aplicaÇÃo do mÉtodo dos elementos de contorno na anÁlise de instabilidade de placas perfuradas

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo

ROMILDO APARECIDO SOARES JUNIOR

APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE

CONTORNO NA ANÁLISE DE INSTABILIDADE DE

PLACAS PERFURADAS

CAMPINAS

2015


APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE

CONTORNO NA ANÁLISE DE INSTABILIDADE DE

PLACAS PERFURADAS

Dissertação de Mestrado apresentada à

Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura

e Urbanismo da Unicamp, para obtenção do

título de Mestre em Engenharia Civil na área

de Estruturas e Geotécnica.

Orientador: Prof. Dr. LEANDRO PALERMO JUNIOR

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): Não se aplica.

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura

Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129

Soares Junior, Romildo Aparecido, 1988-

So11a SoaAplicação do método dos elementos de contorno na análise de

instabilidade de placas perfuradas / Romildo Aparecido Soares Junior. –

Campinas, SP : [s.n.], 2015.

SoaOrientador: Leandro Palermo Junior. SoaDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade

de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo.

Soa1. Placas (Engenharia). 2. Método de elementos de contorno. 3.

Flambagem (Mecânica). I. Palermo Junior, Leandro,1960-. II. Universidade

Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e

Urbanismo. III. Título. Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Application of the boundary element method in the instability analysis of perforated plates Palavras-chave em inglês: Plates (Engineering)

Boundary element method

Buckling (Mechanics) Área de concentração: Estruturas e Geotécnica

Titulação: Mestre em Engenharia Civil

Banca examinadora: Leandro Palermo Junior [Orientador]

Cilmar Donizeti Basaglia

Raul Rosas e Silva Data de defesa: 15-12-2015 Programa de Pós-Graduação: Engenharia Civil

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E

URBANISMO

APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO NA ANÁLISE DE INSTABILIDADE DE PLACAS

PERFURADAS


Dissertação de Mestrado aprovada pela Banca Examinadora, constituída por:

Prof. Dr. Leandro Palermo Junior Presidente e Orientador/Universidade Estadual de Campinas

Prof. Dr. Cilmar Donizeti Basaglia Universidade Estadual de Campinas

Prof. Dr. Raul Rosas e Silva Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.

Campinas, 15 de dezembro de 2015

DEDICATÓRIA

A Deus, À minha família, Pai, Mãe, Irmão e meus amigos por acreditarem na

possibilidade do desenvolvimento deste trabalho. À Carla, minha companheira de

todos os dias. Também dedico este trabalho ao meu orientador Prof. Dr. Leandro

Palermo Junior, pois este trabalho foi possível de ser realizado graças a seus

ensinamentos. E aos que utilizarem esta obra como fonte de estudo.

AGRADECIMENTOS

Agradeço ao meu orientador Prof. Dr. Leandro Palermo Junior por ter confiado

no meu trabalho e ter estado sempre disposto a ajudar e compartilhar seu

conhecimento. Agradeço também a CAPES pela ajuda financeira no

desenvolvimento deste trabalho.

RESUMO

O método dos elementos de contorno é usado no presente trabalho para obter as

cargas críticas de placas perfuradas. O efeito da deformação por cortante é incluído

no modelo de flexão de placas isotrópicas. O efeito da não linearidade geométrica

relacionado com a carga no plano da placa é introduzido com a adição de duas

integrais na formulação: uma é aplicada no domínio e a outra no contorno. A

equação integral pode ser relacionada a uma das condições naturais de acordo com

o problema de valor de contorno. Elementos de contorno quadráticos contínuos e

descontínuos foram utilizados. Os pontos de colocação foram posicionados no

contorno. A mesma função de mapeamento foi utilizada para as interpolações

conformes e não-conformes, isto é, nós nas extremidades de elementos quadráticos

continuam nas extremidades quando elementos descontínuos são utilizados,

somente o ponto de colocação é movido. A subtração de singularidade e a técnica

da transformação de variáveis foram utilizadas para as singularidades de tipo

Cauchy e fraca, respectivamente, quando é realizada a integração em elementos

contendo o ponto de colocação. Células retangulares foram utilizadas para

discretizar a integral de domínio relacionada com o efeito da não linearidade

geométrica. Resultados para alguns tipos de condições de contorno foram

comparados com os da literatura. Análises de convergência foram feitas em alguns

problemas para mostrar o comportamento da formulação de acordo com o número

utilizado de células de domínio.

Palavras chave: Placas (Engenharia), Método de elementos de contorno, Flambagem (Mecânica)

ABSTRACT

The boundary element method is used in this study to obtain critical loads of

perforated plates. The effect of shear deformation is included in the bending model of

isotropic plates. The effect of geometrical non-linearity related to in-plane loading is

introduced with two additional integrals in the formulation: one is performed on the

domain and other on the boundary. The boundary integral can be related to one of

the natural conditions according to the boundary value problem. Quadratic

continuous or discontinuous boundary elements were used. Collocation points were

always placed on the boundary. The same mapping function was used for conformal

and non-conformal interpolations, i.e. nodes at ends of quadratic elements remain at

ends when discontinuous elements were employed and collocation points are shifted.

The singularity subtraction and the transformation of variable technique were

employed for the Cauchy and the weak type singularity, respectively, when

integrations were performed on elements containing the collocation points.

Rectangular cells were used to discretize the domain integral related to the

geometrical non-linearity effect. Results for some types of boundary conditions were

compared with those from the literature. Convergence analyses were done in some

problems to show the behavior of the formulation according to the number used for

domain cells.

Keywords: Plates (Engineering), Boundary element method, Buckling (Mechanics)

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 3.1 – Estado de deformação de um sólido .................................................... 42

Figura 4.1 – Elemento diferencial de placa .............................................................. 46

Figura 4.2 – Comportamento de um seguimento de reta normal ............................. 49

Figura 5.1 – Posicionando o ponto no contorno ....................................................... 60

Figura 5.2 – Discretização de um problema de placa ............................................... 73

Figura 5.3 – Mudança de coordenadas para o elemento isoparamétrico ................. 74

Figura 5.4 – Plotagem das funções de forma ........................................................... 76

Figura 5.5 – Integração com ponto fonte fora do elemento (placa) .......................... 84

Figura 5.6 – Integração com ponto fonte dentro do elemento (placa) ...................... 84

Figura 5.7 – Ilustração da matriz de coeficientes para problemas de placas ........... 85

Figura 5.8 – Placa engastada em um dos lados ....................................................... 86

Figura 5.9 – Sistema de equações ........................................................................... 87

Figura 5.10 – Sistema de equações com aplicação das condições de contorno...... 88

Figura 5.11 – Sistema de equações linear ............................................................... 89

Figura 5.12 – Sistema de equações linear com integral da carga ............................ 90

Figura 6.1 – Placa com solicitação no plano ............................................................ 93

Figura 6.2 – Placa deformada devido à solicitação no plano ................................... 94

Figura 6.3 – Elemento diferencial com solicitação no plano ..................................... 94

Figura 6.4 – Elemento diferencial deformado ........................................................... 95

Figura 6.5 – Elemento diferencial com forças de cisalhamento no plano ................. 96

Figura 6.6 – Discretização de um problema de instabilidade de placas ................. 100

Figura 6.7 – Discretização de um problema instabilidade de placas com furo ....... 101

Figura 7.1 – Exemplo de problema bidimensional .................................................. 109

Figura 7.2 – Integração com ponto fonte fora do elemento .................................... 113

Figura 7.3 – Integração com ponto fonte dentro do elemento ................................ 113

Figura 7.4 – Ilustração da matriz de coeficientes para problemas bidimensionais . 118

Figura 9.1 – Tipos de vinculação ............................................................................ 139

Figura 9.2 – Vinculação todos os lados simplesmente Apoiados - AAAA .............. 140

Figura 9.3 – Vinculação 2 lados apoiada e engastada em 2 - AEAE .................... 141

Figura 9.4 – Vinculação com quatro lados engastados - EEEE ............................. 143

Figura 9.5 – Tipos de vinculação .......................................................................... 146

Figura 9.6 – Malha com 10 elementos por lado e 25 células de domínio ............. 147

Figura 9.7 – Malha com 32 elementos por lado e 256 células de dominio ........... 147

Figura 9.8 – Placa verificada quanto à instabilidade - AAAA - HARD .................... 148

Figura 9.9 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AAAA - HARD ................................................................................................................................ 148

Figura 9.10 – Placa verificada quanto à instabilidade – AAAE - HARD ................. 149

Figura 9.11 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AAAE - HARD ................................................................................................................................ 149

Figura 9.12 – Placa verificada quanto à instabilidade - EAAA – HARD .................. 150

Figura 9.13 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - EAAA - HARD ................................................................................................................................ 150

Figura 9.14 – Placa verificada quanto à instabilidade – AEAE - HARD .................. 151

Figura 9.15 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AEAE - HARD ................................................................................................................................ 151

Figura 9.16 – Placa verificada quanto à instabilidade - EAEA - HARD .................. 152

Figura 9.17 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - EAEA - HARD ................................................................................................................................ 152

Figura 9.18 – Placa verificada quanto à instabilidade – LAAA - HARD .................. 153

Figura 9.19 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - LAAA - HARD ...................................................................................................................... 153

Figura 9.20 – Placa verificada quanto à instabilidade - LAEA - HARD ................... 154

Figura 9.21 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - LAEA - HARD ................................................................................................................................ 154

Figura 9.22 – Placa verificada quanto à instabilidade – LALA - HARD .................. 155

Figura 9.23 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - LALA - HARD ................................................................................................................................ 155

Figura 9.24 – Placa verificada quanto à instabilidade - AEAL - HARD ................... 156

Figura 9.25 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AEAL - HARD ................................................................................................................................ 156

Figura 9.26 – Placa verificada quanto à instabilidade – AAAL - HARD .................. 157

Figura 9.27 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AAAL - HARD ................................................................................................................................ 157

Figura 9.28 – Placa verificada quanto à instabilidade - EEEE - HARD .................. 158

Figura 9.29 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - EEEE - HARD ................................................................................................................................ 158

Figura 9.30 – Placa verificada quanto à instabilidade – ALAL - HARD ................. 159

Figura 9.31 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - ALAL - HARD ................................................................................................................................ 159

Figura 9.32 – Placa verificada quanto à instabilidade – carga biaxial - AAAA - HARD ................................................................................................................................ 160

Figura 9.33 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial - AAAA ....................................................................................................................... 160

Figura 9.34 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial – AEAL - HARD ................................................................................................................................ 161

Figura 9.35 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial - AEAL ..................................................................................................................... 161

Figura 9.36 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial - AAAL - HARD ................................................................................................................................ 162

Figura 9.37 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial - AAAL ....................................................................................................................... 162

Figura 9.38 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial – AALL - HARD ................................................................................................................................ 163

Figura 9.39 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial - AALL ....................................................................................................................... 163

Figura 9.40 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial - ALAL - HARD ................................................................................................................................ 164

Figura 9.41 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial - ALAL ....................................................................................................................... 164

Figura 9.42 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial – EEEE - HARD ................................................................................................................................ 165

Figura 9.43 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial - EEEE ....................................................................................................................... 165

Figura 9.44 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga de cisalhamento - AAAA ....................................................................................................................... 166

Figura 9.45 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - cisalhamento - AAAA .................................................................................................................... 166

Figura 9.46 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga de cisalhamento – EEEE ....................................................................................................................... 167

Figura 9.47 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - cisalhamento - EEEE .................................................................................................................... 167

Figura 9.48 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga de cisalhamento – EAEA ....................................................................................................................... 168

Figura 9.49 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - cisalhamento – EAEA .................................................................................................................... 168

Figura 9.50 – Vinculação para placas com furos .................................................... 171

Figura 9.51 – Malha 1 – cg da célula próximo ao contorno (d/L = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4) ................................................................................................................................ 172

Figura 9.52 – Malha 1 – cg da célula próximo ao contorno (d/L = 0,5; 0,6 e 0,7) ... 173

Figura 9.53 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,1 – Carga Uniaxial ................................................................................................................................ 174







Figura 9.60 – Gráfico para os parâmetros críticos de flambagem – Malha 1 ......... 182

Figura 9.61 – Malha 2 – cg da célula distante do contorno .................................... 183

Figura 9.62 – Malha 2 – cg da célula distante do contorno refinada ...................... 184

Figura 9.63 – Gráfico para os parâmetros críticos de flambagem – Malha 2 ......... 188

Figura 9.64 – Malha com cg da célula distante do contorno 2................................ 189

LISTA DE TABELAS

Tabela 9.1 – Coeficientes para placas comparadas com a solução analítica ......... 139 Tabela 9.2 – Parâmetros de máxima deflexão para a vinculação – AAAA – HARD ................................................................................................................................ 140 Tabela 9.3 – Resultados para o ponto central da placa – AAAA – HARD .............. 141 Tabela 9.4 – Resultados para o ponto central da placa – AAAA – SOFT ............... 141 Tabela 9.5 – Parâmetros de máxima deflexão para a vinculação – AEAE– HARD ................................................................................................................................ 142 Tabela 9.6 – Resultados para o ponto central da placa – AEAE – HARD .............. 142 Tabela 9.7 – Resultados para o ponto central da placa – AEAE – SOFT ............... 143 Tabela 9.8 – Parâmetros de máxima deflexão para a vinculação – EEEE– HARD 143 Tabela 9.9 – Resultados para o ponto central da placa – EEEE – HARD .............. 144 Tabela 9.10 – Resultados para o ponto central da placa – EEEE – SOFT ............ 144 Tabela 9.11 – Coeficientes para problemas de instabilidade .................................. 145 Tabela 9.12 – Parâmetro crítico de flambagem – AAAA – HARD ........................... 148 Tabela 9.13 – Parâmetro crítico de flambagem – AAAE – HARD ........................... 149 Tabela 9.14 – Parâmetro crítico de flambagem – EAAA – HARD ........................... 150 Tabela 9.15 – Parâmetro crítico de flambagem – AEAE – HARD ........................... 151 Tabela 9.16 – Parâmetro crítico de flambagem – EAEA – HARD ........................... 152 Tabela 9.17 – Parâmetro crítico de flambagem LAAA – HARD .............................. 153 Tabela 9.18 – Parâmetro crítico de flambagem – LAEA – HARD ........................... 154 Tabela 9.19 – Parâmetro crítico de flambagem – LALA – HARD ........................... 155 Tabela 9.20 – Parâmetro crítico de flambagem – AEAL – HARD ........................... 156 Tabela 9.21 – Parâmetro crítico de flambagem – AAAL – HARD ........................... 157 Tabela 9.22 – Parâmetro crítico de flambagem – EEEE – HARD ........................... 158 Tabela 9.23 – Parâmetro crítico de flambagem – ALAL – HARD ........................... 159 Tabela 9.24 –Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – AAAA - HARD ..... 160 Tabela 9.25– Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – AEAL – HARD ..... 161 Tabela 9.26 – Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – AAAL – HARD .... 162 Tabela 9.27 – Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – AALL – HARD .... 163 Tabela 9.28– Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – ALAL – HARD ..... 164 Tabela 9.29 – Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – EEEE – HARD ... 165 Tabela 9.30 – Parâmetro crítico de flambagem - carga de cisalhamento – AAAA – HARD ...................................................................................................................... 166 Tabela 9.31 – Parâmetro crítico de flambagem - carga de cisalhamento – EEEE – HARD ...................................................................................................................... 167 Tabela 9.32 – Parâmetro crítico de flambagem - carga de cisalhamento – EAEA – HARD ...................................................................................................................... 168 Tabela 9.33 – Malha 1 – cg da célula próximo ao contorno para placas com furos 170 Tabela 9.34 – Parâmetros críticos de flambagem, placa com furo d/L = 0.1 – Malha 1 ................................................................................................................................ 174 Tabela 9.35 – Parâmetros críticos de flambagem, placa com furo d/L = 0,2 – Malha 1 ................................................................................................................................ 175

Tabela 9.36 – Parâmetros críticos de flambagem, placa com furo d/L = 0,3 – Malha 1 ................................................................................................................................ 176 Tabela 9.37 – Parâmetros críticos de flambagem, placa com furo d/L = 0,4 – Malha 1 ................................................................................................................................ 177 Tabela 9.38 – Parâmetros críticos de flambagem, placa com furo d/L = 0,5 – Malha 1 ................................................................................................................................ 178 Tabela 9.39 – Parâmetros críticos de flambagem, placa com furo d/L = 0,6 – Malha 1 ................................................................................................................................ 179 Tabela 9.40 – Parâmetros críticos de flambagem, placa com furo d/L = 0,7 – Malha 1 ................................................................................................................................ 180 Tabela 9.41 – Parâmetros críticos de flambagem, com relação a d/L – Malha 1.... 182 Tabela 9.42 – Parâmetros críticos de flambagem, placas com furo – Malha 2 ....... 185 Tabela 9.43 – Parâmetros críticos de flambagem, placas com furo – Malha 2 – Comparação ............................................................................................................ 186 Tabela 9.44 – Parâmetros críticos de flambagem, com relação a d/L – Malha 2, h/L = 0,001 ....................................................................................................................... 188 Tabela 9.45 – Parâmetros críticos de flambagem, placas com furo – Malha 2 – Tensão média .......................................................................................................... 190 Tabela 9.46 – Parâmetros críticos de flambagem – Malha 2 – Tensão média – Comparação ............................................................................................................ 191 Tabela 9.47 – Parâmetros críticos de flambagem, comparação de todas as malhas, h/L = 0,01 ................................................................................................................ 192 Tabela 9.48 – Parâmetros críticos de flambagem, comparação da malha 2 e tensão média ...................................................................................................................... 193

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas MEC – Métdodo dos Elementos de Contorno MEF – Método dos Elementos Finitos

UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas

LISTA DE SÍMBOLOS

D = Módulo de Rigidez à Flexão E = Módulo de Young

M = Momento Fletor

N

= Normal

Q = Cortante

h = Espessura L = Comprimento de um lado = Variável intrinsica utilizada na integração

= Variável utilizada na transformação de Telles

= Posição do Ponto Fonte

= Tensão

u = função dos deslocamentos

= Delta de Kronecker

= Grafiente de uma função

= Laplaciano

= Deformação

ijC = Coeficientes para ponto no contorno

n = Cossenos diretores

F = Forças de corpo

= Coeficiente de Reissner

*T = Soluções fundamentais de força de superfície

*U = Soluções fundamentais de deslocamento

q = Carga uniformemente distribuída

w = Deslocamento na direção z

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 22

1.1 JUSTIFICATIVA .................................................................................................. 25

1.2 OBJETIVOS ........................................................................................................ 25

1.2.1 Objetivo Geral: ................................................................................................. 26

1.2.2 Objetivos Específicos: ...................................................................................... 26

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................. 27

2.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO ............................................................................................................. 27

2.2 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS NÃO PERFURADAS ................................................................................................. 33

2.2.1 Placas solicitadas por cargas uniformes .......................................................... 33

2.2.2 Placas solicitadas por cargas lineares.............................................................. 34

2.2.3 Placas solicitadas por cisalhamento puro......................................................... 34

2.2.4 Placas solicitadas por cargas combinadas ....................................................... 35

2.3 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS PERFURADAS .......................................................................................................... 35

2.3.1 Placas Perfuradas solicitadas por cargas uniformes ........................................ 35

2.3.2 Placas perfuradas solicitadas por cisalhamento puro ...................................... 36

2.3.3 Placas perfuradas solicitadas por cargas combinadas ..................................... 37

2.3.4 Placas perfuradas por múltiplos furos .............................................................. 37

2.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE A INSTABILIDADE DE PLACAS QUANDO TRATADAS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO ........................ 37

3 REVISÃO MATEMÁTICA ..................................................................................... 39

3.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 39

3.2 FUNÇÕES MATEMÁTICAS ................................................................................ 39

3.2.1 Notação indicial ................................................................................................ 39

3.2.2 Vetor Gradiente ................................................................................................ 40

3.2.3 Laplaciano ........................................................................................................ 40

3.2.4 Delta de Kronecker ........................................................................................... 41

3.2.5 Delta de Dirac ................................................................................................... 41

3.2.6 Teorema da Divergência .................................................................................. 41

3.3 ELASTICIDADE LINEAR ..................................................................................... 42

3.4 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS .......................................................................... 43

4 TEORIA DE PLACAS ........................................................................................... 44

4.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 44

4.2 TEORIA DE KIRCHHOFF ................................................................................... 44

4.3 TEORIA DE REISSNER ...................................................................................... 48

5 O MEC APLICADO NO CÁLCULO DE PLACAS DE REISSNER .......................... 53

5.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 53

5.2 EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTO NO DOMÍNIO ........................................ 53

5.3 EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTO NO CONTORNO ................................... 60

5.4 ESFORÇOS GENERALIZADOS A PARTIR DAS SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS.. .................................................................................................... 62

5.5 A APLICAÇÃO NUMÉRICA DO MEC PARA PLACAS DE REISSNER .............. 73

6 O EFEITO DA NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA .............................................. 93

6.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 93

6.2 AS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA O PROBLEMA DE INSTABILIDADE .. 94

6.3 AS EQUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO PARA O PROBLEMA DE INSTABILIDADE ....................................................................................................... 97

6.4 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DA EQUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO QUE LEVA EM CONTA A NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA ............................. 102

7 PROBLEMAS DE ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL ....................................... 109

8 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA ................................................................................ 121

8.1 INTEGRAÇÃO REGULAR .............................................................................. 121

8.2 TRATAMENTO DAS INTEGRAIS SINGULARES ........................................... 121

8.2.1 Singularidade do tipo ln(r) ............................................................................ 122

8.2.2 Aplicação de acordo com o posicionamento do ponto fonte ........................ 129

8.2.3 Singularidade do tipo 1/r ............................................................................... 130

9 RESULTADOS ................................................................................................... 139

9.1 VALIDAÇÃO DO MÉTODO UTILIZADO - RESULTADOS PARA PROBLEMAS DE FLEXÃO EM PLACAS SEM FUROS ................................................................ 139

9.1.1 Comentários sobre os resultados para problemas de flexão de placas ....... 144

9.2 RESULTADOS PARA INSTABILIDADE DE PLACAS SEM FUROS .............. 145

9.2.1 Exemplo 1 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AAAA ........ 148

9.2.2 Exemplo 2 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AAAE ........ 149

9.2.3 Exemplo 3 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação EAAA ........ 150

9.2.4 Exemplo 4 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AEAE ........ 151

9.2.5 Exemplo 5 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação EAEA ........ 152

9.2.6 Exemplo 6 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação LAAA ......... 153

9.2.7 Exemplo 7 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação LAEA ......... 154

9.2.8 Exemplo 8 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação LALA ......... 155

9.2.9 Exemplo 9 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AEAL ......... 156

9.2.10 Exemplo 10 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AAAL ..... 157

9.2.11 Exemplo 11 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação EEEE .... 158

9.2.12 Exemplo 12 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação ALAL ..... 159

9.2.13 Exemplo 13 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação AAAA ...... 160

9.2.14 Exemplo 14 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação AEAL ....... 161

9.2.15 Exemplo 15 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação AAAL ....... 162

9.2.16 Exemplo 16 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação AALL ....... 163

9.2.17 Exemplo 17 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação ALAL ....... 164

9.2.18 Exemplo 18 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação EEEE ...... 165

9.2.19 Exemplo 19 – Placa com carga de cisalhamento – Vinculação AAAA ....... 166

9.2.20 Exemplo 20 – Placa com carga de cisalhamento – Vinculação EEEE ....... 167

9.2.21 Exemplo 21 – Placa com carga de cisalhamento – Vinculação EAEA ....... 168

9.2.22 Comentários sobre os problemas de instabilidade de placas sem furos .... 169

9.3 RESULTADOS PARA INSTABILIDADE DE PLACAS COM FUROS – MALHA 1 - CG DA CÉLULA PRÓXIMO AO CONTORNO ........................................................ 170

9.3.1 Vinculação para placas com furos ................................................................ 171

9.3.2 Malha 1 - cg da célula próximo ao contorno para placas com furos pequenos ................................................................................................................................ 172

9.3.3 Malha 1 - cg da célula próximo ao contorno para placas com furos grandes ................................................................................................................................ 173

9.3.4 Exemplo 1 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,1.............. 174






9.3.10 Exemplo 7 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,7............ 180

9.3.11 Comentários sobre os resultados para placas com furos – Malha 1 – cg próximo ao contorno ................................................................................................ 181

9.3.12 Comparação dos resultados para a malha 1 – cg da célula próximo ao contorno .................................................................................................................. 182

9.4 RESULTADOS PARA INSTABILIDADE DE PLACAS COM FUROS – MALHA 2 – CG DA CÉLULA DISTANTE DO CONTORNO ....................................................... 183

9.4.1 Resultados para placas com furos – Carga Uniaxial – Malha 2 – cg da célula distante do contorno ................................................................................................ 185

9.4.2 Comentários sobre os resultados para placas com furos – Malha 2 – cg distante do contorno ................................................................................................ 187

9.4.3 Comparação dos resultados – Malha 2 – cg da célula distante do contorno ...... ................................................................................................................................ 188

9.5 RESULTADOS PARA INSTABILIDADE DE PLACAS COM FUROS – MALHA 2 – CG DA CÉLULA DISTANTE DO CONTORNO – TENSÃO MÉDIA ........................ 189

9.5.1 Resultados para placas com furos – Carga Uniaxial – Malha 2 – cg da célula distante do contorno – Tensão média ..................................................................... 190

9.5.2 Comentários sobre os resultados para placas com furos – Malha 2 – cg distante do contorno – Tensão média ..................................................................... 192

10 PROGRAMAS DESENVOLVIDOS .................................................................. 194

10.1 PROGRAMA ESTADO PLANO DE TENSÃO/DEFORMAÇÃO ...................... 194

10.2 PROGRAMA PARA PROBLEMAS DE PLACAS ............................................ 194

10.3 MÓDULO – MOD_INP_QP1 ........................................................................... 194

10.4 MÓDULO – MOD_GEO_QP1 ......................................................................... 196

10.5 MÓDULO – MOD_MAT_QP1 .......................................................................... 197

10.6 MÓDULO – MOD_SOL_AUTOVALOR_QP1 .................................................. 198

10.7 MAIN_QP1 ...................................................................................................... 199

10.8 PROGRAMA GERADOR DE MALHAS ........................................................... 199

11 CONCLUSÃO ................................................................................................... 200

11.1 CONCLUSÕES SOBRE O PROBLEMA DE FLEXÃO DE PLACAS ............... 200

11.2 CONCLUSÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS NÃO PERFURADAS ........................................................................................................ 200

11.3 CONCLUSÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS PERFURADAS – MALHA 1 – CG DA CÉLULA PRÓXIMO AO CONTORNO ......... 201

11.4 CONCLUSÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS PERFURADAS – MALHA 2 – CG DA CÉLULA DISTANTE DO CONTORNO ........ 202

11.5 CONCLUSÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS PERFURADAS – MALHA 2 – TENSÃO MÉDIA ...................................................... 202

12 PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS ............................................... 203

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 204

22

1 INTRODUÇÃO

O presente trabalho trata da aplicação e desenvolvimento de uma solução

computacional para utilização do método dos elementos de contorno em problemas

de flexão e instabilidade de placas perfuradas utilizando a teoria de REISSNER

(1945), obtendo-se os parâmetros críticos de flambagem. A eficácia do método na

resolução deste tipo de problema já foi comprovada por diversos trabalhos na

literatura como PURBOLAKSONO e ALIABADI (2005), sendo notáveis as vantagens

da utilização do método dos elementos de contorno com relação a outros métodos,

como a discretização apenas do contorno do problema, a boa convergência para

gradientes e derivadas e a menor utilização de processamento. Apesar destes

pontos positivos observa-se algumas desvantagens do método como a necessidade

do cálculo de integrais singulares, a necessidade da solução de matrizes cheias e a

necessidade da utilização das soluções fundamentais previamente obtidas,

conforme descrito por KATSIKADELIS (2002).

Conforme BREBBIA et al. (1991), a precisão dos resultados é de grande

dependência do método de integração utilizado, no presente trabalho é abordada a

técnica da subtração de singularidade para resolução de integrais singulares do tipo

1/r, as quais são chamadas de fortemente singulares ou do tipo Cauchy, sendo

vista nos trabalhos de ALIABADI (2002), PALERMO JR. (2000) e KZAM (2010).

Também é abordada a técnica da transformação de Telles para resolução de

integrais singulares do tipo ln(r), as quais são chamadas de fracamente singulares

conforme o trabalho de KARAM (1986). Também no presente trabalho são

apresentadas as soluções fundamentais obtidas por WEEËN (1982) utilizadas no

método dos elementos de contorno para placas de Reissner. A aplicação do método

de forma numérica também é analisada demonstrando-se a montagem e cálculo

das parcelas de cada solução fundamental. As placas resolvidas serão finas ou

moderadamente espessas, isotrópicas, em regime linear para pequenos

deslocamentos e em diversos tipos de condições de contorno. Um breve resumo

dos capítulos no presente trabalho é encontrado abaixo:

O capítulo 1 inicia o presente trabalho mostrando os objetivos gerais e

específicos, juntamente com a justificativa.

23

O capítulo 2 mostra a revisão da literatura com os principais trabalhos

relacionados com placas e o método dos elementos de contorno. Detalhando desde

os primeiros passos do método no desenvolvimento das equações integrais até a

sua utilização em modelos computacionais.

O capítulo 3 tem uma breve revisão matemática abordando as funções mais

utilizadas no método dos elementos de contorno, também é apresentada a notação

indicial utilizada no presente trabalho. As equações da teoria da elasticidade são

mostradas neste capítulo.

O capítulo 4 é dedicado para a explicação do comportamento de placas de

acordo com as teorias de Kirchhoff e Reissner. Primeiramente será abordada a

teoria de Kirchhoff ou também chamada de teoria clássica de placas, mostrando-se

sua dedução e principais hipóteses. Depois será mostrada a teoria de Reissner, que

difere da teoria clássica por considerar a contribuição do esforço cortante na

deformação da placa.

O capítulo 5 mostra como é aplicado o método dos elementos de contorno no

problema de placas de Reissner. Este capítulo mostra a dedução completa da

equação integral de contorno, sendo feita a partir do teorema da reciprocidade de

Betti. Será feita a dedução das soluções fundamentais de forças de superfície a

partir das soluções fundamentais de deslocamento, multiplicando-se os momentos

pelos cossenos diretores. Também será descrito a aplicação do método de maneira

numérica abordando-se a integração das soluções fundamentais, montagem do

sistema de equações e solução do problema em nós do contorno e em nós internos.

No capítulo 6 é feita uma breve análise do problema de instabilidade de

placas, são desenvolvidas as equações de equilíbrio para este tipo de problema.

Depois é apresentada a teoria de instabilidade de placas utilizando-se o método dos

elementos de contorno, desenvolvendo-se as equações integrais de contorno e os

métodos numéricos para análise. É também mostrada a aplicação do método

numérico quociente de Rayleigh para solução do problema de autovalor utilizado

para encontrar os parâmetros críticos de flambagem das placas analisadas. É

descrito o processo de integração de células de domínio para considerar os efeitos

das tensões de domínio da placa.

24

No capítulo 7 é mostrado o desenvolvimento do método dos elementos de

contorno para problemas de elasticidade em duas dimensões, os quais são usados

para extrair as tensões nas bordas de furos, a fim de promover uma análise mais

precisa dos parâmetros críticos de flambagem. São apresentadas as soluções

fundamentais utilizadas no cálculo e também a aplicação numérica, para encontrar

as soluções em pontos do contorno e também em pontos internos do domínio.

No capítulo 8 são desenvolvidos os métodos de integração singular

utilizados no presente trabalho. É deduzida a técnica da integração de Telles,

necessária quando o problema apresente um tipo de singularidade ln(r). É também

deduzida a técnica da subtração de singularidade, utilizada quando o problema

apresenta o tipo de singularidade 1/r.

No capítulo 9 são apresentados os resultados obtidos para os parâmetros

críticos de flambagem avaliados em diversos tipos de exemplos de placas

quadradas perfuradas e não perfuradas, utilizando-se vários tipos de condições de

contorno diferentes, como borda livre, engastada ou simplesmente apoiada.

No capítulo 10 são apresentados os programas desenvolvidos ao longo do

presente trabalho, explicando os módulos utilizados.

No capítulo 11 é feita uma análise dos resultados obtidos, mostrando as

conclusões obtidas no decorrer do presente trabalho.

No capítulo 12 são feitas algumas propostas para trabalhos futuros.

25

1.1 JUSTIFICATIVA

Os trabalhos que apresentam os parâmetros críticos de flambagem para

placas perfuradas são muito poucos quando comparados com os problemas de

placas não perfuradas. Os resultados da literatura para estes tipos de problemas

também são muito limitadas. Devido a complexidade da geometria, observa-se uma

maior dificuldade na obtenção de soluções analíticas e muitos trabalhos recorrem a

métodos numéricos.

Apesar de existirem trabalhos que avaliam a instabilidade de placas com furos

centrais, como é o caso de SABIR e CHOW (1983), BROWN e YETTRAM (1986),

EL-SAWY e NAZMY (2001) e DOVAL et al. (2013), estes trabalhos não mostram a

influência da espessura da placa no parâmetro crítico de flambagem.

A análise de instabilidade de placas levando em conta o efeito da deformação

por cortante, a partir do estado de tensões iniciais na chapa perfurada obtido pela

elasticidade plana, pode levar à boa convergência dos parâmetros críticos de

flambagem mesmo quando é analisada a influência do tamanho da espessura até

placas moderadamente espessas.

O método dos elementos de contorno para resolução de placas pode ser

também de grande utilidade para softwares de cálculo de estruturas, devido ao

menor uso de processamento e também à melhor precisão das respostas em

problemas de placas se comparado ao método dos elementos finitos, conforme

mencionado por HARTMANN (1989) e KATSIKADELIS (2002). Uma análise mais

precisa dos esforços e cargas críticas das peças delgadas ou de moderada

espessura poderão gerar estruturas mais seguras e baratas.

1.2 OBJETIVOS

O principal objetivo do presente trabalho é calcular os parâmetros críticos de

flambagem de placas perfuradas e não perfuradas utilizando o método dos

elementos de contorno, quando aplicado na teoria de placas que leva em conta o

efeito da deformação por cortante. O presente trabalho também visa mostrar a

metodologia utilizada para realizar a aplicação do método dos elementos de

contorno no problema de instabilidade de placas. Para este propósito foi necessário

o desenvolvimento de um código em uma linguagem matemática, a linguagem

26

escolhida foi o FORTRAN 90 devido à sua fácil implementação, velocidade do

cálculo e alta precisão. O programa foi desenvolvido no ambiente de programação

Visual Studio 2015 Community, integrado ao compilador INTEL FORTRAN 2016

versão para estudantes. Foram obtidos resultados com diversas condições de

contorno e comparados com outros trabalhos para diversos tipos de problemas de

placas, como problemas de flexão e a obtenção do parâmetro crítico de flambagem.

1.2.1 Objetivo Geral:

Obter os parâmetros críticos de placas perfuradas utilizando elementos de contorno.

1.2.2 Objetivos Específicos: • Desenvolver um programa que resolva os problemas de maneira rápida e precisa;

• Demonstrar a aplicação do método numérico passo a passo;

• Analisar as equações dos problemas propostos e suas soluções;

• Apresentar de maneira completa os métodos de integração singular;

• Resolver problemas com diversos tipos de condições de contorno;

• Comparar os resultados obtidos com outros autores

27

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

A aplicação dos métodos numéricos da maneira que se observa nos dias de

hoje, utilizando-se softwares de computador para resolver problemas de engenharia,

é fruto de anos de progresso da utilização de técnicas matemáticas obtidas por

pesquisadores. Muito antes do aparecimento dos computadores utilizados hoje para

resolução de problemas, LORD KELVIN (1848) resolveu o problema de um corpo

elástico e isotrópico em um espaço em três dimensões solicitado por uma carga

concentrada. A solução encontrada para este problema é chamada de Solução

Fundamental de Kelvin, a qual ainda é usada para solucionar problemas de

elasticidade utilizando-se métodos numéricos, muito anos depois de Kelvin concebê-

la. As soluções analíticas para problemas simplificados de placas e instabilidade de

placas podem ser encontrados na literatura, exemplos destes trabalhos são dos

livros de TIMOSHENKO e WOINOWSKY-KRIEGER (1959) e também

TIMOSHENKO e GERE (1961), contendo soluções analíticas para problemas

simples como placas retangulares ou circulares. Porém, estas soluções podem não

ser suficientes para problemas de engenharia práticos, o que levou a busca de

métodos numéricos para resolução dos problemas de placas mais complexos, já que

estes têm solução analítica de difícil obtenção ou até mesmo impossível. Como já

mencionado a aplicação atual do método vem de um somatório de técnicas obtidas

ao longo do tempo por diversos pesquisadores, como o artigo de HÖRMANDER

(1963) que apresentou os avanços na teoria de operadores diferenciais parciais

lineares, este trabalho teve grande uso mais tarde, na obtenção das soluções

fundamentais. E também o livro de ABRAMOVITZ e STEGUN (1965), o qual detalha

as funções de Bessel modificadas utilizadas em problemas de placas anos depois no

trabalho de WEEËN (1982).

A utilização de equações integrais na resolução de problemas de elasticidade

linear foi introduzida por FREDHOLM (1903). Posteriormente diversos trabalhos

devem ser citados como MUSKHELISHVILI (1953), MIKHLINI (1957) e SMIRNOV

(1964), onde tratam problemas de engenharia utilizando-se equações integrais.

Porém, a popularidade destes métodos foi pouca, devido a não existência de

28

computadores capazes de processar estas técnicas. KUPRADZE (1965) apresentou

os primeiros passos para a utilização da formulação indireta, utilizando-se a solução

fundamental de Lord Kelvin.

A primeira aplicação do método dos elementos de contorno em placas

utilizando-se a teoria clássica foi observada no trabalho de JASWON et al. (1967)

mostrando-se que os problemas demonstrados pela equação bi harmônica podem

ser formulados em termos de equações integrais, utilizando-se o método indireto

para cálculo. CRUSE (1969) apresentou a resolução de problemas de elasticidade

em três dimensões utilizando-se o método dos elementos de contorno e apresentou

a solução de uma placa engastada sendo tracionada.

NIWA et al. (1974) descreveram a primeira solução de problemas de

instabilidade elástica de placas por meio do auxílio de equações integrais. MAITI e

CHAKRABARTY (1974) apresentaram a solução de placas poligonais simplesmente

apoiadas utilizando-se equações integrais de contorno.

HANSEN (1976) apresentou a análise de placas infinitas com furos e contorno

não carregado utilizando duas equaçoes integrais, uma correspondente a expressao

do deslocamento e outra correspondente a sua derivada em relaçao a uma direção

qualquer. ALTIERO e SIKARSKIE (1978) sugeriu o tratamento do problema de

placas mais geral, baseando-se em um problema em que a função de Green é

conhecida, utilizando-se uma placa fictícia.

Os primeiros pesquisadores a utilizar métodos diretos para resolução de

placas foram BEZINE (1978), STERN (1979) e DANSON (1979). Essa técnica foi

mais tarde generalizada para quaisquer condições de contorno por WU e ALTIERO

(1979). TOTTENHAM (1979) discutiu a aplicação de métodos diretos e indiretos em

elementos estruturais de cascas e placas. GOSPODINOC e LJUTSKANOV (1982)

apresentaram uma formulação direta do método dos elementos de contorno para a

teoria clássica, sendo feita também uma análise de instabilidade de placas.

O primeiro pesquisador a aplicar o método dos elementos de contorno na

teoria de placas proposta por REISSNER (1945) foi WEEËN (1982). Weeën deduziu

as soluções fundamentais para os deslocamentos e trações para aplicação do

29

método, mostrando resultados para placas circulares e retangulares. Weeën propôs

para futuros trabalhos uma melhor investigação das quadraturas utilizadas na

integração e expansão das capacidades de calculo do programa como cargas

transversais não uniformes.

KATAYAMA et al. (1983) apresentaram soluções para placas perfuradas com

contorno livre ou engastadas, utilizando-se a teoria clássica e o método dos

elementos de contorno. DU et al. (1984) resolveram problemas de placas com furos

retangulares utilizando-se elementos de contorno e baseando-se na teoria clássica.

BREBBIA et al. (1984) lançam em seu livro diversas técnicas para solução de placas

utilizando-se elementos de contorno e a teoria clássica. COSTA e BREBBIA (1985)

obtém a formulação geral para os problemas de instabilidade de placas utilizando-se

o método dos elementos de contorno. GUO-SHU e MUKHERJEE (1986) resolveram

problemas de placas com furos circulares por elementos de contorno baseando-se

na teoria clássica.

KARAM (1986) apresentou em sua dissertação de mestrado diversas técnicas

para refinamento do método para placas de Reissner, como a transformação

quadrática para resolução de integrais singulares. PARIS e LEÓN (1987)

apresentaram a solução de placas com apoios internos pelo método dos elementos

de contorno baseando-se na teoria clássica. SYNGELLAKIS e KANG (1987)

apresentaram a solução de instabilidades de placas utilizando-se elementos de

contorno e células de domínio triangulares. LIU (1987) apresentou uma nova

formulação para problemas de instabilidade de placas, que envolve apenas dois

tipos de equações integrais, sendo estas semelhantes às utilizadas na análise linear

dos problemas de flexão de placas pelo método dos elementos de contorno e

adequadas para placas com formas arbitrárias no plano. TANAKA e MIYAZAKI

(1988) resolveram diversos problemas de instabilidade de placas utilizando o método

dos elementos de contorno. KARAM e TELLES (1988) analisaram o problema de

placas pelo método direto e mostraram que o problema também pode ser aplicado a

placas infinitas.

HARTMANN (1989) apresentou em seu livro problemas de placas com furos

retangulares utilizando-se a teoria clássica. BREBBIA et al. (1991) lançam um livro

30

introdutório para elementos de contorno contendo a resolução de problemas de

potencial e elasticidade. RIBEIRO (1992) resolveu problemas de placas por

elementos de contorno submetidos a um gradiente de temperatura. BECKER (1992)

lança seu livro com diversos tipos de problemas, disponibilizando o código para um

programa de elementos constantes. VENTURINI e PAIVA (1993) apresentou a

resolução de diversos tipos de problemas de placas utilizando-se diversas condições

de contorno diferentes. KATSIKADELIS e YOTIS (1993) aplicaram o método dos

elementos de contorno para placas espessas utilizando-se a teoria de Reissner, a

solução é expressa em termos de dois potenciais, um bi harmônico e um de Bessel.

KANE (1994) detalhou em seu livro o método de colocação do ponto fonte,

com aplicações em problemas de duas e três dimensões. SYNGELLAKIS e ELZEIN

(1994) apresentaram uma formulação para o cálculo de instabilidade placas

utilizando-se elementos de contorno, resolvendo diversos tipos de problemas. EL-

ZAFRANY et al. (1995) apresentaram uma solução fundamental modificada para

análise de placas finas e espessas com formas arbitrárias. MARCZAK (1995)

apresentou em seu trabalho uma solução para instabilidade de placas de Reissner

utilizando-se o método dos elementos de contorno, mostrando a necessidade de

malhas com celulas de domínio refinadas para verificar a convergência dos

resultados.

RASHED et al. (1997) apresentaram uma formulação hiper singular para o

problema de placas de Reissner utillizando-se elementos de contorno, mostrando o

problema da torção em um cubo. FERNANDES (1998) apresentou em seu trabalho

a solução de placas pela teoria clássica utilizando-se a técnica de sub-elementos

para cálculo das soluções fundamentais de contorno. DUARTE (1999) avaliou a

instabilidade de placas pelo método dos elementos de contorno utilizando-se a

técnica dos nós duplos e células de domínio triangulares. LIN et al. (1999)

resolveram diversos problemas de instabilidade de placas utilizando o método dos

elementos de contorno, inclusive o problema de a placa circular com carga uniforme

ao longo do contorno. FOLTRAN (1999) mostrou que é possível utilizar soluções

analíticas para as integrais das soluções fundamentais para problemas de

elasticidade planos, utilizando-se elementos lineares.

31

RASHED (2000) detalhou o processo de cálculo de placas espessas

utilizando o método dos elementos de contorno, calculando as soluções

fundamentais de singularidade forte de maneira indireta, apresentou também os

métodos para cálculo de placas de fundação. ANDRADE (2001) realizou a

comparação entre as teorias de Reissner, Mindlin e Kirchhoff quando calculadas

utilizando o método dos elementos de contorno. SIMÕES (2001) obteve as cargas

críticas em placas utilizando o método dos elementos de contorno baseando-se na

teoria clássica.

VENTSEL e KRAUTHAMMER (2001) realizaram em seu livro a comparação

entre os métodos direto e indireto da aplicação do método dos elementos de

contorno. KATSIKADELIS (2002) publicou em seu livro diversas técnicas para

utilização no método dos elementos de contorno, como o tratamento de integrais

singulares fortes, podendo ser resolvidas pela técnica dos sub-elementos.

PALERMO JR. (2000) aplicou a integração analítica e elementos lineares

para calcular problemas de placas baseando-se nas teorias de Reissner e Mindlin

utilizando método dos elementos de contorno. ALIABADI (2002) foi pioneiro em

apresentar o método da subtração de singularidade para aplicações em integrais

singulares no método dos elementos de contorno. NERANTZAKI e KATSIKADELIS

(2003) resolveram o problema de grandes deslocamentos de placas com espessura

variável baseado na teoria de Von Karman, utilizando-se o método dos elementos de

contorno. CRESCE (2003) realisou a análise não-linear de pavimentos de concreto

armado considerando a teoria de Reissner, apresentando diversos tipos de

problemas entre eles o problema com carga em linha no centro da placa.

PURBOLAKSONO (2003) apresentou em sua tese a análise de instabilidade de

placas com fissuras utilizando-se o método dos elementos de contorno. WEN et al.

(2005) resolveram o problema de grandes deslocamentos de placas quando

baseado na teoria de Reissner.

PURBOLAKSONO e ALIABADI (2005) apresentaram a resolução de

problemas de instabilidade em placas utilizando o efeito da deformação por cortante,

neste artigo é demonstrado o procedimento de cálculo utilizando o método dos

elementos de contorno utilizando-se células de domínio e também da utilização do

32

método da reciprocidade dual, realizando-se então uma comparação entre os dois

métodos.

PURBOLAKSONO e ALIABADI (2005) resolveram o problema de grandes

deslocamentos de placas quando baseado na teoria de Reissner utilizando-se de

uma formulação hipersingular e também uma função de aproximação para o cálculo

dos termos não-lineares.

SAKANAKA (2006) apresentou os métodos para obtenção das frequências

naturais de vibração livre e cargas críticas de placas de Reissner pelo método dos

elementos de contorno. SANCHES (2009) utilizou pontos de colocação fora do

domínio da placa, a fim de não haver a necessidade de cálculo de integrais

singulares, para calcular placas de Reissner. ALIABADI e SUPRIYONO (2007)

apresentam a resolução de problemas de placas de Reissner considerando os

efeitos da não linearidade física e geométrica, utilizando-se do método dos

elementos de contorno.

RASHED (2008) propôs uma nova formulação para problemas de placas que

levam em conta o efeito da deformação por cortante. Em seu trabalho, ele descreve

a técnica utilizada para diminuir integrais hipersingulares para integrais do tipo valor

principal de Cauchy, diminuindo assim os recursos computacionais necessários para

resolução do problema.

BAIZ e ALIABADI (2009) demonstraram que o problema de instabilidade de

placas pelo método dos elementos de contorno pode ser resolvido utilizando-se

apenas integrais de contorno, utilizando o método da reciprocidade dual e o método

da integração radial. KZAM (2009) apresentou em seu trabalho sobre mecânica da

fratura a solução das integrais singulares pelo método da subtração de

singularidade. KZAM e CODA (2010) demonstraram em detalhes a aplicação do

método da subtração de singularidade utilizando-se a expansão de Taylor em

problemas resolvidos pelo método dos elementos de contorno.

DOVAL et al. (2010) apresentaram a análise de instabilidade de placas uma

formulação que incorpora a flexão clássica de placas e formulacão para elasticidade

33

plana, apresentando um método puro com apenas integrais de contorno, utilizando-

se a integração radial. CHEN e ZHOU (2010) demonstraram a teoria detalhada

sobre o cálculo de placas utilizando a teoria de Kirchhoff e apresentaram a relação

de que, quanto maior o grau da equação diferencial a ser resolvida no problema de

engenharia, maior será a vantagem do método dos elementos de contorno contra o

método dos elementos finitos. BUI et al. (2011) apresentaram em seu artigo sobre a

resolução de problemas sem a utilização de malhas, comparando os resultados da

metodologia apresentada e o método dos elementos de contorno.

OCHIAI e SHIMIZU (2012) apresentam em seu trabalho o método da tripla

reciprocidade para problemas de placas utilizando-se a teoria de Kirchhoff. DOVAL

(2013) apresentou em sua dissertação a solução dos problemas de estabilidade

para placas de materiais compositos laminados, utilizando o método da integração

radial.

FENNER (2014) descreveu com detalhes a integração de integrais singulares

utilizando a quadratura logaritmica, técnica importante no cálculo das integrais

quando o ponto fonte coincide com o elemento a ser integrado. KATSIKADELIS

(2014) lança seu livro abordando os diferentes problemas de placas uttilizando o

método dos elementos de contorno, entre eles a análise de instabilidade e grandes

deslocamentos.

2.2 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS NÃO PERFURADAS

2.2.1 Placas solicitadas por cargas uniformes

BRYAN (1891) apresentou a análise da carga crítica para uma placa

retangular infinita simplesmente apoiada ao longo de todas as bordas e submetida a

uma carga uniforme de compressão longitudinal. Para problemas de placas de

largura finita, podem-se encontrar soluções analíticas no livro de TIMOSHENKO e

GERE (1961). HINTON (1978) resolveu o problema utilizando-se o método das

faixas finitas. SAKIYAMA e MATSUDA (1987) abordaram diversas condições de

contorno para o problema de instabilidade de uma placa, utilizando-se a teoria de

Mindlin. THAM e SZETO (1990) resolveu problemas com diversos tipos de cargas,

34

utilizando o método das faixas finitas. MIZUSAWA (1993) apresentou soluções para

problemas de instabilidade de placas com diversas espessuras, mostrando a

variação da carga crítica de acordo com a espessura da placa, utilizando-se do

método das faixas finitas. REDDY (2002) apresentou uma solução para placas com

compressão uniforme para diversas condições de contorno. XIANG e WEI (2004)

mostrou a solução para placas com variação de espessura. HOSSEINI-HASHEMI et

al. (2008) apresentou uma solução analítica para os problemas de instabilidade de

placas espessas, quando considerada a teoria de Mindlin. JALALI e NAEI (2010)

resolveu problemas de instabilidade de placas de geometria variada, como placas

circulares. BUI et al. (2011) analisou problemas de placas utilizando um método que

dispensa a utilização de malhas. GHANNADPOUR et al. (2015) realizou o cálculo do

coeficiente de buckling em placas espessas utilizando-se um método das faixas

finitas exato.

2.2.2 Placas solicitadas por cargas lineares

LIBOVE et al. (1949) verificou o problema de instabilidade de placas

simplesmente apoiadas. GERARD e BECKER (1957) resolveu problemas com

diversas condições de contorno. As cargas críticas para placas solicitadas por

cargas lineares são dadas por YOSHIZUKA e NARUOKA (1971).

BROCKENBROUGH e JOHNSTON (1974) apresentaram uma tabela contendo os

valores de carga crítica para diversas condições de contorno com cargas lineares.

PEKÖZ (1987) apresentou a solução para várias condições de contorno. KANG e

LEISSA (2005) mostrou soluções para placas com vários tipos de cargas lineares.

2.2.3 Placas solicitadas por cisalhamento puro

Para placas solicitadas por cargas somente de cisalhamento, as soluções

analíticas para placas simplesmente apoiadas podem ser encontradas em

TIMOSHENKO (1910), BERGMANN e REISSNER (1932). Considerando a placa

engastada em dois lados e simplesmente apoiada nos outros, uma solução para

este problema foi dada por IGUCHI (1938) para o caso geral, e por LEGGETT (1941)

para o caso de a placa quadrada. COOK e ROCKEY (1963) obtiveram soluções

considerando o modo de flambagem não simétrico que não foi considerado por

35

IGUCHI (1938). JOHNS (1971) verificou o problema de placas ortotrópicas. XIANG

(1993) apresentou soluções para placas de diversas espessuras, quando solicitadas

por cargas biaxiais.

2.2.4 Placas solicitadas por cargas combinadas

O caso da placa solicitada por forças de cisalhamento combinado com

compressão longitudinal, com todos os lados simplesmente apoiado, foi tratada por

IGUCHI (1938). BATDORF e STEIN (1947) e também BATDORF e HOUBOLT

(1945) analisaram uma série de problemas deste tipo com outras condições de

contorno. TIMOSHENKO (1932) obteve as soluções para uma placa simplesmente

apoiada nos quatro lados, solicitada pela combinação de cargas de flexão e

cisalhamento. Este problema também foi analisado por STEIN (1936), WAY (1936),

CHWALLA (1936) e MCKENZIE (1964). BROCKENBROUGH e JOHNSTON (1974)

analisaram o problema quando a placa é solicitada por flexão, compressão e

cisalhamento.

PAVLOVIC e BAKER (1989) apresentaram uma solução exata para a

estabilidade de uma placa retangular solicitada por compressão biaxial. LIEW et al.

(1996) calculou placas com espessuras variadas com cargas biaxiais. SHUFRIN e

EISENBERGER (2005) analisaram o problema de placas com cargas biaxiais

utilizando teorias que consideram o efeito da deformação por cortande de primeira e

segunda ordem. HWANG e LEE (2006) abordaram os problemas de placas com

cargas especiais como carga concentrada e senoidal. SHUFRIN e EISENBERGER

(2007) resolveram problemas de placas com cargas combinadas de compressão e

cisalhamento.

2.3 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS PERFURADAS

2.3.1 Placas Perfuradas solicitadas por cargas uniformes

O problema de uma placa quadrada com um furo central e simplesmente

apoiada ou engastada no contorno foi abordado por: LEVY et al. (1947), KUMAI

(1952), SCHLACK (1964), KAWAI e OHTSUBO (1968) e FUJITA et al. (1969).

36

YANG (1969) mostrou que furos retangulares provocam uma redução maior dos

parâmetros críticos de flambagem que furos circulares. VANN (1971) analisou placas

com furo circular tanto numericamente quanto de maneira experimental. BROWN e

YETTRAM (1986) mostraram que os parâmetros críticos de flambgem diminuem ao

se aumentar o tamanho do furo com relação a largura da placa. SHAKERLEY e

BROWN (1996) analisaram problemas de placas com furos com excentricidade com

relação ao centro da placa.

CHANG-JUN e RONG (1996) trataram placas perfuradas utilizando-se o

método dos elementos de contorno. SHANMUGAM et al. (1999) propôs uma fórmula

para dimensionamento de placas perfuradas solicitadas por cargas uniformes. EL-

SAWY e NAZMY (2001) verificou placas com furo circular e quadrado de diversos

tamanhos e em várias posições dentro do domínio da placa, utilizando o método dos

elementos finitos, concluindo que à medida com que se aumenta o furo em uma

placa quadrada, o seu parâmetro crítico também diminui. EL-SAWY e MARTINI

(2007) resolveu problemas de placas retangulares com várias configurações de

geometria. KOMUR e SONMEZ (2008) analisou placas retangulares com diversos

posicionamentos de um furo circular. MAIORANA et al. (2008) verificou placas

perfuradas sujeitas a cargas localizadas. KOMUR et al. (2010) analisou placas com

furo central elíptico. NEJAD e SHANMUGAM (2011) resolveram problemas de

placas inclinadas com furos. JAYASHANKARBABU e KARISIDDAPPA (2013)

analisaram o problema da placa quadrada com furos circulares ou quadrados

centrais com diversas espessuras. KOMUR e SONMEZ (2015) resolveram

problemas com cargas uniformes parciais.

2.3.2 Placas perfuradas solicitadas por cisalhamento puro

SOUTHWELL e SKAN (1924) analisaram placas quando solicitadas por

cisalhamento uniforme. O problema de instabilidade de uma placa quadrada com um

furo circular central solicitada por cisalhamento puro foi examinado por COOK e

ROCKEY (1969). O problema com placas quadradas de furo quadrado foi

investigado por GROSSKURTH et al. (1976). NARAYANAN e CHOW (1984)

analisaram problemas de placas com furos centrais solicitadas por cisalhamento.

37

CHENG e LI (2012) verificaram o problema de placas quadradas com furo circular

central.

2.3.3 Placas perfuradas solicitadas por cargas combinadas

NARAYANAN e CHOW (1984) verificou o coeficiente de flambagem de placas

com furos quadrados solicitadas por cargas biaxiais. CHOW e NARAYANAN (1984)

apresentaram soluções para problemas com furos com diversos tipos de cargas. O

problema de instabilidade de uma placa quadrada com um furo central solicitada por

cargas combinadas de flexão, cisalhamento e compressão foi analisado por BROWN

e YETTRAM (1986), estes também verificaram as placas solicitadas por cargas

biaxiais. SABIR e CHOW (1986) verificou problemas com furos com excentricidade

com relação ao centro da placa. BROWN (1990) tratou problemas de placas com

furos quando solicitadas por cargas concentradas. PAIK (2008) resolveu o problema

da carga perfurada com cargas de cisalhamento e biaxial. MAIORANA et al. (2009)

verificou placas perfuradas sujeitas a cargas combinadas.

2.3.4 Placas perfuradas por múltiplos furos

A placa quadrada com múltiplos furos solicitada por compressão foi analisada

por diversos pesquisadores, como MAY e GANABA (1988), BROWN e YETTRAM

(2000), EL-SAWY e NAZMY (2001). A placa quadrada com múltiplos furos solicitada

por cisalhamento puro foi analisada por MICHAEL (1960). Os problemas com

combinação de cisalhamento e flexão foram abordados por REDWOOD e UENOYA

(1979), MOEN e SCHAFER (2008).

2.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE A INSTABILIDADE DE PLACAS QUANDO TRATADAS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

BEZINE et al. (1985) analisou o problema de instabilidade de placas

utilizando-se a teoria de Kirchhoff. MANOLIS et al. (1986) tratou o problema de

instabilidade de placas e vigas fazendo-se uso do teorema da reciprocidade de Betti,

utilizando-se o método direto. LIU (1987) introduziu a resolução do problema

utilizando-se células de domínio, resolvendo placas quadradas e circulares.

IRSCHIK et al. (1987) utilizou o método dos elementos de contorno para resolver

38

problemas de instabilidade utilizando-se a teoria de Mindlin. SYNGELLAKIS e KANG

(1987) resolveu problemas de placas triangulares utilizando-se o método dos

elementos de contorno. TANAKA e MIYAZAKI (1988) analisou o problema de

instabilidade de placas conjuntas, como o perfil retangular tubular. SHI (1990) tratou

o problema de instabilidade de placas ortotrópicas. SYNGELLAKIS et al. (1991)

verificou os resultados numéricos do método dos elementos de contorno com

ensaios experimentais. ELZEIN e SYNGELLAKIS (1992) aplicou com sucesso o

método da reciprocidade dual no problema de instabilidade de placas.

SYNGELLAKIS e ELZEIN (1994) resolveu diversos tipos de problemas de

instabilidade de placas e comparou os resultados com a literatura.

MARCZAK (1995) resolveu problemas com compressão biaxial e com

cisalhamento puro. CHANG-JUN e RONG (1996) resolveu problemas de placas

perfuradas de geometria circular com furo central. NERANTZAKI e KATSIKADELIS

(1996) avaliou problemas de instabilidade de placas com variação de espessura. LIN

et al. (1999) avaliou problemas de instabilidade de placas com cargas lineares.

PURBOLAKSONO e ALIABADI (2005) avaliou problemas de instabilidade de placas

utilizando-se a teoria de Mindlin. WEN et al (2006) resolveu problemas buckling e

pós-buckling de placas utilizando-se a teoria de Reissner.

KATSIKADELIS e BABOUSKOUS (2007) apresentaram um novo método

para tratar problemas de pós-buckling, o método da equação análoga.

CHINNABOON et al. (2007) apresentaram o método da equação análoga para tratar

problemas de buckling. ALBUQUERQUE et al. (2008) resolveram o problema de

instabilidade de placas constituídas de materiais compósitos. YIOTIS e

KATSIKADELIS (2008) apresentaram o método da equação análoga para tratar

problemas de buckling em placas com variação de espessura. BAIZ e ALIABADI

(2009) avaliaram problemas de instabilidade de placas conjuntas, como perfis I e U.

DOVAL et al. (2011) resolveram problemas de placas constituídas de materiais

compósitos solicitadas por cargas não uniformes. DOVAL et al (2012) resolveram

problemas de placas quadradas com furos retangulares de materiais compósitos.

DOVAL (2013) desenvolveu em sua tese a resolução de problemas de instabilidade

de placas com furos retangulares.

39

3 REVISÃO MATEMÁTICA

3.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo são apresentadas as principais funções matemáticas e regras

utilizadas no presente trabalho. São vistos alguns exemplos abordando a notação

indicial e sua utilização, as propriedades de algumas funções importantes como o

delta de Kronecker e o delta de Dirac. Também é feita uma revisão das equações

utilizadas no presente trabalho da teoria da elasticidade, base da análise estrutural

com uso de métodos numéricos. São apresentadas as relações básicas entre tensão

e deformação, as equações constitutivas e as equações de equilíbrio. No presente

trabalho, o material é assumido isotrópico e homogêneo. A teoria da elasticidade

gera um sistema de equações independentes com quinze incógnitas para problemas

tridimensionais onde três provém das equações de equilíbrio, seis das equações de

tensão-deformação e seis das equações constitutivas. Utilizando-se das equações

de equilíbrio será possível deduzir uma equação integral de contorno e aplicar o

método dos elementos de contorno numericamente.

3.2 FUNÇÕES MATEMÁTICAS

3.2.1 Notação indicial

Este trabalho utilizará a notação indicial introduzida por Einstein para facilitar

a visualização de grandes expressões. Serão demonstradas algumas regras, as

quais fazem parte das formulações mostradas. A conversão para notação indicial

pode ser feita em diversas expressões, como a seguinte:

1 11 1 12 2 13 3

2 21 1 22 2 23 3

3 31 1 32 2 33 3

y a x a x a x

y a x a x a x

y a x a x a x

(3.1)

A expressão 3.1 pode ser escrita como:

, 1,2,3 , 1,2,3i ij jy a x i j (3.2)

40

Em que os índices em latin irão variar de 1 até 3, os índices gregos irão variar

de 1 até 2. Quando os índices forem iguais, deve-se realizar o somatório de todas as

substituições de índices, como demonstrado em 3.3:

11 22 33

1 1 2 2 3 3

2 2 2

1 1 2 2 3 3 1 2 3

11 22

ii

i i

i i

a a a a

a b a b a b a b

a a a a a a a a a a a

a a a

(3.3)

No presente trabalho, as derivadas parciais serão demonstradas conforme a

equação 3.4:

11,1

1

22,2

2

11,2

2

;

;

x

y

x

u uu

x x

u uu

y x

u uu

y x

(3.4)

3.2.2 Vetor Gradiente

O vetor gradiente pode ser mostrado da seguinte maneira:

1 1 1

1 2 3

2 2 2,

1 2 3

3 3 3

1 2 3

ii i j

j

u u u

x x x

u u u uu u

x x x x

u u u

x x x

(3.5)

3.2.3 Laplaciano

O laplaciano de uma função pode ser escrito como se segue:

2

,iiu u u (3.6)

41

3.2.4 Delta de Kronecker

A função delta de Kronecker é definida como se segue:

1 se

0 se ij

i j

i j

(3.7)

A função delta de Kronecker é um tensor isotrópico que nos permite converter

ou contrair índices. A conversão de índices é feita da seguinte maneira:

i ij ju u

(3.8)

A contração de índices é feita como se segue:

i j ij i ia b a b (3.9)

3.2.5 Delta de Dirac

A função Delta de Dirac é definida por:

0

1,

0,

t at t

outros valores

(3.10)

A função delta de Dirac possui uma propriedade importante quando utilizada

na obtenção das equações integrais de contorno:

( ´ ) ( ) ( )́i ix x u x d u x

(3.11)

3.2.6 Teorema da Divergência

O teorema da divergência, utilizado para relacionar integrais de domínio com

integrais de contorno, é dado por:

42

, ,Tu d Tun d uT d

(3.12)

3.3 ELASTICIDADE LINEAR

Um corpo sólido e homogêneo, quando é solicitado por alguma ação exterior,

sofre deformação quando a distância entre dois pontos em seu interior é alterada.

Na figura 3.1 se apresenta um sólido inicialmente indeformado que, quando

solicitado, sofre deformação.

Figura 3.1 – Estado de deformação de um sólido

Quando não ocorre a mudança da distância entre dois pontos, é possível

observar o movimento de corpo rígido. Observando-se que (a) desloca-se para (a*),

(b) desloca-se para (b*), o segmento de linha (ab) alonga-se e gira para (a*b*).

Quando a análise do deslocamento levar em conta a não linearidade geométrica,

este comportamento é dado pelo tensor Lagrangeano de deformações, sendo

definido por:

, , , ,

1( )

2ij i j j i k i k ju u u u (3.13)

A equação 3.13 é utilizada na resolução do problema de carga crítica de

placas. Na análise de flexão sem o efeito da não linearidade geométrica, neste

trabalhosão considerados pequenos deslocamentos e os termos quadráticos da

equação 3.13 foram desprezados. A equação 3.13 passa a ser dada por:

43

, ,

1( )

2ij i j j iu u (3.14)

3.4 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS

As equações constitutivas são obtidas ao relacionarem-se linearmente as

tensões e as deformações, obtendo-se tensor de tensões:

ij ijkl klC (3.15)

Para um material sólido linear e isotrópico, pode-se deduzir a partir da

observação física que só há duas constantes de material independentes que se

relacionam com todos os componentes de tensão e deformação. O módulo de

Young (E), definido pela taxa de variação da deformação como função da tensão, ou

seja, a inclinação da reta parte de um diagrama de tensão-deformação. O coeficiente

de Poisson (v) é um coeficiente que relaciona linearmente a deformação transversal

em relação à deformação longitudinal, em um material homogêneo e isotrópico. Este

coeficiente é uma grandeza adimensional. Assumindo-se a relação linear entre

tensão e deformação, pode-se observar:

(1 )(1 2 ) (1 )ij ij kk ij

Ev E

v v v

(3.16)

Onde:

Módulo de Young

Coeficiente de Poisson

Delta de Kroneckerij

E

(3.17)

Esta equação pode ser escrita em termos das deformações:

1ij ij ij kk

v v

E E

(3.18)

44

4 TEORIA DE PLACAS

4.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo são apresentadas as bases e fundamentos para a teoria de

placas que levam em conta o efeito da deformação por cortante. Placas são

elementos estruturais planos, as quais tem sua espessura de ordem menor com

relação as outras dimensões. As teorias de placas são extensões das teorias de

vigas, buscam reduzir o problema de elasticidade em três dimensões para um

problema mais simples, em duas dimensões.

Diversas teorias foram apresentadas para descrever o comportamento de

placas, entre as principais pode-se citar a teoria de KIRCHHOFF (1888), que

também é chamada de teoria clássica, foi desenvolvida para ser utilizada em

problemas de placas finas com pequenos deslocamentos, sem levar em conta o

efeito da deformação por cortante, a teoria de VON-KARMAN (1910), desenvolvida

para descrever grandes deslocamentos em placas finas e a teoria de REISSNER

(1945), sendo esta a teoria de placas que leva em conta o efeito da deformação por

cortante. Esta teoria pode ser utilizada tanto para resolver problemas de placas finas

quanto para placas moderadamente espessas, sendo de grande utilidade em

problemas de engenharia.

Mais tarde MINDLIN (1951) propôs sua teoria similar, mas não idêntica à de

Reissner, pois existem diferenças entre os resultados de Reissner e Mindlin,

segundo WANG et al. (2001). A partir dos conceitos mostrados neste capítulo será

possível deduzir as equações integrais necessárias para aplicação do método dos

elementos de contorno.

4.2 TEORIA DE KIRCHHOFF

Será apresentada a teoria clássica de placas, sendo esta proposta por

KIRCHHOFF (1888). A teoria clássica tem como principal característica o cálculo

dos deslocamentos e rotações em função do deslocamento transversal, interpretada

por uma equação biharmonica.

As principais hipóteses de Kirchhoff são as seguintes, segundo VENTSEL e

KRAUTHAMMER (2001):

45

- Pequenos deslocamentos

- Superfície média indeformável

- A tensão normal ao plano médio, 33 , é pequena em comparação com os

outros componentes de tensão e pode ser negligenciada nas relações tensão-

deformação

- A teoria não leva em conta o efeito da deformação por cortante

- Um segmento de reta normal à superfície média da placa permanece normal

após a deformação da placa

- Material homogêneo, isotrópico e elástico linear

As equações que descrevem o comportamento da teoria clássica são as

seguintes :

3 ,

3 1 2( , )

u x w

u w x x

(4.1)

Nas equações 4.1 é possível observar que as derivadas indicam a variação

angular do deslocamento. No eixo médio da placa, as deformações são nulas, mas

faz-se necessário calcular as deformações fora do eixo médio, utilizando as

seguintes relações :

3 ,x w (4.2)

É possível deduzir as tensões utilizando-se a lei de Hooke generalizada:

3 , ,2

(1 )1

Ex vw v w

v

(4.3)

Deve-se integrar as tensões ao longo da espessura para encontrar os

esforços unitários:

46

/2

3 3/2

/2

3 3 3/2

h

h

h

h

M x dx

Q x dx

(4.4)

Após a integração os momentos e cortantes são dados por:

, ,

,

(1 )M D v w v w

Q Dw

(4.5)

Onde D significa o módulo de rigidez a flexão da placa, definido pela

equação:

3

212(1 )

EhD

v

(4.6)

Encontrados os esforços unitários é necessário equilibrar um elemento

infinitesimal de placa com relação a cada eixo, a figura 4.1 ilustra as forças atuando

na placa:

Figura 4.1 – Elemento diferencial de placa

Realizando-se o equilíbrio do elemento infinitesimal encontra-se:

3

1 2 1 1,1 1 2 2 1 2 2,2 2 1 1 2

0

0

Fx

Q dx Q Q dx dx Q dx Q Q dx dx pdx dx

(4.7)

47

Simplificando-se o equilíbrio das forças vertiais:

1,1 2,2 0Q Q p (4.8)

Fazendo-se o somatório de momento em torno do eixo x1, no ponto 1,

desconsiderando-se os resíduos de dx2/2, encontra-se :

11

12 22 1 22 22,2 2 1

12 12,1 1 2 2 1 2

0

0

M

M dy M dx M M dx dx

M M dx dx Q dx dx

(4.9)

Simplificando-se o equilíbrio de momentos encontra-se a seguinte equação:

12,1 22,2 2M M Q (4.10)

De maneira análoga, fazendo-se o equilíbrio de momentos em relação ao eixo

x2, encontra-se :

12,2 11,1 1M M Q (4.11)

Em notação indicial estas equações ficam da seguinte maneira:

,

,

0

0

M Q

Q p

(4.12)

Substituindo as relações do momento com a cortante, na equação do

equilíbrio das forças verticais é possível obter:

12,21 11,11 12,12 22,22

pM M M M

D (4.13)

Substituindo as relações do momento com os deslocamentos transversais:

48

,1221 ,1111 ,2211 ,1212 ,2222 ,1122

pw w vw w w vw

D (4.14)

Sendo esta chamada equação de Lagrange, podendo ser escrita em notação

indicial:

,

pw

D (4.15)

4.3 TEORIA DE REISSNER

A teoria proposta por REISSNER (1945) considera a deformação por efeito de

cortante. Segundo TIMOSHENKO (1959), para placas moderadamente espessas, a

teoria clássica apresenta um desvio maior em problemas práticos, principalmente

aqueles com furos de ordem da espessura da placa, isso mostra a necessidade de

uma teoria aperfeiçoada. Nesta teoria, segundo KARAM (1986), obtem-se um

problema de integração de sexta ordem, satisfazendo até três condições de

contorno, em contraste com a teoria clássica, a qual satisfaz apenas duas condições

de contorno. As hipóteses de Reissner são as seguintes:

- Pequenos deslocamentos

- Superfície média indeformável

- Um segmento de reta normal à superfície média da placa permanece reta,

mas não necessariamente normal após a deformação da placa

- Material homogêneo, isotrópico e elástico linear

A figura 4.2 ilustra o comportamento de um segmento normal à superfície

média após a deformação da placa:

49

Figura 4.2 – Comportamento de um seguimento de reta normal

De acordo com TIMOSHENKO (1959) as tensões nas faces da placa são

dadas por:

3

33 3

33 3

0

2

02

hq para x

hpara x

(4.16)

Reissner admitiu uma variação linear das tensões ao longo da espessura da

placa, portanto, as equações que descrevem este comportamento são:

33

2

33

2

3 333

12

3 21

2

2 21 13

4 2

Mx

h

Q x

h h

x xq

h h

(4.17)

As equações 4.17 coincidem com a teoria clássica, exceto a última equação.

Segundo TIMOSHENKO (1959) ao se realizar o equilíbrio das forças no elemento

infinitesimal de placa, é possível obter a equação 4.18 (onde Q é a cortante, Mé

o momento e q é a carga distribuída):

50

,

,

0

0

Q q

M Q

(4.18)

Nesta teoria, os deslocamentos transversais e rotações das seções em x e y

são obtidos realizando-se uma média ponderada dos mesmos ao longo da

espessura. Reissner admitiu, supondo um material isotrópico e que os

deslocamentos sejam pequenos com relação a espessura, as seguintes relações

tensão-deformação:

1,1 11 22 33 2,2 22 11 33

1,2 2,1 12

1,3 3,1 13

2,3 3,2 23

3,3 33 11 22

1 1( ) ; ( )

1

1

1

1( )

u v u vE E

u uG

u uG

u uG

u vE

(4.19)

Reissner também indicou que o trabalho realizado pelos esforços solicitantes

pode ser igualado a uma média ponderada entre os deslocamentos e as tensões,

podendo ser verificado na equação 4.20:

/2

3/2

/2

3 3 3/2

h

h

h

h

u dx M

u dx Q w

(4.20)

Utilizando-se a equação 4.17 pode-se substituir as tensões pelos esforços

solicitantes, chegando a uma equação da seguinte maneira:

/2

3 33/2

2/2

33 3

/2

12

23 1

2

h

h

h

h

Mx u dx M

h

Q xu dx Q w

h h

(4.21)

51

Isolando-se os deslocamentos médios, é possível obter as seguintes

equações:

/2

3 33 /2

2/2

33 3

/2

12

231

2

h

h

h

h

u x dxh

xw u dx

h h

(4.22)

Utilizando as equações 4.19 com as relações tensão-deformação é possível

expressar as tensões em função dos deslocamentos em cada eixo, ou seja:

2

, , , , ,2

3

3 3, ,

(1 ) 2 (1 )

1 2 1 (1 )(1 )

2 23 2 1

2(1 ) 4(1 ) 3 3

E v v vu u u u vu

v v v v

x xE qvu vu

v v h h

(4.23)

Integrando-se as tensões ao longo da espessura, é possível encontrar as

equações dos esforços solicitantes.

/2

3 3/2

/2

3 3 3/2

h

h

h

h

x dx M

x dx Q

(4.24)

Substituindo as tensões em função das deformações provenientes das

equações 4.23 nas equações 4.24 e observando as equações dos deslocamentos

médios encontra-se:

3

3 31,1 2,2 32

/2

11 33/2

11 1,1 2,2 2

2 23 2 112

1 4(1 ) 3 3

(1 )

h

h

x xE qvu vu x

v v h hM dx

h

vM D v q

v

(4.25)

52

Em que D significa o módulo de rigidez a flexão da placa, definido pela

equação 4.6 e é o parâmetro que leva em conta o efeito da deformação por

cortante.

Fazendo-se o mesmo para as outras equações de tensões, obtêm-se todas

as equações de momento e cortante, conforme a equação 4.26:

, , , 2

2

,

(1 ) 2

2 1 (1 )

(1 )( )

2

D v v vqM

v v

D vQ w

(4.26)

Para a teoria de Reissner o parâmetro vale:

10

h (4.27)

Para a teoria de Mindlin ele é dado pela equação 4.28:

Mindlin

h

(4.28)

53

5 O MEC APLICADO NO CÁLCULO DE PLACAS DE REISSNER

5.1 INTRODUÇÃO

A aplicação numérica do método é feita a partir da equação integral de

contorno, a qual é desenvolvida neste capítulo. É também demonstrado como é feita

a dedução das soluções fundamentais de forças de superfície, utilizando-se das

soluções fundamentais de deslocamento. É mostrado como é feita a modelagem

numérica do problema, desde a utilização das funções de forma até a resolução do

sistema final de equações.

Segundo CHEN (2010), com relação ao método dos elementos finitos, o

método dos elementos de contorno é de maior viabilidade para cálculo de placas

devido a natureza bi harmônica da equação de placas. Como o método dos

elementos finitos necessita de uma malha de grande refinamento para garantir a

precisão no cálculo de gradientes, este pode necessitar de maior processamento e

uma maior quantidade de avaliações de quadraturas de integração. As primeiras

aplicações do método dos elementos de contorno em placas de Reissner foram

feitas por WEEËN (1982), utilizando o método de HÖRMANDER (1963), ele deduziu

as soluções fundamentais e a equação integral de contorno, para aplica-las no

cálculo do método dos elementos de contorno.

PALERMO JR. (2000) também obteve uma dedução alternativa para as

soluções fundamentais de deslocamento.

5.2 EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTO NO DOMÍNIO

Existem algumas maneiras diferentes para deduzir-se a equação integral de

contorno para este problema. Vários autores já demonstraram esta dedução,

KARAM (1986) deduziu este problema aplicando o teorema da reciprocidade de Betti

e também o método dos resíduos ponderados, RIBEIRO (1992) deduziu esta

equação pelo método dos resíduos ponderados. No presente trabalho, será feita a

dedução a partir do teorema da reciprocidade de Betti, o qual está escrito na

equação 5.1, representado em integrais de volume:

54

* *

ij ij ij ij

V V

dV dV (5.1)

*

ij e *

ij são as soluções fundamentais de forças de superfície e deformação,

respectivamente. Aplicando-se as hipóteses de Reissner, o segundo membro da

equação 5.1 passa a ser:

* * * * *

1 11 11 22 22 12 12 13 13 23 23

V

I dV (5.2)

Fazendo-se uso das equações 4.17 que relacionam tensões com os esforços

solicitantes e também as equações 4.3 que relacionam as deformações com os

deslocamentos médios é possível obter (por conveniência os deslocamentos médios

são representados pela variável u):

2* * * *3

1 11 1,1 22 2,2 12 2,1 1,23

2 2

* * * *3 31 23,1 1 3,2 2

12( )

2 23 31 1

2 2

V

V

xI M u M u M u u dV

h

x xQ Qu u u u dV

h h h h

(5.3)

Integrando-se os dois membros de 5.3 ao longo da espessura:

2/2

* * * *31 11 1,1 22 2,2 12 2,1 1,2 33/2

2 2/2

* * * *3 31 23,1 1 3,2 2 3

/2

12( )

2 23 31 1

2 2

h

h

h

h

xI M u M u M u u dx

h

x xQ Qu u u u dx

h h h h

(5.4)

Realizando-se a integração da equação 5.4 é possível obter a integral de

domínio dada pela equação 5.5:

* * * *

1 11 1,1 22 2,2 12 2,1 1,2

* * * *

1 3,1 1 2 3,2 2

( )I M u M u M u u d

Q u u Q u u d

(5.5)

55

Uma das diferenças entre as teorias de Reissner e Mindlin é a contribuição

que contém o valor da carga distribuída (q) nos momentos 11M e 22M . Para elaborar

este raciocínio, substituindo-se as relações constitutivas dadas por 4.23, é possível

obter:

* * *

, 3,

*

1,1 1,1 1,1 2,2 1,12

*

2,2 2,2 1,1 2,2 2,22

* *

2,1 1,2 2,1 1,2

2

(1 ) 2( )

2 1 (1 )

(1 ) 2( )

2 1 (1 )

(1 )( )( )

2

(1 )

2

M u Q u u d

D v v vqu u u u u d

v v

D v v vqu u u u u d

v v

D vu u u u d

D v

2

* * * *

3,1 1 3,1 1 3,2 2 3,2 2

(1 )

2

D vu u u u u u u u d

(5.6)

Expandindo-se as duas primeiras integrais de 5.6 é possível obter:

* * * *

1,1 1,1 1,1 1,1 2,2 1,1 1,12

* * * *

2,2 2,2 1,1 2,2 2,2 2,2 2,22

* *

2,1 1,2 2,1 1,2

2

3,1 1 3

(1 ) 2 22

2 1 1 (1 )

(1 ) 2 22

2 1 1 (1 )

(1 )( )( )

2

(1 )

2

D v v v vqu u u u u u u d

v v v

D v v v vqu u u u u u u d

v v v

D vu u u u d

D vu u u

2

* * * *

,1 1 3,2 2 3,2 2

(1 )

2

D vu u u u u d

(5.7)

Tirando os termos que contém a carga distribuída para fora da integral e

rearranjando os que sobraram de maneira conveniente é possível obter:

56

* * *

, 3,

* * *

1,1 1,1 2,2 1,1

* * *

2,2 1,1 2,2 2,2

* *

2,1 1,2 2,1 1,2

2 2* *

3,1 1 3,1 1 3,2 2 3,

(1 ) 22 ( )

2 1

(1 ) 22 ( )

2 1

(1 )( )( )

2

(1 ) (1 )

2 2

M u Q u u d

D v vu u u u d

v

D v vu u u u d

v

D vu u u u d

D v D vu u u u u u u

* *

2 2

* *

1,1 2,22( )

(1 )

u d

vqu u d

v

(5.8)

Observando as equações 5.8 é possível verificar que:

* * * * * *

, 3, , 3, ,2(1 )

vqM u Q u u d M u Q u u u d

v

(5.9)

Portanto, esta é a uma forma do teorema da reciprocidade de Betti quando

consideradas as hipóteses de Reissner. Passando-se o termo da carga distribuída

para a direita:

* * * * * *

, 3, , 3, ,2(1 )

vqM u Q u u d M u Q u u u d

v

(5.10)

Observando 5.10 na equação obtida 5.5, deve-se proceder com a subtração

do termo da carga distribuída (q):

* * * *

1 11 1,1 22 2,2 12 2,1 1,2

* * * * * *

1 3,1 1 1 2 3,2 2 2 1,1 2,22

( )

( )(1 )

I M u M u M u u d

vqQ u Q u Q u Q u d u u d

v

(5.11)

Aplicando-se o teorema da divergência em todas as integrais de 5.11 é

possível obter a equação 5.12, que adiciona integrais de contorno:

57

* * * *

1 11 1 1 11,1 1 22 2 2 22,2 2

* * * *

12 2 1 12,2 1 12 1 2 12,1 2

* * * *

1 1 3 1,1 3 2 2 3 2,2 3

* * * *

1 1 2 2 1,1 2,22( )

(1 )

I M n u d M u d M n u d M u d

M n u d M u d M n u d M u d

Q n u d Q u d Q n u d Q u d

vqQ u Q u d u u d

v

(5.12)

Agrupando-se os termos da equação 5.12 de maneira conveniente, é possível

obter:

* *

1 11 1 12 2 1 22 2 12 1 2

* *

1 1 2 2 3 1 11,1 12,2 1

* *

2 22,2 12,2 2 1,1 2,2 3

* *

1,1 2,22

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )(1 )

I M n M n u d M n M n u d

Q n Q n u d Q M M u d

Q M M u d Q Q u d

vqu u d

v

(5.13)

Utilizando-se as seguintes propriedades dos esforços de superfície da placa:

1 11 1 12 2 2 22 2 12 1 3 1 1 2 2; ;t M n M n t M n M n t Q n Q n (5.14)

Onde n são os cossenos diretores. A equação 5.13 torna-se:

* * * * *

1 1 1 2 2 3 3 1,1 2,22

* * *

1 11,1 12,2 1 2 22,2 12,2 2 1,1 2,2 3

( )(1 )

( ) ( ) ( )

vqI t u d t u d t u d u u d

v

Q M M u d Q M M u d Q Q u d

(5.15)

Utilizando-se as equações de equilíbrio da placa dadas por 4.12:

* * * * * *

1 1 1 2 2 3 3 3 1,1 2,22( )

(1 )

vqI t u d t u d t u d qu d u u d

v

(5.76)

58

Agrupando-se de maneira conveniente e aplicando a notação indicial é

possível obter:

* * *

1 3 ,2(1 )i i

vI t u d q u u d

v

(5.17)

Deve-se então aplicar os mesmos passos no primeiro membro da equação

5.1:

* * * * *

2 11 11 22 22 12 12 13 13 23 23

V

I dV (5.18)

De maneira análoga é possível obter:

* * * *

2 11 1 12 2 1 22 2 12 1 2

* * * * *

1 1 2 2 3 1 11,1 12,2 1

* * * * *

2 22,2 12,2 2 1,1 2,2 3

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

I M n M n u d M n M n u d

Q n Q n u d Q M M u d

Q M M u d Q Q u d

(5.19)

Aplicando-se as equações de equilíbrio quando consideradas as soluções

fundamentais:

,

, 3

0M Q F

Q F

(5.20)

Na equação 5.20 a variável F indica as forças de domínio unitárias aplicadas.

Aplicando-se a as equações de equilíbrio e as relações das forças de superfície é

possível obter:

* * *

2 1 1 2 2 3 3

* * *

1 1 2 2 3 3

I t u d t u d t u d

F u d F u d F u d

(5.21)

59

Aplicando-se a notação indicial:

* *

2 i i i iI t u d F u d

(5.22)

Do teorema da reciprocidade de Betti:

* * * * *

11 11 22 22 12 12 13 13 23 23

* * * * *

11 11 22 22 12 12 13 13 23 23

V

V

dV

dV

(5.23)

Substituindo as deduções encontradas:

2 1I I (5.24)

Posicionando os termos de maneira conveniente:

* * * * *

3 ,2(1 )i i i i i i

vF u d t u d t u d q u u d

v

(5.25)

A equação 5.25 representa o teorema da reciprocidade de Betti generalizado

para placas de Reissner. As forças de corpo unitárias concentradas aplicadas em

cada uma das três direções de um ponto pertencente ao domínio, que será o ponto

fonte utilizado na aplicação numérica.

Estas forças de domínio podem ser representadas pela função Delta de Dirac:

* *( ')i iF X X P (5.26)

Onde:

* 1iP (5.27)

60

*

iP são as cargas unitárias utilizadas para calcular um problema de estruturas

utilizando o teorema da reciprocidade de Betti. Substituindo as equações 5.26 e 5.27

na equação 5.25 e utilizando a seguinte propriedade da função Delta de Dirac:

( ') ( ) ( ')i iX X u X d u X

(5.28)

A equação 5.21 passa a ser:

* *

* *

3 ,2

( ') ( ) ( ', ) ( ', ) ( )

( ', ) ( ', )(1 )

i i ij ij i

i i

u x t x U X x d T X x u x d

vq U X X U X X d

v

(5.29)

Onde ( ', )ijU X x e ( ', )ijT X x são as soluções fundamentais para os

deslocamentos e as forças de superfície respectivamente, 'x é um ponto fonte

pertencente ao contorno, x é um ponto campo pertencente ao contorno, 'X é um

ponto fonte pertencente ao domínio, X é um ponto campo pertencente ao contorno.

5.3 EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTO NO CONTORNO

Para resolver o problema no contorno torna-se necessário escrever a

equação integral para um ponto fonte situado na região do contorno. A figura 5.1

mostra o posicionamento de um ponto fonte no contorno:

Figura 5.1 – Posicionando o ponto no contorno

A equação integral fica da seguinte maneira:

61

1 2 1 2

* *

* *

3 ,2

( ') ( ) ( ', ) ( ', ) ( )

( ', ) ( ', )(1 )

i i ij ij i

i i

u x t x U x x T x x u x

vq U x X U x X d

v

(5.30)

Pode-se estudar separadamente o limite para quando 0 , o limite da

segunda integral do lado direito da equação 5.30 é dado por:

1 2 2

1

* *

0 0

*

0

lim ( ', ) ( ) lim ( ', ) ( )

lim ( ', ) ( )

ij i ij i

ij i

T x x u x T x x u x

T x x u x

(5.31)

A segunda integral do lado direito da equação 5.31 deve ser analisada no

sentido do valor principal de Cauchy, cuja existência pode ser demonstrada se o

ponto fonte satisfaz a condição de Holder. A primeira integral do lado direito da

equação é dada por:

2 2

2

* *

0 0

*

0

lim ( ', ) ( ) lim ( ', ) ( ) ( ')

lim ( ') ( ', )

ij i ij i i

i ij

T x x u x T x x u x u x

u x T x x

(5.32)

A primeira integral do lado direito da equação 5.32 se anula devido à

continuidade no ponto fonte. Já a segunda integral da direita pode ser escrita como:

2

*

0lim ( ') ( ', ) ( ')i ij ij iu x T x x C u x

(5.33)

Utilizando esta propriedade, é possível escrever a equação integral de placas

de Reissner para o ponto no contorno, sendo dada a seguir:

* *

* *

3 ,2

( ') ( ) ( ', ) ( ', ) ( )

( ', ) ( ', )(1 )

ij i i ij ij i

i i

C u x t x U x x d T x x u x d

vq U x X U x X d

v

(5.34)

62

Onde ( )iu x e ( )it x são as variáveis no contorno de deslocamentos e forças

de superfície respectivamente. O coeficiente ijC é dado pela equação 5.35:

,

,

0, se o ponto fonte está fora do contorno

1, se o ponto fonte está dentro do contorno

1se o ponto fonte está em uma parte suave do contorno

2

2 1se o ponto fonte está em uma curva do contorno

2

ijC

(5.35)

A integral de domínio de 5.34 pode ser convertida em uma integral de

contorno:

* *

3 ,2

* *

, 2

( ', ) ( ', )(1 )

( ', ) ( ', ) ( )(1 )

i i

i i

vq U x X U x X d

v

q V x x U x x n x d

(5.36)

A solução fundamental *

, ( ', )iV x x é dada por:

2*

, , ,

,* 2

3, 2

( ', ) 4 ln( ) 5 2 4ln( ) 3128

( ', ) 32 2ln( ) 1 1 4ln( ) 5128 (1 )

rV x x z z r r

D

rrV x x z z v z

D v

(5.37)

5.4 ESFORÇOS GENERALIZADOS A PARTIR DAS SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS

As soluções fundamentais de deslocamentos encontradas em WEEËN (1982)

ou PALERMO JR. (2000) são dadas por:

, ,

18 ( ) (1 )(2ln 1)

8 (1 )

8 ( ) 2(1 )

U B z zD

A z r r

(5.38)

63

3 3 ,

1(2ln 1)

8U U z rr

D

(5.39)

2

33 2

1(1 ) (ln 1) 8ln

8 (1 )U z z z

D

(5.40)

Onde:

0 1 0 1

2 1 1 1; ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( )z r A z K z K z B z K z K z

z z z z

(5.41)

As funções 0 ( )K z e 1( )K z são funções de Bessel modificadas, para

pequenos argumentos estas funções são dadas por:

2

0 2

22

2

32

2

/ 4( ) ln ln

2 2 (1!)

/ 411 ln

2 2 (2!)

/ 41 11 ln

2 3 2 (3!)

zz zK z

zz

zz

(5.42)

12 2

1

32 2

52 2

/ 41 1( ) ln

2 2 0! 1!

/ 411 ln

4 2 1! 2!

/ 41 11 ln

2 6 2 2! 3!

zzK z

z

zz

zz

(5.43)

Onde é a constante de EULER:

0.5772156649 (5.44)

64

É possível encontrar as soluções fundamentais das forças de superfície,

multiplicando-se os momentos e cortantes pelos cossenos diretores. A dedução de

todas as soluções fundamentais de superfície é feita nas equações abaixo. A

solução de força de superfície 3T é definida por:

3 3T M n (5.45)

Verificando as equações 4.27 o valor de 3M

é definido por:

3 3 , 3 , 3 ,

(1 ) 2( )

2 1

D v vM u u u

v

(5.46)

Nota-se que o valor do momento da equação 5.46 pode ser descrito com

relação às derivadas das soluções fundamentais de deslocamentos, para encontrar

as forças de superfície é necessário calcular estas derivadas. Este processo é

mostrado abaixo para todas as forças de superfície que precisam ser encontradas.

Primeiramente, é necessário calcular as derivadas que fazem parte das soluções

fundamentais:

,

, ,,

, ,

1 12 ;

zr

x

r rr

x r

r rA BzK A zK A

x r x r

(5.47)

Para encontrar 3 ,u

é necessário derivar 3u com relação a :

65

3 ,

3 , , , , , , ,

3 , , , , , , ,

3 , , ,

1 1ln( )

4 2

1 1 1 1 1ln( ) ln( )

4 2 2

1 1 1ln( ) ln( )

4 2 2

1ln(

4

u z rrD

u r r r z r r z r r rD r r

u r r z r r z r rD

u r rD

1

)2

z

(5.48)

Apartir desta derivada é possível apenas substituir os índices e para

encontrar a próxima derivada do deslocamento:

3 , , ,

1 1ln( )

4 2u r r z

D

(5.49)

Para encontrar a ultima derivada do deslocamento basta substituir nos

valores de e , observando os valores indiciais que ficarem iguais, pois estes

indicam somatórios:

3 , , ,

3 , ,1 ,1 ,2 ,2 11 22

3 ,

3 ,

1 1ln( )

4 2

1 1( ) ln( )

4 2

1 11 (2) ln( )

4 2

12ln( )

4

u r r zD

u r r r r zD

u zD

u zD

(5.50)

Substituindo-se na equação dos momentos:

66

3 , ,

, ,

3 , ,

(1 ) 1 1ln( )

2 4 2

1 1 2 1ln( ) 2ln( )

4 2 1 4

(1 ) 1 2ln( ) ln( )

4 2 1

D vM r r z

D

vr r z z

D v D

v vM r r z z

v

(5.51)

Encontrado o momento, basta multiplicar pelo vetor normal :

3 3

3 , ,

3 , ,

3 , ,

3 , ,

(1 ) 1 2ln( ) ln( )

4 2 1

(1 ) 1 2ln( ) ln( )

4 2 1

(1 ) 2ln( ) ln( )

4 2 1

(1 )

4

n

n

n

T M n

v vT r r n n z z n

v

v vT r r n z z n

v

nv vT r r n z z n

v

vT r r

3 , ,

2ln( ) 1

2 1

(1 ) 1ln( )

4 2 1n

n vn z

v

nv vT r r n z

v

(5.52)

Portanto, a solução de força de superfície 3T é definida por:

3 , ,

(1 ) 12 ln( ) 1 2

8 1n

v vT z n r r

v

(5.53)

A solução fundamental 33T é dada por:

33 3T Q n (5.54)

A solução fundamental de 3Q é dada por:

67

2

3 33, 3

(1 )( )

2

D vQ u u

(5.55)

Os deslocamentos para definir a solução da cortante são dados por:

2

33 2

2

33, , , , ,2

33, , ,2

1 1ln( ) 1

8 (1 )

1 1 1 12 ln( ) 2

8 (1 )

1 1 1 1ln( )

4 2 (1 )

u r zD D v

u r z r rr r r rD r D v r

u z rr rD D v r

(5.56)

O próximo deslocamento é dado por:

3 ,

1 1ln( )

4 2u z rr

D

(5.57)

Substituindo-se estes valores na equação 5.55 da cortante é possível obter:

2

3 , ,2

,

2

3 , ,2

(1 ) 1 1 1 1ln( )

2 4 2 (1 )

1 1ln( )

4 2

(1 ) 1 1 1

2 (1 ) 2

D vQ z rr r

D D v r

z rrD

D vQ r r

D v r r

(5.58)

Substituindo-se o valor da cortante na equação 5.54:

33 3

33 ,

1

2

T Q n

T r nr

(5.59)

68

Portanto, a solução fundamental 33T é dada por:

33 ,

1

2nT r

r (5.60)

A solução fundamental 3T é dada por:

3T Q n (5.61)

A solução fundamental da cortante é dada por:

2

3,

(1 )( )

2

D vQ u u

(5.62)

Os deslocamentos são dados por:

3 ,

3, , , , , , ,

3, , ,

1 1ln( )

4 2

1 1 1 1 1ln( ) ln( )

4 2 2

1 1ln( )

4 2

u z rrD

u r rr z r r z r r rD r r

u r r zD

(5.63)

O próximo deslocamento é dado por:

, ,

, ,

18 ( ) (1 )(2ln 1) 8 ( ) 2(1 )

8 (1 )

4 ( )1 1 4 ( )ln( ) 1

4 (1 ) 2 (1 )

u B z z A z r rD

B z A zu z r r

D

(5.64)

Substituindo-se na equação 4.27 da cortante:

69

2

3,

2

, , , ,

2

, ,

(1 )( )

2

4 ( )(1 ) 1 1ln( )

2 4 (1 ) 2

1 4 ( ) 1 11 ln( )

4 (1 ) 4 2

( ) ( )2

D vQ u u

B zD vQ z

D

A zr r r r z

D D

Q B z A z r r

(5.65)

Substituindo-se o valor da cortante encontrado na equação 5.61 de forças de

superfície é possível obter:

3

2

3 , ,( ) ( )2

T Q n

T B z A z r r n

(5.66)

Utilizando as propriedades do delta de Kronecker e multiplicando pelos

cossenos diretores, a solução fundamental 3T é dada pela equação 5.67 :

2

3 , ,( ) ( )2

nT B z n A z r r

(5.67)

A solução fundamental T é dada por:

T M n (5.68)

O esforço M é dado por pela equação 5.69 (será utilizado um coeficiente

auxiliar para o cálculo das derivadas):

, , ,

(1 ) 2( )

2 1

D v vM u u u

v

(5.69)

70

Será necessário encontrar todas as derivadas da equação 5.69, a derivada do

deslocamento ,u

que compõe o momento é dado por:

, ,

,

, 1 ,

, , ,

1 , , ,

18 ( ) (1 )(2 ln 1) 8 ( ) 2(1 )

8 (1 )

1 28 ( ( ) ( )) (1 )

8 (1 )

( )8 ( ( ) 2 ( )) (8 ( ) 2(1 ))

(8 ( ) 2(1 ))

u B z z A z r rD

ru zK z A z r

D r z

r r rzK z A z r r A z r

r r

A z

, ,

,

,

, 1 ,

, ,

1 , , ,

81 2( ( ) ( )) (1 )

8 (1 )

(8 ( ) 2(1 )) (8 ( ) 2(1 ))

8 2(8 ( ) 2(1 ))( ( ) 2 ( ))

r rr

r

ru zK z A z r

D r r

r A z r A z

r r

A zzK z A z r r r

r r

(5.70)

O deslocamento ,u

que compõe o momento é dado por:

,

, 1 ,

, ,

1 , , ,

81 2( ( ) ( )) (1 )

8 (1 )

(8 ( ) 2(1 )) (8 ( ) 2(1 ))

8 2(8 ( ) 2(1 ))( ( ) 2 ( ))

ru zK z A z r

D r r

r A z r A z

r r

A zzK z A z r r r

r r

(5.71)

O deslocamento ,u

é dado por:

71

,

, 1 ,

, ,

1 , , ,

, , 1

81 2( ( ) ( )) (1 )

8 (1 )

(8 ( ) 2(1 )) (8 ( ) 2(1 ))

8 2(8 ( ) 2(1 ))( ( ) 2 ( ))

12 4 ( ) 8 ( ))

8 (1 )

ru zK z A z r

D r r

r A z r A z

r r

A zzK z A z r r r

r r

u r zK z A zrD

, , , 1

, , 1

, 1

,

,

2(1 )

2 (8 ( ) 2(1 )) 2 (8 ( ) 2(1 )) 8 ( ) 2 ( ))

12 4 ( ) 8 ( )) 2(1 )

8 (1 )

8 ( ) 2 ( ))

2

r A z r A z r zK z A z

u r zK z A zrD

r zK z A z

ru

rD

(5.72)

Substituindo-se na equação 5.69:

, , ,

(1 ) 2( )

2 1

D v vM u u u

v

, 1

, 1 ,

,

1 , , ,

, 1

(1 ) 12 4 ( ) 8 ( ) 2(1 )

2 8 (1 )

2 4 ( ) 8 ( ) 2(1 ) 2 8 ( ) 2(1 )

22 8( ( ) 2 ( )) 2 8 ( ) 2(1 )

1 2

14 ( ) 8 ( ) 2(1 )

8

D vM r zK z A z

rD

r zK z A z r A z

rvzK z A z A z r r r

v rD

M r zK z A zr

, 1 ,

1 , , , ,

4 ( ) 8 ( ) 2(1 ) 8 ( ) 2(1 )

8( ( ) 2 ( )) 2 8 ( ) 2(1 ) 4

r zK z A z r A z

zK z A z A z r r r r v

(5.73)

A solução fundamental T é dada por:

T M n (5.74)

72

Substituindo-se o momento temos:

, 1

, 1 ,

1 , , , ,

, 1

, 1 ,

14 ( ) 8 ( ) 2(1 )

8

4 ( ) 8 ( ) 2(1 ) 8 ( ) 2(1 )

8( ( ) 2 ( )) 2 8 ( ) 2(1 ) 4

14 ( ) 8 ( ) 2(1 )

8

4 ( ) 8 ( ) 2(1 ) 8n

T n r zK z A zr

r zK z A z r A z

zK z A z A z r r r r v

T n r zK z A zr

r zK z A z n r A

1 , , , ,

( ) 2(1 )

8( ( ) 2 ( )) 2 8 ( ) 2(1 ) 4n

z

zK z A z A z r r r n r v

(5.75)

Portanto, solução fundamental T é dada por:

1 , ,

, 1

14 ( ) 2 ( ) 1

4

4 ( ) 1 2(8 ( ) 2 ( ) 1 ) , , ,

n

n

T A z zK z r r nr

A z r n A z zK z r r r

(5.76)

Bastando-se apenas substituir por temos:

1 , ,

, 1

14 ( ) 2 ( ) 1

4

4 ( ) 1 2(8 ( ) 2 ( ) 1 ) , , ,

n

n

T A z zK z r r nr


(5.77)

Deduzidas as expressões, pode-se listar as soluções fundamentais das forças

de superfície, conforme WEEËN (1982):

1 , ,

, 1

14 ( ) 2 ( ) 1

4

4 ( ) 1 2(8 ( ) 2 ( ) 1 ) , , ,

n

n

T A z zK z r r nr


(5.78)

2

3 ( ) ( ) , ,2

nT B z n A z r r

(5.79)

73

3

(1 ) (1 )2 ln 1 2 , ,

8 (1 )nT z n r r

(5.80)

33

1,

2nT r

r

(5.81)

5.5 A APLICAÇÃO NUMÉRICA DO MEC PARA PLACAS DE REISSNER

Após a determinação da equação integral de contorno e das soluções

fundamentais necessárias, o problema deve ser discretizado em diversos elementos

de contorno, fazendo-se com que a equação integral de contorno se torne um

somatório de todos os elementos, sendo que no presente trabalo são utilizados

elementos quadráticos. A figura 5.2 apresenta uma discretização de uma placa com

elementos de contorno:

Figura 5.2 – Discretização de um problema de placa

As integrais vistas na equação integral de contorno serão agora calculadas ao

longo de cada elemento. Para utilizar os elementos quadráticos será feita uma

mudança de variáveis entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas

intrínsecas, a fim de facilitar a integração de cada um ao longo do contorno. As

integrais das soluções fundamentais serão avaliadas no intervalo de -1 até 1, sendo

este o intervalo da coordenada intrínseca. Portanto, serão descritas funções de

forma para realizar a mudança de variáveis e também deve ser calculado o

jacobiano da transformação. A figura 5.3 ilustra a mudança de coordenadas

aplicada:

74

Figura 5.3 – Mudança de coordenadas para o elemento isoparamétrico

O desenvolvimento da equação (5.34) em soma de integrais estendidas aos

elementos de contorno é dada por:

1*

1 21

1

1*

1 21

1

1

* *

, 1 2 1 221 1

( ') ( '( , ), ( )) ( ) ( )

( '( , ), ( )) ( ) ( )

( '( , ), ( )) ( '( , ), ( )) ( ) ( )(1 )

Ne

ij j j ij j

n

Ne

j ij j

n

Ne

i i

n

C u x u T x x x x N J d

t U x x x x N J d

q V x x x x U x x x x n J d

(5.82)

Utilizando-se como exemplo o problema da figura 5.2, a discretização é feita

utilizando-se 4 elementos de contorno quadráticos. No presente trabalho está sendo

utilizada a técnica abordada por VENTURINNI e PAIVA (1993) e PALERMO JR.

(2000), o qual consiste na utilização de nós duplos em cantos com elementos

perpendiculares uns aos outros.

Serão utilizados nós duplos nos quatro cantos no exemplo da figura 5.2.

Então, o elemento 1 possuirá os nós 1, 2 e 3; o elemento 2 os nós 4, 5 e 6; o

elemento 3 os nós 7, 8 e 9 e por fim, o elemento 4 possuirá os nós 10, 11 e 12. A

utilização dos nós duplos facilita a manipulação do sistema final de equações pois

adiciona mais 3 equações a cada nó duplo adicionado.

75

Realizada a discretização dos nós e elementos no contorno do problema, faz-

se necessário a aplicação do método da colocação do ponto fonte ao longo do

contorno, conforme os trabalhos de JASWON (1967), BREBBIA (1992) e KANE

(1994). A fim de preencher-se um sistema de equações com incógnitas a serem

resolvidas, este método posiciona o ponto fonte em cada nó do contorno, incluindo

os nós duplos.

As soluções fundamentais são então calculadas a partir da distância entre o

elemento calculado e o ponto fonte, sendo esta distância chamada de raio. O

problema de placas de Reissner possui 3 graus de liberdade, portanto, para cada

ponto fonte haverá 3 equações com as incógnitas dos elementos. O procedimento

do método da colocação do ponto fonte procede-se da seguinte maneira:

Utilizando-se como exemplo a figura 5.2, coloca-se o ponto fonte no nó 1 e,

utilizando-se a distância r entre este ponto e o primeiro elemento, integra-se as

soluções fundamentais utilizando os nós do primeiro elemento.

Depois, integra-se o as soluções fundamentais a partir da distância entre o nó

1 e o segundo elemento, fazendo-se assim sucessivamente até completar todos os

elementos em que foi discretizado o contorno.

Feito isso, obtem-se as primeiras três linhas do sistema de equações

principal, a fim de resolver as incógnitas no contorno. Colocando o ponto fonte em

todos os nós do contorno obtem-se o sistema final de equações. Cada solução

fundamental deve ser calculada a partir das funções de forma estabelecidas. Para

elementos quadráticos, são utilizadas as funções de forma da equação 5.83. Uma

plotagem das funções de forma é feita na figura 5.4:

1

2

3

1( )= ( 1)

2

( )= ( 1)(1 )

1( )= ( 1)

2

N

N

N

(5.83)

76

Figura 5.4 – Plotagem das funções de forma

Cada coordenada x e y passa então a ser uma função da coordenada

intrínseca , sendo expressa pelo somatório das funções de forma vezes as

coordenadas do eixo em questão:

3

i 1

3

i 1

x( ) = ( ) ( ))

( ) = ( ) ( ))

i i

i i

N x

y N y

(5.84)

Por ser um problema bidimensional são utilizadas apenas as coordenadas x e

y, obtendo então as respectivas funções :

1 1x( ) = ( 1) 1 ( 1)(1 ) 2 ( 1) 3

2 2

1 1y( ) = ( 1) 1 ( 1)(1 ) 2 ( 1) 3

2 2

x x x

y y y

(5.85)

Onde x1 é a coordenada em x do ponto 1 do elemento, x2 é a coordenada em

x do ponto 2 e x3 é a coordenada em x do ponto 3. De maneira similar y1 é a

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Val

ore

s d

as f

un

çõe

s d

e f

orm

a

N1

N2

N3

77

coordenada em y do ponto 1 do elemento, y2 é a coordenada em y do ponto 2 e y3

é a coordenada em y do ponto 3. Definidas as funções de x( ) e y( ) é necessário

calcular cada parcela da solução fundamental, as quais são definidas pela distância

entre o ponto fonte e o ponto analisado, primeiro em sua componente em x:

dx( ) = ( )x xf (5.86)

Onde xf é a coordenada em x do ponto fonte. A componente em y da

distância entre o ponto fonte e o ponto analisado é dada por:

dy( ) = ( )y yf (5.87)

Onde yf é a coordenada em y do ponto fonte. A distância final do ponto fonte

ao ponto analisado é definida por:

2 2r( ) = dx( ) dy( ) (5.88)

O qual denomina-se raio, valor que determina a distância entre o ponto fonte

e o ponto analisado. Expandindo-se é possível obter:

2 21 1 1 1

r( ) = ( 1) 1 ( 1)(1 ) 2 ( 1) 3 ( 1) 1 ( 1)(1 ) 2 ( 1) 32 2 2 2

x x x xf y y y yf

(5.89)

Encontrado o raio é necessário encontrar suas derivadas, a derivada com

relação a x é dada por:

,1

dx( )r ( ) =

r( )

(5.90)

Expandindo a equação 5.90 é possível obter:

,12 2

1 1 ( 1) 1 ( 1)(1 ) 2 ( 1) 3

2 2r ( )

1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1)(1 ) 2 ( 1) 3 ( 1) 1 ( 1)(1 ) 2 ( 1) 3

2 2 2 2

x x x xf

x x x xf y y y yf

(5.91)

78

Analogamente a derivada com relação a y fica da seguinte maneira:

,2

dy( )r ( ) =

r( )

(5.92)

Expandindo a equação 5.92 é possível obter:

,22 2

1 1 ( 1) 1 ( 1)(1 ) 2 ( 1) 3

2 2r ( )

1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1)(1 ) 2 ( 1) 3 ( 1) 1 ( 1)(1 ) 2 ( 1) 3

2 2 2 2

y y y yf

x x x xf y y y yf

(5.93)

O jacobiano da transformação de coordenadas é definido por :

2 2

, ,( ) = ( ) ( )J dx dy (5.94)

Substituindo-se os valores de das derivadas de 5.86 e 5.87:

2 21 1 1 1

( ) = ( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 3 ( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 32 2 2 2

J x x x y y y

(5.95)

Também é necessário calcular as componentes do vetor normal ao contorno,

sendo então a componente em x:

, ,

1( ) ( )

( )ndx nx dy

J

(5.96)

, 2 2

1 1( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 3

2 2( )1 1 1 1

( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 3 ( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 3 2 2 2 2

n

y y ydx nx

x x x y y y

(5.97)

A componente do vetor normal ao contorno com relação a y fica:

, ,

1( ) ( )

( )ndy ny dx

J

(5.98)

79

, 2 2

1 1( 1) ( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 3

2 2( )

1 1 1 1( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 3 ( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 3

2 2 2 2

n

x x x

dy ny

x x x y y y

(5.99)

Também é necessário calcular a derivada normal com relação ao raio, sendo

obtida da seguinte maneira:

, ,1 ,2( ) ( ) ( )nr r nx r ny (5.100)

Cada contribuição da matriz será então multiplicada pela sua variável

correspondente de deslocamento u, no caso da matriz H e pela variável

correspondente de força de superfície t quando o caso for a matriz G. Em 5.101 está

um exemplo dos termos posicionados no sistema de equações:

11 1 12 2 13 3 14 4 15 5 16 6 17 4 18 5 19 6 11 1

21 1 22 2 23 3 24 4 25 5 26 6 27 4 28 5 29 6 21 1

31 1 32 2 33 3 34 4 35 5 36 6 37 4 38 5 39 6 21 1

... ...

... ...

... ...

H u H u H u H u H u H u H u H u H u U t



(5.101)

Nota-se que se tem 3 linhas para cada elemento e 9 valores de soluções

fundamentais para cada nó. Analisando o sistema de equações 5.101, no primeiro

membro da equação é possível observar que os 3 primeiros valores são devido à

contribuição do primeiro nó do elemento (as integrais da solução fundamental foram

multiplicadas por N1), os três valores do meio são devido aos valores do segundo nó

(as integrais da solução fundamental foram multiplicadas por N2), e os valores da

direita são devido à contribuição do terceiro nó do elemento (as integrais da solução

fundamental foram multiplicadas por N3). O mesmo se repete para o membro direito

da equação, porém com as soluções fundamentais de deslocamento.

80

1 1 1

11 11 12 12 13 131 1 1

1 1 1

21 21 22 22 23 231 1 1

1 1

31 31 32 321 1

( ) 1( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) 1( ) ( )

( ) 1( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) 1( ) ( )

( ) 1( ) ( ) ( ) 1( ) ( )

H T N J d H T N J d H T N J d


H T N J d H T N J d

1

33 331

1 1 1

14 11 15 12 16 131 1 1

1 1 1

24 21 25 22 26 231 1 1

1

34 311

( ) 1( ) ( )

( ) 2( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) 2( ) ( )

( ) 2( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) 2( ) ( )

( ) 2( ) ( )

H T N J d



H T N J d

1 1

35 32 36 331 1

1 1 1

17 11 18 12 19 131 1 1

1 1 1

27 21 28 22 29 231 1 1

( ) 2( ) ( ) ( ) 2( ) ( )

( ) 3( ) ( ) ( ) 3( ) ( ) ( ) 3( ) ( )

( ) 3( ) ( ) ( ) 3( ) ( ) ( ) 3( ) ( )

H T N J d H T N J d



1 1 1

37 31 38 32 39 331 1 1

( ) 3( ) ( ) ( ) 3( ) ( ) ( ) 3( ) ( )H T N J d H T N J d H T N J d

(5.102)

As equações mostradas em 5.102 demonstram apenas a contribuição de um

elemento quadrático de placa, com 9 soluções fundamentais por nó. Deve-se então

realizar o mesmo procedimento ao longo do contorno, é necessário calcular todos os

elementos com relação ao nó do ponto fonte. Como se utiliza no presente trabalho

elementos contínuos, deve-se somar a contribuição dos elementos que

compartilham o mesmo nó. A contribuição de nós adjacentes é feita nos três últimos

termos da matriz, pois estes elementos estão compartilhando as 9 soluções para o

terceiro nó do primeiro elemento e para o primeiro nó do elemento seguinte. Deve-se

portanto somar a contribuição do ultimo nó do primeiro elemento com a contribuição

do primeiro nó do segundo elemento, quando estes compartilham um nó. A exemplo,

em 5.103 encontra-se o sistema quando calcula-se dois elementos que

compartilham um nó.

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

7

1 1 1 1 1 1

111 121 131 112 122 132

1 1 1 1 1 1

211 221 231 212 222 232

1 1 1 1 1 1

311 321 331 312 322 332

1 2

113 111( )

e e e e e eu u u u u u



e eu

T T T T T T

T T T T T T

T T T T T T

T T

8 9

7 8 9

7 8 9

10 11 12

1 2 1 2

123 121 133 131

1 2 1 2 1 2

213 211 223 221 233 231

1 2 1 2 1 2

313 311 323 321 333 331

2 2 2

112 122 132 11

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

e e e eu u

e e e e e eu u u

e e e e e eu u u

e e eu u u

T T T T

T T T T T T

T T T T T T

T T T T

10 11 12 1

10 11 12 10 11 12 1

10 11 12 10 11 12

2 2 2 1

3 123 133 111

2 2 2 2 2 2 1

212 222 232 213 223 233 211

2 2 2 2 2 2

312 322 332 313 323 333

... ...

... ...

..

e e e eu u u t

e e e e e e eu u u u u u t


T T U

T T T T T T U

T T T T T T

1

1

311. ...etU

(5.103)

81

Lembrando-se que o sistema 5.103 possui apenas 3 linhas, deve-se observar

que as contribuições do ultimo nó do primeiro elemento somaram-se com as

contribuições do primeiro nó do segundo. Deve-se realizar este procedimento

sempre que elementos compartilharem um nó. Para cada ponto fonte têm-se três

linhas do sistema de equações final a ser resolvido. Nas equações das soluções

fundamentais o nó do ponto fonte não irá mudar, quem irá variar são os nós de cada

elemento, deve-se percorrer todos os elementos para cada ponto fonte. Para cada

elemento calculado teremos uma parte da equação do ponto fonte analisado. Ou

seja, para calcular H11 deve-se utilizar o ponto fonte do nó 1 e as coordenadas de

pontos do elemento 1, integrar a solução fundamental T11 multiplicando a integral

pela primeira função de forma e o jacobiano. Para calcular H12 deve-se utilizar o

ponto fonte do nó 1 e as coordenadas de pontos do elemento 1, integrar a solução

fundamental T12 multiplicando a integral pela primeira função de forma e o jacobiano.

O mesmo vale para H13, H21, H22, H23, H31, H32 e H33. Como está se utilizando

elementos quadráticos é necessário calcular da mesma maneira utilizando-se a

segunda função de forma(contribuições devido ao segundo nó do elemento) e

também utilizando-se a terceira função de forma(contribuições devido ao terceiro nó

do elemento). Ou seja, para calcular H14 deve-se utilizar o ponto fonte do nó 1 e as

coordenadas de pontos do elemento 1,integrar a solução fundamental T11

multiplicando a integral pela segunda função de forma e o jacobiano. Para calcular

H17 deve-se utilizar o ponto fonte do nó 1 e as coordenadas de pontos do elemento

1, integrar a solução fundamental T11 multiplicando a integral pela terceira função de

forma e o jacobiano.

Devido à utilização de nós duplos, quando o ponto fonte estiver no primeiro

nó do elemento e for duplo, a posição do ponto fonte deve ser modificada para -2/3

na coordenada intrínseca. Quando o ponto fonte estiver no último nó do elemento e

for duplo, a posição do ponto fonte deve ser modificada para 2/3 na coordenada

intrínseca. Quando os nós extremos do elemento não forem duplos, utilizar -1 para o

nó inicial e +1 para o nó final, considerando a coordenada intrínseca. Integradas as

27 integrais de soluções fundamentais para o primeiro elemento, passa-se a integrar

o segundo elemento, deixando o ponto fonte ainda no nó 1 e integrando-se

novamente todas as soluções fundamentais para o segundo elemento. Lembrando

que as contribuições deste segundo elemento para a primeira função de forma

somam-se com as contribuições da terceira função de forma do elemento anterior,

82

pois os dois elementos compartilham um mesmo nó. Depois de integrados todos os

elementos, obtem-se as primeiras três linhas do sistema de equações. Deve-se

então colocar o ponto fonte no nó 2 e prosseguir o cálculo de todos os elementos

novamente, agora utilizando as coordenadas do nó 2 como ponto fonte,

encontrando-se as próximas três linhas do sistema de equações, ou seja, as linhas

4, 5 e 6 do sistema. E assim sucessivamente até percorrerem-se todos os pontos

fonte do problema incluindo-se os de nó duplo, cada nó duplo irá gerar 3 equações

para o sistema final. As equações do nó duplo ficam logo após o cálculo do nó de

canto. O sistema final encontrado denomina-se a matriz H. A matriz do método de

elementos de contorno é cheia e exige uma quantidade de processamento maior

que outros métodos numéricos, como o dos elementos finitos. Da mesma maneira

em que foram calculadas as soluções fundamentais de forças de superfície, deve-se

proceder para as soluções fundamentais de deslocamentos. A matriz que contém as

soluções fundamentais de deslocamentos é chamada de matriz G. Depois de

calculadas as matrizes H e G, é necessário adicionar a contribuição do coeficiente C

da equação integral de contorno nas diagonais da matriz H. Este coeficiente

depende do posicionamento do ponto fonte com relação ao problema calculado. O

valor da contribuição do coeficiente C é adicionado de acordo com a equação 5.35.

Lembrando-se que as diagonais são as parcelas da matriz H com coeficiente i

= j, por exemplo H11, H22, H33 e assim sucessivamente sempre de acordo com o

posicionamento do ponto fonte. Se, por exemplo, a contribuição for em H11, H11 = T11

+ C. A matriz H assume a seguinte forma, considerando-se a soma das

contribuições de elementos que dividem o mesmo nó:

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2

111 121 131 112 122 132 113 111 123 121 133 131 112 122 132

1 1 1 1 1 1 1 2

211 221 231 212 222 232 213 211 223

e e e e e e e e e e e e e e e

e e e e e e e e e

T T T T T T (T T ) (T T ) (T T ) T T T ...

T T T T T T (T T ) (T

1 2 1 2 2 2 2

221 233 231 212 222 232

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2

311 321 331 312 322 332 313 311 323 321 333 331 312 322 332

1 1

111 121

e e e e e e


e e

T ) (T T ) T T T ...


T T

1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2

131 112 122 132 113 111 123 121 133 131 112 122 132

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2

211 221 231 212 222 232 213 211 223 221 23

e e e e e e e e e e e e e

e e e e e e e e e e

T T T T (T T ) (T T ) (T T ) T T T ...

T T T T T T (T T ) (T T ) (T

1 2 2 2 2

3 231 212 222 232

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2

311 321 331 312 322 332 313 311 323 321 333 331 312 322 332

1 1 1 1

111 121 131 112

e e e e e


e e e e

T ) T T T ...


T T T T

1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2

122 132 113 111 123 121 133 131 112 122 132

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2

211 221 231 212 222 232 213 211 223 221 233 231 2

e e e e e e e e e e e

e e e e e e e e e e e e

T T (T T ) (T T ) (T T ) T T T ...

T T T T T T (T T ) (T T ) (T T ) T

2 2 2

12 222 232

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2

311 321 331 312 322 332 313 311 323 321 333 331 312 322 332

1 1 1 1 1 1

111 121 131 112 122 132

e e e


e e e e e e

T T ...


T T T T T T

1 2 1 2 1 2 2 2 2

113 111 123 121 133 131 112 122 132

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2

211 221 231 212 222 232 213 211 223 221 233 231 212 222 2

e e e e e e e e e

e e e e e e e e e e e e e e

(T T ) (T T ) (T T ) T T T ...

T T T T T T (T T ) (T T ) (T T ) T T T

1

2

3

4

5

6

7

2

32

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2

311 321 331 312 322 332 313 311 323 321 333 331 312 322 332

...

e


u

u

u

u

u

u

u

...


8

9

10

11

12

13

.

...

u

u

u

u

u

u

(5.104)

83

Deve-se observar que para cada ponto fonte existem 3 linhas do sistema

total, portanto as três primeiras linhas indicam as contribuições do primeiro ponto

fonte, as seis primeiras colunas indicam a contribuição do primeiro e do segundo nó

do primeiro elemento a ser integrado. As próximas colunas indicam as contribuições

somadas do terceiro nó do primeiro elemento e do primeiro nó do segundo elemento

e assim sucessivamente até serem integrados todos os elementos com relação ao

primeiro ponto fonte.

As linhas 4, 5 e 6 pertencem à contribuição devido ao ponto fonte situado no

nó 2, e seus respectivos elementos integrados. O sistema então continua assim até

que o ponto fonte seja posicionado em todos os nós do contorno. No caso de um

problema de 4 elementos de contorno, temos 8 nós de contorno mais 4 nós duplos

de canto, totalizando 12 nós no contorno, o sistema total então terá 36 linhas.

A matriz G assume a seguinte forma, considerando-se a soma das

contribuições de elementos que dividem o mesmo nó:

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2

111 121 131 112 122 132 113 111 123 121 133 131 112 122 132

1 1 1 1 1 1 1 2

211 221 231 212 222 232 213 211 223


e e e e e e e e e

U U U U U U (U U ) (U U ) (U U ) U U U ...

U U U U U U (U U ) (U

1 2 1 2 2 2 2

221 233 231 212 222 232

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2

311 321 331 312 322 332 313 311 323 321 333 331 312 322 332

1 1

111 121

e e e e e e


e e

U ) (U U ) U U U ...


U U

1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2

131 112 122 132 113 111 123 121 133 131 112 122 132

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2

211 221 231 212 222 232 213 211 223 221 23


e e e e e e e e e e

U U U U (U U ) (U U ) (U U ) U U U ...

U U U U U U (U U ) (U U ) (U

1 2 2 2 2

3 231 212 222 232

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2

311 321 331 312 322 332 313 311 323 321 333 331 312 322 332

1 1 1 1

111 121 131 112

e e e e e


e e e e

U ) U U U ...


U U U U

1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2

122 132 113 111 123 121 133 131 112 122 132

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2

211 221 231 212 222 232 213 211 223 221 233 231 2

e e e e e e e e e e e


U U (U U ) (U U ) (U U ) U U U ...

U U U U U U (U U ) (U U ) (U U ) U

2 2 2

12 222 232

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2

311 321 331 312 322 332 313 311 323 321 333 331 312 322 332

1 1 1 1 1 1

111 121 131 112 122 132

e e e


e e e e e e

U U ...


U U U U U U

1 2 1 2 1 2 2 2 2

113 111 123 121 133 131 112 122 132

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2

211 221 231 212 222 232 213 211 223 221 233 231 212 222 2

e e e e e e e e e


(U U ) (U U ) (U U ) U U U ...

U U U U U U (U U ) (U U ) (U U ) U U U

1

2

3

4

5

6

7

2

32

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2

311 321 331 312 322 332 313 311 323 321 333 331 312 322 332

...

e


t

t

t

t

t

t

t

...


8

9

10

11

12

13

...

t

t

t

t

t

t

(5.105)

O processo de integração das soluções fundamentais no método dos

elementos de contorno é complexo se comparado com outros métodos numéricos.

Como as integrais são avaliadas conforme a distância do elemento ao ponto fonte,

estas integrais começam a ter singularidades quando o elemento está muito próximo

do ponto fonte. Portanto, deve-se estar atento ao método de integração utilizado

para cada caso. Em elementos de ordem menor como elementos lineares, existe a

possibilidade da utilização da integração analítica nas soluções fundamentais.

Porém, para elementos quadráticos, estas expressões tornam-se

demasiadamente grandes e/ou de difícil acesso. Por este motivo, no presente

84

trabalho é utilizada a integração numérica das integrais das soluções fundamentais.

Observa-se as duas situações onde se deve utilizar diferentes tipos de integração, a

figura 5.5 mostra a integração quando o ponto fonte está fora do elemento a ser

integrado:

Figura 5.5 – Integração com ponto fonte fora do elemento (placa)

Quando o ponto fonte está localizado fora do elemento em que está sendo

realizada a integração, o raio torna-se maior que zero, portanto, as soluções

fundamentais passam a ser funções regulares dentro do intervalo de -1 até 1. Pode-

se então utilizar-se a quadratura de Gauss-legendre para realizar a integração sem

muita dificuldade. A figura 5.6 mostra a integração quando o ponto fonte está fora do

elemento a ser integrado:

Figura 5.6 – Integração com ponto fonte dentro do elemento (placa)

85

Quando o ponto fonte está localizado dentro do elemento que está sendo

integrado, as soluções passam a ter comportamento singular no intervalo de

integração, pois o raio está tendendo a 0. Estas integrais singulares necessitam de

um tratamento especial para serem calculadas corretamente. No caso das soluções

fundamentais de deslocamento a integração é do tipo ln(r), as chamadas de

fracamente singulares, estas são resolvidas aplicando-se a transformação de Telles,

de acordo com o trabalho de KARAM (1986). As soluções fundamentais de força de

superfície têm singularidade do tipo 1/r, estas integrais são do tipo Cauchy, sendo

resolvidas aplicando-se o método da subtração de singularidade desenvolvido por

ALIABADI (2002). O método da subtração de singularidade é chamado de semi-

analitico, pois uma parte será integrada utilizando-se a quadratura de Gauss-

legendre e a outra será feita uma integral analítica no sentido do valor principal de

Cauchy. Os métodos de integração singulares são desenvolvidos no capítulo 8.

A figura 5.7 demonstra graficamente a matriz de coeficientes ijH :

Figura 5.7 – Ilustração da matriz de coeficientes para problemas de placas

Deve-se observar que como o problema de placas de Reissner tem três graus

de liberdade, cada ponto fonte irá gerar três linhas do sistema final.

Outro fator importante é observar o compartilhamento dos nós entre os

elementos, onde as contribuições devem ser somadas para se obter o valor do nó,

um exemplo é o caso de H17, H18, H19, H27, H28, H29, H37, H38, H39, os quais precisam

86

da contribuição do terceiro nó do elemento 1 e a contribuição do primeiro nó do

elemento 2. Deve-se encontrar uma matriz da mesma forma para os coeficientes da

matriz G. O sistema de matrizes fica da seguinte maneira: ( a matriz F será abordada

mais adiante ).

H U G T F (5.106)

Após a montagem das matrizes H e G observa-se necessária a aplicação das

condições de contorno do problema. Cada nó terá três condições de contorno,

sendo a rotação com relação ao eixo x, rotação com relação ao eixo y e o

deslocamento em z. Para exemplificar a aplicação das condições de contorno nas

matrizes, pode-se observar a figura 5.8:

Figura 5.8 – Placa engastada em um dos lados

Levando-se em consideração que o nó inicial seja posicionado no canto

esquerdo superior, como o lado esquerdo está engastado, os nós iniciais terão

deslocamento e rotações prescritos, com valor nulo.

De maneira numérica isto significa que deve-se trocar as colunas nulas da

matriz H com as colunas de G, pois estas terão as incógnitas das reações de apoio

do engaste. O sistema de equações assume a forma da figura 5.9:

87

Figura 5.9 – Sistema de equações

Se for adotado apenas um elemento de contorno no lado esquerdo da placa,

as condições de contorno se aplicariam até o final deste elemento, ou seja, u1, u2,

u3, u4, u5, u6, u7, u8 e u9 serão nulos. Todos os coeficientes da matriz H que são

multiplicados por estes deslocamentos nulos, serão substituídos pelos coeficientes

de mesma posição da matriz G. Se o problema tiver uma condição de contorno com

solicitação de uma força ou momento, os coeficientes da matriz G que sejam

relacionados serão multiplicados pelo valor da solicitação conhecida, no caso

momento em x, momento em y e força em z. Aplicadas as condições de contorno, o

sistema assume a forma da figura 5.10:

88

Figura 5.10 – Sistema de equações com aplicação das condições de contorno

Observa-se necessário realizar o somatório dos coeficientes das linhas de G

já multiplicados pelos valores conhecidos das forças de solicitação, a fim de obter-se

um sistema de equações linear do tipo:

Ax B (5.107)

O sistema fica da maneira ilustrada pela figura 5.11:

89

Figura 5.11 – Sistema de equações linear

Deve-se somar na matriz B a contribuição da carga distribuída prevista na

equação integral. Para cada elemento, a contribuição no primeiro nó é dada por:

21

1 11

1

,1 ,1 121

1

,1 ,2 221

( )(ln( ( )) 1) ( ) ( )

8

18 ( ) (1 )(2ln 1) 8 ( ) 2(1 ) ( ) ( )

(1 ) 8 (1 )

18 ( ) 2(1 ) ( ) ( )

(1 ) 8 (1 )

rF q r n J d

D

vq B z z A z r r n J d

v D

vq A z r r n J d

v D

(5.108)

A contribuição do segundo termo é dada por:

21

2 21

1

,2 ,1 121

1

,2 ,2 221

( )(ln( ( )) 1) ( ) ( )

8

18 ( ) (1 )(2ln 1) 8 ( ) 2(1 ) ( ) ( )

(1 ) 8 (1 )

18 ( ) 2(1 ) ( ) ( )

(1 ) 8 (1 )

rF q r n J d

D

vq B z z A z r r n J d

v D

vq A z r r n J d

v D

(5.109)

A contribuição do terceiro termo é dada por:

31

3 ,21

1

,1 121

1

,2 221

( ) 5 ( ) 1(ln( ( )) ) (ln( ( )) ) ( ) ( )

32 4 2 (1 ) 2

1(2ln 1) ( ) ( )

(1 ) 8

1(2ln 1) ( ) ( )

(1 ) 8

n

r rF q r r r J d

D D v

vq z rr n J d

v D

vq z rr n J d

v D

(5.110)

90

Cada elemento contribuirá com três termos no vetor de cargas, a exemplo, o

elemento 1 contribuirá com F1, F2 e F3, já o elemento 2 contribuirá com F4, F5, F6 e

assim por diante. Ao se completar a integração de todos os elementos para apenas

um ponto fonte o vetor é dado da seguinte maneira:

1

2

3

4

...

F

F

F F

F

(5.111)

Quando a integração passar para o próximo ponto fonte deve-se realizar o

somatório das contribuições dos elementos integrados no primeiro ponto fonte com

este novo ponto fonte. Passando-se por todos os pontos fonte o vetor de cargas é

dado por:

1

1

2

1

3

1

...

n

i

n

i

n

i

F

FF

F

(5.112)

Deve-se então, somar as contribuições da carga distribuída com o vetor de

variáveis conhecidas, obtendo-se um sistema ilustrado pela figura 5.12:

Figura 5.12 – Sistema de equações linear com integral da carga

91

Realizada a soma encontra-se um sistema linear que pode ser resolvido

utilizando-se o método da decomposição LU. As incógnitas obtidas resolvendo este

sistema são os esforços e deslocamentos desconhecidos no contorno.

As soluções fundamentais para pontos internos são dadas por:

* *

*

2

( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

( , ) ( )(1 )

k k k kM X U X x p x d x P X x u x d x

q W X x d x q

(5.113)

* *

3 3

*

3

( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

( , ) ( )

k k k kQ X U X x p x d x P X x u x d x

q W X x d x

(5.114)

Onde * *,ijk ijkU P e *

iW são dados por ALIABADI (2002):

*

1

1

14 ( ) 2 ( ) 1 , ,

4

2 8 ( ) 2 ( ) 1 , , , 4 ( ) 1 ,

U A z zK z r rr

A z zK z r r r A z r

(5.115)

*

3

(1 ) 12 ln 1 2 , ,

8 1U z r r

(5.116)

2*

3 ( ) ( ) , ,2

U B z A z r r

(5.117)

*

3 3

1,

2U r

r

(5.118)

92

*

2

2

1 0

1

2

1 0

(1 )4 ( ) 2 ( ) 1

4

4 ( ) 1 3 16 ( ) 6 ( ) ( ) 2 2

, , , , , ,

2 8 ( ) 2 ( ) 1 , , , ,

4(24 ( ) 8 ( ) ( ) 2 2 ) , ,

n

n

DP A z zK z n n

r

A z n A z zK z z K z

n r n r r r r r

A z zK z r r n r r

A z zK z z K z r r r

, ,nr

(5.119)

2*

3 1

1

(1 )2 ( ) ( ) , ,

4

2 4 ( ) ( ) , , , 2 ( ) ,n n

DP A z zK z r n r n

r

A z zK z r r r A z r

(5.120)

2*

3 1

1

(1 )2 ( ) ( ) , ,

4

2 ( ) , 2 4 ( ) ( ) , , ,

n

n

DP A z zK z r r n

r

A z n r A z zK z r r r

(5.121)

2* 2 2

3 3 2

(1 )( ) 1 ( ) 2 , ,

4n

DP z B z n z A z r r

r

(5.122)

*

*

2

(4ln 3) (1 )( , , ) (1 3 ) ,64

4 (1 ) , , ,(1 )

n

n

rW z r n r n r

r r r U n

(5.123)

* *

3 32

12ln 1 2 , ,

8 (1 )nW z n r r U n

(5.124)

93

6 O EFEITO DA NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA

6.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo são deduzidas as equações de equilíbrio utilizadas no

problema de instabilidade de placas. Após esta dedução, é mostrado como é feita a

aplicação deste problema com o método dos elementos de contorno, deduzindo a

equação integral de contorno. Também é mostrado neste capítulo como é feita a

aplicação numérica do problema, demonstrando quais são as soluções

fundamentais utilizadas e como são montadas as matrizes finais. O processo

numérico para a solução de autovalor para obtenção da carga crítica e o parâmetro

crítico de flambagem também é efetuado neste capítulo.

A análise de instabilidade de placas é importante em diversos aspectos da

engenharia, podendo-se citar a análise de estruturas delgadas e elementos

estruturais utilizados na engenharia aeroespacial, segundo PURBOLAKSONO

(2003). A capacidade de análise deste comportamento pode gerar menores custos

com estruturas mais seguras, devido à uma mais precisa análise do modelo

estrutural. Estes elementos estruturais são solicitados por esforços no plano da

placa, como na figura a 6.1:

Figura 6.1 – Placa com solicitação no plano

94

6.2 AS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA O PROBLEMA DE INSTABILIDADE

Em um problema de instabilidade as cargas no plano da placa podem causar

deslocamentos, assim como demonstrado na figura 6.2:

Figura 6.2 – Placa deformada devido à solicitação no plano

Observando-se um elemento de placa sendo solicitado por tensões no plano

e de cisalhamento na superfície do plano, a figura 6.3 mostra o sistema de forças:

Figura 6.3 – Elemento diferencial com solicitação no plano

95

Realizando-se um corte no eixo x, é possível decompor as forças de tração

para encontrar suas componentes em z, levando em consideração sua dependência

do deslocamento em z. A figura 6.4 mostra o corte e as forças expostas:

Figura 6.4 – Elemento diferencial deformado

Encontrando-se as componentes em z das forças e fazendo-se um somatório

em z, encontra-se a seguinte equação que indica o somatório das componentes por

unidade de área:

2

2

1xx x

N w w wN dx dy dx N dy

x x x x dxdy

(6.1)

Expandindo-se:

2 22

2 2

1x xx x x

N Nw w w w wN dy N dxdy dydx dx dy N dy

x x x x x x x dxdy

(6.2)

Desprezando-se os termos diferenciais elevados ao quadrado por serem

muito pequenos, encontra-se a força em z por unidade de área com relação a x:

2

2

xzx x

Nw wF N

x x x

(6.3)

Análogamente encontra-se a força em z por unidade de área com relação a y:

96

2

2

y

zy y

Nw wF N

y y y

(6.4)

Observando-se as forças de cisalhamento no plano, é possível verificar suas

componentes em z. A figura 6.5 demonstra as forças de cisalhamento:

Figura 6.5 – Elemento diferencial com forças de cisalhamento no plano

Decompondo-se as forças de cisalhamento e realizando-se o somatório em z,

tem-se que o somatório de forças em z por unidade de área é:

2 21 xy yx

xy yx

xy yx

N Nw w w wN dx dx dy N dy dy dx

dxdy x y x y y x x y

w wN dy N dx

y x

(6.5)

Desprezando-se os termos diferenciais elevados ao quadrado por serem

muito pequenos, encontra-se a força em z por unidade de área:

2 2xy yx

zx xy yx

N Nw w w wF N N

x y x y x y y x

(6.6)

Realizando-se o somatório de todas as forças encontradas e considerando

também a carga no plano da placa é possível determinar uma das equações de

equilíbrio do problema:

97

, 0w

Q q Nx x

(6.7)

A segunda equação deste tipo de problema é a mesma do equilíbrio de

placas a flexão:

, 0M Q (6.8)

Portanto, o sistema de equações de equilíbrio para o problema de placas

levando em conta o efeito da não linearidade geométrica é dado por:

,

,

0

0

M Q

wQ q N

x x

(6.9)

6.3 AS EQUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO PARA O PROBLEMA DE INSTABILIDADE

Para o tratamento do problema de instabilidade por elementos de contorno, é

necessário obter-se uma equação integral de contorno. Uma abordagem mais

detalhada desta dedução pode ser vista no trabalho de PALERMO JR. e SOARES

JR. (2015), utilizando-se o cálculo variacional pode-se escrever o funcional da

energia potencial para o problema de instabilidade de placas espessas:

2 2 2 2

, , , , ,

, ,

(1 ) 2( )

2 1

1( ( )

2

D v vw d

v

qwd Pw EwM d N w xc w d

(6.10)

Considerando-se o funcional como uma função F obtém-se:

1 2 ,1 1,1 2,1 ,2 1,2 2,2, , , , , , , ,F w w w d

(6.11)

98

Pode-se minimizar a função F utilizando-se as equações de Euler:

,

,

0

0

F F

x

F F

w x w

(6.12)

Aplicando-se as seguintes condições no funcional minimizado:

, ,

3 ,

, ,

0 0

0 0

F Fn w n

w w

t P n N w

F Fn n

t EM

(6.13)

É possível obter a equação integral de contorno para placas de Reissner,

quando é levado em conta o efeito da não linearidade geométrica. Utilizando-se a

notação de WEEËN (1982):

* *

* 33

1( ') ( ', ) ( ) ( ', ) ( )

2

( ', )

ij i ij i ij j

i

C u x T x x u x d U x x t x d

uU x X q N d

X X

(6.14)

Aplicando o teorema da divergência na integral de domínio:

* 33

* *

3, 3 3, 3,

( ', )

( ) ( ) ( ) ( ', ) ( ) ( ) ( ', )

i

i i

uU x X q N d

X X

n x N x u x U x x d N x u x U x x d

(6.15)

A equação integral de contorno então fica:

99

* *

* *

3 3, 3

*

3, 3,

1( ') ( ', ) ( ) ( ', ) ( )

2

( ', ) ( ) ( ) ( ) ( ', )

( ) ( ) ( ', )

ij i ij i ij j

i i

i


U x X qd n x N x u x U x x d

N x u x U x x d

(6.16)

Observando-se que:

3, 3 3 3

3 33 3

*

33 3, 3

3,

( ') ( ) [ ( ', )] ( ) ( ) [ ( ', )] ( )

[ ( ', )] ( ) [ ( ', )] ( )

[ ( ', )] ( ) ( ) ( ) [ ( ', )]

( ) ( ) [

i

i

u X n x M X x u x d n x Q X x u x dx x

U X x t x d U X x t x dx x

U X X qd n x N x u x U X x dx x

N X u x Ux

*

3, ( ', )]X X d

(6.17)

A integração no domínio e feita utilizando-se células de domínio constantes,

conforme o trabalho de SIMÕES (1992). A integração é feita ao longo do contorno

de todas as células de domínio, portanto a integral que relaciona a influência da

carga transversal no domínio será dada por:

* *

3, 3, 3, 3

1

( ) ( ) ( ', ) ( ) ( ) ( ) ( ', )Ncel

i i

k k

N X u X U x X d n x N x u x U x x d

(6.18)

A equação integral de contorno para o problema de instabilidade de placas de

Reissner quando levado em consideração o efeito da não linearidade geométrica

passa a ser:

* *

* *

3 3, 3

*

3, 3

1

1( ') ( ', ) ( ) ( ', ) ( )

2

( ', ) ( ) ( ) ( ) ( ', )

( ) ( ) ( ) ( ', )

ij i ij i ij j

i i

Ncel

i

k k


U x X qd n x N x u x U x x d

n x N x u x U x x d

(6.19)

100

Onde 'x é um ponto fonte pertencente ao contorno, x é um ponto campo

pertencente ao contorno, 'X é um ponto fonte pertencente ao domínio e X é um

ponto campo pertencente ao domínio. Observa-se a presença de duas integrais

iguais, uma no contorno da célula e outra no contorno do domínio. A fim de otimizar

o cálculo, foi adotado que quando os deslocamentos são prescritos no contorno

(condição simplesmente apoiada, por exemplo), o efeito da não linearidade

geométrica é calculado somente nos lados das células dentro do domínio,

excluindo-se os lados presentes no contorno. Quando os deslocamentos não são

prescritos no contorno (como um lado livre, por exemplo) o efeito da não linearidade

geométrica é computado para todos os lados das células e também para o contorno

no domínio.

Os fatores críticos de instabilidade são calculados utilizando-se o quociente

de Rayleigh, método numérico abordado com detalhes em PALERMO JR. (1985):

( 1)

( 1)

( 1) ( 1)

( , )

( , )

k k

k k

k k k

Ax x

x x

x x

(6.20)

Uma ilustração da discretização (com baixo refinamento para facilitar a

visualização) utilizada para placas sem furos pode ser vista na figura 6.6:

Figura 6.6 – Discretização de um problema de instabilidade de placas

101

Deve-se observar na figura 6.6 que, o contorno foi descrito utilizando-se nós

duplos em cada canto. A contagem dos nós começa primeiramente contando os nós

de contorno e depois, os nós de domínio são contados. As células de domínio

utilizam-se quando necessário de nós de contorno e domínio.

Abaixo pode-se observar a figura 6.7 ilustrando a discretização de um

problema de placas com furo:

Figura 6.7 – Discretização de um problema instabilidade de placas com furo

As células de domínio podem ser de geometria quadrática (para problemas de

furos com geometria complexa) onde a mudança de variáveis para integração é feita

da mesma forma da equação 5.85 em diante. Para células de geometria linear (para

problemas de geometria simplificada) apenas as funções de forma são modificadas

para:

11( )= (1 )

2

12( )= (1 )

2

N

N

(6.21)

O cálculo das componentes das soluções fundamentais é feito da mesma

maneira conforme escrito no capítulo 5, somente as funções de forma são

modificadas e cada lado de célula possui apenas dois nós, no caso da célula linear.

As células de domínio podem possuir geometria linear ou quadrática, mas a

102

aplicação das forças é calculada como constante, ou seja, as tensões em x, tensões

em y e tensões de cisalhamento são aplicadas no centro de gravidade das células.

6.4 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DA EQUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO QUE LEVA EM CONTA A NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA

Deve-se resolver as soluções fundamentais da equação 6.19 ao longo do

contorno e das bordas das células de domínio, formando-se os coeficientes do

sistema de equações usado para resolver o problema de autovalor. Primeiramente

deve-se resolver as duas últimas integrais da equação 6.19:

* *

3, 3 3, 3

1

( ) ( ) ( ) ( ', ) ( ) ( ) ( ) ( ', )Ncel

i i

k k

n x N x u x U x x d n x N x u x U x x d

(6.22)

Para realizar a integração 6.22 deve-se posicionar o ponto fonte em todos os

pontos de contorno, para cada ponto, uma linha na matriz CDP será criada.

Também, para cada ponto no contorno, deve-se calcular a integração ao longo das

bordas de cada célula. A geometria das células é linear, por isso, deve-se somar as

contribuições da integração dos quatro lados das células de domínio. Como

demonstrado na equação 6.23:

1 2 3 4 1 2 3 4

13 13 13 13 1 13 13 13 13 2

1 2 3 4 1 2 3 4

23 23 23 23 1 23 23 23 23 2

1 2 3 4 1 2 3 4

33 33 33 33 1 23 23 23 23 2

L L L L L L L L

L L L L L L L L

L L L L L L L L

U U U U n U U U U n

U U U U n U U U U n

U U U U n U U U U n

(6.23)

Condensando-se os quatro lados e multiplicando pelas tensões no centro de

gravidade da célula a matriz passa a ser:

13 1 13 211 12

11 12

23 1 23 2 21 22

21 22

31 3233 1 33 2

cel

U n U n MD MDN N

MD U n U n MD MDN N

MD MDU n U n

(6.24)

103

A matriz de 6.24 representa a contribuição de uma célula quando

consideradas as integrais da equação 6.22. Passando-se o ponto fonte por todos os

pontos no contorno e calculando-se as soluções fundamentais em todas as células,

obtém-se a matriz CDP:

11 12 11 12

21 22 21 22

31 32 31 32

11 12 11 12

21 22 21 22

31 32 31 32

MD MD MD MD

MD MD MD MD

MD MD MD MD Células

MD MD MD MDCDP

MD MD MD MD

MD MD MD MD

Pontos Fonte

(6.25)

Cada ponto fonte irá criar três linhas na matriz CDP, cada célula integrada irá

criar duas colunas, as contribuições das células na matriz CDP não podem ser

sobrepostas. Quando um canto de célula coincide com um ponto fonte situado no

contorno deve-se utilizar a técnica de integração singular transformação quadrática

de Telles, podendo ser encontrada em KARAM (1986) e também no capítulo de

integração numérica do presente trabalho.

A incógnita do problema de autovalor 3, ( )u xc receberá um chute inicial com o

valor de 1, iniciando-se então um processo iterativo, este será o valor do vetor DWI

(de tamanho duas vezes o número de células):

1

1

1

...

inicialDWI

(6.26)

Multiplica-se a matriz CDP pelo vetor DWI, encontrando-se a contribuição do

vetor de carga:

TPI DWI CDP (6.27)

104

Esta matriz TPI significa a contribuição da equação integral 6.22. Voltando-se

para as integrais principais, estas são as mesmas do problema de flexão:

* *1( ') ( ', ) ( ) ( ', ) ( )

2ij i ij i ij jC u x T x x u x d U x x t x d

(6.28)

Estas devem ser calculadas da mesma maneira como foi explicado no

capítulo 5, montadas as matrizes H e G, deve-se realizar a troca entre as incógnitas

e não incógnitas do contorno, assim como demonstrado na figura 5.9. A matriz G

agora com somente os termos conhecidos deve ter suas colunas somadas

formando-se o vetor das cargas e deslocamentos conhecidos, assim como na figura

5.10. Utilizando-se este vetor, deve-se multiplica-lo pelo vetor de cargas nos nós de

contorno (as forças aplicadas de compressão ou tração na borda da placa) :

TP G FI (6.29)

A matriz H agora com somente os valores que multiplicam as incógnitas deve

ser processada realizando-se a decomposição LU, resultando-se na matriz Hd. Para

resolver o sistema de equções resultante, deve-se antes realizar a soma dos vetores

de carga TP e TPI:

TPF TPI TP (6.30)

O sistema resultante fica da seguinte maneira:

Hd x TPF (6.31)

Resolvendo-se o sistema da equação 6.31 encontra-se o vetor com os

deslocamentos no contorno já com a influência o autovalor inicial. Os valores dos

deslocamentos devem ser armazenados em uma matriz DS e os valores das forças

devem ser armazenados em uma matriz FICI.

105

Para resolver o problema de autovalor ainda é necessário cálcular as

contribuições do somatório das rotações, 3,u . A primeira parte desta integração é

dada por:

3 3 3

3 33 3

( ) [ ( ', )] ( ) ( ) [ ( ', )] ( )

[ ( ', )] ( ) [ ( ', )] ( )

n x M X x u x d n x Q X x u x dx x

U X x t x d U X x t x dx x

(6.32)

Para integrar esta parte basta calcular as mesmas soluções fundamentais das

matrizes H e G. Na montagem das matrizes a diferença é que coloca-se o ponto

fonte no centro de gravidade de uma célula e integra-se ao longo dos elementos de

contorno obtendo-se as 9 soluções fundamentais por nó. Se o ultimo nó do elemento

for um nó duplo, não se deve sobrepor as contribuições do último nó , se o último nó

do elemento for um nó simples, deve-se realizar a sobreposição das soluções

fundamentais do último nó do elemento com as soluções do primeiro nó do próximo

elemento.

Cada ponto fonte gera uma nova linha na matriz, assim como na figura 5.6.

Realizada a integração de todos os elementos, para todos os pontos fonte, formam-

se as matrizes IH e IG. Apesar da utilização das mesmas soluções fundamentais

que as matrizes H e G, as matrizes IH e IG tem sinal invertido e devem ter seus

coeficientes multiplicados por -1. Observando a equação integral 6.32, pode-se notar

que os termos estão sendo multiplicados pelos resultados de forças e

deslocamentos, portanto, deve-se multiplicar as matrizes IH e IG pelos vetores de

solução no contorno de forças e deslocamentos.

1 2IR IH DS IR IG FICI (6.33)

A última parte da derivada das rotações é dada por:

*

3, 3

*

3, 3,

( ) ( ) ( ) [ ( ', )]

( ) ( ) [ ( ', )]

i

i

n x N x u x U X x dx

N X u x U X X dx

(6.34)

106

A contribuição é feita de maneira similar à matriz MD, integra-se as soluções

fundamentais colocando-se o ponto fonte no centro de gravidade da célula e integra-

se ao longo do contorno de cada célula. A montagem da matriz é dada por:

3,1 1 3,1 211 12

11 12

3,2 1 3,2 2 21 22

21 22

31 3233 1 33 2

2 2

2 2 2

2 2

cel

U n U n MD MDN N

MD U n U n MD MDN N

MD MDU n U n

(6.35)

As soluções fundamentais para as derivadas são dadas por:

3,1 ,1 ,12

3,2 ,2 ,22

1 1 1 1ln( )

4 2 (1 )

1 1 1 1ln( )

4 2 (1 )

U z rr rD D v r

U z rr rD D v r

(6.36)

Por fim, as matrizes MD2 de cada ponto fonte e cada célula de domínio são

montadas de maneira similar à montagem de CDP em uma matriz de nome IDPD:

11 12 11 12

21 22 21 22

31 32 31 32

11 12 11 12

21 22 21 22

31 32 31 32

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

MD MD MD MD

MD MD MD MD

MD MD MD MD Células

MD MD MD MDIDPD

MD MD MD MD

MD MD MD MD

Pontos Fonte

(6.37)

Multiplicando-se IDPD pelo autovalor encontra-se:

3IR IDPD DWI (6.38)

Realizando-se a soma da contribuição de IR1, IR2 e IR3 obtém-se:

107

2 3 1IRT IR IR IR (6.39)

Extraindo-se do vetor IRT (vetor utilizado para a próxima iteração) somente os

valores correspondentes às duas primeiras solicitações de cada célula, obtêm-se:

1

2 1

3 2

4 4

5 5

6 ...

...

IRT

IRT IRT

IRT IRT

IRT IRT DWA IRT

IRT IRT

IRT

(6.40)

O vetor DWA corresponde ao próximo autovalor da iteração, a carga crítica é

então calculada utilizando o quociente de Rayleigh:

( 1)

( 1)

( 1) ( 1)

( , )

( , )

k k

k k

k k k

crit

Ax x

x x

x x

DWA DWIN

DWA DWA

(6.41)

Este problema é considerado um problema de raiz dupla, sendo necessário

um tratamento especialmente quando se considera problemas com solicitação de

cisalhamento puro. Este tratamento é dado por (quando já se passou a primeira

iteração):

1 1 2critN AUX AUX (6.42)

O valor de AUX1 é dado por:

1

2 1ANTERIOR

DWI DWIAUX

DWA DWA

AUX AUX

(6.43)

108

O valor de AUX2 é o mesmo de AUX1, mas quando calculado na iteração

anterior do problema de autovalor, se o programa estiver na primeira iteração o valor

de N1crit é 0. O valor de DWA é então dividido pela sua norma:

DWADWA

DWA DWA

(6.44)

Deve-se então ir para a segunda iteração, o cálculo deve prosseguir da

mesma maneira começando-se pela equação 1.1, recalculando todos os coeficientes

( as matrizes de soluções fundamentais não são recalculadas, apenas os vetores

que dependem do autovalor DWI ) serão feitas as seguintes substituições:

2 1

ANTERIOR

ANTERIOR

DWI DWA

AUX AUX

(6.45)

São recalculadas as matrizes TPI, FICI, DS, IR1, IR2, IR3 utilizando-se o novo

valor de DWI da iteração anterior, obtendo-se então um novo valor para as cargas

críticas Ncrit e N1crit. A condição de parada é definida de acordo com os recursos

computacionais, no caso do presente trabalho a condição é quando o erro relativo

entre os valores da carga crítica e da carga crítica anterior for menor que 10-4.

Utilizando-se o valor da carga crítica final é possível encontrar o valor do parâmetro

crítico, sendo dado por:

2

2

critNk L

D (6.46)

Em problemas de raiz dupla (como placas solicitadas à apenas carga de

cisalhamento), a segunda carga crítica se torna necessária para calcular o

parâmetro crítico:

2

2

11 critN

k LD

(6.47)

109

7 PROBLEMAS DE ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL

Em uma placa quadrada sem furos a distribuição das tensões é constante,

porém, em uma placa com furos a distribuição das tensões passa a ter grandes

variações principalmente perto da borda dos furos. Isto mostra a necessidade da

utilização de um método que calcule estas tensões ao longo do domínio perfurado, a

fim de gerar cargas críticas com menores desvios. O método dos elementos de

contorno pode ser aplicado a problemas de elasticidade linear em duas ou mais

dimensões com grande precisão nos resultados. Será então descrito, conforme o

procedimento encontrado em KANE (1994) e FOLTRAN (1999) como é aplicado o

método dos elementos de contorno para problemas de elasticidade bidimensionais.

Seja o problema dado pela figura 7.1:

Figura 7.1 – Exemplo de problema bidimensional

A figura 7.1 consiste em um problema de elasticidade bidimensional pois ele

tem deslocamentos prescritos e trações prescritas. Para resolver este problema por

elementos de contorno é necessário discretizar o contorno em diversos elementos.

Na figura 7.1, o problema está discretizado em 4 elementos de contorno quadráticos,

que possuem 3 nós por elemento. No caso temos então 8 nós de contorno. Serão

utilizados nós duplos nos quatro cantos do problema, serão adicionados 4 nós

duplos. O elemento 1 possuirá os nós 1, 2 e 3; o elemento 2 os nós 4, 5 e 6; o

elemento 3 os nós 7, 8 e 9 e por fim, o elemento 4 possuirá os nós 10, 11 e 12. A

utilização dos nós duplos facilita a manipulação do sistema final de equações e

110

também proporciona respostas únicas para cada elemento, separando respostas de

força e deslocamento.

É possível resolver o problema não utilizando os nós duplos, conforme KANE

(1994), mas esta solução não será abordada no presente trabalho. As coordenadas

dos nós de cada elemento definem os valores utilizados na integração das soluções

fundamentais. Considerando que o domínio do problema seja um quadrado de lado

2, o elemento 1 portanto, terá as coordenadas em x: x1 = 0, x2 = 1 e x3 = 2. As

coordenadas em y serão: y1 = 0, y2 = 0 e y3 = 0; o elemento 2 terá as coordenadas

em x: x1 = 2, x2 = 2 e x3 = 2. As coordenadas em y serão: y1 = 0, y2 = 1 e y3 = 2; o

elemento 3 terá as coordenadas em x: x1 = 2, x2 = 1 e x3 = 0. As coordenadas em y

serão: y1 = 2, y2 = 2 e y3 = 2; o elemento 4 terá as coordenadas em x: x1 = 0, x2 =

0 e x3 = 0. As coordenadas em y serão: y1 = 2, y2 = 1 e y3 = 0.

Obtidas as informações do problema como condições de contorno,

coordenadas do contorno e propriedades do material, o problema é então dividido

em diversos elementos de contorno. Ao se descrever cada elemento e suas

informações deve-se começar o processo de integração dos elementos. As soluções

fundamentais para elasticidade bidimensional são deduzidas apartir da solução

fundamental obtida por LORD KELVIN (1848). A equação integral de contorno para

os problemas bidimensionais pode ser encontrada em BECKER (1992):

* *( ') ( ) ( ', ) ( ) ( ', )ij iC u x u x T x x d t x U x x d

(7.1)

A solução do problema por elementos de contorno exige o cálculo das

soluções fundamentais ao longo de todos os elementos com relação a cada ponto

fonte. O segundo termo da parte esquerda da equação determina a integral das

soluções fundamentais de forças de superfície que multiplicam a incógnitas de

deslocamento u. O termo da direita da equação determina a integral das soluções

fundamentais de deslocamento que multiplicam a incógnitas de forças de superfície.

Em um problema de elasticidade bidimensional ou se tem incógnitas de força ou

incógnitas de deslocamento. De acordo com uma determinada força, haverá um

determinado deslocamento ou vice versa. Estas determinações devem aparecer no

sistema final como condições de contorno do problema. O parâmetro Cij indica uma

contribuição na matriz final devido ao posicionamento do ponto no contorno, esta

111

contribuição aparece sempre nas diagonais da matriz com as soluções de força de

superfície. Esta contribuição é somada ao valor da solução fundamental que

multiplica a incógnita do ponto fonte avaliado. Os valores de Cij são os mesmos

dados pela equação 5.35. As soluções fundamentais são calculadas em função do

raio que por sua vez está um função da variável . As soluções fundamentais

devem ser integradas ao longo do domínio intrínseco, ou seja, de -1 até 1. As

soluções fundamentais para problemas bidimensionais de elasticidade estão

descritas abaixo :

2

11

1 3 4 ln

8 1

drU v r

v dx

(7.2)

12 21

1

8 1

dr drU U

v dx dy

(7.3)

2

22

1 3 4 ln

8 1

drU v r

v dy

(7.4)

Em notação indicial estas equações podem ser escritas por:

1 3 4 ln

8 1

dr drU v r

v dx dx

(7.5)

As soluções fundamentais de forças de superfície são as seguintes:

2

11

1 1 2 2

4 1

dr drT v

v r dn dx

(7.6)

12

1 2 1 2

4 1

dr dr dr dr drT v nx ny

v r dx dy dn dy dx

(7.7)

112

21

1 2 1 2

4 1

dr dr dr dr drT v nx ny

v r dx dy dn dy dx

(7.8)

2

22

1 1 2 2

4 1

dr drT v

v r dn dy

(7.9)

Em notação indicial estas equações podem ser escritas por:

1 1 2 2 1 2

4 1

dr dr dr dr drT v v n n

v r dx dx dn dx dx

(7.10)

Cada parcela das soluções fundamentais deve ser calculada a partir das

funções de forma estabelecidas, no caso serão utilizadas as funções de forma para

elementos quadráticos. Portanto, as coordenadas cartesianas serão convertidas

para um sistema de coordenadas isoparamétrico e passa a ter domínio de -1 a 1. As

definições de funções de forma, raio, jacobiano e componentes das soluções

fundamentais são os mesmos das equações 5.76 até 5.93. Para calcular cada

solução fundamental, deve-se atentar-se que agora integração está sobre o domínio

da coordenada , então deve-se aplicar na integração o valor do jacobiano e da

função de forma do nó do elemento :

3 1*

1 21

1 1

3 1*

1 21

1 1

( ') ( '( , ), ( )) ( ) ( )

( '( , ), ( )) ( ) ( )

Nelem

ij i j k

n k

Nelem

j k

n k

C u x u T x x x x N J d

t U x x x x N J d

(7.11)

Encontradas todas as componentes, será necessário calcular, para cada

ponto fonte e para cada elemento, as soluções fundamentais de 7.10. No presente

trabalho será utilizado o método da colocação do ponto fonte, conforme KANE

(1994), isto significa montar um sistema de equações que obtêm uma equação para

cada ponto fonte.

Este método consiste em situar um ponto fonte em cada nó do contorno,

incluindo os nós duplos. Situando o ponto fonte no nó 1 do problema por exemplo,

113

todas as soluções fundamentais serão calculadas com relação a distância do ponto

dentro do elemento analisado e o ponto fonte. Esta distância definida por r é

utilizada para calcular as soluções fundamentais, todas as soluções são calculadas

em função de r. Por este motivo, no método dos elementos de contorno ocorre a

necessidade da utilização de métodos de tratamento para integrais singulares. Se o

ponto fonte está fora do elemento analisado, a integração é não singular, podendo

ser calculada por métodos de integração numérica como método de Gauss-

Legendre, assim como na figura 7.2 :

Figura 7.2 – Integração com ponto fonte fora do elemento

Quando o ponto fonte encontra-se no elemento que está sendo calculado, as

integrais passam a se tornar singulares, exigindo métodos específicos de cálculo. A

figura 7.3 mostra o ponto fonte dentro do elemento a ser integrado:

Figura 7.3 – Integração com ponto fonte dentro do elemento

114

Na solução de problemas de elasticidade bidimensionais é necessário

resolver integrais singulares do tipo 1/r, encontradas nas soluções fundamentais de

forças de superfície. As integrais singulares do tipo ln(r) são encontradas nas

soluções fundamentais de deslocamentos. Os métodos de integração para integrais

singulares são abordados com detalhes no capítulo de integração numérica.

Voltando-se ao processo de cálculo do método dos elementos de contorno, situado

então o ponto fonte no nó 1 e calculando-se as soluções fundamentais para todos os

elementos com relação a sua distância com o ponto fonte, obtém-se a primeira e a

segunda linha do sistema de equações do método da colocação do ponto fonte.

Para este propósito, é necessário somar a contribuição de cada nó de cada

elemento, a contribuição de cada nó é definida pela multiplicação da integral pela

função de forma respectiva ao nó. A contribuição de 1 elemento fica da seguinte

maneira no sistema de equações principal, considerando as soluções fundamentais

de força de superfície:

1 1

11 11 1 12 12 11 1

1 1

21 21 1 22 22 11 1

1 1

13 11 2 14 12 21 1

1 1

24 21 2 24 22 21 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

H T N J d H T N J d

H T N J d H T N J d

H T N J d H T N J d

H T N J d H T N J d

1 1

15 11 3 16 12 31 1

1 1

25 21 3 26 22 31 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

H T N J d H T N J d

H T N J d H T N J d

(7.12)

Cada contribuição da matriz será então multiplicada pela sua variável

correspondente de deslocamento, no caso da matriz H e pela variável

correspondente de força quando o caso for a matriz G:

11 1 12 2 13 3 14 4 15 5 16 6 11 1

21 1 22 2 23 3 24 4 25 5 26 6 21 1

... ...

... ...

H u H u H u H u H u H u U t

H u H u H u H u H u H u U t

(7.13)

Nota-se que temos 2 linhas para cada elemento e 6 valores de soluções

fundamentais. Analisando o sistema de equações 7.13, no primeiro termo temos que

os valores da esquerda são devido à contribuição do primeiro nó do elemento (as

115

integrais da solução fundamental foram multiplicadas por N1), os valores do meio

são devido aos valores do segundo nó (as integrais da solução fundamental foram

multiplicadas por N2), e os valores da direita são devido à contribuição do terceiro nó

do elemento (as integrais da solução fundamental foram multiplicadas por N3)

Obtêm-se duas linhas para cada ponto fonte porque o problema de

elasticidade bidimensional contém dois graus de liberdade, no caso, deslocamentos

e trações. Na equação 7.13, encontra-se a contribuição de apenas 1 elemento. Mas

é necessário calcular a contribuição de todos os elementos com relação ao ponto

fonte em questão. A contribuição de nós adjacentes é feita nos dois últimos termos

da matriz, pois estes elementos estão compartilhando as 4 soluções para o terceiro

nó do primeiro elemento e para o primeiro nó do elemento adjacente. Deve-se então

somar a contribuição do ultimo nó do primeiro elemento com a contribuição do

primeiro nó do segundo elemento, quando estes compartilham um nó. A exemplo,

abaixo encontra-se o sistema quando calcula-se dois elementos que compartilham

um nó.

1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 21 2 3 4 5 6 7 8 9111 121 112 122 113 111 123 121 112 122 113

1 1 1 1 1 2 1 2 2 21 2 3 4 5 6 7 8211 221 212 222 213 211 223 221 212 222

e e e e e e e e e e eu u u u u u u u u

e e e e e e e e e eu u u u u u u u

T T T T T T T T T T T

T T T T T T T T T T

29213

euT

(7.14)

No problema da figura 7.1, observa-se apenas 4 elementos, portanto seria

necessário realizar este mesmo procedimento para todos os elementos em qual o

problema foi discretizado. Calculadas todas as contribuições dos elementos para o

ponto fonte no nó 1, deve-se mover o ponto fonte para o nó 2 e realizar o mesmo

procedimento, agora posicionando as equações logo abaixo das duas obtidas no

ponto fonte situado no nó dois. Após o cálculo das contribuições do nó dois, haverá

4 linhas no sistema de equações.

No presente trabalho está sendo abordada a técnica da utilização de nós

duplos para cantos com ângulos retos. Em alguns problemas pode-se encontrar

faces que têm uma condição de contorno de deslocamento, enquanto que na face

perpendicular tem-se uma condição de força. A utilização do nó duplo faz com que a

separação das duas variáveis seja mais simples. Quando temos uma situação de nó

de canto com outra face perpendicular utiliza-se o nó duplo, quando se tem uma

junção de dois elementos em uma linha de mesma angulação, não se utiliza o nó

116

duplo. A consequência do nó duplo no sistema de equações é que é adicionada uma

linha a mais correspondente ao nó duplo criado. Então haverá 8 nós de contorno

mais 4 duplos, um para cada nó de canto. Então como tem-se 12 nós no total, será

encontrado um sistema de equações com um total de 24 linhas, considerando-se

que para cada ponto fonte será necessário 2 linhas devido ao número de graus de

liberdade, que também é 2.

Para cada ponto fonte tem-se duas linhas do sistema de equações final a ser

resolvido, para encontrar essas linhas deve-se localizar o ponto fonte no nó inicial e

calcular então as soluções fundamentais para cada elemento. Nas equações das

soluções fundamentais os nós do ponto fonte não irão mudar, quem irá variar são os

nós de cada elemento, deve-se percorrer todos os elementos para cada ponto fonte.

Devido à utilização de nós duplos, quando o ponto fonte estiver no primeiro

nó do elemento e for duplo, a posição do ponto fonte deve ser modificada para -2/3

na coordenada intrínseca. Quando o ponto fonte estiver no último nó do elemento e

for duplo, a posição do ponto fonte deve ser modificada para 2/3 na coordenada

intrínseca. Quando os nós extremos do elemento não forem duplos, utilizar -1 para o

nó inicial e +1 para o nó final, considerando a coordenada intrínseca. Para cada

elemento calculado teremos uma parte da equação do ponto fonte analisado. Ou

seja, para calcular H11 deve-se utilizar o ponto fonte do nó 1 e as coordenadas de


pela primeira função de forma e o jacobiano. Para calcular H12 deve-se utilizar o

ponto fonte do nó 1 e as coordenadas de pontos do elemento 1, integrar a solução

fundamental T12 multiplicando a integral pela primeira função de forma e o jacobiano,

multiplicando a integral pela primeira função de forma. Para calcular H21 deve-se

utilizar o ponto fonte do nó 1 e as coordenadas de pontos do elemento 1, integrar a

solução fundamental T21 multiplicando a integral pela primeira função de forma e o

jacobiano. Para calcular H22 deve-se utilizar o ponto fonte do nó 1 e as coordenadas

de pontos do elemento 1, integrar a solução fundamental T22 multiplicando a integral

pela primeira função de forma e o jacobiano. Com isso são calculadas as soluções

fundamentais para a primeira função de forma. Como está se utilizando elementos

quadráticos é necessário calcular da mesma forma para a segunda função de forma

e também para a terceira função de forma. Ou seja, para calcular H13 deve-se utilizar

o ponto fonte do nó 1 e as coordenadas de pontos do elemento 1,integrar a solução

117

fundamental T11 multiplicando a integral pela segunda função de forma e o

jacobiano.

Para calcular H15 deve-se utilizar o ponto fonte do nó 1 e as coordenadas de


pela terceira função de forma e o jacobiano. Integradas as 12 integrais de soluções

fundamentais para o primeiro elemento, passa-se a integrar o segundo elemento,

deixando o ponto fonte ainda no nó 1 e integrando-se novamente todas as soluções

fundamentais para o segundo elemento. Lembrando que as contribuições deste

segundo elemento para a primeira função de forma somam-se com as contribuições

da terceira função de forma do elemento anterior, pois os dois elementos

compartilham um mesmo nó.

Depois de integrados todos os elementos, obtem-se as primeiras 2 linhas do

sistema de equações da matriz H. Deve-se então colocar o ponto fonte no nó 2 e

prosseguir o cálculo de todos os elementos novamente, agora utilizando as

coordenadas do nó 2 como ponto fonte, encontrando-se a próxima linha do sistema

de equações. E assim sucessivamente até percorrer-se todos os pontos fonte do

problema incluindo-se os de nó duplo. Este sistema encontrado denomina-se a

matriz H do sistema de equações para soluções de problemas de elasticidade

bidimensionais. A matriz do método de elementos de contorno é cheia e é mais

complexa para ser resolvida quando comparada à outros métodos como o dos

elementos finitos. A matriz H assume a seguinte forma levando-se em consideração

a contribuição diagonal de acordo com o posicionamento do ponto fonte e também a

sobreposição de elementos adjacentes :

1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 2 3

111 121 112 122 113 111 123 121 112 122 113 111 123 121

1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 2

211 221 212 222 213 211 223 221 212 222 213 211 223

...e e e e e e e e e e e e e e


T T T T T T T T T T T T T T

T T T T T T T T T T T T T

3

221

1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 2 3

111 121 112 122 113 111 123 121 112 122 113 111 123 121

1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2

211 221 212 222 213 211 223 221 212 222 213 211

...

...

e



T


T T T T T T T T T T T T

3 2 3

223 221

1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 2 3

111 121 112 122 113 111 123 121 112 122 113 111 123 121

1 1 1 1 1 2 1 2 2 2

211 221 212 222 213 211 223 221 212 222 21

...

...

e e


e e e e e e e e e e

T T


T T T T T T T T T T T

1

2

3

4

5

6

2 3 2 3

3 211 223 221 7...

............

x

y

x

y

x

y

e e e e

x

u

u

u

u

u

u

T T T u

(7.15)

Deve-se então aplicar o coeficiente Cij dado pela equação 5.35 nos termos

diagonais da matriz Hij, encontrando-se um sistema da seguinte maneira :

118

111 12 13 14 15 16

221 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36 3

41 42 43 44 45 46 4

( ) ...

( ) ...

( ) ...

( ) ...

.......... ..

x

y

x

y

uH C H H H H H

uH H C H H H H

H H H C H H H u

H H H H C H H u

(7.16)

A matriz G assume a seguinte forma levando-se em consideração a

contribuição diagonal de acordo com o posicionamento do ponto fonte e também a

sobreposição de elementos adjacentes :

1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 2 3

111 121 112 122 113 111 123 121 112 122 113 111 123 121

1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 2

211 221 212 222 213 211 223 221 212 222 213 211 223

...e e e e e e e e e e e e e e


U U U U U U U U U U U U U U

U U U U U U U U U U U U U

3

221

1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 2 3

111 121 112 122 113 111 123 121 112 122 113 111 123 121

1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2

211 221 212 222 213 211 223 221 212 222 213 211

...

...

e



U


U U U U U U U U U U U U

3 2 3

223 221

1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 2 3

111 121 112 122 113 111 123 121 112 122 113 111 123 121

1 1 1 1 1 2 1 2 2 2

211 221 212 222 213 211 223 221 212 222 21

...

...

e e


e e e e e e e e e e

U U


U U U U U U U U U U U

1

2

3

4

5

6

2 3 2 3

3 211 223 221 7...

............

x

y

x

y

x

y

e e e e

x

t

t

t

t

t

t

U U U t

(7.17)

Demonstrando-se graficamente, a matriz com os coeficientes ijH fica similar

ao que está na figura 7.4:

Figura 7.4 – Ilustração da matriz de coeficientes para problemas bidimensionais

119

Deve-se observar que como o problema de elasticidade bidimensional tem

dois graus de liberdade, cada ponto fonte irá gerar duas linhas do sistema final.

Outro fator importante é observar o compartilhamento dos nós entre os elementos,

onde as contribuições devem ser somadas para se obter o valor do nó, um exemplo

é o caso de H15, H16, H25 e H27, os quais precisam da contribuição do terceiro nó do

elemento 1 e a contribuição do primeiro nó do elemento 2. Deve-se encontrar uma

matriz da mesma forma para os coeficientes da matriz G. Calculando-se todas as

soluções fundamentais para todas as matrizes, obtêm-se um sistema de equações

linear, do qual a solução indica os deslocamentos e trações desconhecidos no

contorno :

H u G t (7.18)

Ainda não deve-se resolver este sistema, pois ainda não foram aplicadas as

condições de contorno do problema. Deve-se alternar os valores de quais variáveis

são conhecidas e quais são desconhecidas. Se por exemplo o deslocamento

conhecido u1 = 0, todos os valores que multiplicam u1 no sistema serão multiplicados

por 0. Se a força conhecida t1 = 10, todos os valores que multiplicam t1 no sistema

serão multiplicados por 10.

Feito este passo, ainda numericamente falando, não se pode resolver o

sistema. Deve-se adequá-lo para que possa ser resolvido por algum método

conhecido, ele deve ficar da seguinte maneira :

A x b (7.19)

Para que o sistema fique desta maneira, deve-se, para cada condição de

contorno de deslocamento conhecida, troca-la com a respectiva condição de força.

Por exemplo, se u2 = 0 e t2 for desconhecido, deve-se trocar u2 na matriz H por t2 da

matriz G, também trocar t2 na matriz G por u2 da matriz H.

Da mesma forma, se t3 = 10 e u3 for desconhecido, deve-se trocar t3 na

matriz G por u3 da matriz H e também trocar u3 na matriz H por t3 da matriz G.

Formando então o sistema linear que pode ser resolvido pelo método da

decomposição LU.

120

As matrizes do método dos elementos de contorno são cheias e necessitam

de maior cautela na seleção do método de resolução, visto que são mais populosas

que as de outros métodos (como o dos elementos finitos), as matrizes do método

dos elementos de contorno necessitam de mais processamento para serem

resolvidas.

Resolvido este sistema final de equações, são encontradas as soluções de

força e deslocamento para cada variável desconhecida. Para encontrar as tensões

em um ponto interno qualquer, basta resolver a seguinte equação integral:

ij kij k kij kD t d S u d

(7.20)

As soluções fundamentais kijD e kijS são dadas por:

2

2

2

2

1 2 1 2

2 1

12 1 2

2 1

12(1 2 ) 1 4

2 1

1(1 2 )

1

kij i jk

j k

j ik

i k

k ij

i j

ij jk ik

k i

r rS n v v

v r x x

r rn v v

v r x x

r rn v v

v r x x

dr r rv v

v r dn x x

4

1 1 (1 2 ) 2

4 1

j i j k

kij jk ik ij

i j k i j k

r r r r

x x x x

r r r r r rD v

v r x x x x x x

(7.21)

Lembrando-se que ku e kt são as soluções para deslocamentos e forças no

contorno.

121

8 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

8.1 INTEGRAÇÃO REGULAR

Quando o ponto fonte está fora do elemento integrado, as integrais de

contorno tornam-se integrais regulares. No presente trabalho, a integração de

integrais regulares foi feita utilizando-se a quadratura de Gauss-Legendre. Este tipo

de integração pode ser definido como o processo de aproximação da integral

definida de uma determinada função.

O resultado deste método tem a forma do somatório entre as avaliações da

função nos pontos de gauss, vezes os seus respectivos pesos de gauss, sendo

então definida por:

1

11

( ) ( ( )) ( )n

i

f d f x i w i

(8.1)

Para computação dos pontos de Gauss utilizou-se a rotina da biblioteca

VISUAL NUMERICS IMSL chamada DGRUL, garantindo-se os pontos e pesos com

dupla precisão nos resultados.

8.2 TRATAMENTO DAS INTEGRAIS SINGULARES

O tratamento das integrais singulares de ordem (1/r) as quais são do tipo

Cauchy e as de ordem ln(r) as quais são chamadas de fracamente singulares

necessitam de uma formulação adequada para serem calculadas com bons

resultados. A integração numérica simples utilizando pontos de Gauss já não é

suficiente para garantir a precisão destas integrais.

As integrais singulares se originam quando o ponto fonte está dentro do

elemento analisado. No presente trabalho está se utilizando elementos quadráticos,

o ponto fonte está em cima de um dos três nós do elemento.

As equações se tornam singulares porque o raio (a distância entre o ponto

fonte e o ponto analisado) tende a 0, gerando as singularidades acima citadas.

122

8.2.1 Singularidade do tipo ln(r)

O tratamento das integrais singulares de ordem ln(r) são feitas utilizando uma

transformação quadrática da variável isoparamétrica utilizada, esta técnica foi

descrita por KARAM (1986) e é chamada de transformação de Telles. Sendo

desenvolvida abaixo, inicialmente integra-se em função de :

1

1( )f d

(8.2)

Será utilizada uma equação quadrática para realizar a transformação de

coordenadas, como a equação 8.3:

2( ) a b c (8.3)

Será feita uma transformação linear de para impondo as seguintes

condições para a equação quadrática:

0 ( );

dpara

d

(8.4)

1 1;para (8.5)

1 1;para

(8.6)

Utilizando a condição 8.5:

1 1;para (8.7)

Aplicando na equação 8.3:

21 1 1a b c

1a b c (8.8)

123

Utilizando a condição 8.6:

1 1;para (8.9)

Aplicando na equação 8.3:

21 ( 1) ( 1)a b c

1a b c

(8.10)

Utilizando 8.8 e 8.10 encontra-se o sistema de equações:

1a b c

1a b c (8.11)

Resolvendo o sistema de equações 8.11, observa-se que:

1b

a c (8.12)

Aplicando a condição 8.4:

0 ( );

dpara

d

(8.13)

Observa-se que :

2a b c

2 0a b c

(8.14)

Resolvendo 8.14 para :

124

2 4 ( )'

2

b b a c

a

2 4 ( )''

2

b b a c

a

(8.15)

Tendo os valores de b=1, ' e

'' é possível substituir (a) por (–c) na equação

8.15 para encontrar o coeficiente que está faltando:

21 1 4( )( )'

2( )

c c

c

(8.16)

Devido a primeira condição 8.4, a derivada de é 0, então basta agora

substituir os valores de ' ou

'' na derivada da equação quadrática adotada,

obtendo-se:

0 ( )

dcondição em

d

(8.17)

Observa-se que :

2

da b

d

(8.18)

Substituindo os valores de a e b em 8.18:

21 1 4( )( )2( ) 1 0

2( )

c cc

c

(8.19)

Simplificando 8.19 é possível obter:

1 4( )( ) 0c c (8.20)

125

Resolvendo para c:

2

1'

2c

2

1''

2c

(8.21)

Deve-se utilizar somente a parte real dos coeficientes, devido ao intervalo de -

1 a 1, o coeficiente (c) fica:

' ''

2c c c

(8.22)

Da equação 8.12 observa-se que a = -c, portanto:

' ''

2a a a

(8.23)

Substituindo os coeficientes na equação quadrática 8.3, é possível obter:

2( ) a b c

2( ) 12 2

2( ) (1 )2

(8.24)

(1 )d d (8.25)

Substituindo o valor de na equação 8.2, é possível obter:

126

1 12

1 1( ) ( (1 ) )(1 )

2f d f d

(8.26)

Esta equação é somente válida para = -1 e = 1. Para encontrar uma

formulação para qualquer entre -1 e 1 deve-se dividir a integral 8.26 em duas:

1 1

1 1( ) ( ) ( )f d f d f d

(8.27)

Cada integral deve ser transformada em uma integral com domínio de -1 até

1, quando os limites de integração são [a, b] em vez de [-1, +1], deve-se realizar as

seguintes transformações:

1

-1

( ) ( - ) -( )

2 2

b

a

b a b a x b af y dy f dx

(8.28)

Será feita a solução desta transformação, primeiramente para a integral da

esquerda no segundo termo da equação (8.27). Assumindo que existe uma variável

que está linearmente relacionada com tal que:

= a0 + a1 (8.29)

Se = a, corresponde à -1 e se = b, corresponde à 1, então

-1 = a0 + a1 (-1)

= a0 + a1 (1)

(8.30)

Resolvendo as duas equações em 8.30 é possível obter:

( 1)a0 =

2

( 1)a1 =

2

(8.31)

127

Simplificando a equação 8.31:

1a0

2

1a1

2

(8.32)

Que dá a mudança de variáveis:

1 1 1 = d =

2 2 2d

(8.33)

Chamando-se de ' para a integral da esquerda teremos:

1( '(1 ) 1 )

2 (8.34)

1( 1) '

2d (8.35)

Então a integral da esquerda de (8.27) convertida para -1 até 1 fica :

1

1 1

1 1( ) ( ( '(1 ) 1 )) ( 1) '

2 2f d f d

(8.36)

De maneira análoga é possível obter para a integral da direita no segundo

termo da equação, assumindo que existe uma variável que está linearmente

relacionada com tal que:

= a0 + a1 (8.37)

Se = a, corresponde à -1 e se = b, corresponde à 1, então:

128

= a0 + a1 (-1)

1 = a0 + a1 (1)

(8.38)

Resolvendo essas duas equações temos:

1 ( ) 1a0 =

2 2

1 ( ) 1a1 =

2 2

(8.39)

Que dá a mudança de variáveis:

= a0 + a1 (8.40)

1 1 1 = d =

2 2 2d

(8.41)

Chamando-se de '' para a integral da direita de (8.27):

1( ''(1 ) 1 )

2 (8.42)

1(1 ) ''

2d (8.43)

E então a integral da direita de 8.27 fica com limite convertido para -1 a 1:

1 1

1

1 1( ) ( ( ''(1 ) 1 )) (1 ) ''

2 2f d f d

(8.44)

Substituímos então essa transformação na equação 8.27, obtendo duas

integrais com domínio de -1 até 1:

129

1 1

1 1

1

1

1 1( ) ( ( '(1 ) 1 )) ( 1) '

2 2

1 1( ( ''(1 ) 1 )) (1 ) ''2 2

f d f d

f d

(8.45)

Deve-se lembrar que já passou por uma primeira transformação, então

deve-se substituir ' pela primeira transformação de (eq. 8.24) e aplicando o

ponto fonte como +1:

21' (1 )

2 (8.46)

' (1 )d d (8.47)

Substituindo-se '' pela equação 8.24 e o ponto fonte como -1:

21'' ( 1)

2 (8.48)

'' (1 )d d (8.49)

Substituindo-se estes novos valores de ' e '' na equação das integrais

8.45, chegando então na transformação final, sendo esta válida para -1 <= <= 1.

1

1

12

1

12

1

( )

1 1 ( 1)(1 )( 1) (1 ) 1

2 2 2

1 1 (1 )(1 )(1 ) ( 1) 1

2 2 2

f d

f d

f d

(8.50)

8.2.2 Aplicação de acordo com o posicionamento do ponto fonte

Se o ponto fonte estiver em 1, substituir o valor de por:

130

1 12

1 1

1 1 ( 1)(1 )( ) ( 1) (1 ) 1

2 2 2f d f d

(8.51)

Se o ponto fonte estiver em -1, substituir o valor de por:

1 12

1 1

1 1 (1 )(1 )( ) (1 ) ( 1) 1

2 2 2f d f d

(8.52)

Se o valor do ponto fonte estiver no intervalo -1< < 1, o valor da integral

será:

1

1

12

1

12

1

( )

1 1 ( 1)(1 )( 1) (1 ) 1

2 2 2

1 1 (1 )(1 )(1 ) ( 1) 1

2 2 2

f d

f d

f d

(8.53)

As integrais 8.51, 8.52 e 8.53 podem ser integradas utilizando a quadratura

de Gauss-Legendre pois possuem um núcleo regular.

8.2.3 Singularidade do tipo 1/r

As integrais geradas pelas soluções fundamentais de força de superfície

apresentam singularidade quando o ponto fonte se aproxima do elemento.

1

1

10dr r

r (8.54)

O tratamento das integrais singulares de ordem (1/r) é realizado aplicando-se

o método da subtração de singularidade, apresentado por ALIABADI (2002). O

método será desenvolvido utilizando-se a seguinte expressão:

131

1 1*

1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

g g gd dT

(8.55)

O termo da esquerda depois do sinal de igual é um termo regular, podendo

ser calculado com a quadratura de Gauss-Legendre, pois a singularidade está sendo

subtraída da função principal. indica o valor de para o ponto fonte, portando g(

) indica a avaliação da solução fundamental no ponto fonte, isto é possível devido

ao processo de regularização das funções de forma, assim como descrito por

PALERMO JR. (2000). O termo da direita é calculado analiticamente, pois esta

integral precisa ser avaliada no sentido do valor principal de Cauchy, conforme o

trabalho de KZAM e CODA (2010). Portanto, antes da aplicação da subtração de

singularidade é necessário modificar as funções de forma para que a integração seja

apenas considerada quando o ponto esta no elemento, deixando então as funções

de forma em função da distância entre o ponto analisado e o ponto fonte dentro do

elemento. Sejam as funções de forma tradicionais:

1 1x( ) = ( 1) 1 ( 1)(1 ) 2 ( 1) 3

2 2x x x (8.56)

1 1y( ) = ( 1) 1 ( 1)(1 ) 2 ( 1) 3

2 2y y y

(8.57)

Para calcular o raio e as componentes da solução fundamental com relação a

distância do ponto analisado e o ponto fonte dentro do elemento é necessário

subtrair de cada função de forma a função de forma no ponto singular, com a

coordenada em .

22

22

1 1 1N1( ) 1( ) = ( 1) ( 1) ( )

2 2 2

1 1( ( )) ( )( 1)

2 2

N

(8.58)

132

2

N2( ) 2( ) = ( 1)(1 ) ( 1)(1 )

( )( )( 1)

N

(8.59)

221 1 1N3( ) 3( ) = ( 1) ( 1) ( )

2 2 2

1( )( 1)

2

N

(8.60)

A componente da distância entre o ponto fonte e o ponto avaliado com

relação a x é:

1 1dx( , ) = ( )( 1) 1 ( )( )( 1) 2 ( )( 1) 3

2 2x x x (8.61)

1 1dx( , ) = ( ) ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3

2 2x x x

(8.62)

A componente com relação a y é:

1 1dy( , ) = ( )( 1) 1 ( )( )( 1) 2 ( )( 1) 3

2 2y y y (8.63)

1 1dy( , ) = ( ) ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3

2 2y y y

(8.64)

Portanto, a distância entre o ponto fonte e o ponto analisado quando a

formulação considera pontos apenas dentro do elemento é:

2 2r( , ) = dx( , ) dy( , ) (8.65)

2 2

1 1 1 1 r( , ) = ( ) ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3 ( ) ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3

2 2 2 2x x x y y y

(8.66)

133

2 2

2 21 1 1 1 r( , ) = ( ) ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3 ( ) ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3

2 2 2 2x x x y y y

(8.67)

2 2

2 1 1 1 1 r( , ) = ( ) ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3

2 2 2 2x x x y y y

(8.68)

2 21 1 1 1

r( , ) = ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 32 2 2 2

x x x y y y

(8.69)

A última expressão 8.69 para o raio denomina-se raio regularizado. Apartir do

raio regularizado, é necessário calcular as derivadas que compõe a solução

fundamental, será calculada inicialmente a derivada com relação a x:

dr dx( , )( , ) =

dx r( , )

(8.70)

2 2

1 1 ( ) ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3

dr 2 2 ( , ) =

dx 1 1 1 1( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3

2 2 2 2

x x x

x x x y y y

(8.71)

A parcela ( ) se cancela com o módulo , gerando então a função

sinal, ou signum como utilizado nos softwares de matemática.

2 2

1 1signum( ) ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3

dr 2 2 ( , ) =

dx 1 1 1 1( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3

2 2 2 2

x x x

x x x y y y

(8.72)

Será calculada a derivada com relação a y:

dr dy( , )( , ) =

dy r( , )

(8.73)

2 2

1 1 ( ) ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3

dr 2 2 ( , ) =

dy 1 1 1 1( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3

2 2 2 2

y y y

x x x y y y

(8.74)

134

A parcela ( ) se cancela com o módulo , gerando então a função

sinal, ou signum como utilizado nos softwares de matemática.

2 2

1 1signum( ) ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3

dr 2 2 ( , ) =

dy 1 1 1 1( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3

2 2 2 2

y y y

x x x y y y

(8.75)

O jacobiano da transformação é feito com relação às funções de forma não

regularizadas, assim como em 8.76:

2 2

( ) ( )( ) =

dx dyJ

d d

(8.76)

2 21 1 1 1

( ) = ( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 3 ( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 3 2 2 2 2

J x x x y y y

(8.77)

As componentes do vetor normal ao ponto de integração também são

calculadas com relação às funções de forma não regularizadas, portanto:

( ) 1 ( )

( )

dx dynx

dn J d

(8.78)

2 2

1 1( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 3

( ) 2 2

1 1 1 1( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 3 ( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 3

2 2 2 2

y y ydx

nxdn

x x x y y y

(8.79)

A componente do vetor normal ao ponto de integração com relação a y fica:

( ) 1 ( )

( )

dy dxny

dn J d

(8.80)

135

2 2

1 1( 1) ( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 3

( ) 2 2

1 1 1 1( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 3 ( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 3

2 2 2 2

x x xdy

nydn

x x x y y y

(8.81)

A derivada normal com relação ao raio fica:

( ) ( , ) ( , )dr dr drnx ny

dn dx dy

(8.82)

Encontradas todas as componentes da solução fundamental para trações,

será necessário aplicar a subtração de singularidade, assim como descrito por

ALIABADI (2002):

1 1 1

1 1 1

( ) ( ) ( )( )

( )

g g gf d d d

(8.83)

Deve-se então encontrar as funções g( ) e g( ) para se realizar a subtração

de singularidade. Usando-se por exemplo a solução fundamental:

1 1 2 2 1 2

4 1

dr dr dr dr drT v v n n

v r dx dx dn dx dx

(8.84)

Os termos calculados na regularização do raio serão utilizados nesta solução

fundamental. Levando em consideração que todos os termos já foram demonstrados

acima, estes termos serão definidos como a constante k:

1, 1 2 2 1 2

4 1

dr dr dr dr drk v v n n

v dx dx dn dx dx

(8.85)

1

,,

T kr

(8.86)

136

Para se integrar esta solução com os termos regularizados, deve-se

prosseguir da seguinte maneira:

1

1

( , )( ) ( )

( , )i

kN J dT

r

(8.87)

A expressão 8.87 ainda não está regularizada, para regularizar esta

expressão deve-se multiplicar e dividir ao mesmo tempo por ( ) :

1

1

( , )( ) ( ) ( )

( , ) ( )

kNi d

rT J

(8.88)

Lembrando que o raio está sendo multiplicado pelo módulo :

2 21 1 1 1

( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 32 2 2 2

r x x x y y y

(8.89)

Se:

2 21 1 1 1

( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) 1 ( )( 1) 2 ( 1) 32 2 2 2

r x x x y y y

(8.90)

Então:

1

1

( , )( ) ( ) ( )

( , ) ( )

kNi J d

rT

(8.91)

Cancelando o módulo com a diferença no numerador da equação 8.91:

1

1

( , ) ( )( ) ( )

( )

k signumNi J d

rT

(8.92)

137

Pode-se chamar todos os termos da equação 8.92 de g( ) :

1 1

1 1

( , ) ( )( , ) ( ) ( )

k signumg d Ni J d

r

(8.93)

Substituindo-se (8.93) em (8.92) encontra-se a seguinte expressão:

1

1

( , )

( )T

gd

(8.94)

Deve-se levar em consideração que as funções de forma e o jacobiano que

multiplicam a integral estão em suas formas não regularizadas, ou seja, nas formas

tradicionais. Porem, ainda precisa-se subtrair a singularidade da função, então se

avalia a função g( ) no ponto fonte e subtrai-se da integral, lembrando-se que

quando for avaliar a função no ponto fonte tanto o valor de e recebem o valor

de :

1 1

1 1

( , ) ( )( , ) ( ) ( )

k signumg d Ni J d

r

(8.95)

Subtraindo-se então a equação 8.95 de 8.94:

1

1

( , ) ( , )

( )T

g gd

(8.96)

A integral 8.96 pode ser calculada utilizando a quadratura de Gauss-Legendre

pois esta integral tem um núcleo regular. A integral ainda não está completa, é

preciso adicionar o valor subtraído para que o valor da resposta esteja correto e, por

simplicidade, também será contraída a expressão.

1 1*

1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

g g gd dT

(8.97)

138

A soma do valor subtraído deve ser calculada analiticamente no sentido do

valor principal de Cauchy. Deve-se respeitar as seguintes condições dadas por

KZAM e CODA (2010): Se o ponto fonte estiver no primeiro nó do elemento, ou seja,

se for = -1, o valor da integral será:

1

1

( )( ) ln(2)

( )

gd g

(8.98)

Se o -1< <1, o valor da integral será:

1

1

( )( ) [ln(1 ) ln(1 )]

( )

gd g

(8.99)

Se =1 (último nó do elemento), o valor da integral será:

1

1

( )( ) [ ln(2)]

( )

gd g

(8.100)

139

9 RESULTADOS

9.1 VALIDAÇÃO DO MÉTODO UTILIZADO - RESULTADOS PARA PROBLEMAS DE FLEXÃO EM PLACAS SEM FUROS

Nesta seção são apresentados os resultados obtidos em problemas de flexão

para placas sem furos em diversos tipos de vinculação para se obter uma validação

das matrizes H, G e F as quais são utilizadas para calcular as cargas críticas.. Serão

utilizados 20 elementos quadráticos e 16 pontos de Gauss para a integração das

funções de forma. Os tipos de vinculação utilizados são dados pela figura 9.1:

Figura 9.1 – Tipos de vinculação

As placas analisadas são quadradas de L = 2 m de lado. A espessura é dada

pelo fator h/L nas tabelas de resultados. A carga distribuída é de 400 N. As

condições de contorno hard e soft determinam se a rotação em y no contorno está

travada (hard) ou livre (soft), como definido em HÄGGBLAD e BATHE (1990). As

propriedades dos materiais são dados pela tabela 9.1:

Coeficiente Variável Valor

Módulo de Young E 2,050 1011 N/m²

Coeficiente de Poisson v 0,3

Tabela 9.1 – Coeficientes para placas comparadas com a solução analítica

140

Vinculação tipo 1 – Placa simplesmente apoiada em todos os lados:

Figura 9.2 – Vinculação todos os lados simplesmente Apoiados - AAAA

Os resultados encontrados foram comparados com as soluções analíticas

para as teorias de Reissner e Mindlin. A comparação é feita utilizando-se o

parâmetro de máxima deflexão:

4

wDwp

qL (9.1)

A tabela de resultados 9.2 é dada por:

h/L Lee et al.

(2001)

Salerno e

Goldberg

(1960)

Presente

Trabalho

Diferença

(%) (1)

Diferença

(%) (2)

0,01 0,00406 0,00406 0,00407 0,24630 0,24630

0,05 0,00411 0,00411 0,00411 - -

0,1 0,00427 0,00424 0,00424 -0,70257 -

0,15 0,00454 0,00446 0,00447 -1,5418 0,22421

0,20 0,00490 0,00478 0,00478 -2,4489 -

Obs.: (1) – Diferença com relação a Lee et al. (2001) – Teoria de Mindlin

(2) – Diferença com relação a Salerno e Goldberg (1960) – Teoria de Reissner

Tabela 9.2 – Parâmetros de máxima deflexão para a vinculação – AAAA – HARD

Na tabela 9.2 se observa uma boa convergência dos resultados quando

comparados com as soluções analíticas. Os resultados mostram a diferença entre a

teoria de Reissner e a teoria de Mindlin, mesmo sendo teorias parecidas e com

resultados próximos, elas são teorias diferentes. Também foram comparados os

141

resultados com outros trabalhos que utilizam a formulação do método dos elementos

de contorno, nas tabelas 9.3 e 9.4 estão resultados obtidos para o ponto central da

placa p(x=1, y=1):

Resultados

Vinc. Hard

Andrade

(2001)

Sakanaka

(2006)

Presente

Trabalho

Diferença

(%) (1)

Diferença

(%) (2)

Deslocamento 7,0700E-06 7,0700E-06 7,0692E-06 -0,01131 -0,01131

Mxx 58,940 58,802 58,940 - 0,23468

Myy 58,940 58,802 58,940 - 0,23468

Obs.: (1) – Diferença com relação a Andrade (2001)

(2) – Diferença com relação a Sakanaka (2006)

Tabela 9.3 – Resultados para o ponto central da placa – AAAA – HARD

Os resultados obtidos para a vinculação soft foram:

Resultados

Vinc. Soft

Andrade

(2001)

Sakanaka

(2006)

Presente

Trabalho

Diferença

(%) (1)

Diferença

(%) (2)

Deslocamento 7,3500E-06 7,3500E-06 7,3512E-06 0,01360 0,01360

Mxx 60,700 60,552 60,708 0,01317 0,25762

Myy 60,700 60,552 60,708 0,01317 0,25762



Tabela 9.4 – Resultados para o ponto central da placa – AAAA – SOFT

Vinculação tipo 2 – Placa simplesmente apoiada e engastada:

Figura 9.3 – Vinculação 2 lados apoiada e engastada em 2 - AEAE

142



parâmetro de máxima deflexão, dado pela equação (9.1). A tabela 9.5 com os

resultados é dada por :

h/L Lee et al.

(2001)

Wang et al.

(2001)

Presente

Trabalho

Diferença

(%) (1)

Diferença

(%) (2)

0,01 0,00192 0,00192 0,00192 - -

0,05 0,00199 0,00199 0,00199 - -

0,1 0,00221 0,00220 0,00220 -0,45248 -

0,15 0,00256 0,00254 0,00254 -0,78125 -

0,20 0,00302 0,00298 0,00298 -1,32450 -

Obs.: (1) – Diferença com relação a Lee et al. (2001) – Teoria de Mindlin

(2) – Diferença com relação a Wang et al. (2001) – Teoria de Reissner

Tabela 9.5 – Parâmetros de máxima deflexão para a vinculação – AEAE– HARD

No exemplo com a vinculação 2 o método dos elementos de contorno obteve

excelente performance pois os resultados foram os mesmos da solução analítica

para a precisão de 4 casas decimais. Também foram comparados os resultados com

outros trabalhos que utilizam a formulação do método dos elementos de contorno,

nas tabelas 9.6 e 9.7 estão os resultados obtidos para o ponto central da placa

p(x=1, y=1):

Resultados

Vinc. Hard

Andrade

(2001)

Sakanaka

(2006)

Presente

Trabalho

Diferença

(%) (1)

Diferença

(%) (2)


Mxx 45,560 45,471 45,552 -0,01584 0,177934

Myy 25,510 25,531 25,506 -0,01524 -0,10077



Tabela 9.6 – Resultados para o ponto central da placa – AEAE – HARD

Os resultados obtidos para a vinculação soft são dados pela tabela 9.7:

143

Resultados

Vinc. Soft

Andrade

(2001)

Sakanaka

(2006)

Presente

Trabalho

Diferença

(%) (1)

Diferença

(%) (2)


Mxx 46,070 45,981 46,091 0,04653 0,23888

Myy 25,420 25,667 25,420 - -0,95795



Tabela 9.7 – Resultados para o ponto central da placa – AEAE – SOFT

Vinculação tipo 3 – Placa engastada nos quatro lados:

Figura 9.4 – Vinculação com quatro lados engastados - EEEE



parâmetro de máxima deflexão, dado pela equação (9.1). A tabela 9.8 mostra os

resultados:

h/L Diaz-C. e Nomura

(1995)

Presente

Trabalho Diferença (%) (1)

0,01 0,00126 0,00126 -

0,05 0,00132 0,00132 -

0,10 0,00150 0,00150 -

0,20 0,00217 0,00217 -

Obs.: (1) – Diferença com relação a Diaz-C. e Nomura (1995)

Tabela 9.8 – Parâmetros de máxima deflexão para a vinculação – EEEE– HARD

144

No exemplo para a placa engastada o método dos elementos de contorno

obteve excelente performance pois os resultados foram os mesmos da solução

analítica para a precisão de 4 casas decimais. Também foram comparados os

resultados com outros trabalhos que utilizam a formulação do método dos elementos

de contorno, nas tabelas 9.9 e 9.10 estão os resultados obtidos para o ponto central

da placa p(x=1, y=1):

Resultados

Vinc. Hard

Andrade

(2001)

Sakanaka

(2006)

Presente

Trabalho

Diferença

(%) (1)

Diferença

(%) (2)


Mxx 28,220 28,234 28,223 0,01070 -0,03945

Myy 28,220 28,234 28,223 0,01070 -0,03945



Tabela 9.9 – Resultados para o ponto central da placa – EEEE – HARD

Os resultados obtidos para a vinculação soft foram:

Resultados

Vinc. Soft

Andrade

(2001)

Sakanaka

(2006)

Presente

Trabalho

Diferença

(%) (1)

Diferença

(%) (2)


Mxx 28,230 28,236 28,225 -0,01583 -0,03955

Myy 28,230 28,236 28,225 -0,01583 -0,03955



Tabela 9.10 – Resultados para o ponto central da placa – EEEE – SOFT

9.1.1 Comentários sobre os resultados para problemas de flexão de placas

Foram obtidos resultados para problemas de flexão devido a utilização das

mesmas matrizes H e G também nos problemas de instabilidade, isto permitiu uma

verificação do cálculo das soluções fundamentais.

As teorias de Reissner e Mindlin possuem algumas diferênças em suas

formulações e os resultados que elas mostram também são diferentes, embora a

divergência entre estes resultados seja muito pequena.

145

Os problemas de flexão mostraram uma ótima concordância com as soluções

analíticas obtidas por SALERNO e GOLDBERG (1960), uma vez que estes autores

utilizam a teoria de Reissner em seus resultados.

Quando comparados com WANG et al. (2001) e DIAZ-C. e NOMURA (1995),

os resultados do presente trabalho não apresentaram diferença.

Devido a utilização da teoria de Mindlin no trabalho de LEE et al. (2001), os

resultados do presente trabalho apresentaram uma diferença pequena.

A comparação com outros trabalhos que utilizam elementos de contorno

também mostraram ótimos resultados. Foram avaliados os valores do deslocamento,

do momento em torno do eixo x e momento em torno do eixo y, todos estes valores

apresentaram uma boa aproximação com o trabalho de ANDRADE (2001) o qual foi

baseado na teoria de Reissner e também com o trabalho de SAKANAKA (2006) o

qual foi baseado na teoria de Mindlin.

A boa aproximação com as soluções analíticas mostra que o cálculo das

soluções fundamentais nas matrizes H e G foi feito com boa precisão.

9.2 RESULTADOS PARA INSTABILIDADE DE PLACAS SEM FUROS

Nesta seção são apresentados os resultados obtidos para instabilidade de

placas sem furos. Será mostrado o parâmetro crítico obtido para diversos tipos de

vinculação. Serão utilizados de 16 a 22 pontos de Gauss para a integração das

funções de forma, são utilizados 128 elementos quadráticos no contorno e 256

células para descrever o domínio. As propriedades dos materiais são dados pela

tabela 9.11:

Coeficiente Variável Valor

Módulo de Young E 2,069 1011 N/m²

Coeficiente de Poisson v 0,3

Tabela 9.11 – Coeficientes para problemas de instabilidade

As placas analisadas são quadradas de L = 0.5 m de lado, com diversas

espessuras dadas pelo aspecto h/L. A carga distribuída analisada é de 1 N, normal à

146

seção transversal da placa. Os tipos de vinculação utilizados são dados pela figura

9.5:

Figura 9.5 – Tipos de vinculação

O valor do parâmetro crítico de flambagem é dado pela equação 9.1:

2

2

critNk L

D (9.2)

Onde:

k = Valor do parâmetro crítico de flambagem

L = Tamanho do lado da placa

D = Módulo de rigidez à flexão (dado pela equação 4.6)

Também são apresentadas os parâmetros críticos das placas à medida com

que se aumenta o número de elementos e células de domínio, a visualização desta

convergência foi possível devido ao programa gerador de malhas desenvolvido no

presente trabalho. As malhas testadas variam de 4 até 256 células de domínio. A

cada dois elementos quadráticos de contorno, será utilizada 1 célula de domínio. Um

exemplo de malha pode ser visto na figura 9.6 que mostra uma malha de 10

elementos por lado e 25 células de domínio:

147

Figura 9.6 – Malha com 10 elementos por lado e 25 células de domínio

A malha de 32 elementos por lado e 256 células de dominio está na figura

9.7:

Figura 9.7 – Malha com 32 elementos por lado e 256 células de dominio

148

9.2.1 Exemplo 1 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AAAA

Figura 9.8 – Placa verificada quanto à instabilidade - AAAA - HARD

h/L Presente Trabalho

HOSSEINI-HASHEMI et al. (2008)

MIZUSAWA (1993)

Diferença (1) (%)

Diferença (2) (%)

0,001 4,0128 4,0000 4,0000 0,3200 0,3200

0,01 4,0105 - 3,9980 - 0,3127

0,05 3,9561 3,9440 3,9280 0,3068 0,7154

0,1 3,7953 3,7864 3,7290 0,2351 1,7780

0,2 3,2643 3,2637 3,1190 0,0184 4,6585 Obs.: (1) – Diferença com relação a HOSSEINI-HASHEMI et al. (2008)

(2) – Diferença com relação a MIZUSAWA (2001)

Tabela 9.12 – Parâmetro crítico de flambagem – AAAA – HARD

Figura 9.9 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AAAA - HARD

3

3.2

3.4

3.6

3.8

4

4.2

4.4

4.6

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico

Células de Domínio

AAAA - Parâmetros Críticos de acordo com a quantidade de

células de domínio

0.001

0.01

0.05

0.1

0.2

149

9.2.2 Exemplo 2 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AAAE

Figura 9.10 – Placa verificada quanto à instabilidade – AAAE - HARD



MIZUSAWA (1993)

Diferença (1) (%)

Diferença (2) (%)

0,001 4,8707 4,8471 4,8470 0,4869 0,4890

0,01 4,8665 - 4,8420 - 0,5060

0,05 4,7681 4,7454 4,7170 0,4784 1,0833

0,1 4,4858 4,4656 4,3720 0,4523 2,6029



Tabela 9.13 – Parâmetro crítico de flambagem – AAAE – HARD

Figura 9.11 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AAAE - HARD

3

3.5

4

4.5

5

5.5

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico


AAAE - Parâmetros Críticos de acordo com a quantidade de


0.001

0.01

0.05

0.1

0.2

150

9.2.3 Exemplo 3 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação EAAA

Figura 9.12 – Placa verificada quanto à instabilidade - EAAA – HARD



MIZUSAWA (1993)

Diferença (1) (%)

Diferença (2) (%)

0,001 5,7598 5,7401 5,7400 0,3432 0,3449

0,01 5,7539 - 5,7330 - 0,3646

0,05 5,6164 5,5977 5,5740 0,3341 0,7607

0,1 5,2335 5,2171 5,1400 0,3144 1,8191



Tabela 9.14 – Parâmetro crítico de flambagem – EAAA – HARD

Figura 9.13 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - EAAA - HARD

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico


EAAA - Parâmetros Críticos de acordo com a quantidade de células

de domínio

0.001

0.01

0.05

0.1

0.2

151

9.2.4 Exemplo 4 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AEAE

Figura 9.14 – Placa verificada quanto à instabilidade – AEAE - HARD



MIZUSAWA (1993)

Diferença (1) (%)

Diferença (2) (%)

0,001 6,7967 6,7431 6,7430 0,7949 0,7964

0,01 6,7875 - 6,7310 - 0,8394

0,05 6,5742 6,5238 6,4620 0,7726 1,7363

0,1 5,9910 5,9487 5,7650 0,7111 3,9202



Tabela 9.15 – Parâmetro crítico de flambagem – AEAE – HARD

Figura 9.15 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AEAE - HARD

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico


AEAE - Parâmetros Críticos de acordo com a quantidade de células

de domínio

0.001

0.01

0.05

0.1

0.2

152

9.2.5 Exemplo 5 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação EAEA

Figura 9.16 – Placa verificada quanto à instabilidade - EAEA - HARD



MIZUSAWA (1993)

Diferença (1) (%)

Diferença (2) (%)

0,001 7,7543 7,6911 7,6910 0,8217 0,8230

0,01 7,7373 - 7,6710 - 0,8643

0,05 7,3561 7,2989 7,2280 0,7837 1,7723

0,1 6,4140 6,3698 6,1780 0,6939 3,8200



Tabela 9.16 – Parâmetro crítico de flambagem – EAEA – HARD

Figura 9.17 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - EAEA - HARD

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico


EAEA - Parâmetros Críticos de acordo com a quantidade de células

de domínio

0.001

0.01

0.05

0.1

0.2

153

9.2.6 Exemplo 6 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação LAAA

Figura 9.18 – Placa verificada quanto à instabilidade – LAAA - HARD



MIZUSAWA (1993)

Diferença (1) (%)

Diferença (2) (%)

0,001 1,4038 1,4014 1,4020 0,1713 0,1284

0,01 1,4029 - 1,4000 - 0,2071

0,05 1,3850 1,3813 1,3780 0,2679 0,5080

0,1 1,3442 1,3270 1,3270 1,2962 1,2962



Tabela 9.17 – Parâmetro crítico de flambagem LAAA – HARD

Figura 9.19 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - LAAA - HARD

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico


LAAA - Parâmetros Críticos de acordo com a quantidade de células

de domínio

0.001

0.01

0.05

0.1

0.2

154

9.2.7 Exemplo 7 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação LAEA

Figura 9.20 – Placa verificada quanto à instabilidade - LAEA - HARD



MIZUSAWA (1993)

Diferença (1) (%)

Diferença (2) (%)

0,001 1,6555 1,6522 1,6530 0,1997 0,1512

0,01 1,6536 - 1,6500 - 0,2182

0,05 1,6246 1,6197 1,6150 0,3025 0,5944

0,1 1,5605 1,5558 1,5390 0,3021 1,3970



Tabela 9.18 – Parâmetro crítico de flambagem – LAEA – HARD

Figura 9.21 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - LAEA - HARD

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico


LAEA - Parâmetros Críticos de acordo com a quantidade de células

de domínio

0.001

0.01

0.05

0.1

0.2

155

9.2.8 Exemplo 8 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação LALA

Figura 9.22 – Placa verificada quanto à instabilidade – LALA - HARD



MIZUSAWA (1993)

Diferença (1) (%)

Diferença (2) (%)

0,001 0,9537 0,9523 0,9523 0,1470 0,1470

0,01 0,9533 - 0,9516 - 0,1786

0,05 0,9450 0,9432 0,9412 0,1908 0,4037

0,1 0,9236 0,9222 0,9146 0,1518 0,9840



Tabela 9.19 – Parâmetro crítico de flambagem – LALA – HARD

Figura 9.23 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - LALA - HARD

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico


LALA- Parâmetros Críticos de acordo com a quantidade de células

de domínio

0.001

0.01

0.05

0.1

0.2

156

9.2.9 Exemplo 9 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AEAL

Figura 9.24 – Placa verificada quanto à instabilidade - AEAL - HARD



MIZUSAWA (1993)

Diferença (1) (%)

Diferença (2) (%)

0,001 2,3952 2,3901 2,3920 0,2134 0,1338

0,01 2,3788 - 2,3780 - 0,0336

0,05 2,2747 2,2667 2,2600 0,3529 0,6504

0,1 2,1090 2,1010 2,0780 0,3808 1,4918



Tabela 9.20 – Parâmetro crítico de flambagem – AEAL – HARD

Figura 9.25 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AEAL - HARD

1.5

1.7

1.9

2.1

2.3

2.5

2.7

2.9

3.1

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico


AEAL - Parâmetros Críticos de acordo com a quantidade de células

de domínio

0.001

0.01

0.05

0.1

0.2

157

9.2.10 Exemplo 10 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AAAL

Figura 9.26 – Placa verificada quanto à instabilidade – AAAL - HARD



MIZUSAWA (1993)

Diferença (1) (%)

Diferença (2) (%)

0,001 2,3690 2,3639 2,3660 0,2157 0,1268

0,01 2,3530 - 2,3530 - 0,0000

0,05 2,2520 2,2442 2,2370 0,3476 0,6705

0,1 2,0908 2,0829 2,0600 0,3793 1,4951



Tabela 9.21 – Parâmetro crítico de flambagem – AAAL – HARD

Figura 9.27 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AAAL - HARD

1.5

1.7

1.9

2.1

2.3

2.5

2.7

2.9

3.1

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico


AAAL - Parâmetros Críticos de acordo com a quantidade de células

de domínio

0.001

0.01

0.05

0.1

0.2

158

9.2.11 Exemplo 11 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação EEEE

Figura 9.28 – Placa verificada quanto à instabilidade - EEEE - HARD


TIMOSHENKO (1961)

DAWE et al. (1993)

Diferença (1) (%)

Diferença (2) (%)

0,001 10,1605 10,0700 - 0,8987 -

0,01 10,1382 - 10,0630 - 0,7473

0,05 9,6326 - 9,5150 - 1,2359

0,1 8,3411 - 8,0840 - 3,1804

0,2 5,3175 - 5,0200 - 5,9263 Obs.: (1) – Diferença com relação a TIMOSHENKO (1961)

(2) – Diferença com relação a DAWE et al. (1993)

Tabela 9.22 – Parâmetro crítico de flambagem – EEEE – HARD

Figura 9.29 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - EEEE - HARD

5

6

7

8

9

10

11

12

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico


EEEE - Parâmetros Críticos de acordo com a quantidade de células

de domínio

0.001

0.01

0.05

0.1

0.2

159

9.2.12 Exemplo 12 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação ALAL

Figura 9.30 – Placa verificada quanto à instabilidade – ALAL - HARD



MIZUSAWA (1993)

Diferença (1) (%)

Diferença (2) (%)

0,001 2,0456 2,0413 2,0430 0,2107 0,1273

0,01 2,0308 - 2,0320 - -0,0591

0,05 1,9508 1,9457 1,9420 0,2621 0,4531

0,1 1,8271 1,8216 1,8070 0,3019 1,1123



Tabela 9.23 – Parâmetro crítico de flambagem – ALAL – HARD

Figura 9.31 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - ALAL - HARD

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico


ALAL - Parâmetros Críticos de acordo com a quantidade de células

de domínio

0.001

0.01

0.05

0.1

0.2

160

9.2.13 Exemplo 13 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação AAAA

Figura 9.32 – Placa verificada quanto à instabilidade – carga biaxial - AAAA - HARD



Diferença (%)

0,001 2,0064 2,0000 0,3200

0,005 2,0061 1,9997 0,3200

0,05 1,9782 1,9718 0,3246

0,1 1,8980 1,8919 0,3224

0,15 1,7780 1,7722 0,3273 Obs.: (1) – Diferença com relação a HOSSEINI-HASHEMI et al. (2008)

Tabela 9.24 –Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – AAAA - HARD

Figura 9.33 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial - AAAA

1.5

1.7

1.9

2.1

2.3

2.5

0 50 100 150 200 250

Par

âmet

ro C

ríti

co




0.001

0.005

0.05

0.1

0.15

161

9.2.14 Exemplo 14 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação AEAL

Figura 9.34 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial – AEAL - HARD



Diferença (%)

0,001 1,1456 1,1431 0,2187

0,005 1,1451 1,1412 0,3417

0,05 1,1157 1,1119 0,3418

0,1 1,0674 1,0641 0,3101


Tabela 9.25– Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – AEAL – HARD

Figura 9.35 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial - AEAL

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico


AEAL - Parâmetros Críticos de acordo com a quantidade de células

de domínio

0.001

0.005

0.05

0.1

0.15

162

9.2.15 Exemplo 15 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação AAAL

Figura 9.36 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial - AAAL - HARD



Diferença (%)

0,001 1,0567 1,0548 0,1801

0,005 1,0566 1,0535 0,2943

0,05 1,0353 1,0322 0,3003

0,1 0,9981 0,9954 0,2712


Tabela 9.26 – Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – AAAL – HARD

Figura 9.37 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial - AAAL

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico


AAAL - Parâmetros Críticos de acordo com a quantidade de células

de domínio

0.001

0.005

0.05

0.1

0.15

163

9.2.16 Exemplo 16 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação AALL

Figura 9.38 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial – AALL - HARD



Diferença (%)

0,001 0,9284 0,9321 -0,3970

0,005 0,9270 0,9316 -0,4938

0,05 0,9032 0,9207 -1,9007

0,1 0,8672 0,8977 -3,3976

0,15 0,8235 0,8650 -4,7977 Obs.: (1) – Diferença com relação a HOSSEINI-HASHEMI et al. (2008)

Tabela 9.27 – Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – AALL – HARD

Figura 9.39 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial - AALL

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico


AALL - Parâmetros Críticos de acordo com a quantidade de células

de domínio

0.001

0.005

0.05

0.1

0.15

164

9.2.17 Exemplo 17 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação ALAL

Figura 9.40 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial - ALAL - HARD


LIEW et al. (1996) Diferença (%)

0,001 1,1937 - -

0,005 1,1907 - -

0,05 1,1492 1,1199 2,6163

0,1 1,0889 1,1010 -1,0990

0,15 1,0186 1,0660 -4,4465 Obs.: (1) – Diferença com relação a LIEW et al. (1996)

Tabela 9.28– Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – ALAL – HARD

Figura 9.41 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial - ALAL

0.95

1.05

1.15

1.25

1.35

1.45

1.55

1.65

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico


ALAL - Parâmetros Críticos de acordo com a quantidade de células

de domínio

0.001

0.005

0.05

0.1

0.15

165

9.2.18 Exemplo 18 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação EEEE

Figura 9.42 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial – EEEE - HARD


TIMOSHENKO (1961)

DAWE et al. (1993)

Diferença (1) (%)

Diferença (2) (%)

0,001 5,3483 5,3100 - 0,7213 -

0,005 5,3460 - 5,2970 - 0,9251

0,05 5,1254 - - - -

0,1 4,5741 - 4,5460 - 0,6181

0,15 3,8992 - - - - Obs.: (1) – Diferença com relação a TIMOSHENKO (1961)

(2) – Diferença com relação a DAWE et al. (1993)

Tabela 9.29 – Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – EEEE – HARD

Figura 9.43 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial - EEEE

3.75

4.25

4.75

5.25

5.75

6.25

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico



de domínio

0.001

0.005

0.05

0.1

0.15

166

9.2.19 Exemplo 19 – Placa com carga de cisalhamento – Vinculação AAAA

Figura 9.44 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga de cisalhamento - AAAA


TIMOSHENKO (1961)

BUI et al. (2011)

Diferença (1) (%)

Diferença (2) (%)

0,001 9,4260 9,3400 - 0,9208 -

0,01 9,4083 - 9,3780 - 0,3231

0,05 8,9979 - - - -

0,1 7,9201 - - - -


(2) – Diferença com relação a BUI et al. (2011)

Tabela 9.30 – Parâmetro crítico de flambagem - carga de cisalhamento – AAAA – HARD

Figura 9.45 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - cisalhamento - AAAA

1.5

3.5

5.5

7.5

9.5

11.5

13.5

15.5

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico




0.001

0.01

0.05

0.1

0.2

167

9.2.20 Exemplo 20 – Placa com carga de cisalhamento – Vinculação EEEE

Figura 9.46 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga de cisalhamento – EEEE


TIMOSHENKO (1961)

BUI et al. (2011)

Diferença (1) (%)

Diferença (2) (%)

0,001 14,8702 14,7100 - 1,0891 -

0,01 14,8109 - 14,6155 - 1,3369

0,05 13,5493 - - - -

0,1 10,8454 - - - -



Tabela 9.31 – Parâmetro crítico de flambagem - carga de cisalhamento – EEEE – HARD

Figura 9.47 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - cisalhamento - EEEE

1.5

6.5

11.5

16.5

21.5

26.5

31.5

36.5

41.5

46.5

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico



de domínio

0.001

0.01

0.05

0.1

0.2

168

9.2.21 Exemplo 21 – Placa com carga de cisalhamento – Vinculação EAEA

Figura 9.48 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga de cisalhamento – EAEA


TIMOSHENKO (1961)

BUI et al. (2011)

Diferença (1) (%)

Diferença (2) (%)

0,001 12,7360 12,5997 - 1,0818 -

0,01 12,6947 - 12,5800 - 0,9118

0,05 11,7923 - - - -

0,1 9,7344 - - - -



Tabela 9.32 – Parâmetro crítico de flambagem - carga de cisalhamento – EAEA – HARD

Figura 9.49 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - cisalhamento – EAEA

1.5

6.5

11.5

16.5

21.5

26.5

0 50 100 150 200 250

Par

âme

tro

Crí

tico


EAEA - Parâmetros Críticos de acordo com a quantidade de células

de domínio

0.001

0.01

0.05

0.1

0.2

169

9.2.22 Comentários sobre os problemas de instabilidade de placas sem furos

Os resultados obtidos pelo presente trabalho tiveram boa aproximação com

os resultados dados por HOSSEINI-HASHEMI et al. (2008), pois estes autores

utilizaram uma formulação analítica para obter as cargas críticas com o efeito da

deformação por cortante.

Os resultados também tiveram boa aproximação com os resultados obtidos

por MIZUSAWA (1993), mas com uma diferença maior do que quando comparado

com a solução analítica de HOSSEINI-HASHEMI et al. (2008). Isto é devido ao fato

de que Mizusawa considerou termos adicionais para levar em conta o efeito da não

linearidade geométrica. Por outro lado, ele também mostrou que o uso desses

termos adicionais nem sempre reduziam a carga crítica para algumas condições de

vinculação.

O uso de 128 elementos de contorno e 256 células de domínio nesse trabalho

mostrou que é possível obter um erro relativo menor que 0,5% para a solução

analítica. No entanto, existe também a possibilidade de aumentar o refinamento da

malha de contorno e das células de domínio para redução desse erro relativo.

As placas com lados do contorno livres necessitaram de uma integração mais

precisa, sendo necessário aumentar o número de pontos de Gauss para 22 na

integração numérica e também precisaram de um tempo maior de processamento.

As placas com lados somente apoiados ou engastados precisaram de um tempo

menor de processamento e a integração numérica precisou 16 pontos de Gauss. As

placas com espessura muito fina de ordem h/L = 0,001 precisaram de muito mais

tempo de processamento do que as de outras espessuras para solução do

problema.

As malhas com células de domínio maiores ( a cada 2 elementos de contorno

utiliza-se 1 célula de domínio ) tiveram uma convergência mais rápida e precisaram

de menor processamento do que outros tipos de malhas ( a cada 1 elemento de

contorno utiliza-se 1 célula de domínio, por exemplo ) porque não foi usada

nenhuma técnica de subelementos para integração. Foi observado em todas as

placas analisadas que o parâmetro crítico de flambagem diminui à medida que se

aumenta a espessura da placa verificada.

170

9.3 RESULTADOS PARA INSTABILIDADE DE PLACAS COM FUROS – MALHA 1 - CG DA CÉLULA PRÓXIMO AO CONTORNO

São apresentados a seguir os resultados obtidos do parâmetro crítico de

flambagem para placas com furos. São utilizados 22 pontos de Gauss para a

integração das funções de forma. Nestes casos é necessário calcular as tensões

internas no centro de gravidade das células de domínio em um problema de estado

plano de tensão com mesma discretização e mesma solicitação, mas com todas

bordas livres. Retiradas as tensões do programa de estado plano de tensão, estas

são aplicadas no centro de gravidade das células de domínio no programa de

instabilidade de placas. No programa de estado plano de tensão são utilizados 128

elementos quadráticos no contorno e bordas dos furos. As propriedades dos

materiais são as mesmas da tabela 9.1. Em todas as placas perfuradas o contorno

está simplesmente apoiado (hard) e as bordas dos furos estão livres.

No presente trabalho foram testados dois tipos de malhas para elementos de

contorno:

1) Malha 1 - 1 elemento de contorno para cada 2 células de domínio

2) Malha 2 - 2 elementos de contorno para cada célula de domínio.

Primeiramente são apresentados os resultados para a malha 1 com centro de

gravidade da célula próximo ao contorno, as malhas estão descritas na tabela 9.33:

d/L Células de Domínio Elementos de contorno

0,1 396 44

0,2 384 48

0,3 312 52

0,4 280 66

0,5 7200 300

0,6 6080 320

0,7 4760 340

Tabela 9.33 – Malha 1 – cg da célula próximo ao contorno para placas com furos

171

9.3.1 Vinculação para placas com furos

Em todas as placas perfuradas o contorno está simplesmente apoiado (hard)

e as bordas dos furos estão livres. Esta vinculação vale para todos os tipos de

malhas. A figura 9.50 ilustra a vinculação adotada:

Figura 9.50 – Vinculação para placas com furos

172

9.3.2 Malha 1 - cg da célula próximo ao contorno para placas com furos pequenos

Na figura 9.51 pode-se visualizar a malha utilizada para a placa com furo de

largura 0.15m, este padrão de discretização foi utilizado para todos os furos

considerados pequenos (d/L = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4), os quais renderam resultados

satisfatórios. Recomenda-se uma análise de convergência pois uma malha pequena

que pode render resultados bons para furos pequenos mas ao mesmo tempo pode

dar resultados com maiores desvios para furos grandes.

Figura 9.51 – Malha 1 – cg da célula próximo ao contorno (d/L = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4)

173

9.3.3 Malha 1 - cg da célula próximo ao contorno para placas com furos grandes

Na figura 9.52 pode-se visualizar a malha utilizada para a placa com furo de

largura 0.15m, este padrão de discretização foi utilizado para todos os furos

considerados grandes (d/L = 0,5; 0,6 e 0,7) a malha para furos pequenos foi refinada

em cinco vezes mais células de domínio para que a precisão desejada fosse

alcançada.

Figura 9.52 – Malha 1 – cg da célula próximo ao contorno (d/L = 0,5; 0,6 e 0,7)

174

9.3.4 Exemplo 1 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,1

Figura 9.53 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,1 – Carga Uniaxial


JAYASHANKARBABU e KARISIDDAPPA (2014)

EL-SAWY e NAZMY (2001)

Diferença (%) (1)

Diferença (%) (2)

0,01 3,7969 3,7998 3,7973 -0,0763 -0,0105

0,05 3,7270 3,7382 - -0,2983 -

0,1 3,5748 3,6011 - -0,7301 -

0,15 3,3584 3,3825 - -0,7134 -

0,2 3,0986 3,1150 - -0,5271 - Obs.: (1) – Diferença com relação a JAYASHANKARBABU e KARISIDDAPPA (2014)

(2) – Diferença com relação a EL-SAWY e NAZMY (2001)

Tabela 9.34 – Parâmetros críticos de flambagem, placa com furo d/L = 0.1 – Malha 1

A largura do furo é 0,05 m, foi observado que quando o furo é pequeno, a

variação das tensões perto do furo também é pequena. Isto resulta na maior

facilidade numérica do tratamento do problema, ou seja, o problema necessita de

uma menor quantidade de elementos e células de domínio para ser resolvido com

uma precisão aceitável. Os resultados mostraram excelente comparação com os

valores de EL-SAWY e NAZMY (2001) e JAYASHANKARBABU e KARISIDDAPPA

(2014).

175






Diferença (%) (1)

Diferença (%) (2)

0,01 3,4444 3,4785 3,4449 -0,9804 -0,0146

0,05 3,3676 3,4037 - -1,0626 -

0,1 3,2240 3,2749 - -1,5527 -

0,15 3,0319 3,0807 - -1,5832 -



Tabela 9.35 – Parâmetros críticos de flambagem, placa com furo d/L = 0,2 – Malha 1

A largura do furo é 0,1 m, este furo ainda pode ser considerado pequeno, a

variação das tensões perto do furo também é pequena.. Os resultados mostraram

excelente comparação com os valores de EL-SAWY e NAZMY (2001), a diferença

com JAYASHANKARBABU e KARISIDDAPPA (2014) ficou menor que 2%.

176






Diferença (%) (1)

Diferença (%) (2)

0,01 3,1873 3,2512 3,17905 -1,9670 0,2579

0,05 3,1051 3,1345 - -0,9401 -

0,1 2,9591 3,0057 - -1,5501 -

0,15 2,7679 2,8197 - -1,8388 -




A largura do furo é 0,15 m, a variação das tensões ao longo do furo começa a

ficar maior mas para o método dos elementos de contorno utilizado, o problema

necessita ainda necessita de uma menor quantidade de elementos e células de

domínio para ser resolvido com uma precisão aceitável. Os resultados mostraram

boa comparação com os valores de EL-SAWY e NAZMY (2001) a diferença relação

à JAYASHANKARBABU e KARISIDDAPPA (2014) continua na mesma dimensão do

que a placa com furo d/L = 0,2.

177






Diferença (%) (1)

Diferença (%) (2)

0,01 3,0389 3,2321 3,02365 -5,9780 0,5039

0,05 2,9402 3,0448 - -3,4378 -

0,1 2,7729 2,8670 - -3,2835 -

0,15 2,5573 2,6566 - -3,7382 -




A largura do furo é 0,2 m, a variação das tensões ao longo do furo começa a

ficar maior mas para o método dos elementos de contorno utilizado, o problema

ainda necessita de uma menor quantidade de elementos e células de domínio para

ser resolvido com uma precisão aceitável. Os resultados mostraram boa

comparação com os valores de EL-SAWY e NAZMY (2001) mas a diferença relação

à JAYASHANKARBABU e KARISIDDAPPA (2014) dobrou com relação ao furo d/L =

0,3.

178






Diferença (%) (1)

Diferença (%) (2)

0,01 2,9098 3,3120 2,92568 -12,1438 -0,5429

0,05 2,7811 2,9551 - -5,8875 -

0,1 2,5652 2,7529 - -6,8160 -

0,15 2,2842 2,4935 - -8,3924 -




A largura do furo é 0,25 m, apartir deste tamanho de furo a variação de

tensões ao longo do furo é grande e precisa de uma discretização maior de

elementos e células de domínio. A mesma discretização utilizada em problemas de

furos menores pode gerar desvios grandes. Os resultados mostraram boa

comparação com os valores de EL-SAWY e NAZMY (2001) mas a diferença relação

à JAYASHANKARBABU e KARISIDDAPPA (2014) aumentou consideravelmente, a

explicação para este fato é dada na seção 9.3.11.

179






Diferença (%) (1)

Diferença (%) (2)

0,01 2,8367 4,4132 2,86486 -35,7228 -0,9836

0,05 2,6631 3,2080 - -16,9859 -

0,1 2,3877 2,6713 - -10,6163 -

0,15 1,8360 2,2243 - -17,4583 -




A largura do furo é 0,30 m, a variação de tensões ao longo do furo é grande e

precisa de uma discretização maior de elementos e células de domínio. A mesma

discretização utilizada em problemas de furos menores pode gerar desvios grandes.

Os resultados mostraram boa comparação com os valores de EL-SAWY e NAZMY

(2001) mas a diferença relação à JAYASHANKARBABU e KARISIDDAPPA (2014)

aumentou consideravelmente, a explicação para este fato é dada na seção 9.3.11.

180





Diferença (%) (1)

0,01 2,8117 2,8449 -1,1664

0,05 2,5588 - -

0,1 2,2789 - -

0,15 1,1438 - -

0,2 0,6456 - - (1) – Diferença com relação a EL-SAWY e NAZMY (2001)


A largura do furo é 0,35 m, a variação de tensões ao longo do furo é grande e

precisa de uma discretização maior de elementos e células de domínio. A mesma

discretização utilizada em problemas de furos menores pode gerar desvios grandes.

Os resultados mostraram boa comparação com os valores de EL-SAWY e NAZMY

(2001).

181

9.3.11 Comentários sobre os resultados para placas com furos – Malha 1 – cg próximo ao contorno

Os resultados obtidos pelo presente trabalho para placas com furos utilizando

a malha 1 com cg próximo ao contorno ( a cada 1 elemento de contorno utiliza-se 2

células de domínio ) tiveram boa aproximação com os resultados de EL-SAWY e

NAZMY (2001) o qual utilizaram o método dos elementos finitos para o cálculo. Os

resultados do presente trabalho também estiveram em boa conformidade com os

resultados obtidos por DOVAL et al. (2013) o qual utilizaram o método dos

elementos de contorno para o cálculo.

A não conformidade com os resultados de JAYASHANKARBABU e

KARISIDDAPPA (2014) ( onde foi utilizado o método dos elementos finitos ) é

aparente devido à observação que os parâmetros críticos dados por estes autores

aumentam ao invés de diminuir à medida que o tamanho furo aumenta, este

problema é maior quando observa-se o resultado da placa com d/L = 0,6 onde o

parâmetro crítico de flambagem destes autores foi de 4,4132 mostrando um

problema com o refinamento da malha pois o parâmetro crítico foi maior do que o de

uma placa sem furo, o qual a resposta é 4. Este problema já foi observado por outros

autores como SABIR e CHOW (1983) e EL-SAWY e NAZMY (2001), isto acontece

devido à utilização de uma malha não suficientemente refinada para problemas com

furos grandes o qual d/L > 0,4. Este problema é observado no método dos

elementos finitos e também no método dos elementos de contorno ( quando é

utilizada a malha com cg próximo ao contorno, a malha com cg distante do contorno

não apresenta esse problema ). Isto é devido à grande variação de tensões nas

bordas dos furos, quanto maior o furo, maior a variação de tensões, uma malha

pobre não consegue descrever este comportamento corretamente.

Foi observado que quando é utilizada a malha 1 com cg da célula de domínio

próximo ao contorno começam a aparecer problemas de singularidade na

integração. Isto impossibilita o cálculo para a espessura muito fina h/L = 0,001 sem a

utilização de algum artifício de integração como o método dos sub-elementos. A

tabela 9.41 juntamente com a figura 9.60 mostram a comparação dos resultados

obtidos para a espessura h/L = 0,01 com os resultados de outros trabalhos.

182

9.3.12 Comparação dos resultados para a malha 1 – cg da célula próximo ao contorno

d/L Presente Trabalho Malha 1


DOVAL et al. (2013)

JAYA. e KARIS. (2014)

Diferença (%) (1)

Diferença (%) (2)

Diferença (%) (3)

0 4,0105 4,0000 4,0000 4,0000 0,2625 0,2625 0,2625

0,1 3,7969 3,7973 3,7600 3,7998 -0,0105 0,9813 -0,0763

0,2 3,4444 3,4449 3,4000 3,4785 -0,0146 1,3057 -0,9804

0,3 3,1873 3,1790 3,1500 3,2512 0,2579 1,1825 -1,9670

0,4 3,0389 3,0236 2,9100 3,2321 0,5038 4,4290 -5,9780

0,5 2,9098 2,9256 2,7500 3,3120 -0,5429 5,8108 -12,144

0,6 2,8367 2,8648 2,6500 4,4132 -0,9836 7,0445 -35,723

0,7 2,8117 2,8449 2,6000 - -1,1664 8,1429 - Obs.: (1) – Diferença com relação a EL-SAWY e NAZMY (2001)

(2) – Diferença com relação a DOVAL et al. (2013)

(3) – Diferença com relação a JAYASHANKARBABU e KARISIDDAPPA (2014)

Tabela 9.41 – Parâmetros críticos de flambagem, com relação a d/L – Malha 1

Figura 9.60 – Gráfico para os parâmetros críticos de flambagem – Malha 1

2.4

2.9

3.4

3.9

4.4

4.9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Par

âme

tro

Crí

tico

d/L - Largura do furo/Largura da placa

Comparação de Parâmetros Críticos - Malha 1

Presente Trabalho EL-SAWY e NAZMY (2001)

JAYASHANKARBABU e KARISIDDAPPA (2014) DOVAL et al. (2013)

183

9.4 RESULTADOS PARA INSTABILIDADE DE PLACAS COM FUROS – MALHA 2 – CG DA CÉLULA DISTANTE DO CONTORNO

Para possibilitar o cálculo da espessura muito fina com h/L = 0,001 foi

necessário a utilização de uma malha onde posiciona-se o centro de gravidade das

células de domínio à uma distância maior dos nós de contorno pois quanto mais

próximo o centro de gravidade da célula estiver do contorno, maior será a

possibilidade de ocorrer quase-singularidade, quando não se usa subelementos na

integração. O cálculo para a espessura muito fina foi possível com uma malha em

que a cada 2 elementos de contorno utiliza-se 1 célula de domínio. As tensões do

estado plano são retiradas do cg das células de domínio. A figura 9.61 mostra uma

malha com cg da célula distante do contorno em uma placa com furo com d/L = 0,4.

Esta malha tem 224 elementos de contorno e 336 células de domínio.

Figura 9.61 – Malha 2 – cg da célula distante do contorno

184

Para verificar a convergência adotou-se uma distribuição uniforme dos

elementos de contorno e também das células de domínio conforme o refinamento da

malha foi sendo feito. As malhas refinadas são estruturadas, isto foi possível devido

ao desenvolvimento de um programa na linguagem FORTRAN 90 que cria malhas

estruturadas para placas com furos. O posicionamento dos nós e o cálculo dos

centros de gravidade das células foram feitos com dupla precisão. A figura 9.55

mostra o refinamento da malha mostrada na figura 9.62, a malha agora passa a ter

448 elementos de contorno e 1344 células de domínio.

Figura 9.62 – Malha 2 – cg da célula distante do contorno refinada

As propriedades dos materiais são as mesmas da tabela 9.1. Em todas as

placas perfuradas o contorno está simplesmente apoiado (hard) e as bordas dos

furos estão livres.

185

9.4.1 Resultados para placas com furos – Carga Uniaxial – Malha 2 – cg da célula distante do contorno

A tabela 9.42 mostra a convergência dos parâmetro críticos de flambagem

para as placas analisadas com todos os tamanhos de furos com a malha 2 onde

verificou-se que os resultados sofrem pouca alteração à medida que se aumenta o

número de elementos de contorno e de células de domínio:

d/L N° Elem. N° Cel. h/L = 0.001 0.01 0.05 0.1 0.15 0.2

0,1

176 396 3.8085 3.7999 3.7364 3.5865 3.3699 3.1088

352 1584 3.8024 3.7945 3.7323 3.5828 3.3664 3.1053

528 3564 3.8010 3.7935 3.7316 3.5821 3.3657 3.1046

0,2

192 384 3.4646 3.4535 3.3859 3.2462 3.0537 2.8226

384 1536 3.4546 3.4441 3.3774 3.2373 3.0439 2.8103

576 3456 3.4522 3.4420 3.3754 3.2352 3.0414 2.8068

0,3

208 364 3.2131 3.2003 3.1258 2.9825 2.7902 2.5547

416 1456 3.1961 3.1836 3.1090 2.9640 2.7687 2.5262

624 3276 3.1921 3.1797 3.1050 2.9595 2.7632 2.5179

0,4

224 336 3.0698 3.0533 2.9606 2.7938 2.5751 2.2970

448 1344 3.0411 3.0244 2.9305 2.7607 2.5368 2.2490

672 3024 3.0316 3.0179 2.9234 2.7527 2.5271 2.2342

0,5

240 300 2.9968 2.9739 2.8494 2.6396 2.3698 2.1021

480 1200 2.9481 2.9246 2.7980 2.5847 2.3104 2.0158

720 2700 2.9344 2.9137 2.7864 2.5721 2.2959 1.8552

0,6

256 256 2.9781 2.9457 2.7751 2.5023 2.2413 1.7089

512 1024 2.8933 2.8599 2.6880 2.4148 2.1519 1.4332

768 2304 2.8725 2.8419 2.6695 2.3958 2.1265 1.2794

0,7

272 204 3.0601 3.0130 2.7719 2.4806 1.7783 1.0240

544 816 2.8912 2.8448 2.6070 2.3146 1.3997 0.7966

816 1836 2.8585 2.8119 2.5747 2.2834 1.3565 0.7926

Tabela 9.42 – Parâmetros críticos de flambagem, placas com furo – Malha 2

Todas as placas foram verificadas com à medida que foi feito o refinamento

da malha de contorno e domínio, sempre seguindo o padrão das figuras 9.61 e 9.62

para que as malhas sempre fossem estruturadas e homogêneas.

Observando a tabela 9.42 foi possível verificar a convergência dos

parâmetros críticos de flambagem usando a malha 2 para todos os tamanhos de

furos e espessuras, ocorreu de uma maneira mais eficiente do que quando utilizada

a malha 1.

186

A tabela 9.43 mostra a comparação dos resultados para placa com aspecto

h/L = 0,001 e também h/L = 0,01 com os resultados obtidos por EL-SAWY e NAZMY

(2001).

d/L N° Elem. N° Cel. h/L = 0.001 0.01 EL-SAWY e

NAZMY (2001) Diferença

(%) (1) Diferença

(%) (2)

0,1

176 396 3.8085 3.7999 3.7973 0.2949 0.0691

352 1584 3.8024 3.7945 3.7973 0.1330 -0.0725

528 3564 3.8010 3.7935 3.7973 0.0987 -0.0989

0,2

192 384 3.4646 3.4535 3.4449 0.5713 0.2485

384 1536 3.4546 3.4441 3.4449 0.2802 -0.0228

576 3456 3.4522 3.4420 3.4449 0.2111 -0.0840

0,3

208 364 3.2131 3.2003 3.1791 1.0722 0.6678

416 1456 3.1961 3.1836 3.1791 0.5365 0.1422

624 3276 3.1921 3.1797 3.1791 0.4093 0.0206

0,4

224 336 3.0698 3.0533 3.0237 1.5252 0.9802

448 1344 3.0411 3.0244 3.0237 0.5768 0.0262

672 3024 3.0316 3.0179 3.0237 0.2616 -0.1916

0,5

240 300 2.9968 2.9739 2.9257 2.4305 1.6480

480 1200 2.9481 2.9246 2.9257 0.7677 -0.0379

720 2700 2.9344 2.9137 2.9257 0.2989 -0.4088

0,6

256 256 2.9781 2.9457 2.8649 3.9541 2.8217

512 1024 2.8933 2.8599 2.8649 0.9918 -0.1729

768 2304 2.8725 2.8419 2.8649 0.2653 -0.7998

0,7

272 204 3.0601 3.0130 2.8449 7.5659 5.9091

544 816 2.8912 2.8448 2.8449 1.6264 -0.0021

816 1836 2.8585 2.8119 2.8449 0.4777 -1.1603 Obs.: (1) – Diferença de k para h/L = 0,001 com relação a EL-SAWY e NAZMY (2001)

(2) – Diferença de k para h/L = 0,01 com relação a EL-SAWY e NAZMY (2001)

Tabela 9.43 – Parâmetros críticos de flambagem, placas com furo – Malha 2 – Comparação

É esperado que os valores para as placas com h/L = 0,001 se aproximem dos

valores de EL-SAWY e NAZMY (2001), pois estes autores utilizaram uma teoria que

não leva em conta o efeito da deformação por cortante. Também é esperado que os

valores para as placas com h/L = 0,01 fiquem abaixo dos resultado de El-sawy e

Nazmy pois nesta espessura já começa a ficar aparente o efeito da deformação por

cortante. Observando a tabela 9.43 é possível verificar que ambos os valores

convergiram para o que era esperado com boa aproximação.

187

9.4.2 Comentários sobre os resultados para placas com furos – Malha 2 – cg distante do contorno

Os resultados obtidos pelo presente trabalho para placas com furos utilizando

a malha com cg distante do contorno ( a cada 2 elementos de contorno utiliza-se 1

células de domínio ) tiveram boa aproximação com os resultados de EL-SAWY e

NAZMY (2001).

Foi possível verificar a convergência dos resultados à medida que a malha foi

sendo refinada. Foi observado que os resultados para o parâmetro crítico de

flambagem das placas muito finas com h/L = 0,001 convergiram para os resultados

de EL-SAWY e NAZMY (2001) e os resultados para placas finas com h/L = 0,01

ficaram um pouco abaixo dos resultados destes pesquisadores. Isto é explicado pelo

fato que El-sawy e Nazmy utilizaram uma teoria que não considera o efeito da

deformação por cortante.

A placa com h/L = 0,001 tem muito pouco efeito da deformação por cortante e

por isso ela converge para o valor da teoria clássica. Na placa com h/L = 0,01 já

começa a ser notado o efeito da deformação por cortante e portanto ela deve

convergir para um valor de parâmetro crítico de flambagem menor que o da placa

com h/L = 0,001.

Foi constatado que a malha com centro de gravidade da célula distante do

contorno é melhor do que a malha com centro de gravidade próximo ao contorno.

Isto é devido a várias vantagens verificadas a partir dos resultados:

1) A possibilidade do cálculo do parâmetro crítico de flambagem para a placa

muito fina com h/L = 0,001. Este cálculo foi possível devido à distância maior do cg

da célula com o contorno, diminuindo a singularidade na integração.

2) A diminuição do número de células de domínio para cálculo das placas

com furos considerados grandes (d/L = 0,5; 0,6 e 0,7), a diminuição da singularidade

proporcionou esta vantagem.

3) O aumento do número de elementos de contorno fez com que a

convergência fosse mais rápida e diminuiu a quantidade de células de domínio para

todos os casos.

A tabela 9.44 juntamente com a figura 9.63 mostram a comparação dos

resultados obtidos para a espessura h/L = 0,001 com os resultados de outros

trabalhos.

188

9.4.3 Comparação dos resultados – Malha 2 – cg da célula distante do contorno



DOVAL et al. (2013)

JAYA. e KARIS. (2014)

Diferença (%) (1)

Diferença (%) (2)

Diferença (%) (3)

0 4.0105 4.0000 4.0000 4.0000 0.2625 0.2625 0.2625

0,1 3.8010 3.7973 3.7600 3.7998 0.0974 1.0904 0.0316

0,2 3.4522 3.4449 3.4000 3.4785 0.2119 1.5353 -0.7561

0,3 3.1921 3.1791 3.1500 3.2512 0.4105 1.3365 -1.8178

0,4 3.0316 3.0237 2.9100 3.2321 0.2629 4.1787 -6.2034

0,5 2.9344 2.9257 2.7500 3.3120 0.2981 6.7055 -11.4010

0,6 2.8725 2.8649 2.6500 4.4132 0.2667 8.3962 -34.9112

0,7 2.8585 2.8449 2.6000 - 0.4780 9.9423 - Obs.: (1) – Diferença com relação a EL-SAWY e NAZMY (2001)

(2) – Diferença com relação a DOVAL et al. (2013)

(3) – Diferença com relação a JAYASHANKARBABU e KARISIDDAPPA (2014)

Tabela 9.44 – Parâmetros críticos de flambagem, com relação a d/L – Malha 2, h/L = 0,001

Figura 9.63 – Gráfico para os parâmetros críticos de flambagem – Malha 2

2.4

2.9

3.4

3.9

4.4

4.9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Par

âme

tro

Crí

tico

d/L - Largura do furo/Largura da placa

Comparação de Parâmetros Críticos - Malha 2

Presente Trabalho EL-SAWY e NAZMY (2001)

JAYASHANKARBABU e KARISIDDAPPA (2014) DOVAL et al. (2013)

189

9.5 RESULTADOS PARA INSTABILIDADE DE PLACAS COM FUROS – MALHA 2 – CG DA CÉLULA DISTANTE DO CONTORNO – TENSÃO MÉDIA

Foi verificado outra possibilidade de utilização das tensões obtidas pela

análise de estado plano. Diferentemente dos exemplos anteriores nesta seção será

utilizada a tensão média de cada célula obtida no estado plano para calcular os

parâmetros críticos de flambagem.

Ao invés de informar somente o centro de gravidade da célula ao programa

de estado plano para obter a tensão da célula, são informados os quatro nós que

formam uma célula de domínio. A partir dos quatro valores de tensão obtidos nos

nós de canto das células é calculada então uma tensão média para cada célula, esta

tensão média é então utilizada para calcular o parâmetro crítico de flambagem no

programa de instabilidade. A figura 9.64 mostra este processo:

Figura 9.64 – Malha com cg da célula distante do contorno 2

O cálculo é feito com a malha com centro de gravidade da célula distante do

contorno, ou seja, a cada 2 elementos de contorno utiliza-se 1 célula de domínio.

Também é feita a análise de convergência para verificar o comportamento do

parâmetro crítico de flambagem quando utiliza-se a tensão média a partir dos nós de

canto das células.

As propriedades dos materiais são as mesmas da tabela 9.1. Em todas as

placas perfuradas o contorno está simplesmente apoiado (hard) e as bordas dos

furos estão livres.

190

9.5.1 Resultados para placas com furos – Carga Uniaxial – Malha 2 – cg da célula distante do contorno – Tensão média

A tabela 9.45 mostra a convergência dos parâmetro críticos de flambagem

para as placas analisadas com todos os tamanhos de furos com a malha 2

utilizando a tensão média onde verificou-se que os resultados sofrem pouca

alteração à medida que se aumenta o número de elementos de contorno e de

células de domínio:

d/L N° Elem. N° Cel. h/L = 0.001 0.01 0.05 0.1 0.15 0.2

0,1

176 396 3.8052 3.7965 3.7330 3.5835 3.3674 3.1070

352 1584 3.8007 3.7928 3.7306 3.5813 3.3653 3.1047

528 3564 3.8001 3.7926 3.7306 3.5814 3.3652 3.1043

0,2

192 384 3.4498 3.4386 3.3719 3.2345 3.0455 2.8188

384 1536 3.4492 3.4387 3.3724 3.2335 3.0417 2.8105

576 3456 3.4495 3.4393 3.3730 3.2335 3.0407 2.8077

0,3

208 364 3.1909 3.1783 3.1065 2.9686 2.7837 2.5578

416 1456 3.1887 3.1763 3.1030 2.9605 2.7687 2.5313

624 3276 3.1887 3.1764 3.1025 2.9585 2.7644 2.5226

0,4

224 336 3.0437 3.0281 2.9413 2.7847 2.5784 2.3121

448 1344 3.0334 3.0172 2.9258 2.7605 2.5423 2.2599

672 3024 3.0316 3.0153 2.9224 2.7544 2.5323 2.2400

0,5

240 300 2.9698 2.9488 2.8356 2.6425 2.3877 2.0343

480 1200 2.9423 2.9197 2.7979 2.5916 2.3236 1.9438

720 2700 2.9367 2.9136 2.7891 2.5788 2.3066 1.8207

0,6

256 256 2.9554 2.9266 2.7757 2.5258 2.1852 1.6363

512 1024 2.8943 2.8625 2.6983 2.4333 2.0974 1.4039

768 2304 2.8809 2.8483 2.6801 2.4109 2.0670 1.2668

0,7

272 204 3.0448 3.0051 2.8197 2.4484 1.8492 1.1094

544 816 2.9118 2.8670 2.6404 2.2844 1.5660 0.8983

816 1836 2.8803 2.8342 2.6025 2.2435 1.4039 0.7977

Tabela 9.45 – Parâmetros críticos de flambagem, placas com furo – Malha 2 –

Tensão média

A tabela 9.46 mostra a comparação dos resultados para placa com aspecto

h/L = 0,001 e também h/L = 0,01 com os resultados obtidos por EL-SAWY e NAZMY

(2001).

191

d/L N° Elem. N° Cel. h/L = 0.001 0.01 EL-SAWY e

NAZMY (2001) Diferença

(%) (1) Diferença

(%) (2)

0,1

176 396 3.8052 3.7965 3.7973 0.2069 -0.0201

352 1584 3.8007 3.7928 3.7973 0.0886 -0.1178

528 3564 3.8001 3.7926 3.7973 0.0740 -0.1241

0,2

192 384 3.4498 3.4386 3.4449 0.1417 -0.1815

384 1536 3.4492 3.4387 3.4449 0.1237 -0.1792

576 3456 3.4495 3.4393 3.4449 0.1325 -0.1622

0,3

208 364 3.1909 3.1783 3.1791 0.3721 -0.0236

416 1456 3.1887 3.1763 3.1791 0.3044 -0.0852

624 3276 3.1887 3.1764 3.1791 0.3030 -0.0824

0,4

224 336 3.0437 3.0281 3.0237 0.6635 0.1463

448 1344 3.0334 3.0172 3.0237 0.3228 -0.2146

672 3024 3.0316 3.0153 3.0237 0.2625 -0.2773

0,5

240 300 2.9698 2.9488 2.9257 1.5072 0.7885

480 1200 2.9423 2.9197 2.9257 0.5697 -0.2059

720 2700 2.9367 2.9136 2.9257 0.3772 -0.4116

0,6

256 256 2.9554 2.9266 2.8649 3.1608 2.1542

512 1024 2.8943 2.8625 2.8649 1.0283 -0.0819

768 2304 2.8809 2.8483 2.8649 0.5583 -0.5766

0,7

272 204 3.0448 3.0051 2.8449 7.0283 5.6313

544 816 2.9118 2.8670 2.8449 2.3531 0.7764

816 1836 2.8803 2.8342 2.8449 1.2430 -0.3749 Obs.: (1) – Diferença de k para h/L = 0,001 com relação a EL-SAWY e NAZMY (2001)

(2) – Diferença de k para h/L = 0,01 com relação a EL-SAWY e NAZMY (2001)

Tabela 9.46 – Parâmetros críticos de flambagem – Malha 2 – Tensão média – Comparação

É esperado que os valores para as placas com h/L = 0,001 se aproximem dos

valores de EL-SAWY e NAZMY (2001), pois estes autores utilizaram uma teoria que

não leva em conta o efeito da deformação por cortante. Também é esperado que os

valores para as placas com h/L = 0,01 fiquem abaixo dos resultado de El-sawy e

Nazmy pois nesta espessura já começa a ficar aparente o efeito da deformação por

cortante. Observando a tabela 9.46 é possível verificar que ambos os valores

convergiram para o que era esperado com boa aproximação, sendo que os valores

calculados com a tensão média convergem de maneira mais rápida do que com a

malha apenas utilizando o cg da célula.

192

9.5.2 Comentários sobre os resultados para placas com furos – Malha 2 – cg distante do contorno – Tensão média

Observando-se os resultados é possível concluir que a malha 2 utilizando-se

a tensão média convergiu de maneira mais rápida do que a malha 2 que utiliza a

tensão somente do cg da célula. Isto é devido a utilização de mais pontos de tensão

( 4 pontos dos cantos da célula contra apenas 1 do cg ), tornando o programa mais

eficiente na obtenção de parâmetros críticos de flambagem. A tabela 9.47 mostra

uma comparação entre os resultados para h/L = 0,01 obtidos para todas as malhas e

os resultados de EL-SAWY e NAZMY (2001), observando que os resultados na

primeira linha são de uma placa sem furo.


Presente Trabalho Malha 2

Presente Trabalho Malha 2-

Tensão Média

EL-SAWY

e NAZMY (2001)

Diferença (%) (1)

Diferença (%) (2)

Diferença (%) (3)

- 4.0105 4.0105 4.0105 4.0000 0.2625 0.2625 0.2625

0,1 3.7969 3.7935 3.7926 3.7973 -0.0105 -0.1001 -0.1238

0,2 3.4444 3.442 3.4393 3.4449 -0.0145 -0.0842 -0.1626

0,3 3.1873 3.1797 3.1764 3.179 0.2611 0.0220 -0.0818

0,4 3.0389 3.0179 3.0153 3.0236 0.5060 -0.1885 -0.2745

0,5 2.9098 2.9137 2.9136 2.9256 -0.5401 -0.4068 -0.4102

0,6 2.8367 2.8419 2.8483 2.8648 -0.9809 -0.7994 -0.5760

0,7 2.8117 2.8119 2.8342 2.8449 -1.1670 -1.1600 -0.3761 Obs.: (1) – Diferença da Malha 1 com relação a EL-SAWY e NAZMY (2001)

(2) – Diferença da Malha 2 com relação a EL-SAWY e NAZMY (2001)

(3) – Diferença da Malha 2 com tensão média com relação a EL-SAWY e NAZMY (2001)

Tabela 9.47 – Parâmetros críticos de flambagem, comparação de todas as malhas, h/L = 0,01

Como a tabela 9.41 mostra os resultados para h/L = 0,01 espera-se que os

parâmetros críticos de flambagem fiquem abaixo de EL-SAWY e NAZMY (2001) pois

nesta espessura já é possível observar a influência do efeito da deformação por

cortante. A malha 1 mesmo com grande refinamento houve dois valores (d/L = 0,3 e

0,4) que ficaram acima de El-sawy e Nazmy. A malha 2 obteve maior sucesso pois

com uma malha menor houve apenas um valor que ficou acima de El-sawy e Nazmy

(d/L = 0,3). Já a malha 2 com tensão média utilizando a mesma discretização da

malha 2 conseguiu que todos os valores ficassem abaixo de El-sawy e Nazmy. A

193

tabela 9.48 mostra uma comparação entre os resultados para h/L = 0,001 obtidos

para todas as malhas e os resultados de EL-SAWY e NAZMY (2001).


Presente Trabalho Malha 2-

Tensão Média


Diferença (%) (1)

Diferença (%) (2)

- 4.0105 4.0105 4.0000 0.2625 0.2625

0,1 3.8010 3.8001 3.7973 0.0974 0.0737

0,2 3.4522 3.4495 3.4449 0.2119 0.1335

0,3 3.1921 3.1887 3.179 0.4121 0.3051

0,4 3.0316 3.0316 3.0236 0.2646 0.2646

0,5 2.9344 2.9367 2.9256 0.3008 0.3794

0,6 2.8725 2.8809 2.8648 0.2688 0.5620

0,7 2.8585 2.8803 2.8449 0.4780 1.2443 Obs.: (1) – Diferença da Malha 2 com relação a EL-SAWY e NAZMY (2001)

(2) – Diferença da Malha 2 com tensão média com relação a EL-SAWY e NAZMY (2001)

Tabela 9.48 – Parâmetros críticos de flambagem, comparação da malha 2 e tensão média

Como a tabela 9.48 mostra os resultados para h/L = 0,001 espera-se que os

parâmetros críticos de flambagem passem a convergir para os resultados de EL-

SAWY e NAZMY (2001) pois nesta espessura é muito pequena a influência do efeito

da deformação por cortante e a placa começa a comportar-se de acordo com a

teoria clássica. As duas malhas avaliadas tiveram um comportamento esperado,

convergindo para os resultados de El-sawy e Nazmy, mas a malha 2 com tensão

média obteve uma convergência mais rápida do que a malha 2 que utiliza tensão

apenas do cg da célula. Esta eficiência é dada pela utilização de um número maior

de pontos de tensão obtidos pelo programa de estado plano.

194

10 PROGRAMAS DESENVOLVIDOS

10.1 PROGRAMA ESTADO PLANO DE TENSÃO/DEFORMAÇÃO

Foi desenvolvido um software na linguagem FORTRAN 90 com intuito de

resolver problemas de estado plano de tensão/deformação. Este tipo de programa

foi necessário devido a necessidade de se obter as tensões nas bordas dos furos

das placas perfuradas. O algoritmo deste programa é o mesmo do programa de

placas, somente as soluções fundamentais e a matriz final serão diferentes. Este

programa também se utiliza de elementos de contorno quadráticos e da integração

singular para resolver as soluções fundamentais.

10.2 PROGRAMA PARA PROBLEMAS DE PLACAS

O programa de para problemas de placas também foi desenvolvido linguagem

FORTRAN 90, utilizando-se das tensões originárias do programa de estado plano de

tensão, este programa calcula os valores dos parâmetros críticos de flambagem para

placas com furos ou sem furos. Caso seja necessário, este programa também pode

calcular problemas de flexão, pois as matrizes principais H e G são as mesmas. Os

módulos mostrados abaixo servem tanto para o programa de estado plano quanto o

programa de placas. Estes programas não foram incluídos nesta dissertação devido

ao seu tamanho e complexidade. O compilador utilizado foi o Intel Fortran 2016

versão de Estudantes, o ambiente de desenvolvimento foi o Visual Studio

Community 2015.

10.3 MÓDULO – MOD_INP_QP1

O arquivo de input é lido pelo módulo Mod_Inp_qp1 o qual reúne todas as

informações do arquivo de input em vetores e variáveis a serem utilizadas no

cálculo, neste arquivo estão as variáveis de posicionamento dos nós, tipos de

solicitação, condições de contorno, coeficientes dos materiais entre outros. Este

módulo utiliza as seguintes variáveis :

NND = Número de nós no contorno do problema, incluindo nós de furos

NND2 = 3*NND

195

NIP = Número de nós internos a serem analisados

NDOUB = Número de nós duplos

NE = Número de elementos lineares

NPA = Número de lados retos no contorno, círculos considera-se dois lados

retos

NG = Número de pontos de Gauss a serem utilizados na integração

NLOAD = Número de nós com carga (cortante, momento volvente, momento

normal)

FI(3*J) = Indica presença de cortante no nó 3*J

FI(3*J-2) = Indica presença de Momento normal no nó 3*J

FI(3*J-1) = Indica presença de Momento Volvente no nó 3*J

E = Módulo de Young

TM = Módulo de Rigidez Transversal

PR = Coeficiente de Poisson

LAMB = Coeficiente Lambda

XR() = Vetor com as coordenadas X dos nós do contorno

YR() = Vetor com as coordenadas Y dos nós do contorno

KODE(3*J) = Vetor com os vínculos referentes ao deslocamento em Z

KODE(3*J-2) = Vetor com os vínculos referentes ao momento normal

KODE(3*J-1) = Vetor com os vínculos referentes ao momento volvente (soft

ou hard)

KDOUB() = Vetor com a indicação de nó duplo para cada nó ex.: KDOUB(5) =

1 significa que o nó 5 é duplo

Nada = Variável auxiliar

QD = Valor da carga distribuída

TH = Espessura da placa

AFI = Coeficiente FI

DESL = Deslocamento da Fonte

LIM = Variável Auxiliar

NPE() = Quantidade de elementos para cada parte reta ex.: NPE(1) = 32

elementos

NIF(2K-1) = Vetor com nó inicial dos elementos de uma parte reta

NIF(2K) = Vetor com o nó final dos elementos de uma parte reta

196

JE(K) = Vetor com a soma de elementos de todas as partes retas, contando

até a parte K

XN() = Vetor com as coordenadas X dos nós internos

YN() = Vetor com as coordenadas Y dos nós internos

KN(J,1) = Coeficiente D do nó interno, normalmente 1

KN(J,2) = Coeficiente C do nó interno, normalmente 1

IAUX = Variável auxiliar normalmente 0

10.4 MÓDULO – MOD_GEO_QP1

Este módulo descreve os elementos e nós ao longo do contorno do problema,

ele delimita corretamente cada nó de cada elemento no contorno, separando em nó

inicial, nó médio e nó final, tudo isso a partir dos vetores e variáveis alocadas pelo

módulo de INPUT. Abaixo a lista de variáveis utilizada pelo módulo Mod_Geo_qp1 :

N1 = Variável que auxilia na alocação dos nós que definem os elementos

lineares, N1 faz a soma em todos os elementos de 1 quando é detectado um nó

duplo

N2 = Variável que auxilia na alocação dos nós que definem os elementos

lineares

NOI(K) = Vetor com os nós iniciais de cada elemento linear

NOF(K) = Vetor com os nós finais de cada elemento linear

AX = Comprimento de um elemento linear em x

AY = Comprimento de um elemento linear em y

COMPR = Distância entre um ponto inicial e o final de um elemento linear

CO = Cosseno de cada elemento linear

SE = Seno de cada elemento linear

QNOI() = Vetor com os nós iniciais de cada elemento quadrático

QNOF() = Vetor com os nós finais de cada elemento quadrático

QNOM() = Vetor com os nós médios de cada elemento quadrático

GI, OME = Vetores com pontos e pesos de Gauss calculados

GIK, OMEK = Vetores com pontos e pesos de Gauss calculados (dobro)

197

10.5 MÓDULO – MOD_MAT_QP1

Este módulo calcula as soluções fundamentais posicionando o ponto fonte em

cada nó do contorno e calculando para cada elemento adjacente. São montadas as

matrizes principais a serem processadas e resolvidas. Abaixo a lista de variáveis

utilizada pelo módulo Mod_Mat_qp1 :

FQ = Vetor com as contribuições da carga distribuída

G = Matriz com as soluções fundamentais de deslocamentos

H = Matriz com as soluções fundamentais de forças de superfície

IH = Matriz com as soluções fundamentais de forças de superfície (células de

domínio)

IG = Matriz com as soluções fundamentais de deslocamentos (células de

domínio)

IR = Vetor com as contribuições da carga distribuída (células de domínio)

ISE = Se for 1, indica o comportamento singular

RC = Vetor auxiliar para conversão de coordenadas ns

RF = Vetor auxiliar para conversão de coordenadas ns

XF = Coordenada x do ponto fonte

YF = Coordenada y do ponto fonte

QSI = Posição do ponto fonte na variável intrínseca

AH = Matriz com os valores temporários de coeficientes de H

AG = Matriz com os valores temporários de coeficientes de G

IND_PF = Seleção entre solução com ponto fonte dentro ou fora do contorno

FM = Vetor que auxilia a contribuição dos valores Cij

DN = Vetor com os cossenos diretores

DX = Distância entre o ponto forte e o nó elemento em x

DY= Distância entre o ponto forte e o nó elemento em y

RA = Raio

DR= Vetor com as derivadas do raio

PNR = Derivada normal com relação ao raio

Z= Valor de Lambda vezes o raio

ALO = Logaritmo de Z

K0 = Função de Bessel K0 com o valor de Z

198

K1 = Função de Bessel K1 com o valor de Z

A = Coeficiente A definido na equação 5.40

B = Coeficiente B definido na equação 5.41

ETA = Variável utilizada na transformação de Telles

JETA = Variável utilizada na transformação de Telles

RRA = Raio Regularizado

FM = Funções de forma utilizadas

SGN = Operador para a função sinal

RFM = Funções de forma regularizadas

JAC = Jacobiano para integração

SING_QP1 = Subrotina para calcular integrais singulares

NUM_QP1 = Subrotina para calcular integrais regulares

10.6 MÓDULO – MOD_SOL_AUTOVALOR_QP1

Este módulo aplica as condições de contorno nas matrizes H e G, efetuando o

processamento necessário para se obter um sistema de equações linear que possa

ser resolvido, é então chamada a rotina do IMSL chamada DLFSRG para resolver

um sistema de equações pelo método da decomposição LU. Após a solução o

processo de solução do problema de autovalor se inicia, obtendo-se os valores para

os parâmetros críticos de flambagem. Abaixo a lista de variáveis utilizada pelo

módulo Mod_Sol_ Autovalor_qp1 :

CDP = Matriz com as contribuições das células devido a pontos fonte no

contorno

MD = Matriz temporária com as contribuições das células devido a pontos

fonte no contorno

DWI = Autovalor a ser resolvido

TPI = Vetor que multiplica CDP por DWI

TP = Vetor de carga

LK = Carga crítica

DS = Vetor que armazena os deslocamentos temporarios

FICI = Vetor que armazena as forças temporárias

DWA = Valor do autovalor na próxima iteração

199

CH = Vetor auxiliar para H

NORM = Norma do vetor a ser calculada

PMVS = Subrotina para multiplicação de matrizes

10.7 MAIN_QP1

O arquivo Main_qp1 carrega todos os módulos acima, chamando um de cada

vez na ordem apresentada. Após calculadas todas as soluções, as respostas são

escritas em um arquivo de output de texto.

10.8 PROGRAMA GERADOR DE MALHAS

Também foi desenvolvido um programa gerador de malhas para placas

quadradas, possibilitando a análise de convergência da formulação apresentada. As

malhas criadas são estruturadas em com grande precisão no posicionamento dos

nós. Se houver interesse neste programa o autor do presente trabalho poderá

disponibiliza-lo mediante contato.

200

11 CONCLUSÃO

11.1 CONCLUSÕES SOBRE O PROBLEMA DE FLEXÃO DE PLACAS

Utilizando o método dos elementos de contorno, o problema de flexão de

placas mostrou uma convergência mais rápida do que com relação ao problema de

instabilidade. Com apenas 20 elementos de contorno foi possível obter uma

diferença em média de 0,25% com relação a solução analítica, nos resultados para o

deslocamento no centro da placa.

11.2 CONCLUSÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS NÃO PERFURADAS

Quando calculado pelo método dos elementos de contorno, o problema de

placas não perfuradas mostra uma boa convergência utilizando-se de poucos

elementos, com apenas 128 elementos de contorno e 256 células de domínio foi

possível obter uma diferença com o resultado analítico de em média 0,5%, nos

resultados para o parâmetro crítico de flambagem. Com esta quantidade de

elementos, o esforço computacional foi baixo, utilizando em média 15% do CPU em

um computador com processador Intel Core i3 2328M de 2.20GHz.

O esforço computacional se mostrou variável com relação às condições de

contorno, se as bordas estão engastadas ou simplesmente apoiadas o esforço

computacional foi menor do que com relação a utilização de bordas livres.

As placas com h/L = 0,001 mostraram um esforço computacional muito maior

do que com relação às outras espessuras revelando que o método de integração da

transformação de Telles se mostrou sensível à esta configuração, onde foi

necessário aumentar os pontos de Gauss para 22 para que a integração tivesse

bons resultados. Caso não se queira utilizar muitos pontos de Gauss, é possível

utilizar uma técnica de Sub-elemento para realizar a integração.

Com relação a obtenção dos parâmetros críticos de flambagem, os resultados

mostraram que quanto maior for a espessura da placa, menor será o parâmetro

crítico encontrado. Isto ficou válido para todos os testes do presente trabalho.

201

11.3 CONCLUSÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS PERFURADAS – MALHA 1 – CG DA CÉLULA PRÓXIMO AO CONTORNO

Foi obtido uma diferença em média de 0,5% quando comparados os

resultados para o parâmetro crítico de flambagem com EL-SAWY e NAZMY (2001),

mostrando que o método dos elementos de contorno proporciona boa precisão

quando comparado com o método dos elementos finitos. Com relação a DOVAL et

al. (2013) a diferença média foi de 4%, apesar deste trabalho utilizar o método dos

elementos de contorno, existem grandes diferenças na formulação como a utilização

da integração radial e a formulação somente de contorno. No presente trabalho

utiliza-se células de domínio e o processo de integração é singular.

Os problemas de placas perfuradas precisaram da utilização de um programa

de estado plano de tensão para que as respostas fossem obtidas com boa precisão.

Isto se deve à grande variação das tensões próximas ao local do furo. Os problemas

com furos pequenos (d/L = 0,1, 0,2, 0,3 e 0,4), mostraram que são mais simples de

resolver, pois é possível utilizar uma malha menos refinada e mesmo assim obter

bons resultados para o parâmetro crítico de flambagem.

Os problemas com furos grandes (d/L = 0,5, 0,6, 0,7) precisaram de uma

malha muito mais refinada para que os parâmetros críticos de flambagem tivessem

uma boa precisão. Nos problemas com furo grande, foi observado que os

parâmetros críticos sobem caso seja utilizada uma malha pouco refinada, este tipo

de observação pode ser vista nos trabalhos de SABIR e CHOW (1983), AZIZIAN e

ROBERTS (1983) e também no trabalho de JAYASHANKARBABU e

KARISIDDAPPA (2014), onde o parâmetro crítico de flambagem aumenta ao invés

de diminuir devido à uma placa de furo grande. Este problema também foi observado

por EL-SAWY e NAZMY (2001), os autores especificaram que foi necessária uma

malha de 1490 elementos finitos para modelar a a variação de tensões ao longo de

um furo quadrado e obter a diminuição do parâmetro crítico a medida que o furo

aumenta.

De maneira similar às placas não perfuradas, com relação a obtenção dos

parâmetros críticos de flambagem, quanto maior for a espessura da placa, menor

será o parâmetro crítico encontrado. Isto ficou válido para todos os testes do

presente trabalho.

202

11.4 CONCLUSÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS PERFURADAS – MALHA 2 – CG DA CÉLULA DISTANTE DO CONTORNO

Os resultados calculados com a malha 2 utilizando o cg da célula distante do

contorno (a cada 2 elementos de contorno utiliza-se 1 célula de domínio)

convergiram com ótima aproximação para os resultados de EL-SAWY e NAZMY

(2001). Este resultado é esperado para os parâmetros críticos de flambagem

calculados para as placas com h/L = 0,001 pois devido a espessura ser muito

pequena, o efeito da deformação por cortante fica muito pequeno e o resultado

passa a convergir para a teoria clássica. As placas com h/L = 0,01 convergiram para

resultados de parâmetros críticos de flambagem inferiores aos de EL-SAWY e

NAZMY (2001), isto também é esperado pois nesta espessura a placa já começa a

apresentar o efeito da deformação por cortante. Pode-se concluir que a malha 2 com

centro de gravidade da célula distante do contorno é mais eficiente do que a malha 1

com centro de gravidade próximo ao contorno, pois constatou-se uma série de

vantagens da malha 2 com relação a malha 1:

1) A possibilidade do cálculo do parâmetro crítico de flambagem para a placa

muito fina com h/L = 0,001 devido ao desaparecimento da singularidade pois o cg

está distante do contorno; 2) A diminuição do número de células de domínio para

cálculo das placas com furos considerados grandes (d/L = 0,5; 0,6 e 0,7) removendo

os problemas mostrados para a malha 1; 3) O aumento do número de elementos de

contorno fez com que a convergência fosse mais rápida e diminuiu a quantidade de

células de domínio para todos os casos.

11.5 CONCLUSÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS PERFURADAS – MALHA 2 – TENSÃO MÉDIA

Os problemas calculados com a tensão média convergiram mais rapidamente

do que quando é utilizada apenas a tensão do cg da célula. Isto é explicado devido a

utilização mais eficiente do programa de estado plano aumentando o número de

pontos de tensão (4 na tensão média contra apenas 1 da tensão no cg). As mesmas

vantagens obtidas pela malha 2 também são vistas na malha 2 quando utilizada a

tensão média.

203

12 PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS

O aprimoramento dos programas desenvolvidos, pois estes ainda estão com

uma programação voltada para o processamento com um processador, pode-se

realizar a mudança de algumas rotinas para o processamento em vários

processadores.

Outro aprimoramento que pode melhorar a performance é a utilização dos

processadores de placas de video (GPU), auxiliando o trabalho do CPU e diminuindo

o tempo de resolução de problemas.

A implementação de uma visualização gráfica para geração de malhas e input

de dados pode facilitar a utilização dos programas.

A solução de outros tipos de placas perfuradas, com outros tipos de furos e

outras condições de contorno.

Acoplamento do efeito do estado plano de tensões no modelo de flambagem

para estudar a instabilidade com o efeito dos deslocamentos finitos, de acordo com

TIMOSHENKO (1961).

Pode-se incluir as derivadas das rotações, além das derivadas da deflexão,

na análise do efeito da deformação por cortante no problema de instabilidade de

placas, de acordo com MIZUSAWA (1993).

Pode-se estudar alternativas para evitar a integração de células no domínio,

como o Método da Reciprocidade Dual ou o Método da Integração Radial, de acordo

com DOVAL et al. (2013), na modelagem numérica com o MEC.

204

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