esquemas de diferenÇas finitas em malhas nÃo … · 2014. 7. 11. · esquemas de diferenÇas...

SIMMEC / EMMCOMP 2014XI Simpósio de Mecânica ComputacionalII Encontro Mineiro de Modelagem ComputacionalJuiz de Fora, MG, 28-30 de maio de 2014

ESQUEMAS DE DIFERENÇAS FINITAS EM MALHAS NÃOESTRUTURADAS APLICADOS A ESCOAMENTOS EM ÁGUAS RASAS

Luciana S. da S. [email protected]ório Nacional de Computação Científica, Petrópolis, BrasilColégio Pedro II, Rio de Janeiro, BrasilElson M. [email protected] Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, BrasilLaboratório Nacional de Computação Científica, Petrópolis, BrasilRegina C. P. [email protected] Federal Fluminense, Niterói, BrasilAbstract. Observando as limitações impostas pelo uso de malhas cartesianas no que se refere àmodelagem de escoamentos com domínio irregular ou que apresentem regiões com elevado gra-diente do campo de velocidades descrevemos um modelo baseado no método de volumes finitos,onde a equação de conservação de massa é discretizada por um esquema semi-implícito aplicadoà uma malha não estruturada ortogonal staggered. A determinação da componente tangencial davelocidade e de suas componentes nas direções dos eixos do sistema de coordenadas cartesianas,no conjunto completo de equações de águas rasas é dada através do método da profundidade in-tegrada. As aplicações incluem, para as malhas cartesianas, a modelagem de um escoamentogeofísico aplicado a um trecho do rio Amazonas, e para as malhas não estruturadas, problemascom condição inicial descontínua, do tipo dam break.

Palavras-chave: águas rasas, malhas não estruturadas, método da profundidade integrada

Martino, L. S. da S., Toledo, E. M., Leat-Toledo, R. C. P.

1 INTRODUÇÃO

Este trabalho abrange um estudo sobre escoamentos em águas rasas e sobre os métodos dediferenças finitas disponíveis para sua representação.

No caso bidimensional das equações de águas rasas a análise característica desse sistema deequações justifica a escolha de um esquema semi-implícito, sendo utilizada inicialmente na discre-tização espacial uma malha staggered do tipo (C) com o sistema de equações reescrito na formade uma única equação para a elevação da superfície livre, de acordo com os trabalhos de [Casulli(1990)] e [Casulli and Cheng (1992)]. A estabilidade desse esquema semi-implícito é independenteda celeridade do escoamento e da fricção com o fundo, sendo dependente apenas da escolha dooperador de diferenças utilizado na discretização dos termos convectivos e viscosos. Se os termosviscosos são negligenciados este esquema é incondicionalmente estável. É apresentado tambémo método do gradiente conjugado pré condicionado utilizado na resolução desse sistema de equa-ções. Como aplicações para o análise da eficiência desse esquema temos um escoamento geofísicoaplicado a um trecho rio Amazonas.

Um outro procedimento utilizado para se obter uma versão discreta de uma equação diferencialé dado a partir da integração dessa equação em uma região, ou volume, do espaço. Este método,chamado de método de volumes finitos será aplicado à equação da superfície livre do sistema deáguas rasas bidimensional, enquanto que um esquema de diferenças finitas semi-implícito será apli-cado à equação de conservação de momentum, com o uso de uma malha não estruturada ortogonal,obtida através de uma triangulação de Delaunay. Neste esquema utiliza-se o conceito de malhastaggered, sendo as variáveis a serem determinadas a componente da velocidade normal a cada umdos lados da malha e a elevação da superfície livre, [Casulli and Walters (2000)].

O método da profundidade integrada proposto por [Kleptsova et al. (2009)] é utilizado na re-construção da componente da velocidade tangencial a cada um dos lados da malha, e consequentereconstrução do campo de velocidades de um escoamento determinado pelo conjunto completo dasequações de águas rasas.

Como aplicações temos um problema do tipo dam break com fundo que representa uma vari-ação abrupta de velocidade.

2 UM ESQUEMA DE DIFERENÇAS SEMI-IMPLÍCITO

O sistema de equações de águas rasas, sendo u(x, y, t) e v(x, y, t) as médias ao longo daprofundidade das componentes da velocidade nas direções x e y, é dado por

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −g ∂η

∂x+ ν

(∂2u∂x2

+∂2u

∂y2

)+ τ sx − γu+ fv

∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y= −g∂η

∂y+ ν

(∂2v∂x2

+∂2v

∂y2

)+ τ sy − γv − fu

∂η

∂t+

∂(Hu)

∂x+

∂(Hv)

∂y= 0, (1)

SIMMEC/EMMCOMP 2014XI Simpósio de Mecânica Computacional e II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional

Juiz de Fora, MG, 28-30 de maio de 2014


onde η(x, y, t) é elevação da superfície livre a partir da superfície da água não perturbada, h(x, y)é a profundidade da água, também medida a partir da superfície da água não perturbada, g é aaceleração da gravidade, τ sx e τ

sy são os termos relacionados as tensões de cisalhamento causadas

pelo vento, nas direções x e y respectivamente, e γ é o coeficiente de fricção dado por

γ =g√u2 + v2

C2zH, (2)

sendo H(x, y, t) = h(x, y) + η(x, y, t) a profundidade total da água, e Cz o coeficiente de fricçãode Chezy.

Discretizamos as equações (1) através de um esquema de diferenças semi-implícito onde ogradiente da elevação da superfície nas equações de conservação de momentum e o divergente davelocidade na equação da continuidade são discretizados implicitamente. Os termos convectivosnas equações de conservação de momentum são discretizados explicitamente. E, para que o sistemaalgébrico resultante seja linear, os termos de fricção nas equações de consevação de momentum sãodiscretizados implicitamente, mas o coeficiente de fricção γ é calculado explicitamente.

Além disso, a equação da continuidade é considerada em sua forma conservativa

∂η

∂t+

∂[(h+ η)u]

∂x+

∂[(h+ η)v]

∂y= 0, (3)

onde u e v são discretizados implicitamente, enquanto que a profundidade total H = h + η écalculada explicitamente.

Aplicaremos este esquema a uma malha staggered bidimensional, a malha (C) de Mesingere Arakawa, que [Harlow and Welch (1965)] aplicam as equações de Navier-Stokes. Os elementosdessa malha são numerados pelos índices (i, j), posicionados no centro de cada elemento, ao longodas direções x e y, respectivamente. Os lados dos elementos são numerados com a metade dosvalores dos índices, (i+ 1

2, j), (i− 1

2, j), (i, j+ 1

2) e (i, j− 1

2), nas direções x e y, respectivamente. A

velocidade horizontal discreta u é definida no ponto médio de cada lado vertical de cada elemento.A velocidade v é definida no ponto médio de cada lado horizontal de cada elemento, e a elevaçãoda superfície livre é definida no centro geométrico de cada elemento. Um elemento dessa malha émostrado na Figura(1).




Figura 1: Elemento de uma malha bidimensional staggered do tipo (C)

As equações abaixo descrevem um esquema semi implícito de discretização do sistema deequações de águas rasas bidimensionais (1), nas quais τx = τy = 0, em uma malha staggered dotipo (C)

uk+1i+ 1

2,j= Fuk

i+ 12,j− g∆t

∆x

(ηk+1i+1,j − ηk+1i,j

)−∆t

γki+ 1

2,j

Hki+ 1

2,j

uk+1i+ 1

2,j

vk+1i,j+ 1

2

= Fvki,j+ 1

2− g∆t

∆y

(ηk+1i,j+1 − ηk+1i,j

)−∆t

γki,j+ 1

2

Hki,j+ 1

2

vk+1i,j+ 1

2

ηk+1i,j = ηki,j −

∆t

∆x

(Hk

i+ 12,juk+1i+ 1

2,j−Hk

i− 12,juk+1i− 1

2,j

)− ∆t

∆y

(Hk

i,j+ 12vk+1i,j+ 1

2

−Hki,j− 1

2vk+1i,j− 1

2

), (4)

sendo

Hki± 1

2,j= max

(0, hi± 1

2,j +

ηki,j + ηki±1,j

2

)e Hk

i,j± 12= max

(0, hi,j± 1

2+

ηki,j + ηki,j±1

2

). (5)

Para qualquer estrutura dada a F as equações (4) constituem um sistema de 3nm equações e3nm incógnitas uk+1

i+ 12,j

, vk+1i,j+ 1

2

e ηk+1i,j .

Seguindo o trabalho de Casulli (1995) o sistema (4) é reescrito como um sistema cuja únicaincógnita é ηk+1i,j , com a substituição das expressões para u

k+1i± 1

2,j

e vk+1i,j± 1

2

da equação da continuidadeobtendo




ηk+1i,j − g∆t2

∆x2

[ (Hki+ 1

2,j)2

Hki+ 1

2,j+ γk

i+ 12,j∆t

(ηk+1i+1,j − ηk+1i,j )−(Hk

i− 12,j)2

Hki− 1

2,j+ γk

i− 12,j∆t

(ηk+1i,j − ηk+1i−1,j)]−

g∆t2

∆y2

[ (Hki,j+ 1

2

)2

Hki,j+ 1

2

+ γki,j+ 1

2

∆t(ηk+1i,j+1 − ηk+1i,j )−

(Hki,j− 1

2

)2

Hki,j− 1

2

+ γki,j− 1

2

∆t(ηk+1i,j − ηk+1i,j−1)

]=

ηki,j −∆t

∆x

[ (Hki+ 1

2,j)2

Hki+ 1

2,j+ γk

i+ 12,j∆t

Fuki+ 1

2,j−

(Hki− 1

2,j)2

Hki− 1

2,j+ γk

i− 12,j∆t

Fuki− 1

2,j

]−

∆t

∆y

[ (Hki,j+ 1

2

)2

Hki,j+ 1

2

+ γki,j+ 1

2

∆tFvk

i,j+ 12−

(Hki,j− 1

2

)2

Hki,j− 1

2

+ γki,j− 1

2

∆tFvk

i,j− 12

]. (6)

Esse sistema é linear, pentadiagonal e positivo definido, e resolvido em cada passo de tempopara determinar, pelo método do gradiente conjugado, os valores de η a partir das condições iniciaise de contorno.

Para a discretização dos termos convectivos quer-se obter uma forma explícita para F e aindaassim incondicionalmente estável através de uma aproximação semi lagrangeana. Reescrevemosentão os termos convectivos como

Du

Dt=

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂yDv

Dt=

∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y, (7)

onde o operador derivada totalD

Dtindica a taxa de variação no tempo ao longo da linha de corrente

definida por

dx

dt= u e

dy

dt= v. (8)

Denotando por a = u∆t∆x

e b = v ∆t∆y

os números de Courant as equações (7) implicam que asexpressões para Fuk

i+ 12,j

e Fvki,j+ 1

2

são

Fuki+ 1

2,j= uk

i+ 12−a,j−b e Fv

ki,j+ 1

2= vk

i−a,j+ 12−b. (9)

Note que Fuki+ 1

2,j

e Fvki,j+ 1

2

são os valores de u e v no tempo tk em (i + 12 − a, j − b) e em(i − a, j + 1

2− b) que estão sendo transportados respectivamente para (i + 1

2, j) e (i, j + 1

2), no

intervalo de tempo ∆t. No geral, entretanto, a e b não são inteiros, e então (i + 12− a, j − b) e




(i − a, j + 12− b) não são pontos da malha computacional. Por isso deve-se usar uma fórmula de

interpolação para aproximar o lado direito das equações (9).

Uma possibilidade é usar uma generalização do conceito de interpolação de uki+ 1

2−a,j−b entre

três ou mais pontos da malha sem necessariamente incluir o ponto (i+ 12, j). Aqui consideramos o

caso em que uki+ 1

2−a,j−b é aproximado por uma interpolação bilinear dada pelos valores assumidos

pela variável u nos quatro pontos vizinhos ao ponto (i+ 12− a, j − b), determinando a cada passo

de tempo os valores de a e b, [Casulli (1990)]

2.1 Escoamento geofísico aplicado ao Rio Amazonas

Trataremos de um escoamento geofísico aplicado a um trecho do Rio Amazonas, apresentadona Figura(2), próximo à cidade de Coari, no Estado do Amazonas. Esta aplicação teve comomotivação inicial o problema da dispersão acidental de óleo em águas fluviais, e os potenciaisriscos de poluição que a atividade petrolífera trouxe para esse trecho de rio com a construção dooleoduto de Coari.

Figura 2: Rio Amazonas, próximo à cidade de Coari

Paralelamente a essa construção o Projeto Potenciais Impactos Ambientais no Transporte Flu-vial de Gás Natural e Petróleo na Amazônia, o Projeto PIATAM, financiado pelo Plano Nacionalde Ciência e Tecnologia para o setor de Petróleo e Gás Natural (CTPetro), foi criado para avaliar,prevenir e monitorar prováveis fontes de risco durante o processo de produção, transporte e refinode petróleo e derivados.

Em parceria com este projeto a Universidade Federal do Amazonas forneceu dados de batime-tria referentes a um trecho desse rio, para latitudes de −4 ◦ até −3.92 ◦ e longitudes de −63.18 ◦ até−63.13 ◦.

O domínio computacional é dado por uma malha staggered tipo (C), com 74 intervalos espa-ciais na direção x e 149 na direção y, sendo os intervalos espaciais dados por ∆x = ∆y = 50m.Os parâmetros do escoamento são: aceleração da gravidade, g = 9.81m/s2, coeficiente de Chezy,Cz = 80, e τx = τy = 0. A condição de contorno para as componentes u e v nas paredes laterais docanal são u = v = 0, de acordo com a hipótese de aderência do fluido com a fronteira sólida. Naentrada do canal temos como condição de contorno para a componente u da velocidade uma maré




M2 com período de 12h e amplitude de 0.4m. A mesma condição de contorno é aplicada para acomponente v da velocidade na fronteira de saída. A simulação começa com toda a massa de águaem repouso, com exceção das fronteiras de entrada e saída, como já especificado anteriormente. Opasso de tempo adotado é de 60s, sendo a discretização dos termos convectivos feita através de umesquema lagrangeano, com dois subintervalos de tempo, com τ = 30s.

Os resultados apresentados na Figura(3) representam a elevação da superfície livre após 3h,6h, 9h e 12h do início do escoamento, o que corresponde a 180, 360, 540 e 720 passos de tempo.

(a)

3 horas

0 500

1000 1500

2000 2500

3000 3500

4000

x

0 1000

2000 3000

4000 5000

6000 7000

8000

y

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

eta

6 horas

0 500

1000 1500

2000 2500

3000 3500

4000

x

0 1000

2000 3000

4000 5000

6000 7000

8000

y

-0.015-0.01

-0.005 0

0.005 0.01

0.015

eta

(b)

9 horas

0 500

1000 1500

2000 2500

3000 3500

4000

x

0 1000

2000 3000

4000 5000

6000 7000

8000

y

-0.015-0.01

-0.005 0

0.005 0.01

0.015

eta

12 horas

0 500

1000 1500

2000 2500

3000 3500

4000

x

0 1000

2000 3000

4000 5000

6000 7000

8000

y

-0.02-0.015

-0.01-0.005

0 0.005

0.01

eta

Figura 3: Elevação da superfície livre para um escoamento em um trecho do rio Amazonas após (a) 3h e 6h, e(b) 9h e 12h do início do escoamento, correspondendo a 180, 360, 540 e 720 passos de tempo

3 MALHAS NÃO ESTRUTURADAS PARA AS EQUAÇÕES DE ÁGUASRASASNesta seção descrevemos um modelo baseado no método de volumes finitos aplicado a uma

malha não estruturada ortogonal staggered para o tratamento das equações de águas rasas propostopor [Casulli and Walters (2000)]. Neste esquema as equações de conservação de momentum sãodiscretizadas de acordo com um esquema semi-implícito de diferenças finitas, com uma aproxi-mação lagrangeana para os termos convectivos [Pereira (2010)], aplicado a uma malha staggered,enquanto que a equação de conservação de massa é integrada em um volume de controle e discre-tizada através de um esquema semi-implícito.




3.1 Um esquema de diferenças semi-implícito com malhas não estruturadas

As equações de conservação de momentum e de massa (1) são aproximadas em uma malha nãoestruturada ortogonal obtida por uma triangulação de Delaunay, composta de Np triângulos, todosacutângulos. Seja Ns o número total de lados dessa malha, e seja λj , j = 1, ..., Ns, o comprimentode cada lado. Os lados do i-ésimo triângulo serão identificados pelos índices j(i, l), i = 1, 2, ..., Np,l = 1, 2, 3, tal que 1 ≤ j(i, l) ≤ Ns, i = 1, 2, ..., Np. Os triângulos que compartilham o j-ésimo lado da malha serão identificados pelos índices i(j, 1) e i(j, 2) tal que 1 ≤ i(j, 1) ≤ Np e1 ≤ i(j, 2) ≤ Np, j = 1, 2, ..., Ns. A distância entre os circuncentros de dois triângulos adjacentesque compartilham o j-ésimo lado da malha será denotada por δj . Na Figura(4)(a) destacamos algunsdesses índices.

(a) (b)

Figura 4: Malha não estruturada ortogonal staggered

Na discretização espacial descrita acima o campo de velocidades e a elevação da superfícielivre são calculados em pontos alternados da malha, de acordo com o conceito de malha staggered.A elevação da superfície livre, ηi, suposta constante em cada triângulo, é calculada no circuncentrode cada triângulo, enquanto que a componente da velocidade normal a cada lado de cada triângulo,uj , suposta constante em cada um desses lados, é calculada no ponto de interseção entre o lado e osegmento que une os circuncentros dos triângulos que compartilham esse lado, [Casulli and Walters(2000)], de acordo com a Figura(4)(b).

O esquema que se segue é uma extensão da formulação em diferenças finitas para as equaçõesde águas rasas descrita na seção anterior. É um esquema semi-implícito cuja estabilidade é inde-pendente da celeridade, da tensão do vento e da fricção com o fundo. A elevação da superfícielivre nas equações de conservação de momentum e a velocidade na equação da continuidade sãodiscretizados pelo método θ, [Casulli and Cattani (1994)], sendo θ um parâmetro que pode variarentre 0 e 1. Além disso o termo de fricção causada pelo vento, o termo de viscosidade e o termo defricção causada pelo atrito do fluido com o fundo do escoamento são tratados de forma implícita.

As equações de conservação de momentum em (1) são invariantes sob uma rotação no planodo sistema de eixos x − y, e o esquema de diferenças aplicado a malhas retangulares pode ser




implementado neste novo sistema de coordenadas orientado de acordo com as direções normal etangencial a cada um dos lados dessa malha triangular. Com isso as equações de diferenças finitaspara a componente do campo de velocidades normal ao j-ésimo lado da malha, ukj , no passo detempo k, são dadas por:

uk+1j = Fukj − g

∆t

δj[θ(ηk+1i,(j,2) − η

k+1i(j,1)) + (1− θ)(η

ki,(j,2) − ηki(j,1))]. (10)

Nestas equações F é um operador explícito em diferenças finitas, composto pelas contribuiçõesprovenientes da força de Coriolis, dos termos de viscosidade e dos termos convectivos. O sentidopositivo da componente ukj é definido como o que vai de i(j, 1) para i(j, 2).

Empregando uma descrição lagrangeana dos termos convectivos o operador Fu pode ser dadopor, [Casulli and Walters (2000)],

Fukj =[1− θ(1− θ)f2∆t2]u∗j + f∆tv∗j

1 + θ2f 2∆t2+ ν∆t∆du

∗j , (11)

onde u∗j denota a componente do vetor velocidade normal ao j-ésimo lado da malha e v∗j a compo-

nente tangencial ao j-ésimo lado da malha, que tem sentido positivo dado pela regra da mão direita.O termo ∆d é o operador Laplaciano discretizado. Ambas as componentes da velocidade, u∗j e v

∗j ,

são interpoladas no tempo tk no ponto correspondente ao fim da trajetória lagrangeana em funçãode seus valores em pontos da malha adjacentes a esse ponto no fim dessa trajetória. A trajetórialagrangeana é determinada através de uma integração backward no tempo, da posição do nó j notempo tk+1 até a sua posição no tempo tk.

3.2 O tratamento da equação de conservação de massa

A discretização da terceira equação em (1), desta vez escrita usando a notação do divergente

∂η

∂t+∇ · [(Hu,Hv)] = 0, (12)

é realizada por um esquema semi-implícito de volumes finitos, de acordo com o método θ. Comono caso das equações de conservação de momentum a equação de conservação de massa tambémé invariante a uma rotação e, no que segue, u e v denotam as componentes do vetor velocidadenormal e tangencial a cada um dos lados da malha, [Martino (2013)].

Se Ai é a área do triângulo da malha τi,

Ai∂η

∂t+

∑σj(i,l)∈ετi

[∫σj(i,l)

Hud(∂τi)]= 0. (13)




Adotando um esquema forward para a discretização da derivada temporal e o método θ para adiscretização semi-implícita da segunda parcela da equação anterior, supondo u constante em cadalado da malha, temos

Aiηk+1i = Aiη

ki − θ∆tΣ3l=1[si,lλj(i,l)Hk+1j(i,l)u

k+1j(i,l)]− (1− θ)∆tΣ

3l=1[si,lλj(i,l)H

kj(i,l)u

kj(i,l)] (14)

sendo tk = k∆t, com k = 1, 2, ..., θ um fator no intervalo1

2≤ θ ≤ 1 e si,l uma função sinal

associada com a orientação da velocidade normal definida no l-ésimo lado do i-ésimo triângulo.Especificamente si,l = 1 indica uma velocidade normal ao l-ésimo lado positiva, que aponta parafora do i-ésimo triângulo, e si,l = −1 indica uma velocidade normal ao l-ésimo lado negativa, queaponta para dentro do i-ésimo triângulo.

A equação (14) é aplicada a cada triângulo da malha e a função si,l é calculada para cada umdos lados de cada um dos triângulos.

3.3 O método da profundidade integrada

No esquema anteriormente descrito aproximamos o escoamento em águas rasas apenas emfunção da elevação da superfície livre e da componente da velocidade normal a cada um dos la-dos de uma malha não estruturada ortogonal staggered, não havendo informações a respeito dacomponente da velocidade tangencial a cada um dos lados da malha, e portanto não sendo possí-vel determinar as componentes da velocidade nas direções x e y, necessárias para a representaçãodesse escoamento.

Algumas possibilidades para a reconstrução dessa componente tangencial do campo de velo-cidades são encontradas na literatura, entre elas uma que apresenta bom desempenho no caso deescoamentos que se desenvolvem em regiões com topografia variável. No presente trabalho esta re-construção, proposta por [Kleptsova et al. (2009)], chamada de método da profundidade integrada,é aplicada junto com o esquema semi-implícito proposto por [Casulli and Walters (2000)] ao con-junto completo de equações de águas rasas. Nesse método o vetor velocidade uc a ser reconstruído,é calculado no centro de cada triângulo da malha, dado pela soma dos valores das componentes dovetor velocidade normais a cada um dos lados do triângulo, e projetado nas direções tangenciaisaos lados de cada triângulo da malha.

Figura 5: Reconstrução do vetor velocidade e determinação de sua componente tangencial




Este método resulta em dois valores para a componente tangencial da velocidade em cada pontomédio em cada lado da malha, sendo um valor para cada um dos triângulos que compartilham cadalado da malha. A componente tangencial final é determinada a partir de uma interpolação dessesdois valores.

Mais especificamente temos o seguinte procedimento de reconstrução da componente tangen-cial da velocidade que constitui o método da profundidade integrada, [Kleptsova et al. (2009)]

Aiuci =∑l=1,3

δj(i,l)dcij(i,l)

Hj(i,l)Hci

λj(i,l)uj(i,l)nj(i,l) (15)

dj(i,l)vj(i,l) = δi(j,1)dcij(i,l)(uci(j,1) · tj(i,l)) + δi(j,2)d

cij(i,l)(uci(j,2) · tj(i,l)). (16)

Como na seção anterior os termos convectivos nas equações de conservação de quantidade demovimento são expressos como uma derivada material, calculada ao longo das linhas de correntedeterminadas pelas curvas características, sendo o termo Fukj dado por Fu

kj = u

kj0 , com u

kj0 o

valor da componente normal da velocidade u no final da trajetória lagrangeana, [Martino (2013)].Quanto á equação para a superfície livre, substituindo o valor de uk+1j dado em (10) na equação dacontinuidade (14), obtemos

Aiηk+1i − g∆t2θ2Σ3l=1

si,lλj(i,l)δj(i,l)

Hkj(i,l)(ηk+1i[j(i,l),2] − η

k+1i[j(i,l),1]) =

Aiηki − (1− θ)∆tΣ3l=1si,lλj(i,l)Hkj(i,l)ukj(i,l) − θ∆tΣ3l=1si,lλj(i,l)Hkj,(i,l)Gkj(i,l), (17)

onde,

Gkj(i,l) = Fukj − g

∆t

δj(1− θ)(ηki(j,2) − ηki(j,1)). (18)

As equações dadas em (17) constituem um sistema linear esparso de Np equações para ηk+1i .Esse sistema é diagonal dominante, simétrico e positivo definido. Logo tem solução única que podeser eficientemente determinada pelo método do gradiente conjugado pré condicionado, [Atkinson(1988)]. E, uma vez que ηk+1i for determinado, a equações (10) constituem um sistema lineartridiagonal para uk+1j . Esse sistema é simétrico e positivo definido. Logo, pode ser resolvido porum método direto para determinar uk+1j ao longo de todo o domínio computacional.

3.4 Um problema do tipo dam break

O esquema semi-implícito de diferenças-volumes finitos (17) foi aplicado a um problema dotipo dam break bidimensional, com o escoamento ocorrendo em uma bacia retangular com 3000m




de comprimento na direção x, 2000m de comprimento na direção y. Os valores da elevação dasuperfície livre e das componentes do campo de velocidades nas direções x e y são calculadosem uma malha não estruturada ortogonal staggered, representada na Figura(6), gerada a partir deuma triangulação de Delaunay contendo apenas triângulos acutângulos, que tem como padrão atriangulação já exibida anteriormente na Figura(4)(a).

Figura 6: Malha triangular não estruturada ortogonal staggered para um problema do tipo dam break

A estrutura de dados dessa triangulação, com 624 triângulos e 343 nós, que inclui por exemplodados sobre os nós que formam os triângulos e vizinhança de cada um desses triângulos, foi geradapelo gerador de malha Triangle, [Schewchuk (1996)].

Inicialmente o fluido está em repouso sendo a elevação da superfície livre igual a 1m parax ≤ 10m e igual a 0m para x > 10m, com condição de contorno nula para o campo de velocidades.A aceleração da gravidade é 9.81m/s2 e o parâmetro de Coriolis estabelecido para 4 ◦ de latitudenorte. São desprezados os efeitos da viscosidade.

Este esquema foi implementado com ∆t = 10s, adotando-se a descrição lagrangeana dostermos convectivos, com 4 subintervalos de tempo. O fator de implicidade é tal que θ = 0.5.

Os resultados seguintes representam a elevação da superfície livre para um escoamento do tipodam break que ocorre em um canal com variação abrupta de velocidade ao longo da direção x,sendo essa profundidade igual a 4.5m para x ≤ 1000m e igual a 1.0m para x > 1000m.

Os resultados obtidos para a elevação da superfície livre com 8 e 16 passos de tempo sãoapresentados na Figura(7)(a) e com 24 e 32 passos de tempo são apresentados na Figura(7)(b).




(a)

t = 80s

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

x

0 200

400 600

800 1000

1200 1400

1600 1800

2000

y

-0.2 0

0.2 0.4 0.6 0.8

1

eta

t = 160s

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

x

0 200

400 600

800 1000

1200 1400

1600 1800

2000

y

-0.1 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

eta

(b)

t = 240s

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

x

0 200

400 600

800 1000

1200 1400

1600 1800

2000

y

-0.1 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

eta

t = 320s

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

x

0 200

400 600

800 1000

1200 1400

1600 1800

2000

y

-0.1 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

eta

Figura 7: Elevação da superfície livre para um problema do tipo dam break com variação abrupta de profundi-dades após (a) 8 e 16 passos de tempo, e (b) 24 e 32 passos de tempo

4 CONCLUSÕES

Um esquema de diferenças semi-implícito, com malha staggered foi utilizado na aproximaçãodo modelo bidimensional do sistema de equações de águas rasas. Esse esquema de diferençasfoi aplicado a um escoamento geofísico de um trecho do rio Amazonas, onde temos resultadospara 12h após o início do escoamento, sendo esses resultados significativamente melhores que osapresentados em [da Silva (2002)], quando o passo de tempo era 1000 vezes menor que o utilizadoneste trabalho. Entretanto efeitos de turbulência, geralmente relevantes neste tipo de escoamento,não foram considerados, assim como dados sobre vazão, e não sobre maré, como os que foramaplicados, talvez nos rendessem observações mais realistas a respeito desse escoamento já queestamos nesta aplicação em uma região do rio Amazonas razoavelmente longe da foz. Além disso,foram desconsiderados neste caso problemas do tipo wet and drying que caracterizam escoamentosque ocorrem em domínios variáveis, apresentando regiões de seca e alagamento, como é o casodesse trecho do rio Amazonas que apresenta substancial variação de cota.

Neste trabalho o método da profundidade integrada foi aplicado na reconstrução do campo develocidades de um escoamento rotacional em águas rasas, considerando-se todos os seus termos, deadvecção, difusão e fricção, expandindo os resultados apresentados em [Kleptsova et al. (2009)],que trata de um escoamento rotacional que sofre influência apenas da parcela referente a Coriolis,




regido pelas equações de ondas de gravidade inerciais. Esse sistema de equações é aproximadopor um esquema semi-implícito baseado no método de volumes finitos , com uma discretizaçãosemi lagrangeana dos termos convectivos da equação de conservação de momentum. A validaçãodo método da profundidade integrada aplicado ao conjunto completo de equações de águas rasasse deu através de um problema do tipo dam break, por significar parte do sucesso desse métodoa sua capacidade de representar de maneira satisfatória escoamentos de caráter hiperbólico comcondição inicial descontínua.

REFERÊNCIAS

Atkinson, K. E., 1988. An Introduction to Numerical Analysis. John Wiley Sons Inc, Iowa City.

Casulli, V., 1990. Semi-implicit finite difference methods for the two-dimensional shallow waterequations. Journal of Computational Physics, vol. 86, pp. 56–74.

Casulli, V., 1995. Computational methods for oceanic and atmospherica flows. Technical report,Laboratório Nacional de Computação Científica.

Casulli, V. & Cattani, E., 1994. Stability, accuracy and efficient of a semi-implicit method for three-dimensional shallow water flow. Computational Mathematic Applied, vol. 27 (4), pp. 99–112.

Casulli, V. & Cheng, R. T., 1992. Semi-implicit finite difference methods for three-dimensionalshallow water flow. International Journal for Numerical Methods in Fluids, vol. 15, pp. 629–648.

Casulli, V. & Walters, R. A., 2000. An unstructured grid, three dimensional model based on theshallow-water equations. International Journal for Numerical Methods in Fluids, vol. 32, pp.331–348.

da Silva, L. S., 2002. Solução numérica para um escoamento geofísico aplicado ao rio amazonas.Master’s thesis, Universidade Federal do Rio de Janeiro.

Harlow, F. H. & Welch, J. E., 1965. Numerical calculation of time-dependent viscous incompres-sible flow of fluid with free surface. The Physics of Fluids, vol. 8 (12), pp. 2182–2189.

Kleptsova, O., Pietrzak, J. D., & Stelling, G. S., 2009. On the accurate and stable reconstruction oftangential velocities in c-grid ocean models. Ocean Modelling, vol. 28, pp. 118–126.

Martino, L. S. d. S., 2013. Simulação Numérica de Escoamentos em Águas Rasas pelo Método deDiferenças Finitas. PhD thesis, Laboratório Nacional de Computação Científica.

Pereira, F. F., 2010. Modelo hidrodinâmico e de transporte bidimensional de grade não estruturadapara lagos rasos. Master’s thesis, Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

Schewchuk, J. R., 1996. Triangle: Engineering a 2d quality mesh generator and delaunay trina-gulator. In Applied Computational Geometry, Towards Geometric Engineering, pp. 203–222,London. Springer Verlag.



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