ANOVA: Análise de VariânciaComparação entre tratamentos

Prof. Hani Camille Yehia

Alunos: Augusto Filho

Cléia do N. Cavalcante

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

Disciplina: Introdução ao Processo Estocástico

Roteiro1. Introduçao

2. Modelo de ANOVA

3. Verificaçao da suposiçoes do Modelo

4. Estimaçao dos parametros do Modelo

5. Métodos de Comparaçao Múltipla

6. Exemplo

Comparação entre tratamentosÉ uma técnica de teste de hipóteses usada para comparar as médias de três ou mais populações.

ANOVA

Sir Ronald A. Fisher (1890-1962)

A técnica de análise de variância foi desenvolvida principalmente pelo

estatístico inglês Ronald A. Fisher, a partir de 1918.

PREVISÍVEL: é expressada por uma função matemática com

parâmetros desconhecidos.

ALEATÓRIO: assumimos uma estrutura de probabilidade; um

modelo de probabilidade conhecido.

OBSERVAÇÃO = PREVISÍVEL + ALEATÓRIO

Uma das preocupações estatísticas ao analisar dados, é a de criar modelos

que explicitem estruturas do fenômeno em observação. A identificação

dessas estruturas permite conhecer melhor o fenômeno, bem como fazer

afirmações sobre possíveis comportamento do mesmo.

A Análise de VariânciaSuponha que tenhamos k populações envolvidas, sendo extraída de cada

uma delas amostras aleatória de tamanho n. A resposta para cada um dos

tratamentos é uma variável aleatória.

Tratamento Observações Soma Médias

1 y11 y12 ... y1n y1.

2 y21 y22 ... y2n y2.

. . . … . . .

. . . ... . . .

. . . … . . .

k yk1 yk2 ... ykn Yk .

y.. ..y

.1y

.2y

.ky

Modelo ANOVA

Yij ; é valor da variável resposta na j-ésima observação do i-ésimo tratamento.

: é a a média geral de todos os tratamentos;

i : é o efeito do i-ésimo tratamento;

eij: é o erro aleatório.

ijiij ey i = 1, 2, 3, ...,kj = 1, 2, ..., n

As amostra são aleatórias e independentes;

As populações têm distribuições normais;

As populações têm a mesma variância.

Pressuposições Básicas:

Suposições adotadas para o comportamento das populações

Hipóteses

Testar se as medias são iguais ou não:

H0 = 1 = 2 = ... = k = 0

H1 = i 0 , para pelo menos um i

ijiij ey ijij ey

As observaçõesSob H1:Sob H0:

Hipóteses e modelo subjacente

Sob H0: 1 = 2 =...= k = 0

ijiij ey ijij ey

Hipóteses e modelo subjacente

Sob H1: i 0 para algum i

ijiij ey

Para testar as hipóteses anteriores, baseia-se em uma análise da

variabilidade total dos dados das k amostras, dado pela soma de

quadrados total.

Decomposição da soma de quadrados total

k

1i

k

1i

n

1j

2.

2...

k

1i

n

1j

2..ij )()(n )yy( iiji yyyy

SQTOTAL = SQTRAT + SQERRO

k

i

n

jijTot N

yySQ

1 1

2..2 gl = N - 1

onde: N = nk

Soma de quadrados total: Graus de liberdade:

Decomposição da soma de quadrados total

Soma de quadrados dos tratamentos: Graus de liberdade:

N

y

n

ySQ

k

i i

iTRAT

2..

1

2.

gl = k - 1

Graus de liberdade:

gl = k(n-1)

Soma de quadrados do erro:

SQERRO = SQTotal - SQTRAT

SQTOTAL = SQTrat + SQERRO

Graus de liberdade:

SQT tem kn-1 graus de liberdade;

SQTratamentos tem K-1 g.l.

SQerro tem k(n-1) g.l.

Quadrados médios: )1(

1

nk

SQQM

k

SQQM ERRO

ERROTRAT

TRAT

Estatística de Teste:

ERRO

TRAT

QM

QMF

Tabela de Análise de Variância – (ANOVA)

Fonte de Variação

Soma de Quadrados

glQuadrados

MédiosF

Tratamentos k-1

Erro K(n-1)

Total Kn -1

N

y

n

ySQ

k

i i

iTRAT

2..

1

2.

k

i

n

jijTotal N

yySQ

1 1

2..2

1

k

SQQM TRAT

TRAT

)1(

nk

SQQM ERRO

ERRO

ERRO

TRAT

QM

QMF

SQERRO = SQTotal - SQTRAT

Rejeito Ho se: F > F (k – 1; k(n - 1)

Não rejeita Ho se: F F (k – 1; k(n - 1)

Valor-p

Regra de decisão: Abordagem Clássica

Regra de decisão: Abordagem Valor-p

Valor-p

Valor-p >

rejeita H0 (prova-se estatisticamente H1)

Não rejeita H0 (os dados não mostram evidência para afirmar H1)

= nível de significância (probab. tolerável de se rejeitar Ho quando esta for verdadeira)

Usual: = 5%

Estimação Pontual

k

iik

y1

...

1ˆ

n

iijii y

ny

1.

1̂

.. jiji yy

ErroQM2̂

Média Geral:

Média do Tratamento:

Diferença entre a Média do

Tratamento:

Variância:

Estimação Intervalar

i)1(,2/. Média nty RESQM

nki

médias entre Diferença)(2

)1(,2/.. ntyy RESQM

nkji

Métodos de Comparações Múltiplas Métodos de Duncan

1. Ordenar de forma crescente as k médias amostrais dos tratamentos.

2 Estimar o desvio padrão de cada média.

3. Obter da tabela de Duncan os valores de:

onde: = nível de significância

f = nº de graus de liberdade de SQerro

p = nº de médias envolvidas na

comparação

Procedimento

n

QMS ERRO

iy

.

),( fpv

Métodos de Duncan 4. Calcular as amplitudes mínimas:

5. Testar as diferenças observadas entre as médias, fazendo as seguintes comparações:

.),(

iypSfpvR

kmenormaior Ryy )(

1ª2 )( kmenormaior Ryy

2/)1(ª2 )( kkmenormaior Ryy

6. Regra de Decisão:

Se a diferença observada entre elas for > que Rp, concluir que as

médias médias que constituem um par são significativamente

diferentes.

Verificação da Adequação do Modelo

Um resíduo é definido como:

Resíduo: A diferença entre uma observação e a média do

tratamento correspondente.

iijij yye

As suposições associadas ao modelo, é feita através da analise dos resíduos:

1. Os erros tem média zero e a mesma variância 2;

2. Os erros são independentes, ou seja, um valor de um erro não depende

de qualquer outro erro;

3. Os erros têm distribuição normal.

Logo, os erros são iid N(0, 2).

Verificação da Adequação do Modelo

• Suposição de Independência

Gráfico de Resíduos vs Ordem

• Suposição de Igualdade de Variância

Gráfico de Resíduos vs Médias dos

Tratamentos

• Suposição de Normalidade

Gráfico de Probabilidade Normal

ExemploUm trabalho no periódico Journal of the Association of Asphalt Paving Technologists (Vol. 59, 1990) descreve um experimento com o ojbetivo de determinar o efeito de bolhas de ar sobre a percentagem da resistência residual do asfalto. Para finalidades do experimento, bolhas de ar são controladas em três níveis: baixo (2-4%), médio (4-6%) e alto (6-8%). Os dados são mostrados na seguinte tabela:

Bolhas de Ar Resistência Residual (%)

Baixa 106 90 103 90 79 88 92 95

Média 80 69 94 91 70 83 87 83

Alta 78 80 62 69 76 85 69 85

Os diferentes níveis de bolhas de ar afetam significativamente a resistência média ?

Boxplot

Niveis

resi

stenci

a

MédiaBaixaAlta

110

100

90

80

70

60

Boxplot of resistencia vs Niveis

1 – Passo: Formulação das Hipóteses

2 – Passo: Fixar o nível de significância do teste e encontrar o

valor de F_tab com 2 g.l no numerador e 21 g.l no denominador.

Logo o valor tabela foi encontrado como

Tabela F

Ftab

3 – Passo: Definir a região crítica e a região de não rejeição:

4 – Passo: O cálculo da Estatística de Teste:

erro

tratcal QM

QMF

Para encontrarmos o F calculado, será criada uma tabela de análise de variância.

A soma quadrática entre tratamentos é:

A soma quadrática do erro é obtida pela subração como:

5 – Passo: Conclusão

Podemos também encontrar um valor P para essa estatística de teste.

Ao nível de 1% de significância existem evidências amostrais que nos levam a rejeição da hipótese nula, ou seja, os diferentes níveis de bolhas de ar afetam significativamente a resistência média retida.

Já que p=0,001 e menor que 0,01, temos evidencias que nos levam a rejeição de Ho

Tabela da ANOVA

O gráfico ao lado mostra a região crítica ao nível de 1% de significância, e a região de não rejeição ao nível de 99% de confiança. É possível vermos o p-valor calculado manualmente. O MINITAB, obtém o mesmo resultado.

Estimação Pontual

Com o objetivo de obter mais informações sobre a diferença existente nos efeitos da bolha de ar sobre a percentagem da resistência residual do asfalto, calculou-se as seguintes estimativas para os parâmetros de interesse:

Niveis

resi

stenci

a

MédiaBaixaAlta

100

95

90

85

80

75

70

Interval Plot of resistencia vs Niveis95% CI for the Mean

Diferenças entre as Resistências médias residuais por níveis:

Intervalos de Confiança para a diferença entre médias

Se o intervalo contiver o valor zero, podemos concluir com 100(1-alpha)% de confiança que não há diferença estatisticamente significativa entre as médias consideradas.

Baixo e Médio

O intervalo contém o valor zero, o que nos leva a concluir com 99% de confiança que a média da resistência Residual Baixa não difere estatísticamente da resistência Residual Média.

Baixo e Alta

Como o intervalo não contém o zero, rejeita-se a hipótese nula, ou seja, podemos concluir com 99% de significância que a média da resistência residual baixa é maior que a média da resistência residual alta.

Média e Alta

Como o intervalo contém o zero, o que nos permite concluir com 99% de confiança que a resistência residual média não difere estatisticamente da resistência residual alta.

Método de Comparações MúltiplasMétodo de Duncan

1 – Passo: Médias em Ordem Crescente

2 – Passo: Calcular o desvio padrão

3 – Passo: Ver valor tabelado de Duncan

4 – Passo: Calcular as amplitudes significativas mínimas (Rp)

5 – Passo: Testar as diferenças observadas entre as médias

6 – Passo: Conclusão

A partir da utilização do Método de Duncan, foi possível concluir com 99% de confiança que a média de Resistëncia Residual para os níveis MÉDIA e ALTO são equivalentes e INFERIORES a dureza média da resistência residual para o nível BAIXO.

Suposições do Modelo

Residual

Perc

ent

20100-10-20

99

90

50

10

1

Fitted Value

Resi

dual

9590858075

10

0

-10

Residual

Fre

quency

12840-4-8-12

4

3

2

1

0

Observation Order

Resi

dual

24222018161412108642

10

0

-10

Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values

Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data

Residual Plots for resistencia

Referência:Analysis of Variance Tables Based on Experimental Structure C. J. Brien, Biometrics, Vol. 39, No. 1 (Mar., 1983), pp. 53-59  FISHER, R. A. The logic of inductive inference. J. R. Stat. Soc., v.98, p.34-54, 1935.  MONTGOMERY, D.C. 1988. Design and analysis of experiments. 2nd. John Wiley & Sons, New York, USA.  SNEDECOR, C.W. and W.G. COCHRAN, 1980. Statistical Methods. 7ed. Iowa State University Press, Amer. Iowa. USA.  FISHER, R.A. Statistical Methods for Research Workers. 11ª ed. Oliver & Boyd, Edinburgo. 1950. Gamerman, D. & Migon, H. (1993). Inferência estatística: uma abordagem integrada, Textos de métodos matemáticos, UFRJ. James F. Reed III: Analysis of Variance (ANOVA) Models in Emergency Medicine. The Internet Journal of Emergency and Intensive Care Medicine. 2004. Volume 7 Number 2. http://www.ispub.com/ostia/index.php?xmlFilePath=journals/ijeicm/vol7n2/anova.xml