o metodo diferencas finitas

UNIVERSIDADE DA AMAZÔNIA

ALEXANDRE ANDRADE BRANDÃO SOARES

O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO À

TEORIA DAS VIGAS

BELÉM/PA

DEZEMBRO – 2010

ii



TEORIA DAS VIGAS

Trabalho de conclusão de curso apresentado ao curso de Engenharia Civil da Universidade da Amazônia como requisito para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil. Orientador: Prof. D.Sc.Selênio Feio da Silva.

BELÉM/PA

DEZEMBRO – 2010

iii



TEORIA DAS VIGAS

Trabalho de conclusão de curso apresentado ao curso de Engenharia Civil da Universidade da Amazônia como requisito para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil. Orientador: Prof. D.Sc.Selênio Feio da Silva.

Banca examinadora:

Professor Selênio Feio da Silva, D. Sc.

(Orientador)

Professor Leonardo Augusto Lobato Bello, D. Sc.

(Examinador Interno)

Professor Evaristo Clementino Rezende dos Santos Junior, M. Sc.

(Examinador Interno)

Apresentado em: / / /

Conceito: ____________

BELÉM/PA

DEZEMBRO – 2010

iv

Dedicado à

Universidade da Amazônia.

v

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus pela minha existência.

A Universidade da Amazônia (UNAMA) por me proporcionar uma formação

profissional e humana, em especial a professora Marlene Vianna.

Aos professores do curso de Engenharia Civil pelos ensinamentos passados

durante estes cinco anos de curso.

Agradecimento especial ao professor Selênio Feio da Silva pela dedicação e

paciência de ensinar e me orientar na pesquisa, iniciação científica e

principalmente neste TCC.

A minha família e em especial ao meu avô Arthur, minha avó Celeste, minha

tia-avó Izaura, minha mãe Regina e irmãs Verena e Erida por terem me

ensinado através do convívio os caminhos corretos a seguir na vida.

Aos amigos que fiz durante o curso que muito me ajudaram e ensinaram:

André Bueno, Anselmo Moraes, Felipe Ribeiro, Jeferson Bezerra, Mariana

von Paumgartten e Murilo Rocha.

Por fim, agradeço a banca examinadora que aceitou humildemente meu

convite para participar desta defesa de conclusão de curso.

vi

RESUMO

O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO À TEORIA DAS

VIGAS

Autor: Alexandre Andrade Brandão Soares.

Orientador: Selênio Feio da Silva.

Trabalho de Conclusão de Curso – Engenharia Civil.

Belém-Pa, dezembro de 2010.

Neste trabalho, serão apresentados alguns conceitos sobre estruturas civis,

de forma a lembrar da classificação dos vínculos e os tipos de estruturas que

existem. Além de expor a morfologia das peças estruturais, serão mostrados

os tipos de esforços que atuam em uma estrutura.

Visto isso, uma abordagem sobre o estudo de vigas será feita, através de

suas classificações quanto ao tipo de seus apoios e a origem de seus

carregamentos. Ira ser mostrado um estudo sobre flexão nas vigas e as

possíveis deformações que nela podem ocorrer. Além disso, apresentam-se

as Teorias de Euler e Timoshenko, suas semelhanças e diferenças.

Mostra-se o Método das Diferenças Finitas e os seus operadoresadvindos

da expansão em série de Taylor, para posteriormente aplicá-los em alguns

exemplosde viga, supondo que a mesma se enquadra na Teoria de Euler

para o comportamento estático. Tem-se como objetivo calcular as flechas

adimensionais em uma viga engastada-livre, bi-apoiada e uma viga bi-

engastada.

Palavra-chave: Engenharia Estrutural. Viga de Euler. Método da Integração Dupla.

Método das Diferenças Finitas.

vii

ABSTRACT

THE METHOD OF FINITE DIFFERENCES APPLIED TO THE THEORY OF

BEAMS

Author: Alexandre Andrade Brandão Soares.

Supervisor: Selênio Feio da Silva.

End of Course Work- Civil Engineering.

Belém-Pa, december 2010.

In this paper, some concepts of civil structures will be presented, in order to

remember the classification of links and the types of structures that exist.

Besides discussing the morphology of structural components, will be shown

the types of stresses that act on a structure.

In addition, one approach to the study of beams will be made through their

ratings on the type of support and the origin of their loads. Will be shown a

study about flexion on beams and possible deformations that can occur in it.

Furthermore, the similarities and differences between the Euler and

Timoshenko theories will be presented.

It shows the Method of Finite Differences and their operators coming from the

Taylor expansion series, and later apply them to some examples of the

beams, assuming that it fits with the theory of Euler for the static behavior. It

has the objective to calculate the dimensionless arrows in a beam clamped-

free, bi-supported and a bi-clamped beam.

Keyword: Structural Engineering. Euler beam. Double Integration Method. Finite

Difference Method.

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 –Estrutura em forma de arco ........................................................ 5

Figura 2.2 –Tipos de estruturas na construção civil ....................................... 6

Figura 2.3 – Simbologia para apoio do 1º grau .............................................. 6

Figura 2.4–Simbologia para apoio do 2º grau ................................................ 7

Figura 2.5–Simbologia para apoio do 3º grau ................................................ 7

Figura 2.6–Estrutura hipostática .................................................................... 8

Figura 2.7–Estrutura hiperestática ................................................................. 9

Figura 2.8 – Estrutura isostática ..................................................................... 9

Figura 2.9 – Exemplo de peças estruturais lineares (vigas e pilares) .......... 10

Figura 2.10 – Elementos bi-dimensionais .................................................... 11

Figura 2.11 – Elemento tri-dimensional ........................................................ 11

Figura 2.12 – Esforços ativos e reativos ...................................................... 12

Figura 2.13 – Esforços internos solicitantes ................................................. 13

Figura 2.14 – Equilíbrio elástico no corpo em equilíbrio ............................... 13

Figura 2.15 – Esforço normal em um corpo sólido ....................................... 14

Figura 2.16–Esforço cortante em um corpo sólido ....................................... 14

Figura 2.17 – Momento fletor em um corpo sólido ....................................... 15

Figura 2.18 – Momento torço em um corpo sólido ....................................... 15

Figura 3.1–Principais tipos de vigas existentes............................................ 17

Figura 3.2–Exemplo de carregamento concentrado .................................... 18

Figura 3.3–Cargas distribuídas ao longo da viga ......................................... 18

Figura 3.4–Flexão em viga ........................................................................... 19

Figura 3.5–Deslocamento excessivo devido à flecha .................................. 20

Figura 3.6–Ângulo de rotação ...................................................................... 20

Figura 3.7–Comportamento estático de uma viga ........................................ 21

Figura 3.8–Viga convencional de Euler-Bernoulli ......................................... 24

Figura 3.9 – Esforços atuantes na viga de Euler-Bernoulli .......................... 25

Figura 3.10–Teoria da flexão de vigas de Timoshenko ................................ 26

Figura 3.11–Empenamento das seções devido o esforço P ........................ 28

Figura 4.1 –Interpretação geométrica para a derivada ................................ 31

Figura 4.2–Viga engastada .......................................................................... 34

Figura 4.3–Viga com apoio do 2º gênero ..................................................... 35

Figura 4.4–Viga com extremidade livre ........................................................ 36

ix

Figura 4.5–Viga com apoio do deslizante .................................................... 37

Figura 5.1–Viga bi-apoiada .......................................................................... 41

Figura 5.2 – Viga bi-apoiada e discretizada com 3 nós em diferenças finitas

(comportamento estático) ............................................................................ 44



Figura 5.4 – Viga bi-apoiada e discretizada com 7nós em diferenças finitas








Figura 5.8 – Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das

flechas para viga bi-apoiada ........................................................................ 70

Figura 5.9 – Viga engastada-livre ................................................................ 71

Figura 5.10 – Viga engastada-livre e discretizada com 3 nós em diferenças

finitas (comportamento estático) .................................................................. 74














flechas para viga engastada-livre ............................................................... 104

Figura 5.18 – Viga bi-engastada ................................................................ 105

x

Figura 5.19 – Viga bi-engastada e discretizada com 3 nós em diferenças

finitas (comportamento estático) ................................................................ 107










flechas para viga bi-engastada .................................................................. 118

xi

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 – Representação esquemática para a diferencial central ........... 38

Tabela 4.2 – Representação das condições de contorno para a diferencial

central .......................................................................................................... 39

Tabela 5.1 – Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das

Flechas para viga bi-apoiada ....................................................................... 69


Flechas para viga engastada-livre ............................................................. 104


Flechas para viga bi-engastada ................................................................. 117

xii

LISTA DE SIMBOLOS, NOMENCLATURAS E ABREVIAÇÕES

- 2ª derivada parcial em x



- Somatório contínuo (integral)

- Somatório discreto

- Forças horizontais

- Forças verticais

- Cargas distribuídas

- Equação da curva elástica

- Equação da rotação

- Erro percentual relativo

- Derivada parcial em x

A - Seção de viga

a; b - Distâncias da carga P para os apoios

E - Módulo de elasticidade

h - Altura da seção transversal de uma viga

L - Comprimento de uma viga

M - Momento fletor

MDF - Método das Diferenças Finitas

MID - Método da Integração Dupla

P - Carga concentrada

q; -q - Esforços distribuídos de maneira aleatória

R, R1, R2 e Ra

- Reações de apoio

β ; Ф - Giro suplementar

θ - Ângulo de rotação

- Compressão

- Momento de inércia

- Equação do momento

- Esforço normal

- Momento torço

- Tração

- Esforço cortante ou de Cisalhamento

- Constante de integração

xiii

- Carregamento distribuído

- Flecha

- Flecha adimensional

- Deformação linear unitária

xiv

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ........................................................................................... 1

1.1 GENERALIDADES ................................................................................... 1

1.2 O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ............................................... 2

1.3 OBJETIVOS .................................................................................................................. 2

1.3.1 Objetivo Geral ...................................................................................... 2

1.3.2 Objetivo Específico ............................................................................. 3

2. BREVE REVISÃO ESTRUTURAL ........................................................... 4

2.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................... 4

2.2 CONCEITO DE ESTRUTURA ................................................................ 5

2.3 EQUILÍBRIO DOS CORPOS .................................................................. 6

2.3.1 Vínculos ou apoios ............................................................................. 6

2.4 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS .................................................. 8

2.4.1 Estruturas Hipostática ........................................................................ 8

2.4.2 Estruturas Hiperestática ..................................................................... 8

2.4.3 Estruturas Isostática ........................................................................... 9

2.5 ELEMENTOS ESTRUTURAS ............................................................... 10

2.5.1 Elementos unidimensionais ou lineares ......................................... 10

2.5.2 Elementos bi-dimensionais ou planos ............................................ 10

2.5.3 Elementos tri-dimensionais ou espaciais ....................................... 11

2.6 TIPOS DE ESFORÇOS NAS ESTRUTURAS ....................................... 11

2.6.1 Esforços externos ............................................................................. 12

2.6.2 Esforços internos .............................................................................. 13

3. ESTUDO DE VIGA ................................................................................. 16

3.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................... 16

3.2 CLASSIFICAÇÃO ................................................................................. 16

3.2.1 Quanto ao tipo e posição dos apoios.............................................. 16

3.2.2 Quanto à origem do carregamento .................................................. 17

3.3 FLEXÃO SIMPLES ............................................................................... 18

3.4 DEFORMAÇÃO NA FLEXÃO ............................................................... 19

3.4.1 Flecha e ângulo de rotação .............................................................. 19

3.4.1.1 Relação momento curvatura ........................................................... 20

3.5 VIGA DE EULER-BERNOULLI .............................................................. 23

3.5.1 A equação de Euler para a viga ....................................................... 24

xv

3.6 VIGA DE TIMOSHENKO ....................................................................... 26

4. O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ............................................. 29

4.1 FORMULAÇÃO BÁSICA ....................................................................... 29

4.1.1 Série de Taylor para funções de variáveis n ................................... 29

4.1.2 Aproximação das derivadas por série de Taylor ............................ 30

4.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O MÉTODO DAS DIFERENÇAS

FINITAS (MDF) ............................................................................................ 33

4.2.1 No engaste ......................................................................................... 33

4.2.2 No apoio do 2º gênero ou 1º gênero ................................................ 34

4.2.3 Na extremidade livre ......................................................................... 35

4.2.4 No apoio deslizante .......................................................................... 37

4.2.5 Esquema de solução......................................................................... 38

4.3 O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO A EQUAÇÃO DE

VIGA DE EULER ......................................................................................... 39

5. APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS NA VIGA DE

EULER ......................................................................................................... 41

5.1 VIGA BI-APOIADA ................................................................................ 41

5.1.1 Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler bi-

apoiada ....................................................................................................... 41

5.1.2 Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler bi-

apoiada ....................................................................................................... 43

5.1.2.1 Discretização da viga com 3 nós ...................................................... 43




5.1.2.5 Discretização da viga com 11 nós .................................................... 56


5.1.3 Análise dos resultados ..................................................................... 68

5.2 VIGA ENGASTADA-LIVRE ................................................................... 70

5.2.1 Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler

engastada-livre ........................................................................................... 70

5.2.2 Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler

engastada-livre ........................................................................................... 73


xvi







5.2.3 Análise dos resultados ................................................................... 103

5.3 VIGA BI-ENGASTADA (HIPERESTÁTICA) ........................................ 105

5.3.1 Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler bi-

engastada ................................................................................................. 105

5.3.2 Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler bi-

engastada ................................................................................................. 106





5.3.2.5 Discretização da viga com 11 nós .................................................. 113

5.3.2.6 Discretização da viga com 13, 15, 17 e 19 nós .............................. 116

5.3.3 Análise dos resultados ................................................................... 116

6. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ..... 119

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................... 122

ANEXO ...................................................................................................... 125

ANEXO A – FORÇAS DE FIXAÇÃO DEVIDAS A CARGAS DE VÃO NA

BARRA BI-ENGASTADA .......................................................................... 126

1

1. INTRODUÇÃO

1.1 GENERALIDADES

A falta de um estudo no campo numérico na graduação em Engenharia Civil

torna-se a cada dia uma necessidade, uma vez que o graduando não tem

familiaridade com esta ferramenta matemática. Além de que, o Engenheiro Civil

precisa entender como os softwares realizam seus processos de cálculo, em

especial na área da Engenharia Estrutural, onde simplificações matemáticas e a

solução de problemas que muitas das vezes não tem soluções analíticas (exatas)

são comuns de ocorrerem. Entretanto, estudos numéricos vêm acontecendo em

centros avançados de pesquisas no Brasil e no Mundo.

Apesar do cálculo numérico não ser considerado exato, dependendo do nível

de aproximação dado pelo operador, ele pode ser tão preciso quanto se queira.

Existe uma grande quantidade de estruturas que são muito complexas para serem

analisadas pelas técnicas clássicas (exatas), por isso a solução analítica se torna

em alguns casos impossível de calcular sem que haja grandes e excessivas

simplificações, resultando em valores pouco apurados.

Os métodos analíticos clássicos permitem o cálculo da resposta exata, como

por exemplo, das flechas, frequências, deformações e tensões em todos os pontos

de uma estrutura que apresente uma problematização “simples”. Neste contexto se

insere a questão central que motiva o estudo do Método das Diferenças Finitas

(MDF). Pois ele não se restringe a problemas específicos.

No Método das Diferenças Finitas (MDF) e de modo geral nos métodos

numéricos, permitem-se observações importantes em termos computacionais para

matrizes de coeficientes que serão produzidas quando o MDF for empregado. Para

a programação de um software os métodos numéricos são importantes, pois como já

dito, não se restringem a nenhum caso particular, podendo assim ser empregados

de forma segura e precisa, dependendo do grau de refinamento do cálculo.

Na engenharia dificilmente se conhece a solução matemática analítica dos

fenômenos físicos (SOUSA, 2006). As equações diferenciais que regem esses

fenômenos são muitas vezes complicadas e em geral não lineares. Segundo

2

SOUSA (2006), torna-se necessário utilizar procedimentos numéricos para montar

soluções na forma de equações algébricas.

As soluções numéricas estão relacionadas diretamente com os métodos

computacionais, estas soluções ganharam grande “espaço” na prática e no próprio

meio acadêmico após o advento dos computadores. Sem dúvida estas soluções

apresentam inúmeras vantagens sobre as demais. Em relação à solução analítica, já

não exige problemas relativamente simples com tantas particularidades; e em

relação à solução experimental o tempo e o custo são consideravelmente reduzidos.

1.2 O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

Segundo SOUSA (2006), a solução de uma equação diferencial em um

domínio implica no conhecimento dos valores da(s) variável(eis) estudada(as) em

todo o meio continuo. Para isso, SOUSA (2006) diz que o Método das Diferenças

Finitas (MDF) consiste em resolver a equação diferencial em pontos discretos. Estes

pontos são igualmente espaçados, ou seja, a malha é regular.

Para transformação das equações diferenciais em formas discretizadas e

posteriormente em um sistema de equações algébricas em função dos valores da

variável em cada nó, é preciso aproximar as derivadas (SOUSA, 2006).

Em resumo, SOUSA (2006) diz que, o uso da técnica de Diferenças Finitas

procura escrever os operadores diferenciais em sua forma discreta, ou seja, em

função de valores pontuais da solução. O conhecimento da solução, mesmo que de

forma aproximada, em alguns pontos dá uma boa idéia da solução contínua, à

medida que essa nuvem de pontos é adensada o valor da resposta numérica se

aproxima do valor real.

1.3 OBJETIVOS

1.3.1 Objetivo Geral

Apresentar um estudo na área de engenharia estrutural que vislumbre o

entendimento das estruturas civis de modo a facilitar e desenvolver um ramo pouco

estudado na graduação, através do Método das Diferenças Finitas. Onde se aplica

3

em um tipo de elemento estrutural muito usado na construção civil, que são as vigas.

Para tal, se torna necessário o estudo das vigas de maneira que haja um

entendimento de seu comportamento.

1.3.2 Objetivo Específico

Rever alguns conceitos estruturais afim dar subsídios para o estudo do

Método das Diferenças Finitas aplicado a teoria das vigas

Apresentar a equação que rege a teoria das vigas de Euler;

Obter as condições de contorno nos vínculos dos apoios da viga de modo a

levar os problemas relacionados a um sistema possível determinado;

Demonstrar a diferença entre a Teoria de vigas de Euler e Timoshenko;

Aplicar o método das diferenças finitas na equação da viga de Euler, para o

comportamento estático;

Calcular os valores das flechas em vigas através da aplicação do Método das

Diferenças Finitas na teoria da viga de Euler, em diferentes malhas.

4

2. BREVE REVISÃO ESTRUTURAL

Neste capítulo serão fornecidos alguns conceitos importantes para o melhor

entendimento das estruturas como suas classificações e apoios, além de demonstrar

os tipos de elementos estruturais. O capítulo também descreve os esforços que

atuam nas estruturas quando solicitadas.

2.1 INTRODUÇÃO

Segundo NOVAES (2008) a busca por um abrigo e proteção é uma

necessidade básica do ser humano, que pode ser notada desde os primórdios da

humanidade. O homem só conseguiu sair das cavernas (uma estrutura da natureza)

quando conseguiu ter conhecimento e habilidade suficiente para construir seu

próprio abrigo. As primeiras estruturas foram criadas a partir de materiais rústicos

pouco elaborados. As primeiras estruturas eram de alvenaria de rocha ou de

madeira (NOVAES, 2008).

Segundo PIMENTA (2006), as construções em alvenaria, isto é, com pedras

naturais ou artificiais (tijolos cerâmicos, blocos de argamassa ou gesso, etc.) são,

juntamente com as construções de madeira, as mais antigas da Cultura Humana. Já

havia construções em alvenaria nas mais antigas eras. No início, as pedras eram

apenas empilhadas, mas logo se desenvolveu a técnica de talhar as pedras, dando-

lhes um melhor encaixe.

As primeiras formas estruturais eram compostas de viga e pilares, formando

pórticos, tipo até hoje muito usado. A limitação quanto aos materiais disponíveis

levava a limitação dos vãos e necessidade de vários pilares. Talvez observando as

estruturas da natureza, cedo se percebeu que a forma de arco, por levar a uma

melhor distribuição de esforços, permite a elaboração de construções estáveis de

maiores vãos, conforme figura 2.1.

5

Figura 2.1: Estrutura em forma de arco

Fonte: PIMENTA, 2006

Essa forma, assim como sua variação espacial, como cúpulas e abóbodas, é

muito presente em construções antigas (NOVAES, 2008). De uma maneira geral,

pode-se dizer que os gregos criaram as estruturas em pórticos, depois

aperfeiçoadas pelos romanos para a forma de arco, possibilitando maiores vãos com

os materiais disponíveis à época. Somente com a Revolução Industrial, a partir do

século XIX (NOVAES, 2008), é que a forma em pórtico volta a ser popular, pois os

novos materiais, como o ferro fundido e posteriormente o aço e o concreto armado,

possibilitavam vãos maiores.

2.2 CONCEITO DE ESTRUTURA

Estruturas são sistemas compostos de uma ou mais peças (estruturais),

ligadas entre si e ao meio exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é, um

conjunto capaz de receber solicitações externas, absorvê-las internamente e

transmiti-las até seus apoios, onde estas solicitações externas encontrarão seu

sistema estático equilibrante (VANDERLEI, 2007). Ou seja, toda estrutura deve

proporcionar um equilíbrio para dar suporte às diversas ações que vierem a solicitá-

la durante a sua vida útil sem que ela perca a sua função (NOVAES, 2010).

A figura 2.2 mostra alguns dos diversos tipos de estruturas que existem na

construção civil.

6

Figura 2.2: Tipos de estruturas na construção civil

Fonte: VANDERLEI, 2007.

2.3 EQUILÍBRIO DOS CORPOS

2.3.1 Vínculos ou apoios

São elementos que podem impedir o deslocamento de pontos das peças,

introduzindo como conseqüência esforços nesses pontos correspondentes aos

deslocamentos que impedem (CAMPANARI, 1985). Logo, eles têm a função de

travar possíveis deslocamentos que a estrutura venha a ter.

No plano estes apoios impedirão três movimentos que um provável

corpo rígido causará. Para isso deve-se ter um sistema de carregamento aplicado,

este sistema é equilibrado por um conjunto de carregamentos reativos que foi

introduzido através dos vínculos ligados a estrutura (CAMPANARI, 1985).

A seguir serão mostrados tipos de vínculos (apoios) que atuam no plano:

a) Apoio simples (1º gênero ou 1º grau): Impedem o deslocamento

perpendicular ao plano de apoio, introduzindo uma única força nesta

direção, permitindo a rotação (CAMPANARI, 1985). Em resuma são

apoios que restringe um movimento, desta maneira teremos somente uma

reação de apoio.

Figura 2.3: Simbologia para apoio do 1º grau.

Fonte: UL- Universidade de Lisboa, 2010.

7

b) Articulação (2º gênero ou 2º grau): Impedem o deslocamento em qualquer

direção no plano, introduzindo, em consequência, uma força numa direção

qualquer [11], contudo este tipo de vínculo permite a rotação da estrutura.

Chegam a ser mais “eficientes” que os apoios simples, pois restringem

dois movimentos, desta maneira produzem duas reações (SANTOS,

2007).



c) Engastamento (3º gênero ou 3º grau): Impedem qualquer deslocamento

ou rotação no plano, assim ele introduz duas componentes de força e um

momento (CAMPANARI, 1985). Desta maneira o engaste impede três

movimentos, conseqüentemente produz três reações de apoio.



8

2.4 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS

2.4.1 Estruturas Hipostáticas

São estruturas que não possuem equilíbrio estático, logo não são estáveis,

tendo por isso algum movimento (grau de liberdade) não restringido (ROMÃO,

2003).

De um modo geral estas estruturas possuem um número de reações de apoio

inferior ao número de equações de equilíbrio estático. No entanto, é possível ter uma

estrutura hipostática com um número de reações igual ou até superior ao número de

equações de equilíbrio estático (Figura 2.6) desde que essas reações estejam

dispostas de forma ineficaz (ROMÃO, 2003). Um dos principais fatores que deixa

esta estrutura instável ocorre devido à presença dos vínculos que não impedem

todos os possíveis movimentos da mesma.

Figura 2.6: Estrutura hipostática.

Fonte: ROMÃO, 2003.

2.4.2 Estruturas Hiperestáticas

As estruturas hiperestáticas têm um número de reações superior ao

estritamente necessário para impedir qualquer movimento (Figura 2.7). Verifica-se,

então, a possibilidade de, ao serem criteriosamente retiradas determinadas reações,

9

estas estruturas continuarem a não apresentar movimento e serem, portanto,

estáveis (ROMÃO, 2003).

Figura 2.7: Estrutura hiperestática.


2.4.3 Estruturas Isostáticas

Diferentemente das estruturas hipostáticas e hiperestáticas as estruturas

isostáticas têm o número de reações estritamente necessário para impedir qualquer

movimento (ROMÃO, 2003). Suas reações estão dispostas de forma eficaz a

restringir os possíveis movimentos da estrutura

Figura 2.8: Estrutura Isostática.


10

2.5 ELEMENTOS ESTRUTURAIS

2.5.1 Elementos unidimensionais ou lineares

São elementos em que uma das dimensões é bastante maior que as outras

duas, as dimensões da seção são nitidamente menores que a extensão da sua linha

central. Alguns exemplos de estruturas lineares são vistas na figura 2.9.

Figura 2.9: Exemplo de peças estruturais lineares (vigas e pilares).

Fonte: LEMA- Arquitetos Associados, 2010

2.5.2 Elementos bi-dimensionais ou planos

São elementos em que uma das dimensões é bastante menor que as outras

duas, a espessura é nitidamente menor que as dimensões da seção. Existem três

tipos desse elemento: as placas (Figura 2.10a), as chapas (Figura 2.10b) e as

cascas (Figura 2.10c). A primeira recebe forças perpendiculares ao plano de carga,

como exemplo pode-se citar as lajes. A segunda recebe esforços normais, são

comuns de ocorrerem em alvenarias estruturais. Por fim, o terceiro elemento plano é

a casca, são estruturas de superfície média curva cujos esforços atuantes são

perpendiculares a sua superfície.

11

(a)

(b)

(c)

Figura 2.10: Elementos bi-dimensionais: Placa (a), Chapa (b) e Casca (c). Fonte: CAMPOS, 2010.

2.5.3 Elementos tri-dimensionais ou espaciais

São elementos em que as dimensões são de mesma ordem de grandeza

(Figura 2.11), não necessariamente do mesmo tamanho, logo diferente dos

elementos anteriormente mencionados ela não tem nenhuma dimensão

predominante.

Figura 2.11: Elemento tri-dimensional: Bloco de Fundação.

Fonte: UFPR- Universidade Federal do Paraná, 2010.

2.6 TIPOS DE ESFORÇOS NAS ESTRUTURAS

Existem dois tipos de esforços atuantes nas estruturas, são os externos e os

internos. Um como o próprio nome diz atua fora da estrutura (externo) enquanto o

12

outro age a nível molecular (interno). Tanto para os externos quanto para os internos

existem divisões que serão descritas a seguir.

2.6.1 Esforços externos

Os esforços externos atuam no sistema material em análise (por contato ou

ação à distância) oriundos da ação de outro sistema (o peso próprio, a ação do

vento, esforços vinculares, são exemplos de esforços externos) (CAMPOS, 2010).

Este esforço esta subdividido em ativos (ação) e reativos (reação).

Os esforços ativos serão classificados de permanentes quando atuam

constantemente sobre a estrutura (como seu peso próprio) e acidentais quando

atuam de forma transitória (o efeito do vento nas construções, carga de partida das

máquinas, etc.) (CAMPOS, 2010). Eles são conhecidos a priori devido ao fato que

no projeto o peso próprio, por exemplo, é inicialmente conhecido já que as

dimensões das peças estão estabelecidas.

Os esforços reativos, produzidos pelos vínculos, são denominados de

reações de apoio, sendo determinados pelas equações da estática que regem o

equilíbrio das forças sobre um corpo em repouso (CAMPOS, 2010). A figura 2.12

ilustra o caso de esforços ativos e reativos.

Figura 2.12: Esforços ativos e reativos.

Fonte: Elaborada pelo autor.

13

2.6.2 Esforços Internos

Os esforços internos são os oriundos da ação de uma parte da estrutura ou

elemento estrutural, sobre outra parte da estrutura, por contato. Este esforço esta

subdividido em solicitante e resistente.

Esforço interno solicitante é o conjunto de esforços que devido às ações se

exerçam sobre uma ou mais seções de um elemento da estrutura (LIMA, 2010).

Estes esforços internos geralmente são distribuídos de forma complexa sobre as

seções (figura 2.13), mas, no entanto as condições de equilíbrio são satisfeitas para

cada parte separadamente (LIMA, 2010).

(a)

(b)

Figura 2.13: Esforços internos solicitantes. Corpo recortado virtualmente (a). Distribuição de forças ao longo da superfície recortada (b)

Fonte: LIMA, 2010.

A resultante das forças internas na seção genérica virtual pode ser obtida

tanto no lado esquerdo quanto no direito do corte imaginário, como pode ser visto na

figura 2.14.

Figura 2.14: Equilíbrio elástico no corpo em equilíbrio

Fonte: LIMA, 2010.

14

As resultantes dos esforços internos solicitantes estão descritas abaixo.

a) Esforço Normal (N): Corresponde à componente da resultante de forças

perpendicular à seção transversal (ou tangente ao eixo longitudinal). Esta

solicitação tem como efeito sobre a peça a tendência de distendê-la ou

comprimi-la (encurtá-la), ou seja, sendo a peça retilínea, aumentar ou

diminuir seu comprimento. A convenção de sinais utilizada é que o esforço

normal é positivo sempre que a componente de força em questão estiver

saindo de ambas às faces de uma fatia isolada da peça, ou seja, em

tração (UFPR, 2010).

(a)

(b)

Figura 2.15: Esforço normal em um corpo sólido. Efeito de compressão (a). Efeito de tração (b). Fonte: UFPR- Universidade Federal do Paraná, 2010.

b) Esforço Cortante ou de Cisalhamento (V): Corresponde às componentes

da resultante de forças contidas no plano da seção transversal. Esta

solicitação tem como efeito sobre a peça a tendência a fazer as diversas

seções transversais deslizarem, umas sobre as outras,

perpendicularmente ao eixo longitudinal (UFPR, 2010).

(a)

(b)

Figura 2.16: Esforço cortante em um corpo sólido. Estrutura antes do carregamento (a), Estrutura com carregamento e sob efeito de cisalhamento (b).


15

c) Momento Fletor (M): Corresponde às componentes da resultante de momentos contidas na seção transversal (perpendiculares ao eixo). Seu efeito sobre a peça é a tendência a encurvar ou fletir seu eixo longitudinal, fazendo com que as seções transversais girem umas em relação às outras, em torno de um eixo contido na seção transversal. Essa deformação causa tração em parte das fibras da peça, e compressão em outras (UFPR, 2010).

(a)

(b)

Figura 2.17: Momento fletor em um corpo sólido. Estrutura antes do carregamento (a). Estrutura com carregamento e sob efeito do momento fletor (b).


d) Momento Torço (T): Corresponde à componente da resultante de

momentos perpendicular à seção transversal (ou tangente ao eixo longitudinal). Seu efeito sobre a peça é a tendência das diversas seções transversais girarem umas em relação às outras, em torno do eixo longitudinal, torcendo a peça (UFPR, 2010)

(a)

(b)

Figura 2.18: Momento torço em um corpo sólido. Estrutura em repouso (a). Estrutura sob efeito do momento torço (b).


A distribuição dos esforços ao longo de todos os pontos de uma seção

genérica transversal é chamado de esforço interno resistente e é considerado,

muitas das vezes como uniforme, embora talvez nunca se verifique na realidade. O

valor exato do esforço que atua em cada ponto é função da natureza cristalina do

material e da orientação dos cristais no ponto (GHISI, 2005). Quando este esforço

atuar perpendicularmente em cada ponto desta seção transversal, ou seja, ao longo

da área da seção, ela recebe o nome de tensão normal (GHISI, 2005). Quando o

esforço for cortante (Q) ele atuará também ao longo da área do plano de uma seção

genérica transversal, logo este esforço criará uma tensão tangencial denominado de

tensão de cisalhamento (GHISI, 2005).

16

3. ESTUDO DE VIGA

Neste capítulo serão apresentados alguns conceitos referentes à classificação

das vigas, que serão importantes para o melhor entendimento do comportamento

das mesmas, além de relatar os tipos de esforços que atuam nas vigas. O capítulo

também descreve as duas teorias de viga: Euler e Timoshenko.

3.1 INTRODUÇÃO

Os elementos estruturais que oferecem resistência à flexão, provocada por

carregamentos aplicados, são conhecidos como vigas (MERIAM, 1999). São

normalmente barras retas e prismáticas, o que ocasiona maior resistência ao

cisalhamento e flexão (UNICAMP, 2010). Não há dúvida de que a viga é o mais

importante de todos os elementos estruturais e sua teoria básica deve ser

completamente entendida para o seu dimensionamento (MERIAM, 1999).

Segundo MERIAM (1999), a análise da capacidade das vigas em suportar

carregamento consiste, primeiramente, em estabelecer os requisitos de equilíbrio da

viga como um todo, para isso requer a aplicação dos princípios da estática. O

mesmo autor também relata que, em seguida devem ser estabelecidas as relações

entre as forças resultantes e a resistência interna da viga para suportar essas forças,

para isso se utiliza características da resistência dos materiais.

3.2 CLASSIFICAÇÃO

3.2.1 Quanto ao tipo e posição dos apoios

Segundo MERIAM (1999), vigas estaticamente determinadas, são aquelas

que estão suportadas de tal forma que suas reações externas nos suportes podem

ser calculadas aplicando-se apenas as equações da estática (Equação 3.1). Ou

seja, são vigas isostáticas como por exemplo: bi apoiadas, em balanço e

combinadas (Figura 3.1).

17

; ; (3.1)

Existem também as vigas que são as chamadas de estaticamente

indeterminada, são aquelas onde além de considerar as equações de equilíbrio

estático (Equação 3.1) é necessário considerar as propriedades da relação carga-

deformação da viga, são as hiperestáticas, como por exemplo: contínuas, em

balanço apoiada na extremidade e bi engastada (Figura 3.1).

Figura 3.1: Principais tipos de vigas existentes. Em balanço (a). Simplesmente apoiada (b). Bi-

engastada (c). Articulada ou Gerber (d). Contínua (e). Fonte: NOVAES & PARSEKIAN, 2008.

3.2.2 Quanto à origem do carregamento

Existem dois tipos principais de carregamento externo que uma viga suporta,

cargas concentradas e cargas distribuídas. Carregamento concentrado são forças

aplicadas em um único ponto (Figura 3.2), logo são pontuais, ocorrem em um ponto

exclusivo da viga (SANTOS, 2007).

18

Figura 3.2: Exemplo de carregamento concentrado.

Fonte: NAKAO, 2010

Enquanto que o carregamento concentrado atua em um único ponto a carga

distribuída é expressa como a força ao longo do uma unidade de comprimento da

viga (Figura 3.3), a intensidade da força pode ser constante ou variável (MERIAN,

1999).

Figura 3.3: Cargas ( distribuídas ao longo da viga.

Fonte: UNICAMP- Universidade de Campinas, 2010.

3.3 FLEXÃO SIMPLES

Na seção transversal de uma viga que esteja com um carregamento qualquer,

existe uma solicitação de flexão pura quando na mesma atua apenas um momento

fletor (M). Quando junto com o momento fletor atuar uma força cortante (Q), a

solicitação passa a ser chamada de flexão simples (SCHÄFFER, 2010).

Os efeitos dos carregamentos na viga produzem deslocamentos nos diversos

pontos do eixo da mesma conhecida pelo nome de flecha, além disso, dão origem a

19

tensões normais e de cisalhamento nas diversas seções transversais da viga

(NASH, 1982).

É de conveniência imaginar que a viga seja formada de um número infinito de

fibras longitudinais (NASH, 1982). Assim, a viga da figura 3.4 fletirá, encurtando-se

para baixo; as fibras da parte inferior serão distendidas e as da parte superior,

encurtadas, isto é, diminuem de comprimento (Nash, 1982). Logo as fibras

superiores serão comprimidas e as fibras inferiores serão tracionadas.

Figura 3.4: Flexão em viga.

Fonte: PUCPR- Pontífice Universidade Católica do Paraná, 2010.

Existe um ponto na viga que não sofre tração e nem compressão chamado de

eixo neutro (ou linha neutra). Por este motivo que todas as fibras que se situam na

seção transversal, do mesmo lado, em relação à linha neutra, estão submetidas à

tração; as que se situam no lado oposto, são submetidas à compressão (NASH,

1982).

3.4 DEFORMAÇÃO NA FLEXÃO

3.4.1 Flecha e ângulo de rotação

Segundo FERRARI (2010), os esforços solicitantes (forças normais de

compressão, forças normais de tração, forças tangenciais, momentos fletores e

momentos de torção) causam deformações nas estruturas. O fato de a maioria das

deformações serem menores que a acuidade visual permite detectar, sua

importância teórica, entretanto, é enorme.

20

Uma dessas deformações é conhecida por flecha, que é o deslocamento na

direção de qualquer ponto no eixo da viga (FERRARI, 2010). A falta de controle no

cálculo das flechas pode ocasionar no aumento excessivo delas, com isso o

aparecimento de fissuras nas paredes localizadas em baixo de vigas, ou até impedir

a abertura de janelas localizada na alvenaria que esta recebendo esta força devido à

flecha (Figura 3.5).

Figura 3.5: Deslocamento excessivo devido à flecha.

Fonte: TQS- Informática Ltda, 2010.

Quando a viga é flexionada, não há somente uma flecha em cada ponto ao

longo do eixo, mas também uma rotação. O ângulo de rotação (θ) do eixo da viga é

o ângulo entre o eixo e a tangente à curva deformada como mostrado na figura

3.6.

Figura 3.6: Ângulo de rotação θ.

Fonte: AZEVEDO, 2003

3.4.1.1 Relação momento curvatura

Para se obter o valor analiticamente do ângulo de rotação e da flecha, se

torna necessário desenvolver uma importante relação entre o momento fletor

interno na viga e o raio de curvatura (rô) da curva da linha elástica em um ponto,

mostrado na figura 3.7b (HIBBELER, 2010). Através desta relação será possível

21

definir a equação da curva elástica, em função de , com essa equação se encontra

o valor da flecha em qualquer ponto da viga.

Devido às cargas presentes na figura 3.7a, a deformação da viga é provocada

pela força cortante interna, bem como pelo momento fletor. Segundo HIBBELER

(2010), se o comprimento da viga for muito maior do que sua altura, a maior

deformação será causada por flexão.

(a)

(b)

Figura 3.7:Comportamento estático de uma viga. Viga submetida a diversos carregamentos (a), elemento infinitesimal da viga (b).

Fonte: HIBBELER, 2010.

Segundo HIBBELER (2010), quando o momento fletor interno deforma o

elemento da viga, o ângulo entre as seções transversais torna-se (figura 3.7b).

Para o mesmo autor, o arco representa uma porção da linha elástica que

intercepta o eixo neutro para cada seção transversal. O raio de curvatura para esse

arco é definido como a distância , que é medida do centro de curvatura até .

Qualquer arco sobre o elemento, exceto , está sujeito a uma deformação normal

(tração ou compressão). A deformação no arco , localizado em uma posição em

relação ao eixo neutro é:

(3.2)

Todavia;

(3.3)

E;

(3.4)

22

Portanto, substituindo (3.3) e (3.4) em (3.2), temos;

(3.5)

Supondo que a viga tem material homogêneo e comporta-se de uma maneira

linear elástica, a lei de Hooke, , é aplicável. A fórmula da flexão também se

aplica, (HIBBELER, 2010). Substituindo essas equações na equação

(3.5), temos:

(3.6)

Para HIBBELER (2010), a relação que representa a curvatura ( ) em

termos de e , pode ser definida como:

(3.7)

Substituindo a equação (3.7) na equação (3.6), temos:

(3.8)

Esta solução, denominada elástica, dá a forma exata da linha elástica. Para

facilitar a solução de um número maior de problemas a equação (3.8) pode ser

modificada, pois a inclinação da linha elástica determinada por será muito

pequena e o quadrado dessa inclinação será desprezível, logo a equação (3.8) pode

ser expressa como:

(3.9)

Onde:

: equação do momento;

E: módulo de elasticidade;

I: momento de inércia.

23

Com a equação (3.9), é capaz de obter o valor da flecha em qualquer ponto

de uma determinada viga, através da curva elástica que a expressão fornece, para

resolver-la se deve integrar a equação. A primeira integral da equação (3.9) fornece

a equação das rotações ( ), ou seja, o ângulo de rotação em qualquer ponto da

viga. Já a segunda integral fornece a equação da curva elástica ( )

disponibilizando a flecha em qualquer ponto da viga. Este processo é conhecido

como o Método da Integração Dupla (MID).

Como a equação (3.9) é de segunda ordem, aparecem, após a integração,

duas constantes. Essas constantes determinam-se com as condições referentes a

flechas e inclinações, da linha elástica, em certos pontos da viga (NASH, 1982).

3.5 VIGA DE EULER-BERNOULLI

A viga, como dito anteriormente, é tratada como modelo unidimensional,

fazendo-se a hipótese que o comprimento é bem maior que as dimensões da seção

transversal. Observa-se que a análise de vigas é bastante comum em problemas de

engenharia, tornando-se fundamental o estudo de sua formulação. Para esta

finalidade, geralmente, consideram-se o modelo de viga de Euler-Bernoulli ou

simplesmente viga de Euler (Viga clássica).

Para uma relação muito pequena, entre a altura (h) da seção transversal de

uma viga e seu comprimento (L), define-se a viga de Euler. Segundo SILVA (2008),

esta se caracteriza por considerar apenas os efeitos de flexão (Caso elementar de

flexão) devido à tensão normal.

Supondo uma viga (figura 3.8) de comprimento , seção transversal e

módulo de inércia , agindo em uma série de cargas verticais e momentos contidos

no plano . Segundo NAVARRA (1995), a viga anteriormente descrita é

classificada como viga de Euler quando ela atender as 3 (três) hipóteses seguintes:

1ª) O deslocamento vertical (flecha) para todos os pontos de uma seção

transversal são pequenas e igual ao eixo da viga;

2ª) O deslocamento lateral é nulo;

3ª) As seções transversais normais ao eixo da viga antes da deformação

permanecem planas e, ortogonal ao eixo após a deformação.

24

Figura 3.8: Viga convencional de Euler-Bernoulli

Fonte: NAVARRA, 1995.

3.5.1 A equação de Euler para a viga

Segundo THOMSON (1997), para determinar a equação diferencial da viga

de Euler, deve-se considerar as forças e momentos agindo sobre um elemento da

viga mostrado na figura 3.9. Sabe-se que, e são o esforço cortante e o

momento fletor, respectivamente, e a carga por unidade de comprimento da

viga.

25

Figura 3.9: Esforços atuantes na viga de Euler-Bernoulli

Fonte: THOMSON (1997).

Fazendo a somatória das forças verticais presente no elemento da viga da

figura 3.9, tem-se:

(3.10)

Somando-se os momentos em qualquer ponto da face direita do elemento:

O produto é muito pequeno e o quadrado dele dividido por dois é

menor ainda, logo se torna desprezível.

(3.11)

26

A equação (3.11) mostra que a taxa de variação do momento ao longo de

uma viga é igual ao cisalhamento, enquanto que a equação (3.10) afirma que a taxa

de mudança de cisalhamento ao longo do comprimento da viga é igual à carga por

unidade de comprimento.

Derivando a equação (3.11) em função de , obtemos:

(3.12)

Substituindo a equação (3.10) na equação (3.12), temos:

(3.13)

Dividindo a equação (3.9) por ( e em seguida substituindo na equação

(3.13):

(3.14)

Logo a equação (3.14) representa a equação governante da viga de Euler

para o comportamento estático.

3.6 VIGA DE TIMOSHENKO

A teoria de Timoshenko, considera a relação da altura , com o comprimento

próxima de 1 (SILVA & PEDRODO, 2005). Segundo NAVARRA (1995), a teoria de

vigas de Timoshenko compartilha as hipóteses 1 e 2 da teoria de vigas clássicas.

Em contrapartida, a nova hipóteses 3 (figura 3.10) estabelece que as seções planas

normais ao eixo da viga antes da deformação permanecem planas, mas não

necessariamente perpendiculares ao eixo após a deformação.

27

Figura 3.10: Teoria da flexão de vigas de Timoshenko. Giro (Φ) da seção normal a fibra média.

Fonte: NAVARRA, 1995.

Segundo SOUSA Jr. (2006), a teoria de flexão simples (viga de Euler),

mostrada na figura 3.8, considera as seções como retas, ou seja, que não há

distorções das mesmas. Para vigas esbeltas em que a altura da seção é pequena

em relação ao comprimento a deformação cisalhante é relativamente pequena.

Porém quando essa relação não é tão pequena (viga de Timoshenko) as

deformações cisalhantes (deformação angular de cisalhamento) devem ser

consideradas e a teoria clássica (Euler-Bernoulli) não se aplica mais.

A figura 3.11, ilustra o efeito de empenamento da seção devido o esforço

cortante. Observa-se que as seções não permanecem mais planas e o modelo

clássico de vigas em flexão não se aplica mais.

28

Figura 3.11: Empenamento das seções devido o esforço P.

Fonte: SOUSA Jr., 2006

29

4. O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

Neste capítulo se mostrará a formulação básica da série de Taylor, que da

início ao Método das Diferenças Finitas (MDF), através da aproximação das

derivadas. O capítulo também mostrará as condições de contorno presentes na viga,

além de demonstrar a equação de Euler na forma de diferenças finitas.

4.1 FORMULAÇÃO BÁSICA

4.1.1 Série de Taylor para funções de variáveis n

Este método utiliza como técnica de solução de equações diferenciais, a

substituição das derivadas por formas de diferenças finitas que são obtidas pela

expansão em série de Taylor e truncamento ao nível da ordem do erro desejada

(SILVA & PEDROSO, 2005).

(4.1)

; onde , o resto após n termos, é dado por qualquer das formas seguintes

[24]:

Forma de Lagrange:

(4.2)

Forma de Cauchy:

(4.3)

Segundo SILVA (2008), o valor de , que pode ser diferentes nas duas

formas, fica entre a e x. O resultado determina se tem derivadas contínuas de

30

ordem n pelo menos. A série é infinita, se , e é chamada de série de

Taylor para em . Se , a série é frequentemente chamada de série de

Meclaurin. Essas séries, chamadas de séries de potências, convergem para todos

os valores de x em algum intervalo de convergência e divergem para todos os

valores de x fora desse intervalo (SILVA & PEDROSO, 2005).

4.1.2 Aproximação das derivadas por série de Taylor

A partir da equação (4.1), pode-se escrever (SILVA, 2008):

(4.4)

(4.5)

Trabalhando com dois termos das séries ( ):

E operando as equações 4.4 menos 4.5:

(4.6)

Segundo SILVA (2008), fazendo e usando a notação inicial, tem-se

o operador em diferenças finitas para a primeira derivada:

(4.7)

31

As equações 4.6 e 4.7 podem ser interpretadas geometricamente como

mostra a figura 4.1.

A equação 4.7 é conhecida como diferencial central, há também a diferencial

para frente e a diferencial para trás (SILVA & PEDROSO, 2005). Sabe-se que a

diferencial central ter melhor acurácia para solução exata (SILVA, 2008), por isso

não serão mostradas as diferenciais para frente e a diferencial para trás.

Figura 4.1: Interpretação geométrica para a derivada.

Fonte: [25]

Para obter o operador em diferenças finitas para a segunda derivada deve-se

somar as equações 4.4 e 4.5 com os três primeiros termos da série ( ).

E operando as equações 4.4 mais 4.5:

(4.8)

Assim como na equação 4.6 ao fazer e usando a notação inicial,

tem-se o operador em diferenças finitas para a segunda derivada:

(4.9)

32

Segundo SILVA (2008), ele define que para achar o operador em diferenças

finitas para a terceira derivada se deve partir da equação 4.6, nela substitui-se

por

, como mostrado a seguir.

Para:

Tem-se:

(4.10)

Ao fazer e usando a notação inicial, tem-se o operador em

diferenças finitas para a terceira derivada:

(4.11)

Por fim se chega ao operador em diferenças finitas para a quarta derivada,

onde a partir da equação 4.8 se substitui por

, como mostrado a seguir.

33

Para:

Tem-se:

(4.12)

Ao fazer e usando a notação inicial, tem-se o operador em

diferenças finitas para a quarta derivada:

(4.13)

4.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O MÉTODO DAS DIFERENÇAS

FINITAS (MDF)

Segundo SILVA & PEDROSO (2005), no método das diferenças finitas, as

condições de contorno têm a função de diminuir o número de variáveis no sistema

de equações, por meio de valores conhecidos em determinado ponto da viga e/ou

relacionar pontos fora da viga (nós artificiais da malha de diferenças finitas) a pontos

no seu interior, levando sempre a um sistema possível determinado para problemas

estáticos.

4.2.1 No engaste

A figura 4.2 representa uma viga engastada com a diferencial central, a

diferencial para frente e a diferencial para trás.

34

Figura 4.2: Viga engastada.

Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.

A flecha no engaste é zero, logo, ficará representada como mostra a equação

4.14.

(4.14)

O mesmo acontece com a rotação no engaste, que têm seu valor igual a zero

que resulta na equação 4.15.

Para:

Tem-se:

(4.15)

4.2.2 No apoio do 2º gênero ou 1º gênero

A figura 4.3 representa uma viga com apoio do 2º gênero (ou 1º gênero) com

a diferencial central, a diferencial para frente e a diferencial para trás.

35

Figura 4.3: Viga com apoio do 2º gênero.


Assim como no engaste a flecha no apoio do 2º gênero vale zero, e sua

representação é mostrada na equação 4.16.

(4.16)

Entretanto a rotação não será nula como ocorre no engaste, apesar disso o

momento terá o valor igual a zero que resultará na equação 4.17.

Para:

Tem-se:

(4.17)

4.2.3 Na extremidade livre

A figura 4.4 representa uma viga com extremidade livre.

36

Figura 4.4: Viga com a extremidade livre.


Na extremidade livre como não se tem apoio o cortante é nulo, ou seja, valerá

zero (equação 4.18).

Para:

Tem-se:

(4.18)

Assim como no apoio do 2º gênero o momento na extremidade livre será nulo,

como mostrado na equação 4.19.

Para:

Tem-se:

37

(4.19)

4.2.4 No apoio deslizante

A figura 4.5 representa uma viga com apoio deslizante.

Figura 4.5: Viga com apoio do deslizante.


Igualmente como o engaste a rotação no apoio deslizante (1º gênero ou 1º

grau) será igual a zero e poderá ser visto na equação 4.20

Para:

Tem-se:

(4.20)

O valor do cortante neste apoio deslizante também será igual a zero, como

mostra a equação 4.21.

Para:

38

Tem-se:

(4.21)

4.2.5 Esquema de solução

Para melhor entendimento as equações (5.7), (5.8), (5.10) e (5.12) estão

representadas esquematicamente na tabela 4.1. Para maior facilidade na busca das

condições de contorno definidas e deduzidas anteriormente foram também

esquematizadas na tabela 4.2.

Tabela 4.1: Representação esquemática para a diferencial central.

Operador

Aproximado Célula (coeficiente)


39

Tabela 4.2: Representação das condições de contorno para a diferencial central.

Tipos de apoio Condições de contorno


4.3 O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO A EQUAÇÃO DE VIGA

DE EULER

Como já visto anteriormente a viga de Euler considera somente os efeitos de

flexão, para o comportamento estático a equação diferencial governante submetida

a um carregamento fica definida na equação 4.22.

(4.22)

Divide-se a equação (4.22) por (EI):

40

(4.23)

Aplicando o MDF na equação (4.23), ver equação (4.13) e tabela 5.1:

(4.24)

Multiplica-se a equação (4.24) por :

(4.25)

A equação (4.25) representa a equação governante da viga de Euler por

diferenças finitas.

41

5. APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS NA VIGA DE

EULER

Para um melhor entendimento do Método das Diferenças Finitas, será feito

aplicações do mesmo na viga de Euler, considerando três tipos de vigas, duas do

tipo isostáticas e uma hiperestática, visando mostrar a eficiência do MDF. Em todas

as vigas começa-se com uma malha de três nós e gradativamente se aumenta a fim

de mostrar a melhor convergência dos resultados em comparação com o método

analítico que também será mostrado neste capítulo.

5.1 VIGA BI-APOIADA

5.1.1 Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler bi-apoiada

Como já descrito no capítulo 3, o Método da Integração Dupla (MID) calcula o

valor da flecha em determinado ponto de uma viga, para tal é preciso ter a equação

do momento que representa a viga. Para encontrar essa equação, supondo que a

viga tem carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de

inércia e comprimento , antes precisará ter o valor das reações de apoio da viga

da figura 5.1.

Figura 5.1: Viga bi-apoiada. Fonte: Elaborada pelo autor.

Com uma seção imaginária passando a uma distância da reação

encontra-se o valor de através de:

42

(5.1)

Com a equação (5.1) se acha a expressão do momento da viga.

(5.2)

Substituindo a equação (5.2) na equação (3.2) e em seguida integrando-a,

tem-se a equação das rotações (equação 5.3).

(5.3)

Ao integrar a equação (5.3) se obtém a equação da curva elástica (equação

5.4) capaz de mostrar o valor da flecha em qualquer ponto da viga da figura 5.1.

(5.4)

As constantes e são encontradas quando:

(5.5)

(5.6)

Substituindo a equação (5.5) na equação (5.4), se encontra o valor de .

(5.7)

Substituindo as equações (5.6) e (5.7) na equação (5.4), se encontra o valor

de .

43

(5.8)

Por fim, substituindo as equações (5.7) e (5.8) na equação (5.4),

considerando o

, encontra-se o valor analítico da flecha no meio do vão.

Dividindo a equação por :

(5.9)

A equação (5.9) representa o valor analítico da flecha no meio do vão da viga

da figura 5.1.

5.1.2 Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler bi-apoiada

5.1.2.1 Discretização da viga com 3 nós

Nesta aplicação, mostra-se a técnica de resolução por diferenças finitas para

a equação de equilíbrio estático, visto no capítulo 4 (equação 4.25) de uma viga de

Euler. Utiliza-se uma viga bi-apoiada do tipo isostática com um carregamento

distribuído . Com a utilização do MDF pretende-se obter as soluções numéricas

das flechas no meio do vão. A viga de estudo é mostrada na figura 5.2 e tem módulo

de elasticidade , momento de inércia e comprimento .

Os nós virtuais presentes fora desta viga (figura 5.2) e nas vigas dos próximos

exemplos são obtidos através das condições de contorno descrito no capítulo 4

(tabela 4.2).

44

Como o MDF calcula os valores de forma pontual, a viga (figura 5.2) com três

nós fica com um nó no centro, onde a flecha é máxima, e um nó em cada apoio.

Esses nós são separados igualmente, tanto os de dentro da viga quanto os de fora.

Figura 5.2: Viga bi-apoiada e discretizada com 3 nós em diferenças finitas (comportamento estático).


Para três nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ).

Substituindo na equação (4.25) , se obtém:

(5.10)

Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:

No apoio do 2º gênero ( )

(5.11)

(5.12)


(5.13)

45

(5.14)

Substituindo as equações (5.11), (5.12), (5.13) e (5.14) na equação (5.10),

tem-se:

1ª equação:

(5.15)

Para:

E;

Temos:

(5.16)

A solução anterior, equação (5.16), representa a flecha no meio do vão,

aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

46


Como no item anterior, neste próximo exemplo também se pretende calcular a

flecha no meio do vão. A viga da figura 5.3 tem as mesmas propriedades da anterior

(carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e

comprimento ) mudando apenas o número de nós que serão discretizados na

mesma. Em resumo, ira se mostrar a técnica de resolução por diferenças finitas para

a equação de equilíbrio estático (equação 4.25) de uma viga de Euler.



Para cinco nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ).

Substituindo na equação (4.25) , se obtêm:

(5.17)

Substituindo na equação (4.25) , têm-se:

(5.18)


(5.19)



(5.20)

47

(5.21)


(5.22)

(5.23)

Substituindo as equações (5.20), (5.21), (5.22) e (5.23) nas equações (5.17),

(5.18) e (5.19), tem-se:

1ª equação:

(5.24)

2ª equação:

(5.25)

3ª equação:

(5.26)

Em resumo:

48

Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo: , descrito abaixo:

Resolvendo o sistema pelo método de Cramer, encontra-se o valor do :

O valor de representa o valor da flecha no meio do vão da viga, quando:

E;

Logo:

(5.27)

A solução anterior, equação (5.27), representa a flecha no meio do vão da

viga, aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

49


No próximo exemplo (figura 5.4) se pretende usar a mesma viga dos

exemplos anteriores (carregamento distribuído , módulo de elasticidade ,

momento de inércia e comprimento ) diferenciando apenar a discretização que

será de 7 nós, também se pretende calcular a flecha no meio do vão usando o

MDF.



Para sete nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ).

Substituindo na equação (4.25) , se obtém:

(5.28)


(5.29)


(5.30)


(5.31)


(5.32)



50

(5.33)

(5.34)


(5.35)

(5.36)

Substituindo as equações de condições de contorno (5.33), (5.34), (5.35) e

(5.36) nas equações (5.28), (5.29), (5.30), (5.31) e (5.32), tem-se:

1ª equação:

(5.37)

2ª equação:

(5.38)

3ª equação:

(5.39)

51

4ª equação:

(5.40)

5ª equação:

(5.41)

Em resumo:


Resolvendo o sistema através de um software de computação técnica

chamado Maple (MapleSoft, 2010), encontram-se os valores dos , entretanto

apenas o será usado, que representa o valor da flecha no meio da viga.

Para:

52

E;

Temos:

(5.42)


viga aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.


No exemplo a seguir (figura 5.5) se usa uma discretização de 9 nós na viga,

sabendo que o carregamento distribuído , módulo de elasticidade E, momento

de inércia I e comprimento L permanecem, se pretende calcular a flecha no meio do

vão usando o MDF.



Para nove nós na viga, se deseja calcular a flecha no meio do vão ( ).


53

(5.43)


(5.44)


(5.45)


(5.46)


(5.47)


(5.48)


(5.49)



(5.50)

(5.51)


54

(5.52)

(5.53)


(5.53) nas equações (5.43), (5.44), (5.45), (5.46), (5.47), (5.48) e (5.49), tem-se:

1ª equação:

(5.54)

2ª equação:

(5.55)

3ª equação:

(5.56)

4ª equação:

(5.57)

5ª equação:

(5.58)

6ª equação:

(5.59)

55

7ª equação:

(5.60)

Em resumo:

Portanto, obteve-se um sistema de equações do tipo: , descrito

abaixo:

Como no exemplo anterior, foi usado para resolução do sistema, um software

de computação técnica chamado Maple (MapleSoft, 2010), que calculou os valores

dos , contudo, apenas o será usado, que representa o valor da flecha no meio

da viga.

Para:

56

E;

Temos:

(5.61)




Prosseguindo com o mesmo exemplo (carregamento distribuído , módulo

de elasticidade , momento de inércia e comprimento ) modificando apenas a

discretização que agora será de 11 nós (figura 5.6), se pretende calcular a flecha no

meio do vão empregando o MDF.

Figura 5.6: Viga bi-apoiada e discretizada com 11 nós em diferenças finitas (comportamento

estático). Fonte: Elaborada pelo autor.

Para onze nós na viga se deseja calcular a flecha no meio do vão ( ).


57

(5.62)


(5.63)


(5.64)


(5.65)


(5.66)


(5.67)


(5.68)


(5.69)


(5.70)



(5.71)

58

(5.72)


(5.73)

(5.74)


(5.74) nas equações (5.62), (5.63), (5.64), (5.65), (5.66), (5.67), (5.68), (5.69) e

(5.70), tem-se:

1ª equação:

(5.75)

2ª equação:

(5.76)

3ª equação:

(5.77)

4ª equação:

(5.78)

59

5ª equação:

(5.79)

6ª equação:

(5.80)

7ª equação:

(5.81)

8ª equação:

(5.82)

9ª equação:

(5.83)

Em resumo:


abaixo:

60

Resolvendo o sistema acima com o software Maple, se encontram os valores

dos , sabendo que apenas o será usado, pois representa o valor da flecha no

meio da viga.

Para:

E;

Temos:

(5.84)

A solução acima, equação (5.84), representa a flecha no meio do vão da viga,


61


Optou-se por mostrar a viga de 19 nós e não mostrar as vigas com 13, 15 e

17 nós, pois elas convergem no mesmo valor da flecha encontrada para a viga com

11 nós (equação 5.84), considerando uma aproximação de quatro casas decimais.

Para a viga com 19 nós (figura 5.7) se mantém o carregamento distribuído

, módulo de elasticidade , momento de inércia e comprimento . Pretende-se

também calcular a flecha no meio do vão empregando o MDF.

Figura 5.7: Viga bi-apoiada discretizada com 19 nós em diferenças finitas (comportamento estático).


Para dezenove nós na viga se deseja calcular a flecha no meio do vão ( ).


(5.85)


(5.86)


(5.87)


(5.88)


(5.89)

62


(5.90)


(5.91)


(5.92)


(5.93)


(5.94)


(5.95)


(5.96)


(5.97)


(5.98)


(5.99)


(5.100)

63


(5.101)



(5.102)

(5.103)


(5.104)

(5.105)

Substituindo as equações de condições de contorno (5.102), (5.103), (5.104)

e (5.105) nas equações (5.85), (5.86), (5.87), (5.88), (5.89), (5.88), (5.90), (5.91),

(5.92), (5.93), (5.94), (5.95), (5.96), (5.97), (5.98), (5.99), (5.100) e (5.101), tem-se:

1ª equação:

(5.106)

2ª equação:

64

(5.107)

3ª equação:

(5.108)

4ª equação:

(5.109)

5ª equação:

(5.110)

6ª equação:

(5.111)

7ª equação:

(5.112)

8ª equação:

(5.113)

9ª equação:

(5.114)

10ª equação:

(5.115)

11ª equação:

(5.116)

65

12ª equação:

(5.117)

13ª equação:

(5.118)

14ª equação:

(5.119)

15ª equação:

(5.120)

16ª equação:

(5.121)

17ª equação:

(5.122)

Em resumo:

66

Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo: , descrito a

seguir:

68

Resolvendo o sistema anterior com o software Maple, se encontram os

valores dos , onde apenas o será usado, pois representa o valor da flecha no

meio da viga.

Para:

E;

Temos:

(5.123)

A solução acima, equação (5.123), representa a flecha no meio do vão da


5.1.3 Análise dos resultados

Para se ter uma melhor comparação entre o valor analítico obtido pelo

Método da Integração Dupla (MID) e os valores numéricos obtidos pelo Método das

Diferenças Finitas (MDF) mostra-se na tabela 5.1 uma comparação entre o MID e o

MDF com as malhas de 3, 5, 7, 11 e 19 nós. Para que essa comparação seja

69

possível, trabalha-se com as chamadas flechas adimensionais, ou seja, se divide a

equação da flecha por

, como mostra o exemplo genérico abaixo:

Dividindo a equação por

:

Tem-se;

(5.124)

Logo a equação (5.124) representa de forma genérica o valor das flechas

adimensionais, tanto para a viga bi-apoiada, quanto para as outras vigas que serão

posteriormente mostradas.

A tabela 5.1 mostra que com o aumento do número de nós na viga se tem

uma maior aproximação do valor da flecha numérica em comparação ao valor

analítico. Entretanto, nota-se que a partir da malha com 11 nós até a malha de 19

nós os valores convergem lentamente até o erro percentual ser anulado.

Tabela 5.1: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga bi-apoiada.

Flechas adimensionais:

Solução

Analítica

(MID)

Solução Numérica: MDF

Malha

com 3

nós

Malha

com 5

nós

Malha

com 7

nós

Malha

com 9

nós

Malha

com 11

nós

Malha

com 19

nós

=0,0130

0,0156

0,0137

0,0133

0,0132

0,0131

0,0130

=Erro percentual relativo. Fonte: Elaborada pelo Autor.

70

O valor do erro percentual pode ser achado por meio de:

Para melhor visualizar a convergência do método numérico (MDF) para o

valor analítico (MID), mostra-se o gráfico da figura 5.8.

Figura 5.8: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga bi-apoiada.


5.2 VIGA ENGASTADA-LIVRE

5.2.1 Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler engastada-livre

Assim como o exemplo anterior, será empregado o Método da Integração

Dupla (MID) para o cálculo do valor da flecha no meio do vão e na extremidade livre

da viga, para tal, é preciso ter a equação do momento que representa a viga.

Supondo que a viga tem carregamento distribuído , módulo de elasticidade ,

momento de inércia e comprimento , se obtém a expressão do momento através

do emprego do MID para a viga da figura 5.9. Lembrando que esta viga também é

isostática.

71

Figura 5.9: Viga engastada-livre.


Com uma seção imaginária passando a uma distância do bordo livre

(olhando pelo lado direito), encontra-se o valor da expressão do momento.

(5.125)


se tem a equação das rotações (equação 5.126).

(5.126)

Ao integrar a equação (5.126) se obtém a equação da curva elástica

(equação 5.126) capaz de mostrar o valor da flecha em qualquer ponto da viga da

figura 5.8.

(5.127)


(5.128)

(5.129)

72

Substituindo a equação (5.127) na equação (5.125), se encontra o valor de .

(5.130)

Substituindo as equações (5.129) e (5.130) na equação (5.127), se encontra o

valor de .

(5.131)


considerando o

, se encontra o valor analítico da flecha no meio do vão.

(5.132)

Dividindo a equação (5.132) por :

(5.133)

A equação (5.133) representa o valor da flecha no meio do vão da viga da

figura 5.8.

Além do valor da flecha no meio do vão, será calculado o valor da flecha na

extremidade livre, através da substituição da equação (5.130) e (5.131) na equação

(5.127), considerando o , pois para este exemplo esta se considerando a plano

cartesiano com origem na extremidade livre, após essas substituições se encontra o

valor analítico da flecha na extremidade livre da viga.

73

(5.134)

Dividindo a equação (5.134) por :

(5.135)

A equação (5.135) representa o valor da flecha na extremidade livre da viga

da figura 5.8.

5.2.2 Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler engastada-

livre


Nesta aplicação, mostra-se a técnica de resolução por diferenças finitas para

a equação de equilíbrio estático (equação 4.25) de uma viga de Euler. Utiliza-se uma

viga engastada do tipo isostática com um carregamento distribuído , com a

utilização do MDF se pretende obter as soluções numéricas das flechas. A viga de

estudo é mostrada na figura 5.9 e tem módulo de elasticidade , momento de inércia

e comprimento . O objetivo é calcular as flechas no meio do vão e na extremidade

livre.

Os nós virtuais presentes fora desta viga (figura 5.10) e nas vigas dos

próximos exemplos são obtidos através das condições de contorno descrito no

capítulo 4 (tabela 4.2).

74

Figura 5.10: Viga engastada-livre discretizada com 3 nós em diferenças finitas (comportamento

estático). Fonte: Elaborada pelo Autor.

Para três nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ) e na

extremidade livre ( ). Substituindo na equação (4.25) , se obtém:

(5.136)


(5.137)


No engaste ( )

(5.138)

(5.139)

Na extremidade livre ( )

(5.140)

75

Substituindo a equação (4.19):

(5.141)

Substituindo as equações (5.138), (5.139), (5.140) e (5.141) nas equações

(5.136) e (5.137).

1ª equação:

(5.142)

2ª equação:

(5.143)


Logo;

=

76

Para:

E;

Temos:

(5.144)

(5.145)

As soluções anteriores, equações (5.144) e (5.145), representam as flechas

no meio do vão e na extremidade livre da viga, respectivamente, aproximadas na

flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.


Assim como no item anterior, neste próximo exemplo também se pretende

calcular as flechas no meio do vão e na extremidade livre. A viga da figura 5.11 tem

as mesmas propriedades da anterior (carregamento distribuído , módulo de

elasticidade , momento de inércia e comprimento ) mudando apenas o número

de nós que serão discretizados na mesma. Em resumo, mostra-se a técnica de

resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio estático (equação 4.25)

de uma viga de Euler.

77


estático). Fonte: Elaborada pelo Autor

Para cinco nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ) e na


(5.146)


(5.147)


(5.148)


(5.149)


No engaste ( )

(5.150)

(5.151)


78

(5.152)

(5.153)


(5.146), (5.147), (5.148) e (5.149).

1ª equação:

(5.154)

2ª equação:

(5.155)

3ª equação:

(5.156)

4ª equação:

(5.157)

Em resumo:

79


Resolvendo o sistema encontram-se os valores dos , entretanto apenas os

e serão usados, que representam o valor da flecha no meio e na extremidade

livre da viga, respectivamente:

Para:

E;

Temos:

(5.158)

(5.159)




80


No próximo exemplo (figura 5.12) se pretende usar a mesma viga dos

exemplos anteriores (carregamento distribuído , módulo de elasticidade ,

momento de inércia e comprimento ) diferenciando apenar a discretização que

será de 7 nós, também se pretende calcular as flechas no meio do vão e na

extremidade livre usando o MDF.



Para sete nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ) e na


(5.160)


(5.161)


(5.162)


(5.163)


(5.164)


(5.165)

81


No engaste ( )

(5.166)

(5.167)


(5.168)

(5.169)


e (5.169) nas equações (5.160), (5.161), (5.162), (5.163), (5.164) e (5.165), tem-se:

1ª equação:

(5.170)

2ª equação:

(5.171)

3ª equação:

(5.172)

82

4ª equação:

(5.173)

5ª equação:

(5.174)

6ª equação:

(5.175)

Em resumo:





83

Para:

E;

Temos:

(5.176)

(5.177)





No exemplo a seguir (figura 5.13), usa-se uma discretização de 9 nós na viga,

sabendo que o carregamento distribuído , módulo de elasticidade , momento

de inércia e comprimento permanecem, se pretende calcular as flechas no meio

do vão e na extremidade livre usando o MDF.

84



Para nove nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ) e na

extremidade livre ( ). Substituindo na equação (4.25) , se obtm:

(5.178)


(5.179)


(5.180)


(5.181)


(5.182)


(5.183)


(5.184)


(5.185)

85


No engaste ( )

(5.186)

(5.187)


(5.188)

(5.189)


e (5.189) nas equações (5.178), (5.179), (5.180), (5.181), (5.182) (5.183), (5.184) e

(5.185), tem-se:

1ª equação:

(5.190)

2ª equação:

(5.191)

3ª equação:

(5.192)

86

4ª equação:

(5.193)

5ª equação:

(5.194)

6ª equação:

(5.195)

7ª equação:

(5.196)

8ª equação:

(5.197)

Em resumo:

87





Para:

E;

Temos:

(5.198)

(5.199)




88


Continuando com o mesmo exemplo (carregamento distribuído , módulo

de elasticidade , momento de inércia e comprimento ) mudando apenas a

discretização que será agora de 11 nós (figura 5.14), se pretende calcular as flechas

no meio do vão e na extremidade livre empregando o MDF.



Para onze nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ) e na


(5.200)


(5.201)


(5.202)


(5.203)


(5.204)


(5.205)

89


(5.206)


(5.207)


(5.208)


(5.209)


No engaste ( )

(5.210)

(5.211)


(5.212)

(5.213)


e (5.213) nas equações (5.200), (5.201), (5.202), (5.203), (5.204), (5.205), (5.206),

(5.207), (5.208) e (5.209), tem-se:

1ª equação:

90

(5.214)

2ª equação:

(5.215)

3ª equação:

(5.216)

4ª equação:

(5.217)

5ª equação:

(5.218)

6ª equação:

(5.219)

7ª equação:

(5.220)

8ª equação:

(5.221)

9ª equação:

(5.222)

91

10ª equação:

(5.223)

Em resumo:





Para:

92

E;

(5.224)

(5.225)





Agora a viga será discretizada com 13 nós (figura 5.15), sendo o

carregamento distribuído , módulo de elasticidade E, momento de inércia I e

comprimento L. Assim como anteriormente se pretende calcular as flechas no meio

do vão e na extremidade livre empregando o MDF.



93

Para treze nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ) e na

extremidade livre ( ). Substituindo na equação (4.25) , se obtêm:

(5.226)


(5.227)


(5.228)


(5.229)


(5.230)


(5.231)


(5.232)


(5.233)


(5.234)


(5.235)

94


(5.236)


(5.237)


No engaste ( )

(5.238)

(5.239)


(5.240)

(5.241)


e (5.241) nas equações (5.226), (5.227), (5.228), (5.229), (5.230), (5.231), (5.232),

(5.233), (5.234), (5.235), (5.236) e (5.237), tem-se:

1ª equação:

(5.242)

2ª equação:

95

(5.243)

3ª equação:

(5.244)

4ª equação:

(5.245)

5ª equação:

(5.246)

6ª equação:

(5.247)

7ª equação:

(5.248)

8ª equação:

(5.249)

9ª equação:

(5.250)

10ª equação:

(5.251)

11ª equação:

96

(5.252)

12ª equação:

(5.253)

Em resumo:


97




Para:

E;

Temos:

(5.254)

(5.255)





Por último se aplica o MDF em uma viga (carregamento distribuído ,

módulo de elasticidade , momento de inércia e comprimento ) discretizada com

15 nós (figura 4.12). Pretende-se calcular as flechas no meio do vão e na

extremidade livre.

98



Para quinze nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ) e

na extremidade livre ( ). Substituindo na equação (4.25) , se obtêm:

(5.256)


(5.257)


(5.258)


(5.259)


(5.260)


(5.261)


(5.262)

99


(5.263)


(5.264)


(5.265)


(5.266)


(5.267)


(5.268)


(5.269)


No engaste ( )

(5.270)

(5.271)


(5.272)

100

(5.273)


e (5.273) nas equações (5.256), (5.257), (5.258), (5.259), (5.260) (5.261), (5.262),

(5.263), (5.264), (5.265), (5.266), (5.267), (5.268) e (5.269), tem-se:

1ª equação:

(5.274)

2ª equação:

(5.275)

3ª equação:

(5.276)

4ª equação:

(5.277)

5ª equação:

(5.278)

6ª equação:

(5.279)

7ª equação:

(5.280)

101

8ª equação:

(5.281)

9ª equação:

(5.282)

10ª equação:

(5.283)

11ª equação:

(5.284)

12ª equação:

(5.285)

13ª equação:

(5.286)

14ª equação:

(5.287)

Em resumo:

102





Para:

E;

103

Temos:

(5.288)

(5.289)





Como na viga bi-apoiada se usou a flecha adimensional para se ter uma

melhor comparação entre os valores analíticos obtidos pelo Método da Integração

Dupla e os valores numéricos obtidos pelo Método das Diferenças Finitas, também

se usará na viga engastada-livre este artifício de comparação. A fim de melhorar a

visualização se criou a tabela 5.2, que mostra uma comparação entre o MID e o

MDF, com malhas de 3, 5, 7, 11, 13 e 15 nós.

Nota-se que o MDF no meio do vão, para a malha com 3 nós, converge mais

rápido para o valor analítico que na extremidade livre, entretanto na malha com 15

nós esta diferença é quase que irrelevante.

104

Tabela 5.2: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga engastada-livre.


Solução

Analítica

(MID)


Malha

com 3

nós

Malha

com 5

nós

Malha

com 7

nós

Malha

com 9

nós

Malha

com 11

nós

Malha

com 13

nós

Malha

com 15

nós

=0,0443

0,0625

0,0488

0,0463

0,0454

0,0450

0,0448

0,0446

=0,1250

0,1563

0,1328

0,1285

0,1270

0,1263

0,1259

0,1256

: Erro percentual relativo Fonte: Elaborada pelo Autor.



Figura 5.17: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga engastada-livre.


105

5.3 VIGA BI-ENGASTADA (HIPERESTÁTICA)

5.3.1 Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler bi-engastada

Por fim, será empregado o MDF em uma viga de Euler bi-engastada, ou seja,

uma viga hiperestática. Pretende-se mostrar que o MDF não se limita apenas a

casos de vigas isostáticas. Para isso, como nos exemplos anteriores, será

empregado o Método da Integração Dupla (MID) para o cálculo do valor da flecha no

meio do vão da viga. Supondo que a viga tem carregamento distribuído , módulo

de elasticidade , momento de inércia e comprimento , se obtém a expressão do

momento através do emprego do MID para a viga da figura 5.18.

Figura 5.18: Viga bi-engastada. Fonte: Elaborada pelo Autor.

Como esta viga é uma estrutura hiperestática, as equações da estática

(equação 3.1) não funcionam para o cálculo das reações. Por isso se usou para o

cálculo das reações do engaste do lado esquerdo: e , uma tabela disponível

nos anexos deste trabalho, onde:

Com as reações, se chega à expressão do momento da viga da figura 5.16.

(5.290)


se tem a equação das rotações (equação 5.291).

(5.292)

106

Ao integrar a equação (5.292), se obtém a equação da curva elástica

(equação 5.291), capaz de mostrar o valor da flecha em qualquer ponto da viga da

figura 5.16.

(5.292)


(5.293)

(5.294)

Substituindo a equação (5.293) e (5.294) na equação (5.292), se encontra os

valores de e .

(5.295)

(5.296)


considerando o

, se encontra o valor analítico da flecha no meio do vão.

(5.297)

Dividindo a equação por , temos:

(5.298)

A equação (5.298) representa o valor da flecha no meio do vão da viga da

figura 5.16.

5.3.2 Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler bi-engastada


Nesta aplicação, assim como nas aplicações anteriores, mostra-se a técnica

de resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio estático, visto no

capítulo 4 (equação 4.25) para uma viga de Euler. Utiliza-se uma viga bi-engastada

107

do tipo hiperestática com um carregamento distribuído , com a utilização do

MDF pretende-se obter as soluções numéricas da flecha. A viga de estudo é

mostrada na figura 5.19 e tem módulo de elasticidade , momento de inércia e

comprimento .

Os nós presentes nesta viga (figura 5.19) e nas vigas dos próximos exemplos

são obtidos através das condições de contorno descrito no capítulo 4 (tabela 4.2).

Figura 5.19: Viga bi-engastada e discretizada com 3 nós em diferenças finitas (comportamento


Para três nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ).


(5.299)


No primeiro engaste ( )

(5.230)

(5.301)

No segundo engaste ( )

(5.302)

(5.303)

Substituindo as equações (5.230), (5.301), (5.302) e (5.303) na equação

(5.299), tem-se:

1ª equação:

(5.304)

108

Para:

E;

Temos:

(5.305)

A solução anterior, equação (5.305), representa a flecha no meio do vão,



A viga da figura 5.20 tem as mesmas propriedades da anterior (carregamento

distribuído , módulo de elasticidade , momento de inércia e comprimento )

mudando apenas o número de nós que serão discretizados na mesma.



Para cinco nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ).

Substituindo na equação (4.25) , , , respectivamente temos:

(5.306)

(5.307)

(5.308)


109


(5.309)

(5.310)


(5.311)

(5.312)


(5.306), (5.307) e (5.308), respectivamente temos:

(5.313)

(5.314)

(5.315)


Resolvendo o sistema pelo método de Cramer, encontra-se o valor do :

O valor de representa o valor da flecha no meio do vão da viga, quando:

E;

Temos:

(5.316)



110


Emprega-se o MDF em uma viga hiperestática, desta vez com malha de 7

nós, os parâmetros da viga da figura 5.21 são os mesmos das anteriores. Pretende-

se calcular a flecha no meio do vão.



Para sete nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão ( ).

Substituindo na equação (4.25) , , , e , respectivamente,

obtêm-se:

(5.317)

(5.318)

(5.319)

(5.320)

(5.321)



(5.322)

(5.323)


(5.324)

(5.325)


e (5.325) nas equações (5.317), (5.318), (5.319), (5.320) e (5.321), respectivamente,

tem-se:

(5.326)

(5.327)

111

(5.328)

(5.329)

(5.330)


Resolvendo o sistema através do software Maple, se encontram os valores

dos , contudo apenas o será usado, que representa o valor da flecha no meio da

viga.

Para:

E;

Temos:

(5.331)

A equação (5.331) representa a flecha no meio do vão da viga aproximada na



No exemplo a seguir (figura 5.22) se usa uma discretização de 9 nós na viga,

sabendo que o carregamento distribuído , módulo de elasticidade E, momento

de inércia I e comprimento L permanecem, se pretende calcular a flecha no meio do

vão usando o MDF.

112



Para nove nós na viga, se deseja calcular a flecha no meio do vão ( ).

Substituindo na equação (4.25) , , , , , e ,

respectivamente, se obtém:

(5.332)

(5.333)

(5.334)

(5.335)

(5.336)

(5.337)

(5.338)



(5.339)

(5.340)


(5.341)

(5.342)


e (5.342) nas equações (5.332), (5.333), (5.334), (5.335), (5.336), (5.337) e (5.338),

respectivamente, tem-se:

(5.343)

(5.344)

(5.345)

(5.346)

(5.347)

(5.348)

113

(5.349)


abaixo:

Resolvendo o sistema através do software Maple, se encontram os valores

dos , contudo apenas o será usado, que representa o valor da flecha no meio da

viga.

Para:

E;

Temos:

(5.350)




Prosseguindo com o mesmo exemplo (carregamento distribuído , módulo

de elasticidade , momento de inércia e comprimento ) modificando apenas a

114

discretização que agora será de 11 nós (figura 5.23), se pretende calcular a flecha

no meio do vão empregando o MDF.



Para onze nós na viga se deseja calcular a flecha no meio do vão ( ).

Substituindo na equação (4.25) , , , , , , , e

, respectivamente, se obtêm:

(5.351)

(5.352)

(5.353)

(5.354)

(5.355)

(5.356)

(5.357)

(5.358)

(5.359)



(5.360)

(5.361)


(5.362)

(5.363)


e (5.363) nas equações (5.351), (5.352), (5.353), (5.354), (5.355), (5.356), (5.357),

(5.358) e (5.359), respectivamente, tem-se:

(5.364)

115

(5.365)

(5.366)

(5.367)

(5.368)

(5.369)

(5.370)

(5.371)

(5.372)


Resolvendo o sistema acima com o software Maple, se encontram os valores

dos , sabendo que, apenas o será usado, pois representa o valor da flecha no

meio da viga.

Para:

E;

Temos:

(5.373)

A solução acima, equação (5.373), representa a flecha no meio do vão da


116

5.3.2.6 Discretização da viga com 13, 15, 17 e 19 nós

Continuando com a viga bi-engastada, emprega-se o MDF com malhas de 13,

15, 17 e 19 nós. Sabe-se que ao substituir as condições de contorno nas devidas

equações se chega a sistemas de equações lineares que ao serem resolvidos com o

software Maple e substituindo os valores de e , temos os valor das flechas no

meio do vão, mostrado abaixo:

(5.374)

(5.375)

(5.376)

(5.377)


Assim como as vigas dos exemplos anteriores, para se ter uma melhor

comparação entre o valor analítico obtido pelo MID e os valores numéricos obtidos

pelo MDF, mostra-se na tabela 5.3 uma comparação entre o MID e o MDF com as

malhas de 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17 e 19 nós. Para que essa comparação seja possível,

trabalha-se com as chamadas flechas adimensionais, já mostrada no item 5.1.3.

A tabela 5.3 mostra que com o aumento do número de nós na viga se tem

uma maior aproximação do valor da flecha numérica em comparação ao valor

analítico.

117

Tabela 5.3: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga bi-engastada.


Solução

Analítica

(MID)


Malha

com 3

nós

Malha

com 5

nós

Malha

com 7

nós

Malha

com 9

nós

Malha

com 11

nós

Malha

com 13,

15 e

17nós

Malha

com 19

nós

=0,0026

0,0078

0,0039

0,0032

0,0029

0,0028

0,0027

0,0026

=Erro percentual relativo. Fonte: Elaborada pelo Autor.

Observa-se que com uma malha de 3 nós o erro é muito alto, contudo a

medida que aumenta a malha o erro diminui quase que pela metade a cada aumento

de malha. Apesar disso, as malhas de 13, 15 e 17 nós apresentaram o mesmo valor,

considerando quatro casas decimais, pois se fosse considerado apenas duas casas

decimais a malha com três nós já teria um erro de 0%.



118

Figura 5.24: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga bi-engastada.


119

6. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

A cada ano, o estudo das estruturas na construção civil se torna mais

presente nas universidades, através de estudos em nível de graduação e pós-

graduação. O mercado de trabalho cobra que o engenheiro estrutural tenha um

completo entendimento das tradicionais e novas técnicas que sujem para a análise e

o dimensionamento das peças estruturais.

O Método das Diferenças Finitas, apesar de não ser um método numérico

novo, é um método pouco explorado na graduação em engenharia civil, talvez

devido ao fato de se priorizar o ensinamento de métodos analíticos que, mostram de

forma global e ampla o comportamento de uma estrutura. De forma geral os

métodos numéricos, incluindo o MDF, mostram resultados de forma pontual,

entretanto, não se limitam a um único caso específico de aplicação.

As estruturas são elementos de um sistema maior, chamado de sistema

global, composto por vários elementos ou subsistemas que trabalham cada um de

forma distinta, onde um pode ou não interagir com o outro. Dependendo da forma,

posição e carregamento cada elemento estrutural produzirá esforços internos e

externos, afim de, estabilizar o sistema global.

Um dos principais elementos estruturais são as vigas. Elas podem ser

classificadas quanto ao tipo e posição dos apoios, a origem das cargas, etc. As

vigas são peças estruturais, que produzem esforços diferenciados das outras peças

estruturais. Sua deformação pode acarretar alguns incômodos em casas e edifícios,

essas deformações são conhecidas como flecha. No nível de graduação, existe o

método analítico da integração dupla que mostra o valor da flecha na viga, basta ter

a expressão do momento característico da viga em estudo.

Existem duas teorias que estudam o comportamento da viga, a teoria de Euler

e Timoshenko. A primeira é mais usual, pois a viga geralmente se apresenta como

um elemento unidimensional logo, apenas produz esforços de momento fletor. Já a

segunda, apesar de ser mais completa, não considera a viga com elemento

unidimensional, por isso produzirá além do momento fletor o esforço de

cisalhamento.

Através da substituição das derivadas por formas de diferenças finitas, que

são obtidas pela expansão em série de Taylor, se tem os operadores em diferenças

120

fintas para as derivadas de ordem , dependendo do truncamento e o nível da

ordem do erro desejado. Como a equação de Euler para viga, considerando a

estrutura estática, é uma equação de quarta ordem, o operador em diferenças finitas

encontrado foi até a substituição da derivada de quarta ordem, ou seja, se a

derivada fosse de uma ordem maior também se teria operadores para ela, logo se

conclui que para o MDF funcionar basta ter uma equação diferencial de qualquer

ordem, que o método não ira se limitar.

Como o MDF cria pontos virtuais (nós) na viga, acaba que aparecem também

pontos fora da viga, devido a isso, se torna necessário a utilização das condições de

contorno, que irão diminuir o número de variáveis, por meio de valores conhecidos

na viga, pois essas condições relacionam os pontos fora com os pontos de dentro da

viga.

Em resumo, o MDF substitui uma equação diferencial por um sistema de

equação. Como ocorre na equação de Euler, onde uma equação diferencial de

quarta ordem foi substituída por um sistema.

Para melhor entender o MDF e para mostrar que ele realmente funciona,

aplica-se o método em exemplos de vigas estáticas de Euler. Como primeiro

exemplo, uma viga bi-apoiada, através da equação governante da viga de Euler por

diferenças finitas com malhas de 3, 5, 7, 9, 11 e 19 nós, se calculou a flecha

adimensional no meio do vão. Considerando o MID como método de referência,

foram comparados os valores das flechas adimensionais encontrados por meio do

método numérico e do método analítico. Notou-se que à medida que aumenta o

número de pontos na viga o valor numérico (MDF) se aproxima mais do valor

analítico (MID). Entretanto, tem seqüências de malhas que o MDF demora para

convergir para o valor analítico.

O segundo exemplo que foi mostrado, uma viga engastada-livre, também se

calculou a flecha adimensional pelo MID e MDF (3, 5, 7, 9, 13 e 15 nós), contudo,

além da flecha no meio do vão, se torna válido a obtenção da flecha na extremidade

livre da viga. Para todas as malhas, o MDF converge mais rápido na extremidade

livre.

Para o último exemplo, uma viga bi-engastada, o método numérico na

primeira malha teve um erro muito grande, isso para uma aproximação de quatro

casas decimais, entretanto conforme a malha se adensa, o MDF converge para o

valor analítico (MID).

121

Com a aplicação do MDF nas vigas, se obteve sistemas de equações

lineares, que quando a malha possuía poucos nós, era possível resolver o sistema

de equações por técnicas aprendidas na graduação, e quando se aumentava os nós

se obteve matrizes grandes, que com o auxílio de um software puderam ser

resolvidas. O MDF converge a sistemas capazes de serem resolvido “a mão”, ou

seja, não se precisou de um software para calcular as flechas, apenas se usou um

software para o cálculo das matrizes, que funcionou como uma calculadora de mão,

onde se usa para cálculos grandes.

Conclui-se que o MDF, em todos os exemplos, convergiu para o método

analítico. Isso serve para outras possíveis aplicações do MDF, independente da

malha o MDF provavelmente ira convergir ( ).

Apesar de todas as contribuições desse trabalho, ficam algumas sugestões

para possíveis trabalhos futuros. Como por exemplo: a aplicação do MDF na viga de

Euler para o comportamento dinâmico, pois este trabalho apenas abordou o

comportamento estático. A aplicação do MDF na viga de Timoshenko,

comportamento estático e dinâmico. A criação de um programa de computador para

as possíveis aplicações do MDF. A aplicação do MDF em outro tipo de elemento

estrutural, como pilares, lajes, etc.

122

REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS

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123

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125

ANEXO

126

ANEXO A – FORÇAS DE FIXAÇÃO DEVIDAS A CARGAS DE VÃO NA BARRA

BI-ENGASTADA.

Este anexo fornece uma tabela para o cálculo das reações em uma viga

hiperestática, do tipo bi-engastada.

Figura A.1: Valores das reações em uma viga bi-engastada. Fonte: UNL, 2003.

o metodo diferencas finitas

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