamento contrário

ao plano coordenado em relação aos eixos x e y, assumindo u como eixo x e v como eixo

y. Notamos alteração na direção de v, pois quando v > 0 a dispersão direciona para

a parte negativa do gráfico e quando v < 0 direção é para a parte positiva do gráfico,

não descobrimos se tal situação ocorre por questão do processo ou se por erro na parte

computacional.

Enfim, essas simulações computacionais da equação de difusão-advecção pode ser


utilizada para mostrar, tipos fenômenos que trabalhamos relacionado a Biomatemática e

entres outros fenômenos aplicados em outras áreas da ciência.

Conclusão

Considerando um dos objetivos que tentamos alcançar para o presente estudo

foi construir e fazer a programação de um modelo matemático para desenvolver algumas

simulações computacionais de como a poluição se dispersa em uma região retangular.

Assim definimos estudar um modelo matemático de Prestes (2011) com o intuito de realizar

algumas simulações computacionais fazendo modificações nos parâmetros do problema

para conhecer como podemos utilizar a equação de difusão-advecção para representar

processos físico na propagação de poluentes em ambientes aquáticos. Para isto, com base

em Prestes (2011) que utilizou com o software Matlab, mostrando o desenvolvimento da

dispersão de poluentes na superfície de uma região retangular.

Nosso trabalho objetivou em termos, um primeiro contato com estudos que

analisam o comportamento da concentração de poluente na superfície de uma região

aquática, sobre a influência de fatores externos, tais como, vento, chuvas, movimento

ondulatórios, fluxo das águas até correntezas entre outras influências, para isto, utilizamos

o termo advectivo no domínio retangular Ω para trabalhar com a equação de difusão-

advecção. Neste trabalho destacamos a superfície interna os pontos interiores do domínio

Ω, e não as bordas do domínio que foi estudado, portanto resolvemos deixar para fazer os

estudos do tratamento das bordas por meio das condições de contorno, tais como: Diriclet,

Von Neumann e Robin para futuros trabalhos, como a elaboração de um artigo ou futura

dissertação de mestrado.

Este trabalho proporcionou a possibilidade de pesquisas e estudos matemáticos

em Análise Numérica para conhecer o processo de dispersão de poluentes em ambientes

áquaticos, usando o método de Diferenças Finitas, a série de Taylor e o método de Crank-

Nicolson, com o intuito de verificar o comportamento advectivo presente na equação de

difusão-advecção, com isto pudemos conhecer os conteúdos matemáticos que são pouco

abordados no curso de Licenciatura em Matemática, com isso, ampliando o campo de

estudos para a continuação e processos de formação na área de matemática, se possível

em um programa de mestrado.

Como o objetivo do presente trabalho foi conhecer os estudos e pesquisas na

Conclusão 40

área de Biomatemática, em especial do grupo da UNICAMP que abordam o método

das diferenças finitas e como ocorre a dispersão de poluentes em ambientes áquaticos

em domínios regulares ou irregulares, que apresentam simulações computacionais em

ambiente Matlab, como é o desenvolvimento do método e o resultado apresentados pelos

pesquisadores estudados, como queríamos demostrar concluímos que o nosso objetivo

principal foi alcançado.

41

Referências

ABREU, L. C. Influência de Poluentes sobre Macroalgas na Baía de Sepetiba, RJ:Modelagem Matemática, Análise Numérica e Simulações Computacionais. Dissertação(Mestrado) — Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística eComputação Científica, São Paulo, 2009.

ALMEIDA, J. R. F. Modelagem Matemática e Simulação Computacional para análise deDispersão de Poluente em um trecho do Rio Paraíba do Sul. Dissertação (Mestrado) —Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e ComputaçãoCientífica, São Paulo, 2010.

ATKINS, P.; JONES, L. Princípios de Química: Questionando a Vida Moderna e o MeioAmbiente. 3. ed. [S.l.]: Bookman, 2006.

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definir

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Referências 42

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Apêndices

APÊNDICE A – Código Matlab

1 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

2 % Cenario : Dominio retangular %

3 % Condicoes de Fronteira : Von Neumann e Robin homogeneo nas bordas %

4 % Direcao do Vento: Basta alterar os%

5 % componentes dos ventos : Nos parametros do problema %

6 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

7 clear all

8 % entrada de parametros do problema

9 alfa =0.7e -3; sigma =0.2e -4;

10 u= -0.09e -2; v= -0.19e -2; f=1;

11 % parametros do dominio

12 l=2.0; h=1.0; tf =600;

13 % parametros da discretizacao

14 nx =40; dx=l/nx; ny =40; dy=h/ny;

15 nnx=nx +1; nny=ny +1; nn=nnx*nny;

16 nt =168; dt=tf/nt;

17 % Ncleo de Peclet

18 ux=u*dx/alfa;vy=v*dy/alfa;

19 % condicao inicial

20 czero=zeros(nn ,1);

21 % calculos auxiliares

22 ddx=dx*dx; ddy=dy*dy;

23 adtx=alfa*dt/ddx; adty=alfa*dt/ddy;

24 sdt2=sigma*dt /2;

25 udt=u*dt /(4* dx); vdt=v*dt /(4* dy);

26 %

27 dpe =1+ adtx+adty+sdt2;

28 dpd =1-adtx -adty -sdt2;

29 dsipe=-adty /2- vdt; dsipd=adty /2+ vdt;

30 dsspe=-adty /2+ vdt; dsspd=adty /2- vdt;

31 dside=-adtx /2- udt; dsidd=adtx /2+ udt;

32 dssde=-adtx /2+ udt; dssdd=adtx /2- udt;

33 % preparacao das matrizes e do termo - fontes

34 me= sparse (nn);md= sparse (nn);

35 b=zeros(nn ,1);

APÊNDICE A. Código Matlab 46

36 % preenchimento de me , me e b

37 for i=1: nn

38 me(i,i)=dpe; md(i,i)=dpd;

39 end

40 for i=1:nn -1

41 me(i,i+1)=dsspe; md(i,i+1)=dsspd;

42 me(i+1,i)=dsipe; md(i+1,i)=dsipd;

43 end

44 for i=1:nn -nny

45 me(i,i+nny)=dssde; md(i,i+nny)=dssdd;

46 me(i+nny ,i)=dside; md(i+nny ,i)=dsidd;

47 end

48 % correces devidas s bordas

49 % borda inferior

50 me (1 ,2)=-adty; md (1 ,2)=adty;

51 for j=1: nnx -1

52 in=j*nny +1;

53 me(in ,in -1) =0; md(in ,in -1) =0;

54 me(in ,in +1)=-adty; md(in ,in +1)=adty;

55 end

56 % borda superior

57 for j=1: nnx -1

58 in=j*nny;

59 me(in ,in -1)=-adty; md(in ,in -1)=adty;

60 me(in ,in +1) =0; md(in ,in +1) =0;

61 end

62 me(nn ,nn -1)=-adty; md(nn ,nn -1)=adty;

63 % borda esquerda

64 for i=1: nny

65 me(i,i+nny)=-adtx; md(i,i+nny)=adtx;

66 end

67 % borda direita

68 for i=1: nny

69 in=(nnx -1)*nny+i;

70 me(in ,in -nny)=-adtx; md(in ,in -nny)=adtx;

71 end

72 % mudanas devidas condicao de Robin

73 % ndices dos ns do vertedouro

74 for k=1:4

APÊNDICE A. Código Matlab 47

75 in=nn -(k+2);

76 me(in ,in -nny)=-adtx /2;

77 md(in ,in -nny)=adtx /2;

78 me(in ,in)=1+ adtx+adty+sdt2+dt/dx -u*dt /(2* alfa);

79 md(in ,in)=1-adtx -adty -sdt2 -dt/dx+u*dt /(2* alfa);

80 end

81 % termo independente

82 in =19* nny +22; b(in)=f*dt;

83 % resoluo repetida do sistema

84 ver=zeros(nny ,nnx);

85 for it =1: nt

86 c=me\( md*czero+b);

87 czero=c;

88 % para poder ver

89 for i=1: nny

90 for j=1: nnx

91 ind =(j -1)*nny+i;

92 ver(nny +1-i,j)=c(ind);

93 end

94 end

95 contour (ver ,30) ,grid

96 if (mod(it ,150))==0 pause

97 colorbar ;

98 end

99 pause (0.1)

100 end

Anexos

ANEXO A – Código Matlab usado como

modelo do Prestes

1 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

2 % Cenrio : lagoa retangular %

3 % Condies de Fronteira : Von Neumann e Robin homogneo no vertedouro %

4 % Direo do Vento: Noroeste , para o Sudeste , basta alterar os%

5 % componentes dos ventos : Sudeste , nos parmetros do problema %

6 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

7 clear all

8 % entrada de parametros do problema

9 alfa =0.125e -3; sigma =0.25e -8;

10 u= -0.19e -2; v=0.09e -2; f=1;

11 % parametros do dominio

12 l=2.0; h=1.0; tf =200;

13 % parametros da discretizacao

14 nx =32; dx=l/nx; ny =20; dy=h/ny;

15 nnx=nx +1; nny=ny +1; nn=nnx*nny;

16 nt =750; dt=tf/nt;

17 % Ncleo de Peclet

18 ux=u*dx/alfa;vy=v*dy/alfa;

19 % condicao inicial

20 czero=zeros(nn ,1);

21 % calculos auxiliares

22 ddx=dx*dx; ddy=dy*dy;

23 adtx=alfa*dt/ddx; adty=alfa*dt/ddy;

24 sdt2=sigma*dt /2;

25 udt=u*dt /(4* dx); vdt=v*dt /(4* dy);

26 %

27 dpe =1+ adtx+adty+sdt2;

28 dpd =1-adtx -adty -sdt2;

29 dsipe=-adty /2- vdt; dsipd=adty /2+ vdt;

30 dsspe=-adty /2+ vdt; dsspd=adty /2- vdt;

31 dside=-adtx /2- udt; dsidd=adtx /2+ udt;

32 dssde=-adtx /2+ udt; dssdd=adtx /2- udt;

33 % preparacao das matrizes e do termo - fontes

ANEXO A. Código Matlab usado como modelo do Prestes 50

34 me= sparse (nn);md= sparse (nn);

35 b=zeros(nn ,1);

36 % preenchimento de me , me e b

37 for i=1: nn

38 me(i,i)=dpe; md(i,i)=dpd;

39 end

40 for i=1:nn -1

41 me(i,i+1)=dsspe; md(i,i+1)=dsspd;

42 me(i+1,i)=dsipe; md(i+1,i)=dsipd;

43 end

44 for i=1:nn -nny

45 me(i,i+nny)=dssde; md(i,i+nny)=dssdd;

46 me(i+nny ,i)=dside; md(i+nny ,i)=dsidd;

47 end

48 % correces devidas s bordas

49 % borda inferior

50 56

51 me (1 ,2)=-adty; md (1 ,2)=adty;

52 for j=1: nnx -1

53 in=j*nny +1;

54 me(in ,in -1) =0; md(in ,in -1) =0;

55 me(in ,in +1)=-adty; md(in ,in +1)=adty;

56 end

57 % borda superior

58 for j=1: nnx -1

59 in=j*nny;

60 me(in ,in -1)=-adty; md(in ,in -1)=adty;

61 me(in ,in +1) =0; md(in ,in +1) =0;

62 end

63 me(nn ,nn -1)=-adty; md(nn ,nn -1)=adty;

64 % borda esquerda

65 for i=1: nny

66 me(i,i+nny)=-adtx; md(i,i+nny)=adtx;

67 end

68 % borda direita

69 for i=1: nny

70 in=(nnx -1)*nny+i;

71 me(in ,in -nny)=-adtx; md(in ,in -nny)=adtx;

72 end

ANEXO A. Código Matlab usado como modelo do Prestes 51

73 % mudanas devidas condicao de Robin

74 % ndices dos ns do vertedouro

75 for k=1:4

76 in=nn -(k+2);

77 me(in ,in -nny)=-adtx /2;

78 md(in ,in -nny)=adtx /2;

79 me(in ,in)=1+ adtx+adty+sdt2+dt/dx -u*dt /(2* alfa);

80 md(in ,in)=1-adtx -adty -sdt2 -dt/dx+u*dt /(2* alfa);

81 end

82 % termo independente

83 in =5* nny +10; b(in)=f*dt;

84 % resoluo repetida do sistema

85 ver=zeros(nny ,nnx);

86 for it =1: nt

87 c=me\( md*czero+b);

88 czero=c;

89 % para poder ver

90 for i=1: nny

91 for j=1: nnx

92 ind =(j -1)*nny+i;

93 ver(nny +1-i,j)=c(ind);

94 end

95 end

96 contour (ver ,30) ,grid

97 if (mod(it ,150))==0 pause

98 end

99 pause (0.1)

100 end

aplicação do metódo de diferenças finitas em um domínio...

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