APLICAO DA TBUA DE LOGARITMOS EM MATEMTICA FINACEIRAVejamos o seguinte exemplo:

O valor de um capital C empregado a uma taxa i de juros, capitalizados periodicamente e ao fim do perodo dado, aps n perodos por M = C.(1 + i)n. Determine qual o tempo necessrio para que um capital empregado a taxa de 2% ao ms de juros, que so capitalizados mensalmente, dobre de valor.

Queremos M = 2.C e temos i = 0,02, logo:

2C = C.(1 + 0,02)nDividindo ambos os lados por C:

2 = (1,02)nTomando os logaritmos decimais:

log (1,02)n = log 2

n log (1,02) = log 2

n = log 2 ; log 1,02 Nosso problema agora descobrir os valores de log 2 e log 1,02.

Para isso vamos nos aprofundar nos logaritmos decimais:

Qualquer que seja o nmero real positivo x que consideremos, estar necessariamente compreendido entre duas potncias de 10 com expoentes inteiros e consecutivos.

Vejamos:

x = 0,04 10-2 < 0,04 < 10-1x = 3,72 100 < 3,72 < 101x = 573 102 < 573 < 103Assim, para todo x > 0, existe c Z tal que:

10c x < 10c+1log 10c log x < log 10c+1

c log x < c + 1

E, podemos afirmar que log x = c + m, onde c Z e 0 m < 1,

isto , o logaritmo decimal de x a soma de um nmero inteiro c com um nmero decimal m no negativo e menor que 1.

O nmero inteiro c por definio chamado de caracterstica do logaritmo de x e o nmero decimal m chamado de mantissa do logaritmo decimal de x.

REGRAS DA CARACTERSTICA:

A caracterstica do logaritmo decimal de um nmero x real positivo ser calculada por uma das seguintes regras:

i) x > 1

A caracterstica do logaritmo decimal de um nmero x > 1 igual ao nmero de algarismos de sua parte inteira menos 1.

Exemplos:

logaritmo caracterstica

log 2,3 c = 1 1 = 0

log 31,421 c = 2 1 = 1

log 204 c = 3 1 = 2

log 6542,3 c = 4 1 = 3

ii) 0 < x < 1

A caracterstica do logaritmo decimal de um nmero 0 < x < 1 o oposto da quantidade de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo.

Exemplos:

logaritmo caracterstica

log 0,2 c = -1

log 0,035 c = -2

log 0,00405 c = -3

log 0,00053 c = -4

MANTISSA:

A mantissa obtida na tbua de logaritmos. Em geral, ela um nmero irracional e por esse motivo as tbuas de logaritmos so tabelas que fornecem os valores aproximados dos logaritmos de nmeros inteiros, geralmente de 1 a 10 000.

Ao procuramos a mantissa do logaritmo decimal de x, devemos lembrar a seguinte propriedade:

Os logaritmos de dois nmeros cujas representaes decimais diferem apenas pela posio da vrgula tm mantissas iguais.

Abaixo temos uma tabela de mantissas dos logaritmos dos nmeros inteiros de 100 a 999.N0123456789

10000000004321008600012837017033021189025306029384033424037426

11041393045323049218053078056905060698064458068186071882075547

12079181082785086360089905093422096910100371103804107210110590

13113943117271120574123852127105130334133539136721139879143015

14146128149219152288155336158362161368164353167317170262173186

15176091178977181844184691187521190332193125195900198657201397

16204120206826209515212188214844217484220108222716225309227887

17230449232996235528238046240549243038245513247973250420252853

18255273257679260071262451264818267172269513271842274158276462

19278754281033283301285557287802290035292256294466296665298853

20301030303196305351307496309630311754313867315970318063320146

21322219324282326336328380330414332438334454336460338456340444

22342423344392346353348305350248352183354108356026357935359835

23361728363612365488367356369216371068372912374748376577378398

24380211382017383815385606387390389166390935392697394452396199

25397940399674401401403121404834406540408240409933411620413300

26414973416641418301419956421604423246424882426511428135429752

27431364432969434569436163437751439333440909442480444045445604

28447158448706450249451786453318454845456366457882459392460898

29462398463893465383466868468347469822471292472756474216475671

30477121478566480007481443482874484300485721487138488551489958

31491362492760494155495544496930498311499687501059502427503791

32505150506505507856509203510545511883513218514548515874517196

33518514519828521138522444523746525045526339527630528917530200

34531479532754534026535294536558537819539076540329541579542825

35544068545307546543547775549003550228551450552668553883555094

36556303557507558709559907561101562293563481564666565848567026

37568202569374570543571709572872574031575188576341577492578639

38579784580925582063583199584331585461586587587711588832589950

39591065592177593286594393595496596597597695598791599883600973

40602060603144604226605305606381607455608526609594610660611723

41612784613842614897615950617000618048619093620136621176622214

42623249624282625312626340627366628389629410630428631444632457

43633468634477635484636488637490638489639486640481641474642465

44643453644439645422646404647383648360649335650308651278652246

45653213654177655138656098657056658011658965659916660865661813

46662758663701664642665581666518667453668386669317670246671173

47672098673021673942674861675778676694677607678518679428680336

48681241682145683047683947684845685742686636687529688420689309

49690196691081691965692847693727694605695482696356697229698101

50698970699838700704701568702431703291704151705008705864706718

51707570708421709270710117710963711807712650713491714330715167

52716003716838717671718502719331720159720986721811722634723456

53724276725095725912726727727541728354729165729974730782731589

54732394733197733999734800735599736397737193737987738781739572

55740363741152741939742725743510744293745075745855746634747412

56748188748963749736750508751279752048752816753583754348755112

57755875756636757396758155758912759668760422761176761928762679

58763428764176764923765669766413767156767898768638769377770115

59770852771587772322773055773786774517775246775974776701777427

60778151778874779596780317781037781755782473783189783904784617

61785330786041786751787460788168788875789581790285790988791691

62792392793092793790794488795185795880796574797268797960798651

63799341800029800717801404802089802774803457804139804821805501

64806180806858807535808211808886809560810233810904811575812245

65812913813581814248814913815578816241816904817565818226818885

66819544820201820858821514822168822822823474824126824776825426

67826075826723827369828015828660829304829947830589831230831870

68832509833147833784834421835056835691836324836957837588838219

69838849839478840106840733841359841985842609843233843855844477

70845098845718846337846955847573848189848805849419850033850646

71851258851870852480853090853698854306854913855519856124856729

72857332857935858537859138859739860338860937861534862131862728

73863323863917864511865104865696866287866878867467868056868644

74869232869818870404870989871573872156872739873321873902874482

75875061875640876218876795877371877947878522879096879669880242

76880814881385881955882525883093883661884229884795885361885926

77886491887054887617888179888741889302889862890421890980891537

78892095892651893207893762894316894870895423895975896526897077

79897627898176898725899273899821900367900913901458902003902547

80903090903633904174904716905256905796906335906874907411907949

81908485909021909556910091910624911158911690912222912753913284

82913814914343914872915400915927916454916980917506918030918555

83919078919601920123920645921166921686922206922725923244923762

84924279924796925312925828926342926857927370927883928396928908

85929419929930930440930949931458931966932474932981933487933993

86934498935003935507936011936514937016937518938019938520939020

87939519940018940516941014941511942008942504943000943495943989

88944483944976945469945961946452946943947434947924948413948902

89949390949878950365950851951338951823952308952792953276953760

90954243954725955207955688956168956649957128957607958086958564

91959041959518959995960471960946961421961895962369962843963316

92963788964260964731965202965672966142966611967080967548968016

93968483968950969416969882970347970812971276971740972203972666

94973128973590974051974512974972975432975891976350976808977266

95977724978181978637979093979548980003980458980912981366981819

96982271982723983175983626984077984527984977985426985875986324

97986772987219987666988113988559989005989450989895990339990783

98991226991669992111992554992995993436993877994317994757995196

99995635996074996512996949997386997823998259998695999131999565

N0123456789

Assim, os logaritmos decimais dos nmeros 2 ; 200 ; 2 000 ; 0,2 ; 0,002 tm todos a mesma mantissa 0,3010; mas as caractersticas so respectivamente 0 ; 2 ; 3 ; -1 e -3.E como encontramos a mantissa?

Escolhemos o nmero de 3 algarismos (200) e consideramos os 2 primeiros algarismos para linha (20) e o ltimo para coluna (0).

Resumindo:

log 2 = 0,3010

log 200 = 2,3010

log 2 000 = 3,3010 log 0,2 = -1 + 0,3010 = -0,699 (chamada de forma negativa). Tambm podemos utilizar a

_ _

seguinte notao 1, 3010 (chamada forma mista ou preparada) onde 1 = -1.

_

log 0,002 = -3 + 0,3010 = -2,699 ou 3,3010.Voltando ao nosso exemplo inicial:

n = log 2 = 0,3010 = 35 meses.

log 1,02 0,0086

log 1, 02 : c = 0

com a mesma mantissa de log 102, por exemplo, linha 10 e coluna 2 (0086). OUTROS EXEMPLOS USANDO A TBUA:

a) Calcular log 23,4

A mantissa a mesma de log 234 (linha 23 e coluna 4) = 0,3692 A caracterstica 1.

Logo,

log 23,4 = 1 + 0,3692 = 1,3692

b) Calcular log 0,042

A mantissa a mesma de 420 (linha 42 e coluna 0) = 0,6232

A caracterstica -2.

Logo, _

log 0,042 = -2 + 0,6232 = -1,3768 (forma negativa) ou 2,6232 (forma mista ou preparada).

c) Calcular log 128,4.

128,4 possui 4 algarismos distintos e neste caso usaremos o mtodo chamado interpolao linear.

Da Tbua de logaritmos obtemos log 128 = 2,1072 e log 129 = 2,1106. Localizando os pontos A (128; 2,1072), B (128,4; log128,4) e C (129; 2,1106) no grfico da funo logartmica de base 10:

Para fazermos a interpolao linear devemos considerar que o grfico y = log10x entre os pontos A e C um segmento de reta, ou seja, uma considervel aproximao, j que estes pontos esto afastados da origem.Com as semelhanas entre os tringulos ABP e ACQ obtemos o valor de x: x = 128,4 128 x = 0,4 x = 0,4 . 0,0034

2,1106 2,1072 129 128 0,0034 1

x = 0,00136

Portanto log 128,4 = log 128 + x = 2,1072 + 0,00136 = 2,10856d) Calcular log 314,2 (mesmo caso da letra c, agora sem o grfico)

Da tbua obtemos log 314 = 2,4969 e log 315 = 2,4983

x = 314,2 314 x = 0,2 x = 0,000282,4983 2,4969 315 314 0,0014 1Portanto log 314,2 = log 314 + x = 2,4969 + 0,00028 = 2,49718