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JULIANA LEÃO COELHO CHAVES
ANÁLISE E OTIMIZAÇÃO DE FILAS BANCÁRIAS
APLICAÇÃO DO MODELO MARKOVIANO
OURO BRANCO
DEZEMBRO DE 2016
JULIANA LEÃO COELHO CHAVES
ANÁLISE E OTIMIZAÇÃO DE FILAS BANCÁRIAS
APLICAÇÃO DO MODELO MARKOVIANO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
ao Instituto Federal de Minas Gerais – Campus
Ouro Branco, como parte dos requisitos
exigidos para a conclusão do curso Bacharelado
em Administração.
OURO BRANCO
DEZEMBRO DE 2016
Elaborada pela Bibliotecária Márcia Margarida Vilaça – CRB6/2235
Chaves, Juliana Leão Coelho
C512a Análise e otimização de filas bancárias: aplicação do modelo Markoviano. /
Juliana Leão Coelho Chaves. – 2016.
20f.: il.
Orientador: Profº Rodnei Alves Marques.
Trabalho de conclusão de curso (graduação) - Instituto Federal de Minas Gerais,
Campus Ouro Branco, Curso Bacharelado em Administração, 2016.
1. Pesquisa operacional. 2. Teoria das filas. 3. Modelo Markoviano. I. Chaves,
Juliana Leão Coelho. II. Instituto Federal de Minas Gerais, Campus Ouro
Branco. III. Título.
CDU 658.012.122
ANÁLISE E OTIMIZAÇÃO DE FILAS BANCÁRIAS
APLICAÇÃO DO MODELO MARKOVIANO
Juliana Leão Coelho Chaves¹, Rodnei Alves Marques², Haroldo Lacerda de Brito³
¹Bacharelanda em Administração
Instituto Federal de Minas Gerais - Campus Ouro Branco – e-mail: [email protected]
²Mestre em Matemática
Universidade Federal de Lavras
Docente do curso de Bacharelado em Administração
Instituto Federal de Minas Gerais - Campus Ouro Branco – e-mail:
³Mestre em Administração
Fundação Pedro Leopoldo
Docente do curso de Bacharelado em Administração
Instituto Federal de Minas Gerais – Campus Ouro Branco – e-mail:
Resumo: As filas estão no cotidiano das pessoas e podem ser enfrentadas com bom ou mau
humor mesmo que se tratando de algo desagradável. Devido a isto, os analistas responsáveis
pela administração do sistema de filas enfrentam problemas em que as filas trazem implicações
sociais e principalmente econômicas durante o processo, exigindo assim, uma análise e
tratamento racional do fenômeno por completo. A Teoria das Filas é um fenômeno da
Probabilidade que estuda a formação de filas de solicitantes de qual seja o serviço oferecido.
Esta ferramenta permite estimar importantes medidas de desempenho de um sistema a partir de
dados mensuráveis da fila podendo, assim, dimensionar um determinado sistema, de acordo
com a demanda dos clientes evitando desperdícios de tempo ou gargalos. A análise da fila de
espera é totalmente relevante para diversas situações, mas o objetivo básico é equilibrar o custo
de espera com o custo de otimização da operação do sistema com o acréscimo de novos
recursos.
Palavras-chave: Pesquisa Operacional, Teoria das filas, Modelo Markoviano.
INTRODUÇÃO
As filas estão no cotidiano das pessoas e podem ser enfrentadas com bom ou mau humor mesmo
que se tratando de algo desagradável. Devido a isto, os analistas responsáveis pela
administração do sistema de filas enfrentam problemas em que as filas trazem implicações
sociais e principalmente econômicas durante o processo, exigindo assim, uma análise e
tratamento racional do fenômeno por completo.
A Teoria das Filas é um fenômeno da Probabilidade que estuda a formação de filas de
solicitantes de qual seja o serviço oferecido. Esta ferramenta permite estimar importantes
medidas de desempenho de um sistema a partir de dados mensuráveis da fila podendo, assim,
dimensionar um determinado sistema, de acordo com a demanda dos clientes evitando
desperdícios de tempo ou gargalos. É válido lembrar que os modelos da Teoria das Filas, nem
sempre conseguem representar de forma real e com precisão as situações analisadas. Mesmo
assim, desenvolver tais modelos é vantajoso, principalmente devido ao melhor entendimento
das condições do processo.
Diante das intempéries, o tempo de espera para atendimento e a existência de filas no sistema
bancário é de extrema relevância. Ao se tratar do atendimento de caixas físicos das agências
bancárias, o tamanho da fila e o seu tempo de espera é ainda mais considerável. Partindo deste
exposto, como otimizar os ritmos médios de chegada e atendimento para que o atendimento
atenda um nível satisfatório?
O objetivo do presente trabalho foi analisar o comportamento da fila de espera na prestação de
serviço dos caixas físicos de um banco e proporcionar possíveis soluções gerenciais para os
gaps identificados. Para alcançar este resultado, se fez necessário visualizar a aplicabilidade do
estudo da Pesquisa Operacional no ambiente de gestão, identificar possíveis lacunas no sistema
de atendimento dos caixas de uma dada agência bancária, analisar o fator de utilização do
serviço, o número médio de clientes na fila e no sistema, o tempo médio de espera na fila e no
sistema e todo o tratamento das variáveis randômicas do modelo de filas Markoviano. Esta
pesquisa teve como intuito contribuir para uma melhor forma de organização das filas de
atendimento e conseguir um melhor aproveitamento do serviço disponibilizado para os usuários
do mesmo, culminando não somente no aumento da produtividade de cada canal de
atendimento, mas também no aumento da qualidade e eficácia do sistema
O trabalho de conclusão de curso estrutura-se em quatro capítulos, apresentando-se no primeiro
a história e definições acerca da Pesquisa Operacional e da Teoria das Filas, baseadas em vários
autores, além da evolução, importância e aplicação do estudo. No segundo capítulo é abordada
a aplicação da Pesquisa Operacional aos modelos de gestão assim como na tomada de decisões
gerenciais. Traz um conceito geral do que consiste uma fila, caracteriza a introdução da Teoria
das Filas e seu estudo, traz a análise da estrutura das filas, sua disciplina e funcionamento, por
fim, a análise das operações envolvendo o sistema de filas e a administração das mesmas no
auxílio ás tomadas de decisões gerenciais. O terceiro capítulo caracteriza o estudo de caso, com
análise da organização objeto do estudo, envolvendo sua identificação, breve histórico e demais
itens que compõem o Banco do Brasil S.A. No capítulo quatro é apresentada a pesquisa de
campo e os diversos itens que a compõe como a avaliação e funcionalidade do sistema de filas
no atendimento dos caixas físicos da agência bancária, todos efetuados na cidade de Ouro
Branco/MG, com o objetivo de responder o problema apresentado anteriormente.
2 REVISÃO TEÓRICA
2.1 Introdução a Pesquisa Operacional
O termo Pesquisa Operacional refere-se à experimentação e a manipulação física das
variáveis. O trabalho desenvolvido em pesquisa operacional se baseia em construir
representações do sistema e do seu comportamento para que haja orientação necessária e
adequada durante a pesquisa.
A pesquisa de Gaither e Frazier (2005), apontam que durante a Segunda Guerra Mundial, houve
o surgimento e desenvolvimento da Administração da produção devido aos mais variados
problemas e ocorrências da época. Assim se fez necessário que a sociedade e os envolvidos na
mesma, possuíssem uma visão sistêmica e sólida para que os problemas fossem solucionados
de maneira adequada e que as tomadas de decisões fossem cada vez mais assertivas.
Peinado e Graelm (2007), relatam que a técnica de pesquisa operacional teve origem na
Inglaterra. Um estudioso da época, chamado Blackett orientou um grupo que se dedicava as
operações militares. O objetivo de tal orientação era maximizar a disponibilidade dos até então
limitados recursos disponíveis no cenário de intenso colapso. Após a guerra, as técnicas que
foram desenvolvidas durante este período, passaram a ser aplicadas em diferentes áreas e
situações tanto na Inglaterra quanto nos Estados Unidos.
Churchman, Ackoff e Annof apud Chiavenato (2011), trazem como definição a premissa de
que os modelos em Pesquisa Operacional assumem a forma de uma ou mais equações ou
inequações para traduzir a condição de que algumas, ou todas as variações controladas só
podem ser manipuladas dentro de limites. O conjunto destas equações constitui, ao mesmo
tempo, um modelo de sistema e um modelo de decisão. Trata-se então da utilização de
instrumentos científicos e metodologias para o alcance da solução ótima de um problema.
É de grande valia a afirmação de Gaither e Frazier (2005), em que diz que a pesquisa
operacional procura propor tomadas de decisões e a geração de informações de forma concreta
e acertada. Substituindo assim, as ações intuitivas geradas pela inadequada análise do sistema
e complexidade dos problemas em foco.
2.2 Pesquisa Operacional aplicada aos modelos de gestão
Os processos da Pesquisa Operacional em uma empresa interligam e trazem benefícios a todos
os níveis organizacionais. Em suma, dão sustentação nas tomadas de decisão nos âmbitos
estratégicos, táticos e operacionais. (BARBOSA; ZANARDINI, 2015).
2.2.1 Pesquisa Operacional na tomada de decisões
Taha (2007), traz a Pesquisa Operacional como uma ferramenta de tomada de decisões, uma
ciência em virtude das técnicas matemáticas. Porém, além da competência analítica, outros
atributos como o julgamento técnico e a habilidade de comunicação organizacional. A Pesquisa
Operacional pode oferecer diretrizes gerais para o auxilio na tomada de decisão em um
problema identificado. As fases de implementação da PO incluem:
a) Definição do problema
b) Construção do modelo
c) Solução do modelo
d) Validação do modelo
e) Implementação da solução
2.3 O que são filas?
De acordo com Prado (1999), devido às experiências diárias, sabe-se exatamente o que são filas.
Atividades como pagamento de compras em um supermercado, atendimento médico, compra
de ingressos para o cinema, pagamento de pedágio, serviços bancários e outras diversas
situações geram o surgimento de filas. As filas também existem em processos de produção,
como por exemplo, o carregamento de minério em caminhões em uma indústria siderúrgica.
A fila nem sempre é vista de maneira ‘enfileirada’, também se considera fila, a maneira dispersa
de esperar pelo momento do atendimento. Nestes casos, pode-se lembrar da maneira na qual
espera-se para atendimento em um consultório médico, por exemplo. (PRADO, 1999)
2.4 Introdução a Teoria das Filas
De acordo com Prado (1999), é sabido que durante a segunda guerra mundial se fez necessário
o desenvolvimento e estudo de teorias estratégicas que promovessem a solução de problemas e
análise dos mesmos de maneira mais otimizada e assertiva. Após este período, as teorias então
desenvolvidas começaram a serem aplicadas nas mais variadas nas mais variadas áreas e
situações. Com a Teoria das Filas não foi diferente. Anteriormente a segunda guerra mundial,
a teoria só havia sido aplicada pelo seu criador A.K. Erlang na companhia telefônica em que
trabalhava. Seu objetivo era solucionar o problema de redimensionamento de centrais
telefônicas. Em 1917, o matemático publicou um artigo propondo a teoria na qual ele era capaz
de determinar a probabilidade de diferentes números de ligações estarem esperando por
atendimento e o tempo médio mais provável de espera quando o sistema estivesse harmonizado.
Hoje em dia existem variadas modelagens analíticas para também variadas situações. Situações
como, por exemplo, a distribuição provável para taxas de chegada e tempo médio de
atendimento de clientes. Com o surgimento da teoria das filas, se fez possível o estudo
probabilístico dos tempos médios de ocupação do sistema operacional, do tempo médio de
permanência no mesmo, o tamanho médio da fila e o tempo médio de atendimento durante o
processo. (CORRÊA; CORRÊA, 2010)
2.4.1 Estrutura das filas
O sistema de serviço pode ser descrito pelo número de filas e pela disposição das instalações.
Como será a formação do sistema dependerá da quantidade de clientes atendidos e das restrições
impostas pela sequência que definirá a ordem pela qual será realizado o serviço. O fluxo deste
sistema e dos itens a serem atendidos, pode seguir uma fila única, filas múltiplas ou a
combinação de ambas. (KRAJEWSKI; RITZMAN; MALHOTRA, 2010)
Segundo Corrêa e Corrêa (2010), existem vários tipos de sistemas de filas e uma das mais
importantes ferramentas da gestão de filas é a alteração do tipo do sistema.
Segundo os autores os tipos de sistemas de fila são:
a) Sistema de estágio único: São considerados os sistemas mais simples. Conforme a Figura 1
existe uma estação de serviço atendendo a um fluxo em apenas um estágio. Como exemplo
pode ser mencionado a fila de veículos para efetuar o pagamento de um pedágio ou pessoas
que chegam para comprar ingressos do teatro.
b) Sistema de estágios múltiplos: sistemas em que os elementos de fluxo, sejam eles pessoas,
informações ou materiais que estão em processamento devem ser atendidos em estágios
múltiplos e sequenciais. Um exemplo seria uma ordem produtiva de uma fábrica que deve
passar por vários setores de produção num arranjo funcional. Como demonstrado na Figura
2.
c) Sistema de estágio único de servidores paralelos: Conforme ilustrado na Figura 3 é quando
os elementos de fluxo chegam, decidem qual servidor irá atendê-los e por fim são atendidos
indiferentemente por algum dos servidores que trabalham de forma paralela. Como exemplo
pode ser citado mais uma vez o sistema de pagamento de pedágio, onde existem cabines
paralelas de atendimento e cada condutor escolhe em qual irá pagar sua taxa tarifária.
d) Sistema de estágio único de fila única: Ocorre quando os elementos do fluxo chegam a uma
fila única e aguardam a sua vez de ser atendido. Quando chega, o primeiro servidor a ficar
disponível será o que efetuará o atendimento. A disciplina de sequenciamento é a regra que
irá definir quem dentre os elementos do fluxo será o próximo a ser atendido. Neste sistema
a regra é a de que o primeiro elemento que chegar, será o primeiro a ser atendido. Todos os
servidores, neste tipo de sistema, executam de forma indiferentemente as tarefas e são todos
coordenados pela disciplina de sequenciamento citada anteriormente. Um exemplo são os
caixas de pagamento de grandes lojas de roupas. Forma-se uma única fila, onde cada
indivíduo aguarda sua vez de ser atendido por um dos servidores, em questão, o primeiro a
ficar disponível. Conforme ilustra a Figura 4.
Figura 1 - Sistema de estágio único Fonte:Adaptado Krajewski, Ritzman e Malhotra, 2010
Figura 2-Sistemas de estágios múltiplos Fonte:Adaptado Krajewski, Ritzman e Malhotra, 2010
FigFigura 3 - Sistema de estágio único de servidores paralelos Fonte: Adaptado Krajewski, Ritzman e Malhotra, 2010
e) Sistema de estágio único de múltiplas filas concorrentes: Pode ser exemplificada pelas várias
filas que aguardam a prioridade para passar um cruzamento com semáforo, como demostra
a Figura 5. Neste caso, a disciplina de sequenciamento é definida pelo tempo em que as luzes
de cada semáforo existente no cruzamento se acendem e se apagam. Fazendo assim que os
veículos de uma determinada rua tenham prioridade na passagem.
f) Sistema de filas discriminadas: Um exemplo deste modelo de sistema é a discriminação que
os bancos fazem em seus caixas de agência, onde seus clientes de maior representatividade
fazem uso de caixas especiais. Outro exemplo são os supermercados que possuem caixas
dedicados a atenderem clientes com, por exemplo, até dez volumes. Conforme demonstra
Figura 6.
2.4.2 Notação de Kendall
Figura 4 - Sistema de estágio único de fila única Fonte:Adaptado Krajewski, Ritzman e Malhotra, 2010
Figura 5 - Sistema de estágio único de múltiplas filas concorrentes Fonte: Adaptado Krajewski, Ritzman e Malhotra, 2010
Figura 6 - Sistema de filas discriminadas Fonte: Adaptado Krajewski, Ritzman e Malhotra, 2010
Segundo Teixeira (2004) um modelo de fila pode ser descrito pela chamada notação de Kendall.
A notação recebe este nome em homenagem ao seu criador David Kendall. A notação de
Kendall se dá por: A/B/c/K/m/Z onde segundo Prado (1999):
a) “A” refere-se à distribuição dos intervalos entre chegadas;
b) “B” refere-se à distribuição do tempo de serviço;
c) “c” refere-se à quantidade de atendentes;
d) “K” refere-se à capacidade máxima do sistema (número máximo de clientes no sistema);
e) “m” refere-se ao tamanho da população que fornece clientes;
f) “Z” refere-se à disciplina da fila.
Os valores A e B variam de acordo com o tipo de distribuição a qual elas se referem. Estas
distribuições podem ser:
a) M: Exponencial Negativa ou Marcoviana ou Poisson
b) Em: Erlang ou estágio m
c) Hm: Hiper-exponencial de estágio m
d) Determinística
e) Geral
A partir disto, tem-se como exemplo, M/E2/3/10/∞/Randômico significando chegadas
Marcoviana ou de Poisson, atendimento Erlang de segundo grau, 3 atendentes, capacidade
máxima do sistema igual a 10 clientes, população infinita e atendimento randômico. (PRADO,
1999)
2.4.3 O modelo M/M/c
O modelo de filas denominado M/M/c ou M/M/k é um modelo no qual existe uma fila única e
diversos servidores. Neste modelo, tanto a chegada quanto o atendimento são definidos como
Marcovianos. Ou seja, são oriundos da distribuição de Poisson ou da Distribuição Exponencial
Negativa. Supõe-se que no modelo M/M/c a capacidade de atendimento de cada servidor seja
a mesma (µ). Neste caso o estudo pode ser aplicado para casos de população infinita ou finita.
(PRADO,1999)
Esquematicamente, o modelo por ser visualizado como a figura 7 ilustra.
Para um sistema do modelo M/M/c as seguintes definições são de grande relevância:
a) λ refere-se ao ritmo médio de chegada;
b) IC refere-se ao Intervalo médio entre chegadas (IC = 1
𝜆);
c) µ refere-se ao ritmo médio de atendimento de cada atendente;
d) TA refere-se ao tempo médio de atendimento ou de serviço em cada atendente (TA = 1
𝜇).
Conforme Prado (1999), ainda dentro do sistema de modelo M/M/C se faz necessário o
conhecimento das fórmulas que tratam as principais variáveis randômicas.
São elas:
Fator de utilização do serviço:
𝑃𝑛 = (1 − 𝜌)𝜌𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜌 =𝜆
𝜇
Número médio esperado de unidades no sistema:
𝐿 =𝜆
𝜇 − 𝜆
Número médio esperado de unidades na fila:
𝐿𝑞 =𝜆2
(𝜇 − 𝜆)𝜇
Tempo médio esperado que cada unidade permanece no sistema:
𝑊 =1
𝜇 − 𝜆
Tempo médio esperado que cada unidade permanece na fila:
𝑊𝑞 =𝜆
(𝜇 − 𝜆)𝜇
Figura 7 – Modelo M/M/c
Fonte: Adaptado de Prado,1999
2.4.4 Disciplina da Fila
Para Amidani (1974) a disciplina da fila é importante preferencialmente em sistemas de canais
múltiplos. Pode-se possuir regimes diversificados como:
a) FIFO (first-into-first-out): Em uma fila de tipo FIFO os usuários vão sendo atendidos por
ordem de chegada. A ideia fundamental da fila em formato de funcionamento FIFO é que só
se pode inserir um novo usuário no final da fila e só podemos retirar o usuário do início.
b) LIFO (last-into-first-out): Segue a ordem inversa ao FIFO, pois o último usuário que entra
no sistema é o primeiro que sai do mesmo.
c) SIRO (service-in-random-order): Trata-se do atendimento que acontece de forma aleatória.
d) Por numeração prévia; ocorre quando o atendimento é feito a partir de marcação de hora ou
distribuição de senhas.
e) Prioridade: A cada cliente é atribuída uma prioridade. Clientes com maior prioridade tem
preferência no atendimento.
f) Jockeying (com manobra): Ocorre quando a mudança de fila é facultativa ao cliente, com a
intenção de diminuir seu tempo de espera.
g) Fila única: Ocorre quando há única fila servindo vários canais do sistema.
2.4.5 Regra de prioridade
Krajewski, Ritzman e Malhotra (2010), afirmam que a regra de prioridade é o que determina
qual o próximo cliente será atendido.
As disciplinas de sequenciamento como prioridade por tipo de cliente em sistemas
discriminados, prioridade por tipo de tarefa, prioridade por primeiro a chegar, primeiro a ser
atendido, entre outras, podem afetar o desempenho médio do sistema e até mesmo o
desempenho individual de determinados grupos de clientes. Principalmente quando se utiliza
de disciplinas discriminantes, uma vez que as mesmas podem trazer benefícios a clientes
considerados especiais e efeitos negativos aos demais clientes que podem se sentir-se
discriminados. (CORRÊA; CORRÊA, 2010)
2.4.6 O funcionamento do sistema de filas
O sistema de filas consiste em três elementos principais:
a) A fonte da população de clientes e como eles chegam ao sistema,
b) O sistema de serviço que deve atender aos clientes que chegam,
c) A condição do cliente que sai do sistema,
ou seja, identificar se o mesmo volta a fila (fonte populacional) ou não. (JACOBS; CHASE,
2009)
Já Krajewski, Ritzman e Malhotra (2010), trazem diferentes elementos básicos e comuns a
todas as situações na análise dos problemas de filas. São eles:
a) Fonte populacional dos clientes ou um input que gera potenciais clientes,
b) Uma fila de espera,
c) Pessoa, máquina ou combinação das mesmas, necessárias para a execução do serviço e
d) Regra de prioridade que é o que irá definir e selecionar quem será o próximo cliente a ser
atendido.
2.4.7 Clientes e Tamanho da População
A diferenciação do tipo de fonte populacional dos clientes é de suma importância para a análise
das diversas premissas e equações a serem solucionadas. (JACOBS; CHASE, 2009)
Corrêa e Corrêa (2010), definem que a chegada de clientes em busca de atendimento pode
derivar de uma população finita ou infinita. População infinita é aquela que o número de clientes
já presentes no sistema, que já foram ou não atendidos e que estão voltando para a população,
não afeta a probabilidade do mesmo de forma significativa. Em suma, população infinita,
refere-se a uma população muito grande, na qual a chegada de um novo cliente não afeta a taxa
de chegada de outros clientes. Já a população considerada finita trata-se de uma população
pequena que pode ser afetada pela taxa de clientes que já estão sendo atendidos. O que pode
gerar um efeito considerável em todo o sistema.
Jacobs e Chase (2009), exemplificam o conceito de população finita com o caso de um conjunto
de seis máquinas onde apenas um técnico as mantem. Quando ocorre algum incidente com uma
das máquinas, a população é reduzida e a probabilidade de que as cinco máquinas restantes
também sofram algum problema e precise de conserto, será certamente menor em relação a
quando todas as seis estavam em perfeita operação.
2.4.8 Distribuição de chegada dos clientes
Quando se trata de um sistema de espera se faz necessário definir a maneira na qual os clientes
chegam e como eles se organizam para o atendimento. É requerida em fórmulas da teoria das
filas a chamada “taxa de chegada” ou o número de unidades de fluxo por período. (CORRÊA;
CORRÊA, 2010)
A observação das chegadas à instalação do atendimento pode ser feita de duas maneiras. É
possível analisar o tempo entre as chegadas, verificando se as mesmas possuem distribuição
estatística (exponencialmente) ou pode-se estimar uma duração para este tempo de chegadas e
então presumir quantas chegadas podem ocorrer durante este período no sistema. A relação
entre o número de chegadas por unidades de tempo é distribuída de acordo com Poisson.
(JACOBS; CHASE, 2009)
Segundo Krajewski, Ritzman e Malhotra (2010), a chegada dos clientes em busca do
atendimento é aleatória. Essa variância na chegada às prestadoras do serviço requerido pode ser
definida através da distribuição de Poisson. Distribuição esta onde as probabilidades são
referentes a um número específico de chegadas por unidade de tempo.
Fórmula do Modelo de Distribuição de Probabilidade Exponencial
A distribuição exponencial é uma distribuição contínua que pode ser aplicada em situações
problemas nas empresas, como exemplo, na área de serviços prestados, ela também tem
utilidade em problemas que envolvem fila de espera.
Uma variável aleatória contínua X, que assume todos os valores não negativos, terá uma
distribuição exponencial com parâmetro 𝛼 > 0, se a função densidade de probabilidade for
dada por:
𝑓(𝑥) = {1
𝜆𝑒−
1𝜆
𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
0 𝑠𝑒 𝑥 < 0
Onde:
x é o valor assumido pela variável aleatória (tempo entre as chegadas)
𝟏
𝝀 a taxa de ocorrências da variável aleatória, que estabelece a taxa de chegadas por hora, por
exemplo, ou de serviços por minuto ou alguma outra unidade de tempo.
Fórmula da Distribuição de Probabilidades de Poisson
De acordo com a distribuição de probabilidades de Poisson, a probabilidade de X ocorrências
em um intervalo é:
𝑃(𝑥) =𝜇𝑥𝑒−𝜇
𝑥!
Onde:
e é um número irracional aproximadamente igual a 2, 71828
µ (pronuncia-se mi) é a média dos números de ocorrências por intervalo de tempo ou espaço.
A média aritmética do número de ocorrências em um intervalo, representada por µ, é
chamada de parâmetro da distribuição de probabilidades de Poisson ou parâmetro de
Poisson. (KRAJEWSKI; RITZMAN; MALHOTRA, 2010)
2.4.9 Fatores do sistema de filas e análise das operações
Jacobs e Chase (2009), trazem a relevância das características e gestão das filas de espera, como
sua estrutura. O número de atendentes disponíveis e a fila em si são fatores básicos na
estruturação da análise do sistema de filas. Faz-se necessária a análise de diferenciados fatores,
são eles: a extensão, o número de filas e a disciplina das mesmas.
Já Prado (1999), conceitua diferentes características de uma fila nas quais também podemos
considerar fatores do sistema. Além da análise da disciplina da fila e do número de servidores
disponíveis, é de grande valia considerar também o tamanho médio da fila, o tamanho máximo
da fila e o tempo médio de espera pela execução do atendimento.
Os modelos das filas de espera podem ser usados pelos gestores de operações para equilibrar
os ganhos que podem ser obtidos com o aumento da eficiência do sistema de serviço em relação
aos seus custos. Os gestores devem considerar também os custos de não efetuarem melhorias
no sistema. Afinal, filas de espera longas ou tempos de espera longos podem fazer com que os
clientes se recusem a esperar ou saiam da fila. Por tanto, faz-se importante a atenção dos
gerentes para as seguintes características da operação do sistema:
a) Comprimento da fila: filas de menor tamanho podem significar bom atendimento ou
capacidade excessiva, filas longas podem indicar a necessidade de aumento na capacidade de
atendimento ou a ineficiência dos servidores;
b) Número de clientes no sistema: o número de clientes na fila e sendo atendidos também reflete
no que se diz respeito à eficiência e à capacidade do atendimento. Um grande número de
clientes no sistema causa congestionamento e insatisfação dos clientes.
c) Tempo de espera nas filas: Se a taxa de atendimento for rápida, uma fila longa pode ser
atendida de maneira eficiente e não será significado de longas esperas. Contudo, quando o
tempo de espera parece longo, a qualidade do serviço é julgada pelos clientes como
insatisfatória.
d) Tempo total no sistema: o tempo total no sistema, contabilizado desde a entrada do cliente até
sua saída, pode indicar problemas com os clientes, capacidade ou eficiência do servidor. Para
a melhoria deste ponto pode ser necessário alterar a norma de prioridade, ajuste de capacidade
e aumento da produtividade.
e) Utilização da instalação de serviços: Neste caso, a meta dos gestores é manter a utilização e
rentabilidade altas sem que haja reflexos desfavoráveis a outras características operacionais.
Pois a utilização coletiva da instalação do serviço, afeta o percentual do tempo em que estão
ocupados.
Para a análise e tomada de decisões perante a um problema de fila de espera, relacionar as cinco
características anteriormente citadas às operações é de grande relevância. (KRAJEWSKI;
RITZMAN; MALHOTRA, 2010)
2.4.10 Administração das filas e tomadas de decisões gerenciais
Jacobs e Chase (2009), citam que à primeira vista, alguns problemas de fila podem parecer
simples de serem solucionados, porém, acabam sendo difíceis ou praticamente impossíveis de
resolver. A análise da fila de espera é totalmente relevante para diversas situações, mas o
objetivo básico é equilibrar o custo de espera com o custo de otimização da operação do sistema
com o acréscimo de novos recursos.
Para Krajewski, Ritzman e Malhotra (2010), após a análise de um problema de fila de espera,
a melhoria no sistema de serviço pode ser alcançada com alterações nas seguintes esferas:
Taxas de chegada: o gestor, diversas vezes, pode influenciar na taxa de chegadas de clientes
por meio de propagandas, promoções e preços diferenciados em determinados casos.
Número de instalações de serviços: os gestores podem aumentar o número de instalações de
serviço, ou seja, aumentar a capacidade do sistema.
Número de fases de atendimento: a gerência pode decidir alocar tarefas de atendimento para
as fases seguintes se determinarem que duas instalações de serviços sucessivas possam ser
mais eficientes que apenas uma.
Número de servidores por instalações: os gerentes podem influenciar a taxa de atendimento
designando mais de uma pessoa para a instalação de serviço.
Eficiência do servidor: pode ser feito o ajuste da razão capital-trabalho, visando trabalhos
aperfeiçoados. Ou seja, aumentando a eficiência dos servidores.
Regra de prioridade: os gestores estabelecem a regra de prioridade a ser usada. Essa decisão
afeta o tempo de espera do cliente e a utilização dos servidores.
Disposição da fila: os gestores podem decidir se haverá uma fila única ou uma fila para cada
instalação em uma determinada fase do serviço. Influenciando assim no tempo de espera do
cliente e a utilização dos servidores.
Em suma, para a existência de uma administração eficiente da fila de clientes, alguns aspectos
são importantes e relevantes. A observação cautelosa das condições nas quais os clientes terão
de esperar e a percepção das expectativas e angústias dos mesmos são alguns destes aspectos.
Para isto deve-se procurar olhar a fila sob a ótica do cliente, a prioridade no atendimento deve
ser vista como justa, deve-se pensar em meios de distração do cliente para que a sensação de
espera seja reduzida, pode-se tentar reduzir a aleatoriedade do processo de chegada de clientes,
pode haver a oferta de pontos de atendimento diferenciados para tipos específicos de serviços,
etc. (CORRÊA; CORRÊA, 2010)
3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
3.1 Escolha do método
Tendo em vista o alcance do objetivo optou-se por uma pesquisa exploratória. Segundo Gil
(2008), a pesquisa exploratória, em suma é um processo de sondagem, com vistas a aprimorar
ideias, descobrir intuições e, posteriormente, construir hipóteses. Proporciona, assim, maior
familiaridade com o problema.
Quanto aos meios, foi realizado um estudo de caso. O estudo de caso nada mais é que o estudo
aprofundado e exaustivo dos objetos, permitindo, assim, um amplo e detalhado conhecimento
dos mesmos. (GIL, 2008)
Para a abordagem foi utilizado o método misto de pesquisa (quali-quanti). Segundo Giddens
(2012), a pesquisa pode ser feita através do método misto para se obter uma compreensão e
explicação mais ampla do que está sendo pesquisado.
3.2 Unidade de Análise
Foi utilizada como unidade de análise a agência do Banco do Brasil da cidade de Ouro Branco,
Minas Gerais.
A agência possui um layout e organograma comum aos demais ambientes bancários.
Simplificadamente, o banco conta com a área do autoatendimento onde se localiza os caixas
eletrônicos, possui a área de atendimento gerencial e negocial, o setor de processos internos
como a tesouraria e conta também com os caixas físicos, setor explorado e analisado neste
trabalho.
A agência se localiza na região central da cidade e conta com 20 funcionários diretos.
3.3 Coleta dos dados
A agência objeto deste estudo disponibilizou para o desenvolvimento do trabalho um banco de
dados onde constaram todos os clientes que utilizaram o serviço dos caixas físicos, o tempo de
atendimento de cada cliente, a hora de chegada e a hora da finalização do atendimento.
Os dados foram referentes a todos os dias úteis e de funcionamento do banco no mês de agosto
de 2016, durante as cinco horas de funcionamento diário do serviço.
Os dados disponibilizados são de origem do sistema Intranet do Banco do Brasil e foram
tratados através do Excel e do software Arena, utilizado para recursos de análise estatística,
modelagem de processos, animação, e análise de resultados.
4 ANÁLISE DOS DADOS
No sistema de referência disponibilizado pela agência bancária observava-se a hora de chegada
do cliente, o tempo de espera na fila, além do tempo de serviço. Conforme Krajewski, Ritzman
e Malhotra (2010), após a análise destas esferas fica melhor possibilitada a solução do
problema. Foram selecionadas 115 horas para análise, nesse intervalo foram atendidos 1083
clientes, ou seja, aproximadamente 𝜆 = 9,4 clientes por hora, com um desvio padrão de 4,2
levando a um alto coeficiente de variação de 0,45.
Para aplicação do modelo Markoviano, modelo que segundo Prado (1999) define-se por existir
uma fila única e diversos servidores, é preciso que o intervalo entre as chegadas siga a
distribuição exponencial.
De acordo com Corrêa e Corrêa (2010), quando se trata de um sistema de espera é necessária a
observação de como os clientes chegam ao mesmo. Segundo Krajewski, Ritzman e Malhotra
(2010), a chegada dos clientes em busca do atendimento é aleatória podendo ser analisada
através da análise exponencial. Sendo assim, foi feito um teste de aderência, onde foi constatado
que os dados seguem a distribuição exponencial com um erro de 1%.
Também foi observado na agência, três servidores, cada um desses atende aproximadamente
4,5 clientes por hora, com mínimo de 2 clientes e máximo 7 clientes por hora, assim a taxa de
atendimento 𝜇 = 13,5 clientes por hora, aplicando o modelo Markoviano, temos os seguintes
resultados:
a) Fator de utilização do serviço (probabilidade do sistema ocioso) :
𝑃0 = (1 −9,4
13,5) = 0,303 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜌 =
𝜆
𝜇
b) Número médio esperado de unidades no sistema:
𝐿 =𝜆
𝜇 − 𝜆=
9,4
13,5 − 9,4= 2,292 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
c) Número médio esperado de unidades na fila:
𝐿𝑞 =𝜆2
(𝜇 − 𝜆)𝜇=
(9,4)2
(13,5 − 9,4)13,5= 1,596 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
d) Tempo médio esperado que cada unidade permanece no sistema:
𝑊 =1
𝜇 − 𝜆=
1
13,5 − 9,4= 0,244 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 14,63 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
e) Tempo médio esperado que cada unidade permanece na fila:
𝑊𝑞 =𝜆
(𝜇 − 𝜆)𝜇=
9,4
(13,5 − 9,4)13,5= 0,169 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 10,18 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
Além disso, foram realizados testes de aderência 𝜒2 (Qui-quadrado) e Kolmogorov-Smirnov
para o tempo de espera na fila, onde se concluiu, com um erro de 0,8% que se trata de uma
distribuição exponencial. Dessa forma foi calculada a probabilidade de um cliente ficar na fila
por mais de 15 minutos, utilizando a função distribuição de probabilidade exponencial.
𝑃(𝑋 = 𝑥) =1
𝜆𝑒−
1𝜆
𝑥
Chega-se a probabilidade de um cliente ficar mais de 15 minutos na fila:
𝑃(𝑋 ≥ 15) = 1 − ∫1
10,18𝑒
−1
10,18𝑥
15
0
𝑑𝑥 = 0,2291
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Após analisada a situação do atendimento nos caixas bancários algumas propostas gerenciais
foram desenvolvidas para que o funcionamento do serviço seja otimizado, fazendo assim com
que a probabilidade de um cliente ficar mais de 15 minutos na fila diminua. São elas:
Maior promoção dos canais de atendimento alternativos como a internet e os caixas
eletrônicos.
Agendamento de hora e data para clientes que demandam um tempo maior do serviço.
Um exemplo são clientes pessoas-jurídicas que necessitam descontar um grande número
de cheques e pagar um grande número de contas. Isto permitiria aos funcionários
atenderem um maior número de clientes que demandam um serviço de menor demanda
de tempo.
Se colocadas em prática, as propostas gerenciais podem modificar a situação do serviço
oferecido. Os cálculos apresentados anteriormente trariam resultados melhores se cada
caixa conseguisse atender ao menos um cliente a mais.
Planejamento da agência para os dias de maior movimento como a gestão de escala de
trabalho dos funcionários e liberação para folgas, treinamentos e férias
preferencialmente após o dia 15 de cada mês, em que se observa um menor movimento.
Esta última proposta foi baseada no Gráfico 1, gerado a partir da análise e tratamento
dos dados, nesses é possível visualizar que o movimento de clientes no banco tem maior
volume na primeira quinzena do mês.
De tal forma, caso aplicadas as propostas desenvolvidas por meio desta pesquisa ou outras
estratégias de autoria do próprio banco, pode-se chegar a valores hipotéticos e de grande
satisfação para o funcionamento do serviço ofertado.
Os cálculos markovianos até então utilizados para ilustrar a situação atual do banco, se refeitos
contando que com a nova maneira de gerir o processo cada caixa atenderá um cliente a mais,
gerando uma taxa de atendimento médio de 16,5 clientes por hora, chega-se aos seguintes
resultados:
1) Fator de utilização do serviço (probabilidade do sistema ocioso):
𝑃0 = (1 −9,4
16,5) = 0,4303 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜌 =
𝜆
𝜇
Gráfico 1 – Número de clientes por dia Fonte: Dados disponibilizados pelo Banco do Brasil, 2016
2) Número médio esperado de unidades no sistema:
𝐿 =𝜆
𝜇 − 𝜆=
9,4
16,5 − 9,4= 1,324 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
3) Número médio esperado de unidades na fila:
𝐿𝑞 =𝜆2
(𝜇 − 𝜆)𝜇=
(9,4)2
(16,5 − 9,4)16,5= 0,7542 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
4) Tempo médio esperado que cada unidade permanece no sistema:
𝑊 =1
𝜇 − 𝜆=
1
16,5 − 9,4= 0,1408 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 14,08 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
5) Tempo médio esperado que cada unidade permanece na fila:
𝑊𝑞 =𝜆
(𝜇 − 𝜆)𝜇=
9,4
(16,5 − 9,4)16,5= 0,08 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 4,8 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
Chega-se a probabilidade de um cliente ficar mais de 15 minutos na fila:
𝑃(𝑋 ≥ 15) = 1 − ∫1
8,34𝑒
−1
8,34𝑥
15
0
𝑑𝑥 = 0,1655
Em suma, com a melhoria na gestão e a consequente otimização do serviço foi possível ver que
com o aumento de um cliente sendo atendido a mais por cada servidor a probabilidade de que
exista um consumidor a espera por mais de 15 minutos na fila diminua de 22,91% para 16,55%.
Bem como o número de clientes esperado e o tempo médio de permanência na fila reduzem
pela metade.
Pode-se observar com este trabalho a importância da gestão de pessoas para a geração de
resultados. As pessoas em qual for o nicho a qual atuam são elementos fundamentais para gerir
e otimizar os serviços e processos de uma empresa.
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