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APÍTULO 1
SOBRE A PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Neste capítulo, discute-se sobre a pesquisa em Educação Matemática no âmbito
nacional e internacional. O limite desta discussão está nas abordagens de alguns autores sobre
a constituição da pesquisa na área. Considera-se pertinente uma ordem cronológica em termos
de sequência lógica de fatos e ideias.
Parte-se, portanto, no âmbito nacional, da Sociedade Brasileira de Educação
Matemática – SBEM, fundada para consolidar pesquisadores, professores e interessados na
área com vínculos, interesses e preocupações comuns. A SBEM tem como missão
desenvolver a formação matemática de todos os cidadãos de nosso país, além de promover o
desenvolvimento da Educação Matemática como conhecimento cientifico, por meio de
estimulo ás atividades de pesquisa e estudo acadêmicos.
A seguir, apresenta-se, a Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em
Educação – ANPED1 como um espaço de referência de produção em educação que
desenvolve através de produção cientifica discussão teórica da área de Educação. Pontua-se,
portanto, o trabalho do Grupo de Trabalho (GT 19) que versa sobre a produção cientifica na
área de Educação Matemática que contempla discussões do tema Metodologia de Pesquisa.
No âmbito internacional, em 1997 representantes de 16 países europeus estabelecem
uma nova sociedade a European Reseach in Mathematics Education – ERME, com a
fundação desta sociedade, em 1998, aconteceu o primeiro Congress European Research in
Mathematics Education – CERME. Esta sociedade, a ERME, apoia diferentes pesquisas na
Europa, prepara os estudantes de pós-graduação como pesquisadores, e desenvolve atividades
que ajudam a alcançar os três C que são os objetivos entre os membros do ERME:
Comunicação, Cooperação e Colaboração.
O CERME promove justamente os três C que são objetivos do ERME como forma de
assumir a necessidade de saber mais sobre a pesquisa e como tem sido feita, e, por este
motivo, oferece como oportunidade a discussão sobre os três C entre os investigadores. Uma
característica importante é que os membros dos grupos temáticos trabalham em um espaço
comum de investigação. Há pelo menos um grupo temático de trabalho que discute sobre as
1Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em Educação. Disponível em: http://www.anped.org.br/.
Acesso em: 25.07.2016
C
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diferentes perspectivas teóricas na pesquisa. Neste grupo temático, há discussões cujo tema é
a Metodologia de Pesquisa.
Após dialogar sobre os eventos que englobam a área, trata-se cronologicamente do
trabalho pioneiro do pesquisador Dario Fiorentini que, em 1984, desenvolveu uma tese sobre
o estado da arte da pesquisa brasileira em Educação Matemática sistematizando dissertações e
teses, descrevendo, historicamente, a trajetória da área e as abordagens teórico-metodológicas
de Resolução de Problemas e Modelagem Matemática. Depois, falar-se sobre o programa
desenvolvido por Hans-Georg Steiner (1985;1987) denominado de Teoria da Educação
Matemática – TME, com raiz no Instituto de Pesquisas em Didática da Matemática – IDM,
cuja a preocupação era em sistematizar os fundamentos teóricos e metodológicos para a
pesquisa em Educação Matemática.
Conclui-se, este capítulo, com as ideias de Jeremy Kilpatric (1996; 1996a) para a
constituição da área de Educação Matemática e o trabalho de revisão bibliográfica que
envolve a busca da identidade em Educação Matemática através do domínio de pesquisa com
Anna Sierpinksa e Jeremy Kilpatric (1998).
1.1 Eventos Nacionais e Internacionais sobre Pesquisa em Educação Matemática
A pesquisa é delineada em uma determinada área, como um espaço, um ponto de
encontro, entre as diversas obras, com possibilidade de intersecção com outras áreas, com o
que o pesquisador escolhe trabalhar. Um relacionamento dinâmico e dialético é o que
acontece entre o pesquisador e a pesquisa que desenvolve. O pesquisador sente-se motivado e
envolvido por uma determinada teoria, e sempre questiona como aplicá-la, como interpretá-la,
temperado pela comunidade de Educação Matemática na qual faz parte. Para este fim, a
realização de eventos científicos possibilita o intercambio, o diálogo entre os pesquisadores da
área.
Com a finalidade de trabalhar pela consolidação da Educação Matemática, enquanto
área de conhecimento foi fundada em 1988 a Sociedade Brasileira de Educação Matemática –
SBEM. Atualmente, a SBEM, conta com quatorze (14) grupos de trabalho – GT (conforme
tabela 1 abaixo) que, de modo geral, se preocupam em compreender matemática, como
interpretar matemática, e o fazer matemática, incluindo desde o estudante até o professor.
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TABELA 1 - Grupo de Trabalho Sociedade Brasileira de Educação Matemática
FONTE: SBEM. Disponível em: http://www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/. Acesso em: 16.04.2016
A cada três anos pesquisadores que integram os GT, acima mencionados, se reúnem
no Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática2 – SIPEM, como forma de
divulgar para a comunidade as pesquisas organizadas pelos Institutos de Ensino Superior –
IES. Neste evento, há maior intercâmbio entre pesquisadores nacionais e internacionais,
formação de parcerias entre os pesquisadores em projetos, além de investir na visibilidade da
produção brasileira sobre pesquisa em Educação Matemática no âmbito nacional e
internacional. Não foi encontrado discussão sobre metodologia de pesquisa nos anais do
SIPEM I até o IV.
Um evento que trata sobre parâmetros balizadores para a pesquisa em Educação
Matemática brasileira começou a partir do I Simpósio sobre Produção Cientifica na Educação
Matemática Paulista – SIPCEMP. Por iniciativa da SBEM – SP reuniram-se os representantes
vinculados às áreas de Educação/Ensino de Ciências e Matemática/Psicologia. Aconteceu o II
2 Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. Disponível em:
http://www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/index.php/anais/sipem. Acesso em: 18.03.2016
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SIPECEMP em 2007 na UNESP em Rio Claro para socializar a produção cientifica e
articulações entre as linhas de pesquisas e a formação do professor matemático do Estado de
São Paulo.
Preocupados com a qualidade das pesquisas, em termos teórico-metodológico, e as
condições de produção das pesquisas na área, o Grupo de Estudos e Pesquisas de Formação
de Professores que Ensinam Matemática – GEPFPM, da Universidade Estadual de Campinas
– UNICAMP, em 2011 promove na Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”
- UNESP – Rio Claro, São Paulo, junto ao o Programa de Pós Graduação em Educação
Matemática – PPGEM, o “I Fórum de discussões sobre a pesquisa, denominado de
Parâmetros Balizadores da Pesquisa em Educação Matemática” 3.
O II fórum4 aconteceu em 2013 na UNICAMP com o objetivo de promover reflexão
critica sobre os pilares da pesquisa em Educação Matemática no Brasil, em seus entraves,
possibilidades e limitações nas perspectivas epistemológica, histórica, sociocultural,
econômica e acadêmica. Em 2015 o III fórum aconteceu na Pontifícia Universidade Católica
de SP no Campus Consolação com temas que integram Programas das Áreas de Ensino e de
Educação da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES5, com
mapeamentos de novas pesquisas, e avaliação dos Mestrados Acadêmicos, Profissionais e a
produção de conhecimento.
A Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em Educação – ANPED,
fundada em 1976, constitui-se em um importante espaço para a discussão sobre o
desenvolvimento de pesquisas na pós-graduação sobre a área de Educação no Brasil. Em 1997
professores da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP decidem propor um
grupo de trabalho em Educação Matemática. Inicialmente, em fase probatória, grupo de
estudos sobre Educação Matemática. Em 1999, na assembleia da ANPED o grupo de estudos
sobre Educação Matemática passou a ser um Grupo de trabalho - GT 19 – Educação
Matemática.
Dario Fiorentini, em 1994, desenvolveu mapeamento de 48 trabalhos aprovados pelo
Comitê Cientifico da ANPED no período de 1998-2001. O objetivo foi descrever analisar e
3 I Fórum de pesquisa. Parâmetros Balizadores da Pesquisa em Educação Matemática.
https://sites.google.com/site/eventodepesquisa/edicao-anterior. Acesso em: 18.03.2016. 4 II Fórum de pesquisa. Parâmetros Balizadores da Pesquisa em Educação Matemática.
https://sites.google.com/site/eventopesquisa2/home. Acesso em: 18.03.2016. 5 CAPES. Disponível em: http://www.capes.gov.br/. Acesso em: 06.09.2016.
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discutir problemas e tendências temáticas, e teórico-metodológicas relativas ao lugar da
pesquisa em Educação Matemática descrevendo e analisando tendências temáticas e
metodológicas dos trabalhos produzidos pelo GT 19. De um ponto de vista do
desenvolvimento de um referencial teórico-metodológico, a existência de temas ou linhas de
pesquisas viáveis e exequíveis do ponto de vista da pesquisa, geralmente já consolidado por
pesquisadores. (FIORENTINI, 1994).
O mapeamento, dos 80 resumos, das pesquisas qualitativas do GT 19, entre 1988 a
2014, foi escrito por Adair Mendes Nacarato, Ana Cristina Ferreira, Celi Espasandi Lopes,
Dario Fiorentini e Regina Celia Grando. O trabalho escrito por estes autores é fruto de uma
mesa-redonda sobre os problemas em metodologia de pesquisa na formação de professores de
matemática. Destaca a incoerência entre os pressupostos teóricos e a metodologia utilizada, a
dificuldade de sintetizar de forma coerente o objetivo do trabalho, bem como a insuficiência
de informação nos resumos. (NACARATO, et al., 2005)
O mapeamento sobre Engenharia Didática na ANPED teve como objetivo tecer
reflexões sobre as pesquisas fundamentadas na Engenharia Didática nos trabalhos
apresentados no período de 1999-2005. Como resultado muito dos trabalhos mapeados não
explicitaram claramente os pressupostos epistemológicos, cognitivos e didáticos da pesquisa
realizada, nem a escolha das variáveis envolvidas (ALMOULOUD, et al. 2008).
No âmbito internacional, como dito anteriormente na introdução, há na CERME o
grupo de trabalho TWG: Theoretical perspectives and approaches in mathematics education
research se dedica justamente a discutir as diferentes abordagens e perspectivas teóricas nas
várias práticas de pesquisa, explorando as possibilidades de como lidar com esta diversidade
para a constituição da área enquanto campo científico. Esta discussão levou os pesquisadores
desse fórum a uma reflexão sobre a natureza, os papeis e funções das teorias em Educação
Matemática, nas suas relações com as metodologias utilizadas nas pesquisas da área.
A discussão sobre trabalhos aceitos para o CERME resultou de pesquisas empíricas,
com base nos seguintes procedimentos:
1. A influência de diferentes teorias na análise dos dados: considerar um determinado
conjunto de dados ou fenômenos por meio de diferentes lentes teóricas e analisar as
diferenças resultantes; analisar as interações de duas ou mais teorias e como elas são
aplicadas à mesma pesquisa empírica;
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2. A relação entre teoria e pesquisa empírica: analisar como um paradigma de pesquisa
específico influencia a pesquisa empírica; exemplificar como estudos empíricos
contribuem para o desenvolvimento e evolução das teorias;
3. A relação entre pesquisa e prática por meio da análise de como a pesquisa influencia
na prática e vice-versa.
Observa-se, portanto, que nos espaços privilegiados de discussão delineados acima,
que a comunidade de Educação Matemática, no âmbito nacional e internacional, ao longo das
últimas décadas, vem se tornando uma área estabelecida de pesquisa. Uma área em
crescimento procurando consolidar quadros teóricos em construção permanente, que
incorpora diversos modos de construir saberes, com numerosos eventos, periódicos, série de
livros, conferências e fóruns.
Nas plenárias do CERME o grupo que pesquisa sobre as “Diferentes abordagens e
perspectivas teóricas na pesquisa em Educação Matemática” busca explicitar seus
pressupostos teóricos, bem como compreender a relação entre as diferentes teorias. Afunila-se
para a seguinte questão: Porque os pesquisadores adotam um método (particular) teórico ao
apresentar os resultados de sua pesquisa? Dentre as respostas possíveis pode-se incluir que
os pesquisadores adotam um método teórico, um modelo específico, por ser “moda” ou
porque o pesquisador trabalha em uma determinada cultura onde um determinado modelo é
aceito, ou pode o modelo abordar questões centrais que os pesquisadores procuram
compreender.
No CERME 5 as discussões apontam para pensar sobre a importância de se ter
diferentes metodologias de pesquisa em Educação Matemática a fim de possibilitar a escolha
por vários métodos. O uso de métodos qualitativos e quantitativos, para a metodologia de
pesquisa, denominada de multi-métodos que é um método de pesquisa que envolve coleta,
análise e integração de dados quantitativos e qualitativos em um único estudo ou em vários
estudos.
A vantagem da abordagem quantitativa são os testes que, geralmente, são
administrados para muitos participantes e onde são produzidos muitos dados em pouco tempo
com o custo baixo. Os dados são obtidos com base em uma amostra representativa, o que
significa que é mais provável generalizar com base nos dados as declarações feitas pelos
participantes. Todavia, a desvantagem desta abordagem é que os dados produzidos podem
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carecer de profundidade sobre o tema a ser pesquisado. Então, a aplicação de multi-métodos,
como por exemplo, a entrevista, pode favorecer a compreensão dos dados estatísticos, a
observação pode auxiliar a leitura dos testes com múltiplas questões fornecendo informações
sobre o conhecimento matemático no contexto onde está ocorrendo á investigação.
(PETROU, 2007)
A utilização de abordagem de estudo de caso nas pesquisas em Educação Matemática,
vem sendo adotada para explorar a relação entre dois aspectos do conhecimento matemático:
conhecimento da matéria - que consiste no conhecimento centrado na organização dos
principais fatos, conceitos sobre os processos pelos quais as teorias e os modelos são
produzidos e estabelecidos como válidos; o conhecimento pedagógico do conteúdo – inclui as
interpretações, exemplos e aplicações que os professores utilizam a fim de tornar
compreensível o assunto para o estudante. (PETROU, 2007)
A escolha de uma determinada metodologia de pesquisa relaciona-se a perspectiva
teórica adotada pelo pesquisador, que comumente é referida como paradigma de pesquisa. Na
literatura sobre pesquisa multi-métodos, existem diferentes posições de como paradigmas de
pesquisas informam o desenho de seu estudo. Ou seja, um tipo de método é mais apropriado
para certo tipo de pesquisa, enquanto outro tipo é mais apropriado para outro tipo de pesquisa.
(PETROU, 2007). No CERME 6 e 7, não houve discussão sobre metodologia de pesquisa.
No CERME 8 a comparação entre “Pesquisa - Baseada em Design “ (PBD)” e
Engenharia Didática “ (ED), foi para identificar as suas características básicas, semelhanças,
diferenças e possíveis complementaridades dos problemas, princípios teóricos e métodos”. A
Pesquisa - Baseada em Design é da família de abordagens metodológicas que estudam a
aprendizagem em contexto. Usa o design e análise sistemática de estratégias e ferramentas de
ensino tentando garantir a independência da pesquisa. A Pesquisa-Baseada em Design pode
auxiliar a criar e ampliar o conhecimento sobre o desenvolvimento e sustentação de
aprendizagem em ambientes inovadores. (GODINO, et al. 2013)
O design é utilizado como método de pesquisa para diferenciar do design de
delineamento experimental clássico: o objetivo central da concepção de ambientes de
aprendizagem e desenvolvimento de prototheories6 de aprendizagem está interligado; o
6 Prototheories ou proto-ciências são ciências em curso, para o qual não há lugar no edifício ensino da ciência
estabelecida, mas pode ser que o que ainda é uma teoria de fora, amanhã pode ser nos livros de ciência ou é
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desenvolvimento e pesquisa têm lugar através de ciclos contínuos de design, promulgação,
análise e redesenho; a pesquisa deve explicar e projetar cenários autênticos, com sucessos,
fracassos, interações que refinam a nossa compreensão de questões cujo aprendizado esteja
envolvido; os desenvolvimentos dos resultados estão baseados em métodos que se conectam
com promulgação de desfechos interessantes. (GODINO, et al.,2013)
Designs de experimentos são para desenvolver teorias e sintonizar com o que funciona
com o que é útil. São três fases: planejamento da experiência; experimentação para apoiar a
aprendizagem; análise retrospectiva dos dados gerados ao longo do experimento. As
experiências de design incorporam dois elementos críticos para guiar a melhoria da prática
educativa: a concepção e a avaliação. Estas experiências são complementadas por métodos de
estudos etnográficos, pesquisa clinica experimental ou quase experimental, para avaliar os
efeitos das variáveis independentes sobre variáveis dependentes, como também representam
desafios que podem ser comuns em outras pesquisas sobre educação, como por exemplo:
dificuldades decorrentes da situação cotidiana e a resistência ao controle experimental;
grandes quantidades de dados decorrentes da necessidade de combinar etnografia e análise
quantitativa. (GODINO, et al.,2013)
A Engenharia Didática é uma metodologia de pesquisa que se baseia na concepção e
avaliação de sequências teoricamente justificados de ensino da matemática, com a intenção de
desencadear a emergência de alguns fenômenos educativos e desenvolver recursos de ensino
cientificamente testados. A validação é essencialmente interna, com base no confronto entre a
priori e a posteriori. Sugere-se que a Engenharia Didática seja mais que uma metodologia de
pesquisa se destina igualmente a uma transposição didática viável no ensino, como um
produto tão importante quanto o método. De acordo com o objetivo da pesquisa a engenharia
pode produzir resultados de pesquisa com divulgação mais ampla de cenários utilizados, e
engenharia para o desenvolvimento e formação com produção de recursos para a formação de
professores. (GODINO, et al.,2013)
descartado como abordagem equivocada. Disponível em: http://www.prototheo.de/index-eng.html. Acesso em:
19.03.2016
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Para Engenharia Didática e Pesquisa-Baseada em Design, segundo o quadro 1 abaixo,
as questões paradigmáticas são um pouco semelhante, embora orientado e especificado à luz
da teoria subjacente. As situações fundamentais são modelos ou representações de
caracterizações de conhecimento matemático através das questões ou problemas para os quais
esse conhecimento é uma resposta. A posição epistemológica construtivista sobre o
conhecimento matemático, apoio da Engenharia Didática, foi destacada pela Teoria do
Antropológico do Didático (TAD) e da Abordagem Ontosemiotica (AOS).
Consequentemente, pode-se ver na PBD uma extensão da ED. A PBD não tem uma estrutura
teórica única ou preferida, enquanto a ED repousa sobre uma teoria a Teoria das Situações
Didáticas que fornece critérios para desenvolver situações fundamentais especificas para a
matemática e para conduzir o ensino-aprendizagem autononoma dos alunos.
Metodologicamente, o estudo preliminar proposto pela ED tem orientação na base da teoria
para a análise epistemológica do conhecimento matemático a ser ensinado. (GODINO, et
al.,2013)
O objetivo da PBD é desenvolver recursos instrucionais para melhorar o ensino e
aprendizagem da matemática com base em pesquisas. A pesquisa sobre intervenções
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educativas depende criticamente dos referenciais teóricos utilizados que apoiam a concepção
e interpretação dos resultados. Diferente na PBD onde a pesquisa dependerá da teoria de base,
ou a falta da teoria, e, portanto, uma família de metodologias ou abordagens de pesquisas
educacionais. Uma vez que o objetivo é desenvolver um produto com base na pesquisa, pode
ser considerada como uma forma de engenharia. A Engenharia Didática francesa, como
tradição mais ampla, aborda um problema semelhante, embora apoiada por uma teoria
explícita que é a Teoria das Situações Didáticas. Pode-se considerar a ED um antecedente da
PBD e um exemplo particular da mesma. (GODINO, et al.,2013)
Designs de intrução com base em modelos teóricos diferentes a TSD são realizadas
para produzir uma variedade de projetos baseados em pesquisas. Os tipos de engenharia
didática, conforme a figura 1, compartilham problemas semelhantes. Para o pesquisador
apoiar seu trabalho em uma engenharia particular e explicar os resultados obtidos em cada
caso são necessárias novas análises para que esclareça detalhadamente (GODINO, et al.,2013)
os limites e possibilidades de seu uso.
Figura 1 - Variedade de Pesquisa - Baseada em Design (PBD)
Fonte: GODINO, et al. (2013, p.2817)
O CERME 8 traz discussão sobre “rede de métodos”. Considera-se, como método
entrevista com lembranças estimuladas. E, apresenta-se a caneta Livescribe como instrumento
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importante para a pesquisa por capturar in loco as impressões do pesquisado. Descreve
protocolos de pensar em voz alta (T-AP) e a abordagem de tarefas-baseadas em entrevista (T-
BI) para capturar dados na resolução de problemas. Estas abordagens dependem de relatos
verbais dos participantes que permita envolvimento em reflexão “ao vivo” no desempenho
“livre” de resolução de problemas a fim de provocar raciocínio. As abordagens foram
desenvolvidas em Educação Matemática no século XX é relevante para o pensamento do
novo pesquisador (HICKMAN; MONAGHAN, 2013)
Lembrança estimulada é um subconjunto de um conjunto de métodos introspectivos
que significa induzir dados sobre procesos de pensamentos envolvidos na realização de uma
tarefa ou atividade. A lembrança estimulada por entrevista normalmente envolve utilização de
um estimulo, tal como fita de áudio ou vídeos para “ativar o participante para reviver” o
episódio a ponto de ser capaz de fornecer retrospecto verbalizado de processo de pensamento
original. Permite que os investigadores explorem participantes, os conhecimentos, opiniões,
entendimentos, interpretações, experiências, interações, compartilhando principios
ontologicos e epistemológicos. A Livescribe é uma caneta digital com gravador de áudio
digital embutido que pode ser usada como caneta regular, mas registra em tempo real junto
com os sons para ser transferido para um computador e assim reproduzido. Tem sido um
estimulo para entrevista através da lembrança estimulada. (HICKMAN; MONAGHAN, 2013)
Estes métodos incidem sobre os seguintes temas: exemplos de estratégias para
conectar teorias (metodologias); condições para um diálogo produtivo entre teóricos
(metodologia); dificuldades e estratégias ao reunir resultados de diferentes quadros teóricos; o
papel do material empirico (dados de pesquisa) na rede e design de teorias; a interação entre
contextos e abordagens teóricas: a diversidade de abordagens em direção a diferentes culturas
e contextos. De forma especifica, levantou a discussão sobre a metodologia e sua relação com
a teoria, que o artefato Livescribe justamente com a Lembrança Estimulada por Entrevista
pode permitir que as redes de teorias/metodologias, e possivelmente construir uma
metodologia mais forte, pode-se também considerar estas duas posições meta-teorias em rede.
(HICKMAN; MONAGHAN, 2013)
No CERME 9 a discussão sobre metodologia da pesquisa foi um estudo introdutório
sobre o método mineração de dados7 em Educação Matemática. Este método é semelhante à
7 Educational Data Mining. Disponível em: http://www.educationaldatamining.org. Acesso em: 19.03.2016
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obtenção de minério de areia, onde o minério é o conhecimento. Podendo assim, ser
denominada de mineração de conhecimento, mas não é assim denominado porque a ideia é
colocar ênfase na grande quantidade de dados que com este método pode o pesquisador
trabalhar. As definições encontradas na literatura sobre mineração de dados são: metodologia
utilizada para identificar padrões ocultos em grande conjunto de dados; processo que analisa
os dados partindo de diferentes pontos de vista resumindo informações úteis; tecnologia usada
para descrever descoberta de conhecimentos e relacionamentos significativos. (ASKSOY, et
al.,2015)
As técnicas mineração deste método são: Clustering uma técnica que agrupa
automaticamente dados de segunda ordem por semelhança; Classificação e regressão – na
classificação a variável prevista é binária ou categórica, incluem-se dados educacionais
arvores de decisão, regressão logística e máquinas de vetor suporte, são modelos preditivos
que pode comparar o comportamento de estudantes de hoje com os do passado – na regressão
a variável prevista é a contínua, inclui-se dados educacionais como árvores de decisão e redes
Bayesian e pode ser usado para prever comportamento do estudante em um ambiente
educacional; Regras de associação são atributos de dados, regras características de
classificação e previsão para descrever uma situação futura. Em educação pode ser usada para
trazer regras interessantes sobre registros dos estudantes, fatos ocultos na compreensão do
comportamento do estudante em um ambiente de aprendizagem, como o estilo de aprender, o
padrão utilizado, a avaliação, dentre outras questões. Estas regras podem auxiliar o professor
à entender as necessidades do estudante em melhorar as habilidades de aprendizagem.
(ASKSOY, et al.,2015)
Comparando aos métodos estatísticos tradicionais, a mineração de dados pode auxiliar
de forma mais completa os dados encontrando padrões não vistos anteriormente, e prever
modelos que permita tomar melhor decisão, e, portanto, moldar futuros eventos. Uma das
funções da mineração de dados é identificar irregularidades entre os dados, e a outra função é
encontrar relação entre variáveis que irá prever valores desconhecidos ou futuros das
variáveis. Ao contrário da análise descritiva e inferencial que dependem de médias e desvios
padrão, a mineração de dados usa a Estatística determinística, e paramétrica e não
paramétricos para analisar registros de dados. (ASKSOY, et al.,2015)
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Em educação, mineração de dados pode ser usada para: determinar equívocos
encontrados na pesquisa qualitativa (técnicas de classificação ou regras de associação);
determinar equívocos ou erros que ocorrem em conjunto (regras de associação); alguns
fatores determinadamente importantes para formar grupos compatíveis na aprendizagem
colaborativa (técnica de classificação para agrupamento); determinados fatores que afetam a
realização matemática (classificação de técnicas); prever e tomar precauções com o
desempenho do estudante no inicio e no final do ano (técnicas de classificação); determinar
características dos estudantes com necessidades especiais (clustering)8; investigar as relações
entre as diferentes perspectivas teóricas utilizadas em educação e ligá-las (regras de
associação ou técnicas de classificação); descobrir relacionamentos nos padrões de
comportamento dos estudantes (regras de associação). (ASKSOY, et al.,2015)
A complexidade da Educação Matemática reflete nas pesquisas da área, tanto no
âmbito nacional quanto no internacional, nos significados propostos por pesquisadores, e na
relação com outras áreas do conhecimento. As pesquisas têm sido produzidas, em decorrência
dos programas de pós-graduação, consequentemente há discussão sobre a diversidade
metodológica diante desta complexidade. Há também um movimento crescente de realização
de eventos na área como espaço de discussão e difusão das ideias.
A pesquisa em Educação Matemática não é pesquisa em Matemática, e nem é pesquisa
em Educação (BICUDO 1983) mais trata de assuntos tanto da matemática quanto da
educação. Não haverá uma resposta definitiva, uma resolução final, para o que venha a ser a
pesquisa em Educação Matemática. Entretanto, múltiplas respostas, várias análises, em
diferentes países com diferentes culturas, e várias visões para o futuro da pesquisa em
Educação Matemática.
Vê-se, portanto, que a Educação Matemática é um campo de conhecimento aberto, que
incorpora diversos modos de construir saberes adequado ao seu objeto de estudo, é uma área
em crescimento procurando consolidar quadros teóricos em construção permanente.
8 Clustering é uma técnica de Data Mining para fazer agrupamentos automáticos de dados segundo seu grau de
semelhança. Disponível em: http://home.deib.polimi.it/matteucc/Clustering/tutorial_html/. Acesso em:
20.03.2016.
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1.2 Teoria da Educação Matemática - TME: programa de Hans-Georg Steiner
A Teoria da Educação Matemática nasce da preocupação de Hans-Georg Steiner em
sistematizar os fundamentos de teorias e metodologias para pesquisa em Educação
Matemática. Bem como, da necessidade de compreender o que é a área Educação
Matemática, de problematizar os seus fenômenos, de compreender para onde a área poderia
evoluir, e das relações que podem ser estabelecidas. O trabalho de Hans-Georg Steiner tem
raiz no Instituto de Pesquisas em Didática Matemática – IDM, onde trabalhou com a
fundamentação teórica Didática da Matemática.
No V International Congress on Mathematical Education – ICME, Hans-Georg
Steiner apresentou a TME e os três componentes inter-relacionados que serão discutidos ao
longo desta seção (STEINER, 1987, p.46):
1. A identificação e a elaboração de problemas básicos na orientação, na
fundamentação, na metodologia, e na organização da Educação Matemática
como disciplina;
2. O desenvolvimento de uma abordagem abrangente para a Educação
Matemática em sua totalidade quando visto como um sistema interativo
compreendendo a pesquisa, o seu desenvolvimento e a prática;
3. Investigação auto-referente e a meta-investigação relacionada com a
Educação Matemática fornecem informações sobre o estado da arte, sobre
situações problemas, e as necessidades da disciplina em respeito às
diferenças regionais e nacionais. (Tradução nossa)9
Hans-George Steiner delineou a TME em nove ideias. A primeira ideia é sobre a
Complexidade, as inter-relações, e uma visão sistêmica para a Educação Matemática. A área
da Educação Matemática é caracterizada por extrema complexidade. Explicar a Educação
Matemática como área complexa, perpassa, por certo, ao oposto do significado do que vem a
ser linear, ou do significado de determinismo. Seria admitir a Educação Matemática como
disciplina cientifica e um sistema social que compreende teoria, desenvolvimento e prática.
(STEINER, 1985)
Pode-se dizer que, observado o fenômeno e as circunstâncias, entender a sua
complexidade significa perceber que existe a área Educação Matemática que é o todo,
9 1. The identification and preparation of basic problems in orientation, rationale, methodology, and organization
of mathematics education as a discipline; 2. The development of a comprehensive approach to mathematics
education in its entirety when viewed as an interactive system comprising research, development and practice; 3.
Research self-referential and meta-research related to mathematics education provide information about the state
of the art of problem situations, and the discipline of requirements with respect to regional and national
differences.
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compreendido aqui como um sistema, e que esta área tem partes que a constituem que são os
subsistemas e suas inter-relações. Pensar sobre uma visão sistêmica para a área possibilitaria
olhar este sistema, ou seja, à área como um todo, e seus subsistemas. Neste caso, seria preciso
levar em consideração a sua complexidade. Os subsistemas nem sempre atuam bem, falta
interconexão e cooperação mútua entre eles.
Portanto, devem-se levar em consideração na pesquisa os vários contextos em que
acontece a aprendizagem matemática e o pensamento matemático. Ambos estão incorporados
no sistema cognitivo do estudante, do tema a ser estudado, e do contexto em questão.
Geralmente, o pesquisador concentra sua pesquisa ou na aprendizagem do estudante ou no
pensamento do estudante e negligencia as interações entre a aprendizagem e o pensamento do
estudante. A Educação Matemática admite uma interpretação dialética como disciplina
cientifica e como sistema social interativo que compreende o desenvolvimento da teoria e
prática. (STEINER, 1985)
Uma abordagem sistêmica com as suas tarefas auto-referentes pode ser
compreendida como um meta-paradigma organizativo para a Educação
Matemática. Parece ser uma necessidade a fim, não só de lidar com a
complexidade geral, mas também porque o caráter sistêmico se revela em
todos os problemas particulares do campo […] (STEINER, 1985, p.11.
Tradução nossa).10
Alguns pesquisadores tratam as interações trabalhando as relações e apresentando em
forma de esquemas, para discutir o lugar que cada subsistema ocupa e quais as contribuições
na constituição destes saberes.
No modelo desenvolvido por Hans-George Steiner a disciplina cientifica Educação
Matemática (EM) se insere em um Sistema de Ensino da Matemática (SEM) – Formação do
Professor de Matemática, desenvolvimento curricular em matemática, materiais didáticos,
avaliação, etc. - que se insere em um sistema social complexo denominado de Educação
Matemática e Ensino (GODINO, 2010).
No diagrama são identificados os subsistemas: formação de professor,
desenvolvimento curricular, materiais didáticos, avaliação, etc., e a própria Educação
10 A systemic approach to their self-related tasks can be understood as an organizational meta-paradigm for
mathematics education. It seems to be a necessity in order not only to deal with the overall complexity, but also
because the systemic character reveals itself in every particular field problems. (STEINER, 1985, p.11)
38
Matemática que faz parte do SEM. Também faz parte do diagrama as ciências referenciais:
Matemática (M), Epistemologia e Filosofia da Matemática (EFM), História da Matemática
(HM), Psicologia (P), Linguística (L), Sociologia (S).
Na parte do entorno Hans-George Steiner relaciona todo o sistema da Educação
Matemática com as Novas Aprendizagens na Sociedade (NAS), para representar o ensino de
ideias fora do contexto escolar, e as inter-relações com Educação em Ciências Experimentais
(ECE). A Teoria em Educação Matemática (TEM) situa-se em um plano interior que
contempla e analisa em sua totalidade um rico sistema global. A TEM seria então, como um
componente da Educação Matemática, que está inserido em um sistema mais amplo
denominado de Sistema de Ensino da Matemática (SEM) que o constitui. (GODINO, 2010)
A visão sistêmica tem relação com a noção interdisciplinar de sistema adotada pelas
ciências sociais. Niklas Luhmann um importante teórico alemão da contemporaneidade,
renova a ideia sobre teoria dos sistemas baseado em uma mudança fundamental quando na
distinção do todo e das partes, para a distinção de sistema e entornos tendo como referência o
conceito de complexidade. (NEVES, 2006)
39
O tema complexidade ganha referência teórica no século XX, construído a partir das
transformações nas ciências naturais e da matemática, operada no início deste século que
colocaram em dúvida o estatuto epistemológico da física newtoniana que se ligavam as ideias
de universo determinista, de reduções a causas últimas, do mecanismo e reversibilidade. Estas
expressões são uteis para entender o conceito anterior de complexidade e o porquê do fascínio
que as matemáticas exerciam naquela época. (NEVES, 2006)
Contribuições recentes à teoria geral dos sistemas enfocam a relação do
sistema/entorno. Os sistemas se definem, criam identidade partindo das suas próprias
operações. Estas operações são dependentes do sistema no qual são produzidos, que por sua
vez, produzem o próprio sistema. Começa com um processo circular de autoprodução de
componentes capaz de dar sentido e informações do entorno, e por isso se distingue do
mesmo. Assim, a ideia de Niklas Luhmann não parte da noção de unidade, mas de diferença,
buscando na complexidade a superação da causa e efeito (NEVES, 2006).
Complexidade significa a totalidade dos acontecimentos e circunstâncias. Quanto
maior a possibilidade de acontecimentos cresce a relação entre os elementos que compõe estas
circunstâncias. A capacidade humana não dá conta de apreender esta complexidade, neste
ponto assumem os sistemas. A visão sistemática intervém entre a complexidade e a
capacidade humana em trabalhar a complexidade. A função da visão sistemática é de reduzir a
complexidade excluindo determinadas possibilidades e selecionando outras. (NEVES, 2006)
O sistema é, portanto, definido por sua diferença em relação ao entorno. Ou seja, o
sistema que contém sua diferença é em si auto-poiético (capaz de se autoproduzir),
autorreferente (que se refere a si mesmo) e operacionalmente fechado por se constitui
reduzido à complexidade do entorno. Se por um lado o sistema reduz a complexidade, por
outro lado constroem a própria complexidade. Precisa fechar produzindo a construção de sua
própria complexidade com seu autopoésis (criação de seu próprio elemento). O entorno é
mais complexo que o sistema por englobar todas as relações, acontecimentos e situações
possíveis (NEVES, 2006).
O sistema se decompõe em subsistemas, elementos e relações. Não existem elementos
sem conexões relacionais nem relações sem elementos. Os elementos são para o sistema que o
utiliza como unidade. Niklas Luhmann define complexidade quando um conjunto inter-
relacionado de elementos já não tem como se relacionar com outros devido a suas limitações e
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para que ocorra a seleção, é necessária a obrigação da seleção que significa contingência e
contingência significa risco. (NEVES, 2006)
A ideia delineada acima sobre complexidade é necessária sempre que for explicado o
funcionamento de um conjunto de elementos tal como pensou Hans-Georg Steiner na TME:
No que diz respeito a determinadas tarefas e aspectos a Educação
Matemática como disciplina e campo profissional é um subsistema. É um
único campo cientifico que estuda todo o sistema. Uma aproximação
sistêmica com suas tarefas de auto – referência deve considerar-se como
meta-paradigma organizativo para Educação Matemática. Parece ser uma
necessidade de gerir a complexidade da totalidade, mesmo porque o caráter
sistêmico se apresenta em cada problema particular do campo (STEINER,
1985, p,11. “Tradução nossa”)11
Para completar a explicação sobre complexidade Niklas Luhmann introduz a figura do
observador. O observador é aquele que é capaz de decompor a unidade de uma multiplicidade
em elementos e relações. Um observado pode descrever a complexidade de outro observador.
Ou seja, um observador de segundo plano. Para este autor, toda observação é uma visão
sistêmica, mas nem toda visão sistêmica é uma observação. A complexidade é captada
justamente pela observação. (NEVES, 2006).
A observação parece dar o tom de que é possível refutar ideias prontas que
supostamente poderiam dar contar de resolver determinadas questões dentro de um
determinado sistema advindas do fenômeno pesquisado, possibilitando a exploração de
aqueloutros fenômenos subjacentes.
A segunda ideia versa sobre as Diferentes visões da Educação Matemática como
ciência. Diante da complexidade da área de Educação Matemática seria impossível atacar os
problemas cientificamente. A reação para esta pergunta seria ver a Educação Matemática
como um campo subjetivo, pragmático limitado a uma interpretação do ensino da matemática
como arte, e neste sentido, nunca se tornaria uma ciência. Outra reação seria reduzir de forma
sistemática a complexidade da área selecionando um determinado aspecto, como análise de
conteúdo, currículo, métodos de ensino, desenvolvimento de capacidades nas crianças, como
especificidades determinantes da área. Isto acontece, quando as várias disciplinas de
referencia tal como matemática, epistemologia, pedagogia, psicologia, sociologia, ou teorias e
11 With regard to Certain tasks and aspects of mathematics education as a discipline and professional field is a
subsystem. It is a unique scientific field studies que the entire system. The systemic approach to self Their tasks -
reference shouldnt be Regarded meta-organizational paradigm for mathematics education. It seems to be a need
to manage the complexity of all, even the the systemic nature presents itself in each particular field problem
41
métodos em uma destas disciplinas, buscam um papel preferido e dominante para estabilizar
orientações básicas e métodos de pesquisa em Educação Matemática. (STEINER, 1985)
[...] a Educação Matemática como ciência é possível e existe, em uma
variedade de definições diferentes, por exemplo, o estudo das relações entre
a Matemática, o indivíduo e a sociedade; a reconstrução da Matemática atual
a um nível elementar; o desenvolvimento e avaliação de cursos matemáticos;
o estudo do conhecimento matemático [...]. (STEINER, 1985, p.13,
“tradução nossa”).
Educação Matemática, neste sentido, é diferentemente classificada: como um campo
especial da matemática, como um ramo especial da epistemologia, como uma engenharia da
ciência, como um subdomínio da pedagogia ou didática geral, como uma ciência social, como
uma ciência incerta, como uma ciência aplicada, como uma ciência de fundação, dentre outras
ideias. Há uma necessidade de uma base teórica que permita melhor compreensão e
identificação em suas diferentes posições, em seus aspectos e intenções que subjazem as
diferentes definições em uso, para analisá-la. A solução seria além de uma visão sistêmica,
discutida acima, propor conceitos da complementaridade somada à Teoria da Atividade
(STEINER, 1985) desenvolvida por Alexei Leontiev.
[...] cada peça relevante de conhecimentos teóricos, sendo parte de alguma
idéia ou modelo do mundo real, irá de alguma forma ou de outra ter que
levar em conta que a pessoa que tem esse conhecimento é parte do sistema
representada pelo conhecimento. Todo o conhecimento pressupõe um
sujeito, um objeto e as relações entre eles (que são estabelecidas por meio de
atividade do sujeito). Portanto, todo o conhecimento tem uma estrutura
incoerente com conexões metafóricas e estritamente operacionais.
(STEINER, 1987, p. 49. “Tradução nossa”).
Diante as várias visões da Educação Matemática existem determinados problemas
cujas características requerem um nível de análise teórica e apropriada. Diante da extrema
complexidade da área, observa-se uma busca constante de esclarecimento. Hans-Georg
Steiner volta a trabalhar com as ideias de Niklas Luhmann ao propor a ideia de
complementaridade para resolver as diversas visões da Educação Matemática como ciência .
O fenômeno da complementaridade é conhecido, mas não é bem compreendido. Esta ideia
causa movimentos de curta duração, uma falsa dicotomia: habilidade contra compreensão;
estrutura contra resolução de problemas; axiomática contra construção; puro contra aplicado.
Tenta-se endireitar estes paradoxos de uma forma reducionista, ou em uma abordagem de
multi-aspecto onde se diz “fazer as duas coisas”. (STEINER, 1985)
42
Um conceito matemático, por exemplo, é parte de uma teoria e por certo existe uma
complementaridade entre o conceito como um objeto e o conceito como ferramenta. Ou seja,
um processo cíclico durante o qual o conceito pode tomar o papel ora como ferramenta para
resolver um problema, ora como um objeto dentro de um determinado saber. Um exemplo de
complementariedade é encontrado na Dialética Ferramenta-Objeto trabalhada por Régine
Douady onde o conceito assume o papel como uma ferramenta para resolver um determinado
problema e depois funciona para discutir sobre o conceito como objeto de estudo.
O outro domínio é a Teoria da Atividade desenvolvida por Alexei Leontiev psicólogo
russo que está cada vez mais sendo usada como ferramenta conceitual na investigação em
Educação Matemática. A teoria da atividade é um framework destinado a transcender a
dicotomia das ideias sobre macro e micro, mental e material, observação e intervenção em
análise e design de trabalho. O conceito central da teoria da atividade é a atividade. Atividade
são os processos que na relação do homem com o mundo satisfazem uma necessidade
especial correspondente a ele cujo objetivo é estimular o sujeito a executar esta atividade.
(ENGESTROM, 2000)
A aprendizagem é uma atividade humana que acontece em um meio social na relação
entre sujeitos, e entre o sujeito e o objeto de aprendizagem. Ou seja, há um motivo para
aprender, bem como onde o estudante deve chegar com este aprendizado. Atividades
específicas potencializam a internalização dos conceitos e por consequência o
desenvolvimento da aprendizagem. Portanto, através da atividade haverá a interação de
conteúdos matemáticos com outras disciplinas, e o contexto social. (ENGESTROM, 2000)
Cada diferente visão Educação Matemática como ciência tem sua defesa em uma
escola, e estas geralmente possuem as seguintes dimensões: a visão de ciência; a relação entre
o sujeito e o objeto; o critério de verdade; a regularidade da realidade; a neutralidade e a
objetividade; e a construção da ciência. É preciso, portanto, entender se as diferentes
características de diferentes abordagens filosóficas são complementares? Se a pesquisa é a
atividade principal na produção do conhecimento científico no debate sobre metodologia de
pesquisa em Educação Matemática? A ideia da complementariedade das diferentes visões e a
Teoria da Atividade pode enriquecer o debate explorando os possíveis caminhos para a
área?
43
A terceira ideia apresenta a Educação Matemática no caminho para “ciência
normal”. Para entender as ideias de Hans-George Steiner sobre o status da Educação
Matemática que se aproxima da ciência normal tal como Thomas Kuhn apresenta é preciso
compreender a relação entre teoria e a prática, e o problema da interdisciplinaridade em que
um cientista geralmente não distingue ciência de arte.
A impressão com a extensão de desacordos entre os cientistas sociais no que tange a
natureza dos métodos e problemas científicos legítimos dividiu os cientistas naturais que
possuíam respostas mais firmes ou permanentes. A pesquisa eficaz raramente começa antes
que uma comunidade cientifica pese ter adquirido respostas seguras. Na tentativa de entender
esta diferença levou o reconhecimento da pesquisa cientifica ao que denominou de paradigma
que são [...] as realizações cientificas universalmente reconhecidas que, por um tempo,
fornecem problemas e soluções modelo para uma determinada comunidade praticante de uma
ciência. (KUHN, 1998, p.24). Ou seja, o paradigma é aceito a ponto de que se o cientista não
consegue chegar aos resultados esperados, o erro está no cientista e não no paradigma.
Portanto, a vantagem do paradigma é dar eixo a pesquisa, dar sentido aos encaminhamentos, e
progredir de forma consistente.
E, por revoluções cientificas, são os episódios extraordinários onde ocorre a alteração
de compromissos profissionais. Ou pode ser compreendida como complementos
desintegradores da tradição à qual a ciência normal está ligada. A ciência normal, atividade
na qual a maioria dos cientistas emprega inevitavelmente quase todo o seu tempo, é baseado
no pressuposto de que a comunidade cientifica sabe como é o mundo. A posição da ciência
normal significa que a pesquisa está […] “firmemente baseada em uma ou mais realizações
cientificas passadas. Essas realizações são reconhecidas durante algum tempo por alguma
comunidade cientifica especifica proporcionando os fundamentos para sua prática posterior”
(STEINER, 1985, p.15, apud KUHN, 1998, p.24)
Em termos do desenvolvimento do conceito da teoria isto significa dizer que a
Educação Matemática é um campo de pesquisa para ser mensurado por meio de uma escala
que se estende pela (STEINER, 1985):
- atividade pré-paradigmática que representa a pré-história da ciência, onde reina
divergência entre pesquisadores ou um grupo de pesquisadores que trabalha sobre
fenômenos e buscam compreender o que deve ser explicado sobre estes fenômenos, os
44
princípios teóricos contidos nestes fenômenos, as regras, os métodos e os valores que
pode direcionar o desenvolvimento de novas teorias dentro do fenômeno estudado;
- atividade multiparadigmática há possibilidade de dialogo entre os paradigmas
trabalhados na comunidade para que o pesquisador tenha a oportunidade de
compreender os diferentes aspectos da realidade social complexa que envolve o
fenômeno estudado;
- ciência madura que possui um único paradigma tal como na atividade mono-
paradigmática.
Parece equivocado a exigência para que exista uma comunidade de especialistas que
compartilhem com uma rede de ideias sobre problemas e métodos de resolução com um único
paradigma no sentido de Thomas Kuhn. A coexistência de escolas competitivas de
pensamento favorece uma variedade de estratégias de pesquisa. A complexidade dos
fenômenos pode precisar da coexistência de programas de pesquisa distintos, sustentados por
diferentes paradigmas, mesclado com ideias de outras disciplinas. Precisa-se refletir sobre a
possibilidade de construir uma área de conhecimento que explique e sirva de fundamento aos
conteúdos matemáticos. (GODINO, 2010)
A teoria proposta por Thomas Kuhn para explicar o desenvolvimento das ciências da
natureza aplicada à Educação Matemática é controvertida e contestável. Por certo, esta forma
de pensar deve-se ao fato de que, entendendo paradigma como um artefato para solução de
enigmas ou quebra-cabeças seria um manual de instrução para que a resolução do problema
tenha êxito. Neste sentido, a Educação Matemática precisaria seguir determinadas regras, e
padrões advindos de outras áreas, correndo o risco de ser reduzida. Entretanto, isso não
significa dizer que não devam existir diálogos entre as áreas. Mas, para os fenômenos
próprios da área seria preciso constituir um esforço com a pretensa oposição entre a
aproximação entre os métodos da ciência social e das ciências naturais mostrando que as
metodologias de pesquisas não são excludentes ou antagônicas. (MIGUEL, 2003)
A quarta ideia trabalha as tarefas de integração da Educação Matemática: seu papel
como ciência na universidade. Comparar a Educação Matemática com ciência estabilizada e
com desenvolvimento em direção “ciência normal” levantou questionamento quanto ao papel
da educação como ciência dentro da universidade.
45
O argumento, por um lado, para o papel da Educação Matemática dentro na
universidade, em geral, é a proposta de uma universidade que providencia tipos de pesquisas
especializadas. Uma importante tarefa da universidade tem sido ensino, que tem sido
altamente especializada, e cujo objetivo tem sido integrar o conhecimento de diferentes
disciplinas e a compreensão da realidade. A universidade é um lugar de múltiplas funções da
ciência como cultura, formação e reflexão. Portanto, o papel da ciência na sociedade e dentro
da universidade não seria adequadamente descrita somente como campo de pesquisa.
(STEINER, 1985)
Pode-se dizer que, por outro lado, que a Educação Matemática tem desenvolvido uma
sensibilidade considerável com respeito aos objetivos sociais subjacentes. Todavia seria
errado se a Educação Matemática tentasse manter-se como uma ciência estabilizada apenas
em uma perspectiva de pesquisa especializada em vez de provar a sua capacidade sendo um
exemplo e adotando uma função de ligação entre matemática e sociedade. Isto é possível e
necessário especialmente pelo significado desta contribuição para elaboração e atualização de
muitas dimensões negligenciadas da matemática: a filosófica, a histórica, a humana, o social e
a didática. Implica que, a Educação Matemática não deve ser exclusivamente determinada
pelo papel da formação do professor, mas tem uma tarefa didática mais ampla como uma
orientação para ambos: pesquisa e ensino. (STEINER, 1985)
Reconhecendo que a formação do professor é um fenômeno complexo e diverso, seria
impossível o professor acompanhar a evolução da sua especialização, da sua prática, sem
pesquisa. Entretanto, o grande desafio, é determinar como traduzir a matemática para o ensino
em sala de aula. Pois, geralmente a matemática é vista como disciplina estática e sem espaço
para criatividade. Neste sentido, elaborar e atualizar as dimensões negligenciadas, descritas no
paragrafo anterior, pode dar o tom para explorar a gênese do conhecimento matemático.
(D’AMBRÓSIO, 1996) E, para este fim, incorporar o estudo e aprofundamento de
metodologias de pesquisas é uma forma de auxiliar na construção deste conhecimento.
A quinta ideia são os Micro e Macro-modelos. A crítica em relação à orientação
predominante da Educação Matemática em direção a “ciência normal” favorece a necessidade
de uma compreensão abrangente de inter-relação entre os vários aspectos e contextos, e como
consequência, a necessidade de um quadro teórico ou de um meta-paradigma que combine
seletividade e unidade. (STEINER, 1985)
46
A ideia de unidade é trabalhada por Hans-Georg Steiner inspirado em Niklas
Luhmann. Educação Matemática é um sistema que se decompõe em subsistemas, elementos e
relações. Não existem elementos sem conexões relacionais nem relações sem elementos. Os
elementos são para o sistema que o utiliza como unidade. O observador é aquele que é capaz
de decompor a unidade de uma multiplicidade em elementos e relações. (NEVES, 2006). Por
seletividade, compreende-se evitar que partes não faltosas do sistema sejam esquecidas
indevidamente. A ideia de unidade e seletividade liga-se a ideia de micro e macro-modelos
inspirada no educador matemático Richard Skemp. (SKEMP, 1989)
Richard Skemp considerou que para resolver a dificuldade de aprendizagem
matemática do estudante são necessárias investigações que conduzam à micro-modelos que
possam trabalhar pormenores (unidade) da aprendizagem matemática, e macro-modelos onde
os micro-modelos se ajustam e em algum ponto garanta interioridade (seletividade). (SKEMP,
1989)
Neste sentido, pesquisadores devem investigar quais exemplos de macro-modelos que
existem em Educação Matemática, quais os seus propósitos, se existem tipos análogos, se
objetivos similares são condições necessárias quando se opõem as formas dialéticas e
complementarísticas de lidar com modelos aparentemente contraditórios e com posição
controversa, e se os diálogos entre os pesquisadores apontam para uma perspectiva sistêmica.
(STEINER, 1985)
A sexta ideia trabalha As Teorias familiares versus a interdisciplinaridade. Hans
Georg Steiner inspira-se na fala de Jeremy Kilpatrick na conferência do Psychology of
Mathematics Education em 1981 sobre a falta de atenção a teoria nas investigações
desenvolvidas nos EUA, como apropriação de teorias de outras disciplinas, e a falta de teorias
internas.
[...] haverá um perigo de restrições inadequadas, se se insistir no uso de
teorias internas na Educação Matemática. A natureza do assunto e os seus
problemas exigem abordagens interdisciplinares, e seria errado não fazer
uma utilização significativa do conhecimento que outras disciplinas já
produziram sobre aspectos específicos desses problemas, ou da sua
contribuição numa cooperação interdisciplinar. Na realidade,
interdisciplinaridade não significa pedir de empréstimo teorias á feitas
exteriormente e adaptá-las às condições da matemática escolar. Existem
inter-relações muito mais profundas entre as disciplinas (STEINER, 1985,
p.15)
47
Ao trabalhar a ideia sobre a Epistemologia das Relações Interdisciplinares baseada na
filosofia estruturalista de Jean Piaget, a interdisciplinaridade é como pré-requisito do
progresso de investigação, uma vez que a ciência não se desenvolve em um nível apenas, mais
cedo ou mais tarde irá desenvolver sua própria epistemologia. Em Educação Matemática
existem várias disciplinas referenciais que são ou deveriam estar inter-relacionadas. Para
identificar o problema do trabalho interdisciplinar a Educação Matemática possui uma função
reguladora e organizacional essencial denominada por Jean Piaget de transdisciplinaridade.
(STEINER, 1985)
[...] observar um estádio mais elevado que se segue ao estádio das relações
interdisciplinaridade. Este seria a transdisciplinaridade o qual não trataria
apenas das interações ou reciprocidades entre os projetos especializados de
investigação, mas também colocaria estas relações dentro de um sistema
global sem qualquer fronteira rígida entre as disciplinas [...] (STEINER,
1985, p. 15 apud PIAGET, 1972)
Aparentemente, a Educação Matemática não reflete sobre a relação entre as
disciplinas. Neste sentido, a Educação Matemática poderia ao invés de restringir a sua base
teórica própria e interna formularia exigência interna às disciplinas cooperantes. Isso significa
dizer que, a Educação Matemática teria uma função reguladora transdisciplinar uma meta-
competência na relação com estas disciplinas cooperantes. (STEINER, 1985)
A sétima ideia trabalha a Abordagem sistêmica, os valores, e o “management
philosophy of science”. As ideias de Jean Piaget sobre transdisciplinaridade retornam na
adoção por Erich Jantsch que tenta elaborar uma “perspectiva sistêmica integrada da ciência,
educação e inovação”. Utiliza a noção de “criar um mundo antropomórfico” como um valor,
objetivo e base para este sistema dinâmico. Para estes valores e objetivos possam ser
instaurados as ciências e suas relações internas e externas devem ser compreendidas de forma
não independente dos processos sociais de transmissão e decisão.
Esta ideia refere-se a management philosophy de Charles West Churchman como
verdadeiro fundamento da ciência:
Uma abordagem sistêmica [...] teria em consideração a ciência, a educação e
a inovação, acima de tudo como exemplos gerais de atividade humana
deliberada, cujas interações dinâmicas têm vindo a exercer uma influência
dominante no desenvolvimento da sociedade e do seu ambiente. O
conhecimento seria visto aqui como uma forma de proceder, certo modo de
gerir as atividades. (STEINER, 1985 apud JANTSCH, 1972, p.16)
48
O pensamento de Erich Jantsch propõe orientação por valores e objetivos e por este
motivo é um fator importante para uma perspectiva sistêmica da Educação Matemática,
partindo do pressuposto que Matemática, como outras ciências, não é uma atividade humana
independente de valores. O debate sobre valores e objetivos, em particular, os aspectos éticos,
sociais e políticos da Educação Matemática tem sido negligenciado e separado de outros
problemas de pesquisa, como se argumentos racionais não fossem possíveis sobre estes
assuntos. (STEINER, 1985)
A outra questão, é que a management philosophy of science de Charles West
Churchman se aplica a Didática da Matemática como disciplina auto reflexiva que
desempenha função reguladora na pesquisa interdisciplinar e na interação entre a teoria e a
prática. (STEINER, 1985) Charles West Churchman é um pioneiro na área de pesquisa
operacional. Trabalha a ideia de sistema como um todo organizado complexo, um conjunto de
partes para realizar uma determinada finalidade. Enxergar a organização como sendo
processos é trabalhar com o enfoque sistêmico. (OLIVEIRA, 2013)
Charles West Churchman trabalha sistema contando a história de cegos tocam o
elefante em diferentes partes para tentar descrever. Cada cego ao tocar um elefante coloca o
tom das diferentes reflexões e compreensões que se pode ter de captar a realidade
(OLIVEIRA, 2013). Ou seja, das varias reflexões que surgiram dos cegos ao descrever o
elefante, cabe enfatizar que cada um descreve uma parte e por percorrer apenas parte do
elefante sua reflexão é limitada. A sensatez obrigaria a levar em consideração a experiência
do outro.
A obtenção de uma visão integral admite enxergar o sistema como um todo. Então,
pontuada por esta analogia o sistema é eficiente quando os meios investidos produzem
resultados máximos. Indica a importância de se considerar grandes sistemas, e a natureza da
autorreflexão e como isso se relaciona. Autorreflexão só é possível quando alguém regressa a
si mesmo após a mais longa viagem e tem condições de externar com clareza o todo.
(STEINER, 1985)
A oitava ideia diz respeito à Complementariedade, atividade humana, meta-
conhecimento: o papel da prática. Hans-Georg Steiner chega a conclusão que ao contrário do
que espera é trabalhoso a busca de uma síntese integrativa devido aos fenômenos
49
epistemológicos próprios da área. Na segunda ideia acima delineada, a ideia de
complementariedade e teoria de atividade já começaram a ser delineada.
O principio de complementariedade é inspirado em Niels Henrik David Bohr (1885-
1962) um físico que buscou explicar que um fenômeno é a descrição daquilo que deve ser
observado e do equipamento usado para obter a observação. Ou seja, a essência da ideia de
Niels Bohr é que não é possível acomodar as dicotomias, mas descobrir as
complementariedades das representações dos eventos em linguagens tão diferentes.
Complementariedade seria, então, uma estratégia metodológica para [...] enfatizar o conflito
conceptual, como uma preparação necessária para sua resolução. Niels Bohr queria entender a
unidade do conhecimento baseada na complementariedade vista como a realização de
descoberta da inter-relação entre todas as áreas do conhecimento. (HOLTON, 1984, p.21)
A maioria das falsas dicotomias tais como: técnica e compreensão, desenvolvimento
de estruturas e resolução de problemas, axiomática e construtivismo, matemática pura e
aplicada, representam pares de posições aparentemente opostos que podem ser seguidas ao
longo da história da Matemática e da Educação Matemática. A teoria e a prática têm sido
tratadas de forma reducionista, ou atribui-se domínio absoluto para um ou para o outro polo,
ou é adotada uma posição multipolar, sem compreensão da operacionalização das relações
antagônicas subjacentes relacionadas com o problema epistemológico na relação entre
conhecimento e atividade que é o cerne das complementariedades. (STEINER, 1985)
Complementariedade acaba por ser uma adequada ferramenta, que compreende as
diferentes relações entre os diferentes tipos e níveis de conhecimento e atividade, como
aparece na contraposição: “teoria cientifica vs. conhecimento cotidiano”, “meta-conhecimento
vs. conhecimento primário”, “empírica vs. formal”, “o pessoal vs. o social”, “percepção vs.
cognição”, etc., e também como eles regulam e controlam problemas do sistema de teorias. O
conceito de complementariedade tem papel nos fundamentos da Psicologia Cognitiva.
[...]. Não é de forma alguma, um conceito claro e distinto, mas é rico e
sugestivo. O princípio da complementariedade não promove resoluções das
oposições binárias centrais da Psicologia: mente e corpo, estrutura e
processo, sujeito e objeto, determinismo e livre-arbítrio, leis e controlos, etc.
Pelo contrário... o principio da complementariedade requer um uso
simultâneo de modos descritivos que são formalmente incompatíveis. Em
vez de tentar resolver aparentes contradições, a estratégias é aceitá-las como
um aspecto irredutível da realidade. (STEINER, 1985 p.30)
50
A ideia de complementariedade se associa a teoria da atividade por buscar reconstruir
uma forma de compreender a cognição a partir de um conceito de atividade humana do que do
conhecimento. A atividade humana relacionada com o objeto, com a sabedoria prática,
características habituais e a realidade sócio histórica, desempenharia papel estruturante.
Apenas na teoria da atividade a necessidade epistemológica de complementariedade
pode ser produtivamente desenvolvida e aplicada. Por outro lado, um ponto de vista
complementarista evitará que a teoria da atividade caia no reducionismo prejudicial e, ao
mesmo tempo, oferecerá possibilidades para o reducionismo relativo, necessário e inevitável.
No que diz respeito ao problema da cognição, temos que aceitar que não podemos saber, sem
saber que sabemos. Não podemos aprender um conceito teórico particular, sem adquirir
conhecimento sobre conceitos teóricos.
[...]. Não podemos adquirir conhecimento sem adquirir meta-conhecimento.
Mas o meta-conhecimento é, por um lado, o produto da evolução e, por
outro, a sua condição indispensável. Logo, conhecimento e meta-
conhecimento não podem ser completamente expressos ou representados
como um sistema coerente e fechado e numa descrição uniforme.
(STEINER, 1985 p.15)
Posições filosóficas e teorias epistemológicas relacionadas com matemática, como o
logicismo, formalismo, construtivismo, estruturalismo, empirismo dentre outras sempre
influenciaram e influenciarão as ideias principais em Educação Matemática. Esta questão se
refere para todo o desenvolvimento da área de Educação Matemática relacionada ao processo
de ensino e aprendizagem matemática.·.
Na nona ideia propõe a Theory of Mathematics Education - TME como um programa
em desenvolvimento, com três componentes inter-relacionados:
[...] meta-pesquisa e desenvolvimento do meta-conhecimento no que respeita
a Educação Matemática como disciplina. [...] desenvolvimento de uma visão
compreensiva da Educação Matemática envolvendo pesquisa,
desenvolvimento e a pratica por meio de abordagem sistêmica. [...]
desenvolvimento do um papel regulador dinâmico da Educação Matemática
como disciplina com respeita interação teoria-prática e cooperação
interdisciplinar. (STEINER, 1985, p.16)
A meta-pesquisa como componente da TME não foi delineada explicitamente. A
meta-pesquisa seria, portanto, a reflexão sobre a própria pesquisa, ou pode ser entendida
como componente da TEM pode se estender para um contexto que ajude a identificar
51
objetivos, estabelecer prioridades e desenvolver estratégias. A proposta as nove ideias acima
delineada sendo a décima a meta-pesquisa. A proposta é discutir no âmbito nacional e
internacional os dez pontos acima delineados. O objetivo primordial da TME seria
proporcionar a Educação Matemática auto-reflexão e auto-afirmação a fim de promover outra
forma de pensar seus problemas e suas inter-relações. (STEINER, 1985).
O artigo de Hans-George Steiner intitulado “Theory of Mathematics Education
(TME): An introduction” é considerado como a chave para o desenvolvimento de teorias
sobre a aprendizagem da matemática. A abordagem axiomática neste texto, por um lado, pode
significar que Hans-George Steiner subestimou a necessidade de estudos empíricos e crenças.
Entretanto, o texto aponta para o interesse em filosofia. Porém, uma nova filosofia da
matemática, inclui a matemática como atividade. Discute uma perspectiva sistêmica, uma
filosofia complementarística em conjunto com a teoria da atividade como forma de oferecer
para Educação Matemática instrumentos para enfrentar os problemas da área. (TORNER;
SHRIRMAN, 2007)
Essencialmente, Hans-Georg Steiner se dedicou ao desenvolvimento de uma meta-
teoria que considera aspectos filosóficos e epistemológicos da Educação Matemática. E o
papel da epistemologia, como ramo da filosofia, é preocupar-se com o conhecimento
cientifico, buscando respostas para: Qual é a origem do conhecimento cientifico? (empírico?
racional?); Quais são os critérios de validade do conhecimento cientifico? (capaz de prever
eventos? consistência lógica?); Quais as características do processo do conhecimento
científico? (acumulação e continuidade? período da ciência normal, revolução cientifica, e
descontinuidade? mudanças e aperfeiçoamentos em programas científicos?) (SIERPINSKA;
LERMAN, 1996).
A questão que se apresenta é: como, levando em consideração o ensino-aprendizagem
da matemática haveria desenvolvimento da filosofia da matemática, e, por conseguinte,
compatibilidade com Educação Matemática? A resposta é delineada através de cinco teses
(STEINER, 1985):
Na Tese 1 apresenta a ideia cuja a maioria dos pesquisadores elaboram concepções,
epistemologias, metodologias da filosofia da matemática, mesmo que implicitamente para o
ensino e aprendizagem da matemática. Aponta para filosofia e a epistemologia imbricada a
ponto de ser difícil separá-las. Na Tese 2 discute sobre as metas e objetivos de programas de
52
estudos, teorias da aprendizagem, concepções dos professores de matemática e ensino de
matemática como também percepção dos estudantes de matemática carregam frequentemente
de forma explicita determinados pontos de vista filosóficos e epistemológicos da matemática.
(STEINER, 1985)
A não filosofia é também uma posição filosófica. Não existe neutralidade em uma
visão filosófica e epistemológica sobre matemática. Esta ideia está relacionada com a reação
da nova matemática, bem como a critica a visão formalista para a matemática. Atualmente,
discute-se sobre crença dos professores e a sua visão da matemática nas diferentes associações
filosóficas e/ou epistemológicas. (STEINER, 1987)
A Tese 3 avalia a fecundidade das filosofias da matemática para determinados
objetivos e propósitos e desenvolvimento de critérios de avaliação utilizados. Esta tese baseia-
se no aumento relativo da validade da filosofia da matemática como observado na base
epistemológica e filosófica da matemática, assim como, na sociologia do conhecimento e na
sociologia da ciência. (STEINER, 1987)
A Tese 4 para uma Educação Matemática que prefere e elabora uma filosofia da
matemática. A intenção desta tese é possibilitar o pensamento que a Educação Matemática,
especialmente o conhecimento e a prática do professor, deve por um lado ser guiada por uma
adequada filosofia da matemática e por outro lado ser livre de ideias supérfluas. É difícil
interpretar esta tese diretamente, por este motivo pode-se tomar como foco o como ocorre à
aprendizagem e como pode se desenvolver uma filosofia mais oportuna para a Educação
Matemática. Mais ainda, esta tese demonstra que não estava diretamente preocupada com a
Educação Matemática, mas com uma filosofia da matemática que deveria ser provida por uma
meta-teoria. (STEINER, 1987)
Entre 1980 e 1990, o construtivismo radical e o construtivismo social estavam em alta
propondo uma visão instrumental da matemática. Entretanto, cada um destes domínios
filosóficos tinha problemas. O construtivismo radical derrubou o behaviorismo, enalteceu o
estudo qualitativo sobre o processo individual do raciocínio do estudante e discutiu sobre o
processo cognitivo. (TORNER; SHRIRMAN, 2007)
É inoportuno que a “validade objetiva” possa ser reivindicada nas conclusões da
pesquisa. No construtivismo social o contexto social e cultural, os processos em matemática e
Educação Matemática, no pós-modernismo as funções da linguagem e a questão do poder e
53
controle nas instituições sociais são importantes. Porém, a ênfase na sua própria ideia central,
exclui outros fenômenos e outras construções centrais da matemática e outras ciências.
(OLLAIK; ZILLER, 2012)
A Tese 5 propõe a filosofia da matemática como ingrediente indispensável para refletir
o ensino-aprendizagem da matemática a ponto de contribuir para construção de um adequado
meta-conhecimento para professores e estudantes. A Tese 6 reitera que a Educação
Matemática precisa de meta-teorias construídas em um sistema de abordagens baseadas em
atividades humanas e interações sociais. Sendo assim, para este autor, uma adequada filosofia
da matemática deveria ver a própria matemática, como um sistema de atividade. (STEINER,
1987)
A relevância do artigo de Hans-George Steiner “Philosophical and epistemological
aspects of mathematics and their interaction with theory and practice in mathematics
education” é que o foco da pesquisa não deveria se limitar à qualidade acadêmica, mas aos
tópicos e orientações epistemológicas que desempenham papel importante no cotidiano do
ensino e aprendizagem. As seis teses desenvolvidas por Hans-Georg Steiner são uma tentativa
de remediar o mundo matemático trabalhando com o aluno e o professor de matemática
(TORNER; SHRIRMAN, 2007).
A Educação Matemática ainda não conseguiu chegar a qualquer filosofia que se
encaixa bem com o ensino e os processos de aprendizagem. Enquanto campo cientifico, os
resultados das pesquisas da área sobre como se ensina e se aprende matemática, apontam para
a necessidade de dominar teorias especificas e métodos de pesquisa como forma, inclusive de
aprofundar o conhecimento matemático. O desenvolvimento da Educação Matemática, como
campo de pesquisa ou como disciplina acadêmica, está intimamente ligado à existência de
projetos, pesquisas, publicação de jornais, revistas, periódicos, eventos, dentre outros. Para
este desenvolvimento é preciso formar futuros pesquisadores (STEINER, 1987; MATOS,
2010).
Discutir de forma ampla e aprofundada sobre a metodologia de pesquisa em Educação
Matemática é relevante porque contribui para a forma como a pesquisa é conduzida, como
também para a qualidade dos resultados obtidos. Aponta a relevância da discussão sobre o
modo como os pesquisadores refletem, individual e coletivamente, sobre as formas como o
54
conhecimento é produzido, para que se torne aceitável, seja na comunidade de educadores
matemáticos, seja quando circula para outras comunidades.
Considerando-se que uma metodologia pressupõe a utilização coerente de uma série
de elementos conceituais e procedimentais, é preciso buscar critérios e parâmetros que
evidenciem esta coerência de modo minimamente consensual entre os pesquisadores que a
utilizam. Consenso e coerência são bases para a credibilidade do trabalho de pesquisa e dos
seus resultados. (MATOS, 2010)
1. Inquirir representa a busca pelo conhecimento, de compreensão, e
dinamismo para a atividade. A pesquisa deve ser inquérito intencional;
2. Evidência é necessária para manter a pesquisa relacionada com a realidade
da situação da Educação Matemática em estudada;
3. Teoria é o produto essencial da atividade de pesquisa. (MATOS, 2010,
p.38)
Há três tradições: a tradição pedagógica; a tradição do cientista empírico; a tradição do
filosofo escolástico, conforme tabela abaixo. E três componentes para o processo de pesquisa.
Cada uma destas tradições possui preocupações centrais e de certo modo destacam uma visão
de conjunto. A ideia central da tradição pedagógica representada por Emma Castelnuovo12,
Max Beberman 13está na intervenção exemplar sobre o processo educativo, valoriza o
professor reflexivo. Na tradição cientista empírico representado por Ed Begle a ideia central
está no rigor metodológico como forma de obter conhecimento seguro, fiável e reproduzível,
adotando processos semelhantes aos usados nas ciências, físicas e naturais tornando a
Educação Matemática em uma ciência empírica. Por último, na tradição do filosofo
escolástico, seguida por Willy Serais e Hans-Georg Steiner, a ideia central é a ideologia, o
modo rigoroso como suas posições teóricas são argumentadas. (BISHOP, 1987)
12 ICMI. Disponível em: http://www.mathunion.org/icmi/activities/awards/emma-castelnuovo-award/. Acesso
em: 03.10.2016 13 ICTM. Disponível em: http://www.ictm.org/assets/docs/Awards/ictm_posters_beberman.pdf. Acesso em:
03.10.2016
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TABELA 2 - Tradição de Pesquisa
FONTE: Matos (2010, p.38)
Algumas mudanças alteraram o quadro original de Allan Bishop. Percebe-se a
mudança da tradição pedagógica, com a incorporação da metodologia pesquisa-ação. Esta
metodologia procura as alterações nos processos de ensino, não mais se baseando na
abordagem exemplar do professor, mas através da reflexão sobre sua prática de forma
intencional. Na tradição cientista empírico, houve “cisma” entre as abordagens qualitativas e
quantitativas. Mais do que separar o numérico do descritivo, esta mudança centra-se na
distinção entre as opções filosóficas e éticas. Outra mudança ocorrida foi o surgimento da
perspectiva crítica perante o ato educativo, problematizando as intenções dos trabalhos
produzidos pela tradição pedagógica e questionando, sobretudo a tradição do filosofo
escolástico. (MATOS, 2010). Nesta tese, o termo tradição será compreendido como
transmissão de elementos que fazem parte de uma comunidade que permite a continuidade de
um determinado sistema de pesquisa.
Nas últimas décadas as discussões avançaram em relação à pesquisa, ampliando a
perspectiva metodológica. Entretanto, diante da diversidade da área várias questões precisam
de revisão, como por exemplo: os diversos objetos de pesquisa que se desenvolvem na
56
medida em que a área tenta responder novas perguntas; a fundamentação teórica presente na
comunidade, o framework utilizado na medida em que a área cresce e diversificando o
problema de pesquisa; a metodologia de pesquisa e os conhecimentos trazidos da
Antropologia, Sociologia, Psicologia, História e Filosofia das Ciências, as abordagens
utilizadas, qualitativas, quantitativas, quali-quantitativas, as técnicas utilizadas, e como são
empregadas.
Educação Matemática é uma área jovem em relação às outras áreas. Como uma
disciplina bastante jovem, o seu sistema de objetos, metodologias e critérios para o
conhecimento válido apresenta maior variabilidade e menos consenso.
1.3 O mapeamento de Dario Fiorentini e o delineamento Histórico de Jeremy Kilpatrick
para a pesquisa em Educação Matemática
As pesquisas em Educação Matemática, como área de saber, de modo sistemático e
consistente, investigam ou respondem sobre problemas relativos ao ensino e aprendizagem de
matemática, bem como sobre prática pedagógica na formação de professores. A Educação
Matemática é uma área multifacetada cuja região de inquérito envolve a dimensão didático-
metodológica, histórico-filosófica, sociológica, psicológica, e teleológico-axiológica,
concernente à matemática e aos processos educativos. (BALDINO, 1991)
Pesquisar, portanto, em Educação Matemática, teria como principal função
transformação qualitativa, ainda que não imediata, do ensino da matemática (FIORENTINI,
1994). Dario Fiorentini é um pioneiro ao discutir sobre a pesquisa brasileira delineada através
do estado da arte em mais de 200 teses e dissertações produzidas antes da década de 70, e
década de 80, em duas linhas de pesquisas: Resolução de Problemas e Modelagem
Matemática.
Dario Fiorentini privilegiou analisar as abordagens metodológicas, com o propósito de
construir um inventário que melhor descrevesse a trajetória da Educação Matemática
enquanto estudo/pesquisa situando-a historicamente. Uma tarefa complexa, visto que, naquela
época, internacionalmente a pesquisa em Educação Matemática era ignorada, e no Brasil, não
existia um estudo da área sobre o estado da arte.
Para Dario Fiorentini a finalidade da pesquisa em Educação Matemática é a melhoria
da prática pedagógica. Para este fim, a teoria não deve engessar a prática. Assim, deve ser
possível a pesquisa em Educação Matemática, a relação entre a dimensão especifica e não
57
especifica. A dimensão especifica diz respeito ao processo de ensino-aprendizagem da
matemática compreendendo o conteúdo, o professor, o aluno, o programa, o contexto, os
recursos e suas relações. A dimensão não especifica seria a teoria que auxiliaria a elucidar
questões importantes sobre a dimensão especifica. E, neste sentido o objeto de
estudo/pesquisa é interdisciplinar cuja compreensão perpassa pelo auxilio de outras áreas do
conhecimento. (FIORENTINI, 1994)
O período anterior à década de 70, final dos anos 60, é considerado como a gestação
da Educação Matemática, enquanto campo profissional. Nesta época, não era diferenciado o
estudo de pesquisa, e o olhar era para as tarefas da prática de sala de aula e a produção de
materiais didáticos. A Educação Matemática não possuía uma existência configurada. O
nascimento da Educação Matemática, marcado do inicio da década de 70, com o Movimento
da Matemática Moderna, aos primeiros anos da década de 80, época que surgem os programas
de Pós-graduação stricto sensu em Educação. No inicio da década de 80 já existiam
especialistas em Educação Matemática, mas não havia uma comunidade nacional organizada.
(FIORENTINI, 1994)
A década de 90 marca o surgimento de uma comunidade cientifica de pesquisadores
da área com novas linhas temáticas de pesquisa: Didática da Matemática, história, filosofia,
epistemologia, psicologia da Educação Matemática, programa escolar, resolução de
problemas, ensino de geometria, álgebra e pensamento algébrico, Etnomatemática, dentre
outros. A Sociedade Brasileira de Educação Matemática tem sua fundação entre os anos de
1987 a 1988, aumento de pesquisadores da área, ampliação da pós-graduação, difusão dos
encontros da área. Entretanto, as produções eram isoladas e pouco socializadas.
(FIORENTINI, 1994)
Destacam-se, na década de 90, as pesquisas com o uso do método da experimentação,
o método etnográfico a as abordagens quantitativa como participante ou a pesquisa-ação. Esta
época marca nas pesquisas, as amplas discussões políticas, sociais, e ideológicas, com as
abordagens epistemológicas a fenomenológica-hermenêutica e a histórico-crítica, ou dialética.
Outras linhas temáticas e as relações entre contexto e cognição matemática, Etnomatemática,
programa escolar de matemática, a prática pedagógica e o cotidiano da sala de aula, estudos
analíticos e históricos do ensino de matemática, políticas oficiais sobre o ensino de
58
matemática. As principais áreas temáticas da pesquisa eram estas a seguir: (FIORENTINI,
1994)
- Metodologia/didática do ensino da matemática (Resolução de problemas e
Modelagem Matemática e modelos matemáticos);
- Programa escolar do ensino da matemática;
- Materiais didáticos e meios de ensino;
- Prática pedagógica e/ou escolar;
- Formação do professor de matemática;
- Psicologia, cognição a aprendizagem matemática;
- Etnomatemática;
- Educação de adultos;
- Fundamentos teóricos da Educação Matemática;
- Ideologia e/ou concepções e significados;
- História do ensino da matemática;
- Políticas oficiais sobre o ensino de matemática.
Com relação às tendências teóricas metodológicas identifica a formalista clássica,
socioetnocultural, tecnicista e suas variações, empírico-ativista, formalista moderna,
construtivista, que apontam para modos de ver e conceber o ensino de matemática no Brasil
na década de 70 e 80. Havia pouco aprofundamento teórico-metodológico, nas teses e
dissertações compreendidas nas décadas de 70 e 80. Segundo Dario Fiorentini, estas
tendências influenciam até hoje os currículos de escola básica no Brasil, e cada uma destas
tendências é preciso identificar: a concepção matemática, a concepção do modo como se
processa a produção do conhecimento matemático, as concepções de ensino-aprendizagem, os
fins e os valores atribuídos ao ensino de matemática, a cosmovisão (visão de mundo)
subjacente, relação professor-aluno, perspectiva de estudo/pesquisa para a melhoria do ensino
de matemática.
A marca é dos educadores e matemáticos que tomaram como foco de sua atenção à
matemática que se ensina e a que se aprende na escola, bem como a matemática que deve ser
ensinada e aprendida e como estes processos são realizados. Enquanto campo de pesquisa, a
Educação Matemática começou a se desenvolver no final do século 19, a respeito da
psicologia comportamental, nas universidades, tendo como base uma linha positivista, com o
59
intuito de melhorar a preparar mais professores, e assim ampliar seus programas de formação
de professores. (KILPATRICK, 1996a)
Algumas abordagens contribuíram para a formação da área de Educação Matemática,
nos encontros educacionais. Na abordagem comportamental, mesmo que tomando como
posição epistemológica o positivismo lógico, o pesquisador assumiria uma posição neutra. Na
abordagem interpretativa, o pesquisador se introduz em um encontro educativo com o
propósito de compreender sem julgar. Na abordagem critica, o pesquisador se introduz não
apenas para compreender as mudanças de direção do encontro, mas para ter maior liberdade
de trabalhar. (KILPATRICK, 1996a) ·.
Na América do Norte, até os anos 70, o propósito para realização da pesquisa em
Educação Matemática era o de descrever o ensino-aprendizagem da matemática como um
sistema de variáveis, para descobrir suas inter-relações, e manipulá-la para conseguir outras
relações.
Na Europa e Austrália, utilizavam-se das abordagens fenomenológicas quando se
assemelhava ao trabalho do antropólogo na medida em que busca capturar e compartilhar a
relação entre os professores e alunos têm no seu encontro educacional. Nos Estados Unidos
esta abordagem é conhecida como visão interpretativa. Na abordagem sociológica crítica o
pesquisador em Educação Matemática assumia um papel ativo, possibilitando que o professor
e o aluno alcançassem tanto no colégio como na sociedade, a compreensão do significado do
processo educativo, na Austrália a Nova Zelândia essa abordagem era conhecida como
pesquisa-ação. (KILPATRICK, 1996a)
É razoável que o pesquisador em Educação Matemática discuta como se existisse
apenas um único caminho, mas que uma área utilize apenas um paradigma de pesquisa não é
razoável. É necessário, portanto, a área assegurar a diversidade na maneira como a pesquisa é
feita para mantê-la ativa e em crescimento, para garantir múltiplas perspectivas e diferentes
abordagens teórico-metodológicas. Neste sentido, o choque de diferentes abordagens teóricas
e metodológicas começou a estabelecer o lugar para o debate sobre o qualitativo e o
quantitativo. (KILPATRICK, 1996a)
[...] pesquisadores em Educação Matemática nunca deveriam tornar-se
devotados a uma abordagem epistemologia, paradigma, meios de
representação ou métodos únicos. Todos são parciais e provisórios; nenhum
pode contar a história toda. Em particular, nenhum método único de pesquisa
pode tratar da vasta variedade de questões do interesse de educadores
60
matemáticos. Embora um pesquisador possa individualmente aderir a um
único método, o campo como um todo necessita encorajar métodos
múltiplos. (KILPATRICK, 1996a, p.3)
Como as abordagens metodológicas, epistemológicas, e os paradigmas ao longo da
história são provisórios, parciais, um pesquisador em Educação Matemática, não deve ter
domínio ou compreensão apenas em um meio de representação ou um método em particular.
A área de Educação Matemática, como um todo, necessita de multiplicidade de métodos, deve
olhar para além do valor explícito da pesquisa e perguntar se lograram cumprir com outros
critérios de qualidade investigativa. A multiplicidade de métodos produzirá um corpo de
pesquisa com uma alta qualidade coletiva, mesmo que os estudos individuais sejam
deficientes. (KILPATRICK, 1996a)
A pesquisa individual e de grupo começa a se destacar em alguns países. A tecnologia
computacional se converteu em uma ciência mais empírica, que permitiria os estudantes
trabalhar mais facilmente com grande quantidade de informações relacionadas com
problemas. A ênfase na maioria dos países era o desenvolvimento de habilidades de raciocínio
de resolução de problemas, sobre a memorização de fatos e procedimentos. E, aos poucos,
estes currículos foram atentando para a modelagem matemática. O ponto central da pesquisa e
da teoria em Educação Matemática era o problema epistemológico do ensino de matemática, a
comparação de métodos de ensino, a crença dos professores sobre o seu conhecimento, e a
aprendizagem dos estudantes. (KILPATRICK, 1996a)
A pesquisa sobre o emprego de tecnologia voltava-se para o desenvolvimento de
tecnologia computacional centrado no desenvolvimento de programas de computador para o
ensino, para professores e alunos, mas todos manuseados por um professor e não por um
técnico. Esta pesquisa abriria a oportunidade de utilizar a ferramenta de ensino, computador,
permitindo que os alunos pesquisassem temas tradicionais de outra forma. Havia a ideia
também que o uso de computadores pelo professor melhoria sua prática. Pouco se pesquisava
sobre o uso de calculadoras para explorar as ideias matemáticas em sala de aula e seus efeitos
sobre a aprendizagem. Poderia ser de interesse do pesquisador em Educação Matemática
examinar como a utilização da tecnologia interagia com a crença e capacidade do professor.
(KILPATRICK, 1996a)
Com relação aos efeitos da avaliação na prática docente, os esforços para a mudança
do currículo e do ensino fracassaram porque os caminhos propostos entravam em conflito
61
com delineamento das avaliações externas. Alcançar a frequência da avaliação externa
aumentava devido o interesse do governo pela educação. Alguns países introduziam novos
métodos como projetos, pesquisa em grupo e portfólios. Na avaliação as mudanças eram
adotadas, adaptadas ou rejeitadas de acordo com a crença e, por conseguinte, com a forma
como o professor poderia lidar com a situação em sala de aula. Não havia pesquisa que
enfatizasse a avaliação do ponto de vista da perspectiva do estudante e do professor.
(KILPATRICK, 1996a)
A pesquisa sobre o professor, sobre seu conhecimento matemático, como ele
compreende matemática, bem como, como combina o conhecimento matemático que tem com
o conhecimento pedagógico na forma como ensina, precisava ser aprofundada, para não ficar
na superficialidade do ato de ensinar apenas. Vale dizer que é preciso atentar para as
pesquisas que intentam relacionar ações especificas do professor:
(a) o contraste entre professor novato e professor experiente;
(b) tentativas para melhorar a eficiência do professor;
(c) descrições de como o professor constrói significados e percebe sua vida
profissional.·.
Alguns estudos sobre programas específicos da formação inicial e permanente dos
professores de matemática, mas poucos destes estudos analisavam transversalmente estes
programas e o que estes professores faziam depois que terminavam o programa e entravam
em sua vida profissional (KILPATRICK, 1996a).
Nos anos 70 a pesquisa começou a incorporar os estudos sobre aprendizagem
individual dos alunos levando em conta seu contexto social, e uma matemática determinada
socialmente. O ponto fomenta a discussão sobre o tema construção social do conhecimento
durante o ensino de matemática. Os pesquisadores estavam sendo exortados a perceber a
matemática como fenômeno social. (KILPATRICK, 1996a)
Com relação às pesquisas sobre como a matemática poderia ser utilizada fora da sala
de aula, foram uteis por revelar como a matemática é construída socialmente, e como é a
matemática que é ensinada na escola e determinada pela sociedade. Nos estudos etnográficos
era visível a discrepância de como a matemática era utilizada em várias culturas das aquelas
que se utilizavam na escola e aqueles que se utilizam para resolver problemas quantitativos e
cotidianos. Isso em relação, tanto na praça do mercado como no trabalho quanto em casa. Na
62
literatura, esta questão de pesquisa estaria preocupada com a relação entre cultura da
matemática escolar e a cultura que o menino traz para a escola e a cultura em que o adulto
esta fazendo matemática. (KILPATRICK, 1996a)
Congruente com as ideias acima delineadas, a ênfase na pesquisa em Educação
Matemática é sempre ter claro que a Educação Matemática nasceu da Matemática. Portanto,
torna-se improdutivo para a Educação Matemática distanciar-se da Matemática. Não é um
problema que matemáticos e educadores matemáticos tenham diferentes orientações para
pesquisa. Pelo contrário, pode ser enriquecedor.
A Educação Matemática vem ao longo de mais de cinco décadas fortalecendo-se
enquanto comunidade e tradições de pesquisa, com sua própria agenda de pesquisa, seus
próprios esquemas teóricos. Um número crescente de pesquisadores em Educação
Matemática, em um número crescente de países, cada vez mais se envolve nas pesquisas
sobre o ensino-aprendizagem de matemática com o propósito tanto de compreender o
fenômeno tanto a sua preocupação central que é o modo como se aprende e ensina
matemática.
Entretanto, pode ser que educadores matemáticos, ao incorporar em suas pesquisas o
conhecimento de outras áreas, passem a pensar que é impossível tornar o conhecimento
desenvolvido pela sua área fiável, aceitando o próprio objeto de estudo com o caráter estático.
Neste sentido, a discussão sobre metodologia de pesquisa pode constitui, precisamente, uma
maneira de buscar reflexões sobre como o conhecimento matemático tem sido e pode ser
construído.
1.4 A busca de identidade através do domínio de pesquisa
A pesquisa em Educação Matemática é multidisciplinar, neste sentido, pesquisadores
de diferentes comunidades - psicologia, sociologia, antropologia, matemática, linguística, e
epistemologia - contribuem para as construções teóricas desenvolvidas inicialmente fora do
campo. Como consequência, não é fácil para os pesquisadores em Educação Matemática
delimitar o objeto das suas pesquisas, mesmo que eles próprios o restrinjam no âmbito do
ensino e aprendizagem da matemática, depois de considerar a diversidade dos seus
determinantes.
A escolha de uma metodologia de pesquisa compreende uma série de pressupostos
norteadores, passíveis de reformulação e achados. Portanto, a escolha por uma determinada
63
teoria marca uma afinidade que em larga medida é definida pelo avanço do conhecimento na
área, em que está situada uma dada tradição de pesquisa. Portanto, o pesquisador não inventa
um revestimento teórico ao escolher um determinado objeto de pesquisa, mas já se encontra
impregnado de vestígios de alguma tradição, formatado por olhares precedentes.
A maioria dos trabalhos apresentados acima segue a abordagem qualitativa.
Entretanto, não é possível afirmar que a área como um todo tem este comportamento. Para
este fim, seria preciso analisar os vários eventos, e as diversas produções acadêmicas das
diferentes tradições de pesquisa da área, que versem sobre o tema metodologia de pesquisa.
As ideias delineadas neste capítulo coadunam com a proposta do CERME - Comunicação,
Cooperação e Colaboração - quando trata sobre a importância de delinear e identificar
diferentes pesquisadores em diferentes tradições de pesquisa sobre Metodologia de Pesquisa,
Epistemologia, Teoria e Prática.
O que é pesquisa em Educação Matemática e quais são os seus resultados? Em 19 de
agosto de 1992 no VII International Congress on Mathematical Education em Quebec
membros do comitê discutem na forma de cinco questões: qual o objeto de estudo em
Educação Matemática? Quais são os objetivos da pesquisa em Educação Matemática? Quais
são as questões especificas ou problemáticas de pesquisa em Educação Matemática? Quais
são os resultados de pesquisa em Educação Matemática? E, quais os critérios que são usados
para avaliar os resultados de pesquisa em Educação Matemática? A plenária discutiu:
definição de domínio, problemas de relacionamento entre teoria e prática na pesquisa, o lugar
do ensino no design da pesquisa em Educação Matemática, o treinamento de pesquisadores, e
a visão da pesquisa em Educação Matemática pelos matemáticos. Não houve um veredicto
final, uma resolução do tipo de pesquisa em Educação Matemática, se pode ser deste ou
daquele tipo. Ao invés disso, que existem diferenças que divide teoricamente abordagens,
teorias, visões, filosofias da matemática, e ainda assim constitui uma comunidade e é
necessária pesquisa para que constitua sua identidade. (SIERPINKSA; KILPATRICK, 1998)
Educação Matemática tem se tornado um domínio de pesquisa cientifica e seus
resultados estão se tornando menos claros, e isso demonstra a necessidade de chegar a um
consenso. A despeito desta falta de consenso existe um leque de publicações que descreve o
estado da arte na pesquisa em Educação Matemática. Este trabalho não é um estado da arte no
sentido de apresentar a Metodologia da Pesquisa em Educação Matemática em abordagens
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qualitativa, quantitativa ou quali-quanti, mas é um estado da arte ou do conhecimento por
buscar uma compreensão do que já foi construído e produzido, em determinado período, de
2005 até 2015 computando 10 anos, com uma tradição de pesquisa a Didática da Matemática,
sobre o que ainda não foi feito. Propõe-se uma opção metodológica de levantamento e de
análise do conhecimento sobre o tema Metodologia de Pesquisa em Educação Matemática.